Parcial uno
Dileika C.
2026-11-13
R Markdown
title: “Examen de Estadística: Inferencia y Pruebas de Hipótesis” author: Dileika Concepción date: “13 de noviembre de 2026” output: html_document: toc: true toc_depth: 3 number_sections: true —
Problema 1. Estimación puntual y por intervalo
1.1 Inferencia estadística
La inferencia estadística permite obtener conclusiones sobre una población utilizando una muestra.
- Población: todas las determinaciones posibles de cobre en el agua residual.
- Muestra: las 10 determinaciones realizadas.
- Parámetros: media poblacional (μ) y varianza poblacional (σ²).
1.2 Datos y estimaciones puntuales
cobre <- c(4.8, 5.2, 5.0, 4.9, 5.3,
5.1, 4.7, 5.0, 5.2, 4.8)
n1 <- length(cobre)
media1 <- mean(cobre)
varianza1 <- var(cobre)
desviacion1 <- sd(cobre)
cat("Tamaño de muestra:", n1, "\n")## Tamaño de muestra: 10cat("Media muestral:", media1, "mg/L\n")## Media muestral: 5 mg/Lcat("Varianza muestral:", varianza1, "\n")## Varianza muestral: 0.04Un estadístico es una función calculada con los datos muestrales. Un estimador puntual es el estadístico utilizado para estimar un parámetro poblacional.
La estimación puntual proporciona un valor único y la estimación por intervalo proporciona un rango de valores posibles.
1.3 Grados de libertad
\[ gl=n-1=10-1=9 \]
gl1 <- n1 - 1
gl1## [1] 9Se utilizan 9 grados de libertad porque se estima la media muestral.
1.4 Intervalo de confianza del 95 % para la media
\[ IC=\bar{x}\pm t_{\alpha/2,gl}\frac{s}{\sqrt{n}} \]
tcrit1 <- qt(1-alpha/2, df=gl1)
error1 <- tcrit1 * desviacion1 / sqrt(n1)
IC_media1 <- c(
media1-error1,
media1+error1
)
cat("Valor crítico t:", tcrit1, "\n")## Valor crítico t: 2.262157cat("Margen de error:", error1, "\n")## Margen de error: 0.1430714cat("IC 95% para la media:\n")## IC 95% para la media:print(IC_media1)## [1] 4.856929 5.143071\[ IC_{95\%}=[4.8569,\ 5.1431] \]
1.5 Intervalo de confianza del 95 % para la varianza y desviación estándar
\[ IC_{\sigma^2}= \left[ \frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{0.975}}, \frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{0.025}} \right] \]
chi_inf <- qchisq(alpha/2, df=gl1)
chi_sup <- qchisq(1-alpha/2, df=gl1)
IC_varianza1 <- c(
gl1*varianza1/chi_sup,
gl1*varianza1/chi_inf
)
IC_desviacion1 <- sqrt(IC_varianza1)
cat("IC 95% para la varianza:\n")## IC 95% para la varianza:print(IC_varianza1)## [1] 0.01892469 0.13331410cat("IC 95% para la desviación estándar:\n")## IC 95% para la desviación estándar:print(IC_desviacion1)## [1] 0.137567 0.365122\[ IC_{\sigma^2}=[0.01892,\ 0.13331] \]
\[ IC_{\sigma}=[0.13757,\ 0.36512] \]
El intervalo no es simétrico porque la distribución chi-cuadrado no es simétrica.
1.6 Compatibilidad con el valor del proveedor
valor_proveedor <- 5.20
compatible1 <- (
valor_proveedor >= IC_media1[1] &&
valor_proveedor <= IC_media1[2]
)
cat("Valor indicado:", valor_proveedor, "mg/L\n")## Valor indicado: 5.2 mg/Lif(compatible1) {
cat("El valor es compatible con el intervalo.")
} else {
cat("El valor NO es compatible con el intervalo.")
}## El valor NO es compatible con el intervalo.El valor de 5.20 mg/L no pertenece al intervalo de confianza. Por tanto, no es compatible con los datos al 95 % de confianza.
El 95 % de confianza se refiere al procedimiento de construcción de intervalos en muestras repetidas.
Problema 2. Pureza de un reactivo
2.1 Hipótesis
Una hipótesis estadística es una afirmación sobre un parámetro poblacional.
\[ H_0:\mu=99.5 \]
\[ H_1:\mu\neq99.5 \]
La igualdad se establece en H₀. La hipótesis se plantea sobre μ porque se estudia la media poblacional. Es de dos colas porque se busca determinar si la pureza es mayor o menor.
2.2 Estadístico de prueba
\[ t=\frac{\bar{x}-\mu_0}{s/\sqrt{n}} \]
media2 <- 98.9
mu0_2 <- 99.5
s2 <- 1.2
n2 <- 16
gl2 <- n2-1
t2 <- (media2-mu0_2)/(s2/sqrt(n2))
cat("Grados de libertad:", gl2, "\n")## Grados de libertad: 15cat("Estadístico t:", t2, "\n")## Estadístico t: -2\[ t=-2.00 \]
Bajo H₀, el estadístico sigue una distribución t de Student con 15 grados de libertad.
2.3 Valores críticos y regiones
tcrit2 <- qt(1-alpha/2, df=gl2)
cat("Valor crítico inferior:", -tcrit2, "\n")## Valor crítico inferior: -2.13145cat("Valor crítico superior:", tcrit2, "\n")## Valor crítico superior: 2.13145\[ t_c=\pm2.1314 \]
Región de rechazo:
\[ t<-2.1314 \quad \text{o}\quad t>2.1314 \]
Región de no rechazo:
\[ -2.1314\leq t\leq2.1314 \]
curve(dt(x, df=gl2),
from=-4, to=4,
main="Prueba t de dos colas",
xlab="Valor t",
ylab="Densidad")
abline(v=c(-tcrit2,tcrit2),
col="red", lty=2, lwd=2)
abline(v=t2, col="blue", lwd=2)
legend("topright",
legend=c("Valores críticos","Estadístico calculado"),
col=c("red","blue"),
lty=c(2,1),
lwd=2)
2.4 Decisión estadística
if(abs(t2)>tcrit2) {
cat("Se rechaza H0.")
} else {
cat("No se rechaza H0.")
}## No se rechaza H0.No se rechaza H₀. No existe evidencia estadística suficiente para afirmar que la pureza media del reactivo sea diferente de 99.5 %.
2.5 Significancia observada
p2 <- 2*pt(-abs(t2), df=gl2)
cat("Valor p:", p2, "\n")## Valor p: 0.06394501\[ p=0.06395 \]
La significancia predefinida es α = 0.05 y la observada es el valor p calculado con los datos.
2.6 Cambio del nivel de significancia y prueba unilateral
alpha10 <- 0.10
cat("Con alfa = 0.10:\n")## Con alfa = 0.10:if(p2 < alpha10) {
cat("Se rechaza H0.\n")
} else {
cat("No se rechaza H0.\n")
}## Se rechaza H0.p_unilateral <- pt(t2, df=gl2)
cat("Valor p unilateral:", p_unilateral, "\n")## Valor p unilateral: 0.0319725if(p_unilateral < 0.05) {
cat("Se rechaza H0 en la prueba unilateral.\n")
} else {
cat("No se rechaza H0 en la prueba unilateral.\n")
}## Se rechaza H0 en la prueba unilateral.- Con α = 0.10 se rechaza H₀ porque 0.06395 es menor que 0.10.
- En la prueba unilateral inferior, p = 0.03197. Se rechaza H₀ al 5 %.
Problema 3. Comparación de dos métodos analíticos
3.1 Muestras pareadas
Son muestras pareadas porque cada una de las 8 muestras de jugo se divide en dos porciones y ambas se analizan con métodos diferentes.
La ventaja es que se comparan los métodos sobre el mismo material, reduciendo la variabilidad entre muestras.
3.2 Hipótesis
\[ H_0:\mu_d=0 \]
\[ H_1:\mu_d\neq0 \]
Donde:
\[ d=A-B \]
3.3 Diferencias y estadístico de prueba
\[ t=\frac{\bar d}{s_d/\sqrt n} \]
A <- c(45.6,50.7,47.7,52.8,
48.9,47.6,51.2,49.8)
B <- c(45.2,50.1,47.8,52.3,
48.6,46.9,51.0,49.4)
d <- A-B
n3 <- length(d)
gl3 <- n3-1
media_d <- mean(d)
sd_d <- sd(d)
t3 <- media_d/(sd_d/sqrt(n3))
cat("Diferencias:\n")## Diferencias:print(d)## [1] 0.4 0.6 -0.1 0.5 0.3 0.7 0.2 0.4cat("Media de diferencias:", media_d, "\n")## Media de diferencias: 0.375cat("Desviación estándar:", sd_d, "\n")## Desviación estándar: 0.2492847cat("Grados de libertad:", gl3, "\n")## Grados de libertad: 7cat("Estadístico t:", t3, "\n")## Estadístico t: 4.254815\[ \bar d=0.375 \]
\[ s_d=0.2493 \]
\[ t=4.2548 \]
\[ gl=7 \]
3.4 Región de rechazo y decisión
tcrit3 <- qt(1-alpha/2, df=gl3)
cat("Valor crítico inferior:", -tcrit3, "\n")## Valor crítico inferior: -2.364624cat("Valor crítico superior:", tcrit3, "\n")## Valor crítico superior: 2.364624if(abs(t3)>tcrit3) {
cat("Se rechaza H0.\n")
} else {
cat("No se rechaza H0.\n")
}## Se rechaza H0.\[ t_c=\pm2.3646 \]
Se rechaza H₀ porque 4.2548 es mayor que 2.3646.
Existe evidencia estadística suficiente para afirmar que los dos métodos producen resultados medios diferentes. El método A presenta resultados medios mayores que el método B.
3.5 Significancia observada
p3 <- 2*pt(-abs(t3), df=gl3)
cat("Valor p:", p3, "\n")## Valor p: 0.003770644\[ p\approx0.00377 \]
Usando la tabla t:
\[ 0.002<p<0.005 \]
3.6 Intervalo de confianza del 95 %
error3 <- tcrit3*sd_d/sqrt(n3)
IC3 <- c(
media_d-error3,
media_d+error3
)
cat("IC 95% para la diferencia media:\n")## IC 95% para la diferencia media:print(IC3)## [1] 0.1665928 0.5834072\[ IC_{95\%}=[0.1666,\ 0.5834] \]
El intervalo no contiene cero, por lo que es coherente con el rechazo de H₀.
Problema 4. Rendimiento de dos catalizadores
4.1 Orden completamente al azar
Significa que las 12 corridas se asignan aleatoriamente a los dos catalizadores, sin seguir un orden sistemático.
set.seed(123)
asignacion <- sample(
rep(c("A","B"), each=6)
)
print(asignacion)## [1] "A" "B" "B" "A" "A" "B" "A" "A" "B" "B" "A" "B"Este procedimiento evita que factores como el desgaste del reactor o los cambios de temperatura se confundan con el efecto del catalizador.
4.2 Hipótesis para comparar medias
\[ H_0:\mu_A=\mu_B \]
\[ H_1:\mu_A\neq\mu_B \]
4.3 Prueba F de igualdad de varianzas
a. Hipótesis
\[ H_0:\sigma_A^2=\sigma_B^2 \]
\[ H_1:\sigma_A^2\neq\sigma_B^2 \]
b. Varianzas y estadístico F
cat_A <- c(82,85,81,84,83,83)
cat_B <- c(76,80,79,75,82,82)
nA <- length(cat_A)
nB <- length(cat_B)
mediaA <- mean(cat_A)
mediaB <- mean(cat_B)
varA <- var(cat_A)
varB <- var(cat_B)
F4 <- max(varA,varB)/min(varA,varB)
if(varA > varB) {
gl_num <- nA-1
gl_den <- nB-1
} else {
gl_num <- nB-1
gl_den <- nA-1
}
cat("Media A:", mediaA, "\n")## Media A: 83cat("Media B:", mediaB, "\n")## Media B: 79cat("Varianza A:", varA, "\n")## Varianza A: 2cat("Varianza B:", varB, "\n")## Varianza B: 8.8cat("Estadístico F:", F4, "\n")## Estadístico F: 4.4cat("GL numerador:", gl_num, "\n")## GL numerador: 5cat("GL denominador:", gl_den, "\n")## GL denominador: 5\[ s_A^2=2 \]
\[ s_B^2=8.8 \]
\[ F=4.4 \]
\[ gl_1=5,\quad gl_2=5 \]
c. Valores críticos y decisión
F_inf <- qf(alpha/2, gl_num, gl_den)
F_sup <- qf(1-alpha/2, gl_num, gl_den)
cat("F inferior:", F_inf, "\n")## F inferior: 0.139931cat("F superior:", F_sup, "\n")## F superior: 7.146382if(F4 < F_inf || F4 > F_sup) {
cat("Se rechaza H0: las varianzas son diferentes.\n")
} else {
cat("No se rechaza H0: no hay evidencia suficiente de varianzas diferentes.\n")
}## No se rechaza H0: no hay evidencia suficiente de varianzas diferentes.\[ F_{\text{inf}}=0.1399 \]
\[ F_{\text{sup}}=7.1464 \]
Como 4.4 está entre ambos valores críticos, no se rechaza H₀.
d. Significancia observada
pF <- 2*pf(F4, gl_num, gl_den,
lower.tail=FALSE)
cat("Valor p:", pF, "\n")## Valor p: 0.1297036\[ p\approx0.1297 \]
Como p es mayor que 0.05, no se rechaza la igualdad de varianzas.
Se utiliza la prueba t de dos muestras independientes suponiendo varianzas iguales.
4.4 Prueba t de dos medias independientes
\[ s_p^2= \frac{(n_A-1)s_A^2+(n_B-1)s_B^2} {n_A+n_B-2} \]
sp2 <- (
(nA-1)*varA+(nB-1)*varB
)/(nA+nB-2)
gl4 <- nA+nB-2
t4 <- (mediaA-mediaB)/
sqrt(sp2*(1/nA+1/nB))
cat("Media A:", mediaA, "\n")## Media A: 83cat("Media B:", mediaB, "\n")## Media B: 79cat("Varianza combinada:", sp2, "\n")## Varianza combinada: 5.4cat("Estadístico t:", t4, "\n")## Estadístico t: 2.981424cat("Grados de libertad:", gl4, "\n")## Grados de libertad: 10\[ \bar{x}_A=83 \]
\[ \bar{x}_B=79 \]
\[ s_p^2=5.4 \]
\[ t=2.9814 \]
\[ gl=10 \]
4.5 Región de rechazo y conclusión
tcrit4 <- qt(1-alpha/2, df=gl4)
cat("Valor crítico inferior:", -tcrit4, "\n")## Valor crítico inferior: -2.228139cat("Valor crítico superior:", tcrit4, "\n")## Valor crítico superior: 2.228139if(abs(t4)>tcrit4) {
cat("Se rechaza H0.\n")
} else {
cat("No se rechaza H0.\n")
}## Se rechaza H0.\[ t_c=\pm2.2281 \]
Se rechaza H₀ porque 2.9814 es mayor que 2.2281.
Existe evidencia estadística suficiente para afirmar que los rendimientos medios de los dos catalizadores son diferentes. El catalizador A presenta mayor rendimiento medio.
4.6 Intervalo de confianza del 95 % para la diferencia de medias
error4 <- tcrit4*sqrt(sp2*(1/nA+1/nB))
IC4 <- c(
(mediaA-mediaB)-error4,
(mediaA-mediaB)+error4
)
cat("IC 95% para muA - muB:\n")## IC 95% para muA - muB:print(IC4)## [1] 1.010638 6.989362\[ IC_{95\%}=[1.0106,\ 6.9894] \]
El rendimiento medio del catalizador A supera al del catalizador B entre aproximadamente 1.01 y 6.99 puntos porcentuales.
Problema 5. Errores tipo I y II y potencia
5.1 Errores tipo I y II
- Error tipo I: rechazar H₀ cuando es verdadera. En este problema, concluir que la máquina no cumple con el volumen nominal cuando realmente sí cumple.
- Error tipo II: no rechazar H₀ cuando es falsa. En este problema, no detectar que la máquina llena por debajo de 500 mL.
El error tipo II es más costoso para el consumidor porque no se detectaría el llenado deficiente. El error tipo I puede ocasionar inspecciones o ajustes innecesarios para la empresa.
5.2 Distribución normal y valor crítico
Se utiliza Z porque la desviación estándar poblacional es conocida.
\[ H_0:\mu=500 \]
\[ H_1:\mu<500 \]
\[ Z=\frac{\bar{x}-\mu_0}{\sigma/\sqrt n} \]
sigma5 <- 4
n5 <- 16
mu0_5 <- 500
zcrit <- qnorm(alpha)
error5 <- sigma5/sqrt(n5)
xcrit <- mu0_5+zcrit*error5
cat("Valor crítico Z:", zcrit, "\n")## Valor crítico Z: -1.644854cat("Error estándar:", error5, "\n")## Error estándar: 1cat("Valor crítico de la media:", xcrit, "\n")## Valor crítico de la media: 498.3551\[ Z_c=-1.6449 \]
\[ \bar{x}_c=498.3551 \]
Región de rechazo:
\[ \bar{x}<498.3551 \]
Región de no rechazo:
\[ \bar{x}\geq498.3551 \]
5.3 Error tipo II y potencia cuando μ = 497
\[ \beta=P(\bar{x}\geq\bar{x}_c\mid\mu=497) \]
\[ Potencia=1-\beta \]
mu497 <- 497
beta497 <- 1-pnorm(
(xcrit-mu497)/error5
)
potencia497 <- 1-beta497
cat("Beta cuando mu = 497:", beta497, "\n")## Beta cuando mu = 497: 0.08768546cat("Potencia cuando mu = 497:", potencia497, "\n")## Potencia cuando mu = 497: 0.9123145\[ \beta\approx0.08769 \]
\[ Potencia\approx0.91231 \]
5.4 Error tipo II y potencia cuando μ = 499
mu499 <- 499
beta499 <- 1-pnorm(
(xcrit-mu499)/error5
)
potencia499 <- 1-beta499
cat("Beta cuando mu = 499:", beta499, "\n")## Beta cuando mu = 499: 0.740489cat("Potencia cuando mu = 499:", potencia499, "\n")## Potencia cuando mu = 499: 0.259511\[ \beta\approx0.74049 \]
\[ Potencia\approx0.25951 \]
comparacion <- data.frame(
Media_real=c(497,499),
Error_tipo_II=c(beta497,beta499),
Potencia=c(potencia497,potencia499)
)
print(comparacion)## Media_real Error_tipo_II Potencia
## 1 497 0.08768546 0.9123145
## 2 499 0.74048898 0.2595110La potencia es mayor cuando μ = 497 porque está más alejada del valor establecido en H₀. Cuando μ = 499 es más difícil detectar el incumplimiento.
5.5 Tamaño de muestra para una potencia de 0.90
\[ n= \left[ \frac{\sigma(Z_{1-\alpha}+Z_{1-\beta})} {\mu_0-\mu_1} \right]^2 \]
mu1 <- 498
potencia_objetivo <- 0.90
z_alpha <- qnorm(1-alpha)
z_beta <- qnorm(potencia_objetivo)
n_calculado <- (
sigma5*(z_alpha+z_beta)/
(mu0_5-mu1)
)^2
n_final <- ceiling(n_calculado)
cat("Tamaño de muestra calculado:", n_calculado, "\n")## Tamaño de muestra calculado: 34.25539cat("Tamaño de muestra requerido:", n_final, "\n")## Tamaño de muestra requerido: 35\[ n=34.2554 \]
\[ \boxed{n=35} \]
Otras dos formas de aumentar la potencia:
- Aumentar el tamaño de la muestra, lo que requiere más tiempo y recursos.
- Aumentar el nivel de significancia α, lo que incrementa el riesgo de cometer error tipo I.