Planteamiento del problema

A partir de los registros oficiales obtenidos de los resultados de las pruebas nacionales ICFES Saber 11 suministrados por la docente encargada en el aula extendida, se desea analizar la relación lineal existente entre el desempeño especifico en el área de matemáticas y el resultado general obtenido por los estudiantes en la prueba Saber 11.

Para ello, se extrae una muestra aleatoria de \(n = 50\) estudiantes (siguiendo las pautas recomendadas) con el propósito de ajustar un modelo de regresión lineal simple que permita explicar y predecir el Puntaje Global (\(Y\)) en función del Puntaje de Matemáticas (\(X\)).

tenemos como objetivo: 1. Estimar la ecuación de la recta de mínimos cuadrados ordinarios (\(\hat{Y} = \hat{\beta}_0 + \hat{\beta}_1 X\)). 2. Evaluar la significancia estadística del modelo (Análisis de Varianza) y su bondad de ajuste (\(r\) y \(R^2\)). 3. Calcular los intervalos de confianza al \(95\%\) para los parámetros del modelo, la respuesta media y una predicción individual. 4. Validar el cumplimiento de los supuestos fundamentales de linealidad, homocedasticidad y normalidad de los errores.

1. Carga de los datos y selección de la muestra

Para este estudio se toma una muestra aleatoria de 50 estudiantes a partir de la base de datos oficial del examen Saber 11 suministrado por el docente.

  • Variable Independiente (\(X\)): PUNT_MATEMATICAS (Puntaje obtenido en la prueba de Matemáticas).
  • Variable Dependiente (\(Y\)): PUNT_GLOBAL (Puntaje global obtenido en el examen).
#Primero leemos los 50 primeros datos extraidos del archivo de excel 
datos <- read_excel("DATOS MODELO RESUMIDO.xlsx")

# Mostramos los primeros registros de nuestras dos variables de estudio
head(datos[, c("PUNT_MATEMATICAS", "PUNT_GLOBAL")])
## # A tibble: 6 × 2
##   PUNT_MATEMATICAS PUNT_GLOBAL
##              <dbl>       <dbl>
## 1               48         208
## 2               65         299
## 3               57         299
## 4               54         309
## 5               57         288
## 6               29         198

2. Análisis Exploratorio y Prueba de Linealidad

Con el fin de conocer las relaciones existentes entre nuestras dos variables, representamos una matriz de diagramas de dispersión (pairs) y calculamos sus medidas descriptivas. Esto nos permite observar visualmente si existe una tendencia lineal entre el puntaje de matemáticas y el puntaje global, así como detectar posibles datos atípicos antes de ajustar el modelo.

# Resumen estadístico básico (mínimo, cuartiles, mediana, media, máximo)
summary(datos[, c("PUNT_MATEMATICAS", "PUNT_GLOBAL")])
##  PUNT_MATEMATICAS  PUNT_GLOBAL   
##  Min.   :29.00    Min.   :155.0  
##  1st Qu.:51.00    1st Qu.:238.0  
##  Median :56.00    Median :281.0  
##  Mean   :55.84    Mean   :270.2  
##  3rd Qu.:65.00    3rd Qu.:309.0  
##  Max.   :77.00    Max.   :357.0
# Estadísticos descriptivos detallados con la librería psych
describe(datos[, c("PUNT_MATEMATICAS", "PUNT_GLOBAL")])
##                  vars  n   mean    sd median trimmed   mad min max range  skew
## PUNT_MATEMATICAS    1 49  55.84 11.42     56   56.49 11.86  29  77    48 -0.52
## PUNT_GLOBAL         2 49 270.16 52.06    281  272.44 54.86 155 357   202 -0.45
##                  kurtosis   se
## PUNT_MATEMATICAS    -0.28 1.63
## PUNT_GLOBAL         -0.69 7.44
# Diagramas de distribución (histogramas)
par(mfrow = c(1, 2))
hist(datos$PUNT_MATEMATICAS, main = "Puntaje Matemáticas", xlab = "Puntaje", col = "steelblue", border = "white")
hist(datos$PUNT_GLOBAL, main = "Puntaje Global", xlab = "Puntaje", col = "seagreen", border = "white")

par(mfrow = c(1, 1))

# Prueba visual de linealidad mediante matriz de dispersión
pairs(datos[, c("PUNT_MATEMATICAS", "PUNT_GLOBAL")], 
      main = "Diagrama de Dispersión: Matemáticas vs Puntaje Global",
      col = "purple", pch = 19)

# Coeficiente de correlación lineal de Pearson
cor(datos$PUNT_MATEMATICAS, datos$PUNT_GLOBAL)
## [1] 0.8910277

Interpretación exploratoria: En la muestra de \(n = 50\) estudiantes, el Puntaje de Matemáticas presenta un valor mínimo de \(29.0\), un máximo de \(77.0\) y una media de \(55.84\) puntos (con una mediana de \(56.5\)). Por su parte, el Puntaje Global oscila entre un mínimo de \(155.0\) y un máximo de \(357.0\), con un promedio de \(270.1\) puntos. Tanto en el diagrama de dispersión como en el coeficiente de correlación lineal de Pearson (\(r = 0.8856\)), se evidencia una relación lineal positiva y muy fuerte entre ambas variables, lo cual justifica ajustar un modelo de regresión lineal simple.

##3. Ajuste del modelo de regresión lineal simple

Estimamos la ecuación de la recta de mínimos cuadrados ordinarios (\(\hat{Y} = \hat{\beta}_0 + \hat{\beta}_1 X\)), donde \(Y\) es el Puntaje Global y \(X\) es el Puntaje de Matemáticas:

# Ajuste del modelo lineal: Variable dependiente (Y) ~ Variable independiente (X)
regresion <- lm(PUNT_GLOBAL ~ PUNT_MATEMATICAS, data = datos)
summary(regresion)
## 
## Call:
## lm(formula = PUNT_GLOBAL ~ PUNT_MATEMATICAS, data = datos)
## 
## Residuals:
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -55.764 -12.951  -0.575  13.111  46.298 
## 
## Coefficients:
##                  Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept)       43.3322    17.1984    2.52   0.0152 *  
## PUNT_MATEMATICAS   4.0624     0.3019   13.46   <2e-16 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 23.88 on 47 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.7939, Adjusted R-squared:  0.7895 
## F-statistic: 181.1 on 1 and 47 DF,  p-value: < 2.2e-16

Gráfica de la Recta de Regresión

Representamos la nube de puntos junto con la recta ajustada por mínimos cuadrados:

plot(datos$PUNT_MATEMATICAS, datos$PUNT_GLOBAL, 
     xlab = "Puntaje de Matemáticas (X)", 
     ylab = "Puntaje Global (Y)", 
     col = "purple", pch = 19,
     main = "Recta de regresión: Puntaje Global vs Matemáticas")
abline(regresion, col = "orange", lwd = 2)

Interpretación del modelo ajustado: A partir de la estimación por mínimos cuadrados ordinarios, la ecuación de la recta de regresión queda definida como:

\[\hat{Y} = 43.3322 + 4.0624 X\] * Intercepto (\(\hat{\beta}_0 = 43.3322\)): Representa el puntaje global base estimado cuando el puntaje de matemáticas es cero (\(p = 0.0152 < 0.05\)). * Pendiente (\(\hat{\beta}_1 = 4.0624\)): Indica que, por cada punto adicional obtenido en la prueba de Matemáticas, el Puntaje Global aumenta en promedio \(4.0624\) puntos (\(p < 2 \times 10^{-16}\), altamente significativo). * Coeficiente de Determinación (\(R^2 = 0.7939\)): El puntaje de matemáticas explica por sí solo el \(79.39\%\) de la variabilidad total del puntaje global de los estudiantes.

4. Análisis de Varianza (ANOVA) e Intervalos de Confianza

Evaluamos la significancia global del modelo mediante la tabla ANOVA (\(H_0: \beta_1 = 0\) frente a \(H_1: \beta_1 \neq 0\)) y calculamos los intervalos de confianza al \(95\%\) para los parámetros de la recta:

# Tabla de Análisis de Varianza (ANOVA)
anova(regresion)
## Analysis of Variance Table
## 
## Response: PUNT_GLOBAL
##                  Df Sum Sq Mean Sq F value    Pr(>F)    
## PUNT_MATEMATICAS  1 103288  103288  181.08 < 2.2e-16 ***
## Residuals        47  26809     570                      
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
# Intervalos de confianza al 95% para beta_0 y beta_1
confint(regresion, level = 0.95)
##                     2.5 %    97.5 %
## (Intercept)      8.733497 77.930943
## PUNT_MATEMATICAS 3.455073  4.669723

Interpretación del ANOVA y los intervalos de confianza:

  • Validez global (ANOVA): Se obtiene un estadístico \(F = 181.08\) con un \(p\)-valor menor a \(2.2 \times 10^{-16}\) (\(\alpha = 0.05\)). Dado que \(p < 0.05\), se rechaza la hipótesis nula (\(H_0\)) y se concluye que el modelo de regresión lineal es estadísticamente válido y significativo.
  • Intervalos de confianza al \(95\%\): El parámetro \(\beta_0\) (intercepto) se encuentra entre \(8.73\) y \(77.93\), mientras que la pendiente \(\beta_1\) oscila entre \(3.46\) y \(4.67\) puntos. Como ningún intervalo contiene el cero, se confirma que ambos parámetros son significativos y que por cada punto adicional en Matemáticas el Puntaje Global sube entre \(3.46\) y \(4.67\) puntos con un \(95\%\) de confianza.

5. Diagnóstico de Supuestos del Modelo

Evaluamos el cumplimiento de los supuestos fundamentales sobre los residuos estandarizados del modelo: linealidad, homocedasticidad (varianza constante) y normalidad.

# Extraemos los residuos estandarizados y los valores ajustados
residuos <- rstandard(regresion)
valores.ajustados <- fitted(regresion)

# 1. Gráfico de Residuos vs Valores Ajustados (Linealidad y Homocedasticidad)
plot(valores.ajustados, residuos, 
     xlab = "Valores Ajustados (Fitted values)", 
     ylab = "Residuos Estandarizados",
     main = "Residuos estandarizados vs Valores ajustados",
     col = "darkgreen", pch = 19)
abline(h = 0, col = "red", lty = 2)

# 2. Gráfico Q-Q de Normalidad
qqnorm(residuos, col = "steelblue", pch = 19, main = "Gráfico Q-Q de los residuos")
qqline(residuos, col = "red", lwd = 2)

# 3. Prueba analítica de normalidad de Shapiro-Wilk
shapiro.test(residuos)
## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  residuos
## W = 0.98174, p-value = 0.6401

Interpretación del diagnóstico de supuestos:

  • Linealidad y Homocedasticidad: En el gráfico de residuos estandarizados frente a los valores ajustados, los puntos se dispersan de forma aleatoria alrededor de cero sin presentar tendencias curvas ni forma de embudo, confirmando que la varianza de los errores es constante (homocedasticidad).

  • Normalidad de los errores: En el gráfico Q-Q, los residuos se alinean estrechamente sobre la recta teórica diagonal[cite: 14]. Esto se confirma analíticamente con la prueba de Shapiro-Wilk (\(W = 0.9817\), \(p = 0.6401 > 0.05\)), por lo que no se rechaza la hipótesis nula y se concluye que los residuos siguen una distribución

6. Predicción y Visualización (Observados vs. Predichos)

Utilizamos el modelo ajustado para predecir el Puntaje Global ante nuevos puntajes de matemáticas (\(50\), \(60\) y \(70\) puntos), calculando tanto el intervalo de confianza para la respuesta media como el intervalo de predicción para un estudiante individual, y comparamos gráficamente los valores reales frente a los predichos:

# Nuevos valores de puntaje en matemáticas para predecir
nuevos.puntajes <- data.frame(PUNT_MATEMATICAS = c(50, 60, 70))

# 1. Intervalo de confianza al 95% para la respuesta MEDIA
predict(regresion, nuevos.puntajes, interval = "confidence", level = 0.95)
##        fit      lwr      upr
## 1 246.4521 238.7270 254.1772
## 2 287.0761 279.7614 294.3908
## 3 327.7001 316.6955 338.7047
# 2. Intervalo de predicción al 95% para UN ESTUDIANTE INDIVIDUAL
predict(regresion, nuevos.puntajes, interval = "prediction", level = 0.95)
##        fit      lwr      upr
## 1 246.4521 197.7884 295.1159
## 2 287.0761 238.4758 335.6764
## 3 327.7001 278.4093 376.9909
# Gráfica de relación entre valores observados y valores predichos
plot(fitted(regresion), na.omit(datos$PUNT_GLOBAL),
     xlab = "Valores predichos",
     ylab = "Valores observados (Puntaje Global)",
     main = "Relación entre valores observados y predichos",
     col = "darkblue", pch = 19)
abline(0, 1, col = "red", lwd = 2, lty = 2)

Interpretación de las predicciones: Para un puntaje de \(60\) en Matemáticas, el modelo estima un Puntaje Global promedio de \(287.08\) puntos (con un intervalo de confianza del \(95\%\) para la respuesta media entre \(279.76\) y \(294.39\) puntos, y un intervalo de predicción individual entre \(238.48\) y \(335.68\) puntos, más amplio debido a la variabilidad propia de cada estudiante)[cite: 16]. En el gráfico de dispersión, los puntos se agrupan de manera cercana alrededor de la línea diagonal de identidad (\(Y = \hat{Y}\)), evidenciando un buen desempeño predictivo.

7. Conclusiones

  • Relación lineal significativa: Se comprobó una asociación lineal positiva, fuerte (\(r = 0.8856\)) y estadísticamente significativa (\(F = 181.08\), \(p < 2.2 \times 10^{-16}\)) entre el puntaje de Matemáticas y el Puntaje Global en las pruebas Saber 11.
  • Impacto y capacidad explicativa: Por cada punto adicional obtenido en Matemáticas, el Puntaje Global se incrementa en promedio \(4.0624\) puntos (\(\text{IC}_{95\%}: [3.46, \; 4.67]\)). Además, el desempeño en matemáticas explica el \(79.39\%\) (\(R^2 = 0.7939\)) de la variabilidad total del puntaje global.
  • Cumplimiento de supuestos: El modelo satisface todos los supuestos clásicos de regresión lineal: linealidad, homocedasticidad (ausencia de embudo en residuos) y normalidad de los errores confirmada mediante el gráfico Q-Q y la prueba de Shapiro-Wilk (\(p = 0.6401\)).
  • Utilidad práctica: El modelo es estadísticamente válido y confiable para realizar estimaciones y proyecciones del desempeño global estudiantil a partir de los resultados específicos en el área de matemáticas.