La Necesidad de Expectativas

• Los modelos macroeconómicos modernos, especialmente los que se basan en microfundamentos, incorporan la toma de decisiones intertemporal de agentes.
• Estas decisiones dependen de las expectativas futuras sobre variables clave (precios, ingresos, política monetaria).
• La hipótesis de Expectativas Racionales (ER) establece que los agentes usan toda la información disponible y entienden la estructura del modelo, por lo que sus expectativas son el equivalente a la expectativa matemática condicional de las variables futuras.

Definición

Es un supuesto que consiste en:

• “La distribución de probabilidad subjetiva de los agentes sobre los eventos futuros es igual a la distribución de probabilidad actual condicionada al conjunto de información disponible para ellos” (Mindford & Peel, 2002)

Primeras formulas

\[E_t(x_{t+k}) = \mathbb{E}[x_{t+k} | \Omega_t]\] * Esto introduce un problema de expectativas futuras en ecuaciones actuales.

Los momentos

Principales momentos son:

• La media (primer momento)
• La varianza (segundo momento)
• La asimetría (tercero momento)
• La kurtosis (cuarto momento)

Nota: Estamos hablando de las medidas de tendencia central y de distribuciones de probabilidad. A repasar estadistica.

Tipos de Expectativas en Modelos, un repaso

• Expectativas Estáticas: \(\mathbb{E}[x_{t+1}] = x_t\).
• Expectativas Adaptativas: \(\mathbb{E}[x_{t+1}] = \mathbb{E}[x_t] + \lambda (x_t - \mathbb{E}[x_t])\). “Aprende” de errores pasados e incorpora en el pronóstico
• Expectativas Racionales (ER): \(\mathbb{E}[x_{t+1} | \Omega_t]\).

En pocas palabras

Las expectativas son de alguna manera alguna medida de la distribución de probabilidad. “El principal rasgo de la distribución que cambia a lo largo del tiempo es la media” (Mindford & Peel, 2002)

Notación

\[E_{t+j}X_{t+i}\] Es la expectativa del del para el período \(t+i\) en base a la información generalmente disponible en \(t+j\).

Nota: \(i\) y \(j\) pueden ser negativos o positivos.

Primer modelito de juguete

\[x_{t+1}= x_t + \epsilon_{t+1}\]

• El error \(\epsilon\) se distribuye normalmente con media \(0\) y varianza \(\sigma ^2\).

• Todos los eventos son independientes.

• En este caso \(x_t\) sigue una “caminata aleatoria”.

Paso a paso, voy explicando

1. \(E_tx_{t-1} = E(x_{t+1}|\phi _t)\)

2. \(E(x_{t+1}|\phi _t) = E(x_t + \epsilon_{t+1}|\phi _t)\)

3. \(E(x_t + \epsilon_{t+1}|\phi _t) = x_t + E(\epsilon_{t+1}|\phi _t)=x_t\)

El modelo macro básico

1. \(m_t = p_t + y_t\) (7)
2. \(p_t = E_{t-1}p_t + \delta (y_t - y^*)\) (8)
3. \(m_t = \bar{m} + \epsilon _t\) (9)

Nota: todas \(m\), \(p\) y \(y\) son logaritmos

Macro basico

1. La constante \(\bar{m}\) es el objetivo de política monetaria.
2. La constante \(y^{*}\) es la producción normal.
3. Ambas constantes son conocidas de antemano.

Vizualizando el modelo MB

Mindford & Peel, 2002

¿Qué son estas ecuaciones?

• La ecuación (7) es una función de demanda de dinero. Con una elasticidad a la tasa de interés constante e igual a 1.

• La ecuación (8) es una curva de Phillips.

• La ecuación (9) Es la función de oferta de dinero.

A resolver

El punto de llegada:

1. \(\bar{m} + \epsilon _t = E_{t-1}p_t +(1+ \delta )y_t - \delta y^{*}\) (10)

Vamos paso a paso. La resolución es por sustitución, después viene la parte interesante.

Todas las ecuaciones en valor esperado

Mindford & Peel, 2002

La exppectativa sobre el nivel de precios

\[E_{t-1}p_t = \bar{m} - y^{*}\]

Esta es la ecuación (11)

Primeras implicaciones

Los productores ofrecerán bajo el supuesto que recibirán a los precios que ellos esperan. Esta última ecuación es la función de oferta esperada.

La solución

La ecuación (11) puede ser sustituida en la (10) para obtener las soluciones para el producto y el nivel de precios.

Ingredientes

1. \(\bar{m} + \epsilon _t = E_{t-1}p_t +(1+ \delta )y_t - \delta y^{*}\) (10)

2. \(E_{t-1}p_t = \bar{m} - y^{*}\) (11)

3. \(p_t = E_{t-1}p_t + \delta (y_t - y^*)\) (8)

Soluciones

1. \(y_t = y^{*} + \frac{1}{1+\delta} \epsilon\) (12)
2. \(p_t = \bar{m} - y^{*} + \frac{\delta}{1+ \delta} \epsilon _t\) (13)

Implicaciones

1. “Neutralidad del dinero”. La solución para el logaritmo del producto es invariable respecto a los parámetros de la política monetaria.

2. El producto tiende al potencial en ausencia de “sorpresas” \(\epsilon _t\)

3. Los agentes “incorporan” la política monetaria en su formación de expectativas.

Probemos una política monetaria distinta

Cambiamos la oferta monetaria de (9) a (14):

1. \(m_t = \bar{m} + \epsilon _t\) (9)
2. \(m_t = \bar{m} - \beta (y_{t-1} - y^{*})+\epsilon _t\) (14)

Expectativas sobre el nivel precios

El producto tendrá la misma solución: la ecuación (12).

Sin embargo, los precios esperados y actuales cambian a:

1. \(E_{t-1}p_t= \bar{m} - \beta (y_{t-1} - y{*}) - y^{*} = \bar{m} - y^{*} - \frac{\beta}{1+ \delta}\epsilon_{t-1}\)
2. \(pt = \bar{m} -y{*} - \frac{\beta}{1+\delta}\epsilon_{t-1}+ \frac{\delta}{1+\delta} \epsilon_t\)

Tambien aumentaria la varianza de los precios

La varianza pasa de \(\sigma^2\) a \(\sigma ^2 + {\frac{\beta}{1+\delta}}^2 \sigma ^2\)

Vizualizando los resultados

Mindford & Peel, 2002

Contrastando con un modelo de expectativas adaptativas

Hipótesis de formación de expectativas:

1. \({x^\epsilon}_{t} - {x^\epsilon}_{t-1} = \mu (x_{t-1} - {x^\epsilon}_{t-1}\) \(0<\mu<1\)

El valor esperado de X

1. \({x^e}_t = \mu \sum_{i=0}^{\infty}{(1-\mu)^i}x_{t-1-i}\)
2. \(pt = \mu \sum_{i=0}^{\infty}{(1-\mu)^i}p_{t-1-i} + \delta (y_t - y^{*})\)

La ecuación es la nueva expresión para el nivel de precios (8).