UNIVERSIDAD DE EL SALVADOR
FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS
ESCUELA DE ECONOMIA
MATERIA: MÉTODOS PARA EL ANÁLISIS ECONÓMICO
TAREA A31: COINEGRACIÓN Y CAUSALIDAD
DOCENTE: JEFFRY ISAAC BONILLA MELARA
INTEGRANTES:
APELLIDOS
NOMBRES
CARNET
PARTICIPACIÓN
PANIAGUA MUÑOZ
CHRISTIAN ALEXANDER
PM24066
\(100\%\)
MENDOZA CRUZ
ENRIQUE ADOLFO
MC24059
\(100\%\)
DELGADO CUELLAR
GISELLE ABIGAIL
DC24008
\(100\%\)
AGUILAR HERNÁNDEZ
ANDREA SARAÍ
AH22006
\(100\%\)
MORALES MONZÓN
VANESSA MARÍA
MM24056
\(100\%\)
ASCENCIO RAMÍREZ
MATTHEW JEREMY
AR23037
\(100\%\)
CICLO: II-2026
FECHA: 8 DE NOVIEMBRE DE 2026
CIUDAD UNIVERSITARIA, SAN SALVADOR, EL SALVADOR,
CENTROAMERICA
Datos utilizados
Se trabaja con tres series mensuales de El Salvador para el periodo
enero 2010 – diciembre 2025 (\(T=192\) observaciones), y cada prueba se
desarrolla alrededor de una variable protagonista:
- IVAE (Índice de Volumen de la Actividad Económica,
serie original): es la variable de la prueba de
Dickey-Fuller (sección 1).
- IPC (Índice de Precios al Consumidor): es la
variable de la prueba de Johansen (sección 2).
- Remesas (remesas familiares mensuales en USD): es
la variable de la prueba de Granger (sección 3).
La prueba de Dickey-Fuller es univariada, por lo que usa solo el
IVAE. En cambio, Johansen y Granger comparan series entre sí y
no pueden aplicarse a una única variable: Johansen
necesita al menos dos series y Granger exactamente un par. Por eso, en
la sección 2 el IPC se analiza junto con las remesas y en la sección 3
las remesas se analizan junto con el IVAE, que actúa solo como segunda
serie del par.
library(readxl)
library(forecast)
library(TSstudio)
library(urca)
library(tseries)
library(lmtest)
library(kableExtra)
# Se lee solo la columna de datos (C) de cada archivo; col_names fija un nombre limpio
IVAE <- read_excel("C:/Users/Paniagua/Downloads/econometria christian/Metodos/Datos/IVAE Serie_original.xlsx", range = "C2:C193", col_names = "IVAE")
IPC <- read_excel("C:/Users/Paniagua/Downloads/econometria christian/Metodos/Datos/IPC.xlsx", range = "C2:C193", col_names = "IPC")
Remesas <- read_excel("C:/Users/Paniagua/Downloads/econometria christian/Metodos/Datos/Remesas mensuales en USD.xlsx", range = "C2:C193", col_names = "Remesas")
# Serie de tiempo multivariada: frecuencia mensual a partir de enero de 2010
X <- ts(data = cbind(IVAE, IPC, Remesas),
start = c(2010, 1),
frequency = 12)
IVAEST <- X[, "IVAE"]
IPCST <- X[, "IPC"]
RemesasST <- X[, "Remesas"]
autoplot(X, facets = TRUE,
main = "IVAE, IPC y Remesas de El Salvador, 2010-2025",
xlab = "Años/Meses", ylab = "")
Resumen de las series
Serie
Minimo
Media
Maximo
IVAE
84.70
107.93
144.30
IPC
100.44
114.53
131.47
Remesas
229.56
479.00
961.12
Las tres series tienen tendencia creciente y, en el
caso del IVAE y las remesas, un patrón estacional
marcado (picos en diciembre). Ambos rasgos son importantes para
interpretar correctamente las pruebas que siguen.
1. Prueba de Raíz Unitaria de Dickey &
Fuller
Propósito de la prueba
La prueba de Dickey-Fuller (DF) y su versión aumentada (ADF) sirve
para determinar si una serie de tiempo es estacionaria
o si, por el contrario, contiene una raíz unitaria (es
decir, es no estacionaria, con tendencia estocástica). Es el
paso previo obligatorio de cualquier análisis de cointegración: la
prueba de Johansen requiere que las variables sean integradas de orden
uno, \(I(1)\), y esto se verifica con
DF/ADF.
Hipótesis de la prueba
Se parte de un proceso autorregresivo de primer orden:
\[y_t=\varphi\,
y_{t-1}+\varepsilon_t,\qquad \varepsilon_t \sim
\text{i.i.d.}(0,\sigma^2)\]
Si \(|\varphi|<1\) los choques se
disipan con el tiempo y la serie es estacionaria; si \(\varphi=1\) los choques son permanentes
(caminata aleatoria) y la serie es no estacionaria. Restando \(y_{t-1}\) a ambos lados se obtiene la forma
que realmente se estima:
\[\Delta
y_t=(\varphi-1)\,y_{t-1}+\varepsilon_t=\tau\,
y_{t-1}+\varepsilon_t,\qquad \tau=\varphi-1\]
Con constante, tendencia determinística y \(p\) rezagos de \(\Delta y_t\) (versión aumentada, que
corrige la autocorrelación de los errores):
\[\Delta y_t=\alpha+\beta t+\tau\,
y_{t-1}+\sum_{i=1}^{p}\delta_i\,\Delta
y_{t-i}+\varepsilon_t\]
Las hipótesis son:
\[H_0:\ \tau=0\ (\varphi=1)\ \text{ la
serie tiene raíz unitaria (no estacionaria)}\]
\[H_a:\ \tau<0\ (\varphi<1)\ \text{
la serie es estacionaria}\]
¿Por qué se plantean así? La hipótesis nula es el
caso que se quiere descartar con evidencia: asumir que la serie es una
caminata aleatoria es la postura conservadora, porque tratar como
estacionaria una serie que no lo es produce regresiones espurias. Solo
si los datos son suficientemente incompatibles con \(\varphi=1\) se rechaza \(H_0\). La alternativa es unilateral (\(\tau<0\)) porque \(\tau>0\) implicaría una serie explosiva,
que no es el caso de interés económico.
Sintaxis de implementación
ur.df(y, type = "trend", lags = 0, selectlags = "Fixed")
y: la serie de tiempo a evaluar.type: especificación determinística.
"none" (sin constante ni tendencia), "drift"
(con constante) o "trend" (con constante y tendencia). Con
series que crecen en el tiempo se usa "trend"; para series
en primeras diferencias suele bastar "drift".lags: número de rezagos de \(\Delta y_t\) incluidos. Con
lags = 0 es la prueba DF simple; con
lags > 0 es la ADF.selectlags: "Fixed" usa exactamente
lags; "AIC" o "BIC" eligen el
mejor número hasta lags.
adf.test(x, alternative = "stationary", k = 0)
x: la serie de tiempo.alternative: hipótesis alternativa
("stationary" por defecto).k: número de rezagos del término autorregresivo
(k = 0 es DF simple). Esta función ya incluye constante y
tendencia y reporta directamente el valor \(p\).
Estadístico de prueba
El estadístico es el cociente \(t\)
del coeficiente \(\tau\), pero
no sigue una distribución \(t\)
de Student bajo \(H_0\), sino
la distribución de Dickey-Fuller (valores críticos más exigentes):
\[DF=\frac{\hat\tau}{SE(\hat\tau)}\]
En la salida de urca, @teststat contiene
tres estadísticos (tau3, phi2,
phi3) y el que corresponde a la prueba de raíz unitaria es
el primero, tau3. En @cval se encuentran sus
valores críticos al 1 %, 5 % y 10 %:
A <- ur.df(IVAEST, type = "trend", lags = 0)
A@teststat[, 1] # estadístico DF (tau3)
## [1] -8.720597
A@cval[1, ] # valores críticos de tau3
## 1pct 5pct 10pct
## -3.99 -3.43 -3.13
Con tseries el estadístico y el valor \(p\) se extraen así:
B <- suppressWarnings(adf.test(IVAEST, k = 0))
B$statistic
## Dickey-Fuller
## -8.720597
B$p.value
## [1] 0.01
Criterio de decisión
Como la región de rechazo está en la cola izquierda, se compara el
estadístico con el valor crítico (negativo) o el valor \(p\) con el nivel de significancia \(\alpha=0.05\):
\[\text{Se rechaza } H_0 \text{ si } DF
< \tau_{crítico} \;\;(\text{equivale a } |DF|>|\tau_{crítico}|)
\quad \text{ó} \quad p_{value}<0.05\]
\[\text{No se rechaza } H_0 \text{ si } DF
\geq \tau_{crítico} \quad \text{ó} \quad p_{value}\geq 0.05\]
DF <- as.vector(A@teststat[, 1])
tc <- as.vector(A@cval[1, 2]) # valor crítico al 5 %
if (DF < tc) {
"Se rechaza H0: la serie es estacionaria"
} else {
"No se rechaza H0: la serie tiene raíz unitaria (no estacionaria)"
}
## [1] "Se rechaza H0: la serie es estacionaria"
Interpretación del rechazo, o no rechazo de la Hipótesis
Nula
- Si se rechaza \(H_0\): hay evidencia de que \(\varphi<1\); la serie es estacionaria,
sus choques son transitorios y puede modelarse en niveles.
- Si no se rechaza \(H_0\): no hay evidencia de
estacionariedad; se considera que la serie tiene raíz unitaria y se debe
diferenciar (y probar si la serie diferenciada sí es estacionaria, lo
que la clasificaría como \(I(1)\)).
Implementación de un ejemplo
Descomposición de la serie
ts_decompose(IVAEST, type = "additive", showline = TRUE)
La descomposición muestra una tendencia creciente y un componente
estacional fuerte (picos en diciembre), dos rasgos que condicionan la
prueba.
Prueba DF con lags = 0 (especificación básica)
Hipótesis:
\[H_0:\ \tau=0\ \text{ (el IVAE tiene raíz
unitaria)}\qquad H_a:\ \tau<0\ \text{ (el IVAE es
estacionario)}\]
adf_tab <- function(lista, lags, type = "trend") {
do.call(rbind, lapply(names(lista), function(n) {
a <- ur.df(lista[[n]], type = type, lags = lags)
data.frame(Serie = n,
Estadistico = a@teststat[1, 1],
Critico_5 = a@cval[1, 2],
Critico_10 = a@cval[1, 3],
Decision = ifelse(a@teststat[1, 1] < a@cval[1, 2],
"Se rechaza H0 (estacionaria)",
"No se rechaza H0 (raíz unitaria)"))
}))
}
T0 <- adf_tab(list(IVAE = IVAEST), lags = 0)
T0 %>% kable(digits = 3, align = "c",
caption = "DF sobre el IVAE, type = 'trend', lags = 0") %>%
kable_material(c("striped", "hover"))
DF sobre el IVAE, type = ‘trend’, lags = 0
Serie
Estadistico
Critico_5
Critico_10
Decision
IVAE
-8.721
-3.43
-3.13
Se rechaza H0 (estacionaria)
Con lags = 0 el estadístico del IVAE es -8.72, muy por
debajo del valor crítico de -3.43 al 5 %, por lo que se
rechazaría \(H_0\) y el IVAE
parecería estacionario (con tseries,
adf.test(IVAEST, k = 0) arroja un valor \(p\) de 0.0100).
Prueba ADF con lags = 12 (corrección por
estacionalidad)
La prueba DF simple supone errores sin autocorrelación. En una serie
mensual con estacionalidad como el IVAE ese supuesto no
se cumple y la prueba con lags = 0 tiende a rechazar \(H_0\) de manera engañosa: la oscilación
estacional se confunde con reversión a la media. Por eso se repite la
prueba incorporando 12 rezagos (un año completo de dinámica):
T12 <- adf_tab(list(IVAE = IVAEST), lags = 12)
T12 %>% kable(digits = 3, align = "c",
caption = "ADF sobre el IVAE, type = 'trend', lags = 12") %>%
kable_material(c("striped", "hover"))
ADF sobre el IVAE, type = ‘trend’, lags = 12
Serie
Estadistico
Critico_5
Critico_10
Decision
IVAE
-2.877
-3.43
-3.13
No se rechaza H0 (raíz unitaria)
suppressWarnings(adf.test(IVAEST, k = 12))$p.value
## [1] 0.2089538
Ahora el estadístico es -2.88, mayor que el valor crítico de -3.43:
no se rechaza \(H_0\).
Con tseries el valor \(p\)
es 0.2090, mayor que 0.05, lo que confirma que el IVAE en niveles
tiene raíz unitaria.
¿Es \(I(1)\)? Prueba sobre la
primera diferencia
Para que una serie sea \(I(1)\) debe
tener raíz unitaria en niveles y ser estacionaria al diferenciarla una
vez. En diferencias ya no hay tendencia, por lo que se usa
type = "drift":
TD <- adf_tab(list(`Δ IVAE` = diff(IVAEST)), lags = 12, type = "drift")
TD %>% kable(digits = 3, align = "c",
caption = "ADF sobre la primera diferencia del IVAE, type = 'drift', lags = 12") %>%
kable_material(c("striped", "hover"))
ADF sobre la primera diferencia del IVAE, type = ‘drift’, lags = 12
Serie
Estadistico
Critico_5
Critico_10
Decision
Δ IVAE
-4.047
-2.88
-2.57
Se rechaza H0 (estacionaria)
El estadístico de la primera diferencia (-4.05) es menor que el
crítico de -2.88: se rechaza \(H_0\) y la serie diferenciada es
estacionaria. Se concluye que el IVAE es \(I(1)\): no es estacionario en
niveles, pero sí en primeras diferencias.
2. Cointegración en el enfoque de Soren
Johansen
Propósito de la prueba
La prueba de Johansen determina si dos o más series
\(I(1)\) están
cointegradas, es decir, si aunque cada una sea no
estacionaria existe una o más combinaciones lineales de ellas que sí son
estacionarias (relaciones de equilibrio de largo plazo). Además, a
diferencia de Engle-Granger, estima cuántas relaciones
de cointegración existen (el rango \(r\)), lo que permite trabajar con un modelo
de corrección de error vectorial (VECM).
Económicamente, ¿el nivel de precios (IPC) y las remesas se mueven
juntos en el largo plazo, de modo que se desvían de una relación común
solo temporalmente? Como la prueba requiere al menos dos series, el IPC
se analiza junto con las remesas (\(m=2\)).
Hipótesis de la prueba
Sea \(Y_t=(IPC_t,\ Remesas_t)'\)
un vector de \(m=2\) variables \(I(1)\) modelado como un VAR de orden \(K\):
\[Y_t=\mu+A_1Y_{t-1}+A_2Y_{t-2}+\dots+A_KY_{t-K}+\varepsilon_t\]
Restando \(Y_{t-1}\) y reagrupando
se obtiene su representación en mecanismo de corrección de
error (VECM):
\[\Delta Y_t=\mu+\Pi\,
Y_{t-1}+\sum_{i=1}^{K-1}\Gamma_i\,\Delta
Y_{t-i}+\varepsilon_t\]
con
\[\Pi=\sum_{i=1}^{K}A_i-I,\qquad
\Gamma_i=-\sum_{j=i+1}^{K}A_j\]
La matriz \(\Pi\) recoge la
información de largo plazo y su rango \(r=\text{rango}(\Pi)\) determina el
resultado:
- \(r=0\): \(\Pi\) es la matriz nula; no hay
cointegración y el sistema debe modelarse con un VAR en
diferencias.
- \(0<r<m\): \(\Pi=\alpha\beta'\), donde \(\beta\) contiene los \(r\) vectores de
cointegración y \(\alpha\) los
coeficientes de ajuste (velocidad de corrección al equilibrio).
- \(r=m\): todas las variables serían
estacionarias en niveles (no aplica si son \(I(1)\)).
El enfoque de máximo valor propio
("eigen") contrasta de forma secuencial:
\[H_0:\ r=r_0\ \text{(existen exactamente
} r_0 \text{ relaciones de cointegración)}\qquad H_a:\
r=r_0+1\]
empezando por \(r_0=0\) (con \(m=2\) solo hay dos contrastes: \(r=0\) y \(r\leq1\)):
\[H_0:\ r=0\ \text{ (no existe
cointegración)}\qquad H_a:\ r=1\]
La nula es “no hay cointegración” porque es el punto de partida
conservador: salvo evidencia en contra, se supone que las series \(I(1)\) no comparten tendencia estocástica.
Si se rechaza, se contrasta \(r\leq1\)
contra \(r=2\) (rango completo), y el
procedimiento se detiene en la primera hipótesis que no se rechaza; ese
valor es el rango estimado.
Sintaxis de implementación
ca.jo(x, type = "eigen", ecdet = "trend", K = 2, season = NULL)
x: matriz o serie de tiempo multivariada con las
variables (aquí Y, con IPC y Remesas).type: estadístico a usar. "eigen" = máximo
valor propio (\(\lambda_{max}\));
"trace" = traza.ecdet: componente determinístico. "none",
"const" (constante en la relación de cointegración) o
"trend" (tendencia lineal en la relación de cointegración).
Se usa "trend" porque las series muestran tendencia.K: orden del VAR en niveles (número de rezagos); por
defecto 2. La prueba es sensible a esta elección y
conviene elegirlo con criterios de información.season: frecuencia para agregar dummies estacionales
centradas (por ejemplo 12 en datos mensuales).
Estadístico de prueba
El estadístico de máximo valor propio para contrastar \(H_0:\ r=r_0\) es:
\[\lambda_{max}(r_0)=-T\,\ln\left(1-\hat\lambda_{r_0+1}\right)\]
donde \(\hat\lambda_{r_0+1}\) es el
valor propio (correlación canónica) estimado número \(r_0+1\) y \(T\) el tamaño de muestra efectivo. En la
salida de R, @teststat entrega los estadísticos en
orden inverso: primero \(r\leq1\) y al final \(r=0\); @cval trae sus valores
críticos (columnas al 10 %, 5 % y 1 %).
Y <- X[, c("IPC", "Remesas")] # sistema bivariado
J <- ca.jo(Y, type = "eigen", ecdet = "trend") # K = 2 por defecto
J@teststat # [1] r<=1, [2] r=0
## [1] 1.781798 30.276180
J@cval # valores críticos (columnas: 10pct, 5pct, 1pct)
## 10pct 5pct 1pct
## r <= 1 | 10.49 12.25 16.26
## r = 0 | 16.85 18.96 23.65
La salida completa:
summary(J)
##
## ######################
## # Johansen-Procedure #
## ######################
##
## Test type: maximal eigenvalue statistic (lambda max) , with linear trend in cointegration
##
## Eigenvalues (lambda):
## [1] 0.147300701041072318320246 0.009334048772907584459735
## [3] 0.000000000000000003509925
##
## Values of teststatistic and critical values of test:
##
## test 10pct 5pct 1pct
## r <= 1 | 1.78 10.49 12.25 16.26
## r = 0 | 30.28 16.85 18.96 23.65
##
## Eigenvectors, normalised to first column:
## (These are the cointegration relations)
##
## IPC.l2 Remesas.l2 trend.l2
## IPC.l2 1.0000000 1.0000000000 1.00000000
## Remesas.l2 -0.1202263 -0.0002351946 0.01660414
## trend.l2 0.2037015 -0.1815918768 -0.05774871
##
## Weights W:
## (This is the loading matrix)
##
## IPC.l2 Remesas.l2 trend.l2
## IPC.d -0.01443809 -0.008923349 0.0000000000000003051115
## Remesas.d 3.36493288 -0.475157533 -0.0000000000001672507971
Criterio de decisión
Para cada hipótesis secuencial:
\[\text{Se rechaza } H_0 \text{ si }
\lambda_{max}>\lambda_{crítico}\ (5\%)\]
\[\text{No se rechaza } H_0 \text{ si }
\lambda_{max}\leq\lambda_{crítico}\ (5\%)\]
(Nótese que es lo inverso de la prueba DF: aquí la región de rechazo
está en la cola derecha.)
joh_tab <- function(j) {
est <- rev(j@teststat) # r=0, r<=1
cri <- rev(j@cval[, 2]) # 5 %
data.frame(Hipotesis_nula = c("r = 0", "r ≤ 1"),
Estadistico = est,
Critico_5 = cri,
Decision = ifelse(est > cri, "Se rechaza H0", "No se rechaza H0"))
}
rango <- function(tab) sum(cumprod(tab$Decision == "Se rechaza H0"))
TJ <- joh_tab(J)
TJ %>% kable(digits = 3, align = "c",
caption = "Johansen (eigen, ecdet = 'trend', K = 2)") %>%
kable_material(c("striped", "hover"))
Johansen (eigen, ecdet = ‘trend’, K = 2)
Hipotesis_nula
Estadistico
Critico_5
Decision
r = 0 |
r = 0
30.276
18.96
Se rechaza H0
r <= 1 |
r ≤ 1
1.782
12.25
No se rechaza H0
Interpretación del rechazo, o no rechazo de la Hipótesis
Nula
- Se rechaza \(H_0:\
r=0\): hay al menos una relación de cointegración; las
series comparten tendencias estocásticas y existe equilibrio de largo
plazo.
- No se rechaza \(H_0:\
r=0\): no hay evidencia de cointegración; las series no
tienen relación de largo plazo y deben analizarse en diferencias.
- Si además se rechazara \(r\leq1\),
el rango sería completo (\(r=m=2\)); el
primer \(r_0\) que no se rechaza es el
número de vectores de cointegración.
Implementación de un ejemplo
Condición previa: IPC y remesas deben ser \(I(1)\)
Se verifica con la ADF de la sección 1 (12 rezagos en niveles y en
primeras diferencias):
N12 <- adf_tab(list(IPC = IPCST, Remesas = RemesasST), lags = 12)
D12 <- adf_tab(list(`Δ IPC` = diff(IPCST), `Δ Remesas` = diff(RemesasST)),
lags = 12, type = "drift")
rbind(N12, D12) %>%
kable(digits = 3, align = "c", caption = "ADF con 12 rezagos: niveles y primeras diferencias") %>%
kable_material(c("striped", "hover"))
ADF con 12 rezagos: niveles y primeras diferencias
Serie
Estadistico
Critico_5
Critico_10
Decision
IPC
-2.238
-3.43
-3.13
No se rechaza H0 (raíz unitaria)
Remesas
-1.280
-3.43
-3.13
No se rechaza H0 (raíz unitaria)
Δ IPC
-2.745
-2.88
-2.57
No se rechaza H0 (raíz unitaria)
Δ Remesas
-4.122
-2.88
-2.57
Se rechaza H0 (estacionaria)
En niveles ni el IPC (-2.24) ni las remesas (-1.28) superan el
crítico de -3.43: ambas tienen raíz unitaria. Las remesas diferenciadas
sí son estacionarias (-4.12); el IPC diferenciado (-2.74) queda cerca
del crítico del 5 % (-2.88) y lo rechaza al 10 % (-2.57), por lo que se
trata a ambas series como \(I(1)\).
Prueba de Johansen sobre IPC y Remesas
Resultados con la especificación básica (K = 2):
- Para \(H_0:\ r=0\) el estadístico
es 30.28 y el valor crítico al 5 % es 18.96: se rechaza \(H_0\); existe al menos una
relación de cointegración.
- Para \(H_0:\ r\leq1\) el
estadístico es 1.78 frente a un crítico de 12.25: no se rechaza
\(H_0\); no hay evidencia de
rango completo.
Por tanto, el rango estimado es \(\hat
r=\) 1: existe 1 vector de cointegración entre
el IPC y las remesas.
Sensibilidad: estacionalidad y número de rezagos
Como las remesas son estacionales y la prueba es sensible a \(K\), se repite incorporando dummies
estacionales mensuales (season = 12) y con \(K=3\):
J_s2 <- ca.jo(Y, type = "eigen", ecdet = "trend", K = 2, season = 12)
J_s3 <- ca.jo(Y, type = "eigen", ecdet = "trend", K = 3, season = 12)
TS2 <- joh_tab(J_s2)
TS3 <- joh_tab(J_s3)
TS2 %>% kable(digits = 3, align = "c",
caption = "Johansen con season = 12, K = 2") %>%
kable_material(c("striped", "hover"))
Johansen con season = 12, K = 2
Hipotesis_nula
Estadistico
Critico_5
Decision
r = 0 |
r = 0
21.352
18.96
Se rechaza H0
r <= 1 |
r ≤ 1
2.643
12.25
No se rechaza H0
TS3 %>% kable(digits = 3, align = "c",
caption = "Johansen con season = 12, K = 3") %>%
kable_material(c("striped", "hover"))
Johansen con season = 12, K = 3
Hipotesis_nula
Estadistico
Critico_5
Decision
r = 0 |
r = 0
19.495
18.96
Se rechaza H0
r <= 1 |
r ≤ 1
3.418
12.25
No se rechaza H0
Con dummies estacionales el estadístico para \(r=0\) baja a 21.35 (\(K=2\)) y 19.49 (\(K=3\)) frente a un crítico de 18.96; en
ambos casos el rango estimado es \(\hat
r=\) 1. La conclusión (existe una relación de largo plazo
entre IPC y remesas) se mantiene, aunque con estacionalidad el
rechazo de \(r=0\) es ajustado, por lo
que la evidencia es menos contundente que en la especificación
básica.
Lectura económica: el nivel de precios y las remesas
no pueden alejarse indefinidamente uno del otro; las remesas sostienen
el consumo de los hogares y, con ello, la demanda y los precios, y las
desviaciones de corto plazo se corrigen con el tiempo mediante los
coeficientes de ajuste \(\alpha\).
3. Causalidad en el sentido de Granger
Propósito de la prueba
La prueba de causalidad de Granger evalúa si los valores
pasados de una serie \(x\) ayudan a
predecir otra serie \(y\),
además de lo que ya explican los valores pasados de \(y\). Es una noción de precedencia y
capacidad predictiva, no de causalidad estructural: que \(x\) “cause en el sentido de Granger” a
\(y\) significa que \(x\) aporta información adelantada, no
necesariamente que \(x\) determine a
\(y\).
Hipótesis de la prueba
Para contrastar si \(x\) causa a
\(y\) se estiman dos regresiones con
\(q\) rezagos
(order = q).
Modelo no restringido (incluye los rezagos de \(x\)):
\[y_t=\alpha_0+\sum_{i=1}^{q}\alpha_i\,y_{t-i}+\sum_{j=1}^{q}\beta_j\,x_{t-j}+\varepsilon_t\]
Modelo restringido (solo rezagos de \(y\)):
\[y_t=\alpha_0+\sum_{i=1}^{q}\alpha_i\,y_{t-i}+u_t\]
\[H_0:\ \beta_1=\beta_2=\dots=\beta_q=0\
\text{ ($x$ no causa a $y$ en el sentido de Granger)}\]
\[H_a:\ \text{al menos un } \beta_j\neq0\
\text{ ($x$ causa a $y$ en el sentido de Granger)}\]
La nula es que los rezagos de \(x\)
no aportan capacidad predictiva: se parte de que no hay
precedencia temporal y solo se concluye lo contrario si los rezagos de
\(x\) mejoran significativamente el
ajuste. La prueba es direccional, por lo que se hace en
los dos sentidos (\(x\to y\) y \(y\to x\)); puede haber causalidad en un
sentido, en ambos (retroalimentación) o en ninguno.
Sintaxis de implementación
library(lmtest)
grangertest(y ~ x, order = 1, data = datos)
y ~ x: fórmula; la prueba contrasta si
x causa a y (la variable a explicar
va a la izquierda).order: número \(q\) de
rezagos de \(x\) y de \(y\) incluidos en las regresiones
(order = 1 es causalidad de primer orden).data: objeto con las series (aquí la serie multivariada
X).
Estadístico de prueba
Se usa el estadístico \(F\) que
compara la suma de cuadrados de los residuos de los modelos restringido
(\(SCR_R\)) y no restringido (\(SCR_{NR}\)):
\[F=\frac{(SCR_R-SCR_{NR})/q}{SCR_{NR}/(n-k)}\
\sim\ F_{(q,\ n-k)}\]
donde \(q\) es el número de rezagos
de \(x\) (restricciones) y \(k\) el número de parámetros del modelo no
restringido. En la salida de R el estadístico aparece en la columna
F y su valor \(p\) en
Pr(>F):
grangertest(IVAE ~ Remesas, order = 1, data = X)
Criterio de decisión
\[\text{Se rechaza } H_0 \text{ si }
F>F_{crítico} \quad \text{ó} \quad p_{value}<0.05\]
\[\text{No se rechaza } H_0 \text{ si }
F\leq F_{crítico} \quad \text{ó} \quad p_{value}\geq0.05\]
Interpretación del rechazo, o no rechazo de la Hipótesis
Nula
- Si se rechaza \(H_0\): los rezagos de \(x\) mejoran la predicción de \(y\); hay causalidad de Granger de \(x\) hacia \(y\).
- Si no se rechaza \(H_0\): los rezagos de \(x\) no aportan información predictiva
adicional; no hay evidencia de que \(x\) cause a \(y\).
Implementación de un ejemplo
Se prueban los dos sentidos posibles entre las remesas y el IVAE con
order = 1. Las remesas son la variable de interés y el IVAE
es la segunda serie del par:
pares <- list(c("Remesas", "IVAE"), c("IVAE", "Remesas"))
gr_tab <- function(datos, order) {
do.call(rbind, lapply(pares, function(p) {
g <- grangertest(as.formula(paste(p[2], "~", p[1])), order = order, data = datos)
data.frame(Hipotesis_nula = paste(p[1], "no causa a", p[2]),
F = g$F[2],
Valor_p = g$`Pr(>F)`[2],
Decision = ifelse(g$`Pr(>F)`[2] < 0.05, "Se rechaza H0", "No se rechaza H0"))
}))
}
G1 <- gr_tab(X, order = 1)
G1 %>% kable(digits = 4, align = "c",
caption = "Causalidad de Granger, niveles, order = 1") %>%
kable_material(c("striped", "hover"))
Causalidad de Granger, niveles, order = 1
Hipotesis_nula
F
Valor_p
Decision
Remesas no causa a IVAE
29.3060
0.0000
Se rechaza H0
IVAE no causa a Remesas
3.6457
0.0577
No se rechaza H0
Resultados con order = 1:
- Remesas → IVAE: \(F=\) 29.31, \(p\) < 0.001: se rechaza \(H_0\); las remesas rezagadas ayudan a
predecir la actividad económica.
- IVAE → Remesas: \(F=\) 3.65, \(p=\) 0.0577: no se rechaza \(H_0\) al 5 % (sí al 10 %); evidencia débil
de que el IVAE anticipa a las remesas.
Con un rezago, la causalidad va de las remesas hacia la actividad
económica.
Sensibilidad: series estacionarias y más rezagos
Dos advertencias sobre estos resultados: (i) las series en niveles
son \(I(1)\), así que la prueba en
niveles puede sobrestimar la significancia; y (ii) con datos mensuales
un rezago no captura la dinámica anual. Se repite la prueba con las
primeras diferencias (estacionarias) y 12 rezagos:
Dx <- diff(X)
G12 <- gr_tab(Dx, order = 12)
G12 %>% kable(digits = 4, align = "c",
caption = "Causalidad de Granger, primeras diferencias, order = 12") %>%
kable_material(c("striped", "hover"))
Causalidad de Granger, primeras diferencias, order = 12
Hipotesis_nula
F
Valor_p
Decision
Remesas no causa a IVAE
2.3204
0.0094
Se rechaza H0
IVAE no causa a Remesas
4.5510
0.0000
Se rechaza H0
Con diferencias y 12 rezagos se rechaza \(H_0\) en ambos sentidos (Remesas → IVAE:
\(p=\) 0.0094; IVAE → Remesas: \(p\) < 0.001), es decir, hay
retroalimentación entre remesas y actividad económica.
Lo que sí es robusto a la especificación es que las remesas
anticipan al IVAE; que el IVAE anticipe a las remesas solo
aparece al considerar la dinámica anual.
Conclusiones
- Raíz unitaria (IVAE): con la prueba DF simple
(
lags = 0) el IVAE parece estacionario, pero es un
resultado inducido por su estacionalidad; con 12 rezagos tiene raíz
unitaria en niveles y es estacionario en primeras diferencias, es decir,
\(I(1)\).
- Cointegración (IPC y remesas): la prueba de
Johansen detecta una relación de largo plazo entre el IPC y las remesas
(rango estimado \(\hat r=\) 1), que se
mantiene al incorporar estacionalidad aunque con un rechazo más
ajustado.
- Causalidad de Granger (remesas e IVAE): las remesas
tienen poder predictivo sobre el IVAE tanto en niveles con un rezago
como en diferencias con 12 rezagos; el sentido inverso solo aparece con
la dinámica anual.
- Moraleja metodológica: en series mensuales
estacionales el resultado de las pruebas depende del número de rezagos y
del tratamiento de la estacionalidad, por lo que siempre conviene
reportar la sensibilidad.
Referencias
- Dickey, D. A. y Fuller, W. A. (1979). Distribution of the estimators
for autoregressive time series with a unit root. Journal of the
American Statistical Association, 74, 427-431.
- Engle, R. F. y Granger, C. W. J. (1987). Co-integration and error
correction: representation, estimation, and testing.
Econometrica, 55(2), 251-276.
- Granger, C. W. J. y Newbold, P. (1974). Spurious regressions in
econometrics. Journal of Econometrics, 2, 111-120.
- Johansen, S. y Juselius, K. (1990). Maximum likelihood estimation
and inference on cointegration, with applications to the demand for
money. Oxford Bulletin of Economics and Statistics, 52(2),
169-210.
- Catalán, H. Teoría de cointegración (curso internacional
Construcción de escenarios económicos y econometría avanzada,
CEPAL/Universidad Nacional de Colombia).
- Chung, V. Modelos VEC en R.
- Montero, R. (2013). Variables no estacionarias y
cointegración. Documentos de Trabajo en Economía Aplicada,
Universidad de Granada.
- finnstats (2021). Granger causality test in R (with example).
R-bloggers.
UNIVERSIDAD DE EL SALVADOR
FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS
ESCUELA DE ECONOMIA
MATERIA: MÉTODOS PARA EL ANÁLISIS ECONÓMICO
TAREA A31: COINEGRACIÓN Y CAUSALIDAD
DOCENTE: JEFFRY ISAAC BONILLA MELARA
INTEGRANTES:
| APELLIDOS | NOMBRES | CARNET | PARTICIPACIÓN |
|---|---|---|---|
| PANIAGUA MUÑOZ | CHRISTIAN ALEXANDER | PM24066 | \(100\%\) |
| MENDOZA CRUZ | ENRIQUE ADOLFO | MC24059 | \(100\%\) |
| DELGADO CUELLAR | GISELLE ABIGAIL | DC24008 | \(100\%\) |
| AGUILAR HERNÁNDEZ | ANDREA SARAÍ | AH22006 | \(100\%\) |
| MORALES MONZÓN | VANESSA MARÍA | MM24056 | \(100\%\) |
| ASCENCIO RAMÍREZ | MATTHEW JEREMY | AR23037 | \(100\%\) |
CICLO: II-2026
FECHA: 8 DE NOVIEMBRE DE 2026
CIUDAD UNIVERSITARIA, SAN SALVADOR, EL SALVADOR, CENTROAMERICA
Datos utilizados
Se trabaja con tres series mensuales de El Salvador para el periodo enero 2010 – diciembre 2025 (\(T=192\) observaciones), y cada prueba se desarrolla alrededor de una variable protagonista:
- IVAE (Índice de Volumen de la Actividad Económica, serie original): es la variable de la prueba de Dickey-Fuller (sección 1).
- IPC (Índice de Precios al Consumidor): es la variable de la prueba de Johansen (sección 2).
- Remesas (remesas familiares mensuales en USD): es la variable de la prueba de Granger (sección 3).
La prueba de Dickey-Fuller es univariada, por lo que usa solo el IVAE. En cambio, Johansen y Granger comparan series entre sí y no pueden aplicarse a una única variable: Johansen necesita al menos dos series y Granger exactamente un par. Por eso, en la sección 2 el IPC se analiza junto con las remesas y en la sección 3 las remesas se analizan junto con el IVAE, que actúa solo como segunda serie del par.
library(readxl)
library(forecast)
library(TSstudio)
library(urca)
library(tseries)
library(lmtest)
library(kableExtra)
# Se lee solo la columna de datos (C) de cada archivo; col_names fija un nombre limpio
IVAE <- read_excel("C:/Users/Paniagua/Downloads/econometria christian/Metodos/Datos/IVAE Serie_original.xlsx", range = "C2:C193", col_names = "IVAE")
IPC <- read_excel("C:/Users/Paniagua/Downloads/econometria christian/Metodos/Datos/IPC.xlsx", range = "C2:C193", col_names = "IPC")
Remesas <- read_excel("C:/Users/Paniagua/Downloads/econometria christian/Metodos/Datos/Remesas mensuales en USD.xlsx", range = "C2:C193", col_names = "Remesas")
# Serie de tiempo multivariada: frecuencia mensual a partir de enero de 2010
X <- ts(data = cbind(IVAE, IPC, Remesas),
start = c(2010, 1),
frequency = 12)
IVAEST <- X[, "IVAE"]
IPCST <- X[, "IPC"]
RemesasST <- X[, "Remesas"]
autoplot(X, facets = TRUE,
main = "IVAE, IPC y Remesas de El Salvador, 2010-2025",
xlab = "Años/Meses", ylab = "")
| Serie | Minimo | Media | Maximo |
|---|---|---|---|
| IVAE | 84.70 | 107.93 | 144.30 |
| IPC | 100.44 | 114.53 | 131.47 |
| Remesas | 229.56 | 479.00 | 961.12 |
Las tres series tienen tendencia creciente y, en el caso del IVAE y las remesas, un patrón estacional marcado (picos en diciembre). Ambos rasgos son importantes para interpretar correctamente las pruebas que siguen.
1. Prueba de Raíz Unitaria de Dickey & Fuller
Propósito de la prueba
La prueba de Dickey-Fuller (DF) y su versión aumentada (ADF) sirve para determinar si una serie de tiempo es estacionaria o si, por el contrario, contiene una raíz unitaria (es decir, es no estacionaria, con tendencia estocástica). Es el paso previo obligatorio de cualquier análisis de cointegración: la prueba de Johansen requiere que las variables sean integradas de orden uno, \(I(1)\), y esto se verifica con DF/ADF.
Hipótesis de la prueba
Se parte de un proceso autorregresivo de primer orden:
\[y_t=\varphi\, y_{t-1}+\varepsilon_t,\qquad \varepsilon_t \sim \text{i.i.d.}(0,\sigma^2)\]
Si \(|\varphi|<1\) los choques se disipan con el tiempo y la serie es estacionaria; si \(\varphi=1\) los choques son permanentes (caminata aleatoria) y la serie es no estacionaria. Restando \(y_{t-1}\) a ambos lados se obtiene la forma que realmente se estima:
\[\Delta y_t=(\varphi-1)\,y_{t-1}+\varepsilon_t=\tau\, y_{t-1}+\varepsilon_t,\qquad \tau=\varphi-1\]
Con constante, tendencia determinística y \(p\) rezagos de \(\Delta y_t\) (versión aumentada, que corrige la autocorrelación de los errores):
\[\Delta y_t=\alpha+\beta t+\tau\, y_{t-1}+\sum_{i=1}^{p}\delta_i\,\Delta y_{t-i}+\varepsilon_t\]
Las hipótesis son:
\[H_0:\ \tau=0\ (\varphi=1)\ \text{ la serie tiene raíz unitaria (no estacionaria)}\]
\[H_a:\ \tau<0\ (\varphi<1)\ \text{ la serie es estacionaria}\]
¿Por qué se plantean así? La hipótesis nula es el caso que se quiere descartar con evidencia: asumir que la serie es una caminata aleatoria es la postura conservadora, porque tratar como estacionaria una serie que no lo es produce regresiones espurias. Solo si los datos son suficientemente incompatibles con \(\varphi=1\) se rechaza \(H_0\). La alternativa es unilateral (\(\tau<0\)) porque \(\tau>0\) implicaría una serie explosiva, que no es el caso de interés económico.
Sintaxis de implementación
ur.df(y, type = "trend", lags = 0, selectlags = "Fixed")y: la serie de tiempo a evaluar.type: especificación determinística."none"(sin constante ni tendencia),"drift"(con constante) o"trend"(con constante y tendencia). Con series que crecen en el tiempo se usa"trend"; para series en primeras diferencias suele bastar"drift".lags: número de rezagos de \(\Delta y_t\) incluidos. Conlags = 0es la prueba DF simple; conlags > 0es la ADF.selectlags:"Fixed"usa exactamentelags;"AIC"o"BIC"eligen el mejor número hastalags.
adf.test(x, alternative = "stationary", k = 0)x: la serie de tiempo.alternative: hipótesis alternativa ("stationary"por defecto).k: número de rezagos del término autorregresivo (k = 0es DF simple). Esta función ya incluye constante y tendencia y reporta directamente el valor \(p\).
Estadístico de prueba
El estadístico es el cociente \(t\) del coeficiente \(\tau\), pero no sigue una distribución \(t\) de Student bajo \(H_0\), sino la distribución de Dickey-Fuller (valores críticos más exigentes):
\[DF=\frac{\hat\tau}{SE(\hat\tau)}\]
En la salida de urca, @teststat contiene
tres estadísticos (tau3, phi2,
phi3) y el que corresponde a la prueba de raíz unitaria es
el primero, tau3. En @cval se encuentran sus
valores críticos al 1 %, 5 % y 10 %:
A <- ur.df(IVAEST, type = "trend", lags = 0)
A@teststat[, 1] # estadístico DF (tau3)## [1] -8.720597A@cval[1, ] # valores críticos de tau3## 1pct 5pct 10pct
## -3.99 -3.43 -3.13Con tseries el estadístico y el valor \(p\) se extraen así:
B <- suppressWarnings(adf.test(IVAEST, k = 0))
B$statistic## Dickey-Fuller
## -8.720597B$p.value## [1] 0.01Criterio de decisión
Como la región de rechazo está en la cola izquierda, se compara el estadístico con el valor crítico (negativo) o el valor \(p\) con el nivel de significancia \(\alpha=0.05\):
\[\text{Se rechaza } H_0 \text{ si } DF < \tau_{crítico} \;\;(\text{equivale a } |DF|>|\tau_{crítico}|) \quad \text{ó} \quad p_{value}<0.05\]
\[\text{No se rechaza } H_0 \text{ si } DF \geq \tau_{crítico} \quad \text{ó} \quad p_{value}\geq 0.05\]
DF <- as.vector(A@teststat[, 1])
tc <- as.vector(A@cval[1, 2]) # valor crítico al 5 %
if (DF < tc) {
"Se rechaza H0: la serie es estacionaria"
} else {
"No se rechaza H0: la serie tiene raíz unitaria (no estacionaria)"
}## [1] "Se rechaza H0: la serie es estacionaria"Interpretación del rechazo, o no rechazo de la Hipótesis Nula
- Si se rechaza \(H_0\): hay evidencia de que \(\varphi<1\); la serie es estacionaria, sus choques son transitorios y puede modelarse en niveles.
- Si no se rechaza \(H_0\): no hay evidencia de estacionariedad; se considera que la serie tiene raíz unitaria y se debe diferenciar (y probar si la serie diferenciada sí es estacionaria, lo que la clasificaría como \(I(1)\)).
Implementación de un ejemplo
Descomposición de la serie
ts_decompose(IVAEST, type = "additive", showline = TRUE)La descomposición muestra una tendencia creciente y un componente estacional fuerte (picos en diciembre), dos rasgos que condicionan la prueba.
Prueba DF con lags = 0 (especificación básica)
Hipótesis:
\[H_0:\ \tau=0\ \text{ (el IVAE tiene raíz unitaria)}\qquad H_a:\ \tau<0\ \text{ (el IVAE es estacionario)}\]
adf_tab <- function(lista, lags, type = "trend") {
do.call(rbind, lapply(names(lista), function(n) {
a <- ur.df(lista[[n]], type = type, lags = lags)
data.frame(Serie = n,
Estadistico = a@teststat[1, 1],
Critico_5 = a@cval[1, 2],
Critico_10 = a@cval[1, 3],
Decision = ifelse(a@teststat[1, 1] < a@cval[1, 2],
"Se rechaza H0 (estacionaria)",
"No se rechaza H0 (raíz unitaria)"))
}))
}
T0 <- adf_tab(list(IVAE = IVAEST), lags = 0)
T0 %>% kable(digits = 3, align = "c",
caption = "DF sobre el IVAE, type = 'trend', lags = 0") %>%
kable_material(c("striped", "hover"))| Serie | Estadistico | Critico_5 | Critico_10 | Decision |
|---|---|---|---|---|
| IVAE | -8.721 | -3.43 | -3.13 | Se rechaza H0 (estacionaria) |
Con lags = 0 el estadístico del IVAE es -8.72, muy por
debajo del valor crítico de -3.43 al 5 %, por lo que se
rechazaría \(H_0\) y el IVAE
parecería estacionario (con tseries,
adf.test(IVAEST, k = 0) arroja un valor \(p\) de 0.0100).
Prueba ADF con lags = 12 (corrección por
estacionalidad)
La prueba DF simple supone errores sin autocorrelación. En una serie
mensual con estacionalidad como el IVAE ese supuesto no
se cumple y la prueba con lags = 0 tiende a rechazar \(H_0\) de manera engañosa: la oscilación
estacional se confunde con reversión a la media. Por eso se repite la
prueba incorporando 12 rezagos (un año completo de dinámica):
T12 <- adf_tab(list(IVAE = IVAEST), lags = 12)
T12 %>% kable(digits = 3, align = "c",
caption = "ADF sobre el IVAE, type = 'trend', lags = 12") %>%
kable_material(c("striped", "hover"))| Serie | Estadistico | Critico_5 | Critico_10 | Decision |
|---|---|---|---|---|
| IVAE | -2.877 | -3.43 | -3.13 | No se rechaza H0 (raíz unitaria) |
suppressWarnings(adf.test(IVAEST, k = 12))$p.value## [1] 0.2089538Ahora el estadístico es -2.88, mayor que el valor crítico de -3.43:
no se rechaza \(H_0\).
Con tseries el valor \(p\)
es 0.2090, mayor que 0.05, lo que confirma que el IVAE en niveles
tiene raíz unitaria.
¿Es \(I(1)\)? Prueba sobre la primera diferencia
Para que una serie sea \(I(1)\) debe
tener raíz unitaria en niveles y ser estacionaria al diferenciarla una
vez. En diferencias ya no hay tendencia, por lo que se usa
type = "drift":
TD <- adf_tab(list(`Δ IVAE` = diff(IVAEST)), lags = 12, type = "drift")
TD %>% kable(digits = 3, align = "c",
caption = "ADF sobre la primera diferencia del IVAE, type = 'drift', lags = 12") %>%
kable_material(c("striped", "hover"))| Serie | Estadistico | Critico_5 | Critico_10 | Decision |
|---|---|---|---|---|
| Δ IVAE | -4.047 | -2.88 | -2.57 | Se rechaza H0 (estacionaria) |
El estadístico de la primera diferencia (-4.05) es menor que el crítico de -2.88: se rechaza \(H_0\) y la serie diferenciada es estacionaria. Se concluye que el IVAE es \(I(1)\): no es estacionario en niveles, pero sí en primeras diferencias.
2. Cointegración en el enfoque de Soren Johansen
Propósito de la prueba
La prueba de Johansen determina si dos o más series \(I(1)\) están cointegradas, es decir, si aunque cada una sea no estacionaria existe una o más combinaciones lineales de ellas que sí son estacionarias (relaciones de equilibrio de largo plazo). Además, a diferencia de Engle-Granger, estima cuántas relaciones de cointegración existen (el rango \(r\)), lo que permite trabajar con un modelo de corrección de error vectorial (VECM).
Económicamente, ¿el nivel de precios (IPC) y las remesas se mueven juntos en el largo plazo, de modo que se desvían de una relación común solo temporalmente? Como la prueba requiere al menos dos series, el IPC se analiza junto con las remesas (\(m=2\)).
Hipótesis de la prueba
Sea \(Y_t=(IPC_t,\ Remesas_t)'\) un vector de \(m=2\) variables \(I(1)\) modelado como un VAR de orden \(K\):
\[Y_t=\mu+A_1Y_{t-1}+A_2Y_{t-2}+\dots+A_KY_{t-K}+\varepsilon_t\]
Restando \(Y_{t-1}\) y reagrupando se obtiene su representación en mecanismo de corrección de error (VECM):
\[\Delta Y_t=\mu+\Pi\, Y_{t-1}+\sum_{i=1}^{K-1}\Gamma_i\,\Delta Y_{t-i}+\varepsilon_t\]
con
\[\Pi=\sum_{i=1}^{K}A_i-I,\qquad \Gamma_i=-\sum_{j=i+1}^{K}A_j\]
La matriz \(\Pi\) recoge la información de largo plazo y su rango \(r=\text{rango}(\Pi)\) determina el resultado:
- \(r=0\): \(\Pi\) es la matriz nula; no hay cointegración y el sistema debe modelarse con un VAR en diferencias.
- \(0<r<m\): \(\Pi=\alpha\beta'\), donde \(\beta\) contiene los \(r\) vectores de cointegración y \(\alpha\) los coeficientes de ajuste (velocidad de corrección al equilibrio).
- \(r=m\): todas las variables serían estacionarias en niveles (no aplica si son \(I(1)\)).
El enfoque de máximo valor propio
("eigen") contrasta de forma secuencial:
\[H_0:\ r=r_0\ \text{(existen exactamente } r_0 \text{ relaciones de cointegración)}\qquad H_a:\ r=r_0+1\]
empezando por \(r_0=0\) (con \(m=2\) solo hay dos contrastes: \(r=0\) y \(r\leq1\)):
\[H_0:\ r=0\ \text{ (no existe cointegración)}\qquad H_a:\ r=1\]
La nula es “no hay cointegración” porque es el punto de partida conservador: salvo evidencia en contra, se supone que las series \(I(1)\) no comparten tendencia estocástica. Si se rechaza, se contrasta \(r\leq1\) contra \(r=2\) (rango completo), y el procedimiento se detiene en la primera hipótesis que no se rechaza; ese valor es el rango estimado.
Sintaxis de implementación
ca.jo(x, type = "eigen", ecdet = "trend", K = 2, season = NULL)x: matriz o serie de tiempo multivariada con las variables (aquíY, con IPC y Remesas).type: estadístico a usar."eigen"= máximo valor propio (\(\lambda_{max}\));"trace"= traza.ecdet: componente determinístico."none","const"(constante en la relación de cointegración) o"trend"(tendencia lineal en la relación de cointegración). Se usa"trend"porque las series muestran tendencia.K: orden del VAR en niveles (número de rezagos); por defecto 2. La prueba es sensible a esta elección y conviene elegirlo con criterios de información.season: frecuencia para agregar dummies estacionales centradas (por ejemplo12en datos mensuales).
Estadístico de prueba
El estadístico de máximo valor propio para contrastar \(H_0:\ r=r_0\) es:
\[\lambda_{max}(r_0)=-T\,\ln\left(1-\hat\lambda_{r_0+1}\right)\]
donde \(\hat\lambda_{r_0+1}\) es el
valor propio (correlación canónica) estimado número \(r_0+1\) y \(T\) el tamaño de muestra efectivo. En la
salida de R, @teststat entrega los estadísticos en
orden inverso: primero \(r\leq1\) y al final \(r=0\); @cval trae sus valores
críticos (columnas al 10 %, 5 % y 1 %).
Y <- X[, c("IPC", "Remesas")] # sistema bivariado
J <- ca.jo(Y, type = "eigen", ecdet = "trend") # K = 2 por defecto
J@teststat # [1] r<=1, [2] r=0## [1] 1.781798 30.276180J@cval # valores críticos (columnas: 10pct, 5pct, 1pct)## 10pct 5pct 1pct
## r <= 1 | 10.49 12.25 16.26
## r = 0 | 16.85 18.96 23.65La salida completa:
summary(J)##
## ######################
## # Johansen-Procedure #
## ######################
##
## Test type: maximal eigenvalue statistic (lambda max) , with linear trend in cointegration
##
## Eigenvalues (lambda):
## [1] 0.147300701041072318320246 0.009334048772907584459735
## [3] 0.000000000000000003509925
##
## Values of teststatistic and critical values of test:
##
## test 10pct 5pct 1pct
## r <= 1 | 1.78 10.49 12.25 16.26
## r = 0 | 30.28 16.85 18.96 23.65
##
## Eigenvectors, normalised to first column:
## (These are the cointegration relations)
##
## IPC.l2 Remesas.l2 trend.l2
## IPC.l2 1.0000000 1.0000000000 1.00000000
## Remesas.l2 -0.1202263 -0.0002351946 0.01660414
## trend.l2 0.2037015 -0.1815918768 -0.05774871
##
## Weights W:
## (This is the loading matrix)
##
## IPC.l2 Remesas.l2 trend.l2
## IPC.d -0.01443809 -0.008923349 0.0000000000000003051115
## Remesas.d 3.36493288 -0.475157533 -0.0000000000001672507971Criterio de decisión
Para cada hipótesis secuencial:
\[\text{Se rechaza } H_0 \text{ si } \lambda_{max}>\lambda_{crítico}\ (5\%)\]
\[\text{No se rechaza } H_0 \text{ si } \lambda_{max}\leq\lambda_{crítico}\ (5\%)\]
(Nótese que es lo inverso de la prueba DF: aquí la región de rechazo está en la cola derecha.)
joh_tab <- function(j) {
est <- rev(j@teststat) # r=0, r<=1
cri <- rev(j@cval[, 2]) # 5 %
data.frame(Hipotesis_nula = c("r = 0", "r ≤ 1"),
Estadistico = est,
Critico_5 = cri,
Decision = ifelse(est > cri, "Se rechaza H0", "No se rechaza H0"))
}
rango <- function(tab) sum(cumprod(tab$Decision == "Se rechaza H0"))
TJ <- joh_tab(J)
TJ %>% kable(digits = 3, align = "c",
caption = "Johansen (eigen, ecdet = 'trend', K = 2)") %>%
kable_material(c("striped", "hover"))| Hipotesis_nula | Estadistico | Critico_5 | Decision | |
|---|---|---|---|---|
| r = 0 | | r = 0 | 30.276 | 18.96 | Se rechaza H0 |
| r <= 1 | | r ≤ 1 | 1.782 | 12.25 | No se rechaza H0 |
Interpretación del rechazo, o no rechazo de la Hipótesis Nula
- Se rechaza \(H_0:\ r=0\): hay al menos una relación de cointegración; las series comparten tendencias estocásticas y existe equilibrio de largo plazo.
- No se rechaza \(H_0:\ r=0\): no hay evidencia de cointegración; las series no tienen relación de largo plazo y deben analizarse en diferencias.
- Si además se rechazara \(r\leq1\), el rango sería completo (\(r=m=2\)); el primer \(r_0\) que no se rechaza es el número de vectores de cointegración.
Implementación de un ejemplo
Condición previa: IPC y remesas deben ser \(I(1)\)
Se verifica con la ADF de la sección 1 (12 rezagos en niveles y en primeras diferencias):
N12 <- adf_tab(list(IPC = IPCST, Remesas = RemesasST), lags = 12)
D12 <- adf_tab(list(`Δ IPC` = diff(IPCST), `Δ Remesas` = diff(RemesasST)),
lags = 12, type = "drift")
rbind(N12, D12) %>%
kable(digits = 3, align = "c", caption = "ADF con 12 rezagos: niveles y primeras diferencias") %>%
kable_material(c("striped", "hover"))| Serie | Estadistico | Critico_5 | Critico_10 | Decision |
|---|---|---|---|---|
| IPC | -2.238 | -3.43 | -3.13 | No se rechaza H0 (raíz unitaria) |
| Remesas | -1.280 | -3.43 | -3.13 | No se rechaza H0 (raíz unitaria) |
| Δ IPC | -2.745 | -2.88 | -2.57 | No se rechaza H0 (raíz unitaria) |
| Δ Remesas | -4.122 | -2.88 | -2.57 | Se rechaza H0 (estacionaria) |
En niveles ni el IPC (-2.24) ni las remesas (-1.28) superan el crítico de -3.43: ambas tienen raíz unitaria. Las remesas diferenciadas sí son estacionarias (-4.12); el IPC diferenciado (-2.74) queda cerca del crítico del 5 % (-2.88) y lo rechaza al 10 % (-2.57), por lo que se trata a ambas series como \(I(1)\).
Prueba de Johansen sobre IPC y Remesas
Resultados con la especificación básica (K = 2):
- Para \(H_0:\ r=0\) el estadístico es 30.28 y el valor crítico al 5 % es 18.96: se rechaza \(H_0\); existe al menos una relación de cointegración.
- Para \(H_0:\ r\leq1\) el estadístico es 1.78 frente a un crítico de 12.25: no se rechaza \(H_0\); no hay evidencia de rango completo.
Por tanto, el rango estimado es \(\hat r=\) 1: existe 1 vector de cointegración entre el IPC y las remesas.
Sensibilidad: estacionalidad y número de rezagos
Como las remesas son estacionales y la prueba es sensible a \(K\), se repite incorporando dummies
estacionales mensuales (season = 12) y con \(K=3\):
J_s2 <- ca.jo(Y, type = "eigen", ecdet = "trend", K = 2, season = 12)
J_s3 <- ca.jo(Y, type = "eigen", ecdet = "trend", K = 3, season = 12)
TS2 <- joh_tab(J_s2)
TS3 <- joh_tab(J_s3)
TS2 %>% kable(digits = 3, align = "c",
caption = "Johansen con season = 12, K = 2") %>%
kable_material(c("striped", "hover"))| Hipotesis_nula | Estadistico | Critico_5 | Decision | |
|---|---|---|---|---|
| r = 0 | | r = 0 | 21.352 | 18.96 | Se rechaza H0 |
| r <= 1 | | r ≤ 1 | 2.643 | 12.25 | No se rechaza H0 |
TS3 %>% kable(digits = 3, align = "c",
caption = "Johansen con season = 12, K = 3") %>%
kable_material(c("striped", "hover"))| Hipotesis_nula | Estadistico | Critico_5 | Decision | |
|---|---|---|---|---|
| r = 0 | | r = 0 | 19.495 | 18.96 | Se rechaza H0 |
| r <= 1 | | r ≤ 1 | 3.418 | 12.25 | No se rechaza H0 |
Con dummies estacionales el estadístico para \(r=0\) baja a 21.35 (\(K=2\)) y 19.49 (\(K=3\)) frente a un crítico de 18.96; en ambos casos el rango estimado es \(\hat r=\) 1. La conclusión (existe una relación de largo plazo entre IPC y remesas) se mantiene, aunque con estacionalidad el rechazo de \(r=0\) es ajustado, por lo que la evidencia es menos contundente que en la especificación básica.
Lectura económica: el nivel de precios y las remesas no pueden alejarse indefinidamente uno del otro; las remesas sostienen el consumo de los hogares y, con ello, la demanda y los precios, y las desviaciones de corto plazo se corrigen con el tiempo mediante los coeficientes de ajuste \(\alpha\).
3. Causalidad en el sentido de Granger
Propósito de la prueba
La prueba de causalidad de Granger evalúa si los valores pasados de una serie \(x\) ayudan a predecir otra serie \(y\), además de lo que ya explican los valores pasados de \(y\). Es una noción de precedencia y capacidad predictiva, no de causalidad estructural: que \(x\) “cause en el sentido de Granger” a \(y\) significa que \(x\) aporta información adelantada, no necesariamente que \(x\) determine a \(y\).
Hipótesis de la prueba
Para contrastar si \(x\) causa a
\(y\) se estiman dos regresiones con
\(q\) rezagos
(order = q).
Modelo no restringido (incluye los rezagos de \(x\)):
\[y_t=\alpha_0+\sum_{i=1}^{q}\alpha_i\,y_{t-i}+\sum_{j=1}^{q}\beta_j\,x_{t-j}+\varepsilon_t\]
Modelo restringido (solo rezagos de \(y\)):
\[y_t=\alpha_0+\sum_{i=1}^{q}\alpha_i\,y_{t-i}+u_t\]
\[H_0:\ \beta_1=\beta_2=\dots=\beta_q=0\ \text{ ($x$ no causa a $y$ en el sentido de Granger)}\]
\[H_a:\ \text{al menos un } \beta_j\neq0\ \text{ ($x$ causa a $y$ en el sentido de Granger)}\]
La nula es que los rezagos de \(x\) no aportan capacidad predictiva: se parte de que no hay precedencia temporal y solo se concluye lo contrario si los rezagos de \(x\) mejoran significativamente el ajuste. La prueba es direccional, por lo que se hace en los dos sentidos (\(x\to y\) y \(y\to x\)); puede haber causalidad en un sentido, en ambos (retroalimentación) o en ninguno.
Sintaxis de implementación
library(lmtest)
grangertest(y ~ x, order = 1, data = datos)y ~ x: fórmula; la prueba contrasta sixcausa ay(la variable a explicar va a la izquierda).order: número \(q\) de rezagos de \(x\) y de \(y\) incluidos en las regresiones (order = 1es causalidad de primer orden).data: objeto con las series (aquí la serie multivariadaX).
Estadístico de prueba
Se usa el estadístico \(F\) que compara la suma de cuadrados de los residuos de los modelos restringido (\(SCR_R\)) y no restringido (\(SCR_{NR}\)):
\[F=\frac{(SCR_R-SCR_{NR})/q}{SCR_{NR}/(n-k)}\ \sim\ F_{(q,\ n-k)}\]
donde \(q\) es el número de rezagos
de \(x\) (restricciones) y \(k\) el número de parámetros del modelo no
restringido. En la salida de R el estadístico aparece en la columna
F y su valor \(p\) en
Pr(>F):
grangertest(IVAE ~ Remesas, order = 1, data = X)Criterio de decisión
\[\text{Se rechaza } H_0 \text{ si } F>F_{crítico} \quad \text{ó} \quad p_{value}<0.05\]
\[\text{No se rechaza } H_0 \text{ si } F\leq F_{crítico} \quad \text{ó} \quad p_{value}\geq0.05\]
Interpretación del rechazo, o no rechazo de la Hipótesis Nula
- Si se rechaza \(H_0\): los rezagos de \(x\) mejoran la predicción de \(y\); hay causalidad de Granger de \(x\) hacia \(y\).
- Si no se rechaza \(H_0\): los rezagos de \(x\) no aportan información predictiva adicional; no hay evidencia de que \(x\) cause a \(y\).
Implementación de un ejemplo
Se prueban los dos sentidos posibles entre las remesas y el IVAE con
order = 1. Las remesas son la variable de interés y el IVAE
es la segunda serie del par:
pares <- list(c("Remesas", "IVAE"), c("IVAE", "Remesas"))
gr_tab <- function(datos, order) {
do.call(rbind, lapply(pares, function(p) {
g <- grangertest(as.formula(paste(p[2], "~", p[1])), order = order, data = datos)
data.frame(Hipotesis_nula = paste(p[1], "no causa a", p[2]),
F = g$F[2],
Valor_p = g$`Pr(>F)`[2],
Decision = ifelse(g$`Pr(>F)`[2] < 0.05, "Se rechaza H0", "No se rechaza H0"))
}))
}
G1 <- gr_tab(X, order = 1)
G1 %>% kable(digits = 4, align = "c",
caption = "Causalidad de Granger, niveles, order = 1") %>%
kable_material(c("striped", "hover"))| Hipotesis_nula | F | Valor_p | Decision |
|---|---|---|---|
| Remesas no causa a IVAE | 29.3060 | 0.0000 | Se rechaza H0 |
| IVAE no causa a Remesas | 3.6457 | 0.0577 | No se rechaza H0 |
Resultados con order = 1:
- Remesas → IVAE: \(F=\) 29.31, \(p\) < 0.001: se rechaza \(H_0\); las remesas rezagadas ayudan a predecir la actividad económica.
- IVAE → Remesas: \(F=\) 3.65, \(p=\) 0.0577: no se rechaza \(H_0\) al 5 % (sí al 10 %); evidencia débil de que el IVAE anticipa a las remesas.
Con un rezago, la causalidad va de las remesas hacia la actividad económica.
Sensibilidad: series estacionarias y más rezagos
Dos advertencias sobre estos resultados: (i) las series en niveles son \(I(1)\), así que la prueba en niveles puede sobrestimar la significancia; y (ii) con datos mensuales un rezago no captura la dinámica anual. Se repite la prueba con las primeras diferencias (estacionarias) y 12 rezagos:
Dx <- diff(X)
G12 <- gr_tab(Dx, order = 12)
G12 %>% kable(digits = 4, align = "c",
caption = "Causalidad de Granger, primeras diferencias, order = 12") %>%
kable_material(c("striped", "hover"))| Hipotesis_nula | F | Valor_p | Decision |
|---|---|---|---|
| Remesas no causa a IVAE | 2.3204 | 0.0094 | Se rechaza H0 |
| IVAE no causa a Remesas | 4.5510 | 0.0000 | Se rechaza H0 |
Con diferencias y 12 rezagos se rechaza \(H_0\) en ambos sentidos (Remesas → IVAE: \(p=\) 0.0094; IVAE → Remesas: \(p\) < 0.001), es decir, hay retroalimentación entre remesas y actividad económica. Lo que sí es robusto a la especificación es que las remesas anticipan al IVAE; que el IVAE anticipe a las remesas solo aparece al considerar la dinámica anual.
Conclusiones
- Raíz unitaria (IVAE): con la prueba DF simple
(
lags = 0) el IVAE parece estacionario, pero es un resultado inducido por su estacionalidad; con 12 rezagos tiene raíz unitaria en niveles y es estacionario en primeras diferencias, es decir, \(I(1)\). - Cointegración (IPC y remesas): la prueba de Johansen detecta una relación de largo plazo entre el IPC y las remesas (rango estimado \(\hat r=\) 1), que se mantiene al incorporar estacionalidad aunque con un rechazo más ajustado.
- Causalidad de Granger (remesas e IVAE): las remesas tienen poder predictivo sobre el IVAE tanto en niveles con un rezago como en diferencias con 12 rezagos; el sentido inverso solo aparece con la dinámica anual.
- Moraleja metodológica: en series mensuales estacionales el resultado de las pruebas depende del número de rezagos y del tratamiento de la estacionalidad, por lo que siempre conviene reportar la sensibilidad.
Referencias
- Dickey, D. A. y Fuller, W. A. (1979). Distribution of the estimators for autoregressive time series with a unit root. Journal of the American Statistical Association, 74, 427-431.
- Engle, R. F. y Granger, C. W. J. (1987). Co-integration and error correction: representation, estimation, and testing. Econometrica, 55(2), 251-276.
- Granger, C. W. J. y Newbold, P. (1974). Spurious regressions in econometrics. Journal of Econometrics, 2, 111-120.
- Johansen, S. y Juselius, K. (1990). Maximum likelihood estimation and inference on cointegration, with applications to the demand for money. Oxford Bulletin of Economics and Statistics, 52(2), 169-210.
- Catalán, H. Teoría de cointegración (curso internacional Construcción de escenarios económicos y econometría avanzada, CEPAL/Universidad Nacional de Colombia).
- Chung, V. Modelos VEC en R.
- Montero, R. (2013). Variables no estacionarias y cointegración. Documentos de Trabajo en Economía Aplicada, Universidad de Granada.
- finnstats (2021). Granger causality test in R (with example). R-bloggers.