Rancangan Acak Kelompok - Pendugaan Data Hilang

Author

Arthur Zefanya Lauale

(0). Library.

library(ggplot2)
library(knitr)
library(tidyverse)
── Attaching core tidyverse packages ──────────────────────── tidyverse 2.0.0 ──
✔ dplyr     1.2.1     ✔ readr     2.2.0
✔ forcats   1.0.1     ✔ stringr   1.6.0
✔ lubridate 1.9.5     ✔ tibble    3.3.1
✔ purrr     1.2.2     ✔ tidyr     1.3.2
── Conflicts ────────────────────────────────────────── tidyverse_conflicts() ──
✖ dplyr::filter() masks stats::filter()
✖ dplyr::lag()    masks stats::lag()
ℹ Use the conflicted package (<http://conflicted.r-lib.org/>) to force all conflicts to become errors

(1). Soal 1.

Seorang peneliti ingin mengetahui pengaruh empat jenis pupuk (A, B, C, dan D) terhadap pertumbuhan tanaman cabai. Penelitian dilakukan menggunakan Rancangan Acak Kelompok (RAK) dengan tiga kelompok berdasarkan kondisi kesuburan tanah yang berbeda. Setelah penelitian selesai, diperoleh data tinggi tanaman (dalam \(cm\)) seperti pada tabel berikut.

Jenis Pupuk Kelompok 1 Kelompok 2 Kelompok 3
A 12 15 14
B 16 18
C 20 19
D 14 13 15

Namun ketika proses pencatatan dan pengumpulan data dilakukan, peneliti menemukan bahwa terdapat dua hasil pengamatan yang hilang, yaitu pada pupuk B kelompok \(2\) dan pupuk C kelompok \(3\). Berdasarkan permasalahan tersebut,

  • estimasikan kedua data yang hilang,

  • lakukan proses ANOVA (Analysis of Variance),

  • interpretasikan F hitung perlakuan, dan

  • interpretasikan F hitung kelompok.

Gunakan taraf nyata \(5 \, \%\).

(1). Jawaban Soal 1.

  • Mengestimasi Dua Data Hilang.

    • Pendefinisian Formula Beserta Input.

      Estimasi data hilang dapat dilakukan dengan memakai formula berikut:

      \[ \begin{flalign} \begin{aligned} & y_{ij} = \frac{(t)y_{i.} \, + \, (r)y_{.j} \, - \, y_{..}}{(t - 1)(r - 1)} \\ \end{aligned} \end{flalign} \]

      dengan:

      \(y_{ij} =\) nilai pengamatan perlakuan ke-\(i\) kelompok ke-\(j\),

      \(y_{i.}=\) total pengamatan pada perlakuan ke-\(i\),

      \(y_{.j}=\) total pengamatan pada kelompok ke-\(j\),

      \(y_{..}=\) total seluruh pengamatan,

      \(t=\) banyaknya perlakuan,

      \(r=\) banyaknya kelompok.

      Berdasarkan soal diketahui:

      \(t =\) banyaknya perlakuan \(= 4\),

      \(r =\) banyaknya kelompok \(= 3\),

      data hilang pertama: \(y_{22}\),

      data hilang kedua: \(y_{33}\)

    • Menambahkan Kolom \(y_{i.}\) dan Kolom \(y_{.j}\) Pada Tabel Data.

      Jenis Pupuk Kelompok 1 Kelompok 2 Kelompok 3 \(y_{i.}\)
      A 12 15 14 41
      B 16 18 34
      C 20 19 39
      D 14 13 15 42
      \(y_{.j}\) 62 47 47 156

    • Iterasi \(0\).

      Sebab pada soal terdapat lebih dari satu data hilang, maka kita perlu menetapkan nilai awal (sementara) salah satu dari kedua data tersebut. Misalkan kita memilih data \(y_{22}\) untuk ditetapkan nilai awalnya. Nilai awal (sementara) \(y_{22}\) dapat dihitung dengan cara berikut:

      \[ \begin{flalign} \begin{aligned} & y_{22}^{(0)} = \frac{mean \, baris \, ke \, 2 \, + \, mean \, kolom \, ke \, 2}{2} \\ & = \frac{(y_{2.}/byk. \, elemen \, di \, baris \, 2) \, + \, (y_{.2}/byk. \, elemen \, di \, kolom \, 2) }{2}\\ & = \frac{(34/2) \, + \, (47/3)}{2}\\ & = \frac{32.667}{2}\\ & = 16.334\\ \end{aligned} \end{flalign} \]

    • Iterasi \(1\).

      Hitung \(y_{33}^{(1)}\) dengan memasukkan \(y_{22}^{(0)}\).

      \[ \begin{flalign} \begin{aligned} & y_{33}^{(1)} = \frac{(t)y_{3.} \, + \, (r)y_{.3} \, + \, - (y_{..} + y_{22}^{(0)})}{(t - 1)(r - 1)} \\ & = \frac{(4)(39) \, + \, (3)(47) \, - (156 + 16.334)}{(4 - 1)(3 - 1)}\\ & = 20.778\\ \end{aligned} \end{flalign} \] Hitung \(y_{22}^{(1)}\) dengan memasukkan \(y_{33}^{(1)}\).

      \[ \begin{flalign} \begin{aligned} & y_{22}^{(1)} = \frac{(t)y_{2.} \, + \, (r)y_{.2} \, + \, - (y_{..} + y_{33}^{(1)})}{(t - 1)(r - 1)} \\ & = \frac{(4)(34) \, + \, (3)(47) \, - (156 + 20.778)}{(4 - 1)(3 - 1)}\\ & = 16.704\\ \end{aligned} \end{flalign} \]

    • Iterasi \(2\).

      Hitung \(y_{33}^{(2)}\) dengan memasukkan \(y_{22}^{(1)}\).

      \[ \begin{flalign} \begin{aligned} & y_{33}^{(2)} = \frac{(t)y_{3.} \, + \, (r)y_{.3} \, + \, - (y_{..} + y_{22}^{(1)})}{(t - 1)(r - 1)} \\ & = \frac{(4)(39) \, + \, (3)(47) \, - (156 + 16.704)}{(4 - 1)(3 - 1)}\\ & = 20.716\\ \end{aligned} \end{flalign} \]

      Hitung \(y_{22}^{(2)}\) dengan memasukkan \(y_{33}^{(2)}\).

      \[ \begin{flalign} \begin{aligned} & y_{22}^{(2)} = \frac{(t)y_{2.} \, + \, (r)y_{.2} \, + \, - (y_{..} + y_{33}^{(2)})}{(t - 1)(r - 1)} \\ & = \frac{(4)(34) \, + \, (3)(47) \, - (156 + 20.716)}{(4 - 1)(3 - 1)}\\ & = 16.714\\ \end{aligned} \end{flalign} \]

    • Iterasi \(3\).

      Hitung \(y_{33}^{(3)}\) dengan memasukkan \(y_{22}^{(2)}\).

      \[ \begin{flalign} \begin{aligned} & y_{33}^{(3)} = \frac{(t)y_{3.} \, + \, (r)y_{.3} \, + \, - (y_{..} + y_{22}^{(2)})}{(t - 1)(r - 1)} \\ & = \frac{(4)(39) \, + \, (3)(47) \, - (156 + 16.714)}{(4 - 1)(3 - 1)}\\ & = 20.714\\ \end{aligned} \end{flalign} \]

      Hitung \(y_{22}^{(3)}\) dengan memasukkan \(y_{33}^{(3)}\).

      \[ \begin{flalign} \begin{aligned} & y_{22}^{(3)} = \frac{(t)y_{2.} \, + \, (r)y_{.2} \, + \, - (y_{..} + y_{33}^{(3)})}{(t - 1)(r - 1)} \\ & = \frac{(4)(34) \, + \, (3)(47) \, - (156 + 20.714)}{(4 - 1)(3 - 1)}\\ & = 16.714\\ \end{aligned} \end{flalign} \]

    • Iterasi \(4\).

      Hitung \(y_{33}^{(4)}\) dengan memasukkan \(y_{22}^{(3)}\).

      \[ \begin{flalign} \begin{aligned} & y_{33}^{(4)} = \frac{(t)y_{3.} \, + \, (r)y_{.3} \, + \, - (y_{..} + y_{22}^{(3)})}{(t - 1)(r - 1)} \\ & = \frac{(4)(39) \, + \, (3)(47) \, - (156 + 16.714)}{(4 - 1)(3 - 1)}\\ & = 20.714\\ \end{aligned} \end{flalign} \]

      Hitung \(y_{22}^{(4)}\) dengan memasukkan \(y_{33}^{(4)}\).

      \[ \begin{flalign} \begin{aligned} & y_{22}^{(4)} = \frac{(t)y_{2.} \, + \, (r)y_{.2} \, + \, - (y_{..} + y_{33}^{(4)})}{(t - 1)(r - 1)} \\ & = \frac{(4)(34) \, + \, (3)(47) \, - (156 + 20.714)}{(4 - 1)(3 - 1)}\\ & = 16.714\\ \end{aligned} \end{flalign} \]

    • Tabel Iterasi.

    Iterasi \(y_{33}\) \(y_{22}\)
    0 \(16.334\)
    1 \(20.778\) \(16.704\)
    2 \(20.716\) \(16.714\)
    3 \(20.714\) \(16.714\)
    4 \(20.714\) \(16.714\)

    • Keputusan.

      Diperhatikan pada iterasi \(4\), \(y_{33}^{(4)}\) sudah sama nilainya dengan \(y_{33}^{(3)}\) yaitu \(20.714\). Begitu juga \(y_{22}^{(4)}\) sudah sama nilainya dengan \(y_{22}^{(3)}\) yaitu \(16.714\). Artinya nilai \(y_{33}\) dan nilai \(y_{22}\) telah konvergen ke suatu nilai tertentu, yang berarti iterasi dihentikan. Dengan demikian kita memperoleh hasil final untuk nilai \(y_{22}\) dan \(y_{33}\) yakni:

      \[ \begin{flalign} \begin{aligned} & y_{22} = 16.714 \\ & y_{33} = 20.714 \\ \end{aligned} \end{flalign} \]

      Sehingga tabel data tinggi tanaman cabai diperbarui sebagai berikut.

      Jenis Pupuk Kel. 1 Kel. 2 Kel. 3 \(y_{i.}\) \(\bar{y_{i.}}\)
      A 12 15 14 41 13.667
      B 16 16.714 18 50.714 16.905
      C 20 19 20.714 59.714 19.905
      D 14 13 15 42 14
      \(y_{.j}\) 62 63.714 67.714 \(y_{..} = 193.428\) -
      \(\bar{y_{.j}}\) 15.5 15.929 16.929 - \(\bar{y_{..}} = 16.119\)

  • Proses ANOVA (Analysis of Variance).

    • Merumusukan Hipotesis.

      • Hipotesis Perlakuan:

        \(H_0: \tau_1 \, = \, \tau_2 \, = \, ... \, = \, \tau_i \, = 0\)

        \(H_1:\) minimal terdapat satu \(i\) dimana \(\tau_i \, \neq \, 0\)

      • Hipotesis Kelompok:

        \(H_0: \beta_1 \, = \, \beta_2 \, = \, ... \, = \, \beta_j \, = 0\)

        \(H_1:\) minimal terdapat satu \(j\) dimana \(\beta_j \, \neq \, 0\)

    • Mendefinisikan tabel_cabai.

      tabel_cabai <- 
  data.frame(
    jenis_pupuk = c(
      "A",
      "B",
      "C",
      "D",
      "y_.j",
      "y_.j_bar"
    ),
    kel_1 = c(
      12,
      16,
      20,
      14,
      62,
      15.5
    ),
    kel_2 = c(
      15,
      16.714,
      19,
      13,
      63.714,
      15.929
    ),
    kel_3 = c(
      14,
      18,
      20.714,
      15,
      67.714,
      16.929
    ),
    y_i. = c(
      41,
      50.714,
      59.714,
      42,
      193.428,
      NA
    ),
    y_i._bar = c(
      13.667,
      16.905,
      19.905,
      14,
      NA,
      16.119
    ),
    ket = c(
      "",
      "",
      "",
      "",
      "y_..",
      "y_.._bar"
    )
  )

knitr::kable(tabel_cabai)
      jenis_pupuk kel_1 kel_2 kel_3 y_i. y_i._bar ket
      A 12.0 15.000 14.000 41.000 13.667
      B 16.0 16.714 18.000 50.714 16.905
      C 20.0 19.000 20.714 59.714 19.905
      D 14.0 13.000 15.000 42.000 14.000
      y_.j 62.0 63.714 67.714 193.428 NA y_..
      y_.j_bar 15.5 15.929 16.929 NA 16.119 y_.._bar

      Catatan: NA bermakna sel tidak diisi nilai apapun.

    • Mendefinisikan \(t\)

      \(t = banyak \, perlakuan = 4\)

      t <- 4

    • Mendefinisikan \(r\)

      \(r = banyak \, kelompok = 3\)

      r <- 3

    • Mendefinisikan \(\bar{Y_{i.}}\)

      Y_i._bar <- tabel_cabai$y_i._bar[1:4]
Y_i._bar
      [1] 13.667 16.905 19.905 14.000

    • Mendefinisikan \(\bar{Y_{.j}}\)

      Y_.j_bar <- as.numeric(
  tabel_cabai[6,2:4]
)
Y_.j_bar
      [1] 15.500 15.929 16.929

    • Mendefinisikan \(\bar{Y_{..}}\)

      Y_.._bar <- as.numeric(
  tabel_cabai$y_i._bar[6]
)
Y_.._bar
      [1] 16.119

    • Mendefinisikan \(Y_{ij}\)

      Y_ij <- as.numeric(
  c(
    tabel_cabai[1,2:4],
    tabel_cabai[2,2:4],
    tabel_cabai[3,2:4],
    tabel_cabai[4,2:4]
  )
)
Y_ij
       [1] 12.000 15.000 14.000 16.000 16.714 18.000 20.000 19.000 20.714 14.000
[11] 13.000 15.000

    • Menghitung Jumlah Kuadrat Perlakuan \((JKP)\).

      \(JKP = r \sum_{i = 1}^{t}(\bar{Y_{i.}} - \bar{Y_{..}})^2\)

      JKP <- r*sum((Y_i._bar - Y_.._bar)^2)
JKP
      [1] 76.36217

    • Menghitung Jumlah Kuadrat Kelompok \((JKK)\).

      \(JKK = t \sum_{j = 1}^{r}(\bar{Y_{.j}} - \bar{Y_{..}})^2\)

      JKK <- t*sum((Y_.j_bar - Y_.._bar)^2)
JKK
      [1] 4.301444

    • Menghitung Jumlah Kuadrat Total \((JKT)\).

      \(JKT = \sum_{i = 1}^{t} \sum_{j = 1}^{r} (Y_{ij} \, - \, \bar{Y_{..}})^2\)

      JKT <- sum((Y_ij - Y_.._bar)^2)
JKT
      [1] 86.56166

    • Menghitung Jumlah Kuadrat Galat \((JKG)\).

      \(JKG = JKT - JKP - JKK\)

      JKG <- JKT - JKP - JKK
JKG
      [1] 5.898045

    • Menghitung Derajat Bebas Perlakuan \((dbP)\).

      \(dbP = t - 1\)

      dbP <- t - 1
dbP
      [1] 3

    • Menghitung Derajat Bebas Kelompok \((dbK)\).

      \(dbK = r - 1\)

      dbK <- r - 1
dbK
      [1] 2

    • Menghitung Derajat Bebas Total \((dbT)\).

      Diperhatikan sebab sebelumnya ada dua data yang hilang, maka derajat bebas total haruslah dikurangi sebanyak data yang hilang, yaitu dikurangi \(2\).

      \(dbT = (tr - 1) - 2\).

      dbT <- (t*r - 1) - 2
dbT
      [1] 9

    • Menghitung Derajat Bebas Galat \((dbG)\).

      Diperhatikan sebab sebelumnya ada dua data yang hilang, maka derajat bebas galat haruslah dikurangi sebanyak data yang hilang, yaitu dikurangi \(2\).

      \(dbG = ((t - 1)(r - 1)) - 2\).

      dbG <- ((t - 1)*(r - 1)) - 2
dbG
      [1] 4

    • Menghitung Kuadrat Tengah Perlakuan \((KTP)\).

      \(KTP = \frac{JKP}{dbP}\)

      KTP <- JKP/dbP
KTP
      [1] 25.45406

    • Menghitung Kuadrat Tengah Kelompok \((KTK)\).

      \(KTK = \frac{JKK}{dbK}\)

      KTK <- JKK/dbK
KTK
      [1] 2.150722

    • Menghitung Kuadrat Tengah Galat \((KTG)\).

      \(KTG = \frac{JKG}{dbG}\)

      KTG <- JKG/dbG
KTG
      [1] 1.474511

    • Menghitung F Hitung Perlakuan \((F \, hit \, P)\).

      \(F \, hit \, P = \frac{KTP}{KTG}\)

      F_hit_P <- KTP/KTG
F_hit_P
      [1] 17.26271

    • Menghitung F Tabel Perlakuan \((F \, tab \, P)\)

      \(F \, tab \, P = F_{\alpha = 0.05}(dbP,dbG)\)

      F_tab_P <- qf(0.05,dbP,dbG,lower.tail = F)
F_tab_P
      [1] 6.591382

    • Menghitung F Hitung Kelompok \((F \, Hit \, K)\)

      \(F \, hit \, K = \frac{KTK}{KTG}\)

      F_hit_K <- KTK/KTG
F_hit_K
      [1] 1.4586

    • Menghitung F Tabel Kelompok \((F \, tab \, K)\)

      \(F \, tab \, K = F_{\alpha = 0.05}(dbK,dbG)\)

      F_tab_K <- qf(0.05,dbK,dbG,lower.tail = F)
F_tab_K
      [1] 6.944272

    • Membuat Tabel ANOVA.

      anova_cabai <- data.frame(
  sumber_ragam = c(
    "perlakuan",
    "kelompok",
    "galat",
    "total"
  ),
  derajat_bebas = c(
    dbP,
    dbK,
    dbG,
    dbT
  ),
  jumlah_kuadrat = c(
    JKP,
    JKK,
    JKG,
    JKT
  ),
  kuadrat_tengah = c(
    KTP,
    KTK,
    KTG,
    NA
  ),
  F_hitung = c(
    F_hit_P,
    F_hit_K,
    NA,
    NA
  ),
  F_tabel = c(
    F_tab_P,
    F_tab_K,
    NA,
    NA
  ),
  p_value = c(
    pf(F_hit_P,dbP,dbG,lower.tail = F),
    pf(F_hit_K,dbK,dbG,lower.tail = F),
    NA,
    NA)
)

knitr::kable(
  anova_cabai,
  caption = "tabel sidik ragam (ANOVA)"
)
      tabel sidik ragam (ANOVA)
      sumber_ragam derajat_bebas jumlah_kuadrat kuadrat_tengah F_hitung F_tabel p_value
      perlakuan 3 76.362171 25.454057 17.26271 6.591382 0.0094056
      kelompok 2 4.301444 2.150722 1.45860 6.944272 0.3343947
      galat 4 5.898045 1.474511 NA NA NA
      total 9 86.561660 NA NA NA NA

      Catatan: NA bermakna sel tidak diisi nilai apapun.

  • Interpretasi F Hitung Perlakuan.

    Diperhatikan F Hitung Perlakuan \((17.26271)\) \(>\) F Tabel Perlakuan \((6.591382)\), sehingga tolak \(H_0\). Artinya pada taraf nyata \(5 \, \%\) terdapat cukup bukti untuk mengatakan bahwa minimal terdapat satu perlakuan (jenis pupuk) yang memberikan pengaruh berbeda terhadap rata-rata tinggi tanaman cabai.

  • Interpretasi F Hitung Kelompok.

    Diperhatikan F Hitung Kelompok \((1.4586)\) \(<\) F Tabel Kelompok \((6.944272)\), sehingga gagal tolak \(H_0\). Artinya pada taraf nyata \(5 \, \%\) tidak cukup bukti untuk mengatakan bahwa minimal terdapat satu kelompok (jenis kesuburan tanah) yang memberikan pengaruh berbeda terhadap rata-rata tinggi tanaman cabai.