A Função Inversa da Exponencial

Para compreender a função logarítmica, precisamos resgatar a função exponencial de base \(a\) (com \(a > 0\) e \(a \neq 1\)), definida como \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}_+^*\) tal que \(f(x) = a^x\).

Essa função exponencial é injetiva e sobrejetiva em relação ao seu contradomínio, o que a torna uma função bijetiva. Devido a essa bijeção, ela possui obrigatoriamente uma função inversa. É exatamente essa função inversa que denominamos função logarítmica.

Definição Formal da Função Logarítmica

Dado um número real \(a\) tal que \(0 < a \neq 1\), chamamos de função logarítmica de base \(a\) a função \(f\) do conjunto dos números reais estritamente positivos (\(\mathbb{R}_+^*\)) no conjunto dos números reais (\(\mathbb{R}\)) que associa a cada número \(x\) o seu logaritmo na base \(a\). Em linguagem matemática (notação de funções):

\[f: \mathbb{R}_+^* \to \mathbb{R}\]

\[f(x) = \log_a x\]

Elementos Estruturais da Definição:

• Domínio (\(D\)): \(\mathbb{R}_+^*\) (o logaritmando \(x\) deve ser obrigatoriamente um número real estritamente maior do que zero).
• Conjunto Imagem (\(\text{Im}\)): \(\mathbb{R}\) (o resultado da função pode ser qualquer número real).
• Base (\(a\)): \(0 < a \neq 1\).

A lei de formação de uma função logarítmica apresenta a variável independente \(x\) dentro do logaritmando. Entre as funções mais estudadas no Ensino Médio e aplicadas nas ciências, destacam-se:

• Função com base inteira: \(f(x) = \log_2 x\).
• Função com base fracionária: \(g(x) = \log_{\frac{1}{2}} x\).
• Logaritmo Decimal (Base 10): \(h(x) = \log_{10} x\), usualmente representada de forma simplificada apenas como \(h(x) = \log x\). É muito utilizada em química (cálculos de pH) e engenharia.
• Logaritmo Natural ou Neperiano (Base \(e\)): \(p(x) = \log_e x\), representada habitualmente por \(p(x) = \ln x\). O número \(e\) é o número irracional de Euler (ou de Napier), com valor aproximado de \(2,718...\), fundamental na física e no crescimento contínuo.

Valor Numérico

Determinar o valor numérico de uma função logarítmica consiste em substituir a variável \(x\) por um valor pertencente ao seu domínio ou resolver equações decorrentes da igualdade de imagens.

Exemplos

1. Seja \(f(x) = \log_3 x\). Para encontrar o valor de \(f(81)\):

\[f(81) = \log_3 81 = \log_3 (3^4) = 4\]

3. Utilizando \(f(x) = \log_3 x\) e \(g(x) = \log_4 x\), podemos calcular compostas como \(g(f(81))\):

• Primeiro, calcula-se \(f(81) = \log_3 81 = 4\).
• Em seguida, substitui-se na segunda função: \(g(4) = \log_4 4 = 1\).

Propriedades Algébricas

Injetividade: A função logarítmica é estritamente injetiva. Isso significa que elementos distintos do domínio geram imagens distintas:

\[x_1 \neq x_2 \implies f(x_1) \neq f(x_2)\]

Equivalentemente, se os logaritmos são iguais, os logaritmandos também são:

\[\log_a x_1 = \log_a x_2 \implies x_1 = x_2\]

Sobrejetividade: Dado qualquer número real \(b\) pertencente ao contradomínio, existe sempre um único número real positivo \(x\) tal que \(\log_a x = b\). Por ser injetiva e sobrejetiva simultaneamente, ela é uma função bijetiva.

Construção de Gráficos

Para esboçar o gráfico de uma função logarítmica do tipo \(f(x) = \log_a x\) (com \(0 < a \neq 1\)), construímos uma tabela de valores escolhendo convenientemente potências da base \(a\) para facilitar os cálculos.

Caso 1: Base maior que 1 (\(a > 1\))

Vamos analisar a função elementar \(f(x) = \log_2 x\).

Construção da Tabela:

• Se \(x = \frac{1}{4} \implies f\left(\frac{1}{4}\right) = \log_2 \left(\frac{1}{4}\right) = -2\)
• Se \(x = \frac{1}{2} \implies f\left(\frac{1}{2}\right) = \log_2 \left(\frac{1}{2}\right) = -1\)
• Se \(x = 1 \implies f(1) = \log_2 1 = 0\)
• Se \(x = 2 \implies f(2) = \log_2 2 = 1\)
• Se \(x = 4 \implies f(4) = \log_2 4 = 2\)

Análise do comportamento (\(a > 1\)):

• A função é crescente em todo o seu domínio (\(x_1 < x_2 \implies \log_a x_1 < \log_a x_2\)).
• O gráfico intercepta o eixo horizontal (eixo das abscissas) obrigatoriamente no ponto \((1, 0)\), pois \(\log_a 1 = 0\).
• Conforme \(x\) se aproxima de zero por valores positivos, o gráfico decresce infinitamente, fazendo com que o eixo vertical (eixo das ordenadas) atue como uma assímptota vertical.

Caso 2: Base entre 0 e 1 (\(0 < a < 1\))

Vamos analisar a função \(f(x) = \log_{\frac{1}{2}} x\).

Construção da Tabela:

• Se \(x = \frac{1}{4} \implies f\left(\frac{1}{4}\right) = \log_{\frac{1}{2}} \left(\frac{1}{4}\right) = 2\)
• Se \(x = \frac{1}{2} \implies f\left(\frac{1}{2}\right) = \log_{\frac{1}{2}} \left(\frac{1}{2}\right) = 1\)
• Se \(x = 1 \implies f(1) = \log_{\frac{1}{2}} 1 = 0\)
• Se \(x = 2 \implies f(2) = \log_{\frac{1}{2}} 2 = -1\)
• Se \(x = 4 \implies f(4) = \log_{\frac{1}{2}} 4 = -2\)

Características do Gráfico (\(0 < a < 1\)):

• A função é decrescente em todo o seu domínio (\(x_1 < x_2 \implies \log_a x_1 > \log_a x_2\)).
• Assim como no caso anterior, o gráfico passa pelo ponto \((1, 0)\).

Caraterísticas da Função Logarítmica \(f(x) = \log_a x\)

• Domínio: \(D = \mathbb{R}_+^*\) (apenas números reais estritamente positivos).
• Conjunto Imagem: \(\text{Im} = \mathbb{R}\) (todos os números reais).
• Passagem obrigatória: Todos os gráficos de funções logarítmicas elementares passam pelo ponto \((1, 0)\).
• Simetria Notável: Como a função logarítmica é a inversa da função exponencial de mesma base (\(g(x) os = a^x\)), os seus gráficos são perfeitamente simétricos em relação à bissetriz dos quadrantes ímpares (a reta de equação \(y = x\)).

Funções Inversas na Prática

Arraste o controle deslizante para alterar a base \(a\) e observe o comportamento das curvas!

Exemplos

1. Determine o conjunto domínio (\(D\)) de cada uma das funções reais a seguir, aplicando as condições de existência (logaritmando positivo e base positiva diferente de \(1\)):

1. \(f(x) = \log_3 (3x - 6)\)
2. \(f(x) = \log_5 (16 - x^2)\)
3. \(f(x) = \log_{(x - 2)} (x + 4)\)

Resolução

1. \(f(x) = \log_3 (3x - 6)\)

2. \(f(x) = \log_5 (16 - x^2)\)

3. \(f(x) = \log_{(x-2)} (x + 4)\)

2. Dadas as funções logarítmicas \(f(x) = \log_3 x\) e \(g(x) = \log_2 (x + 7)\), determine:

1. \(f(27)\)
2. \(g(1)\)
3. O valor de \(x\) para o qual \(f(x) = 4\)
4. O valor da função composta \(f(g(1))\)

Resolução

1. \(f(27)\)Substituindo \(x = 27\) na função \(f(x) = \log_3 x\):

2. \(g(1)\)Substituindo \(x = 1\) na função \(g(x) = \log_2 (x + 7)\):

3. O valor de \(x\) para o qual \(f(x) = 4\)

4. O valor da função composta \(f(g(1))\)

3. Classifique cada uma das funções logarítmicas abaixo como crescente ou decrescente em todo o seu domínio, justificando com base na sua base \(a\):

1. \(f(x) = \log_7 x\)
2. \(g(x) = \log_{0,4} x\)
3. \(h(x) = \log_{\sqrt{3}} x\)
4. \(j(x) = \log_{\frac{1}{e}} x\)

Resolução

1. \(f(x) = \log_7 x\)

Como a base da função é \(a = 7\), e sabendo que \(7 > 1\), a função apresenta comportamento de crescimento em todo o seu domínio.

\[\begin{align*} a &= 7 \\ 7 &> 1 \\ \therefore \text{Função} &\text{ Crescente} \end{align*}\]

2. \(g(x) = \log_{0,4} x\)

Como a base da função é \(a = 0,4\) (ou \(\frac{2}{5}\)), e sabendo que \(0 < 0,4 < 1\), a função apresenta comportamento de decrescimento em todo o seu domínio.

\[\begin{align*} a = &0,4 = \frac{2}{5} \\ 0 < &0,4 < 1 \\ \therefore \text{Função} &\text{ Decrescente} \end{align*}\]

3. \(h(x) = \log_{\sqrt{3}} x\)

Como a base da função é \(a = \sqrt{3}\) (sabendo que \(\sqrt{3} \approx 1,73\)), temos que a base é estritamente maior do que \(1\), logo a função é crescente em todo o seu domínio.

\[\begin{align*} a &= \sqrt{3} \\ \sqrt{3} &\approx 1,73 > 1 \\ \therefore \text{Função} &\text{ Crescente} \end{align*}\]

4. \(j(x) = \log_{\frac{1}{e}} x\)

Como a base da função é \(a = \frac{1}{e}\) (sabendo que o número de Euler é \(e \approx 2,718\), logo sua fração \(\frac{1}{e} \approx 0,368\)), temos que a base está estritamente compreendida entre \(0\) e \(1\), o que torna a função decrescente em todo o seu domínio.

\[\begin{align*} a = &\frac{1}{e} \\ 0 < &\frac{1}{e} < 1 \\ \therefore \text{Função} &\text{ Decrescente} \end{align*}\]

4. Para cada função abaixo, construa uma tabela de valores escolhendo potências adequadas para \(x\) e esboce o seu gráfico no plano cartesiano:

1. \(f(x) = \log_3 x\)
2. \(g(x) = \log_{\frac{1}{3}} x\)

1. \(f(x) = \log_3 x\)

Tabela de Valores:

2. \(g(x) = \log_{\frac{1}{3}} x\)

5. Em um experimento de psicologia cognitiva (modelo de Hick-Hyman), o tempo de reação \(T\) (em milissegundos) de uma pessoa ao tomar uma decisão entre \(n\) opções equiprováveis é modelado pela função:

\[T(n) = 150 \cdot \log_2 (n + 1)\]

Utilizando a fórmula, calcule o tempo de reação estimado para:

1. \(n = 1\) escolha possível.
2. \(n = 3\) escolhas possíveis.
3. \(n = 31\) escolhas possíveis.

Resolução

1. \(n = 1\) escolha possível.

Substituindo \(n = 1\) na função \(T(n)\):

\[\begin{align*} T(1) &= 150 \cdot \log_2 (1 + 1) \\ T(1) &= 150 \cdot \log_2 2 \\ T(1) &= 150 \cdot 1 \\ T(1) &= 150 \text{ ms} \end{align*}\]

2. \(n = 3\) escolhas possíveis.

Substituindo \(n = 3\) na função \(T(n)\):

\[\begin{align*} T(3) &= 150 \cdot \log_2 (3 + 1) \\ T(3) &= 150 \cdot \log_2 4 \\ T(3) &= 150 \cdot \log_2 (2^2) \\ T(3) &= 150 \cdot 2 \\ T(3) &= 300 \text{ ms} \end{align*}\]

3. \(n = 31\) escolhas possíveis.

Substituindo \(n = 31\) na função \(T(n)\):

\[\begin{align*} T(31) &= 150 \cdot \log_2 (31 + 1) \\ T(31) &= 150 \cdot \log_2 32 \\ T(31) &= 150 \cdot \log_2 (2^5) \\ T(31) &= 150 \cdot 5 \\ T(31) &= 750 \text{ ms} \end{align*}\]

Questão 1

Determine o conjunto domínio (\(D\)) das seguintes funções reais:

1. \(f(x) = \log_4 (5 - x)\)
2. \(g(x) = \log_6 (x^2 - 9)\)
3. \(h(x) = \log_{(x - 1)} (7 - x)\)
4. \(j(x) = \log_2 (3x - 12)\)
5. \(k(x) = \log_{(x - 2)} (10 - 2x)\)
6. \(m(x) = \log_3 (x^2 - 5x + 6)\)

Questão 2

Dadas as funções logarítmicas \(f(x) = \log_2 x\), \(g(x) = \log_3 (x + 5)\) e \(h(x) = \log_5 (2x - 1)\), determine o valor numérico de:

1. \(f(32)\)
2. \(g(4)\)
3. \(h(13)\)
4. \(f\left(\frac{1}{8}\right)\)
5. \(g(22)\)
6. \(h(3)\)

Questão 3

Classifique cada uma das funções logarítmicas abaixo como crescente ou decrescente em todo o seu domínio, justificando com base na sua base \(a\):

1. \(f(x) = \log_{\pi} x\)
2. \(g(x) = \log_{\frac{2}{3}} x\)
3. \(h(x) = \log_{( \sqrt{5} - 1 )} x\)
4. \(j(x) = \log_{1,5} x\)
5. \(k(x) = \log_{\frac{\sqrt{2}}{2}} x\)
6. \(m(x) = \log_{e} x\)

Questão 4

Dada a função logarítmica \(f(x) = \log_3 x\), determine o valor de \(x\) em cada uma das seguintes situações:

1. \(f(x) = 2\)
2. \(f(x) = -1\)
3. \(f(x) = \frac{1}{2}\)
4. \(f(x) = 0\)
5. \(f(x) = 3\)
6. \(f(x) = -2\)

Questão 5

Obtenha a lei de correspondência da função inversa (\(f^{-1}(x)\)) para cada função exponencial abaixo (considerando o contradomínio adequado \(\mathbb{R}_+^*\)):

1. \(f(x) = 2^x\)
2. \(f(x) = 5^{x-1}\)
3. \(f(x) = 10^{3x}\)
4. \(f(x) = 3^{x + 2}\)
5. \(f(x) = e^{2x}\)
6. \(f(x) = \left(\frac{1}{2}\right)^x\)

Questão 6

Resolva as equações logarítmicas abaixo no conjunto dos números reais:

1. \(\log_2 (x) + \log_2 (x - 2) = 3\)
2. \(\log_3 (2x + 1) = 2\)
3. \(\log_5 (x) = 2\)
4. \(\log_2 (x + 1) + \log_2 (x - 1) = 3\)
5. \(\log_3 (x^2 - 1) = 1\)
6. \(\log_{10} (x + 9) = 2\)