ESTADÍSTICA INFERENCIAL
· Estimación · Intervalos de confianza · Pruebas de hipótesis
Karol Zambrano karol.zambrano@usco.edu.co
13/11/2026
stats
1 Presentación y propósito del curso
La estadística inferencial reúne métodos que permiten obtener conclusiones sobre una población a partir de información recogida en una muestra. Sus dos grandes tareas son: (i) estimar parámetros desconocidos y cuantificar la incertidumbre de esas estimaciones; y (ii) evaluar afirmaciones o hipótesis sobre la población.
El curso se desarrolla en el orden siguiente:
- Estimación de parámetros y muestreo: población, muestra, fórmula generalizada de tamaño muestral, tipos de selección, parámetros, estadísticos, estimadores, estimación puntual, propiedades y máxima verosimilitud.
- Intervalos de confianza: interpretación, nivel de confianza, error estándar, margen de error e intervalos para una media, diferencia de medias, proporción y diferencia de proporciones.
- Pruebas de hipótesis: formulación de hipótesis, contrastes unilaterales y bilaterales, pruebas para medias y proporciones, errores, potencia y procedimientos paramétricos y no paramétricos.
1.1 Organización curricular y origen del material
La organización corresponde al microdiseño aportado de Inferencia Estadística (Especialización en Estadística, documento curricular de 2019):
Unidad 1: Estimación, 8 horas presenciales;
Unidad 2: Intervalos, 12 horas;
Unidad 3: Pruebas de hipótesis, 16 horas,
más trabajo independiente.
| Unidad | Presencial | Independiente | Evaluación orientativa del microdiseño |
|---|---|---|---|
| 1. Estimación de parámetros | 8 h | 24 h | 30 % |
| 2. Intervalos de confianza | 12 h | 36 h | 35 % |
| 3. Pruebas de hipótesis | 16 h | 48 h | 35 % |
1.2 Resultados de aprendizaje
Al finalizar, el estudiante estará en capacidad de:
- Diferenciar población, muestra, parámetro, estadístico, estimador y estimación.
- Reconocer las propiedades de los estimadores y comparar métodos de estimación.
- Calcular e interpretar estimaciones puntuales e intervalos de confianza.
- Seleccionar distribuciones y procedimientos de inferencia de acuerdo con el diseño y los supuestos.
- Formular hipótesis nula y alternativa, elegir una prueba, calcular el estadístico y el valor p, y comunicar una conclusión contextualizada.
- Resolver problemas manualmente y reproducirlos en R.
1.3 Convenciones de notación
| Símbolo | Significado |
|---|---|
| \(N\) | Tamaño de la población finita |
| \(n\) | Tamaño de la muestra |
| \(X_i\), \(x_i\) | Variable aleatoria y valor observado de la unidad \(i\) |
| \(\mu\) | Media poblacional |
| \(\sigma\), \(\sigma^2\) | Desviación estándar y varianza poblacionales |
| \(\bar X\), \(\bar x\) | Media muestral como variable aleatoria y como valor observado |
| \(p\) | Proporción poblacional |
| \(\hat p\) | Proporción muestral |
| \(s\), \(s^2\) | Desviación estándar y varianza muestrales |
| \(\alpha\) | Nivel de significancia |
| \(\beta\) | Probabilidad de error tipo II |
| \(1-\beta\) | Potencia de una prueba |
| \(SE\) | Error estándar de un estimador |
| \(z_q\), \(t_{q,\nu}\) | Cuantiles de las distribuciones normal estándar y t de Student |
1.4 Infografía 1. De la población a la inferencia
Esquema original: la muestra aleatoria aporta estimadores que informan sobre parámetros desconocidos.
2 Unidad 1. Estimación de parámetros
2.1 1.1. Conceptualización: población, muestra, tamaño muestral, parámetro y estadístico
2.1.1 Población
Es el conjunto completo de unidades, individuos, objetos o mediciones sobre los cuales se desea estudiar una característica. La población debe delimitarse en términos de contenido, espacio y tiempo.
Ejemplo: todos los estudiantes matriculados en una universidad durante el segundo semestre de 2026.
2.1.2 Población objetivo y población de estudio
- Población objetivo: conjunto al que se desea generalizar los resultados.
- Población de estudio: conjunto al que efectivamente se tiene acceso para seleccionar la muestra.
Estas poblaciones pueden diferir. Si no coinciden, debe explicitarse el alcance de la generalización.
2.1.3 Muestra
Es el subconjunto de unidades de la población que se observa para obtener información. Una muestra probabilística se selecciona mediante un mecanismo aleatorio con probabilidades de inclusión conocidas y positivas.
El tamaño de la muestra se representa por \(n\). El tamaño de una población finita se representa por \(N\).
2.1.4 ¿Cómo calcular el tamaño de la muestra? Fórmula general para proporciones
Definición. El cálculo del tamaño muestral permite planificar cuántas unidades deben seleccionarse para estimar una proporción poblacional con un margen de error esperado. La fórmula clásica se deriva del error estándar de una proporción bajo muestreo aleatorio simple sin reemplazo, usando una aproximación normal.
Caso 1: población grande o corrección finita despreciable.
\[ \boxed{n_0=\frac{Z_{1-\alpha/2}^2\,p(1-p)}{e^2}} \]
Caso 2: población finita conocida. Fórmula generalizada habitual.
\[ \boxed{n=\frac{N\,Z_{1-\alpha/2}^2\,p\,q}{e^2(N-1)+Z_{1-\alpha/2}^2\,p\,q}},\qquad q=1-p. \]
Forma equivalente, cuando ya se calculó \(n_0\):
\[ n=\frac{N n_0}{N-1+n_0}=\frac{n_0}{1+(n_0-1)/N}. \]
| Símbolo | Definición | Ejemplo |
|---|---|---|
| \(N\) | Tamaño de la población objetivo accesible en el marco muestral | 1.200 hogares |
| \(n\), \(n_0\) | Tamaño de muestra ajustado y tamaño preliminar sin corrección finita | Número de encuestas |
| \(Z_{1-\alpha/2}\) | Cuantil normal para confianza bilateral \(1-\alpha\) | \(Z_{0.975}=1.96\) al 95 % |
| \(p\) | Proporción esperada del atributo (de estudio previo o piloto) | 0.60 |
| \(q=1-p\) | Complemento de \(p\) | 0.40 |
| \(e\) | Margen de error absoluto deseado, en escala de proporciones | 0.05 (±5 puntos porcentuales) |
| \(\alpha\) | Nivel de significancia ligado al nivel de confianza | 0.05 |
¿Por qué aparece \(p(1-p)\)? Porque una variable dicotómica codificada como 0/1 tiene varianza \(p(1-p)\). Su error estándar aproximado bajo muestreo aleatorio simple es \(\sqrt{p(1-p)/n}\); al exigir \(Z\times EE\leq e\) y despejar \(n\) se obtiene \(n_0\). Si no hay información previa sobre \(p\), usar \(p=0.5\) da el tamaño conservador más grande porque maximiza \(p(1-p)=0.25\).
p (Probabilidad de éxito): Es la proporcion estimada de la poblacion que presenta la caracteristica que estas estudiando. Si tienes datos de estudios previos o una prueba piloto, usas ese porcentaje expresado en decimal (por ejemplo, \(0.30\) para \(30\%\)). Si no tienes ninguna información previa, por regla general en estadística se asume un valor de \(0.50\) (\(50\%\)), ya que esto representa la máxima incertidumbre y garantiza el tamaño de muestra más seguro y conservador.
q (Probabilidad de fracaso): Es la probabilidad de que el evento no ocurra y se calcula con la fOrmula \(q = 1 - p\). Si asumiste que no tenIas información previa y usaste \(p = 0.50\), entonces tu valor de \(q\) tambien sería \(0.50\) (\(1 - 0.50 = 0.50\)).
Z (Nivel de confianza): Es un valor estadistico que como investigador eliges según el grado de certeza que desees para tu estudio. Este numero se extrae de la tabla de distribución normal (ubicada en la parte superior de la imagen). El estandar más común en la investigaciCón académica es un nivel de certeza del \(95\%\), al cual le corresponde un valor \(Z\) de \(1.96\).
e (Error de estimacion maximo aceptado): Es el margen de error que estC!s dispuesto a tolerar en tus resultados (por ejemplo, decir “el resultado tiene un margen de error de \(\pm 5\%\)”). Lo defines: dependiendo de la precisiCon que requiera el estudio. Se debe ingresar en la formula como un nC:mero decimal. El estC!ndar mC!s utilizado es un error del \(5\%\), que en la formula se ingresara como \(0.05\).
2.1.5 Ejemplo Practico: Facultad de Ciencias Exactas (USCO)
Imagina que quieres realizar una encuesta a los estudiantes de la Facultad de Ciencias Exactas y Naturales de la Universidad Surcolombiana (USCO). Según datos públicos, esta facultad cuenta con 658 estudiantes matriculados.
Queremos calcular la muestra con un nivel de confianza del \(95\%\), un margen de error del \(5\%\) y asumiendo que no tenemos estudios previos (\(50\%\) de probabilidad).
1. Definimos las variables: * \(N = 658\) (Total de estudiantes de la facultad) * \(Z = 1.96\) (Nivel de confianza del \(95\%\)) * \(p = 0.50\) (Probabilidad de C)xito) * \(q = 0.50\) (Probabilidad de fracaso) * \(e = 0.05\) (Margen de error del \(5\%\))
2. Aplicamos la fórmula para poblaciones finitas:
\[n = \frac{N \cdot Z^2 \cdot p \cdot q}{e^2 \cdot (N - 1) + Z^2 \cdot p \cdot q}\]
3. Resolvemos paso a paso:
Definimos el valor \(Z\): \(1.96^2 = 3.8416\)
\[n = \frac{658 \cdot 3.8416 \cdot 0.50 \cdot 0.50}{0.05^2 \cdot (658 - 1) + 3.8416 \cdot 0.50 \cdot 0.50} = \frac{631.9432}{1.6425 + 0.9604} = \frac{631.9432}{2.6029} \approx 242.78 \Rightarrow \fbox{243 estudiantes}\]
4. Resultado Final:
\[n = \frac{631.9432}{2.6029} \approx 242.78\]
Conclusion: Para que tu estudio tenga un nivel de confianza del \(95\%\) y un margen de error del \(5\%\), necesitas aplicar tu instrumento de recolecciC3n de datos a una muestra de 243 estudiantes de la Facultad de Ciencias Exactas y Naturales.
# ==========================================
# MODIFICA TUS VARIABLES AQUÍ
# ==========================================
N <- 658 # Tamaño de la población (ej. estudiantes Fac. Ciencias Exactas USCO)
Z <- 1.96 # Nivel de confianza (1.96 corresponde a un 95% de certeza)
p <- 0.50 # Probabilidad de éxito (0.50 maximiza la muestra si no hay estudios previos)
e <- 0.05 # Error de estimación máximo aceptado (0.05 corresponde a un 5%)
# ==========================================
# Probabilidad de fracaso
q <- 1 - p
# Cálculo directo exacto y redondeo
muestra <- (N * Z^2 * p * q) / ((e^2) * (N - 1) + (Z^2) * p * q)
muestra_redondeada <- ceiling(muestra)
muestra#> [1] 242.784#> [1] 2432.1.5.1 Problema contextualizado: ¿cuántos hogares encuestar?
La alcaldía estudia la proporción de hogares que separan residuos en un municipio de \(N=1.200\) hogares. En un piloto real didáctico de 20 respuestas, 12 respondieron «sí» y 8 «no»; desea 95 % de confianza y margen absoluto de error de 5 puntos porcentuales. Calcule el tamaño con población grande y el tamaño corregido para la población finita. Nota: un piloto de 20 hogares ofrece una estimación inicial inestable de \(p\); el tamaño definitivo debe justificarse con la información disponible.
Datos del piloto (0 = no, 1 = sí):
\[ y=(1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0). \]
Solución manual, paso a paso:
- La proporción piloto es \(\hat p=12/20=0.60\) y \(\hat q=0.40\).
- Se fija \(Z_{0.975}=1.96\), \(e=0.05\) y \(N=1200\).
- Tamaño preliminar: \(n_0=1.96^2(0.60)(0.40)/0.05^2=368.7936\Rightarrow\lceil n_0\rceil=369\).
- Corrección finita: \(n=1200(368.7936)/(1199+368.7936)=282.2772\).
- Resultado: tomar al menos 283 respuestas completas (redondeo siempre hacia arriba).
- Si se prevé una tasa de respuesta del 90 %, invitar al menos \(\lceil 283/0.90\rceil=315\) hogares, asumiendo que la falta de respuesta no introduce sesgo adicional.
Resolución del mismo problema en R:
piloto_reciclaje <- c(rep(1, 12), rep(0, 8))
N_hogares <- 1200
p_piloto <- mean(piloto_reciclaje)
q_piloto <- 1 - p_piloto
Z <- qnorm(0.975)
e <- 0.05
n0 <- Z^2 * p_piloto * q_piloto / e^2
n_finito <- N_hogares * n0 / (N_hogares - 1 + n0)
n_respuestas <- ceiling(n_finito)
n_invitaciones <- ceiling(n_respuestas / 0.90)
data.frame(N = N_hogares, p_piloto, n0, n_finito,
respuestas_completas = n_respuestas,
invitaciones = n_invitaciones)#> N p_piloto n0 n_finito respuestas_completas invitaciones
#> 1 1200 0.6 368.78 282.269 283 315Interpretación: los 283 hogares no son los mismos que los 20 del piloto; ese último conjunto únicamente se usa para planear la encuesta. El margen teórico depende de la selección probabilística, del modelo y de la ausencia de sesgo sustancial por no respuesta.
Ejercicios propuestos (resolver a mano y verificar en R):
- Una institución tiene \(N=2.000\) usuarios. Para estimar la satisfacción use 95 % de confianza, \(e=0.04\) y \(p=0.5\). Halle \(n_0\) y \(n\); explique el redondeo.
- Repita el problema de reciclaje con \(p=0.5\) y compare los resultados: ¿por qué es la opción conservadora?
- Si una encuesta necesita 283 respuestas y se espera 80 % de respuesta, ¿cuántas unidades debe contactar? Diferencie no respuesta de error aleatorio.
2.1.6 Tamaño de muestra para estimar una media: otra fórmula, otro parámetro
Si la variable es cuantitativa (por ejemplo, consumo mensual de agua en metros cúbicos), se busca la media \(\mu\) y se necesita una estimación de la desviación estándar \(s_{\mathrm{piloto}}\).
\[ \boxed{n_0=\frac{Z_{1-\alpha/2}^2s_{\mathrm{piloto}}^2}{e^2}},\qquad \boxed{n=\frac{N n_0}{N-1+n_0}}. \]
Variables: \(s_{\mathrm{piloto}}\) es la desviación estándar muestral del piloto; \(s_{\mathrm{piloto}}^2\) es la varianza piloto; \(e\) es el error en unidades de la variable (no un porcentaje); \(N\) y \(Z\) se interpretan como antes. Esta planificación utiliza una aproximación normal; con muestras finales pequeñas y \(\sigma\) desconocida, se puede iterar con cuantiles \(t\).
2.1.6.1 Problema: estimar el consumo de agua en 500 viviendas
Se registra el consumo mensual (m³) de cinco viviendas piloto: \(28,34,40,46,52\). La empresa desea estimar la media de \(N=500\) viviendas con 95 % de confianza y margen de error máximo de 2.5 m³.
Solución manual:
\[ \bar x=\frac{28+34+40+46+52}{5}=40, \quad s^2=\frac{(-12)^2+(-6)^2+0^2+6^2+12^2}{5-1} =\frac{360}{4}=90. \]
\[ n_0=\frac{1.96^2(90)}{2.5^2}=55.3190\Rightarrow56, \quad n=\frac{500(55.3190)}{499+55.3190}=49.8982\Rightarrow\boxed{50\ \text{viviendas}}. \]
Mismo ejercicio en R:
piloto_agua <- c(28, 34, 40, 46, 52)
N_viviendas <- 500
error_m3 <- 2.5
var_piloto <- var(piloto_agua)
n0_media <- qnorm(0.975)^2 * var_piloto / error_m3^2
n_media <- N_viviendas * n0_media / (N_viviendas - 1 + n0_media)
data.frame(media_piloto = mean(piloto_agua), var_piloto,
sd_piloto = sd(piloto_agua), n0_media, n_media,
muestra_requerida = ceiling(n_media))#> media_piloto var_piloto sd_piloto n0_media n_media muestra_requerida
#> 1 40 90 9.48683 55.317 49.8965 50Ejercicios propuestos: calcule \(n\) para el mismo piloto con \(e=2\) m³; con \(N=5.000\) viviendas; y explique por qué no se debe usar \(p(1-p)\) para datos continuos.
2.1.7 Ajustes y límites: diseño complejo, pérdidas y población real
Cuando hay conglomerados o se requieren diseños más complejos, el tamaño de muestra depende también del efecto de diseño \(DEFF\) y de la tasa de respuesta esperada \(r\). Una aproximación práctica de planificación es:
\[ n_{\mathrm{ajustado}}\approx\left\lceil\frac{DEFF\,n_{\mathrm{base}}}{r}\right\rceil, \]
siendo \(n_{\mathrm{base}}\) la muestra calculada para muestreo aleatorio simple antes de ajustes, y \(r\in(0,1]\). En diseños finitos complejos la corrección finita y el efecto de diseño pueden requerir cálculo específico; no es una fórmula universal exacta. El \(DEFF\) puede ser mayor o menor que 1 según el diseño; ignorar la conglomeración tiende a subestimar la incertidumbre.
Precauciones importantes: un tamaño adecuado no repara cobertura deficiente, respuestas falseadas o sesgo de autoselección; si la variable es un evento muy raro pueden necesitarse fórmulas/modelos específicos; si el fin es contrastar hipótesis se requiere también considerar potencia y diferencia mínima relevante.**
2.1.8 Parámetro
Es una cantidad numérica fija —aunque generalmente desconocida— que describe una característica de la población. Algunos parámetros frecuentes son:
- Media poblacional: \(\mu=E(X)\).
- Varianza poblacional: \(\sigma^2=E[(X-\mu)^2]\).
- Desviación estándar poblacional: \(\sigma=\sqrt{\sigma^2}\).
- Proporción poblacional: \(p=P(\text{éxito})\).
- Diferencia de medias: \(\mu_1-\mu_2\).
- Diferencia de proporciones: \(p_1-p_2\).
2.1.9 Estadístico
Es cualquier función de los datos muestrales que no depende de parámetros desconocidos. Antes de observar la muestra, es una variable aleatoria; después de observarla, toma un valor concreto.
Ejemplos:
\[ \bar X=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i,\qquad S^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar X)^2,\qquad \hat p=\frac{X}{n}. \]
2.1.10 Estimador y estimación
- Estimador: regla o estadístico utilizado para aproximar un parámetro. Se representa habitualmente con un símbolo con sombrero, por ejemplo \(\hat\theta\).
- Estimación: valor numérico que resulta al aplicar el estimador a una muestra observada.
Por tanto, \(\bar X\) es un estimador de \(\mu\), mientras que \(\bar x=10.5\) sería una estimación concreta.
2.1.11 Diferencia esencial
| Concepto | Naturaleza | Ejemplo |
|---|---|---|
| Parámetro | Característica fija de la población | \(\mu\) |
| Estadístico | Función de la muestra | \(\bar X\) |
| Estimador | Estadístico usado para aproximar un parámetro | \(\bar X\) estima \(\mu\) |
| Estimación | Valor observado del estimador | \(\bar x=10.5\) |
2.1.12 Ejemplo teórico
Una institución desea conocer el promedio de horas semanales de estudio de sus 4.000 estudiantes. Selecciona aleatoriamente 100 estudiantes.
- Población: los 4.000 estudiantes.
- Muestra: los 100 seleccionados.
- Variable: horas de estudio por semana.
- Parámetro de interés: \(\mu\), promedio de horas de todos los estudiantes.
- Estadístico: \(\bar X\), promedio de horas de los 100 seleccionados.
- Estimación: el valor numérico de \(\bar X\) obtenido con los datos.
2.1.13 Ejemplo en R
set.seed(2026)
poblacion_horas <- rnorm(4000, mean = 12, sd = 4)
muestra_horas <- sample(poblacion_horas, size = 100)
# En esta simulación conocemos la población completa:
mean(poblacion_horas) # parámetro poblacional simulado#> [1] 11.9636#> [1] 12.3547#> [1] 4000#> [1] 100Interpretación: En una investigación real no se
conoce mean(poblacion_horas), porque no se observan todas
las unidades. En la simulación se conoce únicamente para mostrar la
diferencia entre parámetro y estimación.
2.2 1.2. Muestreo: definiciones, fórmulas, problemas y R
Muestrea es seleccionar de forma planificada un subconjunto de las unidades de una población, a partir de un marco muestral (lista o mecanismo de localización de sus unidades). El diseño de selección determina qué estimadores y errores estándar son justificables. La muestra representativa no aparece automáticamente por usar una fórmula de tamaño muestral.
2.2.1 Tabla de conceptos básicos de muestreo
| Concepto | Definición | Fórmula o notación | Relevancia |
|---|---|---|---|
| Población | Conjunto de referencia | \(U=\{1,\ldots,N\}\) | Delimita el alcance |
| Marco muestral | Lista de unidades elegibles | Identificadores \(1,\dots,N\) | Debe evitar cobertura insuficiente o duplicados |
| Muestra | Subconjunto seleccionado | \(S\subseteq U\), \(\lvert S\rvert=n\) | Permite observar variables de interés |
| Fracción muestral | Proporción de unidades seleccionadas | \(f=n/N\) | Indica cuánto de la población se observó |
| Probabilidad de inclusión | Probabilidad de seleccionar unidad \(i\) | \(\pi_i=P(i\in S)\) | Necesaria para ponderar inferencia por diseño |
| Peso de muestreo | Peso inverso de inclusión | \(w_i=1/\pi_i\) | Útil cuando la probabilidad varía |
| Error muestral | Variación por selección aleatoria | \(EE(\hat\theta)\) | Se cuantifica con el diseño |
| Sesgo de selección | Desajuste sistemático por el mecanismo de inclusión/no respuesta | No hay fórmula general reparadora | Puede invalidar extrapolaciones |
Caso de estudio transversal a los métodos. Un equipo estudia el gasto semanal en alimentos (miles de pesos colombianos) de 24 hogares de una localidad. Hay 3 sectores (Centro, Norte y Sur), y 6 manzanas de 4 hogares. La siguiente base es didáctica y construida expresamente para repetir exactamente los cálculos a mano y en R. La media poblacional se conoce solo para comprobar los procedimientos durante el aprendizaje.
datos_muestreo <- data.frame(
id = 1:24,
sector = c(rep("Centro", 12), rep("Norte", 8), rep("Sur", 4)),
manzana = rep(paste0("M", 1:6), each = 4),
gasto = c(42,45,47,50,49,52,54,55,53,56,58,61,
39,41,43,46,44,47,48,51,35,37,40,42)
)
knitr::kable(datos_muestreo, caption = "Base de 24 hogares: valores expresados en miles de pesos semanales")| id | sector | manzana | gasto |
|---|---|---|---|
| 1 | Centro | M1 | 42 |
| 2 | Centro | M1 | 45 |
| 3 | Centro | M1 | 47 |
| 4 | Centro | M1 | 50 |
| 5 | Centro | M2 | 49 |
| 6 | Centro | M2 | 52 |
| 7 | Centro | M2 | 54 |
| 8 | Centro | M2 | 55 |
| 9 | Centro | M3 | 53 |
| 10 | Centro | M3 | 56 |
| 11 | Centro | M3 | 58 |
| 12 | Centro | M3 | 61 |
| 13 | Norte | M4 | 39 |
| 14 | Norte | M4 | 41 |
| 15 | Norte | M4 | 43 |
| 16 | Norte | M4 | 46 |
| 17 | Norte | M5 | 44 |
| 18 | Norte | M5 | 47 |
| 19 | Norte | M5 | 48 |
| 20 | Norte | M5 | 51 |
| 21 | Sur | M6 | 35 |
| 22 | Sur | M6 | 37 |
| 23 | Sur | M6 | 40 |
| 24 | Sur | M6 | 42 |
par(mar = c(4,4,3,1), bg = "#FFFBFA")
plot(datos_muestreo$id, datos_muestreo$gasto, pch = 21, cex = 1.65,
bg = c("#70132D", "#AD536F", "#DE9AB0")[as.numeric(factor(datos_muestreo$sector,
levels = c("Centro","Norte","Sur")))], col = "white",
xlab = "Identificador del hogar", ylab = "Gasto semanal (miles COP)",
main = "Población didáctica completa (N = 24)")
abline(v = c(4.5,8.5,12.5,16.5,20.5), lty = 3, col = "#CFB9BF")
legend("topleft", legend = c("Centro","Norte","Sur"),
pt.bg = c("#70132D", "#AD536F", "#DE9AB0"), pch=21,
col = "white", bty = "n", cex = .85)
Infografía. Marco de 24 hogares agrupados en seis manzanas y tres sectores.
2.2.2 Cuadro: tipos y condiciones de muestreo
| Método | Definición | ¿Azar en la selección? | Fórmula clave | Precaución principal |
|---|---|---|---|---|
| Aleatorio simple (MAS) | Toda combinación de \(n\) unidades tiene igual probabilidad | Sí | \(\pi_i=n/N\) | Exige marco completo |
| Sistemático | Inicio aleatorio, selección cada \(k\) posiciones | Sí, con arranque aleatorio | \(k=N/n\) (si es entero) | Periodicidad en el orden |
| Estratificado | Subdividir en estratos y sortear dentro | Sí | \(n_h=nN_h/N\) | Ponderación si asignación desigual |
| Conglomerados | Sortear grupos naturales | Sí | \(\pi_g=m/M\) con grupos equiprobables | Dependencia dentro del grupo |
| Multietápico | Sortear unidades en varias etapas | Sí | \(\pi_i=\prod_j \pi_{i\mid j}\) | Cálculo de varianza más complejo |
| Conveniencia | Elegir unidades accesibles | No garantizado | No hay \(\pi_i\) conocido | Sesgo de selección |
| Cuotas | Llenar cupos sin sortear dentro | No garantizado | \(n_h\approx nN_h/N\) (solo cupo) | No equivale a estratificado |
| Intencional | Selección por criterio del investigador | No garantizado | Sin fórmula de inclusión | Interpretación contextual |
| Bola de nieve | Participantes reclutan a otros | No, en la versión habitual | Sin \(\pi_i\) conocido | Dependencia y cobertura de redes |
| Autoselección | Responden quienes desean hacerlo | No | Sin \(\pi_i\) conocido | Sesgo de respuesta |
2.2.3 1.2.1. Muestreo aleatorio simple (MAS)
Definición. Selección aleatoria sin reemplazo de \(n\) unidades de \(N\), de manera que todas las \(\binom{N}{n}\) combinaciones tengan igual probabilidad. La probabilidad de inclusión de cada hogar es \(\pi_i=n/N\). La media muestral \(\bar y\) estima la media poblacional \(\bar Y\).
\[ \pi_i=\frac{n}{N},\qquad \hat{\bar Y}_{MAS}=\bar y=\frac{1}{n}\sum_{i\in S}y_i, \quad \widehat{Var}(\bar y)=\Big(1-\frac{n}{N}\Big)\frac{s^2}{n}. \]
Variables: \(y_i\) es el gasto del hogar \(i\); \(S\) es el conjunto seleccionado; \(s^2\) es la varianza muestral (denominador \(n-1\)); \(\pi_i\) y \(n,N\) se definieron en la tabla. La fórmula de varianza es la usual para MAS sin reemplazo.
Problema contextualizado. De los 24 hogares se seleccionaron mediante sorteo 8 identificadores: \(S=\{2,5,8,11,14,17,20,23\}\). ¿Qué gasto promedio se estima? ¿Qué proporción de hogares se seleccionó?
Solución teórica: los gastos son \(45,49,55,58,41,44,51,40\); su suma es 383, y
\[ \bar y=\frac{45+49+55+58+41+44+51+40}{8}=\boxed{47.875\ \text{mil COP}},\quad f=\pi_i=\frac8{24}=\frac13. \]
Mismo ejercicio en R:
#> id sector manzana gasto
#> 2 2 Centro M1 45
#> 5 5 Centro M2 49
#> 8 8 Centro M2 55
#> 11 11 Centro M3 58
#> 14 14 Norte M4 41
#> 17 17 Norte M5 44
#> 20 20 Norte M5 51
#> 23 23 Sur M6 40#> [1] 47.875#> [1] 0.333333set.seed(2401)
ids_sorteo_nuevo <- sample(datos_muestreo$id, 8, replace = FALSE)
ids_sorteo_nuevo # nuevo MAS reproducible#> [1] 9 11 7 4 6 13 23 10Ejercicio propuesto:
Realice un MAS de 6 hogares (con set.seed(18)), estime
la media y compare con la media de los 24 hogares conocida únicamente en
este taller.
¿Una diferencia implica necesariamente sesgo del estimador?
2.2.4 1.2.2. Muestreo sistemático con inicio aleatorio
Definición. Se ordena un marco y se selecciona un inicio \(r\) al azar entre 1 y el intervalo \(k\), después se observa cada \(k\)-ésimo hogar. En su forma sencilla con \(N\) divisible entre \(n\):
\[ k=\frac{N}{n},\qquad i_j=r+(j-1)k,\qquad j=1,\ldots,n. \]
Variables:
\(k\) es el salto; \(r\) es el primer identificador sorteado; \(i_j\) es la posición seleccionada en la etapa \(j\).
Supuesto: El orden no debe presentar un patrón periódico perjudicial para el gasto; los resultados de precisión dependen del orden y del diseño del arranque.
Problema.
La interventoría visitará 6 de los 24 hogares. El salto es \(k=24/6=4\) y el sorteo dio \(r=2\). Determine los hogares y el gasto medio.
Solución teórica: posiciones \(2,6,10,14,18,22\). Gastos \(45,52,56,41,47,37\):
\[ \bar y_{sis}=\frac{45+52+56+41+47+37}{6}=\frac{278}{6}=\boxed{46.3333\ \text{mil COP}}. \]
Mismo ejercicio en R:
N_sis <- nrow(datos_muestreo); n_sis <- 6
k_sis <- N_sis / n_sis
r_sis <- 2 # arranque obtenido en el sorteo del ejemplo
ids_sis <- r_sis + (0:(n_sis - 1)) * k_sis
sis <- datos_muestreo[match(ids_sis, datos_muestreo$id), ]
sis#> id sector manzana gasto
#> 2 2 Centro M1 45
#> 6 6 Centro M2 52
#> 10 10 Centro M3 56
#> 14 14 Norte M4 41
#> 18 18 Norte M5 47
#> 22 22 Sur M6 37#> [1] 46.3333set.seed(7)
r_nuevo <- sample.int(k_sis, 1) # otro arranque aleatorio
r_nuevo + (0:(n_sis - 1)) * k_sis#> [1] 2 6 10 14 18 22Ejercicio propuesto: si el arranque fuese \(r=4\), liste las unidades y estime la media. Describa un ejemplo de periodicidad problemática si cada cuatro viviendas pertenecen a un mismo tipo de edificio.
2.2.5 1.2.3. Muestreo estratificado aleatorio
Definición. Se divide la población en \(H\) grupos homogéneos en algún aspecto relevante, mutuamente excluyentes y exhaustivos, y se hace un MAS independiente dentro de cada estrato. La asignación proporcional toma:
\[ n_h=n\frac{N_h}{N},\qquad W_h=\frac{N_h}{N},\qquad \hat{\bar Y}_{st}=\sum_{h=1}^{H} W_h\bar y_h. \]
\[ \widehat{Var}(\hat{\bar Y}_{st})= \sum_{h=1}^{H} W_h^2\Big(1-\frac{n_h}{N_h}\Big)\frac{s_h^2}{n_h}. \]
Variables: \(N_h\) son los hogares del sector \(h\); \(n_h\) los encuestados; \(W_h\) la proporción poblacional del sector; \(\bar y_h\) su media muestral; \(s_h^2\) la varianza del sector; \(H\) el número de sectores. Para calcular \(s_h^2\) se requieren al menos dos unidades observadas en ese estrato.
Problema. Se seleccionarán \(n=12\) hogares de los 24, con estratos: Centro (\(N_1=12\)), Norte (\(N_2=8\)), Sur (\(N_3=4\)). Calcule las cuotas proporcionales, observe un sorteo concreto y estime el gasto medio poblacional.
Solución manual (asignación):
\[ n_{Centro}=12\frac{12}{24}=6,\quad n_{Norte}=12\frac8{24}=4,\quad n_{Sur}=12\frac4{24}=2. \]
Del sorteo ilustrativo se obtuvieron:
Centro \(\{1,3,5,7,9,11\}\) (gastos \(42,47,49,54,53,58\), media \(50.5\)); Norte \(\{13,15,17,19\}\) (gastos \(39,43,44,48\), media \(43.5\)); Sur \(\{21,23\}\) (gastos \(35,40\), media \(37.5\)).
Por tanto:
\[ \hat{\bar Y}_{st}=\frac{12}{24}(50.5)+\frac{8}{24}(43.5)+\frac4{24}(37.5) =25.25+14.5+6.25=\boxed{46.0\ \text{mil COP}}. \]
El mismo ejercicio en R:
ids_est <- c(1,3,5,7,9,11, 13,15,17,19, 21,23)
est <- datos_muestreo[match(ids_est, datos_muestreo$id), ]
N_h <- table(factor(datos_muestreo$sector,
levels = c("Centro","Norte","Sur")))
n_h <- table(factor(est$sector,
levels = c("Centro","Norte","Sur")))
med_h <- tapply(est$gasto, factor(est$sector,
levels = c("Centro","Norte","Sur")), mean)
W_h <- as.vector(N_h / sum(N_h))
resultado_est <- sum(W_h * med_h)
data.frame(sector = names(N_h), N_h = as.vector(N_h),
n_h = as.vector(n_h), peso = W_h,
media_muestral = as.vector(med_h))#> sector N_h n_h peso media_muestral
#> 1 Centro 12 6 0.500000 50.5
#> 2 Norte 8 4 0.333333 43.5
#> 3 Sur 4 2 0.166667 37.5#> [1] 46set.seed(904)
ids_nuevo_est <- unlist(lapply(split(datos_muestreo$id, datos_muestreo$sector),
function(ids) sample(ids, size = length(ids)/2)))
ids_nuevo_est#> Centro1 Centro2 Centro3 Centro4 Centro5 Centro6 Norte1 Norte2 Norte3 Norte4
#> 1 9 5 8 7 10 18 14 17 16
#> Sur1 Sur2
#> 24 21Otro esquema: con costos iguales, la asignación de Neyman usa \(n_h\propto N_hS_h\) (más observaciones donde hay más unidades y variabilidad). Si las cuotas no son proporcionales, la media total no suele ser el promedio simple de todos los registros; deben utilizarse pesos \(W_h\).
Ejercicios propuestos:
una ciudad tiene 300, 200 y 100 hogares en tres estratos; asigne proporcionalmente una muestra de 120.
repita el cálculo anterior usando todos los 12 valores de
estsin ponderar y explique por qué coincide en este ejemplo (asignación proporcional) pero no necesariamente en una asignación desigual.cambie las cuotas de estrato a 4, 4 y 4, y demuestre que ahora sí se necesitan los pesos.
2.2.6 1.2.4. Muestreo por conglomerados de una etapa
Definición. Las unidades se organizan en grupos naturales (manzanas, escuelas o barrios); se seleccionan al azar algunos conglomerados y se observan todas sus unidades. Es útil si listar todas las viviendas es costoso, pero la similitud entre unidades de una manzana puede aumentar la varianza.
Para \(M\) conglomerados de igual tamaño \(b\) y \(m\) conglomerados seleccionados con MAS, cada unidad tiene probabilidad de inclusión \(\pi_i=m/M\), y el estimador de media es:
\[ \hat{\bar Y}_{cong}=\frac{1}{mb}\sum_{g\in S_g}\sum_{i\in g} y_i, \qquad \pi_i=\frac{m}{M}. \]
Variables: \(M\) número total de manzanas; \(m\) manzanas elegidas; \(b\) hogares por manzana; \(g\) conglomerado; \(S_g\) conjunto de manzanas seleccionadas. Si los conglomerados son de tamaños desiguales, se requieren estimadores y ponderaciones adecuados; este promedio simple ya no se aplica automáticamente.
Problema. Hay \(M=6\) manzanas de \(b=4\) hogares cada una. El sorteo seleccionó las manzanas M2 y M5 (\(m=2\)), de modo que se visita a los 8 hogares de estas dos manzanas.
Solución manual: los gastos son \(49,52,54,55\) (M2) y \(44,47,48,51\) (M5). La suma es \(400\), por tanto:
\[ \hat{\bar Y}_{cong}=\frac{400}{2\cdot4}=\boxed{50\ \text{mil COP}},\qquad \pi_i=\frac{2}{6}=\frac13. \]
El mismo ejercicio en R:
#> id sector manzana gasto
#> 5 5 Centro M2 49
#> 6 6 Centro M2 52
#> 7 7 Centro M2 54
#> 8 8 Centro M2 55
#> 17 17 Norte M5 44
#> 18 18 Norte M5 47
#> 19 19 Norte M5 48
#> 20 20 Norte M5 51#> [1] 50set.seed(606)
manzanas_nuevas <- sample(unique(datos_muestreo$manzana), 2)
subset(datos_muestreo, manzana %in% manzanas_nuevas)#> id sector manzana gasto
#> 5 5 Centro M2 49
#> 6 6 Centro M2 52
#> 7 7 Centro M2 54
#> 8 8 Centro M2 55
#> 21 21 Sur M6 35
#> 22 22 Sur M6 37
#> 23 23 Sur M6 40
#> 24 24 Sur M6 42Ejercicio propuesto: sustituya M2 por M1; calcule la nueva media y explique por qué la unidad primaria de muestreo es la manzana y no cada hogar. Indique por qué no sería adecuado calcular la precisión con la fórmula MAS habitual aplicada ingenuamente a los 8 hogares.
2.2.7 1.2.5. Muestreo multietápico
Definición. En la primera etapa se eligen manzanas; en la segunda, se selecciona aleatoriamente un número de hogares dentro de las manzanas elegidas Con \(M\) manzanas equiprobables, \(m\) elegidas, tamaño común \(b\) y \(r\) hogares por manzana seleccionada:
\[ \pi_i=P(\text{manzana elegida})P(\text{hogar elegido}\mid\text{manzana}) =\frac{m}{M}\cdot\frac{r}{b}. \]
Si tamaños y probabilidades de selección son iguales, la media simple de las unidades observadas estima la media general. Cuando son desiguales, utilice ponderaciones de diseño \(w_i=1/\pi_i\) y estimadores coherentes con el diseño.
Problema. La primera etapa eligió M2 y M5 (\(m=2\) de \(M=6\)). La segunda eligió \(r=2\) hogares por manzana (\(b=4\)): hogares 5 y 8 de M2, y hogares 17 y 20 de M5.
Solución manual:
\[ \pi_i=\frac26\frac24=\frac16,\qquad \hat{\bar Y}_{multi}=\frac{49+55+44+51}{4}=\boxed{49.75\ \text{mil COP}}. \]
El mismo ejercicio en R:
#> id sector manzana gasto
#> 5 5 Centro M2 49
#> 8 8 Centro M2 55
#> 17 17 Norte M5 44
#> 20 20 Norte M5 51#> [1] 49.75#> [1] 0.166667#> [1] 6set.seed(2403)
seleccion_manzanas <- sample(unique(datos_muestreo$manzana), 2)
seleccion_multi <- do.call(rbind, lapply(seleccion_manzanas, function(g) {
auxiliares <- subset(datos_muestreo, manzana == g)
auxiliares[sample(seq_len(nrow(auxiliares)), 2), ]
}))
seleccion_multi#> id sector manzana gasto
#> 17 17 Norte M5 44
#> 18 18 Norte M5 47
#> 15 15 Norte M4 43
#> 13 13 Norte M4 39Ejercicio propuesto: aumente a tres manzanas y dos hogares por manzana. Calcule \(\pi_i\) y explique por qué cambiarían tanto el costo de visita como la incertidumbre.
2.2.8 1.2.6. Muestreo no probabilístico: conveniencia, cuotas, juicio, redes y voluntarios
Definición común. La elección no se realiza mediante un mecanismo de probabilidad de inclusión conocido. Por ello, en general no existe un \(\pi_i\) verificable ni un margen de error probabilístico justificable solo por el diseño.
| Tipo | Definición clara | Contexto con nuestros 24 hogares | ¿Qué se puede calcular? |
|---|---|---|---|
| Conveniencia | Visitar hogares fáciles de alcanzar | Los hogares 1 a 6, próximos a la oficina | Media descriptiva del grupo visitado |
| Cuotas | Fijar cantidades por sector, elegir sin sorteo | 6 Centro, 4 Norte, 2 Sur entre quienes aceptan | Media de respondientes; el cupo no elimina sesgo |
| Intencional o por juicio | Seleccionar perfiles específicos | Hogares de mayor gasto para entrevistas | Descripción de los casos elegidos |
| Bola de nieve | Una persona recomienda a otra | Los hogares de una red de conocidos | Descripciones de la red reclutada |
| Autoselección | Participan quienes se ofrecen | Encuesta mediante enlace abierto | Resumen de quienes respondieron |
Problema contextualizado. Un encuestador solo logra visitar, por comodidad, los primeros seis hogares registrados. ¿Cuál es la media observada y es correcto asignar un intervalo de confianza basado en MAS para toda la ciudad?
Solución manual: Los gastos son \(42,45,47,50,49,52\). Su suma es \(285\); la media descriptiva es \(285/6=\boxed{47.5\ \text{mil COP}}\). No corresponde tratarla automáticamente como estimación probabilística de los 24 hogares, porque no conocemos las probabilidades de inclusión y se seleccionó según accesibilidad.
El mismo problema en R:
#> id sector manzana gasto
#> 1 1 Centro M1 42
#> 2 2 Centro M1 45
#> 3 3 Centro M1 47
#> 4 4 Centro M1 50
#> 5 5 Centro M2 49
#> 6 6 Centro M2 52#> [1] 47.5# Ejemplo de cuota sin sorteo: tomar las primeras unidades disponibles
cuotas <- c(Centro = 6, Norte = 4, Sur = 2)
cuota_no_aleatoria <- do.call(rbind, lapply(names(cuotas), function(s) {
head(subset(datos_muestreo, sector == s), cuotas[[s]])
}))
table(cuota_no_aleatoria$sector)#>
#> Centro Norte Sur
#> 6 4 2#> [1] 43.8333Ejercicios propuestos: proponga un reclutamiento mediante bola de nieve entre seis hogares; compare su validez de generalización con el MAS; diseñe una encuesta por cuotas para tres sectores y explique qué característica NO cambia aunque los cupos sean exactamente proporcionales.
2.2.9 Figura de cierre: selección frente a población
selecciones <- list(MAS = ids_mas, Sistematico = ids_sis,
Estratificado = ids_est, Conglomerados = cong$id,
Multietapico = ids_multi, Conveniencia = conv$id)
mat_sel <- do.call(rbind, lapply(selecciones, function(id) as.integer(1:24 %in% id)))
par(mar = c(4,10,3,1), bg = "#FFFBFA")
image(x = 1:24, y = seq_len(nrow(mat_sel)), z = t(mat_sel),
col = c("#F7E7EB", "#70132D"), axes = FALSE, xlab = "Identificador del hogar",
ylab = "", main = "Qué unidades selecciona cada método", zlim = c(0,1))
axis(1, at = 1:24, labels = 1:24, cex.axis = 0.7)
axis(2, at = seq_len(nrow(mat_sel)), labels = rownames(mat_sel), las = 1, cex.axis = .85)
abline(v = c(4.5,8.5,12.5,16.5,20.5), col = "#C8A8B3", lty = 3)
En una misma población, los métodos producen conjuntos seleccionados diferentes; las conclusiones deben considerar el diseño.
2.2.10 Diferencia crucial: estrato versus conglomerado
| Aspecto | Estratificación | Conglomeración |
|---|---|---|
| Objetivo operativo | Mejorar precisión y asegurar presencia de subpoblaciones | Reducir costo de desplazamiento o listado |
| Qué se selecciona | Unidades dentro de todos los estratos | Algunos grupos naturales |
| Composición deseable | Homogeneidad interna del estrato respecto a la variable | Diversidad interna del conglomerado si es posible |
| Inferencia | Pesos \(W_h=N_h/N\), varianzas estratificadas | Errores estándar ajustados a conglomerados |
| Ejemplo | Elegir hogares de Centro, Norte y Sur | Elegir manzanas M2 y M5 completas |
2.2.11 Taller de muestreo para entregar
- Diseñe una encuesta de satisfacción para 800 familias: obtenga \(n_0\) y \(n\) a 95 % con \(p=0.5\), \(e=0.05\); explique cómo lograría la muestra aleatoria.
- Con la base de 24 hogares, compare los promedios obtenidos por MAS, sistemático, estratificado, conglomerados, multietápico y conveniencia. Identifique qué comparaciones no tienen interpretación inferencial basada en selección aleatoria.
- Proponga un plan de estratificación de 600 personas en tres estratos de tamaño 300, 200 y 100 con \(n=120\). Explique la asignación y la estimación ponderada.
- Elabore un diagrama del diseño de muestreo de una investigación propia, indicando unidad primaria, unidades finales, marco, pesos y no respuesta.
2.3 1.3. Estimación puntual
2.3.1 Definición
La estimación puntual utiliza un único valor calculado a partir de la muestra para aproximar un parámetro poblacional. No expresa por sí sola cuánta incertidumbre existe en la estimación.
2.3.2 Estimadores usuales
Media poblacional:
\[ \hat\mu=\bar X=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i. \]
Proporción poblacional:
\[ \hat p=\frac{X}{n}=\frac{\text{número de éxitos}}{\text{número de observaciones}}. \]
Varianza poblacional:
\[ \widehat{\sigma^2}=S^2= \frac{\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar X)^2}{n-1}. \]
Desviación estándar poblacional:
\[ \hat\sigma=S=\sqrt{S^2}. \]
Diferencia de medias:
\[ \widehat{\mu_1-\mu_2}=\bar X_1-\bar X_2. \]
Diferencia de proporciones:
\[ \widehat{p_1-p_2}=\hat p_1-\hat p_2. \]
2.3.3 Ejercicio: estimar una media y una varianza
Enunciado: calcule la media, la varianza muestral y la desviación estándar de seis estudiantes. Primero se resolverá usando las fórmulas y luego con R.
Se registra el número de horas de estudio de seis estudiantes:
\[ 8,\;9,\;10,\;11,\;12,\;13. \]
La estimación puntual de la media poblacional es:
\[ \bar x=\frac{8+9+10+11+12+13}{6} =\frac{63}{6}=10.5\text{ horas}. \]
La varianza muestral es:
\[ s^2=\frac{(8-10.5)^2+\cdots+(13-10.5)^2}{6-1} =\frac{17.5}{5}=3.5. \]
Por tanto, \(s=\sqrt{3.5}=1.871\) horas.
2.3.4 Ejemplo en R
horas <- c(8, 9, 10, 11, 12, 13)
n <- length(horas)
media <- mean(horas)
varianza <- var(horas)
desviacion <- sd(horas)
c(n = n, media = media, varianza = varianza,
desviacion = desviacion)#> n media varianza desviacion
#> 6.00000 10.50000 3.50000 1.87083Lectura del resultado: la media muestral estima la media poblacional; la varianza y desviación estándar muestrales cuantifican la dispersión observada.
2.4 1.3.1. Caso guiado de las diapositivas: tienda de café
Problema. En una urbanización viven 12.000 personas. Se eligen aleatoriamente, mediante muestreo aleatorio simple sin reemplazo, 2.000 residentes. La muestra declara un consumo promedio de 2,5 kg de café al mes. ¿Cuál es la estimación de la media poblacional? Si por un censo hipotético se sabe que la media real era 3 kg, ¿significa que el estimador tiene sesgo de −0,5 kg?
Solución matemática. La media poblacional es \(\mu\) y la media muestral es \(\bar X\). La estimación observada es \(\bar x=2,5\) kg. En este ejemplo hipotético, el error muestral observado es \(\bar x-\mu=2,5-3=-0,5\) kg, pero no permite concluir que la regla \(\bar X\) sea sesgada. El sesgo se define comparando el promedio sobre todas las muestras posibles, \(E(\bar X)\), con \(\mu\), no comparando una sola muestra.
El mismo ejercicio en R:
N_cafe <- 12000
n_cafe <- 2000
media_muestral <- 2.5
media_poblacional_hipotetica <- 3
error_muestral <- media_muestral - media_poblacional_hipotetica
c(N = N_cafe, n = n_cafe, estimacion = media_muestral,
error_observado = error_muestral)#> N n estimacion error_observado
#> 12000.0 2000.0 2.5 -0.52.5 1.4. Propiedades de los estimadores
Sea \(\hat\theta\) un estimador de un parámetro \(\theta\).
2.5.1 Insesgadez
Un estimador es insesgado si su valor esperado coincide con el parámetro:
\[ E(\hat\theta)=\theta. \]
El sesgo se define como:
\[ Bias(\hat\theta)=E(\hat\theta)-\theta. \]
Si el sesgo es cero, el estimador es insesgado. Si no, es sesgado.
Ejemplo: para una muestra aleatoria independiente e idénticamente distribuida, \(\bar X\) es insesgado para \(\mu\), y la varianza muestral con divisor \(n-1\) es insesgada para \(\sigma^2\).
2.5.2 Varianza del estimador
Mide la variabilidad del estimador entre muestras:
\[ Var(\hat\theta)=E[(\hat\theta-E(\hat\theta))^2]. \]
Para la media muestral de observaciones independientes con varianza \(\sigma^2\):
\[ Var(\bar X)=\frac{\sigma^2}{n}. \]
Una varianza menor implica mayor precisión, siempre comparando estimadores del mismo parámetro bajo el mismo modelo.
2.5.3 Error cuadrático medio (ECM o MSE)
Combina variabilidad y sesgo:
\[ MSE(\hat\theta)=E[(\hat\theta-\theta)^2] =Var(\hat\theta)+Bias(\hat\theta)^2. \]
Un estimador sesgado puede tener menor ECM que uno insesgado si reduce suficientemente su varianza.
2.5.4 Consistencia
Una sucesión de estimadores \(\hat\theta_n\) es consistente si converge en probabilidad al parámetro verdadero:
\[ \hat\theta_n\xrightarrow{P}\theta. \]
En términos intuitivos, al aumentar el tamaño de muestra, la probabilidad de que el estimador se aleje del parámetro por más de una cantidad fija tiende a cero.
2.5.5 Eficiencia
Entre estimadores comparables e insesgados, suele preferirse el de menor varianza. La eficiencia relativa de \(\hat\theta_1\) respecto de \(\hat\theta_2\) puede expresarse como:
\[ Eff(\hat\theta_1,\hat\theta_2) =\frac{Var(\hat\theta_2)}{Var(\hat\theta_1)}. \]
Si el cociente es mayor que 1, \(\hat\theta_1\) tiene menor varianza.
2.5.6 Suficiencia
Un estadístico \(T(X_1,\ldots,X_n)\) es suficiente para \(\theta\) si contiene toda la información de la muestra acerca de \(\theta\), en el sentido formal de que la distribución condicional de la muestra dado \(T\) no depende de \(\theta\).
El teorema de factorización de Fisher-Neyman permite verificar suficiencia: la función de verosimilitud debe factorizarse como
\[ f(x_1,\ldots,x_n;\theta) =g(T(x),\theta)\,h(x), \]
donde \(h(x)\) no depende de \(\theta\).
2.5.7 Ejemplo teórico: comparación de estimadores
Si \(X_1,\ldots,X_n\) son independientes con media \(\mu\) y varianza \(\sigma^2\), tanto \(X_1\) como \(\bar X\) son insesgados para \(\mu\). Sin embargo,
\[ Var(X_1)=\sigma^2,\qquad Var(\bar X)=\frac{\sigma^2}{n}. \]
Para \(n>1\), la media muestral es más eficiente que utilizar únicamente la primera observación.
2.5.8 Ejemplo en R: simulación de sesgo y variabilidad
set.seed(123)
B <- 10000
n <- 25
mu <- 10
sigma <- 3
estimaciones <- replicate(B, mean(rnorm(n, mu, sigma)))
c(media_de_estimadores = mean(estimaciones),
sesgo_simulado = mean(estimaciones) - mu,
varianza_simulada = var(estimaciones),
varianza_teorica = sigma^2 / n)#> media_de_estimadores sesgo_simulado varianza_simulada
#> 10.00879499 0.00879499 0.34770140
#> varianza_teorica
#> 0.36000000La simulación no demuestra matemáticamente la propiedad, pero ilustra que la distribución de las medias muestrales se concentra alrededor de \(\mu\) y que su varianza teórica es \(\sigma^2/n\).
2.5.9 Infografía 2. Sesgo frente a variabilidad
Un estimador puede ser insesgado y poco preciso, o tener sesgo y ser muy concentrado. Por eso conviene comparar el error cuadrático medio, no solo el sesgo.
Distribuciones de muestreo ilustrativas: el sesgo es un desplazamiento sistemático, no el error de una muestra.
2.6 1.5. Métodos para obtener estimadores
2.6.1 Método de los momentos
Consiste en igualar momentos muestrales con momentos teóricos y despejar los parámetros.
El momento poblacional de orden \(r\) es:
\[ \mu'_r=E(X^r), \]
y el momento muestral correspondiente es:
\[ m'_r=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i^r. \]
Para estimar \(k\) parámetros se igualan, cuando es posible, los primeros \(k\) momentos muestrales y teóricos.
Ejemplo teórico: si \(X_i\sim Poisson(\lambda)\), entonces \(E(X)=\lambda\). Igualando el primer momento:
\[ \bar X=\lambda \quad\Longrightarrow\quad \hat\lambda_{MM}=\bar X. \]
Ejemplo en R:
#> [1] 22.6.2 Método de máxima verosimilitud
Selecciona el valor del parámetro que maximiza la probabilidad —o densidad— de los datos observados bajo el modelo.
La función de verosimilitud es:
\[ L(\theta;\mathbf{x})=\prod_{i=1}^{n}f(x_i;\theta), \]
si las observaciones son independientes. Se suele maximizar el logaritmo:
\[ \ell(\theta;\mathbf{x})=\log L(\theta;\mathbf{x}). \]
El estimador máximo verosímil es:
\[ \hat\theta_{MV}=\arg\max_{\theta\in\Theta}L(\theta;\mathbf{x}). \]
Ejemplo teórico: distribución Bernoulli. Si \(X_i\sim Bernoulli(p)\), la verosimilitud es:
\[ L(p)=p^{\sum x_i}(1-p)^{n-\sum x_i}. \]
Al maximizar el logaritmo se obtiene:
\[ \hat p_{MV}=\frac{\sum x_i}{n}=\bar X. \]
Ejemplo en R:
#> [1] 0.72.6.3 Máxima verosimilitud para una distribución normal
Si \(X_i\sim N(\mu,\sigma^2)\), con ambos parámetros desconocidos:
\[ \hat\mu_{MV}=\bar X,\qquad \hat\sigma^2_{MV}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar X)^2. \]
Advertencia importante: el estimador de máxima verosimilitud de la varianza normal usa divisor \(n\), mientras que la varianza muestral insesgada usa divisor \(n-1\). No son la misma fórmula ni tienen exactamente las mismas propiedades.
x_normal <- c(8, 9, 10, 11, 12, 13)
mu_MV <- mean(x_normal)
sigma2_MV <- mean((x_normal - mu_MV)^2)
sigma2_insesgada <- var(x_normal)
c(mu_MV = mu_MV,
sigma2_MV = sigma2_MV,
sigma2_insesgada = sigma2_insesgada)#> mu_MV sigma2_MV sigma2_insesgada
#> 10.50000 2.91667 3.500002.6.4 Método bayesiano
Combina la información previa sobre el parámetro con la verosimilitud de los datos. La distribución posterior es:
\[ \pi(\theta\mid x)= \frac{L(\theta;x)\pi(\theta)} {\int_{\Theta}L(u;x)\pi(u)\,du}, \]
donde \(\pi(\theta)\) es la distribución previa y \(\pi(\theta\mid x)\) es la distribución posterior.
La estimación puede realizarse mediante la media, mediana o moda posterior, según la función de pérdida y el objetivo del análisis.
Ejemplo teórico: si \(p\) es una probabilidad binomial y se utiliza una distribución previa \(Beta(a,b)\), después de observar \(x\) éxitos en \(n\) ensayos:
\[ p\mid x\sim Beta(a+x,b+n-x). \]
Con una previa uniforme \(Beta(1,1)\), \(x=7\) éxitos y \(n=10\), la posterior es \(Beta(8,4)\).
a <- 1; b <- 1
x <- 7; n <- 10
a_post <- a + x
b_post <- b + n - x
media_posterior <- a_post / (a_post + b_post)
c(a_posterior = a_post, b_posterior = b_post,
media_posterior = media_posterior)#> a_posterior b_posterior media_posterior
#> 8.000000 4.000000 0.6666672.6.5 Mínimos cuadrados
El método de mínimos cuadrados elige los parámetros que minimizan la suma de cuadrados de los residuos. En regresión lineal:
\[ Y_i=\beta_0+\beta_1X_i+\varepsilon_i, \]
se minimiza:
\[ S(\beta_0,\beta_1)= \sum_{i=1}^{n}[y_i-(\beta_0+\beta_1x_i)]^2. \]
Es un método central en regresión; bajo los supuestos clásicos, los estimadores de mínimos cuadrados tienen propiedades importantes. No debe confundirse automáticamente con máxima verosimilitud: coinciden, por ejemplo, en el modelo normal con errores independientes y varianza constante.
datos_reg <- data.frame(
horas = c(2, 3, 4, 5, 6, 7),
nota = c(55, 60, 65, 68, 75, 78)
)
modelo <- lm(nota ~ horas, data = datos_reg)
coef(modelo)#> (Intercept) horas
#> 45.87619 4.65714#>
#> Call:
#> lm(formula = nota ~ horas, data = datos_reg)
#>
#> Residuals:
#> 1 2 3 4 5 6
#> -0.190 0.152 0.495 -1.162 1.181 -0.476
#>
#> Coefficients:
#> Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
#> (Intercept) 45.876 1.041 44.1 0.0000016 ***
#> horas 4.657 0.216 21.5 0.0000275 ***
#> ---
#> Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
#>
#> Residual standard error: 0.905 on 4 degrees of freedom
#> Multiple R-squared: 0.991, Adjusted R-squared: 0.989
#> F-statistic: 463 on 1 and 4 DF, p-value: 0.00002752.6.6 Resumen comparativo de métodos
| Método | Idea central | Uso o condición |
|---|---|---|
| Momentos | Igualar momentos muestrales y teóricos | Modelos con momentos conocidos |
| Máxima verosimilitud | Maximizar la verosimilitud | Modelos probabilísticos especificados |
| Bayesiano | Combinar previa y verosimilitud | Cuando se incorpora información previa |
| Mínimos cuadrados | Minimizar suma de residuos cuadrados | Regresión y modelos de ajuste |
3 Unidad 2. Intervalos de confianza
3.1 2.1. Definición e interpretación
Un intervalo de confianza (IC) es un procedimiento que, a partir de una muestra, construye un intervalo de valores plausibles para un parámetro poblacional desconocido.
Su forma general es:
\[ \text{Estimación}\ \pm\ \text{valor crítico}\times\text{error estándar}. \]
El intervalo obtenido tiene un límite inferior y un límite superior.
3.1.1 Interpretación correcta del nivel de confianza
Un intervalo de confianza del 95% significa que, si se repitiera muchas veces el procedimiento de muestreo y construcción del intervalo bajo las mismas condiciones, aproximadamente el 95% de los intervalos construidos contendría el parámetro fijo.
No significa que, después de calcular un intervalo particular, exista una probabilidad del 95% de que el parámetro fijo esté dentro de él. En la interpretación frecuentista, el parámetro es fijo y el intervalo es aleatorio antes de observar la muestra.
3.1.2 Infografía 3. ¿Qué significa «95 % de confianza»?
Simulación con semilla fija: en muestreos repetidos, algunos intervalos no contienen el parámetro.
3.2 2.2. Nivel de confianza, significancia y valor crítico
El nivel de confianza es \(1-\alpha\), y se expresa usualmente como porcentaje:
\[ NC=(1-\alpha)\times100\%. \]
El nivel de significancia \(\alpha\) es la probabilidad de error tipo I que se controla en un contraste de hipótesis.
Para intervalos bilaterales normales:
\[ z_{1-\alpha/2} \]
es el cuantil de la normal estándar que deja una probabilidad \(\alpha/2\) en cada cola.
| Nivel de confianza | \(\alpha\) | Cuantil normal bilateral aproximado |
|---|---|---|
| 90% | 0.10 | 1.645 |
| 95% | 0.05 | 1.960 |
| 99% | 0.01 | 2.576 |
Para una distribución t se utiliza el cuantil \(t_{1-\alpha/2,\nu}\), donde \(\nu\) representa los grados de libertad.
3.3 2.3. Error estándar y margen de error
El error estándar es la desviación estándar de la distribución muestral de un estimador. Mide cuánto varía el estimador entre muestras.
Para la media:
\[ SE(\bar X)=\frac{\sigma}{\sqrt n} \]
si \(\sigma\) es conocida; si es desconocida, se estima mediante:
\[ \widehat{SE}(\bar X)=\frac{s}{\sqrt n}. \]
El margen de error es la amplitud que se suma y resta a la estimación puntual:
\[ E=(\text{valor crítico})(SE). \]
El margen de error disminuye, en general, cuando aumenta \(n\), y aumenta cuando se exige un nivel de confianza más alto.
3.4 2.4. Intervalo de confianza para una media poblacional
3.4.1 Caso A. Desviación estándar poblacional conocida
Si la población es normal o el tamaño muestral permite una aproximación normal adecuada, y \(\sigma\) es conocida:
\[ IC_{1-\alpha}(\mu)= \bar x\pm z_{1-\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt n}. \]
Variables:
- \(\bar x\): media de la muestra.
- \(z_{1-\alpha/2}\): valor crítico normal.
- \(\sigma\): desviación estándar poblacional conocida.
- \(n\): tamaño de la muestra.
- \(\sigma/\sqrt n\): error estándar de la media.
3.4.2 Ejemplo teórico, cálculo manual
Una muestra de \(n=64\) estudiantes tiene una media de 72 puntos. Se conoce que la desviación estándar poblacional es 8 puntos. Construir un IC del 95%.
Datos: \(\bar x=72\), \(\sigma=8\), \(n=64\), \(z_{0.975}=1.96\).
\[ SE=\frac{8}{\sqrt{64}}=1. \]
\[ E=1.96(1)=1.96. \]
\[ IC=72\pm1.96=(70.04,\;73.96). \]
Conclusión: el procedimiento produce un intervalo de confianza del 95% para la media poblacional entre 70.04 y 73.96 puntos, bajo los supuestos establecidos.
3.4.3 Ejemplo en R
x_bar <- 72
sigma <- 8
n <- 64
conf <- 0.95
alpha <- 1 - conf
z <- qnorm(1 - alpha/2)
se <- sigma / sqrt(n)
ME <- z * se
IC <- c(inferior = x_bar - ME, superior = x_bar + ME)
list(z = z, error_estandar = se, margen_error = ME,
intervalo = IC)#> $z
#> [1] 1.95996
#>
#> $error_estandar
#> [1] 1
#>
#> $margen_error
#> [1] 1.95996
#>
#> $intervalo
#> inferior superior
#> 70.04 73.963.4.4 Caso B. Desviación estándar poblacional desconocida
Cuando \(\sigma\) es desconocida, se utiliza la desviación estándar muestral \(s\) y la distribución t de Student:
\[ IC_{1-\alpha}(\mu)= \bar x\pm t_{1-\alpha/2,n-1}\frac{s}{\sqrt n}. \]
Los grados de libertad son \(n-1\). El procedimiento es exacto bajo normalidad poblacional; con muestras grandes puede ser robusto ante desviaciones moderadas, pero valores atípicos y asimetría intensa requieren cuidado.
3.4.5 Ejemplo teórico, cálculo manual
Se observan las horas de estudio:
\[ 8,\;9,\;10,\;11,\;12,\;13. \]
Ya se calculó \(\bar x=10.5\), \(s=\sqrt{3.5}=1.8708\), \(n=6\). Para un IC del 95%, \(gl=5\) y \(t_{0.975,5}=2.5706\).
\[ SE=\frac{1.8708}{\sqrt6}=0.7638. \]
\[ E=2.5706(0.7638)\approx1.9635. \]
\[ IC=10.5\pm1.9635=(8.5365,\;12.4635). \]
Conclusión: con el procedimiento t, el intervalo del 95% para la media poblacional es aproximadamente de 8.54 a 12.46 horas.
3.4.6 Ejemplo en R
horas <- c(8, 9, 10, 11, 12, 13)
n <- length(horas)
x_bar <- mean(horas)
s <- sd(horas)
alpha <- 0.05
t_crit <- qt(1 - alpha/2, df = n - 1)
se <- s / sqrt(n)
ME <- t_crit * se
IC_manual <- c(x_bar - ME, x_bar + ME)
IC_R <- t.test(horas, conf.level = 0.95)$conf.int
list(media = x_bar, desviacion = s, gl = n - 1,
t_critico = t_crit, SE = se, margen = ME,
IC_manual = IC_manual, IC_funcion_R = IC_R)#> $media
#> [1] 10.5
#>
#> $desviacion
#> [1] 1.87083
#>
#> $gl
#> [1] 5
#>
#> $t_critico
#> [1] 2.57058
#>
#> $SE
#> [1] 0.763763
#>
#> $margen
#> [1] 1.96331
#>
#> $IC_manual
#> [1] 8.53669 12.46331
#>
#> $IC_funcion_R
#> [1] 8.53669 12.46331
#> attr(,"conf.level")
#> [1] 0.953.5 2.5. Intervalo de confianza para la diferencia de dos medias
El parámetro es \(\mu_1-\mu_2\), medido en las mismas unidades que la variable. El diseño decide si se usa un intervalo para muestras independientes o pareadas.
3.5.1 A. Dos grupos independientes: intervalo de Welch
Cuando no se supone igualdad de varianzas:
\[ IC_{1-\alpha}(\mu_1-\mu_2)=(\bar x_1-\bar x_2)\pm t_{1-\alpha/2,\nu}\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}}, \]
\[ \nu=\frac{(s_1^2/n_1+s_2^2/n_2)^2} {\frac{(s_1^2/n_1)^2}{n_1-1}+\frac{(s_2^2/n_2)^2}{n_2-1}}. \]
Variables: \(\bar x_j\): media del grupo \(j\); \(s_j^2\): varianza muestral; \(n_j\): tamaño de cada grupo; \(\nu\): grados de libertad aproximados; \(t_{1-\alpha/2,\nu}\): cuantil t; \(\alpha\): nivel de significancia asociado al intervalo. Supuestos: observaciones independientes dentro y entre grupos; datos aproximadamente normales en muestras pequeñas, o condiciones que permitan una aproximación robusta.
3.5.2 Ejercicio 2A: dos estrategias de enseñanza — solución manual
Enunciado. Se observan dos grupos independientes de puntajes:
- Grupo A: \(70,74,76,78,80,82,84,86,88,92\).
- Grupo B: \(64,68,70,72,73,74,76,77,79,80,82,85\).
Calcular el intervalo del 95 % para \(\mu_A-\mu_B\) con Welch.
Paso 1. Resumimos los mismos datos que se utilizarán en R:
\[ \begin{aligned} n_A&=10, & \bar x_A&=81, & s_A&\approx6.7495, \\ n_B&=12, & \bar x_B&=75, & s_B&\approx6.0603. \end{aligned} \]
Paso 2. Diferencia muestral: \(81-75=6\). Error estándar:
\[ SE=\sqrt{\frac{6.7495^2}{10}+\frac{6.0603^2}{12}} \approx 2.7597. \]
Paso 3. Fórmula de Welch-Satterthwaite: \(\nu\approx18.371\). Valor crítico \(t_{0.975,18.371}\approx2.098\).
Paso 4. Intervalo:
\[ IC=6\pm t_{0.975,18.371}(2.7597)\approx (\boxed{0.2104},\boxed{11.7896}). \]
Interpretación: con este procedimiento, la diferencia media poblacional A menos B se estima entre 0,21 y 11,79 puntos. Como no incluye 0, el contraste bilateral correspondiente rechazaría igualdad al 5 %, bajo los supuestos.
3.5.3 El mismo ejercicio en R
grupo_A <- c(70, 74, 76, 78, 80, 82, 84, 86, 88, 92)
grupo_B <- c(64, 68, 70, 72, 73, 74, 76, 77, 79, 80, 82, 85)
nA <- length(grupo_A); nB <- length(grupo_B)
mA <- mean(grupo_A); mB <- mean(grupo_B)
sA <- sd(grupo_A); sB <- sd(grupo_B)
SE <- sqrt(sA^2/nA + sB^2/nB)
gl_welch <- (sA^2/nA+sB^2/nB)^2 /
((sA^2/nA)^2/(nA-1)+(sB^2/nB)^2/(nB-1))
tcrit <- qt(0.975, df = gl_welch)
IC_manual <- (mA-mB) + c(-1,1)*tcrit*SE
c(media_A=mA, media_B=mB, sd_A=sA, sd_B=sB,
SE=SE, gl=gl_welch, IC_inferior=IC_manual[1], IC_superior=IC_manual[2])#> media_A media_B sd_A sd_B SE gl
#> 81.000000 75.000000 6.749486 6.060303 2.759739 18.370999
#> IC_inferior IC_superior
#> 0.210384 11.789616#>
#> Welch Two Sample t-test
#>
#> data: grupo_A and grupo_B
#> t = 2.174, df = 18.37, p-value = 0.043
#> alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
#> 95 percent confidence interval:
#> 0.210384 11.789616
#> sample estimates:
#> mean of x mean of y
#> 81 753.5.4 B. Muestras pareadas: intervalo sobre las diferencias
Cuando los mismos individuos se miden antes y después, definimos \(D_i=X_{después,i}-X_{antes,i}\). Se construye un IC para \(\mu_D\):
\[ IC(\mu_D)=\bar d\pm t_{1-\alpha/2,n-1}\frac{s_D}{\sqrt n}. \]
Variables: \(\bar d\): media de las diferencias; \(s_D\): desviación estándar de las diferencias; \(n\): número de parejas, no suma de las mediciones. Supuesto clave: diferencias de parejas independientes y aproximadamente normales para inferencia t exacta.
3.5.5 Ejercicio 2B: notas antes y después — solución manual
Enunciado. Para 8 estudiantes, las notas antes fueron \(60,65,70,68,72,64,66,71\) y después \(65,68,74,70,76,67,69,75\). Estime el cambio medio después menos antes con un IC del 95 %.
Paso 1. Las diferencias son \(d=(5,3,4,2,4,3,3,4)\), así \(\bar d=28/8=3.5\).
Paso 2. \(s_D=\sqrt{\sum(d_i-3.5)^2/7}\approx0.9258\) y \(SE=0.9258/\sqrt8\approx0.3273\).
Paso 3. Con \(gl=7\), \(t_{0.975,7}\approx2.3646\):
\[ IC=3.5\pm2.3646(0.3273)\approx(2.726,4.274). \]
Interpretación: el incremento medio se estima entre aproximadamente 2,73 y 4,27 puntos. No se trata de dos muestras independientes.
3.5.6 El mismo ejercicio en R
antes <- c(60,65,70,68,72,64,66,71)
despues <- c(65,68,74,70,76,67,69,75)
d <- despues - antes
n <- length(d)
IC_pareado_manual <- mean(d) + c(-1,1)*
qt(0.975,df=n-1)*sd(d)/sqrt(n)
c(diferencia_media=mean(d), sd_diferencias=sd(d),
IC_inferior=IC_pareado_manual[1], IC_superior=IC_pareado_manual[2])#> diferencia_media sd_diferencias IC_inferior IC_superior
#> 3.50000 0.92582 2.72600 4.27400#>
#> Paired t-test
#>
#> data: despues and antes
#> t = 10.69, df = 7, p-value = 0.0000137
#> alternative hypothesis: true mean difference is not equal to 0
#> 95 percent confidence interval:
#> 2.726 4.274
#> sample estimates:
#> mean difference
#> 3.53.6 2.6. Intervalo de confianza para una proporción
La proporción muestral es:
\[ \hat p=\frac{x}{n}, \]
donde \(x\) es el número de éxitos y \(n\) el número de ensayos u observaciones.
3.6.1 Aproximación normal de Wald
Bajo condiciones de tamaño muestral adecuado:
\[ IC(p)=\hat p\pm z_{1-\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}}. \]
Se recomienda verificar que los conteos esperados de éxitos y fracasos no sean pequeños. El intervalo de Wald puede tener cobertura deficiente, especialmente con muestras pequeñas o proporciones cercanas a 0 o 1. En tales casos es preferible Wilson o un intervalo exacto de Clopper-Pearson.
3.6.2 Ejemplo teórico, cálculo manual
En una encuesta de 200 personas, 112 prefieren una marca.
\[ \hat p=\frac{112}{200}=0.56. \]
Para 95%, \(z=1.96\):
\[ SE=\sqrt{\frac{0.56(0.44)}{200}} =\sqrt{0.001232}\approx0.0351. \]
\[ E=1.96(0.0351)\approx0.0688. \]
\[ IC=0.56\pm0.0688=(0.4912,\;0.6288). \]
Conclusión: la proporción poblacional compatible con el procedimiento de Wald se estima entre 49.12% y 62.88%.
3.6.3 Ejemplo en R
x <- 112
n <- 200
phat <- x/n
z <- qnorm(0.975)
se <- sqrt(phat*(1-phat)/n)
ME <- z*se
IC_Wald <- c(phat-ME, phat+ME)
# Intervalo de Wilson
IC_Wilson <- prop.test(x, n, correct = FALSE)$conf.int
# Intervalo binomial exacto
IC_Exacto <- binom.test(x, n)$conf.int
list(phat = phat, SE = se, margen = ME,
Wald = IC_Wald, Wilson = IC_Wilson,
Clopper_Pearson = IC_Exacto)#> $phat
#> [1] 0.56
#>
#> $SE
#> [1] 0.0350999
#>
#> $margen
#> [1] 0.0687945
#>
#> $Wald
#> [1] 0.491206 0.628794
#>
#> $Wilson
#> [1] 0.490717 0.627022
#> attr(,"conf.level")
#> [1] 0.95
#>
#> $Clopper_Pearson
#> [1] 0.488250 0.629944
#> attr(,"conf.level")
#> [1] 0.953.6.4 Intervalo de Wilson: fórmula, variables y ventajas
Para datos binomiales, el intervalo de Wilson suele cubrir mejor que el de Wald, sobre todo si la proporción está cerca de 0 o 1. Con \(z=z_{1-\alpha/2}\), los límites son:
\[ IC_W=\frac{\hat p+\frac{z^2}{2n}\pm z\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}+\frac{z^2}{4n^2}}} {1+\frac{z^2}{n}}. \]
En esta fórmula, \(\hat p=x/n\),
\(n\) es el número de individuos, \(x\) el número de éxitos y \(z\) el cuantil normal. La opción
prop.test(..., correct=FALSE)$conf.int para una proporción
devuelve el intervalo de Wilson basado en la inversión del contraste
score, sin corrección de continuidad.
3.6.5 Ejercicio 2C: satisfacción de clientes — manual y R
Enunciado. De 150 clientes elegidos al azar, 120 están satisfechos. Calcule el IC de Wald del 95 %; después compare con Wilson, usando los mismos 120 y 150.
Solución manual (Wald). \(\hat p=120/150=0.8\). Con \(z=1.96\):
\[ SE=\sqrt{\frac{0.8(0.2)}{150}}=0.03266,\qquad E=1.96(0.03266)=0.06401. \]
\[ IC_{Wald}=0.8\pm0.06401=(\boxed{0.73599},\boxed{0.86401}). \]
El mismo ejercicio en R:
x_satis <- 120; n_satis <- 150
p_satis <- x_satis/n_satis
z <- qnorm(.975)
se_satis <- sqrt(p_satis*(1-p_satis)/n_satis)
wald_150 <- p_satis + c(-1,1)*z*se_satis
wilson_150 <- prop.test(x_satis,n_satis,correct=FALSE)$conf.int
rbind(Wald=wald_150,Wilson=wilson_150)#> [,1] [,2]
#> Wald 0.735988 0.864012
#> Wilson 0.728859 0.8561593.7 2.7. Intervalo de confianza para la diferencia de dos proporciones
Para dos muestras independientes:
\[ \widehat{p_1-p_2}=\hat p_1-\hat p_2. \]
Un intervalo aproximado no combinado es:
\[ IC(p_1-p_2)= (\hat p_1-\hat p_2)\pm z_{1-\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat p_1(1-\hat p_1)}{n_1} +\frac{\hat p_2(1-\hat p_2)}{n_2}}. \]
Este intervalo estima la diferencia y utiliza varianzas muestrales separadas. Para muestras pequeñas o proporciones extremas se deben considerar métodos de mejor cobertura.
3.7.1 Ejemplo teórico, cálculo manual
En el grupo A, 112 de 200 personas prefieren una marca; en el grupo B, 124 de 220 la prefieren.
\[ \hat p_1=112/200=0.56,\quad \hat p_2=124/220=0.5636. \]
\[ \hat p_1-\hat p_2=-0.0036. \]
\[ SE=\sqrt{\frac{0.56(0.44)}{200} +\frac{0.5636(1-0.5636)}{220}} \approx0.04848. \]
\[ IC=-0.003636\pm1.96(0.048476) \approx(-0.09865,\;0.09138). \]
Conclusión: el intervalo contiene cero; los datos no permiten establecer una diferencia clara entre las proporciones poblacionales al 95%.
3.7.2 Ejemplo en R
x1 <- 112; n1 <- 200
x2 <- 124; n2 <- 220
p1 <- x1/n1
p2 <- x2/n2
diferencia <- p1-p2
se_no_combinado <- sqrt(p1*(1-p1)/n1 + p2*(1-p2)/n2)
z <- qnorm(0.975)
IC_dif_prop <- diferencia + c(-1,1)*z*se_no_combinado
# Prueba de igualdad de proporciones (la prueba combina bajo H0)
prueba_prop <- prop.test(c(x1,x2), c(n1,n2), correct = FALSE)
list(p1 = p1, p2 = p2, diferencia = diferencia,
SE = se_no_combinado, IC_manual = IC_dif_prop,
prueba_R = prueba_prop)#> $p1
#> [1] 0.56
#>
#> $p2
#> [1] 0.563636
#>
#> $diferencia
#> [1] -0.00363636
#>
#> $SE
#> [1] 0.0484763
#>
#> $IC_manual
#> [1] -0.0986483 0.0913755
#>
#> $prueba_R
#>
#> 2-sample test for equality of proportions without continuity correction
#>
#> data: c(x1, x2) out of c(n1, n2)
#> X-squared = 0.005627, df = 1, p-value = 0.94
#> alternative hypothesis: two.sided
#> 95 percent confidence interval:
#> -0.0986483 0.0913755
#> sample estimates:
#> prop 1 prop 2
#> 0.560000 0.5636363.8 2.7.1. Intervalo de confianza para la varianza normal (ejemplo de diapositivas)
Esta extensión reproduce el ejercicio del material de cátedra sobre un recuento bacteriano. Para una muestra aleatoria de una población normal, se cumple:
\[ \frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\sim\chi^2_{n-1}, \qquad IC(\sigma^2)=\left(\frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{1-\alpha/2,n-1}}, \frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{\alpha/2,n-1}}\right). \]
Variables: \(n\) es el número de recuentos; \(s^2\), la varianza muestral insesgada; \(\sigma^2\), la varianza poblacional; \(\chi^2_{q,\nu}\), el cuantil \(q\) de una chi-cuadrado con \(\nu=n-1\) grados de libertad. Para desviación estándar, se toma raíz cuadrada de cada límite.
3.8.1 Ejercicio 2D — resolución manual
Enunciado. Se analizaron nueve unidades de un alimento; los recuentos bacterianos fueron \(157,186,179,163,171,154,177,165,168\). Bajo normalidad, calcule estimación de media, varianza e IC del 95 % de ambas.
Paso 1. \(n=9\), \(\bar x=1520/9\approx168.8889\), \(s^2=109.8611\), \(s=10.4815\).
Paso 2. Para la media: \(t_{0.975,8}=2.3060\), \(SE=10.4815/3=3.4938\), entonces:
\[ IC(\mu)=168.8889\pm2.3060(3.4938) \approx(\boxed{160.8321},\boxed{176.9457}). \]
Paso 3. Para la varianza: \(\chi^2_{0.975,8}=17.5345\) y \(\chi^2_{0.025,8}=2.1797\):
\[ IC(\sigma^2)=\left(\frac{8(109.8611)}{17.5345}, \frac{8(109.8611)}{2.1797}\right) \approx(\boxed{50.1233},\boxed{403.2098}). \]
La varianza se expresa en unidades de recuento al cuadrado. Estos intervalos requieren un modelo normal razonable, especialmente el de la varianza.
3.8.2 El mismo ejercicio en R
bacterias <- c(157,186,179,163,171,154,177,165,168)
n_b <- length(bacterias); x_b <- mean(bacterias)
s2_b <- var(bacterias); sd_b <- sd(bacterias)
t_b <- qt(.975,df=n_b-1)
IC_mu <- x_b+c(-1,1)*t_b*sd_b/sqrt(n_b)
IC_var <- (n_b-1)*s2_b/c(qchisq(.975,n_b-1),qchisq(.025,n_b-1))
list(media=x_b,varianza=s2_b,IC_media=IC_mu,
IC_varianza=IC_var,IC_desviacion=sqrt(IC_var),
IC_media_R=t.test(bacterias)$conf.int)#> $media
#> [1] 168.889
#>
#> $varianza
#> [1] 109.861
#>
#> $IC_media
#> [1] 160.832 176.946
#>
#> $IC_varianza
#> [1] 50.1233 403.2098
#>
#> $IC_desviacion
#> [1] 7.07978 20.08009
#>
#> $IC_media_R
#> [1] 160.832 176.946
#> attr(,"conf.level")
#> [1] 0.953.9 2.8. Tamaño de muestra y precisión
3.9.1 Para estimar una media con \(\sigma\) conocida o aproximada
Para un margen de error máximo \(E\):
\[ n=\left(\frac{z_{1-\alpha/2}\sigma}{E}\right)^2. \]
Se redondea siempre hacia arriba. Si \(\sigma\) no se conoce, puede utilizarse una estimación piloto o información previa justificada.
3.9.2 Para estimar una proporción
\[ n=\frac{z_{1-\alpha/2}^{\,2}p(1-p)}{E^2}. \]
Si no existe una estimación previa de \(p\), se usa \(p=0.5\), que produce el tamaño más conservador para un margen de error dado.
3.9.3 Corrección por población finita
Cuando el muestreo es sin reemplazo de una población finita y la fracción de muestreo no es despreciable:
\[ n_{\text{ajustado}}= \frac{Nn_0}{N+n_0-1}, \]
donde \(n_0\) es el tamaño calculado inicialmente para población muy grande.
3.9.4 Ejemplo y código en R
Se desea estimar una proporción con 95% de confianza, error máximo de 0.05 y sin información previa de \(p\).
#> [1] 385#> [1] 3703.10 2.8.1. Conexión aplicada: intervalo de confianza con muestreo aleatorio simple y población finita
La incertidumbre debe corresponder al diseño de selección. Reutilizamos exactamente los ocho hogares elegidos en el MAS de la Unidad 1, de la población didáctica de 24 hogares. Queremos un IC aproximado del 95 % para el gasto medio poblacional.
Fórmula para MAS sin reemplazo, cuando la fracción \(n/N\) no es pequeña:
\[ \boxed{IC_{1-\alpha}(\bar Y)\approx \bar y\ \pm\ t_{1-\alpha/2;n-1}\, \frac{s}{\sqrt n}\sqrt{\frac{N-n}{N-1}}}. \]
Significado de cada componente: \(\bar y\) es la media muestral; \(t_{1-\alpha/2;n-1}\), valor crítico de Student con \(n-1\) grados de libertad; \(s\), desviación estándar calculada con los valores seleccionados; \(n\), unidades sorteadas; \(N\), hogares en el marco; \(\sqrt{(N-n)/(N-1)}\), factor corrector de población finita para la varianza de la media estimada con \(s^2\).
Advertencia estadística: con población finita fija, la distribución t no es exactamente la distribución del estimador bajo todo posible MAS. Se usa como aproximación didáctica. Para inferencia compleja y diseños reales utilice métodos de encuestas que tengan en cuenta estratos, conglomerados y pesos.
3.10.1 Problema contextualizado y solución manual
La muestra MAS observada tiene gastos \(45,49,55,58,41,44,51,40\) (miles de COP), \(n=8\) y \(N=24\).
- Media: \(\bar y=383/8=47.875\).
- Desviación muestral: \(s\approx6.51235\) (usar \(s^2=\sum(y_i-\bar y)^2/7\)).
- Error estándar con corrección finita: \(EE=6.51235/\sqrt8\sqrt{16/23}\approx1.92039\).
- Valor crítico: \(t_{0.975;7}\approx2.36462\).
- Margen de error: \(E=2.36462\times1.92039\approx4.5410\).
- Intervalo: \(47.875\pm4.5410=\boxed{[43.334,\ 52.416]}\) miles de pesos.
3.10.2 El mismo ejercicio en R, sin cambiar los datos
stopifnot(all(mas$id == ids_mas))
N <- nrow(datos_muestreo)
n <- nrow(mas)
ybar <- mean(mas$gasto)
s <- sd(mas$gasto)
fpc <- sqrt((N - n)/(N - 1))
EE <- s/sqrt(n) * fpc
tcrit <- qt(0.975, df = n - 1)
limites <- ybar + c(-1,1) * tcrit * EE
data.frame(N,n,ybar,s,fpc,EE,tcrit,
inferior=limites[1],superior=limites[2])#> N n ybar s fpc EE tcrit inferior superior
#> 1 24 8 47.875 6.51235 0.834058 1.92039 2.36462 43.334 52.416Interpretación correcta: el método pretende que aproximadamente el 95 % de los intervalos construidos mediante muestras del mismo diseño cubran el verdadero promedio poblacional, bajo las condiciones de la aproximación. No significa que el 95 % de los hogares gastan entre esas cifras.
plot(c(limites, mean(datos_muestreo$gasto)), c(1,1,1),
xlim=range(c(limites, mean(datos_muestreo$gasto)))+c(-2,2),
ylim=c(.6,1.4), yaxt='n', pch=NA, xlab="Miles de pesos",
ylab="", main="Media estimada e incertidumbre (MAS)")
segments(limites[1],1,limites[2],1,col=vino,lwd=5)
points(ybar,1,pch=19,col=vino,cex=1.5)
abline(v=mean(datos_muestreo$gasto),col=rosa,lwd=2,lty=2)
legend("topright", legend=c("Intervalo MAS", "Media poblacional didáctica"),
col=c(vino,rosa),lty=c(1,2),lwd=2,bty="n", cex=.8)
Intervalo aproximado de 95 % para el gasto medio en el MAS didáctico (con corrección finita).
3.10.3 Cuadro de selección: fórmula correcta de intervalo según el escenario
| Objetivo | Escenario / diseño | Fórmula núcleo | Cuidado principal | Función de R |
|---|---|---|---|---|
| Media | \(\sigma\) conocida, i.i.d., media normal o tamaño grande | \(\bar x\pm z\sigma/\sqrt n\) | \(\sigma\) realmente conocida | qnorm() y cálculo explícito |
| Media | \(\sigma\) desconocida, muestreo i.i.d. | \(\bar x\pm t s/\sqrt n\) | Normalidad para intervalo t exacto | t.test(x)$conf.int |
| Media | MAS de población finita | \(\bar y\pm t\frac{s}{\sqrt n}\sqrt{\frac{N-n}{N-1}}\) | Aproximación t; aplicar corrección finita | Fórmula manual anterior |
| Medias independientes | Desviaciones desconocidas (Welch) | \((\bar x_1-\bar x_2)\pm t_{\nu}\sqrt{s_1^2/n_1+s_2^2/n_2}\) | Independencia de grupos | t.test(x,y) |
| Media de diferencias | Mediciones pareadas | \(\bar d\pm t\,s_d/\sqrt n\) | Pares y signos consistentes | t.test(antes,despues,paired=TRUE) |
| Proporción | Bernoulli, muestra independiente | Intervalo Wilson | Evitar Wald en \(p\) extremo o \(n\) pequeño | prop.test, binom.test |
| Diferencia de proporciones | Dos muestras independientes | \((\hat p_1-\hat p_2)\pm z\sqrt{\sum \hat p_j(1-\hat p_j)/n_j}\) | Wald puede cubrir mal; considerar score/Newcombe | Cálculo y paquetes validados |
| Varianza | Muestra normal | \([(n-1)s^2/\chi^2_{alto}, (n-1)s^2/\chi^2_{bajo}]\) | Normalidad poblacional | qchisq() |
3.10.4 Actividades de la Unidad 2 (datos y fórmula antes de R)
- Encuesta probabilística a \(N=900\) hogares: se observan \(n=90\) consumos con \(\bar y=45\) y \(s=12\). Calcule primero el intervalo t usual y luego el intervalo con corrección finita; compare amplitudes y condiciones.
- En una muestra aleatoria de 50 personas, 15 prefieren transporte público. Calcule \(\hat p\), el IC Wald y un IC Wilson al 95 % en R; explique las diferencias.
- En el caso de los 24 hogares didácticos, calcule el IC del 95 % para el conjunto sistemático y discuta por qué la fórmula MAS de error estándar no es automáticamente válida para ese diseño.
- Una clínica compara dos tratamientos: indique si corresponde un IC para medias independientes o para diferencias pareadas cuando a los mismos 12 pacientes se les mide antes y después.
3.11 2.9. Comparación y selección de intervalos
| Parámetro | Situación | Procedimiento habitual |
|---|---|---|
| Una media \(\mu\) | \(\sigma\) conocida | Normal Z |
| Una media \(\mu\) | \(\sigma\) desconocida | t de Student |
| Diferencia de medias | Grupos independientes, varianzas no necesariamente iguales | t de Welch |
| Diferencia de medias | Datos pareados | t sobre diferencias |
| Una proporción | Muestra suficientemente grande | Wilson; Wald como aproximación didáctica |
| Una proporción | Conteos pequeños o extremos | Binomial exacto |
| Diferencia de proporciones | Dos grupos independientes | Intervalo de dos proporciones |
4 Unidad 3. Pruebas de hipótesis
4.1 3.1. Definición
Una prueba o contraste de hipótesis es un procedimiento estadístico que utiliza datos muestrales para evaluar una afirmación acerca de uno o varios parámetros poblacionales.
La prueba no demuestra que una hipótesis sea verdadera. Permite determinar si la evidencia observada es suficientemente incompatible con la hipótesis nula, de acuerdo con un nivel de significancia previamente establecido.
4.1.1 Cuadro de definiciones y lenguaje de las pruebas de hipótesis
| Término | Definición precisa | Símbolo / fórmula | Cómo se interpreta |
|---|---|---|---|
| Hipótesis estadística | Afirmación contrastable sobre un parámetro o distribución | \(H_0\) y \(H_1\) | Se formula antes de mirar el resultado |
| Hipótesis nula | Conjunto de valores tomado como referencia para calibrar la prueba | \(H_0:\theta=\theta_0\) en el caso puntual | No equivale a «verdad demostrada» |
| Hipótesis alternativa | Valores incompatibles con la nula que interesan científicamente | \(H_1:\theta\ne\theta_0\), \(>\) o \(<\) | Define una o dos colas |
| Estadístico de prueba | Resumen de los datos cuya distribución se conoce o aproxima bajo la nula | \(T=T(X_1,\ldots,X_n)\) | Cuantifica distancia con \(H_0\) |
| Nivel de significancia | Cota de probabilidad de rechazo bajo \(H_0\) si la prueba está calibrada | \(\alpha\) | Fija la regla de decisión |
| Valor p | Probabilidad, bajo \(H_0\), de un estadístico igual o más extremo según \(H_1\) | \(p=P_{H_0}(\text{extremo}\ge\text{observado})\) | No es \(P(H_0\mid\text{datos})\) |
| Región de rechazo | Resultados considerados suficientemente incompatibles con \(H_0\) | \(T\in\mathcal R_\alpha\) | Puede ser a una o dos colas |
| Error tipo I | Rechazar una nula verdadera | \(P(\text{rechazar }H_0\mid H_0)=\alpha\) cuando la prueba tiene tamaño exacto \(\alpha\) | Falso positivo |
| Error tipo II | No rechazar una nula falsa | \(\beta(\theta)=P_\theta(\text{no rechazar }H_0)\) | Falso negativo bajo alternativa concreta |
| Potencia | Detectar una alternativa cuando es cierta | \(1-\beta(\theta)\) | Depende del efecto, variabilidad, \(n\) y \(\alpha\) |
| Intervalo de confianza | Procedimiento que construye rangos que cubren el parámetro con frecuencia nominal en muestreo repetido | \(IC_{1-\alpha}\) | No equivale a probabilidad posterior sin modelo bayesiano |
4.2 3.2. Hipótesis nula y alternativa
4.2.1 Hipótesis nula (\(H_0\))
Es la afirmación de referencia que se somete a contraste. Suele representar igualdad, ausencia de diferencia o un valor específico del parámetro.
4.2.2 Hipótesis alternativa (\(H_1\) o \(H_a\))
Es la afirmación que compite con la hipótesis nula y representa el efecto, diferencia o dirección que se desea detectar.
Ejemplo para una media:
\[ H_0:\mu=70. \]
Alternativas posibles:
\[ H_1:\mu\ne70,\qquad H_1:\mu>70,\qquad H_1:\mu<70. \]
La igualdad se incluye en la hipótesis nula. La alternativa se define según la pregunta de investigación y debe fijarse antes de observar los resultados.
4.2.3 ¿Qué significa aceptar, rechazar o no rechazar \(H_0\)?
La expresión correcta en contraste clásico es «rechazar \(H_0\)» o «no rechazar \(H_0\)». Decir «aceptar \(H_0\)» puede confundir ausencia de evidencia con demostración de igualdad. Para afirmar equivalencia o no inferioridad se necesitan márgenes definidos y pruebas específicas (por ejemplo, TOST), no simplemente un valor p grande.
| Situación de decisión | ¿Qué se afirma? | ¿Qué NO se debe afirmar? |
|---|---|---|
| \(p\le\alpha\) | Rechazo \(H_0\); datos relativamente incompatibles con ella | «\(H_1\) queda demostrada con certeza» |
| \(p>\alpha\) | No rechazo \(H_0\); evidencia insuficiente contra ella | «\(H_0\) es verdadera» o «no existe ningún efecto» |
Ejemplo cotidiano. Si \(H_0\) afirma que una máquina llena en promedio 500 mL y se obtiene \(p=0.17\), no es correcto concluir que la máquina llena exactamente 500 mL: los datos solo no contradicen suficientemente esa afirmación al nivel elegido. Si \(p=0.01\) y \(\alpha=0.05\), se rechaza ese valor de referencia, pero se debe analizar también la magnitud del desvío.
4.2.4 Cuadro de formulación de \(H_0\) y \(H_1\) según la pregunta
| Contexto de investigación | Parámetro | \(H_0\) (para el contraste) | \(H_1\) | Dirección |
|---|---|---|---|---|
| ¿Cambió la nota media respecto de 70 puntos? | \(\mu\) | \(\mu=70\) | \(\mu\ne70\) | Bilateral |
| ¿Supera la duración media los 30 minutos? | \(\mu\) | \(\mu\le30\) (frontera \(\mu=30\)) | \(\mu>30\) | Derecha |
| ¿Bajó la proporción de abandono del 20 %? | \(p\) | \(p\ge0.20\) (frontera \(p=0.20\)) | \(p<0.20\) | Izquierda |
| ¿Difieren dos medias de grupos independientes? | \(\mu_1-\mu_2\) | \(\mu_1-\mu_2=0\) | \(\mu_1-\mu_2\ne0\) | Bilateral |
| ¿Mejoró el mismo grupo tras intervención? | \(\mu_D\) (después − antes) | \(\mu_D\le0\) | \(\mu_D>0\) | Derecha |
| ¿Se asocian dos variables nominales? | Distribución conjunta | Son independientes | No son independientes | Omnibus |
Precisiones para la clase: en una prueba unilateral, las hipótesis se pueden expresar con desigualdades que cubren el espacio paramétrico. Para calcular el valor p en pruebas clásicas se emplea habitualmente el valor de frontera de \(H_0\) (por ejemplo, \(\mu_0=30\)). La dirección del contraste se elige por la pregunta de investigación y nunca después de ver la muestra.
Ejercicio propuesto: escriba \(H_0\), \(H_1\), variable, población y prueba candidata para: (i) una tasa de vacunación menor del 85 %; (ii) comparación antes/después de presión arterial en los mismos pacientes; (iii) tres métodos de enseñanza aleatorizados en grupos distintos. Justifique si el contraste será unilateral o bilateral.
4.3 3.3. Tipos de hipótesis
4.3.1 Según el número de valores que admiten
- Simple: especifica completamente el parámetro o la distribución. Ejemplo: \(H_0:p=0.5\).
- Compuesta: admite más de un valor del parámetro. Ejemplo: \(H_1:p>0.5\).
4.3.2 Según su función
- Nula (\(H_0\)).
- Alternativa (\(H_1\)).
4.3.3 Según su dirección
- Bilateral: \(H_1:\theta\ne\theta_0\).
- Unilateral derecha: \(H_1:\theta>\theta_0\).
- Unilateral izquierda: \(H_1:\theta<\theta_0\).
4.3.4 Según el enfoque estadístico
- Paramétricas: se formulan sobre parámetros de una distribución o modelo, por ejemplo una media normal o una proporción binomial. Requieren supuestos sobre la distribución, independencia o estructura del modelo.
- No paramétricas: no especifican una forma paramétrica completa para la distribución, o se basan en rangos, signos o frecuencias. No están libres de supuestos: también requieren condiciones como independencia, escala de medición y, en algunas pruebas, formas comparables de distribución.
No debe confundirse “prueba no paramétrica” con “prueba sin supuestos”.
4.4 3.4. Contrastes unilaterales y bilaterales
4.4.1 Bilateral
Se utiliza cuando interesa detectar cualquier diferencia, sin importar la dirección:
\[ H_0:\theta=\theta_0,\qquad H_1:\theta\ne\theta_0. \]
El nivel \(\alpha\) se distribuye entre las dos colas, con \(\alpha/2\) en cada una.
4.4.2 Unilateral derecha
Se utiliza cuando la pregunta anticipa un aumento:
\[ H_0:\theta\le\theta_0,\qquad H_1:\theta>\theta_0. \]
En el cálculo del estadístico, el contraste suele evaluarse en el valor frontera \(\theta=\theta_0\).
4.4.3 Unilateral izquierda
Se utiliza cuando la pregunta anticipa una disminución:
\[ H_0:\theta\ge\theta_0,\qquad H_1:\theta<\theta_0. \]
Regla metodológica: no se debe escoger unilateral o bilateral después de observar el signo del resultado. La dirección debe estar justificada por la pregunta y definirse antes del análisis.
4.5 3.5. Nivel de significancia, valor p y región crítica
4.5.1 Nivel de significancia \(\alpha\)
Es la probabilidad máxima tolerada de cometer error tipo I bajo la hipótesis nula, según el diseño del contraste. Los valores usuales son 0.10, 0.05 y 0.01.
4.5.2 Valor p
Es la probabilidad, suponiendo que \(H_0\) es cierta, de observar un estadístico de prueba tan extremo o más extremo que el obtenido, en la dirección especificada por \(H_1\).
No es la probabilidad de que \(H_0\) sea verdadera ni la probabilidad de que el resultado se deba al azar.
4.5.3 Región crítica
Es el conjunto de valores del estadístico que conducen al rechazo de \(H_0\). Se determina mediante la distribución del estadístico y el nivel \(\alpha\).
4.5.4 Regla de decisión mediante valor p
- Si \(p\text{-valor}\le\alpha\): se rechaza \(H_0\).
- Si \(p\text{-valor}>\alpha\): no se rechaza \(H_0\).
“No rechazar” no significa aceptar o demostrar \(H_0\); significa que la evidencia no fue suficiente para rechazarla al nivel elegido.
4.5.5 Infografía 4. Regiones de rechazo de una prueba bilateral
Para una prueba Z bilateral del 5 %, se rechaza si \(Z<-1.96\) o \(Z>1.96\). Cada cola tiene área \(\alpha/2=0.025\); el 95 % central es la región de no rechazo.
Distribución normal bajo H0; las colas vinotinto representan la región crítica para alfa = 0,05.
4.6 3.6. Pasos para realizar una prueba de hipótesis
- Definir la población, variable y parámetro.
- Formular \(H_0\) y \(H_1\).
- Elegir \(\alpha\) antes de analizar los datos.
- Verificar los supuestos y seleccionar el procedimiento.
- Calcular el estadístico de prueba.
- Obtener el valor p o comparar con el valor crítico.
- Tomar una decisión estadística.
- Redactar una conclusión en el contexto del problema, sin afirmar más de lo que permiten los datos.
4.7 3.7. Prueba de hipótesis para una media
4.7.1 A. Desviación estándar poblacional conocida: prueba Z
Para contrastar \(H_0:\mu=\mu_0\):
\[ Z=\frac{\bar X-\mu_0}{\sigma/\sqrt n}. \]
Variables: \(\bar X\) es la media observada; \(\mu_0\), el valor planteado en \(H_0\); \(\sigma\), desviación estándar poblacional conocida; \(n\), tamaño muestral.
4.7.2 Ejemplo teórico, cálculo manual
Una empresa afirma que el tiempo medio de entrega es 50 minutos. Se conoce \(\sigma=8\). Una muestra de 64 entregas presenta media de 52 minutos. Evaluar si el tiempo medio es diferente de 50, con \(\alpha=0.05\).
Hipótesis:
\[ H_0:\mu=50,\qquad H_1:\mu\ne50. \]
Estadístico:
\[ Z=\frac{52-50}{8/\sqrt{64}}=\frac{2}{1}=2. \]
Para una prueba bilateral, el valor p es:
\[ p=2P(Z\ge|2|)\approx0.0455. \]
Como \(0.0455<0.05\), se rechaza \(H_0\).
Conclusión: existe evidencia estadística al 5% de que el tiempo medio de entrega difiere de 50 minutos.
4.7.3 Ejemplo en R
x_bar <- 52
mu0 <- 50
sigma <- 8
n <- 64
z_obs <- (x_bar-mu0)/(sigma/sqrt(n))
p_valor <- 2*pnorm(-abs(z_obs))
c(z = z_obs, p_valor = p_valor)#> z p_valor
#> 2.0000000 0.04550034.7.4 B. Desviación estándar poblacional desconocida: prueba t
Se utiliza:
\[ t=\frac{\bar X-\mu_0}{S/\sqrt n}, \qquad gl=n-1. \]
La prueba t de una muestra requiere independencia y, para inferencia exacta con muestras pequeñas, normalidad de la población. Con muestras grandes suele ser robusta ante desviaciones moderadas, pero debe revisarse la presencia de asimetría fuerte y valores atípicos.
4.7.5 Ejemplo teórico, cálculo manual
Se usan los datos de horas:
\[ 8,\;9,\;10,\;11,\;12,\;13. \]
Se desea probar si la media es 9 horas:
\[ H_0:\mu=9,\qquad H_1:\mu\ne9,\qquad\alpha=0.05. \]
Ya se tiene \(\bar x=10.5\), \(s=1.8708\), \(n=6\).
\[ SE=\frac{1.8708}{\sqrt6}=0.7638. \]
\[ t=\frac{10.5-9}{0.7638}\approx1.964,\qquad gl=5. \]
El valor p bilateral es aproximadamente 0.107. Como \(0.107>0.05\), no se rechaza \(H_0\).
Conclusión: la muestra no proporciona evidencia suficiente, al 5%, para afirmar que la media poblacional sea diferente de 9 horas. Esto no prueba que la media sea exactamente 9.
4.7.6 Ejemplo en R
horas <- c(8, 9, 10, 11, 12, 13)
mu0 <- 9
t.test(horas, mu = mu0, alternative = "two.sided",
conf.level = 0.95)#>
#> One Sample t-test
#>
#> data: horas
#> t = 1.964, df = 5, p-value = 0.107
#> alternative hypothesis: true mean is not equal to 9
#> 95 percent confidence interval:
#> 8.53669 12.46331
#> sample estimates:
#> mean of x
#> 10.5# Cálculo manual del estadístico
t_obs <- (mean(horas)-mu0)/(sd(horas)/sqrt(length(horas)))
p_manual <- 2*pt(-abs(t_obs), df = length(horas)-1)
c(t = t_obs, p_valor = p_manual)#> t p_valor
#> 1.963961 0.1067464.7.7 Pruebas unilaterales para una media
En R:
#>
#> One Sample t-test
#>
#> data: horas
#> t = 1.964, df = 5, p-value = 0.0534
#> alternative hypothesis: true mean is greater than 9
#> 95 percent confidence interval:
#> 8.96098 Inf
#> sample estimates:
#> mean of x
#> 10.5#>
#> One Sample t-test
#>
#> data: horas
#> t = -1.964, df = 5, p-value = 0.0534
#> alternative hypothesis: true mean is less than 12
#> 95 percent confidence interval:
#> -Inf 12.039
#> sample estimates:
#> mean of x
#> 10.5La opción alternative define la dirección de la
hipótesis alternativa: "two.sided", "greater"
o "less".
4.8 3.8. Contrastes para dos medias: independientes y pareadas
4.8.1 A. Muestras independientes: t de Welch
Definición: prueba una diferencia \(\Delta_0\) entre dos medias sin imponer igualdad de varianzas. El contraste usual es \(H_0:\mu_A-\mu_B=0\) versus \(H_1:\mu_A-\mu_B\neq0\).
\[ t=\frac{(\bar X_A-\bar X_B)-\Delta_0} {\sqrt{S_A^2/n_A+S_B^2/n_B}},\qquad \nu=\frac{(S_A^2/n_A+S_B^2/n_B)^2} {(S_A^2/n_A)^2/(n_A-1)+(S_B^2/n_B)^2/(n_B-1)}. \]
Variables: \(\Delta_0\) es la diferencia hipotética (0 en igualdad); las demás son medias, varianzas y tamaños de las dos muestras. El valor p bilateral se calcula como \(2P(T_\nu\ge|t_{obs}|)\).
4.8.2 Ejercicio 3A — solución teórica con los datos de la Unidad 2
Enunciado. Utilice \(A=(70,74,76,78,80,82,84,86,88,92)\) y \(B=(64,68,70,72,73,74,76,77,79,80,82,85)\). ¿Son distintas sus medias poblacionales? \(\alpha=0.05\).
- \(H_0:\mu_A=\mu_B\); \(H_1:\mu_A\ne\mu_B\).
- \(\bar x_A=81\), \(\bar x_B=75\), \(SE=2.7597\), \(\nu=18.371\).
- Estadístico: \(t=(81-75)/2.7597=2.1741\).
- Valor p: \(2P(T_{18.371}\ge2.1741)\approx0.0430\).
- Decisión: \(0.0430<0.05\), rechazamos \(H_0\). Hay evidencia estadística de diferencia de medias, pero no necesariamente causalidad.
4.8.3 El mismo ejercicio en R
grupo_A <- c(70,74,76,78,80,82,84,86,88,92)
grupo_B <- c(64,68,70,72,73,74,76,77,79,80,82,85)
na <- length(grupo_A); nb <- length(grupo_B)
se <- sqrt(var(grupo_A)/na + var(grupo_B)/nb)
gl <- (var(grupo_A)/na+var(grupo_B)/nb)^2 /
((var(grupo_A)/na)^2/(na-1)+(var(grupo_B)/nb)^2/(nb-1))
t_obs <- (mean(grupo_A)-mean(grupo_B))/se
p_bilateral <- 2*pt(-abs(t_obs),df=gl)
c(t=t_obs,gl=gl,p=p_bilateral,decision=ifelse(p_bilateral<=.05,"Rechazar H0","No rechazar H0"))#> t gl p
#> "2.17411831576121" "18.370999434669" "0.0429953110068954"
#> decision
#> "Rechazar H0"#>
#> Welch Two Sample t-test
#>
#> data: grupo_A and grupo_B
#> t = 2.174, df = 18.37, p-value = 0.043
#> alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
#> 95 percent confidence interval:
#> 0.210384 11.789616
#> sample estimates:
#> mean of x mean of y
#> 81 754.8.4 B. Muestras pareadas: prueba t sobre diferencias
Para cada pareja se calcula \(D_i=X_{después,i}-X_{antes,i}\). Con \(H_0:\mu_D=\Delta_0\), el estadístico es:
\[ t=\frac{\bar D-\Delta_0}{S_D/\sqrt n},\qquad gl=n-1. \]
Ejercicio 3B. Se dispone de las mismas ocho parejas de notas de la Unidad 2. ¿Aumenta la nota media tras la estrategia? \(H_0:\mu_D\le0\); \(H_1:\mu_D>0\), \(\alpha=0.05\).
A mano: \(d=(5,3,4,2,4,3,3,4)\), \(\bar d=3.5\), \(s_D\approx0.92582\), \(SE\approx0.32733\), \(t=3.5/0.32733\approx10.6927\), \(gl=7\). El valor p unilateral es \(P(T_7\ge10.6927)\approx0.00000687\). Se rechaza \(H_0\) y la muestra ofrece evidencia de aumento medio.
El mismo ejercicio en R:
antes <- c(60,65,70,68,72,64,66,71)
despues <- c(65,68,74,70,76,67,69,75)
d <- despues-antes
t_obs <- mean(d)/(sd(d)/sqrt(length(d)))
p_uni <- pt(t_obs,df=length(d)-1,lower.tail=FALSE)
c(t=t_obs, p_unilateral=p_uni)#> t p_unilateral
#> 10.69267662156 0.00000686756#>
#> Paired t-test
#>
#> data: despues and antes
#> t = 10.69, df = 7, p-value = 0.00000687
#> alternative hypothesis: true mean difference is greater than 0
#> 95 percent confidence interval:
#> 2.87985 Inf
#> sample estimates:
#> mean difference
#> 3.54.9 3.9. Prueba de hipótesis para una proporción
Para contrastar \(H_0:p=p_0\), la aproximación normal utiliza:
\[ Z=\frac{\hat p-p_0} {\sqrt{p_0(1-p_0)/n}}. \]
En el error estándar bajo \(H_0\) se utiliza \(p_0\), no \(\hat p\). La aproximación requiere conteos esperados suficientes. Si la muestra es pequeña o los conteos esperados son bajos, se recomienda la prueba binomial exacta.
4.9.1 Ejemplo teórico, cálculo manual
Una empresa sostiene que el 50% de sus clientes prefiere una nueva presentación. En una muestra de 200 clientes, 112 la prefieren. Se contrasta con \(\alpha=0.05\) si la proporción es diferente de 0.50.
\[ H_0:p=0.50,\qquad H_1:p\ne0.50. \]
\[ \hat p=112/200=0.56. \]
\[ SE_{H_0}=\sqrt{\frac{0.5(0.5)}{200}} =\sqrt{0.00125}=0.03536. \]
\[ Z=\frac{0.56-0.50}{0.03536}\approx1.697. \]
\[ p=2P(Z\ge1.697)\approx0.0897. \]
Como \(0.0897>0.05\), no se rechaza \(H_0\).
Conclusión: no existe evidencia suficiente al 5% para afirmar que la proporción de clientes que prefiere la presentación sea distinta del 50%.
4.9.2 Ejemplo en R
x <- 112
n <- 200
p0 <- 0.50
phat <- x/n
z_obs <- (phat-p0)/sqrt(p0*(1-p0)/n)
p_manual <- 2*pnorm(-abs(z_obs))
c(proporcion = phat, z = z_obs, p_valor = p_manual)#> proporcion z p_valor
#> 0.560000 1.697056 0.089686#>
#> 1-sample proportions test without continuity correction
#>
#> data: x out of n, null probability p0
#> X-squared = 2.88, df = 1, p-value = 0.0897
#> alternative hypothesis: true p is not equal to 0.5
#> 95 percent confidence interval:
#> 0.490717 0.627022
#> sample estimates:
#> p
#> 0.56#>
#> Exact binomial test
#>
#> data: x and n
#> number of successes = 112, number of trials = 200, p-value = 0.104
#> alternative hypothesis: true probability of success is not equal to 0.5
#> 95 percent confidence interval:
#> 0.488250 0.629944
#> sample estimates:
#> probability of success
#> 0.56La prueba exacta puede producir un valor p distinto del aproximado normal, porque utiliza la distribución binomial discreta.
4.10 3.10. Prueba de hipótesis para la diferencia de dos proporciones
Para dos grupos independientes, bajo la hipótesis nula de igualdad \(H_0:p_1=p_2\), se utiliza la proporción combinada:
\[ \hat p_c=\frac{x_1+x_2}{n_1+n_2}. \]
El estadístico aproximado es:
\[ Z= \frac{\hat p_1-\hat p_2} {\sqrt{\hat p_c(1-\hat p_c)(1/n_1+1/n_2)}}. \]
La proporción combinada se utiliza para el contraste de igualdad bajo \(H_0\). No debe confundirse con el error estándar no combinado utilizado en el intervalo de confianza de la diferencia.
4.10.1 Ejemplo teórico
Grupo A: 112 éxitos de 200. Grupo B: 124 éxitos de 220.
\[ \hat p_c=\frac{112+124}{200+220} =\frac{236}{420}=0.5619. \]
\[ \hat p_1=0.56,\qquad \hat p_2=0.5636. \]
\[ Z= \frac{0.56-0.5636} {\sqrt{0.5619(1-0.5619)(1/200+1/220)}}. \]
El estadístico es cercano a cero y el valor p bilateral es alto; por tanto, no se rechaza la igualdad de proporciones.
4.10.2 Ejemplo en R
#>
#> 2-sample test for equality of proportions without continuity correction
#>
#> data: x out of n
#> X-squared = 0.005627, df = 1, p-value = 0.94
#> alternative hypothesis: two.sided
#> 95 percent confidence interval:
#> -0.0986483 0.0913755
#> sample estimates:
#> prop 1 prop 2
#> 0.560000 0.563636# Tabla de éxitos y no éxitos
tabla <- rbind(
Grupo_A = c(112, 200-112),
Grupo_B = c(124, 220-124)
)
colnames(tabla) <- c("Exito", "No_exito")
tabla#> Exito No_exito
#> Grupo_A 112 88
#> Grupo_B 124 96#>
#> Pearson's Chi-squared test
#>
#> data: tabla
#> X-squared = 0.005627, df = 1, p-value = 0.944.11 3.11. Errores en los contrastes de hipótesis
4.11.1 Error tipo I
Consiste en rechazar \(H_0\) cuando \(H_0\) es verdadera.
\[ P(\text{Error tipo I})=\alpha. \]
El nivel de significancia controla esta probabilidad bajo las condiciones del procedimiento.
4.11.2 Error tipo II
Consiste en no rechazar \(H_0\) cuando \(H_0\) es falsa.
\[ P(\text{Error tipo II})=\beta. \]
Su probabilidad depende del verdadero valor del parámetro bajo la alternativa, del tamaño muestral, la variabilidad, el nivel de significancia y el diseño.
4.11.3 Potencia estadística
Es la probabilidad de rechazar \(H_0\) cuando una alternativa específica es verdadera:
\[ Potencia=1-\beta. \]
La potencia aumenta, en general, cuando:
- Se incrementa el tamaño de muestra.
- El efecto real respecto al valor nulo es mayor.
- Disminuye la variabilidad.
- Se utiliza un nivel de significancia mayor, aunque esto también aumenta el riesgo de error tipo I.
- Se utiliza un diseño de estudio más eficiente.
4.11.4 Tabla de decisiones
| Realidad | No rechazar \(H_0\) | Rechazar \(H_0\) |
|---|---|---|
| \(H_0\) verdadera | Decisión correcta | Error tipo I (\(\alpha\)) |
| \(H_0\) falsa | Error tipo II (\(\beta\)) | Decisión correcta (potencia \(1-\beta\)) |
4.11.5 Ejemplo conceptual
Una prueba diagnóstica se utiliza para evaluar si un paciente presenta una condición:
- Error tipo I: concluir que existe la condición cuando realmente no existe (falso positivo).
- Error tipo II: no detectar la condición cuando realmente existe (falso negativo).
La analogía ayuda a interpretar los errores, pero el significado sustantivo depende del problema y de cómo se definan \(H_0\) y \(H_1\).
4.12 3.12. ¿Cómo decidir entre pruebas paramétricas y no paramétricas?
4.12.1 Definiciones precisas
Una prueba paramétrica se deduce de un modelo probabilístico que involucra parámetros como \(\mu\), \(\sigma^2\), \(p\), o coeficientes \(\beta\). Las pruebas t, ANOVA y Z son ejemplos clásicos. Una prueba de proporción binomial exacta también presupone el modelo paramétrico binomial; «exacta» no equivale a «no paramétrica».
Una prueba no paramétrica no requiere especificar completamente una familia paramétrica para los datos: frecuentemente contrasta distribuciones a partir de rangos, signos o frecuencias. No está libre de supuestos y no siempre contrasta el mismo parámetro que la prueba t.
4.12.2 La elección NO se decide solo por Shapiro–Wilk
Antes de elegir el contraste responda en orden:
- Pregunta y estimando: ¿media, diferencia de medias, mediana, distribución, proporción, correlación o independencia?
- Variable: ¿cuantitativa continua, ordinal o categórica? Una variable ordinal de pocos niveles no se transforma automáticamente en «normal» por tener muchos datos.
- Diseño: ¿una muestra, dos grupos independientes, mediciones pareadas, tres o más grupos, tabla de contingencia?
- Dependencia: ¿observaciones independientes? ¿hay estudiantes de una misma clase, familias o repetición de medidas? Si hay conglomeración, puede requerirse modelo mixto, métodos pareados o corrección por diseño.
- Supuestos relevantes: normalidad de residuos o diferencias para pruebas t/ANOVA (sobre todo con muestras pequeñas), asimetría severa, valores atípicos, heterogeneidad de varianzas, frecuencia esperada en categorías.
- Robustez y tamaño muestral: con muestras suficientemente grandes, ciertos promedios admiten inferencia aproximada aun con datos no normales; con varianzas distintas, Welch suele seguir siendo paramétrica y apropiada.
- Consecuencia científica: ¿qué comparación responderá la pregunta? Mann–Whitney no prueba en general la igualdad de medianas. Defina el objetivo antes de elegir.
4.12.3 Tabla central: pruebas paramétricas y no paramétricas
| Pregunta / diseño | Opción paramétrica (qué contrasta) | Opción basada en rangos o alternativa (qué contrasta) | Supuestos que conviene revisar | R |
|---|---|---|---|---|
| 1 muestra cuantitativa | t: \(H_0:\mu=\mu_0\) | Signos: mediana; Wilcoxon 1 muestra: localización bajo simetría | Independencia; normalidad para t pequeño; simetría para Wilcoxon | t.test; wilcox.test;
binom.test para signos |
| 2 grupos independientes | t Welch: \(H_0:\mu_1=\mu_2\) | Mann–Whitney: distribuciones/rangos iguales bajo \(H_0\) | Independencia; outliers; si se interpretan medianas, formas semejantes | t.test; wilcox.test |
| 2 mediciones pareadas | t pareada: \(H_0:\mu_D=0\) | Wilcoxon con signo: diferencias simétricas respecto a 0; signos: mediana de diferencias | Parejas válidas; independencia entre parejas; distribución de diferencias | t.test(...,paired=TRUE);
wilcox.test(...,paired=TRUE) |
| 3+ grupos independientes | ANOVA: igualdad de medias | Kruskal–Wallis: igualdad de distribuciones bajo \(H_0\) | Independencia; normalidad de residuos/homogeneidad para ANOVA clásico | aov; kruskal.test |
| ANOVA con varianzas distintas | ANOVA de Welch: igualdad de medias | Kruskal–Wallis si pregunta adecuada | Diseño de grupos, independencia y formas de distribución | oneway.test |
| Asociación 2 cuantitativas | Pearson: \(H_0:\rho=0\) | Spearman: \(H_0:\rho_s=0\) (asociación monótona basada en rangos) | Linealidad/independencia o monotonicidad; valores extremos | cor.test |
| Asociación 2 categóricas | Modelo multinomial/log-lineal | Chi-cuadrado de independencia; Fisher exacta si tabla pequeña | Frecuencias esperadas, independencia y muestreo | chisq.test; fisher.test |
| 1 proporción binomial | Z aproximada, binomial exacta (ambas asumen modelo Bernoulli) | No hay reemplazo universal de rangos | Ensayos independientes, criterio éxito/fracaso, conteos esperados | prop.test; binom.test |
Aclaración: chi-cuadrado de independencia es tradicionalmente una prueba no paramétrica de asociación categórica, pero sus derivaciones también pueden formularse mediante modelos multinomiales paramétricos. No fuerce clasificaciones binarias cuando la distinción no sea útil.
4.12.4 3.12.A. Cuadro diagnóstico de normalidad: métodos, hipótesis y límites
Este contenido desarrolla los cuadros de Pruebas de hipótesis de Karol Johana Zambrano Cruz (RPubs, 2025), con correcciones de interpretación. El diagnóstico de normalidad es una herramienta condicionada a la prueba elegida, no una puerta de entrada universal: para variables nominales, por ejemplo, no se exige normalidad.
| Herramienta | Concepto y pregunta | Estadístico o expresión | Función en R | Interpretación y precaución |
|---|---|---|---|---|
| Histograma con densidad | ¿Hay asimetría, múltiples modos o colas extremas? | Densidad normal \(f(x)=\{1/(\sigma\sqrt{2\pi})\}\exp[-(x-\mu)^2/(2\sigma^2)]\) | hist(x,probability=TRUE) y
curve(dnorm(...),add=TRUE) |
Diagnóstico visual; depende de cortes |
| Gráfico Q–Q | ¿Coinciden cuantiles observados y normales? | Comparar \((\Phi^{-1}(p_i), x_{(i)})\) | qqnorm(x);qqline(x) |
Curvaturas sugieren desviaciones; no es prueba formal |
| Shapiro–Wilk | \(H_0\): distribución normal; \(H_1\): no normal | \(W=\frac{(\sum a_i x_{(i)})^2}{\sum(x_i-\bar x)^2}\) | shapiro.test(x) |
\(p>\alpha\): no rechazar normalidad, no probarla |
| Kolmogorov–Smirnov de una muestra | \(H_0:F=F_0\) completamente especificada | \(D=\sup_x\lvert F_n(x)-F_0(x)\rvert\) | ks.test(x,"pnorm",mu0,sigma0) |
El p-valor estándar no es válido si \(\mu_0,\sigma_0\) se estiman de los mismos datos sin ajuste |
| Anderson–Darling | Ajuste de distribución con más sensibilidad a colas | \(A^2=-n-\frac1n\sum(2i-1)[\log F(x_{(i)})+\log\{1-F(x_{(n+1-i)})\}]\) | nortest::ad.test(x) (opcional) |
Exige paquete adicional; considerar el modelo y tamaño |
Variables explicadas: \(x_{(i)}\) es el dato ordenado; \(a_i\) son pesos dependientes de \(n\) y cuantiles normales; \(F_n\) es la distribución empírica; \(F_0\) la distribución hipotética; \(\sup\) el máximo superior de las diferencias; \(\Phi^{-1}\) el cuantil normal estándar; \(\mu,\sigma\) parámetros normales. En la fórmula Anderson–Darling, \(F\) es la distribución de referencia usada por el procedimiento de ajuste.
Decidir si usar una prueba paramétrica: se recomienda considerar (1) estimando y escala, (2) una o varias muestras y si son independientes o pareadas, (3) forma de los residuos o diferencias, (4) valores atípicos y heterogeneidad, (5) tamaño y robustez, y (6) alternativas con supuestos interpretables. Pruebas de proporciones, independencia categórica o binomial no necesitan normalidad de observaciones binarias; algunas utilizan aproximaciones asintóticas basadas en conteos.
4.12.5 3.12.B. Cuadro detallado de pruebas paramétricas y modelos por parámetros
| Prueba | Definición / hipótesis habitual | Fórmula de estadístico o modelo | Variables y condición clave | Código R |
|---|---|---|---|---|
| Z de media | Una media frente a \(\mu_0\) con \(\sigma\) conocida | \(z=(\bar x-\mu_0)/(\sigma/\sqrt n)\) | \(\sigma\) población; normalidad de la media | pnorm(z) |
| t una muestra | Media desconocida frente a \(\mu_0\) | \(t=(\bar x-\mu_0)/(s/\sqrt n)\); gl \(n-1\) | \(s\) desviación muestral; independiente | t.test(x,mu=mu0) |
| t de Welch | Comparar medias independientes, varianzas no necesariamente iguales | \(t=(\bar x_1-\bar x_2)/\sqrt{s_1^2/n_1+s_2^2/n_2}\) | \(n_j,s_j^2\) de cada grupo; gl de Satterthwaite | t.test(x,y) |
| t con varianza común | Dos medias independientes, con varianzas iguales | \(t=(\bar x_1-\bar x_2)/[s_p\sqrt{1/n_1+1/n_2}]\) | \(s_p^2=\frac{(n_1-1)s_1^2+(n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2}\) | t.test(x,y,var.equal=TRUE) |
| t pareada | Media de diferencias individuales | \(t=\bar d/(s_d/\sqrt n)\) | \(d_i=\text{después}_i-\text{antes}_i\); parejas | t.test(d,mu=0) |
| ANOVA un factor | \(H_0:\mu_1=\cdots=\mu_k\) | \(F=CM_{entre}/CM_{dentro}\) | \(k\) grupos; residuos, homogeneidad e independencia | summary(aov(y~grupo)) |
| ANOVA dos factores | Efectos de A, B e interacción | \(Y=\mu+\alpha_i+\beta_j+(\alpha\beta)_{ij}+\varepsilon\) | Efectos y tamaño \(F\) según diseño balanceado o no | aov(y~A*B) |
| ANCOVA | Diferencias de grupos ajustadas por covariable | \(Y=\beta_0+\tau_{grupo}+\beta_x X+\varepsilon\) | Relación lineal, independencia, homogeneidad de pendientes si se asume | lm(y~grupo+x) |
| Pearson | Correlación lineal poblacional \(\rho=0\) | \(r=\frac{\sum(x-\bar x)(y-\bar y)}{\sqrt{\sum(x-\bar x)^2\sum(y-\bar y)^2}}\); \(t=r\sqrt{\frac{n-2}{1-r^2}}\) | Pares \((x_i,y_i)\); independencia, para t exacta normalidad bivariada | cor.test(x,y,method="pearson") |
| Regresión lineal | Pendiente de la relación \(Y\)–\(X\) | \(Y_i=\beta_0+\beta_1X_i+\varepsilon_i\); \(t=\hat\beta_1/EE(\hat\beta_1)\) | \(\varepsilon_i\) errores, supuestos residuales; asociación ≠ causalidad | summary(lm(y~x)) |
| Z una proporción | \(H_0:p=p_0\) | \(z=(\hat p-p_0)/\sqrt{p_0(1-p_0)/n}\) | Conteos independientes; tamaño suficiente | prop.test(x,n,p=p0,correct=FALSE) |
| Z dos proporciones | \(H_0:p_1=p_2\) | \(z=(\hat p_1-\hat p_2)/\sqrt{\hat p(1-\hat p)(1/n_1+1/n_2)}\) | \(\hat p=(x_1+x_2)/(n_1+n_2)\) agrupada bajo \(H_0\) | prop.test(c(x1,x2),c(n1,n2),correct=FALSE) |
| Prueba F de varianzas | \(H_0:\sigma_1^2=\sigma_2^2\) | \(F=s_1^2/s_2^2\) | Muy sensible a desviaciones de normalidad | var.test(x,y) |
| Chi-cuadrado una varianza | \(H_0:\sigma^2=\sigma_0^2\) bajo población normal | \(\chi^2=(n-1)s^2/\sigma_0^2\) | gl \(n-1\); para bilateral usar ambas colas | pchisq(...) |
| Binomial exacta | Contrastar una proporción Bernoulli | \(X\sim Bin(n,p_0)\) bajo \(H_0\) | Cuenta éxitos \(X\), ensayos \(n\) independientes | binom.test(x,n,p=p0) |
Nota técnica: en R
prop.test(..., correct=FALSE) reporta el estadístico \(\chi^2=z^2\) (para un contraste bilateral
de una proporción), no necesariamente el valor firmado de \(z\); si quiere el signo compute \(z\) explícitamente. No use
var.test() de forma automática para decidir entre t
agrupada y Welch: Welch suele ser preferible por
defecto.
4.12.6 3.12.C. Cuadro detallado de pruebas no paramétricas, rangos y categorías
| Prueba | Definición / \(H_0\) | Estadístico clave | Variables y condiciones | Código R |
|---|---|---|---|---|
| Signos | Mediana de diferencias igual a cero bajo continuidad | \(B\sim Bin(m,0.5)\) bajo \(H_0\) | \(B\) signos positivos, \(m\) diferencias no nulas; independencia | binom.test(B,m,p=0.5) |
| Wilcoxon una muestra | Localización respecto a \(\theta_0\) bajo simetría | \(W^+=\sum_{d_i>0}rango(\lvert d_i\rvert)\) | \(d_i=x_i-\theta_0\); cuidado con empates/ceros | wilcox.test(x,mu=theta0) |
| Wilcoxon pareada | Localización de diferencias bajo simetría | Suma de rangos positivos \(W^+\) | \(d_i=y_i-x_i\); pares y diferencias independientes | wilcox.test(y,x,paired=TRUE) |
| Mann–Whitney | Comparar distribuciones independientes | \(U_1=R_1-n_1(n_1+1)/2\) | \(R_1\) suma rangos; hipótesis no equivale siempre a igualdad de medianas | wilcox.test(x,y) |
| Kruskal–Wallis | Comparar distribuciones en 3+ grupos | \(H=\frac{12}{N(N+1)}\sum R_j^2/n_j-3(N+1)\) | \(n_j,R_j\) tamaño y suma de rangos por grupo; corrección empates | kruskal.test(y~grupo) |
| Friedman | 3+ tratamientos sobre mismos bloques/personas | \(Q=\frac{12}{bk(k+1)}\sum R_j^2-3b(k+1)\) | \(b\) bloques; \(k\) tratamientos; \(R_j\) suma de rangos dentro de bloques; sin empates | friedman.test(matriz) |
| Spearman | Asociación monótona entre variables ordinales/cuanti | \(\rho_s=cor(rango(x),rango(y))\) | Rangos, posibles empates; independencia de pares | cor.test(x,y,method="spearman") |
| Chi-cuadrado independencia | Asociación entre variables nominales | \(\chi^2=\sum(O_{ij}-E_{ij})^2/E_{ij}\) | \(E_{ij}=T_{fila}T_{col}/N\); frecuencias adecuadas | chisq.test(tabla) |
| Fisher exacta | Asociación en tablas pequeñas, condicionando márgenes | Probabilidad hipergeométrica de la tabla | Celdas esperadas pequeñas; condicional al diseño | fisher.test(tabla) |
| Brown–Forsythe | Comparar dispersión entre grupos con mayor robustez que F | ANOVA de \(\lvert y_{ij}-mediana_j\rvert\) | Desviaciones absolutas a la mediana de grupo | aov(abs_dev~grupo) |
Aclaración epistemológica: Fisher exacta y chi-cuadrado de independencia suelen figurar en «pruebas no paramétricas» en tablas didácticas de análisis categórico, pero implican supuestos probabilísticos concretos. «No paramétrica» no significa «sin condiciones». Algunos contrastes de rangos comparan distribuciones o desplazamientos bajo supuestos adicionales y no automáticamente medias ni medianas.
4.12.7 3.12.D. Tabla práctica de selección, organizada por pregunta
| Mi pregunta | Una o varias muestras | Dependencia | Prueba candidata | Verificación esencial |
|---|---|---|---|---|
| ¿Media igual a referencia? | Una | Observaciones independientes | t de una muestra | Residuos/valores atípicos y \(n\) |
| ¿Medias A/B diferentes? | Dos grupos | Independientes | t de Welch | Grupos independientes, forma/asimetría |
| ¿Cambió un paciente? | Antes y después | Pareadas | t pareada o Wilcoxon pareada | Normalidad/simetría de diferencias, no de grupos por separado |
| ¿Difieren 3 tratamientos? | Tres o más | Independientes | ANOVA, Welch ANOVA o Kruskal–Wallis | Diseño, varianzas y tipo de comparación |
| ¿Difieren 3 tratamientos en pacientes repetidos? | Tres o más | Bloques/medidas repetidas | Friedman o modelo de medidas repetidas | Pareamiento correcto, efecto de bloques |
| ¿Asociación de variables cualitativas? | Tabla | Individuos independientes | Chi-cuadrado / Fisher | Frecuencias esperadas y diseño |
| ¿La proporción alcanza meta? | Una | Bernoulli independientes | Z aproximada / binomial exacta | \(n p_0\), \(n(1-p_0)\) y selección |
| ¿Horas y nota tienen relación? | Pares | Pares independientes | Pearson / Spearman | Linealidad frente a monotonicidad; atípicos |
4.12.8 3.12.E. Ejemplo completo del RPubs: calificaciones y prueba t de Welch
Se retoma el ejemplo numérico del recurso Pruebas de hipótesis, manteniendo los mismos valores del planteamiento en la resolución manual y en R, y usando un diagnóstico gráfico en lugar de aplicar una regla binaria de normalidad.
Problema. Una institución compara las calificaciones de estudiantes que recibieron los métodos A y B, dos grupos independientes. A: \(85,90,88,92,87,89,93,91,86,88\); B: \(78,82,80,85,79,83,81,87,80,84\). Se desea saber si difieren las medias poblacionales al 5 %.
Hipótesis: \(H_0:\mu_A-\mu_B=0\) frente a \(H_1:\mu_A-\mu_B\ne0\). Fórmula:
\[ t=\frac{\bar x_A-\bar x_B}{\sqrt{s_A^2/n_A+s_B^2/n_B}},\quad \nu=\frac{(s_A^2/n_A+s_B^2/n_B)^2}{(s_A^2/n_A)^2/(n_A-1)+(s_B^2/n_B)^2/(n_B-1)}. \]
Variables: \(\bar x_A,\bar x_B\) medias; \(s_A^2,s_B^2\) varianzas muestrales; \(n_A,n_B\) tamaños; \(\nu\) grados de libertad aproximados de Welch-Satterthwaite.
Resolución manual, sin software:
- \(n_A=n_B=10\); \(\bar x_A=88.9\) y \(\bar x_B=81.9\).
- \(s_A^2=6.7667\); \(s_B^2=8.1000\).
- Error estándar de la diferencia: \(\sqrt{6.7667/10+8.1/10}=1.21929\).
- Estadístico: \(t=(88.9-81.9)/1.21929=\boxed{5.74105}\).
- Grados de libertad aproximados: \(\nu\approx17.85637\).
- Valor p bilateral: \(2P(T_{17.85637}\ge5.74105)\approx0.00001984\).
- Como \(p<0.05\), rechazamos la igualdad de medias. La diferencia observada es de 7 puntos, con IC bilateral aproximado \([4.437,9.563]\).
El mismo ejercicio en R (cálculo manual programado y prueba integrada):
calificaciones_A <- c(85,90,88,92,87,89,93,91,86,88)
calificaciones_B <- c(78,82,80,85,79,83,81,87,80,84)
n_A <- length(calificaciones_A); n_B <- length(calificaciones_B)
x_A <- mean(calificaciones_A); x_B <- mean(calificaciones_B)
s2_A <- var(calificaciones_A); s2_B <- var(calificaciones_B)
ee_AB <- sqrt(s2_A/n_A + s2_B/n_B)
t_manual <- (x_A-x_B)/ee_AB
nu_manual <- (s2_A/n_A+s2_B/n_B)^2 /
((s2_A/n_A)^2/(n_A-1)+(s2_B/n_B)^2/(n_B-1))
p_manual <- 2*pt(-abs(t_manual),df=nu_manual)
resultado_welch <- t.test(calificaciones_A, calificaciones_B,
var.equal = FALSE, conf.level = 0.95)
list(datos_resumen = data.frame(n_A,n_B,x_A,x_B,s2_A,s2_B),
t_manual=t_manual, gl=nu_manual, p_manual=p_manual,
prueba_R=resultado_welch)#> $datos_resumen
#> n_A n_B x_A x_B s2_A s2_B
#> 1 10 10 88.9 81.9 6.76667 8.1
#>
#> $t_manual
#> [1] 5.74105
#>
#> $gl
#> [1] 17.8564
#>
#> $p_manual
#> [1] 0.0000198394
#>
#> $prueba_R
#>
#> Welch Two Sample t-test
#>
#> data: calificaciones_A and calificaciones_B
#> t = 5.741, df = 17.86, p-value = 0.0000198
#> alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
#> 95 percent confidence interval:
#> 4.43689 9.56311
#> sample estimates:
#> mean of x mean of y
#> 88.9 81.9par(mfrow=c(1,3),mar=c(4,3.8,3,1), bg="#FFFBFA")
qqnorm(calificaciones_A,main="Q–Q método A",col=vino,pch=19)
qqline(calificaciones_A,col=rosa,lwd=2)
qqnorm(calificaciones_B,main="Q–Q método B",col=vino,pch=19)
qqline(calificaciones_B,col=rosa,lwd=2)
boxplot(calificaciones_A,calificaciones_B,names=c("A","B"),
main="Comparación de notas",ylab="Calificación",
col=c("#70132D","#C57F94"),border="#6D1832")
Diagnóstico del ejemplo de métodos educativos: revisar cada grupo, dispersión y valores atípicos además de los valores p.
#>
#> Shapiro-Wilk normality test
#>
#> data: calificaciones_A
#> W = 0.9752, p-value = 0.935#>
#> Shapiro-Wilk normality test
#>
#> data: calificaciones_B
#> W = 0.9686, p-value = 0.878Discusión: el ejemplo es didáctico y supone dos muestras independientes y ausencia de un sesgo severo de selección. La prueba Shapiro–Wilk no demuestra normalidad si su valor p es grande. Welch ofrece una comparación de medias sin imponer varianzas iguales. La conclusión estadística no demuestra una mejora causal si la asignación a métodos no fue aleatoria.
Ejercicios propuestos:
- Mantenga los mismos 20 puntajes; pruebe unilateralmente \(H_1:\mu_A>\mu_B\). Compare el valor p con el bilateral y explique cuándo estaría justificada esta hipótesis a priori.
- Modifique una sola observación A: sustituya 93 por 130. Repita Q–Q, media, mediana, Welch y Wilcoxon; discuta sensibilidad a valores atípicos.
- Explique por qué estos datos no permiten realizar una prueba pareada si no existe correspondencia de personas entre los grupos.
4.12.9 3.12.F. Ejercicio completo: prueba de los signos y prueba de Friedman
Problema de signos. Ocho pacientes registran la diferencia en horas de sueño después menos antes de una intervención: \(d=(1,2,1,3,2,-1,2,1)\). Se quiere evaluar si la mediana de cambio es 0 (datos sin cero).
Solución matemática: bajo una distribución continua con mediana 0 y observaciones independientes, la probabilidad de signo positivo es 1/2. Hay \(B=7\) positivos de \(m=8\).
\[ H_0:\mathrm{Med}(D)=0,\quad H_1:\mathrm{Med}(D)\ne0, \qquad p=2P\{Bin(8,0.5)\le 1\}=\frac{2(1+8)}{256}=0.0703125. \]
Decisión: \(p>0.05\), no se rechaza la hipótesis nula. En R:
d_sueno <- c(1,2,1,3,2,-1,2,1)
positivos <- sum(d_sueno > 0)
no_ceros <- sum(d_sueno != 0)
p_signos <- 2*pbinom(min(positivos, no_ceros-positivos),
size=no_ceros,prob=0.5)
list(B=positivos,m=no_ceros,p_manual=p_signos,
p_R=binom.test(positivos,no_ceros,p=0.5)$p.value)#> $B
#> [1] 7
#>
#> $m
#> [1] 8
#>
#> $p_manual
#> [1] 0.0703125
#>
#> $p_R
#> [1] 0.0703125Problema Friedman. Se miden 5 personas con 3 métodos, A/B/C (medidas repetidas), sin empates en cada persona:
| Persona | A | B | C |
|---|---|---|---|
| 1 | 60 | 63 | 67 |
| 2 | 62 | 65 | 69 |
| 3 | 70 | 72 | 75 |
| 4 | 66 | 69 | 72 |
| 5 | 71 | 74 | 78 |
Cálculo a mano: cada fila asigna rangos \((1,2,3)\) a A/B/C, así que las sumas de rangos son \(R_A=5\), \(R_B=10\), \(R_C=15\), con \(b=5\) bloques y \(k=3\) tratamientos.
\[ Q=\frac{12}{bk(k+1)}\sum_{j=1}^k R_j^2-3b(k+1) =\frac{12(25+100+225)}{5\cdot3\cdot4}-3(5)(4) =70-60=\boxed{10}. \]
Bajo \(H_0\) de ausencia de diferencias sistemáticas entre tratamientos, la referencia asintótica es \(\chi^2_{k-1}\), de modo que \(p\approx P(\chi^2_2\ge10)=0.00674\). Cuidado: solo hay 5 bloques; el valor p asintótico es ilustrativo y para estudios pequeños puede preferirse una prueba exacta/permutacional de bloques.
notas_repetidas <- rbind(c(60,63,67),c(62,65,69),c(70,72,75),
c(66,69,72),c(71,74,78))
colnames(notas_repetidas) <- c("A","B","C")
rangos <- t(apply(notas_repetidas,1,rank))
R_j <- colSums(rangos)
b <- nrow(rangos); k <- ncol(rangos)
Q_manual <- 12/(b*k*(k+1))*sum(R_j^2)-3*b*(k+1)
list(datos=notas_repetidas, rangos=rangos, sumas=R_j,
Q_manual=Q_manual, p_asintotico=pchisq(Q_manual,k-1,lower.tail=FALSE),
prueba_R=friedman.test(notas_repetidas))#> $datos
#> A B C
#> [1,] 60 63 67
#> [2,] 62 65 69
#> [3,] 70 72 75
#> [4,] 66 69 72
#> [5,] 71 74 78
#>
#> $rangos
#> A B C
#> [1,] 1 2 3
#> [2,] 1 2 3
#> [3,] 1 2 3
#> [4,] 1 2 3
#> [5,] 1 2 3
#>
#> $sumas
#> A B C
#> 5 10 15
#>
#> $Q_manual
#> [1] 10
#>
#> $p_asintotico
#> [1] 0.00673795
#>
#> $prueba_R
#>
#> Friedman rank sum test
#>
#> data: notas_repetidas
#> Friedman chi-squared = 10, df = 2, p-value = 0.00674Ejercicio propuesto: cambie las puntuaciones de la persona 5 de modo que su orden sea C, A, B y recalcule los rangos, \(Q\) y \(p\); compare Friedman con ANOVA para medidas repetidas y justifique qué hipótesis responde cada opción.
4.12.10 Ejercicio de diagnóstico: verificar la normalidad adecuadamente
Enunciado. Se estudian las ocho diferencias pareadas \(d=(5,3,4,2,4,3,3,4)\). Determine qué debe examinar antes de aplicar t pareada.
Solución teórica: el supuesto relevante en la prueba t pareada es la distribución de las ocho diferencias, no la normalidad de las ocho notas «antes» y «después» por separado. Se mira la forma, valores atípicos, gráfica Q-Q y si las parejas son independientes. La prueba Shapiro–Wilk plantea \(H_0\): las diferencias siguen normalidad; un p grande no la demuestra. Por la muestra pequeña, sea prudente con la aproximación.
El mismo diagnóstico en R:
antes <- c(60,65,70,68,72,64,66,71)
despues <- c(65,68,74,70,76,67,69,75)
d <- despues-antes
shapiro.test(d)#>
#> Shapiro-Wilk normality test
#>
#> data: d
#> W = 0.9307, p-value = 0.522par(mfrow=c(1,2),mar=c(4,4,3,1),bg="#FFFAF8")
qqnorm(d, main="Q-Q: diferencias",pch=19,col=vino)
qqline(d,col=rosa,lwd=2)
boxplot(d, main="Diferencias",ylab="Después − antes",col=claro,border=vino)
4.12.11 Banco de fórmulas para contrastes no paramétricos
Mann–Whitney / rangos para dos grupos. Ordene conjuntamente los \(N=n_1+n_2\) datos. Si \(R_1\) es la suma de rangos del grupo 1, entonces:
\[ U_1=R_1-\frac{n_1(n_1+1)}2,\quad E_0(U_1)=\frac{n_1n_2}{2},\quad Var_0(U_1)=\frac{n_1n_2(N+1)}{12}. \]
Sin empates, la aproximación normal es \(Z=(U_1-E_0(U_1))/\sqrt{Var_0(U_1)}\); con empates se corrige la varianza y los valores p exactos o aproximados se calculan según el procedimiento. Variables: \(n_1,n_2\), tamaños; \(R_1\), suma de rangos; \(U_1\), cuenta de comparaciones a favor del grupo 1 bajo ausencia de empates.
Wilcoxon de rangos con signo (pareado). Calcule \(d_i\), elimine diferencias cero, asigne rangos a \(|d_i|\) y sume los rangos de diferencias positivas: \(W^+=\sum_{d_i>0}rank(|d_i|)\). Sin empates/cero:
\[ E_0(W^+)=\frac{m(m+1)}4,\qquad Var_0(W^+)=\frac{m(m+1)(2m+1)}{24}. \]
Aquí \(m\) es el número de diferencias no nulas y \(W^+\) la suma de rangos positivos. La distribución exacta se basa en signos equiprobables con simetría bajo \(H_0\).
Kruskal–Wallis (\(k\) grupos). Para \(N\) observaciones, \(n_j\) elementos en grupo \(j\), y \(R_j\) la suma de rangos del grupo:
\[ H=\frac{12}{N(N+1)}\sum_{j=1}^{k}\frac{R_j^2}{n_j}-3(N+1). \]
Con suficientes observaciones, bajo \(H_0\), \(H\) se aproxima a \(\chi^2_{k-1}\), aplicando corrección por empates cuando proceda.
Chi-cuadrado de Pearson (independencia). Si \(O_{ij}\) son frecuencias observadas y \(E_{ij}=\text{total fila}_i\times\text{total columna}_j/N\),
\[ \chi^2=\sum_{i=1}^{r}\sum_{j=1}^{c} \frac{(O_{ij}-E_{ij})^2}{E_{ij}},\qquad gl=(r-1)(c-1). \]
Variables: \(r,c\), cantidades de categorías en filas/columnas; \(N\), total; \(O\) y \(E\), frecuencias observadas y esperadas. Si las esperadas son pequeñas, contemple Fisher exacta, agregación justificada de categorías o simulación Monte Carlo.
4.12.12 Ejercicio 3C. Mann–Whitney: manual y R
Enunciado: comparar dos grupos independientes, \(A=(8,9,10,12,13)\) y \(B=(3,4,5,6,7)\), con \(H_0\): ambas distribuciones son iguales, \(H_1\): son diferentes; \(\alpha=0.05\). No hay empates.
Solución manual. Los rangos combinados de B son 1–5 y de A son 6–10; por tanto \(R_A=6+7+8+9+10=40\) y:
\[ U_A=40-\frac{5(6)}2=25. \]
Todos los valores de A exceden a todos los de B. En el caso exacto bilateral, la probabilidad de separación tan extrema bajo la permutación de etiquetas es \(p=2/\binom{10}{5}=2/252\approx0.00794\). Se rechaza \(H_0\); los grupos difieren en distribución.
El mismo ejercicio en R:
A <- c(8,9,10,12,13); B <- c(3,4,5,6,7)
R_A <- sum(rank(c(A,B))[seq_along(A)])
U_A <- R_A-length(A)*(length(A)+1)/2
p_exacto_manual <- 2/choose(length(A)+length(B),length(A))
c(R_A=R_A,U_A=U_A,p=p_exacto_manual)#> R_A U_A p
#> 40.00000000 25.00000000 0.00793651#>
#> Wilcoxon rank sum exact test
#>
#> data: A and B
#> W = 25, p-value = 0.00794
#> alternative hypothesis: true location shift is not equal to 04.12.13 Ejercicio 3D. Wilcoxon pareado: manual y R
Enunciado: seis sujetos antes \((10,12,14,16,18,20)\), después \((12,15,18,17,23,26)\). Contrastar si hubo cambio (bilateral) con \(\alpha=.05\).
Solución manual. \(d=(2,3,4,1,5,6)\): no hay ceros ni empates en magnitud, todos los signos son positivos. Los rangos positivos son 1,2,3,4,5,6, de donde \(W^+=21\). Entre las \(2^6=64\) asignaciones equiprobables de signos, dos tienen suma tan extrema (0 y 21). Así \(p=2/64=0.03125\); se rechaza \(H_0\). La interpretación como cambio de localización se apoya en la simetría de las diferencias.
El mismo ejercicio en R:
antes_w <- c(10,12,14,16,18,20)
despues_w <- c(12,15,18,17,23,26)
d_w <- despues_w-antes_w
Wmas <- sum(rank(abs(d_w))[d_w>0])
c(W_mas=Wmas,p_exacto=2/2^length(d_w))#> W_mas p_exacto
#> 21.00000 0.03125#>
#> Wilcoxon signed rank exact test
#>
#> data: despues_w and antes_w
#> V = 21, p-value = 0.0313
#> alternative hypothesis: true location shift is not equal to 04.12.14 Ejercicio 3E. Kruskal–Wallis: manual y R
Enunciado: compare \(A=(1,2,3,4)\), \(B=(5,6,7,8)\), \(C=(9,10,11,12)\); \(H_0\): las tres distribuciones son iguales.
Solución manual: \(N=12\), \(k=3\), \(n_j=4\), sumas de rangos \(R_A=10\), \(R_B=26\), \(R_C=42\). Sin empates:
\[ H=\frac{12}{12(13)}\left(\frac{10^2}{4}+\frac{26^2}{4}+\frac{42^2}{4}\right)-3(13) =9.84615. \]
Aproximación \(\chi^2\) con \(gl=2\): \(p\approx0.00728\), de modo que se rechaza \(H_0\). No se concluye cuáles grupos difieren sin comparaciones posteriores ajustadas.
El mismo ejercicio en R:
valores <- 1:12
grupo <- factor(rep(c("A","B","C"),each=4))
rangos <- rank(valores)
Rj <- tapply(rangos,grupo,sum); nj <- table(grupo)
H <- 12/(12*13)*sum(Rj^2/nj)-3*13
c(H=H,gl=2,p_aprox=pchisq(H,df=2,lower.tail=FALSE))#> H gl p_aprox
#> 9.84615385 2.00000000 0.00727671#>
#> Kruskal-Wallis rank sum test
#>
#> data: valores by grupo
#> Kruskal-Wallis chi-squared = 9.846, df = 2, p-value = 0.007284.12.15 Ejercicio 3F. Chi-cuadrado de independencia: manual y R
Enunciado. En una tabla de 2 grupos (filas) por 2 preferencias (columnas), las frecuencias observadas son
| Producto 1 | Producto 2 | Total | |
|---|---|---|---|
| Grupo A | 40 | 20 | 60 |
| Grupo B | 30 | 30 | 60 |
| Total | 70 | 50 | 120 |
Plantee \(H_0\): las variables son independientes; \(H_1\): existe asociación. \(\alpha=.05\).
Solución manual: las esperadas son \(E_{11}=60(70)/120=35\), \(E_{12}=25\), \(E_{21}=35\), \(E_{22}=25\). Así:
\[ \chi^2=\frac{(40-35)^2}{35}+\frac{(20-25)^2}{25}+ \frac{(30-35)^2}{35}+\frac{(30-25)^2}{25}=3.42857. \]
Con \(gl=(2-1)(2-1)=1\), \(p\approx0.0641\). No se rechaza \(H_0\) al 5 %. Esto no demuestra que las variables sean independientes.
El mismo ejercicio en R:
tabla_pref <- matrix(c(40,20,30,30),nrow=2,byrow=TRUE,
dimnames=list(grupo=c("A","B"),
preferencia=c("P1","P2")))
E <- outer(rowSums(tabla_pref),colSums(tabla_pref))/sum(tabla_pref)
chi_manual <- sum((tabla_pref-E)^2/E)
c(chi_cuadrado=chi_manual,gl=1,
p_aproximado=pchisq(chi_manual,df=1,lower.tail=FALSE))#> chi_cuadrado gl p_aproximado
#> 3.4285714 1.0000000 0.0640775#>
#> Pearson's Chi-squared test
#>
#> data: tabla_pref
#> X-squared = 3.429, df = 1, p-value = 0.0641#>
#> Fisher's Exact Test for Count Data
#>
#> data: tabla_pref
#> p-value = 0.0952
#> alternative hypothesis: true odds ratio is not equal to 1
#> 95 percent confidence interval:
#> 0.898599 4.475386
#> sample estimates:
#> odds ratio
#> 1.988294.12.16 Ejercicio 3G. ANOVA de un factor: manual y R
Definición: ANOVA clásico compara las medias de tres o más poblaciones cuando se satisfacen los supuestos de independencia, normalidad de errores y varianza común. Si no se justifica varianza común, considere ANOVA de Welch.
\[ F=\frac{CM_{entre}}{CM_{dentro}}= \frac{SC_{entre}/(k-1)}{SC_{dentro}/(N-k)}, \]
\[ SC_{entre}=\sum_{j=1}^{k}n_j(\bar x_j-\bar x)^2,\qquad SC_{dentro}=\sum_{j=1}^{k}\sum_i(x_{ij}-\bar x_j)^2. \]
Variables: \(k\) grupos; \(N\) total; \(n_j\) tamaño del grupo; \(\bar x_j\) su media; \(\bar x\), media global; \(SC\), suma de cuadrados; \(CM\), cuadrado medio.
Enunciado. Datos de A \((7,8,9,10)\), B \((11,12,13,14)\), C \((15,16,17,18)\). \(H_0:\mu_A=\mu_B=\mu_C\); \(H_1\): al menos una media diferente. \(\alpha=0.05\).
Solución manual: las medias son 8.5, 12.5 y 16.5; media global 12.5. Entonces \(SC_{entre}=4(16+0+16)=128\), \(SC_{dentro}=15\), \(CM_{entre}=128/2=64\), \(CM_{dentro}=15/9=1.6667\); \(F=64/1.6667=38.4\). Con grados de libertad \((2,9)\), \(p<.001\); se rechaza \(H_0\).
El mismo ejercicio en R:
nota <- c(7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18)
g <- factor(rep(c("A","B","C"),each=4))
mod <- aov(nota~g)
summary(mod)#> Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
#> g 2 128 64.0 38.4 0.000039 ***
#> Residuals 9 15 1.7
#> ---
#> Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1#> F p
#> 38.4000000000 0.0000392101boxplot(nota~g,col=c(claro,"#EFC3CF",rosa),border=vino,
main="Puntajes por grupo",xlab="Grupo",ylab="Puntaje")
#>
#> One-way analysis of means (not assuming equal variances)
#>
#> data: nota and g
#> F = 34.56, num df = 2, denom df = 6, p-value = 0.000514.12.17 Ejercicio 3H. Correlación: Pearson vs. Spearman
La correlación de Pearson estima asociación lineal:
\[ r=\frac{\sum_i(x_i-\bar x)(y_i-\bar y)} {\sqrt{\sum_i(x_i-\bar x)^2\sum_i(y_i-\bar y)^2}}, \quad t=r\sqrt{\frac{n-2}{1-r^2}}\sim t_{n-2}\quad(H_0:\rho=0). \]
Spearman aplica la correlación de Pearson a los rangos; sin empates también puede usarse \(r_s=1-6\sum d_i^2/[n(n^2-1)]\), donde \(d_i\) es la diferencia entre rangos de las dos variables.
Enunciado y resolución manual: con \(x=(1,2,3,4,5)\) e \(y=(2,4,5,4,6)\), \(\bar x=3\), \(\bar y=4.2\); \(\sum(x_i-\bar x)(y_i-\bar y)=8\), \(\sum(x_i-\bar x)^2=10\), \(\sum(y_i-\bar y)^2=8.8\). Así \(r=8/\sqrt{88}\approx0.8528\). Para \(n=5\), \(gl=3\) y \(t=r\sqrt{3/(1-r^2)}\approx2.83\). La evidencia es limitada con muestra pequeña; el valor p se obtiene de t.
El mismo ejercicio en R:
x_cor <- 1:5; y_cor <- c(2,4,5,4,6)
r_manual <- sum((x_cor-mean(x_cor))*(y_cor-mean(y_cor))) /
sqrt(sum((x_cor-mean(x_cor))^2)*sum((y_cor-mean(y_cor))^2))
c(r_manual=r_manual,t_manual=r_manual*sqrt(3/(1-r_manual^2)))#> r_manual t_manual
#> 0.852803 2.828427#>
#> Pearson's product-moment correlation
#>
#> data: x_cor and y_cor
#> t = 2.828, df = 3, p-value = 0.0663
#> alternative hypothesis: true correlation is not equal to 0
#> 95 percent confidence interval:
#> -0.118996 0.990111
#> sample estimates:
#> cor
#> 0.852803#>
#> Spearman's rank correlation rho
#>
#> data: x_cor and y_cor
#> S = 3.584, p-value = 0.0886
#> alternative hypothesis: true rho is not equal to 0
#> sample estimates:
#> rho
#> 0.820783plot(x_cor,y_cor,pch=19,col=vino,main="Asociación observada",xlab="X",ylab="Y")
abline(lm(y_cor~x_cor),col=rosa,lwd=2)
4.12.18 Infografía 5. Árbol de decisión de pruebas
Ruta orientativa de decisión: primero objetivo y diseño, luego supuestos y estimando.
4.12.19 3.12.G. Laboratorio guiado: elegir y aplicar una prueba de hipótesis desde cero
1. Problema2. Variables3. H₀ / H₁ 4. Explorar y graficar5. Elegir prueba6. Calcular e interpretar
4.12.19.1 Paso 1. Leer el problema antes de hacer cálculos
Situación. Una institución de salud quiere saber si el tiempo de espera hasta recibir atención presenta el mismo comportamiento en las sedes Centro y Norte. Para ilustrar el procedimiento, se plantea un estudio didáctico con 12 usuarios distintos seleccionados de forma independiente por sede en jornadas comparables. Cada tiempo se mide en minutos. Se desea estudiar si las distribuciones de los tiempos difieren; no se presupone desde el comienzo que lo importante sea únicamente el promedio.
Pregunta de investigación: ¿existe evidencia estadística de que los tiempos de espera tienen distribuciones distintas entre ambas sedes, con un nivel de significancia de 5 %?
| Usuario | Centro (minutos) | Norte (minutos) |
|---|---|---|
| 1 | 8 | 21 |
| 2 | 9 | 22 |
| 3 | 10 | 23 |
| 4 | 11 | 24 |
| 5 | 12 | 25 |
| 6 | 13 | 26 |
| 7 | 14 | 27 |
| 8 | 15 | 28 |
| 9 | 16 | 29 |
| 10 | 17 | 30 |
| 11 | 18 | 31 |
| 12 | 55 | 68 |
Importante: cada fila enumera usuarios diferentes en las dos sedes; no representa una pareja antes/después. Es un diseño de dos muestras independientes. Obsérvese también un tiempo inusualmente alto en cada sede, que no debe borrarse sin investigar su origen.
4.12.19.2 Paso 2. Identificar las variables y distinguir los métodos paramétricos y no paramétricos
| Elemento | Identificación | ¿Qué implica? |
|---|---|---|
| Variable explicativa | Sede: Centro o Norte | Cualitativa nominal, con dos grupos independientes. |
| Variable de respuesta | Tiempo de espera, en minutos | Cuantitativa, en escala de razón, no negativa; permite calcular media, mediana y dispersión. |
| Unidades de análisis | Usuarios distintos | Cada persona aporta una medición; se presupone independencia entre usuarios para este ejemplo. |
| Parámetro o propiedad de interés | Comparación de las distribuciones de los tiempos de espera | No debe confundirse automáticamente con una comparación de medias. |
| Nivel de significancia | \(\alpha=0.05\) | Máximo riesgo de error tipo I elegido antes de analizar los datos. |
¿Las variables son «paramétricas» o «no paramétricas»?
Las variables se clasifican como cuantitativas, cualitativas, discretas, continuas u ordinales. En sentido riguroso, paramétrica o no paramétrica describe principalmente a la prueba o al modelo estadístico, no a una variable. Una prueba paramétrica utiliza hipótesis sobre parámetros de un modelo probabilístico (por ejemplo, la prueba t de Welch contrasta medias). Una prueba no paramétrica evita especificar completamente una familia probabilística (por ejemplo, Mann–Whitney utiliza el orden o rango de las observaciones). Ambas exigen supuestos.| Situación que podría encontrarse | Prueba candidata | Qué se contrasta y qué revisar |
|---|---|---|
| Dos grupos independientes, interés en sus medias, supuestos razonables o inferencia robusta de medias | t de Welch (paramétrica) | \(H_0:\mu_C=\mu_N\); independencia, tamaño, asimetrías y valores atípicos. No exige varianzas iguales. |
| Dos grupos independientes, interés en distribuciones / orden de los tiempos, datos con fuerte asimetría | Mann–Whitney–Wilcoxon (por rangos, no paramétrica) | \(H_0:F_C=F_N\) frente a distribuciones distintas; independencia y medición al menos ordinal. Para interpretar diferencia de medianas se necesitan supuestos adicionales sobre las formas. |
| Los mismos pacientes medidos antes y después | t pareada, Wilcoxon pareada o signos | El análisis se hace sobre las diferencias dentro de cada pareja; no aplica al presente ejemplo. |
| Una variable categórica como «satisfecho / insatisfecho» | Chi-cuadrado o Fisher | Se trabaja con frecuencias, no con normalidad de tiempos. |
4.12.19.3 Paso 3. Formular las hipótesis nula y alternativa
En este caso se decidió estudiar la distribución completa de los tiempos:
\[ \boxed{H_0:F_C(t)=F_N(t)\ \text{para todo }t} \]
\[ \boxed{H_1:F_C(t)\neq F_N(t)\ \text{para algún }t} \]
- \(H_0\) (hipótesis nula): los tiempos de espera de Centro y Norte tienen la misma distribución poblacional. No se postula una diferencia sistemática entre sedes.
- \(H_1\) (hipótesis alternativa bilateral): las distribuciones de los tiempos de espera son diferentes. No se fijó previamente cuál sede debería tener tiempos mayores.
- \(F_C(t)\) y \(F_N(t)\): funciones de distribución acumulada, es decir, la probabilidad de observar un tiempo menor o igual que \(t\) en cada sede.
- Regla de decisión: si \(p\leq0.05\), rechazar \(H_0\); si \(p>0.05\), no rechazar \(H_0\).
4.12.19.4 Paso 4. Escribir los datos en R y describir su comportamiento
En el siguiente bloque se carga exactamente la misma tabla; no se generan observaciones aleatorias adicionales.
# Caso de estudio: cada vector corresponde a usuarios distintos.
caso_hip_centro <- c(8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 55)
caso_hip_norte <- c(21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 68)
caso_hip_datos <- data.frame(
sede = rep(c("Centro", "Norte"), each = 12),
espera = c(caso_hip_centro, caso_hip_norte)
)
caso_hip_describir <- function(x) c(
n = length(x), media = mean(x), mediana = median(x),
desviacion = sd(x), Q1 = unname(quantile(x, .25)),
Q3 = unname(quantile(x, .75)), minimo = min(x), maximo = max(x)
)
caso_hip_tabla <- rbind(
Centro = caso_hip_describir(caso_hip_centro),
Norte = caso_hip_describir(caso_hip_norte)
)
knitr::kable(round(caso_hip_tabla, 2),
caption = "Resumen descriptivo de los mismos 24 tiempos de espera")| n | media | mediana | desviacion | Q1 | Q3 | minimo | maximo | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Centro | 12 | 16.5 | 13.5 | 12.53 | 10.75 | 16.25 | 8 | 55 |
| Norte | 12 | 29.5 | 26.5 | 12.53 | 23.75 | 29.25 | 21 | 68 |
Lectura previa de la tabla: para Centro, \(n_C=12\), \(\bar x_C=16.5\) y mediana \(\widetilde x_C=13.5\) minutos; para Norte, \(n_N=12\), \(\bar x_N=29.5\) y mediana \(\widetilde x_N=26.5\) minutos. La mediana de Norte supera a la de Centro en 13 minutos, y la media también en 13 minutos. Las medias están elevadas por los valores extremos 55 y 68 minutos.
Gráficos de exploración (con los mismos datos):
caso_hip_op <- par(mfrow = c(2, 2), mar = c(4.5, 4.3, 3.4, 1),
oma = c(0, 0, 0.4, 0), bg = "#FFFCFB")
boxplot(espera ~ sede, data = caso_hip_datos,
col = c("#F1C5D0", "#BE6480"), border = vino,
xlab = "Sede", ylab = "Minutos", main = "1. Mediana y valores atípicos")
stripchart(espera ~ sede, data = caso_hip_datos,
vertical = TRUE, method = "jitter", jitter = 0.10,
add = TRUE, pch = 19, col = adjustcolor(vino, 0.6))
stripchart(espera ~ sede, data = caso_hip_datos,
vertical = TRUE, method = "stack", pch = 19,
cex = 1.05, col = c(vino, rosa),
xlab = "Sede", ylab = "Minutos", main = "2. Los 24 valores observados")
abline(h = c(20, 40, 60), col = "#EBD7DD", lty = 3)
qqnorm(caso_hip_centro, pch = 19, col = vino,
main = "3. Q-Q: sede Centro")
qqline(caso_hip_centro, col = rosa, lwd = 2)
qqnorm(caso_hip_norte, pch = 19, col = vino,
main = "4. Q-Q: sede Norte")
qqline(caso_hip_norte, col = rosa, lwd = 2)
Exploración del caso: comparación de sedes, observaciones individuales y gráficos Q-Q por grupo.
4.12.19.5 Paso 5. Comprobar supuestos: normalidad, independencia y forma
Qué estudia Shapiro–Wilk:
\[ H_0^{(norm)}:\text{los datos del grupo siguen una distribución normal}; \qquad H_1^{(norm)}:\text{no siguen una distribución normal}. \]
Su estadístico es
\[ W=\frac{\left(\sum_{i=1}^{n}a_i x_{(i)}\right)^2} {\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar x)^2}. \]
Aquí \(x_{(i)}\) es el dato ordenado, \(a_i\) son ponderaciones calculadas a partir de la normal teórica, \(x_i\) es cada observación y \(\bar x\) es la media. El cálculo exacto de los coeficientes \(a_i\) lo realiza R; no se sustituyen por una fórmula elemental inexistente. Se evalúa la normalidad de la variable cuantitativa dentro de cada sede, no de la variable categórica «sede».
caso_hip_sh_centro <- shapiro.test(caso_hip_centro)
caso_hip_sh_norte <- shapiro.test(caso_hip_norte)
knitr::kable(data.frame(
Sede = c("Centro", "Norte"),
W = signif(c(unname(caso_hip_sh_centro$statistic),
unname(caso_hip_sh_norte$statistic)), 5),
p_valor = signif(c(caso_hip_sh_centro$p.value,
caso_hip_sh_norte$p.value), 5),
Decision_normalidad = c(
ifelse(caso_hip_sh_centro$p.value <= .05, "Rechazar normalidad", "No rechazar normalidad"),
ifelse(caso_hip_sh_norte$p.value <= .05, "Rechazar normalidad", "No rechazar normalidad")
)
), caption = "Shapiro-Wilk calculado por separado para cada sede")| Sede | W | p_valor | Decision_normalidad |
|---|---|---|---|
| Centro | 0.57332 | 0.000065 | Rechazar normalidad |
| Norte | 0.57332 | 0.000065 | Rechazar normalidad |
Resultado del diagnóstico: para cada grupo, \(W\approx0.5733\) y \(p\approx0.000065\); dado que \(p<0.05\), se rechaza la hipótesis de normalidad de cada grupo. Los gráficos refuerzan esta conclusión: la asimetría es muy pronunciada.
Otros supuestos, distintos de normalidad: se ha supuesto en el enunciado que las observaciones provienen de usuarios diferentes y se seleccionaron independientemente. Esto no se prueba usando Shapiro. No hay empates entre los 24 tiempos, lo que simplifica el cálculo exacto de Mann–Whitney. Las formas observadas son muy similares y aproximadamente desplazadas, pero la interpretación principal será una comparación de distribuciones, no una afirmación universal de igualdad/diferencia de medianas.
4.12.19.6 Paso 6. Seleccionar la prueba estadística y explicar por qué
PRUEBA ELEGIDA Mann–Whitney–Wilcoxon, dos grupos independientes
Justificación: dos grupos independientes; resultado cuantitativo que se puede ordenar; distribuciones claramente asimétricas; pregunta sobre diferencias en distribuciones. La prueba evalúa mediante rangos si los resultados de las sedes son intercambiables bajo \(H_0\). No es la prueba de Wilcoxon pareada ni un contraste automático de medias.Recordatorio de las dos hipótesis del problema:
\[H_0:F_C=F_N,\qquad H_1:F_C\ne F_N,\qquad \alpha=0.05.\]
4.12.19.7 Paso 7. Resolver la prueba a mano: rangos, estadístico y valor p
Fórmula principal. Juntamos las \(n_C+n_N=24\) observaciones, ordenamos de menor a mayor y les asignamos rangos \(1,\dots,24\). Sea \(R_C\) la suma de los rangos de Centro. El estadístico de Mann–Whitney para Centro es
\[ \boxed{U_C=R_C-\frac{n_C(n_C+1)}{2}},\qquad \boxed{U_N=n_Cn_N-U_C}. \]
Variables: \(U_C\) y \(U_N\) cuentan comparaciones ordenadas entre muestras; \(R_C\) es la suma de rangos de los tiempos de Centro; \(n_C\) y \(n_N\) son los tamaños muestrales. No hay empates en este ejercicio, por lo que no se necesitan rangos promedio ni ajustes por empates.
Sustitución manual con los 24 datos: los primeros 11 tiempos de Centro (\(8,\dots,18\)) ocupan los rangos \(1,\dots,11\); su último tiempo (55) ocupa el rango 23, pues el tiempo 68 de Norte queda en el 24. Por tanto,
\[ R_C=(1+2+\cdots+11)+23=66+23=\boxed{89}. \]
\[ U_C=89-\frac{12(13)}{2}=89-78=\boxed{11}, \qquad U_N=12(12)-11=\boxed{133}. \]
Aproximación normal (cálculo teórico del valor p). Bajo \(H_0\), para muestras independientes sin empates:
\[ E(U_C)=\frac{n_Cn_N}{2},\qquad Var(U_C)=\frac{n_Cn_N(n_C+n_N+1)}{12}. \]
Sustituyendo:
\[ E(U_C)=\frac{12(12)}{2}=72,\qquad Var(U_C)=\frac{12(12)(25)}{12}=300,\qquad SE_U=\sqrt{300}\approx17.3205. \]
Con corrección de continuidad de 0.5, porque el estadístico \(U\) es discreto:
\[ Z\approx\frac{U_C-E(U_C)+0.5}{SE_U} =\frac{11-72+0.5}{17.3205}=\boxed{-3.493}. \]
El contraste es bilateral, así que:
\[ \boxed{p_{aprox}=2P(Z\leq-3.493)\approx0.000478}. \]
La prueba exacta, calculada enumerando la distribución de rangos bajo \(H_0\), proporciona \(p_{exacto}\approx0.000144\). No es un error que los valores difieran: la cuenta manual usó una aproximación normal y R puede usar la distribución exacta. Ambas pruebas conducen a la misma decisión.
Tamaño del efecto (lectura práctica): de los \(12\times12=144\) pares posibles de usuarios de sedes diferentes, en \(133\) pares el tiempo de Norte supera el de Centro. La proporción observada es
\[ \hat P(T_N>T_C)=\frac{133}{144}=\boxed{0.924}. \]
Es una medida descriptiva de superioridad entre grupos y no debe confundirse con una probabilidad posterior de que \(H_1\) sea verdadera.
4.12.19.8 Paso 8. Repetir exactamente el mismo ejercicio en R
# 1. Rangos conjuntos y cálculo escrito a mano
caso_hip_rangos <- rank(c(caso_hip_centro, caso_hip_norte))
caso_hip_nc <- length(caso_hip_centro)
caso_hip_nn <- length(caso_hip_norte)
caso_hip_Rc <- sum(caso_hip_rangos[seq_len(caso_hip_nc)])
caso_hip_Uc <- caso_hip_Rc - caso_hip_nc * (caso_hip_nc + 1) / 2
caso_hip_Un <- caso_hip_nc * caso_hip_nn - caso_hip_Uc
# 2. Media/varianza bajo H0 y p aproximado con corrección continua
caso_hip_muU <- caso_hip_nc * caso_hip_nn / 2
caso_hip_seU <- sqrt(caso_hip_nc * caso_hip_nn *
(caso_hip_nc + caso_hip_nn + 1) / 12)
caso_hip_z <- (caso_hip_Uc - caso_hip_muU + 0.5) / caso_hip_seU
caso_hip_p_aprox <- 2 * pnorm(-abs(caso_hip_z))
# 3. Misma prueba en R: aproximación comparable al cálculo a mano
caso_hip_prueba_aprox <- wilcox.test(caso_hip_centro, caso_hip_norte,
alternative = "two.sided",
exact = FALSE, correct = TRUE)
# 4. Prueba exacta: apropiada aquí porque no hay empates
caso_hip_prueba_exacta <- wilcox.test(caso_hip_centro, caso_hip_norte,
alternative = "two.sided", exact = TRUE)
caso_hip_resultados <- data.frame(
Metodo = c("Manual: Z con continuidad", "R: Wilcoxon aproximada",
"R: Wilcoxon exacta"),
Estadistico_U_C = rep(caso_hip_Uc, 3),
p_valor = c(caso_hip_p_aprox, caso_hip_prueba_aprox$p.value,
caso_hip_prueba_exacta$p.value)
)
knitr::kable(caso_hip_resultados, digits = 7,
caption = "Mismos datos: comparación de solución manual, aproximada y exacta")| Metodo | Estadistico_U_C | p_valor |
|---|---|---|
| Manual: Z con continuidad | 11 | 0.0004777 |
| R: Wilcoxon aproximada | 11 | 0.0004777 |
| R: Wilcoxon exacta | 11 | 0.0001442 |
# Tamaño del efecto descriptivo, probabilístico (sin empates)
caso_hip_prob_superioridad <- caso_hip_Un / (caso_hip_nc * caso_hip_nn)
cat("P observada(Norte > Centro):",
round(caso_hip_prob_superioridad, 4), "\n")#> P observada(Norte > Centro): 0.9236cat("Decisión al 5 %:",
ifelse(caso_hip_prueba_exacta$p.value <= 0.05,
"RECHAZAR H0", "NO RECHAZAR H0"), "\n")#> Decisión al 5 %: RECHAZAR H0Comprobación importante: si se ejecuta
wilcox.test con el primer argumento Centro, R devuelve el
estadístico que corresponde a \(U_C=11\). En este ejemplo sin
empates, exact=FALSE, correct=TRUE reproduce la
aproximación manual y exact=TRUE proporciona el contraste
exacto.
4.12.19.9 Paso 9. Visualizar la región de rechazo de \(H_0\)
caso_hip_x <- seq(-4.8, 4.8, length.out = 900)
caso_hip_y <- dnorm(caso_hip_x)
plot(caso_hip_x, caso_hip_y, type = "l", lwd = 2.7,
col = vino, xlab = "Estadístico Z bajo H0 (aproximación)",
ylab = "Densidad", main = "¿El resultado cae en la región de rechazo?",
ylim = c(0, 0.45))
caso_hip_crit <- qnorm(.975)
for (lado in list(c(-4.8, -caso_hip_crit), c(caso_hip_crit, 4.8))) {
xx <- seq(lado[1], lado[2], length.out = 100)
polygon(c(lado[1], xx, lado[2]),
c(0, dnorm(xx), 0),
col = adjustcolor(rosa, 0.35), border = NA)
}
lines(caso_hip_x, caso_hip_y, lwd = 2.7, col = vino)
abline(v = c(-caso_hip_crit, caso_hip_crit), lty = 2, col = gris, lwd = 1.5)
abline(v = caso_hip_z, col = "#B44620", lwd = 3)
points(caso_hip_z, dnorm(caso_hip_z), col = "#B44620", pch = 19, cex = 1.4)
text(caso_hip_z, 0.085, labels = sprintf("Z = %.3f", caso_hip_z),
cex = 1.0, col = "#B44620", pos = 4)
legend("topright", bty = "n", cex = .85,
legend = c("Regiones de rechazo: 2.5 % por cola", "Z observado"),
fill = c(adjustcolor(rosa, .35), "#B44620"), border = NA)
Contraste bilateral, α = 0.05: colas de rechazo de una normal estándar y estadístico Z aproximado del caso.
Interpretación del gráfico: con \(\alpha=0.05\), el criterio bilateral aproximado rechaza si \(Z<-1.96\) o \(Z>1.96\). Nuestro resultado \(Z=-3.493\) queda dentro de la región de rechazo de la cola izquierda. Esto coincide con el valor p exacto y aproximado, ambos menores que 0.05.
4.12.19.10 Paso 10. Concluir en lenguaje estadístico y en el contexto del problema
Resultado y decisión final
Resultado: U = 11 y valor p exacto ≈ 0,000144 (contraste bilateral). Como p < 0,05, SE RECHAZA LA HIPÓTESIS NULA H0.
Conclusión contextual: el ejemplo aporta evidencia estadística de que las distribuciones de los tiempos de espera difieren entre Centro y Norte. En los datos observados, los tiempos de Norte tienden a ser mayores: medianas de 26.5 y 13.5 minutos, respectivamente. No se demuestra causalidad, ni puede garantizarse que una nueva muestra produzca idénticos resultados.
Precisión: esta conclusión es sobre distribuciones. La diferencia observada entre medianas es descriptiva y la prueba de Mann–Whitney no constituye, por sí sola y sin supuestos adicionales, una prueba general sobre las medianas.
Modelo de redacción para un informe académico:
«Se contrastó la igualdad de las distribuciones poblacionales de los tiempos de espera entre dos sedes independientes mediante la prueba bilateral de Mann–Whitney–Wilcoxon. La inspección de diagramas de caja y Q–Q mostró una marcada asimetría hacia la derecha y la prueba de Shapiro–Wilk rechazó normalidad en ambos grupos. Se obtuvo \(U=11\) y \(p_{exacto}\approx0.000144\), por lo que se rechazó la hipótesis nula al nivel \(\alpha=0.05\). En la muestra, la mediana fue de 13.5 minutos en Centro y 26.5 en Norte. La evidencia respalda diferencias de distribución, sin establecer su causa».
4.12.19.11 Paso 11. Contraste didáctico: ¿cuándo sí usar una prueba paramétrica?
El ejemplo de las calificaciones de dos métodos de enseñanza de la sección 3.12.E ya desarrolla el contraste paramétrico de medias mediante t de Welch. Para contrastar ambas rutas con una tabla resumida, la siguiente instrucción examina esos mismos datos (sin cambiarlos):
caso_hip_notas_A <- c(85, 90, 88, 92, 87, 89, 93, 91, 86, 88)
caso_hip_notas_B <- c(78, 82, 80, 85, 79, 83, 81, 87, 80, 84)
caso_hip_welch <- t.test(caso_hip_notas_A, caso_hip_notas_B,
var.equal = FALSE, alternative = "two.sided")
knitr::kable(data.frame(
Grupo = c("Método A", "Método B"),
Promedio = c(mean(caso_hip_notas_A), mean(caso_hip_notas_B)),
p_Shapiro = c(shapiro.test(caso_hip_notas_A)$p.value,
shapiro.test(caso_hip_notas_B)$p.value)
), digits = 4, caption = "Ruta paramétrica ilustrativa: calificaciones de la sección 3.12.E")| Grupo | Promedio | p_Shapiro |
|---|---|---|
| Método A | 88.9 | 0.9347 |
| Método B | 81.9 | 0.8777 |
#> Prueba elegida: t de Welch | p = 0.000019839cat("Decisión:", ifelse(caso_hip_welch$p.value <= .05,
"Rechazar H0: medias iguales",
"No rechazar H0: medias iguales"), "\n")#> Decisión: Rechazar H0: medias igualesEn las calificaciones, los gráficos/estadísticos del caso original no indican desviaciones graves de normalidad con tamaños pequeños, y el objetivo es comparar medias; por eso Welch es razonable. Un \(p\) alto en Shapiro no demuestra normalidad. En los tiempos de espera, el objetivo se definió sobre distribuciones, había asimetría extrema y se empleó Mann–Whitney. Lo decisivo es la coherencia entre pregunta, diseño, supuestos e interpretación, no un algoritmo que mire solamente el valor p de Shapiro.
4.12.19.12 Paso 12. Ejercicios propuestos y autoevaluación
- Cambio en la pregunta: usando los tiempos de las dos sedes, ahora suponga que el objetivo científico es específicamente la diferencia de medias poblacionales. Escriba \(H_0\) y \(H_1\) en términos de \(\mu_C\) y \(\mu_N\). ¿Por qué es necesario un análisis de robustez o sensibilidad antes de confiar en una prueba t con estos tamaños y valores extremos? Calcule el resultado de Welch y explique por qué responde una pregunta distinta a Mann–Whitney.
- Datos emparejados: imagine que los 12 valores de Centro son mediciones antes y los 12 de Norte son mediciones después de los mismos 12 pacientes. ¿Qué cambia en el diseño, qué variable debe diagnosticarse y qué pruebas candidatas usaría? Explique por qué no se debe aplicar sin más la prueba para grupos independientes.
- Evaluación crítica: un compañero escribe «Shapiro dio \(p<0.05\), así que las variables son no paramétricas; con Mann–Whitney se demostró que la media de Norte es mayor». Identifique al menos tres errores y reescriba la conclusión correctamente.
# Plantilla para el ejercicio 1: cambie solo la pregunta, NO los datos.
# H0: mu_Centro = mu_Norte; H1: mu_Centro != mu_Norte
# La t de Welch contrasta medias; justifique por qué analizar su robustez.
t.test(caso_hip_centro, caso_hip_norte,
alternative = "two.sided", var.equal = FALSE)
# Para el ejercicio 2, SOLO si los valores realmente fueran parejas:
# diferencias <- caso_hip_norte - caso_hip_centro
# shapiro.test(diferencias)
# t.test(caso_hip_norte, caso_hip_centro, paired = TRUE)
# wilcox.test(caso_hip_norte, caso_hip_centro, paired = TRUE)4.13 3.13. Relación entre intervalos de confianza y pruebas de hipótesis
Para un contraste bilateral de nivel \(\alpha\), un intervalo de confianza de nivel \(1-\alpha\) construido con el mismo modelo y procedimiento es dual al contraste:
- Si el valor nulo \(\theta_0\) queda fuera del intervalo, se rechaza \(H_0:\theta=\theta_0\).
- Si el valor nulo queda dentro del intervalo, no se rechaza \(H_0\).
Esta equivalencia requiere que el intervalo y la prueba correspondan al mismo procedimiento, supuestos y nivel. No se debe trasladar automáticamente a pruebas unilaterales o métodos diferentes.
4.13.1 Ejemplo en R
#>
#> One Sample t-test
#>
#> data: horas
#> t = 13.75, df = 5, p-value = 0.0000365
#> alternative hypothesis: true mean is not equal to 0
#> 95 percent confidence interval:
#> 8.53669 12.46331
#> sample estimates:
#> mean of x
#> 10.5#>
#> One Sample t-test
#>
#> data: horas
#> t = 1.964, df = 5, p-value = 0.107
#> alternative hypothesis: true mean is not equal to 9
#> 95 percent confidence interval:
#> 8.53669 12.46331
#> sample estimates:
#> mean of x
#> 10.54.13.2 Ejercicio 3I. Potencia y tamaño muestral: manual y R
Enunciado: en un contraste bilateral Z con desviación poblacional conocida \(\sigma=10\), queremos detectar un cambio relevante de \(\delta=5\) unidades respecto de \(\mu_0\), con \(\alpha=.05\) y potencia planeada de 80 %. ¿Cuántas observaciones aproximadamente se necesitan?
Solución teórica (aproximación normal):
\[ n\approx\frac{(z_{1-\alpha/2}+z_{1-\beta})^2\sigma^2}{\delta^2}, \qquad 1-\beta=0.80. \]
Las variables son \(\sigma\), desviación poblacional; \(\delta=|\mu_1-\mu_0|\), diferencia relevante; \(z\), cuantiles normales; \(\alpha\), error tipo I; \(\beta\), error tipo II en la alternativa particular. Sustituyendo \(z_{.975}=1.960\) y \(z_{.80}=0.842\):
\[ n\approx\frac{(1.960+0.842)^2(10)^2}{5^2} =31.40\Rightarrow\boxed{32\ \text{observaciones}}. \]
Esta es una aproximación de planificación que suele ser conservadora; la potencia real bilateral depende del valor de la alternativa y del redondeo.
El mismo ejercicio en R:
sigma <- 10; delta <- 5; alpha <- 0.05; potencia_obj <- 0.80
n_aprox <- (qnorm(1-alpha/2)+qnorm(potencia_obj))^2*(sigma/delta)^2
c(n_continuo=n_aprox,n_redondeado=ceiling(n_aprox))#> n_continuo n_redondeado
#> 31.3955 32.0000power.t.test(delta=delta,sd=sigma,sig.level=alpha,
power=potencia_obj,type="one.sample",alternative="two.sided")#>
#> One-sample t test power calculation
#>
#> n = 33.3672
#> delta = 5
#> sd = 10
#> sig.level = 0.05
#> power = 0.8
#> alternative = two.sidedPrecisión: power.t.test calcula un
tamaño con distribución t (no el Z aproximado de la fórmula), por eso
no debe esperarse exactamente el mismo n. Son
procedimientos distintos y se presentan expresamente como comparación
metodológica, no como dos resultados supuestamente idénticos.
4.14 3.14. Errores frecuentes en la interpretación
- Afirmar que no rechazar \(H_0\) significa demostrar que \(H_0\) es verdadera.
- Interpretar el valor p como la probabilidad de que \(H_0\) sea cierta.
- Elegir una prueba sin revisar independencia, diseño y supuestos.
- Usar una prueba unilateral después de observar los datos.
- Confundir desviación estándar con error estándar.
- Confundir significancia estadística con importancia práctica.
- Interpretar una diferencia estadísticamente significativa como causalidad sin un diseño que permita inferencia causal.
- Realizar múltiples contrastes sin considerar el aumento del error tipo I global.
- Usar la prueba de varianzas iguales sin justificarla; para dos medias independientes, Welch suele ser una alternativa robusta.
- Reportar únicamente el valor p, sin estimación del efecto, intervalo de confianza ni contexto.
4.15 3.15. Guía de interpretación y reporte de resultados
Un informe completo describe el diseño, las hipótesis en términos del parámetro, el método y sus supuestos, el estadístico y grados de libertad (cuando apliquen), el valor p, el estimado del efecto, el intervalo y la interpretación práctica.
Plantilla de informe: «Se contrastó \(H_0:\mu_A-\mu_B=0\) frente a \(H_1:\mu_A-\mu_B\ne0\) mediante t de Welch, considerando grupos independientes. Se observó una diferencia de 6 puntos (IC 95 %: 0,21 a 11,79), \(t(18,37)=2,17\), \(p=0,043\). Se rechaza igualdad al 5 %. La significancia estadística no prueba causalidad ni garantiza importancia sustantiva».
Pruebas múltiples. Si se hacen muchos contrastes,
crece el riesgo de falsos positivos. Métodos como Holm
(p.adjust(p, method="holm")) controlan el error familiar;
Benjamini-Hochberg (method="BH") controla la tasa esperada
de falsos descubrimientos bajo condiciones apropiadas.
p_values <- c(.003,.018,.041,.11,.27)
rbind(original=p_values,
Holm=p.adjust(p_values,method="holm"),
BH=p.adjust(p_values,method="BH"))#> [,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
#> original 0.003 0.018 0.0410000 0.1100 0.27
#> Holm 0.015 0.072 0.1230000 0.2200 0.27
#> BH 0.015 0.045 0.0683333 0.1375 0.275 Unidad 4. Taller integrador de aplicación
5.1 Problema 1. Estimación puntual e intervalo para una media
Una muestra de diez tiempos de atención, en minutos, es:
\[ 12,\;14,\;13,\;15,\;11,\;16,\;14,\;13,\;12,\;15. \]
- Identifique población, muestra, variable y parámetro.
- Calcule \(\bar x\), \(s^2\) y \(s\).
- Construya un intervalo del 95% para \(\mu\), suponiendo condiciones para aplicar t.
- Interprete el resultado.
#> [1] 13.5#> [1] 2.5#> [1] 1.58114#>
#> One Sample t-test
#>
#> data: tiempos
#> t = 27, df = 9, p-value = 0.000000000635
#> alternative hypothesis: true mean is not equal to 0
#> 95 percent confidence interval:
#> 12.3689 14.6311
#> sample estimates:
#> mean of x
#> 13.55.1.1 Resolución matemática y en R del problema 1
A mano: \(n=10\), la suma de las observaciones es \(135\), luego \(\bar x=13.5\). La suma de cuadrados alrededor de la media es \(22.5\); por ello \(s^2=22.5/9=2.5\), \(s=1.5811\), \(SE=1.5811/\sqrt{10}=0.5\). Con \(t_{0.975,9}\approx2.2622\):
\[ IC_{95\%}(\mu)=13.5\pm2.2622(0.5) \approx(\boxed{12.3689},\boxed{14.6311}). \]
En R: el bloque del problema 1 computa exactamente
los mismos diez tiempos con t.test, mean,
var y sd.
5.2 Problema 2. Contraste para una media
Con los mismos datos, se desea evaluar si el tiempo medio es superior a 12 minutos.
\[ H_0:\mu\le12,\qquad H_1:\mu>12. \]
#>
#> One Sample t-test
#>
#> data: tiempos
#> t = 3, df = 9, p-value = 0.00748
#> alternative hypothesis: true mean is greater than 12
#> 95 percent confidence interval:
#> 12.5834 Inf
#> sample estimates:
#> mean of x
#> 13.5En la conclusión se debe indicar el nivel \(\alpha\), el valor p, la decisión y el significado para el servicio de atención.
5.3 Problema 3. Estimación y contraste de una proporción
En una muestra de 150 usuarios, 96 manifiestan estar satisfechos.
- Calcule \(\hat p\).
- Construya un intervalo de confianza del 95%.
- Evalúe si la proporción de satisfacción es diferente de 0.60.
#> [1] 0.64#>
#> 1-sample proportions test without continuity correction
#>
#> data: x out of n, null probability 0.6
#> X-squared = 1, df = 1, p-value = 0.317
#> alternative hypothesis: true p is not equal to 0.6
#> 95 percent confidence interval:
#> 0.560574 0.712434
#> sample estimates:
#> p
#> 0.64#>
#> Exact binomial test
#>
#> data: x and n
#> number of successes = 96, number of trials = 150, p-value = 0.359
#> alternative hypothesis: true probability of success is not equal to 0.6
#> 95 percent confidence interval:
#> 0.557679 0.716670
#> sample estimates:
#> probability of success
#> 0.645.4 Problema 4. Comparación de dos grupos
Se desea comparar los resultados de dos estrategias de enseñanza con grupos independientes. Seleccione una prueba apropiada, justifique sus supuestos y reporte la diferencia estimada, intervalo de confianza, estadístico y valor p.
estrategia_A <- c(72, 75, 78, 80, 74, 77, 81, 79, 76, 83)
estrategia_B <- c(68, 70, 73, 71, 69, 75, 72, 74, 70, 76)
t.test(estrategia_A, estrategia_B, var.equal = FALSE)#>
#> Welch Two Sample t-test
#>
#> data: estrategia_A and estrategia_B
#> t = 4.196, df = 17.06, p-value = 0.000603
#> alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
#> 95 percent confidence interval:
#> 2.83461 8.56539
#> sample estimates:
#> mean of x mean of y
#> 77.5 71.8#>
#> Wilcoxon rank sum test with continuity correction
#>
#> data: estrategia_A and estrategia_B
#> W = 91, p-value = 0.00216
#> alternative hypothesis: true location shift is not equal to 06 Guía de selección de procedimientos
| Objetivo | Diseño / parámetro | Procedimiento |
|---|---|---|
| Estimar una media | Una muestra, \(\sigma\) conocida | IC Z |
| Estimar una media | Una muestra, \(\sigma\) desconocida | IC t |
| Comparar dos medias | Grupos independientes | t de Welch |
| Comparar dos medias | Datos pareados | t pareada |
| Estimar una proporción | Una muestra | Wilson o binomial exacto |
| Comparar dos proporciones | Grupos independientes | IC de diferencia / prueba de dos proporciones |
| Contrastar una media | \(\sigma\) conocida | Z de una muestra |
| Contrastar una media | \(\sigma\) desconocida | t de una muestra |
| Contrastar dos medias independientes | Dos grupos | t de Welch |
| Contrastar dos mediciones pareadas | Mismos individuos | t pareada o Wilcoxon pareado |
| Contrastar una proporción | Ensayos Bernoulli | Binomial exacta o aproximación normal |
| Comparar tres o más grupos | Medias y supuestos paramétricos | ANOVA |
| Comparar tres o más grupos | Rangos/distribuciones | Kruskal-Wallis |
| Asociación categórica | Tabla de contingencia | Chi-cuadrado o Fisher |
7 Glosario
- Aleatoriedad: mecanismo de selección o generación en el que interviene el azar.
- Distribución muestral: distribución de probabilidad de un estadístico bajo muestreo repetido.
- Grados de libertad: cantidad de información independiente disponible para estimar variabilidad o definir una distribución de referencia.
- Inferencia: generalización o evaluación de afirmaciones poblacionales a partir de datos.
- Intervalo de confianza: procedimiento que produce límites para un parámetro con cobertura frecuentista especificada.
- Margen de error: semiamplitud de un intervalo simétrico respecto a la estimación puntual.
- Parámetro: cantidad fija que caracteriza una población o modelo.
- Potencia: probabilidad de rechazar la hipótesis nula cuando una alternativa específica es verdadera.
- Significancia estadística: incompatibilidad de los datos con \(H_0\) al nivel de referencia adoptado.
- Valor p: probabilidad, bajo \(H_0\), de obtener un resultado al menos tan extremo como el observado.
- Verosimilitud: función del parámetro que expresa qué tan compatibles son distintos valores paramétricos con los datos observados.
8 Correcciones metodológicas respecto a los materiales base
Las fuentes originales se toman como referencia didáctica, pero se introducen las siguientes precisiones:
| Tema | Situación que requiere matiz o corrección | Tratamiento adoptado aquí |
|---|---|---|
| Sesgo | Una sola muestra puede diferir de la media poblacional | El sesgo es \(E(\hat\theta)-\theta\), no el error de una sola muestra |
| Representatividad | Una muestra grande no garantiza ausencia de sesgo | Se distingue el diseño de muestreo y la selección de participantes |
| Normalidad | «Normal → paramétrica; no normal → no paramétrica» es excesivamente rígido | Se priorizan pregunta, diseño, dependencia, robustez y diagnóstico pertinente |
| Hipótesis | «Aceptar H0» puede confundirse con probarla verdadera | Se usa «no rechazar H0»; se explican errores I/II y potencia |
| Proporciones | Wald puede cubrir mal en proporciones extremas | Se compara Wald con Wilson y binomial exacto |
| Dos medias | En un ejemplo base, código y cálculo usaban muestras distintas | Se utiliza el mismo par de vectores y se verifica Welch a mano y en R |
| Datos pareados | No deben tratarse como grupos independientes | Se trabaja con la distribución de diferencias |
| Modelos exactos | «Exacto» no significa necesariamente «no paramétrico» | La prueba binomial exacta se clasifica con su supuesto Bernoulli |
| Inferencia | La significancia no mide importancia ni causalidad | Se reporta diferencia, IC, valor p y contexto |
| Tamaño de muestra | Una sola fórmula se interpreta erróneamente como válida para todas las variables | Se diferencia proporción de media, población finita y diseño complejo |
| RPubs: Kolmogorov–Smirnov | Usar media y desviación estimadas en
ks.test afecta la calibración del valor p |
Se distingue normal teórica preespecificada de parámetros estimados (ajustes como Lilliefors) |
| RPubs: diferencias en varianzas | La F de varianzas no es requisito mecánico antes de Welch | Welch se plantea como elección robusta por defecto para medias independientes |
| RPubs: pruebas de rangos | No son automáticamente «pruebas de medianas» | Se declaran las hipótesis sobre distribuciones y los supuestos adicionales |
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Revisar los resultados y supuestos de cada ejercicio antes de utilizarlos como conclusiones de una investigación real.
10 Referencias bibliográficas y recursos
Las siguientes fuentes respaldan los conceptos, métodos y criterios utilizados. Se distinguen los textos académicos de los materiales pedagógicos aportados. Los problemas didácticos de 24 hogares y los códigos complementarios fueron elaborados para este curso.
10.1 A. Libros y textos de estadística inferencial
- Casella, G., & Berger, R. L. (2002). Statistical Inference (2.ª ed.). Duxbury. Estimación y contraste formal.
- Devore, J. L. (2016). Probability and Statistics for Engineering and the Sciences (9.ª ed.). Cengage Learning. Inferencia y ejemplos cuantitativos.
- Montgomery, D. C., & Runger, G. C. (2014). Applied Statistics and Probability for Engineers (6.ª ed.). Wiley. Intervalos y contrastes aplicados.
- Wackerly, D. D., Mendenhall, W., & Scheaffer, R. L. (2008). Mathematical Statistics with Applications (7.ª ed.). Thomson Brooks/Cole. Fundamentos de estimación y pruebas.
- OpenStax. (2019). Introductory Statistics. OpenStax / Rice University. https://openstax.org/books/introductory-statistics/pages/1-introduction
10.2 B. Muestreo, diseño y tamaño muestral
- Cochran, W. G. (1977). Sampling Techniques (3.ª ed.). Wiley. MAS, estratificado, conglomerados y planificación.
- Lohr, S. L. (2021). Sampling: Design and Analysis (3.ª ed.). CRC Press. Estimadores y varianzas bajo diseños complejos.
- Kish, L. (1965). Survey Sampling. Wiley. Probabilidades de inclusión y efectos de diseño.
- Penn State University. STAT 506: Sampling Theory and Methods, lección 2: Confidence Intervals and Sample Size. https://online.stat.psu.edu/stat506/Lesson02
- Statistics Canada. (2003). Survey Methods and Practices. Catalogue 12-587-X. Diseño, no respuesta y tamaño muestral. https://www150.statcan.gc.ca/n1/en/pub/12-587-x/12-587-x2003001-eng.pdf
10.3 C. Pruebas, diagnóstico y documentación R
- NIST/SEMATECH. e-Handbook of Statistical Methods. https://www.itl.nist.gov/div898/handbook/
- Penn State University. STAT 415: Introduction to Mathematical Statistics. https://online.stat.psu.edu/stat415/
- R Core Team. R: A Language and Environment for Statistical Computing. https://www.r-project.org/
- R Core Team. Documentación oficial de
stats(t.test,prop.test,binom.test,wilcox.test,kruskal.test,chisq.test,fisher.test,friedman.test). https://stat.ethz.ch/R-manual/R-devel/library/stats/html/00Index.html - Shapiro, S. S., & Wilk, M. B. (1965). An analysis of variance test for normality (complete samples). Biometrika, 52(3–4), 591–611.
- Welch, B. L. (1947). The generalization of ‘Student’s’ problem when several different population variances are involved. Biometrika, 34(1–2), 28–35.
- Student. (1908). The probable error of a mean. Biometrika, 6(1), 1–25.
10.4 D. Materiales pedagógicos de referencia aportados
- Zambrano Cruz, K. J. (2025). Inferencia Estadística – Estimación, Intervalos y Pruebas de Hipótesis. RPubs. https://rpubs.com/KarolZ/1365640
- Zambrano Cruz, K. J. (2023). Intervalo de confianza. RPubs. https://rpubs.com/KarolZ/1116565
- Zambrano Cruz, K. J. (2025). Pruebas de hipótesis (publicado el 21 de noviembre de 2025). RPubs. https://rpubs.com/KarolZ/1371928
- Universidad Surcolombiana. (2019). Microdiseño curricular: Inferencia Estadística. Documento académico suministrado por el usuario.
- Zambrano Cruz, K. J. (2023). II encuentro: parámetros, estimadores y máxima verosimilitud. Diapositivas suministradas por el usuario.
Nota de revisión: el material de RPubs se usa como referente para los conceptos, el diagnóstico de normalidad, las tablas de contrastes y algunos casos. Las tablas se reorganizaron y ampliaron, no se copiaron literalmente. Se corrigieron simplificaciones como «normalidad = elección automática de prueba», el tratamiento del p-valor, la calibración de Kolmogorov–Smirnov con parámetros estimados y la equiparación indiscriminada entre pruebas de rangos y pruebas de medianas.