UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR
FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS
ASIGNATURA: PROGRAMACIÓN
TALLER N.3
RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO Y SISTEMAS DE ECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS UTILIZANDO R MARKDOWN
INTEGRANTES:
Caiza Zulay
Cabezas Edith
Quinaluisa Tatiana
CURSO: E3-002
INTRODUCCIÓN
Las ecuaciones son parte importante de las matemáticas, ya que nos permiten encontrar valores desconocidos y resolver diferentes tipos de problemas. Para comprender mejor cómo se resuelven, es necesario conocer sus definiciones, fórmulas y procedimientos.
En este trabajo se presenta dos temas: la resolución de ecuaciones de segundo grado y los sistemas de ecuaciones con dos incógnitas. Para ello, se utiliza el lenguaje de programación R mediante RStudio y la herramienta R Markdown, donde se explica los conceptos y se desarrolla ejemplos prácticos de cada tema.
Con este trabajo se busca poner en práctica los conocimientos matemáticos y aprender cómo R puede ayudar a realizar operaciones, comprobar resultados y presentar los ejercicios de forma ordenada.
OBJETIVO
Aplicar los conocimientos matemáticos y el lenguaje de programación R para resolver ecuaciones de segundo grado y sistemas de ecuaciones con dos incógnitas, utilizando R Markdown para desarrollar ejemplos, realizar los cálculos, comprobar los resultados y presentar el trabajo de manera ordenada.
1. Ecuaciones de Segundo Grado
Teoría
Definición
Una ecuación de segundo grado (o ecuación cuadrática) es aquella en la que el mayor exponente de la incógnita es dos. Su expresión algebraica general se define como: \[ax^2 + bx + c = 0\] Donde \(a\), \(b\) y \(c\) son números reales (con \(a \neq 0\)), y \(x\) es la incógnita que se desea encontrar.
Para resolver este tipo de ecuaciones de forma analítica y exacta, se utiliza la conocida fórmula general (o fórmula cuadrática), la cual permite hallar las dos posibles soluciones (o raíces) de la ecuación: \[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]
El término dentro de la raíz cuadrada, \(b^2 - 4ac\), se conoce como el discriminante (\(\Delta\)), el cual determina el tipo de soluciones que tendrá la ecuación: * Si \(\Delta > 0\), la ecuación tiene dos soluciones reales y distintas. * Si \(\Delta = 0\), tiene una solución real (o dos soluciones iguales). * Si \(\Delta < 0\), las soluciones son números complejos.
En RStudio, podemos programar esta fórmula
utilizando variables y funciones matemáticas básicas como
sqrt() para calcular la raíz cuadrada de forma
automática.
Ejercicio 1: Resolución de una ecuación cuadrática estándar
Dada la siguiente ecuación de segundo grado: \[2x^2 - 7x + 3 = 0\] (Donde \(a = 2\), \(b = -7\) y \(c = 3\))
Vamos a programar el cálculo de sus dos raíces en R:
# Definir los coeficientes
a <- 2
b <- -7
c <- 3
# Calcular el discriminante
discriminante <- (b^2) - (4 * a * c)
# Calcular las dos posibles soluciones usando la fórmula general
x1 <- (-b + sqrt(discriminante)) / (2 * a)
x2 <- (-b - sqrt(discriminante)) / (2 * a)
# Resultados
print(paste("La primera solución (x1) es:", x1))## [1] "La primera solución (x1) es: 3"print(paste("La segunda solución (x2) es:", x2))## [1] "La segunda solución (x2) es: 0.5"Ejercicio 2: Aplicacióon en otra ecuación cuadrática
Dada la siguiente ecuación de segundo grado: \[x^2 - 5x + 6 = 0\] (Donde \(a = 1\), \(b = -5\) y \(c = 6\))
Vamos a programar el cálculo de sus dos raíces en R:
# Definir los coeficientes
a2 <- 1
b2 <- -5
c2 <- 6
# Calcular el discriminante
disc2 <- (b2^2) - (4 * a2 * c2)
# Calcular las dos soluciones
x_1 <- (-b2 + sqrt(disc2)) / (2 * a2)
x_2 <- (-b2 - sqrt(disc2)) / (2 * a2)
# Resultados
print(paste("La primera solución (x1) es:", x_1))## [1] "La primera solución (x1) es: 3"print(paste("La segunda solución (x2) es:", x_2))## [1] "La segunda solución (x2) es: 2"2. Sistemas de ecuaciones con dos incógnitas
Teoría
Definición
Una ecuación es una igualdad matemática que tiene un valor desconocido, llamado incógnita. Cuando las incógnitas no tienen potencias (no están al cuadrado ni dentro de una raíz), la ecuación se llama ecuación lineal. Por ejemplo, \(2x + 3y = 13\) es una ecuación lineal con dos incógnitas.
Un sistema de ecuaciones con dos incógnitas es un conjunto de dos ecuaciones lineales que tienen las mismas incógnitas, \(x\) e \(y\), y que se deben cumplir al mismo tiempo. Se escribe así:
\[\begin{cases} a_1 x + b_1 y = c_1 \\ a_2 x + b_2 y = c_2 \end{cases}\]
En este sistema:
- \(x\) e \(y\) son las incógnitas, es decir, los valores que queremos encontrar.
- \(a_1, b_1, a_2, b_2\) son los coeficientes, que son los números que multiplican a las incógnitas.
- \(c_1, c_2\) son los términos independientes, que son los números que están solos, al lado derecho del igual.
Resolver el sistema significa encontrar el valor de \(x\) y el valor de \(y\) que hacen verdaderas las dos ecuaciones a la vez. A esa pareja de valores se le llama solución del sistema.
Tipos de sistemas según su solución
Un sistema de dos ecuaciones puede tener:
- Una sola solución: existe un único valor para \(x\) y para \(y\). Si dibujamos las dos ecuaciones como rectas, se cruzan en un punto.
- Ninguna solución: no hay valores que cumplan las dos ecuaciones. Las rectas son paralelas y nunca se cruzan.
- Infinitas soluciones: las dos ecuaciones representan la misma recta, por lo que hay muchísimos valores que las cumplen.
Métodos de resolución
Existen varios métodos para resolver un sistema de ecuaciones:
- Sustitución: se despeja una incógnita en una de las ecuaciones y se reemplaza en la otra. Así queda una ecuación con una sola incógnita.
- Igualación: se despeja la misma incógnita en las dos ecuaciones y se igualan los resultados.
- Reducción: se suman o se restan las dos ecuaciones para que una de las incógnitas desaparezca.
- Método matricial: los números del sistema se ordenan en una matriz y se resuelve con una función del computador. Este es el método que se usa en R en esta publicación.
Resolución de sistemas en R
En R, un sistema de ecuaciones se puede resolver con la función
solve(). Para usarla se necesitan dos cosas:
- Una matriz
A, que guarda los coeficientes del sistema (\(a_1, b_1, a_2, b_2\)). - Un vector
b, que guarda los términos independientes (\(c_1, c_2\)).
Por ejemplo, el sistema
\[\begin{cases} a_1 x + b_1 y = c_1 \\ a_2 x + b_2 y = c_2 \end{cases}\]
se guarda en R como:
A <- matrix(c(a1, b1,
a2, b2), nrow = 2, byrow = TRUE)
b <- c(c1, c2)Luego, la instrucción solve(A, b) calcula directamente
los valores de \(x\) y de \(y\). El primer valor que devuelve es \(x\) y el segundo es \(y\).
Ejercicio 1
Resolver el sistema:
\[\begin{cases} x + y = 5 \\ x - y = 1 \end{cases}\]
Primero identifico los coeficientes de cada ecuación. En la primera
ecuación son 1 y 1, y el término independiente es 5. En la segunda
ecuación son 1 y -1, y el término independiente es 1. Con esos números
armo la matriz A y el vector b en R y uso
solve().
# Coeficientes del sistema
A <- matrix(c(1, 1,
1, -1), nrow = 2, byrow = TRUE)
# Términos independientes
b <- c(5, 1)
# Resuelvo el sistema
solucion <- solve(A, b)
print(paste("x =", solucion[1]))## [1] "x = 3"print(paste("y =", solucion[2]))## [1] "y = 2"Respuesta: \(x = 3\), \(y = 2\).
Comprobación: al reemplazar en las ecuaciones, \(3 + 2 = 5\) y \(3 - 2 = 1\). Las dos se cumplen.
Ejercicio 2
Resolver el sistema:
\[\begin{cases} x + 2y = 8 \\ 3x - y = 3 \end{cases}\]
En la primera ecuación los coeficientes son 1 y 2, y el término
independiente es 8. En la segunda ecuación los coeficientes son 3 y -1,
y el término independiente es 3. Los escribo en R de la misma forma y
uso solve().
# Coeficientes del sistema
A <- matrix(c(1, 2,
3, -1), nrow = 2, byrow = TRUE)
# Términos independientes
b <- c(8, 3)
# Resuelvo el sistema
solucion <- solve(A, b)
print(paste("x =", solucion[1]))## [1] "x = 2"print(paste("y =", solucion[2]))## [1] "y = 3"Respuesta: \(x = 2\), \(y = 3\).
Comprobación: al reemplazar en las ecuaciones, \(2 + 2(3) = 8\) y \(3(2) - 3 = 3\). Las dos se cumplen.
CONCLUSIONES
El uso del lenguaje de programación R permitre resolver ecuaciones de segundo grado y sistemas de ecuaciones con dos incógnitas, poniendo en práctica los conocimientos matemáticos mediante la elaboración de diferentes códigos.
El desarrollo de los ejemplos permitió comprender mejor los procedimientos y las fórmulas utilizadas en cada ejercicio, además de comprobar los resultados obtenidos mediante R.
R Markdown es una herramienta útil para organizar el trabajo, ya que permite incluir las definiciones, fórmulas, ejemplos, códigos y resultados en un mismo documento.
La elaboración del documento en PDF y su publicación en RPubs permite presentar y compartir el trabajo realizado, mostrar lo aprendido sobre programación y matemáticas.
REFERENCIAS
OpenStax. (2015). Algebra and Trigonometry. OpenStax, Rice University. https://openstax.org/details/books/algebra-and-trigonometry
R Core Team. (2026). R: A Language and Environment for Statistical Computing. R Foundation for Statistical Computing. https://www.r-project.org/
Xie, Y., Allaire, J. J., & Grolemund, G. (2018). R Markdown: The Definitive Guide. Chapman and Hall/CRC. https://bookdown.org/yihui/rmarkdown/