#Problema 1 x=c(4.8, 5.2, 5.0, 4.9, 5.3, 5.1, 4.7, 5.0, 5.2, 4.8)

#Parte 1 y 2 #Una interferencia estadistica es cuando utilizamos datos de una muestra para sacar conclusiones de su poblacion #Poblacion:las determiaciones del cobre en agua #Muestras: 10 #PArametros: Media poblacional y varianza poblacional #Un estadístico es cualquier valor calculado utilizando los datos de una muestra. #Un estimador puntual es un estadistico utilizado para estimar un parametro poblacional #La estimación puntual proporciona un solo valor para estimar un parámetro, mientras que la estimación por intervalo proporciona un rango de valores con un determinado nivel de confianza. n=length(x) media=mean(x) std=sd(x) varianza=var(x)

cat(“Media=”, media, “/n”) cat(“Varianza=”, varianza, “/n”) cat(“Desviacion estandar=”, std, “/n”)

#Parte 3 #Se utilizaron 9 grados de libertad gl=n-1 cat(“Grados de libertad”, gl, “/n”)

#Parte 4 # alfa=0.05 tc=qt(1-alfa/2, gl)

EE=tc*std/sqrt(n) LI=media-EE LS=media+EE

cat(“Limite Inferior=”, LI, “/n”) cat(“Limite Superior=”, LS, “/n”) #Con un 95 % de confianza, la concentración media poblacional de cobre se encuentra entre 4.8569 y 5.1431 mg/L.

#Parte 5 chi1=qchisq(1-alfa/2, gl) chi2=qchisq(alfa/2, gl)

LI_var=(glvarianza)/chi1 LS_var=(glvarianza)/chi2

cat(“LI varianza=”, LI_var, “/n”) cat(‘LS varianza=’, LS_var, “/n”)

LI_std=sqrt(LI_var) LS_std=sqrt(LS_var)

cat(“LI desviacion=”, LI_std, “/n”) cat(“LS desviacion=”, LS_std, “/n”)

#Porque la distribución chi-cuadrado es asimétrica hacia la derecha, por lo que los límites del intervalo no quedan a la misma distancia de la varianza muestral.

#Parte 6 provedor=5.20

if(provedor<LS && provedor>LI){ cat(“El valor del provedor esta dentro del intervalo/n”) }else{ cat(“El valor del proveedor esta fuera del intervalo/n”) } #el valor indicado por el proveedor no es compatible con los datos al nivel de confianza del 95 %.

#Problema 2

Datos

media=98.9 mu=99.5 std=1.2 n=16 alfa=0.05

PArte 1

#Una hipótesis estadística es una afirmación sobre un parámetro de una población que se somete a prueba mediante datos de una muestra. cat(“H0: mu = 99.5”) cat(“H1: mu != 99.5”)

Parte 2

gl=n-1 tcalc=(media-mu)/(std/sqrt(n))

cat(“Grados de libertad=”,gl,“”) cat(“t calculado=”,tcalc,“”)

Parte 3

tc=qt(1-alfa/2,gl)

cat(“Valor critico inferior=”,-tc,“”) cat(“Valor critico superior=”,tc,“”)

Region de rechazo

cat(“Region de rechazo: t <”,-tc,“o t >”,tc,“”)

PArte 4

if(tcalc < -tc || tcalc > tc){ cat(“Se rechaza H0”) }else{ cat(“No se rechaza H0”) }

Parte 5

pvalor=2*pt(-abs(tcalc),gl)

cat(“Valor p=”,pvalor,“”)

if(pvalor<alfa){ cat(“Se rechaza H0”) }else{ cat(“No se rechaza H0”) }

PArte 6

alfa=0.10

if(pvalor<alfa){ cat(“Con alfa=0.10 se rechaza H0”) }else{ cat(“Con alfa=0.10 no se rechaza H0”) }

Prueba de una cola: pureza menor

alfa=0.05 pvalor1=pt(tcalc,gl) tc1=qt(alfa,gl)

cat(“Valor critico cola izquierda=”,tc1,“”) cat(“Valor p una cola=”,pvalor1,“”)

if(pvalor1<alfa){ cat(“Se rechaza H0: la pureza media es menor”) }else{ cat(“No se rechaza H0”) }

#Esquma # Valores criticos t1=qt(alfa/2,gl) t2=qt(1-alfa/2,gl)

Esquema de la distribucion t

curve(dt(x,gl),from=-4,to=4, main=“Distribucion t de dos colas”, xlab=“t”,ylab=“Densidad”)

abline(v=t1,col=“red”,lty=2) abline(v=t2,col=“red”,lty=2) abline(v=tcalc,col=“blue”)

#Problema 3 A=c(45.6,50.7,47.7,52.8,48.9,47.6,51.2,49.8) B=c(45.2,50.1,47.8,52.3,48.6,46.9,51.0,49.4)

PArte 1

Son muestras pareadas porque cada muestra de jugo

se divide en dos porciones y ambas se analizan

utilizando metodos diferentes.

La ventaja es que se comparan los metodos sobre

la misma muestra, reduciendo la variabilidad entre muestras.

d=A-B

cat(“Diferencias=”,d,“”)

PArte 2

cat(“H0: mu_d = 0”) cat(“H1: mu_d != 0”)

#Parte 3 n=length(d) media=mean(d) std=sd(d) gl=n-1

tcalc=media/(std/sqrt(n))

cat(“Media de las diferencias=”,media,“”) cat(“Desviacion estandar=”,std,“”) cat(“Grados de libertad=”,gl,“”) cat(“t calculado=”,tcalc,“”)

PArte 4

alfa=0.05 tc=qt(1-alfa/2,gl)

cat(“Valor critico inferior=”,-tc,“”) cat(“Valor critico superior=”,tc,“”)

if(tcalc < -tc || tcalc > tc){ cat(“Se rechaza H0”) }else{ cat(“No se rechaza H0”) }

Parte 5

pvalor=2*pt(-abs(tcalc),gl)

cat(“Valor p=”,pvalor,“”)

#Parte 6 EE=tc*std/sqrt(n) LI=media-EE LS=media+EE

cat(“Limite inferior=”,LI,“”) cat(“Limite superior=”,LS,“”)

Comprobacion con t.test

t.test(A,B,paired=TRUE,alternative=“two.sided”, conf.level=0.95)

#Problema 4

Datos

A=c(82,85,81,84,83,83) B=c(76,80,79,75,82,82)

nA=length(A) nB=length(B)

PArte 1

Consiste en asignar aleatoriamente las 12 corridas

entre los dos catalizadores, 6 para cada uno.

Se puede utilizar un generador de numeros aleatorios

para determinar el orden de las corridas.

Esto evita que factores como el desgaste del reactor

o los cambios de temperatura favorezcan a un catalizador.

cat(“Se asignan 6 corridas al azar a cada catalizador”)

Inciso 2: Hipotesis

cat(“H0: muA = muB”) cat(“H1: muA != muB”)

Parte 2

varA=var(A) varB=var(B)

cat(“Varianza A=”,varA,“”) cat(“Varianza B=”,varB,“”)

#PArte 3 if(varA>varB){ Fcalc=varA/varB gl1=nA-1 gl2=nB-1 }else{ Fcalc=varB/varA gl1=nB-1 gl2=nA-1 }

cat(“F calculado=”,Fcalc,“”) cat(“Grados de libertad numerador=”,gl1,“”) cat(“Grados de libertad denominador=”,gl2,“”)

alfa=0.05

F1=qf(alfa/2,gl1,gl2) F2=qf(1-alfa/2,gl1,gl2)

cat(“F inferior=”,F1,“”) cat(“F superior=”,F2,“”)

Valor p de dos colas

pF=2*pf(Fcalc,gl1,gl2,lower.tail=FALSE)

cat(“Valor p prueba F=”,pF,“”)

if(Fcalc<F1 || Fcalc>F2){ cat(“Se rechaza H0: varianzas diferentes”) }else{ cat(“No se rechaza H0: varianzas iguales”) }

#Partee 4 mediaA=mean(A) mediaB=mean(B)

sp2=((nA-1)varA+(nB-1)varB)/(nA+nB-2) sp=sqrt(sp2)

gl=nA+nB-2

tcalc=(mediaA-mediaB)/(sp*sqrt(1/nA+1/nB))

cat(“Media A=”,mediaA,“”) cat(“Media B=”,mediaB,“”) cat(“Varianza combinada=”,sp2,“”) cat(“t calculado=”,tcalc,“”) cat(“Grados de libertad=”,gl,“”)

PArte 5

tc=qt(1-alfa/2,gl)

cat(“Valor critico inferior=”,-tc,“”) cat(“Valor critico superior=”,tc,“”)

if(tcalc < -tc || tcalc > tc){ cat(“Se rechaza H0”) }else{ cat(“No se rechaza H0”) }

PArte 6

EE=tcspsqrt(1/nA+1/nB)

LI=(mediaA-mediaB)-EE LS=(mediaA-mediaB)+EE

cat(“Limite inferior=”,LI,“”) cat(“Limite superior=”,LS,“”)

Comprobacion con t.test

t.test(A,B,var.equal=TRUE, alternative=“two.sided”, conf.level=0.95)

#Problema 5

Datos

mu0=500 sigma=4 n=16 alfa=0.05

#Parte 1 y 2 #Error tipo I: Rechazar H0 cuando es verdadera. En este caso se concluye que la maquina llena menos de 500ml #Error de tipo II: No rechazar cuando H0 es falsa. En este caso no detectar que la maquina llena menos de 500ml. #El error de tipo 2 es mas costoso porque el consumidor recibe menos solucion salina de la cantidad indicada. #Se utiliza Z porque la desviacion estandar poblacional es conocida. # Error estandar EE=sigma/sqrt(n)

Valor critico Z

Zc=qnorm(alfa)

Valor critico de la media

Xc=mu0+Zc*EE

cat(“Error estandar =”,EE,“”) cat(“Z critico =”,Zc,“”) cat(“Media critica =”,Xc,“mL”)

Parte 3

mu1=497

Z1=(Xc-mu1)/EE beta1=1-pnorm(Z1) potencia1=1-beta1

cat(“mu=497 mL”) cat(“Z =”,Z1,“”) cat(“Beta =”,beta1,“”) cat(“Potencia =”,potencia1,“”)

Parte 4

mu2=499

Z2=(Xc-mu2)/EE beta2=1-pnorm(Z2) potencia2=1-beta2

cat(“mu=499 mL”) cat(“Z =”,Z2,“”) cat(“Beta =”,beta2,“”) cat(“Potencia =”,potencia2,“”)

Parte 5

mu3=498 potencia=0.90

Zpot=qnorm(potencia)

ncalc=(sigma*(abs(Zc)+Zpot)/(mu0-mu3))^2

nfinal=ceiling(ncalc)

cat(“de muestra”) cat(“n calculado =”,ncalc,“”) cat(“n necesario =”,nfinal,“”)

Verificar potencia con n=35

EE2=sigma/sqrt(nfinal) Xc2=mu0+Zc*EE2

Z3=(Xc2-mu3)/EE2 potencia3=pnorm(Z3)

cat(“Potencia con n=35 =”,potencia3,“”)