| Premenná | Odhad (Estimate) | Št. chyba | t-štatistika | p-hodnota | Významnosť |
|---|---|---|---|---|---|
| (Intercept) | 4.6798 | 4.3522 | 1.0753 | 0.2846 | |
| gdp_miliardy | 0.1202 | 0.0084 | 14.2611 | 0.0000 | *** |
| population | 0.0000 | 0.0000 | 6.3904 | 0.0000 | *** |
Základná diagnostika regresného modelu
1 Úvod a správa pracovného prostredia
V tomto cvičení nadväzujeme na analýzu výroby elektrickej energie v strednej Európe (Slovensko, Česko, Rakúsko, Poľsko, Nemecko od roku 2000) z databázy Our World in Data (OWID). Na prenos dát z predchádzajúceho cvičenia využívame príkaz load(“pamat.Rdata”), čím eliminujeme potrebu opakovaného čistenia databázy.
V závere dokumentu aktualizovaný pracovný priestor opäť uložíme pomocou save.image().
2 Odhad a štatistická významnosť základného modelu
Odhadujeme viacnásobný lineárny regresný model, v ktorom celkovú výrobu elektriny v TWh vysvetľujeme pomocou HDP (v miliardách) a veľkosti populácie: \[Electricity_i = \beta_0 + \beta_1 GDP\_miliardy_i + \beta_2 Population_i + u_i\]
2.1 Interpretácia koeficientov a t-testov
gdp_miliardy: Odhadnutý koeficient (0,1202) je štatisticky vysoko významný (\(p < 0,001\)). Pri nezmenenej populácii zvyšuje nárast HDP o 1 miliardu produkciu elektriny v priemere o 0,1202 TWh.
population: Parciálny koeficient pri populácii je štatisticky vysoko významný (\(p < 0,001\)), čo potvrdzuje priamy vplyv veľkosti krajiny na celkovú produkciu energie.
(Intercept): Absolútny člen nie je štatisticky významný (\(p = 0,2846\)), v tomto modeli plní iba technickú funkciu.
3 Kvalita vyrovnania modelu a F-test
| R² | Upravené R² | Sigma | F-štatistika | p-hodnota (F) | AIC | BIC | N |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0.9801 | 0.9798 | 30.6615 | 2763.517 | 0 | 1118.608 | 1129.588 | 115 |
3.1 Interpretácia
Koeficient determinácie (\(R^2\)): Model vysvetľuje približne 98 % celkovej variability výroby elektrickej energie v sledovaných krajinách.
Celkový F-test: Vysoká hodnota F-štatistiky s p-hodnotou blízkou nule (\(p < 0,001\)) vedie k zamietnutiu nulovej hypotézy o nevýznamnosti modelu – premenné HDP a populácia sú spoločne štatisticky vysoko významné.
Reziduálna štandardná chyba (Sigma): Priemerná chyba predikcie modelu dosahuje približne 30,36 TWh.
4 Diagnostika základného modelu
4.1 Grafická analýza rezíduí
4.1.1 Interpretácia
Residuals vs Fitted: Červená vyhladzovacia krivka vykazuje zreteľné zakrivenie, čo naznačuje prítomnosť nelinearity vo vzťahu medzi premennými, ktorú čisto lineárny model nedokáže zachytiť.
Q-Q Residuals: Väčšina pozorovaní v strednej časti leží na prerušovanej diagonále, no na oboch koncoch (najmä vpravo hore a vľavo dole) sa body odchyľujú, čo poukazuje na možné narušenie normality.
Scale-Location: Rozptyl bodov nie je úplne rovnomerný (mierne sa rozširuje s rastúcimi predikovanými hodnotami), čo indikuje možnú heteroskedasticitu spôsobenú rozdielnou veľkosťou krajín (napr. Nemecko vs. Slovensko).
Residuals vs Leverage: Niekoľko pozorovaní (najmä údaje pre Nemecko s vysokým HDP) vykazuje vyšší pákový efekt (leverage), pričom niektoré body sa približujú ku kontúram Cookovej vzdialenosti.
4.2 Test normality rezíduí (Jarqueov–Berov test)
| JB štatistika | p-hodnota | Použitý test |
|---|---|---|
| 10.8176 | 0.0045 | Jarque Bera Test |
Keďže p-hodnota Jarqueovho–Berovho testu je menšia ako hladina významnosti \(\alpha = 0,05\), zamietame nulovú hypotézu o normálnom rozdelení rezíduí. Tento výsledok potvrdzuje odchýlky pozorované na okrajoch Q-Q grafu.
4.3 Test odľahlých pozorovaní
| Pozorovanie (riadok) | Študentizované rezíduum | Neupravená p-hodnota | Bonferroniho p-hodnota |
|---|---|---|---|
| 69 | -3.5399 | 6e-04 | 0.0674 |
4.3.1 Interpretácia
Test identifikoval pozorovanie na riadku 69 (ktoré časovo a hodnotou zodpovedá Nemecku) s vysoko záporným študentizovaným rezíduom. Neupravená p-hodnota (\(6 \cdot 10^{-4}\)) by naznačovala štatistickú významnosť, avšak po Bonferroniho korekcii sa p-hodnota mení na 0,0674. Keďže táto hodnota je mierne nad štandardnou hladinou významnosti \(\alpha = 0,05\), pozorovanie nie je na hladine vyhodnotené ako štatisticky významne odľahlé. Znamená to, že hoci ide o extrémnejšiu hodnotu (súvisiacu s obrovským objemom výroby energie v Nemecku), nemusíme ju z dátového súboru mechanicky odstraňovať, keďže obsahuje dôležitú ekonomickú informáciu.
5 Modifikácia modelu (logaritmická transformácia)
Z dôvodu odhalenej nelinearity a rozdielnych rádových veľkostí ekonomík pristúpime k logaritmickej transformácii vysvetľujúcich premenných (lin-log model): \[Electricity_i = \beta_0 + \beta_1 \ln(GDP\_miliardy_i) + \beta_2 \ln(Population_i) + u_i\]
5.1 Odhad modifikovaného modelu
| Premenná | Odhad (Estimate) | Št. chyba | t-štatistika | p-hodnota | Významnosť |
|---|---|---|---|---|---|
| (Intercept) | -1000.458 | 315.9588 | -3.1664 | 0.0020 | ** |
| log(gdp_miliardy) | 158.807 | 23.8765 | 6.6512 | 0.0000 | *** |
| log(population) | 12.412 | 27.2475 | 0.4555 | 0.6496 |
5.1.1 Interpretácia
log(gdp_miliardy): Koeficient je štatisticky vysoko významný (\(p < 0,001\)). Rast HDP o 1 % vedie k zvýšeniu produkcie elektrickej energie v priemere o približne 1,59 TWh (\(158,81 / 100\)), za predpokladu nezmenenej populácie.
log(population): Koeficient pri logaritme populácie nie je štatisticky významný (\(p = 0,6496\)), čo znamená, že po logaritmickej transformácii a prítomnosti HDP stráca táto premenná v modeli svoju preukázateľnú vysvetľovaciu schopnosť.
(Intercept): Absolútny člen je štatisticky významný, avšak slúži len ako technická konštanta modelu.
5.2 Diagnostické grafy modifikovaného modelu
Residuals vs Fitted: Červená trendová čiara vykazuje výrazné klesajúce a následne stúpajúce zalomenie (tvar pripomínajúci písmeno V), čo poukazuje na to, že logaritmická transformácia samotného HDP neodstránila nelinearitu vo vzťahu a model stále trpí systematickou chybou v predikciách.
Q-Q Residuals: Body sa v strednej časti pomerne dobre držia priamky, avšak na oboch koncoch sa odchyľujú, čo naznačuje, že rezíduá modifikovaného modelu nie sú úplne normálne rozložené.
Scale-Location: Červená čiara vykazuje viditeľné lomené zmeny a nerovnomerný priebeh, čo poukazuje na pretrvávajúcu nestabilitu rozptylu rezíduí naprieč predikovanými hodnotami.
Residuals vs Leverage: Pozorovania s vyšším pákovým efektom sa nachádzajú v bezpečnej vzdialenosti pred kontúrami Cookovej vzdialenosti, čo znamená, že hoci ide o extrémnejšie šttylizované hodnoty, zásadne nedistorsujú odhady koeficientov modelu.
5.3 Jarqueov–Berov test normality rezíduí modifikovaného modelu
| JB štatistika | p-hodnota | Použitý test |
|---|---|---|
| 5.6617 | 0.059 | Jarque Bera Test |
P-hodnota testu dosahuje 0,059, čo je mierne nad hladinou významnosti \(\alpha = 0,05\). To znamená, že nulovú hypotézu o normálnom rozdelení rezíduí nezamietame. Logaritmická transformácia síce úplne neodstránila nelinearitu v grafoch, ale v prípade normality rezíduí posunula test tesne nad hranicu významnosti, takže predpoklad normality chýb tu formálne nie je porušený.
5.4 Test odľahlých hodnôt modifikovaného modelu
| Pozorovanie (riadok) | Študentizované rezíduum | Neupravená p-hodnota | Bonferroniho p-hodnota |
|---|---|---|---|
| 90 | -1.9855 | 0.0496 | 5.6988 |
Test vyhodnotil pozorovanie na riadku 90 so študentizovaným rezíduom −1,99. Hoci neupravená p-hodnota (0,0496) by mohla budiť dojem odľahlosti, po aplikácii prísnej Bonferroniho korekcie vzrastie p-hodnota vysoko nad hranicu na 5,70. To znamená, že po logaritmickej transformácii model neeviduje žiadne štatisticky významné odľahlé pozorovania na hladine významnosti a extrémne body boli úspešne absorbované.
6 Porovnanie modelov pomocou informačných kritérií (AIC a BIC)
| Špecifikácia modelu | R² | Upravené R² | Sigma | AIC | BIC |
|---|---|---|---|---|---|
| Model 1: Lineárny (GDP + Population) | 0.98 | 0.98 | 30.66 | 1118.61 | 1129.59 |
| Model 2: Lin-Log (ln(GDP) + ln(Population)) | 0.84 | 0.83 | 87.88 | 1360.79 | 1371.77 |
6.1 Interpretácia porovnania modelov
Model 1 (pôvodný lineárny) dosahuje lepšie štatistické charakteristiky ako Model 2. Vyšší koeficient determinácie (\(R^2 = 0,98\) oproti \(0,84\)) znamená, že lineárny model dokáže vysvetliť až 98 % variability výroby elektrickej energie.
Reziduálna štandardná chyba (Sigma) je pri lineárnom modeli podstatne nižšia (\(30,66\) oproti \(87,88\)), čo značí presnejšie odhady.
Pri porovnaní informačných kritérií jednoznačne uprednostňujeme Model 1, pretože vykazuje nižšie hodnoty AIC (\(1118,61\) vs. \(1360,79\)) aj BIC (\(1129,59\) vs. \(1371,77\)). Logaritmická transformácia teda v tomto prípade kvalitu modelu nezlepšila a pôvodný lineárny model je vhodnejšou voľbou.