Análisis de XLE y decisión de inversión con modelos ARIMA

Instituto Tecnológico Metropolitano
Econometría Financiera
Docente David Esteban Rodríguez Guevara

1. Introducción y resumen ejecutivo

Este trabajo analiza XLE, un fondo que agrupa acciones del sector energético de Estados Unidos. Queremos saber si un modelo construido con precios históricos da suficiente evidencia para invertir un capital virtual de USD 100.000 en el activo o si conviene dejarlo en una alternativa de liquidez. Trabajamos con datos diarios entre enero de 2018 y diciembre de 2025, y el horizonte de decisión abarca 302 sesiones: del 17 de octubre de 2024 al 31 de diciembre de 2025.

Elegimos un ARIMA(7,1,0) reducido y sin deriva, que conserva los rezagos 2, 6 y 7 y fija en cero los otros cuatro coeficientes. Lo seleccionamos con los datos de entrenamiento por su BIC y porque mejora la autocorrelación de los residuos. Ni el VIX rezagado ni el componente estacional que evaluamos hicieron una contribución clara.

Con la regla de inversión, la decisión es mantener liquidez. Después de los costes supuestos, el rendimiento central proyectado de XLE es -0,77 %, por debajo del umbral de 6,73 %. Al cierre del periodo evaluado, la liquidez aproximada llega a USD 105.203,99, mientras que comprar y mantener XLE deja USD 103.191,33 netos. Este resultado no hace del modelo una herramienta segura: sus errores siguen mostrando cambios importantes de volatilidad y su ventaja frente al paseo aleatorio es pequeña y depende de la métrica que se use.

2. Fuente y análisis de mercado

2.1 El activo y las fuentes

XLE es el Energy Select Sector SPDR Fund. Su objetivo es representar el sector energético del S&P 500, se negocia en NYSE Arca y cotiza en dólares estadounidenses. La sesión principal va de 9:30 a. m. a 4:00 p. m., hora de Nueva York, aunque hay festivos y días de cierre anticipado. Usamos frecuencia diaria porque deja ver los episodios de tensión y ofrece datos suficientes para separar entrenamiento y prueba (State Street Investment Management, s. f.; New York Stock Exchange, s. f.).

La base local viene del material entregado para el trabajo. Allí se indica que XLE y VIX provienen de Yahoo Finance, y DTB3 y WTI, de FRED. Trabajamos con esa copia para que los resultados se puedan reproducir. No hicimos una descarga nueva ni la presentamos como si existiera, porque las series descargadas hoy podrían cambiar por revisiones o ajustes.

Tomamos el precio ajustado de XLE como referencia del desempeño de la inversión. Los cocientes entre precios ajustados aproximan un rendimiento que incorpora distribuciones y cambios en las acciones, pero no corresponden a una cotización a la que se hubiera podido comprar exactamente ese día. Por esa razón valoramos el capital con cocientes de precios y no calculamos un número de acciones a partir del precio ajustado.

Figura 1 Precio ajustado de XLE y corte de entrenamiento. Fuente: base suministrada y cálculos propios.

En el gráfico se ve una caída fuerte en 2020 y una recuperación posterior. En toda la muestra, el precio ajustado va de un mínimo de USD 9,12 a un máximo de USD 45,76. Como el nivel cambia a lo largo de varios años, no es adecuado tratar el precio directamente como una serie estable alrededor de una media fija.

2.2 Tres hechos que ayudan a entender el periodo

Caída del petróleo al final de 2018. La EIA asocia este episodio con el aumento de la producción en Estados Unidos, Rusia y Arabia Saudita, sumado a las dudas sobre la demanda mundial. Ese contexto importa para empresas cuyos ingresos dependen del mercado energético. En la base, XLE cae 19,54 % entre la primera y la última sesión de 2018, aunque esa coincidencia, por sí sola, no identifica una relación causal (U.S. Energy Information Administration \[EIA\], 2019).

Pandemia y tensión petrolera en 2020. La menor demanda, el poco almacenamiento disponible y las dificultades para cerrar posiciones llevaron el contrato cercano de futuros WTI a precios negativos en abril. Ese hecho ocurrió en el mercado de futuros; XLE nunca tuvo un precio negativo. En nuestros datos, 2020 tiene una volatilidad diaria de 3,85 %, la más alta del periodo, y eso justifica revisar si la varianza es estable (EIA, 2020).

Invasión de Ucrania en 2022. La invasión y las sanciones a Rusia afectaron la oferta y aumentaron la incertidumbre en los mercados energéticos. La EIA documenta alzas de precios y más volatilidad durante ese año. En la base, XLE sube 59,39 % entre la primera y la última sesión de 2022. El episodio ayuda a poner en contexto ese comportamiento, pero el modelo no tiene una variable que permita medir su efecto causal (EIA, 2023).

Estos hechos sugieren que el activo puede pasar por rupturas y por periodos con riesgos distintos. Por eso revisamos tanto la dinámica del precio como los errores del modelo. Las variaciones anuales mencionadas comparan la primera y la última observación de cada año, así que no equivalen exactamente a un rendimiento de cierre anual frente al cierre del año anterior.

2.3 Hipótesis de inversión

Según la regla del ejercicio, todo el capital virtual se invierte en XLE solo si su rendimiento central previsto, neto de costes, supera en un punto porcentual el rendimiento proyectado de la liquidez. Si no lo supera, mantenemos liquidez durante todo el horizonte. Suponemos costes de cinco puntos básicos en la compra y cinco en la venta, sin apalancamiento ni posiciones cortas. Estos valores son supuestos del ejercicio, no tarifas observadas de un intermediario.

El corte de información es el 16 de octubre de 2024, y la selección y estimación que presentamos usan solo el entrenamiento. Hay que aclarar, sin embargo, que las versiones anteriores del trabajo ya incluían resultados de la prueba. Por eso esta revisión es una evaluación retrospectiva y no un experimento nuevo sobre un bloque totalmente desconocido. La regla se mantuvo igual; no la ajustamos para que la estrategia ganara en ese periodo.

3. Base de datos y tratamiento

Tabla 1 Variables originales

Variable	Unidad	Uso
fecha	Fecha de sesión	Orden temporal
xle_adj	USD ajustados	Serie principal
xle_close	USD de cierre	Referencia conservada
xle_vol	Participaciones negociadas	Referencia conservada
vix	Puntos del índice	Regresor potencial
dtb3	Porcentaje anual en descuento	Referencia de liquidez
wti	USD por barril	Contexto conservado

La base original tiene 2.011 fechas ordenadas y sin duplicados. XLE y VIX están completos; a DTB3 le faltan 15 datos y a WTI, 13. En DTB3 completamos cada faltante con el último dato anterior disponible, sin usar valores futuros. WTI no entra en la estimación, así que sus faltantes se dejan como están. Tampoco eliminamos las observaciones extremas de XLE, porque hacen parte del riesgo que queremos estudiar.

No rellenamos fines de semana ni festivos con precios inventados, de modo que un rezago equivale a una sesión de negociación. Después de construir el cambio rezagado del VIX quedan 2.009 filas, comparables con el trabajo previo. El modelo con variable externa usa el nivel logarítmico rezagado del VIX; su cambio también se registra para comprobar la transformación.

Dejamos para prueba cerca del 15 % de las observaciones finales. Así quedan casi siete años para estimar, con varios episodios de mercado incluidos, y más de un año para evaluar. La partición es cronológica y se fija antes de calcular transformaciones estimadas o de comparar modelos.

Tabla 2 Fechas y tamaños de muestra

Bloque	Inicio	Final	Observaciones
Base original	02/01/2018	31/12/2025	2011
Entrenamiento	04/01/2018	16/10/2024	1707
Prueba	17/10/2024	31/12/2025	302

Tabla 3 Precios ajustados en USD y retornos logarítmicos

Bloque	Mínimo	Media	Máximo	Retorno diario medio %	Volatilidad diaria %
Total	9,12	29,93	45,76	0,027	2,017
Train	9,12	27,76	45,40	0,029	2,097
Test	36,55	42,18	45,76	0,011	1,494

Figura 2 Retornos logarítmicos diarios de XLE. Fuente: cálculos propios.

El retorno diario es \(r_{t} = 100\lbrack log(P_{t}) - log(P_{t - 1})\rbrack\). En el gráfico aparecen grupos de movimientos grandes, especialmente en 2020. Como contraste, la desviación estándar diaria de 2024 es 1,13 %. La variabilidad no permanece igual durante todo el periodo. La media diaria de los retornos tampoco debe multiplicarse sin más por el horizonte para afirmar una ganancia segura.

3.1 Transformación Box Cox

La familia Box Cox transforma un precio positivo mediante \(g_{\lambda}(P) = (P^{\lambda} - 1)/\lambda\) cuando \(\lambda \neq 0\); si \(\lambda = 0\), usa \(log(P)\). Con los datos de entrenamiento, el método de Guerrero estima \(\lambda = 0,657\) y el de verosimilitud da aproximadamente \(\lambda = 1,40\). El perfil de una regresión auxiliar con tendencia y ciclo de cinco sesiones arroja un intervalo aproximado de 95 % de \[1,28; 1,54\].

Con estos resultados no se puede afirmar que el logaritmo sea la transformación Box Cox óptima. Cada método responde a un criterio distinto, y el perfil supone una estructura auxiliar discutible en una serie con cambios de régimen. Aun así, elegimos el logaritmo porque se interpreta como variación proporcional y mantiene positivos los precios pronosticados. Es una decisión económica que hacemos explícita, no una conclusión de la prueba. Todos los candidatos se comparan con la misma transformación, y reconocemos que esta no elimina la volatilidad cambiante.

Figura 3 Perfil Box Cox calculado solo con entrenamiento. Fuente: cálculos propios.

4. Fundamentación matemática

4.1 De los rezagos al modelo ARIMA

Llamamos \(z_{t} = log(P_{t})\) al logaritmo del precio. El operador \(L\) mueve una observación hacia atrás: \(Lz_{t} = z_{t - 1}\) y \(L^{2}z_{t} = z_{t - 2}\). Diferenciar una vez consiste en calcular \((1 - L)z_{t} = z_{t} - z_{t - 1} = w_{t}\), con lo que se elimina el nivel y se puede estudiar el cambio entre sesiones. El número de diferencias es \(d\), que no debe confundirse con el número de rezagos.

Un proceso autorregresivo AR(\(p\)) usa valores anteriores de la misma serie:

\[w_{t} = c + \phi_{1}w_{t - 1} + \cdots + \phi_{p}w_{t - p} + \varepsilon_{t}.\]

Un proceso MA(\(q\)) usa innovaciones anteriores, es decir, errores que no se habían previsto:

\[w_{t} = \mu + \varepsilon_{t} + \theta_{1}\varepsilon_{t - 1} + \cdots + \theta_{q}\varepsilon_{t - q}.\]

Si combinamos ambas partes y aplicamos \(d\) diferencias a \(z_{t}\), obtenemos:

\[\phi(L)(1 - L)^{d}z_{t} = c + \theta(L)\varepsilon_{t},\]

donde \(\phi(L) = 1 - \phi_{1}L - \cdots - \phi_{p}L^{p}\) y \(\theta(L) = 1 + \theta_{1}L + \cdots + \theta_{q}L^{q}\). De este modo, \(p\) indica los rezagos autorregresivos, \(d\) las diferencias y \(q\) los rezagos de las innovaciones. Al interpretar la salida del programa hay que respetar la convención de signos del MA (Rodríguez Guevara, 2026a).

Se espera que las innovaciones tengan media cero, varianza constante y ninguna correlación entre fechas: \(E(\varepsilon_{t}) = 0\), \(Var(\varepsilon_{t}) = \sigma^{2}\) y \(Cov(\varepsilon_{t},\varepsilon_{t - k}) = 0\) para \(k \neq 0\). Estas son las condiciones de ruido blanco. La normalidad es una condición aparte y no se deduce de que la autocorrelación sea pequeña.

Para que la parte AR sea estacionaria, las raíces de \(\phi(L) = 0\) deben estar fuera del círculo unitario, es decir, tener módulo mayor que uno. En un AR(1), esto equivale a \(|\phi_{1}| < 1\). Un MA es invertible cuando sus raíces también tienen módulo mayor que uno. Con estas condiciones, el efecto de los choques se va reduciendo y la representación es estable.

4.2 ARIMAX y disponibilidad del VIX

El VIX resume la volatilidad esperada del S&P 500 a unos 30 días, calculada a partir de opciones. Puede aportar información sobre la incertidumbre general, aunque no mide directamente la volatilidad de XLE (Cboe, s. f.). Para no usar información del mismo cierre que queremos anticipar, definimos \(x_{t} = log(VIX_{t - 1})\).

En la implementación usamos una regresión con errores ARIMA:

\[z_{t} = \beta x_{t} + n_{t},\quad\quad\phi(L)(1 - L)n_{t} = \varepsilon_{t}.\]

Al sustituir \(n_{t} = z_{t} - \beta x_{t}\) y diferenciar:

\[\phi(L)\left\lbrack \Delta z_{t} - \beta\Delta x_{t} \right\rbrack = \varepsilon_{t}.\]

Por tanto, \(\Delta x_{t} = log(VIX_{t - 1}) - log(VIX_{t - 2})\). Escribirlo así evita leer el coeficiente como el efecto directo del nivel del VIX sobre el retorno. El parámetro \(\beta\) describe una asociación entre variaciones logarítmicas, teniendo en cuenta la dinámica de los errores, y no demuestra causalidad (Rodríguez Guevara, 2026b, 2026c). Esta especificación sigue la documentación de forecast::Arima y la regresión con errores ARIMA vista en el curso (Hyndman, s. f.; Rodríguez Guevara, 2026a).

En \(T_{0}\) ya se conoce el VIX que necesita el primer pronóstico. Para los pasos siguientes no sabemos cómo evolucionará, así que tomamos como escenario el último VIX observado y lo mantenemos constante. En cambio, en la evaluación de un paso usamos solo el VIX observado hasta la sesión anterior. Como son dos conjuntos de información distintos, los reportamos por separado.

4.3 Dinámica estacional

Un SARIMAX\((p,d,q)(P,D,Q)_{s}\) agrega patrones que se repiten cada \(s\) observaciones. Su forma general, usando \(n_{t} = z_{t} - \beta x_{t}\), es:

\[\phi(L)\Phi(L^{s})(1 - L)^{d}(1 - L^{s})^{D}n_{t} = \theta(L)\Theta(L^{s})\varepsilon_{t}.\]

Los órdenes en minúscula describen la dinámica regular y los de mayúscula describen la estacional. Evaluamos \(s = 5\) como una aproximación a cinco sesiones de mercado, no como una semana de calendario exacta porque existen festivos. Probamos un AR estacional con \(P = 1\), \(D = 0\) y \(Q = 0\). No introducimos diferencias estacionales sin evidencia de que sean necesarias. Un coeficiente en el rezago 7 regular tampoco significa que exista una estación semanal.

5. Identificación y calibración

5.1 Estacionariedad y correlogramas

Tabla 4 Pruebas sobre entrenamiento

Serie	ADF valor p	KPSS valor p
Logaritmo del precio	0,468	≤ 0,010
Diferencia del logaritmo	≤ 0,010	≥ 0,100

ADF parte de la hipótesis de raíz unitaria y KPSS de la hipótesis de estacionariedad en nivel. En el logaritmo del precio, ADF no rechaza raíz unitaria y KPSS rechaza estacionariedad. Después de diferenciar, los resultados se invierten. Esto, junto con los gráficos, respalda \(d = 1\). Los límites 0,010 y 0,100 son los que reportan las tablas de las funciones, no probabilidades exactas fuera de ese rango.

ADF se calcula con el rezago predeterminado de 11 sesiones y KPSS con su opción de rezago corto. Las pruebas ayudan a decidir, pero pueden verse afectadas por rupturas como la de 2020; no son una garantía de estabilidad para siempre (Rodríguez Guevara, 2026d).

Figura 4 ACF y PACF antes y después de diferenciar en entrenamiento. Fuente: cálculos propios.

En niveles, la persistencia es alta. En diferencias, la mayoría de las correlaciones es pequeña, pero destacan los rezagos 2, 6 y 7. La PACF en esos rezagos es aproximadamente 0,061, −0,067 y 0,133. Por eso comenzamos con órdenes pequeños y después revisamos un AR de orden 7. Las bandas son orientativas: al observar muchos rezagos pueden aparecer algunos picos por azar.

5.2 Comparación manual de candidatos

Tabla 5 Candidatos ARIMA en logaritmos con una diferencia

Modelo	AICc	BIC	Ljung Box 20 p
(0,1,0) sin deriva	-8.342,95	-8.337,51	<0,001
(0,1,0) con deriva	-8.341,27	-8.330,39	<0,001
(1,1,0) sin deriva	-8.343,88	-8.333,01	<0,001
(1,1,0) con deriva	-8.342,23	-8.325,92	<0,001
(0,1,1) sin deriva	-8.343,56	-8.332,68	<0,001
(0,1,1) con deriva	-8.341,90	-8.325,59	<0,001
(1,1,1) sin deriva	-8.344,60	-8.328,29	<0,001
(1,1,1) con deriva	-8.342,95	-8.321,21	<0,001
(2,1,0) sin deriva	-8.348,35	-8.332,04	<0,001
(2,1,0) con deriva	-8.346,65	-8.324,90	<0,001
(0,1,2) sin deriva	-8.348,24	-8.331,93	<0,001
(0,1,2) con deriva	-8.346,54	-8.324,80	<0,001
(2,1,1) sin deriva	-8.346,35	-8.324,61	<0,001
(2,1,1) con deriva	-8.344,65	-8.317,47	<0,001
(7,1,0) sin deriva	-8.380,43	-8.336,98	0,373
(7,1,0) con deriva	-8.378,65	-8.329,78	0,373
(7,1,0) reducido sin deriva	-8.384,56	-8.362,81	0,347
(7,1,0) reducido con deriva	-8.382,79	-8.355,62	0,347

Los modelos se estiman por máxima verosimilitud y se comparan sobre el mismo entrenamiento. AICc y BIC equilibran ajuste y complejidad; valores menores son preferibles. BIC penaliza más los parámetros adicionales. También revisamos los residuos: el ARIMA(2,1,0) con deriva conserva autocorrelación, con un valor p de Ljung Box inferior a 0,001. Por eso no basta con mantener ese modelo del borrador inicial.

El ARIMA(7,1,0) completo reduce esa dependencia. Al fijar en cero los rezagos 1, 3, 4 y 5 obtenemos un modelo con solo tres coeficientes dinámicos, mejor BIC y residuos sin evidencia clara de autocorrelación lineal. La versión con deriva no mejora ese balance. La reducción utiliza entrenamiento; los valores p posteriores deben interpretarse con cautela porque hubo selección de especificación.

Tabla 6 Revisión de la variable externa y del componente estacional

Modelo	AICc	BIC	Ljung Box 20 p
ARIMA reducido	-8.384,56	-8.362,81	0,347
ARIMAX con VIX	-8.382,55	-8.355,38	0,343
SARIMA con ciclo 5	-8.384,98	-8.357,81	0,473
SARIMAX con VIX y ciclo 5	-8.382,97	-8.350,37	0,468

El coeficiente del VIX rezagado es −0,000425, con valor p de 0,945. No encontramos evidencia de que aporte información adicional en esta especificación. El coeficiente estacional es 0,0378, con valor p de 0,119. El SARIMA mejora ligeramente AICc, pero empeora BIC. Elegimos el ARIMA reducido porque es más sencillo, tiene el mejor BIC de los candidatos y mantiene un diagnóstico aceptable de autocorrelación. No afirmamos que VIX nunca sea útil ni que XLE carezca de cualquier patrón de calendario.

Tabla 7 Coeficientes libres del modelo final

Parámetro	Estimación	Error estándar	Valor p
AR 2	0,0567	0,0239	0,018
AR 6	-0,0641	0,0239	0,007
AR 7	0,1369	0,0239	<0,001

El modelo final puede escribirse como:

\[\left( 1 - 0,0567L^{2} + 0,0641L^{6} - 0,1369L^{7} \right)(1 - L)z_{t} = \varepsilon_{t}.\]

Después de diferenciar, la misma ecuación es:

\[w_{t} = 0,0567w_{t - 2} - 0,0641w_{t - 6} + 0,1369w_{t - 7} + \varepsilon_{t}.\]

Esto indica una relación pequeña con cambios de dos y siete sesiones atrás, y una relación negativa con el de seis sesiones. Para volver al precio usamos \({\widehat{P}}_{T + h} = exp({\widehat{z}}_{T + h})\). Esta inversión del logaritmo es el pronóstico central o mediana bajo el supuesto normal de los errores, no la media aritmética de los precios. Al simular reportamos ambas por separado.

El menor módulo de las raíces AR es 1,264, mayor que uno: la parte diferenciada cumple la condición de estacionariedad. Como \(q = 0\), no hay una parte MA cuya invertibilidad deba comprobarse. El precio en nivel continúa siendo integrado; la condición se refiere a su cambio logarítmico.

6. Diagnóstico de residuos

Figura 5 Residuos y su autocorrelación en entrenamiento. Fuente: cálculos propios.

Tabla 8 Diagnóstico del modelo final

Prueba	Estadístico	Valor p
Ljung Box 10	6,376	0,497
Ljung Box 20	18,687	0,347
Ljung Box 30	39,659	0,055
Jarque Bera	10.406,470	<0,001
ARCH LM 5	289,122	<0,001

La media de los residuos es 0,000249 en unidades logarítmicas, cercana a cero. Con 10 y 20 rezagos, Ljung Box no rechaza la ausencia de autocorrelación. Con 30, el valor p es 0,055, muy cerca del límite de 5 %, así que la conclusión debe ser prudente. Para los grados de libertad descontamos los tres coeficientes AR estimados y no siete, porque los demás se fijaron en cero. El resultado mejora el problema del modelo inicial, pero no demuestra que los errores sean completamente independientes.

El histograma y el gráfico Q Q muestran valores extremos que una distribución normal no recoge bien. Jarque Bera rechaza la normalidad con p menor que 0,001. ARCH LM, que explica el residuo al cuadrado con cinco rezagos, también rechaza la varianza constante. En resumen, los residuos cumplen razonablemente la condición de baja autocorrelación lineal, pero no todas las condiciones de ruido blanco con varianza estable.

Al ampliar los rezagos y revisar el VIX y la estacionalidad, volvimos a aplicar los criterios de identificación. Esa revisión mejora la media condicional, pero no resuelve la volatilidad, y agregar más términos AR solo para eliminarla no garantiza una solución. Una extensión posible sería modelar la varianza con ARCH o GARCH y comprobarla en otra validación. En este trabajo nos mantenemos en el alcance ARIMA y dejamos claro que los intervalos y las simulaciones son aproximados.

Figura 6 Histograma y gráfico Q Q de los residuos. Fuente: cálculos propios.

7. Train test y capacidad predictiva

Hicimos dos ejercicios por separado. En el primero pronosticamos las 302 sesiones desde \(T_{0}\) sin incorporar precios posteriores; es el que corresponde a la decisión de inversión. En el segundo actualizamos la información observada hasta la sesión anterior y pronosticamos un día a la vez, con los coeficientes del entrenamiento fijos. Este segundo ejercicio sirve para evaluar el seguimiento diario, pero no reemplaza la proyección hecha en \(T_{0}\).

Comparamos el modelo final, el ARIMAX, el ARIMA(2,1,0) con deriva del borrador y un paseo aleatorio sin deriva. El paseo aleatorio equivale a un ARIMA(0,1,0) y usa el último precio como pronóstico central. No elegimos ningún candidato cambiando el modelo una y otra vez hasta que ganara en la prueba.

Con \(e_{t} = P_{t} - {\widehat{P}}_{t}\), las medidas que usamos son:

\[MAE = \frac{1}{h}\sum|e_{t}|,\quad\quad RMSE = \sqrt{\frac{1}{h}\sum e_{t}^{2}},\]

\[MAPE = \frac{100}{h}\sum\left| \frac{e_{t}}{P_{t}} \right|,\quad\quad MASE = \frac{MAE}{\frac{1}{n - 1}\sum_{t = 2}^{n}|P_{t} - P_{t - 1}|}.\]

MAE y RMSE se expresan en USD ajustados, y RMSE penaliza más los errores grandes. MAPE mide el error relativo en porcentaje. MASE divide el MAE entre el error ingenuo de un paso en el entrenamiento, que es de USD 0,3589. Por eso, un MASE mayor que uno no equivale a perder frente al paseo aleatorio de 302 pasos del test; para esa comparación hay que mirar la fila del paseo aleatorio en la tabla (Hyndman y Athanasopoulos, 2021).

Tabla 9 Pronóstico de todo el test desde T0

Modelo	MAE	MAPE %	MASE	RMSE
ARIMA reducido	1,4271	3,429	3,976	1,7977
ARIMAX con VIX	1,4269	3,428	3,975	1,7976
ARIMA 210 con deriva	2,4540	5,951	6,837	2,8806
Paseo aleatorio	1,4072	3,405	3,920	1,8168

Figura 7 Pronósticos desde T0 frente al precio observado. Fuente: cálculos propios.

En la proyección completa, el ARIMA reducido tiene RMSE de 1,7977 frente a 1,8168 del paseo aleatorio, una mejora cercana a 1,05 %. Sin embargo, el paseo aleatorio tiene menor MAE y MAPE. ARIMAX presenta resultados casi idénticos al modelo final; esa diferencia mínima no compensa por sí sola agregar una variable que no mejoró la selección en entrenamiento. El modelo con deriva acumula errores mayores en este horizonte.

Tabla 10 Pronósticos de un paso con parámetros fijos

Modelo	MAE	MAPE %	MASE	RMSE
ARIMA reducido	0,4418	1,059	1,231	0,6293
ARIMAX con VIX	0,4417	1,059	1,231	0,6293
ARIMA 210 con deriva	0,4302	1,030	1,198	0,6136
Paseo aleatorio	0,4292	1,028	1,196	0,6144

En el seguimiento diario, el modelo final no supera al paseo aleatorio: su RMSE es 0,6293 frente a 0,6144. Esto muestra que mejorar ajuste y diagnóstico en entrenamiento no asegura el mejor pronóstico en otro periodo. No ocultamos esa diferencia ni cambiamos el modelo después de observarla.

8. Pronóstico e inversión

8.1 Pronóstico central e intervalos

Figura 8 Pronóstico central e intervalos de 80 % y 95 % desde T0. Fuente: cálculos propios.

El precio ajustado de referencia en \(T_{0}\) es USD 42,4428. Para la última fecha, el pronóstico central es USD 42,1563, con intervalo aproximado de 95 % entre USD 18,80 y USD 94,55. El observado es USD 43,8411. Los intervalos se ensanchan porque acumulamos incertidumbre durante 302 sesiones.

En este test, el 100 % de los precios queda dentro de los intervalos de 95 %. Ese resultado no prueba que estén bien calibrados: son bandas muy amplias y las observaciones están relacionadas en el tiempo. Además, la normalidad y la varianza constante se rechazaron en entrenamiento.

8.2 Regla y capital virtual

DTB3 se publica como tasa de descuento bancario, que no es directamente una tasa efectiva anual. Para una letra hipotética de 91 días, el precio relativo a su valor nominal y el factor de crecimiento son:

\[B = 1 - d_{b}\frac{91}{360},\quad\quad G_{91} = \frac{1}{B}.\]

Tomamos la tasa de 4,52 % del 15 de octubre de 2024, la última fecha antes del corte, y suponemos que se reinvierte a esa misma tasa durante los 441 días calendario del horizonte. Con esto, el rendimiento proyectado es \(G_{91}^{441/91} - 1 = 5,73\%\). La fórmula del descuento sigue a TreasuryDirect y la unidad de la serie a FRED; la reinversión a tasa constante es un supuesto nuestro (Board of Governors of the Federal Reserve System, s. f.; U.S. Department of the Treasury, s. f.).

El rendimiento central neto de XLE se obtiene así:

\[R_{XLE} = \frac{{\widehat{P}}_{T + h}}{P_{T_{0}}}(1 - 0,0005)^{2} - 1.\]

El resultado es -0,77 %. Para invertir, tendría que superar 6,73 %, que ya incluye el punto porcentual adicional. Como no lo supera, la posición elegida es 0 % en XLE y 100 % en liquidez. La decisión se basa en una mediana de precios; no maximiza una utilidad ni usa como señal la media de las simulaciones.

Para evaluar la liquidez después del corte construimos una aproximación con las tasas DTB3 anteriores a cada intervalo y los días calendario transcurridos, multiplicando los factores \(G_{91,t - 1}^{\Delta días_{t}/91}\). No es el retorno observado de una cartera real de letras, porque no modela compras, vencimientos ni precios de venta de títulos individuales; por eso la llamamos liquidez proxy. Conviene distinguir el capital proyectado con la tasa inicial constante, USD 105.726,86, del valor de esta aproximación con tasas posteriores.

Tabla 11 Evaluación del capital virtual durante el test

Alternativa	Capital final USD	Retorno %	Caída máxima %
XLE comprar y mantener bruto	103.294,60	3,29	-20,14
XLE comprar y mantener neto	103.191,33	3,19	-20,14
Liquidez proxy DTB3	105.203,99	5,20	0,00
Estrategia elegida	105.203,99	5,20	0,00

Figura 9 Capital de XLE neto y aproximación de liquidez. Fuente: cálculos propios y supuestos del ejercicio.

La estrategia termina con USD 105.203,99, frente a USD 103.191,33 de comprar y mantener XLE después de los costes. La diferencia es aproximadamente USD 2.012,66. XLE sí subió entre el inicio y el final, pero atravesó una caída máxima de 20,14 % desde un máximo previo del periodo. La curva de liquidez no cae por construcción de esta aproximación con tasas positivas; no demuestra ausencia de todo riesgo financiero. No incluimos impuestos, inflación, tipo de cambio para un inversionista colombiano ni fricciones adicionales.

8.3 Simulación del riesgo

Simulamos 1.000 trayectorias de 302 sesiones desde el mismo corte con el modelo final. Como se rechazó la normalidad, el método principal es un remuestreo independiente de residuos, conocido como bootstrap. Para medir la sensibilidad generamos también 1.000 trayectorias con innovaciones normales. Las semillas son 123 y 124, respectivamente, y los parámetros se mantienen fijos.

El bootstrap reutiliza errores de la distribución observada, incluidos algunos extremos. Su limitación es que los toma de forma independiente y, con ello, pierde los grupos de alta y baja volatilidad. Tampoco incluye la incertidumbre de los parámetros ni choques que no ocurrieron en el entrenamiento, y no resuelve lo que señaló ARCH LM.

Figura 10 Veinte trayectorias ilustrativas y banda de percentiles del bootstrap. Fuente: 1.000 simulaciones con semilla 123.

Tabla 12 Distribución simulada del precio final en USD ajustados

Método	Media	P5	P50	P95	Prob. pérdida de precio %
Bootstrap	45,39	21,23	41,64	80,32	52,3
Normal	46,28	21,51	42,75	83,14	49,1

Tabla 13 Capital final hipotético si se invirtieran USD 100000 en XLE con costes

Método	Media USD	P5 USD	P50 USD	P95 USD	Prob. pérdida neta %
Bootstrap	106.837,86	49.978,83	98.019,03	189.057,74	52,3
Normal	108.921,42	50.628,62	100.632,53	195.690,09	49,5

Figura 11 Distribución del capital final hipotético en XLE mediante bootstrap. Fuente: cálculos propios.

En el bootstrap, la mediana del precio final es USD 41,64; el 5 % de las trayectorias termina por debajo de USD 21,23 y el 5 % por encima de USD 80,32. La probabilidad simulada de terminar por debajo del precio de entrada es 52,3 %. Para el capital neto, la mediana es USD 98.019,03 y la probabilidad de pérdida es 52,3 %.

La media simulada resulta mayor que la mediana porque algunos escenarios de subidas grandes elevan el promedio. Con 1.000 trayectorias, una probabilidad cercana a 50 % tiene un error de simulación aproximado de 1,6 puntos porcentuales. Las diferencias con la simulación normal no deben interpretarse como estimaciones precisas del riesgo real.

Estas distribuciones describen qué podría pasar si todo el capital estuviera en XLE. La estrategia elegida mantuvo liquidez; bajo el supuesto de tasa inicial fija su distribución sería un único valor de USD 105.726,86. No simulamos tasas futuras, por lo que no presentamos una distribución probabilística completa de esa alternativa. La simulación de XLE sirve para comparar el riesgo de la opción que no se tomó.

9. Conclusiones y limitaciones

Características determinantes de la serie. El precio es persistente y cambia de nivel, mientras que sus diferencias logarítmicas son más estables en media. Los episodios de volatilidad, los valores extremos y la dependencia en algunos rezagos guiaron la transformación, la diferenciación y la revisión del modelo inicial. Box Cox no señaló el logaritmo como óptimo; lo usamos por su interpretación y dejamos visible esa limitación.

Modelo seleccionado y motivo. Elegimos el ARIMA(7,1,0) reducido, sin deriva y con los rezagos 2, 6 y 7. Tiene el menor BIC de los candidatos y mejora la autocorrelación residual con solo tres coeficientes dinámicos. Ni el VIX ni el componente de cinco sesiones justificaron la complejidad que añadían. El modelo describe una parte limitada de la dinámica, no las causas de los movimientos del sector energético.

Condiciones de los residuos. La media está cerca de cero y Ljung Box no encuentra dependencia lineal importante en los rezagos revisados. En cambio, se rechazan la normalidad y la varianza constante. Por eso no afirmamos que se cumplan todos los supuestos ni que la probabilidad de pérdida simulada sea una predicción exacta.

Frente a la pregunta de inversión, el pronóstico central no muestra una valorización suficiente para superar la regla propuesta. En esta evaluación, mantener liquidez da un mejor resultado, aunque ese resultado depende de una aproximación a DTB3. Además, el modelo final no gana en todas las medidas de error: el paseo aleatorio resulta un referente competitivo, sobre todo en los pronósticos diarios.

El alcance se limita a un activo, una partición y un periodo que ya se había examinado en versiones anteriores. No incluimos un modelo de volatilidad, la incertidumbre de los parámetros ni una cartera real de letras. Como trabajo futuro, sería útil revisar la estabilidad en otras ventanas, incorporar un modelo de varianza y evaluar las decisiones con datos nuevos, sin reajustar la regla después de conocer los resultados.

10. Referencias y reproducibilidad

10.1 Reproducción del análisis

El archivo analisis_XLE.R ejecuta el tratamiento, los modelos, las pruebas, los pronósticos, las simulaciones y las figuras. informe_XLE.Rmd parte de ese mismo análisis y muestra los resultados sin el código ejecutable. Se entregan la copia original de la base, la base procesada y las tablas de resultados. La semilla principal es 123 y la de la comparación normal es 124. Los órdenes de los modelos no se seleccionaron de forma automática.

La ejecución verificada usa R 4.3.0, forecast 8.24.0, tseries 0.10.58, lmtest 0.9.40, jsonlite 2.0.0, rmarkdown 2.29 y knitr 1.50. La información completa está en resultados/versiones_R.txt, y el archivo LEEME explica cómo volver a ejecutar el análisis y generar el HTML para RPubs.

10.2 Referencias

Board of Governors of the Federal Reserve System. (s. f.). 3-Month Treasury Bill Secondary Market Rate, Discount Basis \[DTB3\] \[Serie de datos\]. FRED, Federal Reserve Bank of St. Louis. Recuperado el 6 de noviembre de 2026, de https://fred.stlouisfed.org/series/DTB3

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Hyndman, R. J. (s. f.). Fit ARIMA model to univariate time series. Documentación del paquete forecast. https://pkg.robjhyndman.com/forecast/reference/Arima.html

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