Paquetes y funciones auxiliares. Todo el código usa datos incluidos en los paquetes o guardados en la carpeta datos/, de modo que el documento se puede compilar sin conexión a internet.

library(urca)     # ur.df(), ca.jo()
library(tseries)  # adf.test()
library(lmtest)   # grangertest()
library(vars)     # VARselect()
library(readxl)   # lectura del archivo de Bitcoin

# Número máximo de rezagos sugerido por Montero (2013, p. 5)
regla_montero <- function(N) floor(4 * (N / 100)^(2 / 9))

# Resumen de una prueba ur.df(): rezagos usados, estadístico tau, valor crítico y decisión al 5 %
resumen_adf <- function(prueba, serie, espec) {
  tau     <- prueba@teststat[1, 1]   # el primer valor es el estadístico tau
  critico <- prueba@cval[1, "5pct"]  # fila tau1, tau2 o tau3, según la especificación
  rezagos <- sum(grepl("z.diff.lag", rownames(prueba@testreg$coefficients)))
  data.frame(Serie = serie, Especificacion = espec, Rezagos = rezagos,
             Tau = round(tau, 3), Critico_5 = critico,
             Decision_5 = ifelse(tau < critico, "Se rechaza H0", "No se rechaza H0"))
}

1 Introducción

1.1 Series de tiempo y estacionariedad

Una serie de tiempo es un conjunto de observaciones de una variable recogidas en orden a lo largo del tiempo, con una frecuencia diaria, mensual, trimestral o anual. La mayoría de las series económicas, como el PIB, los precios o los agregados monetarios, no son estacionarias, y eso condiciona la forma de analizarlas.

Una serie \(\{x_t\}\) es estacionaria en sentido débil cuando su media, su varianza y sus autocovarianzas no dependen del momento en que se observa (Montero, 2013, pp. 3-4):

\[ \mathbb{E}(x_t) = \mu \;\; \forall t, \qquad \operatorname{Var}(x_t) = \sigma^2 < \infty \;\; \forall t, \qquad \operatorname{Cov}(x_t, x_{t-k}) = \gamma_k \;\; \forall t, \forall k . \]

Una serie estacionaria fluctúa alrededor de una media constante, con una amplitud más o menos estable. En la práctica se reconoce primero en el gráfico: una serie con tendencia, cambios de nivel o varianza creciente no es estacionaria, y su función de autocorrelación decae lentamente, mientras que la de una serie estacionaria cae a cero con rapidez (Hyndman y Athanasopoulos, 2021, sec. 9.1).

Una serie es integrada de orden \(d\), \(I(d)\), si hay que diferenciarla \(d\) veces para volverla estacionaria: \(I(0)\) denota una serie estacionaria e \(I(1)\) una serie con una raíz unitaria (Montero, 2013, pp. 3-4). Las variables macroeconómicas suelen ser \(I(1)\) (Real Academia Sueca de Ciencias, 2003, pp. 5-6).

1.2 Por qué importa: la regresión espuria

Cuando se regresan entre sí dos series no estacionarias, la regresión puede mostrar coeficientes significativos y un \(R^2\) alto aunque no exista ninguna relación entre ellas. En palabras de Montero (2013), “las estimaciones de regresiones con variables no estacionarias son espurias salvo que estas estén cointegradas” (p. 1). Granger y Newbold (1974, p. 115) lo mostraron por simulación: al regresar entre sí dos paseos aleatorios independientes, la hipótesis de “no relación” se rechazaba en alrededor de tres de cada cuatro casos.

Diferenciar las series evita el problema, pero descarta los niveles, que es donde suele formularse la teoría económica (Real Academia Sueca de Ciencias, 2003, pp. 4-5). La cointegración permite trabajar en niveles sin caer en una regresión espuria.

1.3 Relación entre los tres temas

Los tres temas del informe se aplican en secuencia:

  1. Raíz unitaria. Primero se determina el orden de integración de cada serie con una prueba como la de Dickey-Fuller.
  2. Cointegración. Si dos o más series son \(I(1)\) pero alguna combinación lineal de ellas es \(I(0)\), las series están cointegradas: mantienen una relación de equilibrio de largo plazo y la regresión en niveles no es espuria. Granger (2004, sec. “Cointegración”) lo ilustra con dos collares de perlas sujetos por imanes: se mueven con formas parecidas y la distancia entre ellos es estacionaria.
  3. Causalidad. La causalidad en el sentido de Granger evalúa si el pasado de una variable ayuda a predecir otra. Si dos series están cointegradas, al menos una causa a la otra en ese sentido (Granger, 2004, sec. “Causalidad”).

Montero (2013, pp. 3-4) resume qué hacer según el orden de integración de las series:

Caso Qué hacer
Todas las series son \(I(0)\) Estimar de la forma habitual (MCO)
Series no estacionarias de distinto orden No se puede estimar la relación entre ellas
Series del mismo orden, no cointegradas Regresión espuria: transformar las series o estimar en primeras diferencias
Series no estacionarias y cointegradas Relación de largo plazo en niveles más un modelo de corrección de errores para el corto plazo

1.4 Datos de los ejemplos

Sección Serie Frecuencia y muestra Fuente
2 Precio de cierre del Bitcoin (USD) Mensual, 2015:1 a 2025:12 Archivo datos/Bitcoin_data.xlsx, pendiente fuente.
3 PIB per cápita de El Salvador (USD constantes de 2015), en logaritmos Anual, 1965 a 2025 Banco Mundial (2026), indicador NY.GDP.PCAP.KD, guardado en datos/pib_pc_slv.csv
4 y 5 Dinero real (M2), ingreso real, tasa de bonos y tasa de depósitos de Dinamarca Trimestral, 1974:1 a 1987:3 Datos denmark de Johansen y Juselius (1990, como se citó en Pfaff, 2024a)
6 Población de gallinas y producción de huevos de EE. UU. Anual, 1930 a 1983 Datos ChickEgg de Thurman y Fisher (1988, como se citó en Hothorn et al., 2022)

2 Prueba de raíz unitaria de Dickey-Fuller

2.1 Propósito de la prueba

La prueba de Dickey y Fuller (1979, como se citó en MacKinnon, 2010) sirve para determinar si una serie es estacionaria o si tiene una raíz unitaria. Es el primer paso antes de relacionar series entre sí: indica si una serie puede usarse en niveles o si debe diferenciarse, y da el orden de integración que necesitan las pruebas de cointegración y de causalidad.

2.2 Especificación e hipótesis

Se parte de un proceso autorregresivo de primer orden:

\[ y_t = \rho\, y_{t-1} + \varepsilon_t, \qquad \varepsilon_t \sim \text{ruido blanco}. \]

Si \(|\rho| < 1\) el proceso es estacionario; si \(\rho = 1\) es un paseo aleatorio: el valor de hoy es el de ayer más un choque, y los choques nunca se desvanecen. Al restar \(y_{t-1}\) en ambos lados se obtiene la regresión de la prueba:

\[ \Delta y_t = \delta\, y_{t-1} + \varepsilon_t, \qquad \delta = \rho - 1 . \]

Las hipótesis son:

\[ H_0:\ \delta = 0 \;\; (\rho = 1) \qquad \text{la serie tiene raíz unitaria (no es estacionaria)} \]

\[ H_1:\ \delta < 0 \;\; (\rho < 1) \qquad \text{la serie es estacionaria} \]

La prueba es de cola izquierda: un valor \(\delta > 0\) correspondería a una serie explosiva, que no es la alternativa de interés.

Versión aumentada (ADF). Si los errores están autocorrelacionados, se agregan rezagos de \(\Delta y_t\) a la regresión. Con \(p\) rezagos, las tres especificaciones de la prueba son (Montero, 2013, pp. 4-5):

\[ \text{(1) sin constante ni tendencia:}\quad \Delta y_t = \delta\, y_{t-1} + \sum_{i=1}^{p} \gamma_i\, \Delta y_{t-i} + u_t \]

\[ \text{(2) con constante:}\quad \Delta y_t = a_0 + \delta\, y_{t-1} + \sum_{i=1}^{p} \gamma_i\, \Delta y_{t-i} + u_t \]

\[ \text{(3) con constante y tendencia:}\quad \Delta y_t = a_0 + a_1 t + \delta\, y_{t-1} + \sum_{i=1}^{p} \gamma_i\, \Delta y_{t-i} + u_t \]

El término \(\sum \gamma_i\, \Delta y_{t-i}\) corrige la autocorrelación de los errores (Montero, 2013, p. 5). El autor recomienda usar la versión con tendencia y elegir el número de rezagos con la regla

\[ p = \left\lfloor 4 \left( \frac{N}{100} \right)^{2/9} \right\rfloor , \]

que da entre 3 y 6 rezagos para muestras de 30 a 1000 observaciones (Montero, 2013, p. 5). En este informe la regla fija el número máximo de rezagos y el criterio de Akaike (AIC) elige cuántos usar.

2.3 Implementación en R

2.3.1 Paquete urca

La función ur.df() estima la regresión de Dickey-Fuller y calcula el estadístico del coeficiente de \(y_{t-1}\):

ur.df(y, type = c("none", "drift", "trend"), lags = 1,
      selectlags = c("Fixed", "AIC", "BIC"))
Argumento Descripción
y Serie a la que se aplica la prueba (vector u objeto ts). No admite valores faltantes.
type Especificación: "none" es el modelo (1), "drift" el modelo (2) y "trend" el modelo (3).
lags Número de rezagos de \(\Delta y_t\). Con lags = 0 se obtiene la prueba de Dickey-Fuller simple.
selectlags "Fixed" usa exactamente lags rezagos; "AIC" o "BIC" toman lags como máximo y eligen con ese criterio de información.

ur.df() no reporta un p-valor: el estadístico se compara con valores críticos tabulados (Hamilton, 1994, y Dickey y Fuller, 1981, como se citó en Pfaff, 2024a), que se reproducen en la tabla de valores críticos de la sección siguiente.

2.3.2 Paquete tseries

adf.test(x, alternative = c("stationary", "explosive"),
         k = trunc((length(x) - 1)^(1/3)))
Argumento Descripción
x Serie a la que se aplica la prueba (vector u objeto ts).
alternative Hipótesis alternativa: "stationary" (por defecto, cola izquierda) o "explosive" (\(\rho > 1\)).
k Número de rezagos de \(\Delta y_t\). Con k = 0 se obtiene la prueba de Dickey-Fuller simple.

Esta función siempre incluye constante y tendencia (modelo 3) y, a diferencia de ur.df(), reporta un p-valor (Trapletti y Hornik, 2026).

2.4 Ilustración: precio del Bitcoin

Para mostrar cómo cambia la prueba según el argumento type, se usa el precio de cierre mensual del Bitcoin, de enero de 2015 a diciembre de 2025.

bitcoin <- read_excel("datos/Bitcoin_data.xlsx", sheet = "DATOS")
btc <- ts(bitcoin$Price, start = c(2015, 1), frequency = 12)
plot(btc, main = "Precio de cierre mensual del Bitcoin", xlab = "Año", ylab = "USD")

La serie crece con fuerza y tiene episodios de alzas y caídas que no regresan a un nivel fijo. Se aplica la prueba de Dickey-Fuller simple (lags = 0) con las tres especificaciones:

tabla_btc <- rbind(
  resumen_adf(ur.df(btc, type = "none",  lags = 0), "Bitcoin", "Sin constante ni tendencia"),
  resumen_adf(ur.df(btc, type = "drift", lags = 0), "Bitcoin", "Con constante"),
  resumen_adf(ur.df(btc, type = "trend", lags = 0), "Bitcoin", "Con constante y tendencia"))
tabla_btc
Serie Especificacion Rezagos Tau Critico_5 Decision_5
Bitcoin Sin constante ni tendencia 0 0.586 -1.95 No se rechaza H0
Bitcoin Con constante 0 -0.365 -2.88 No se rechaza H0
Bitcoin Con constante y tendencia 0 -2.039 -3.43 No se rechaza H0

En las tres especificaciones el estadístico es mayor que el valor crítico al 5 % (0.586 frente a -1.95, -0.365 frente a -2.88 y -2.039 frente a -3.43), así que en ningún caso se rechaza la hipótesis nula: no hay evidencia contra la raíz unitaria en el precio del Bitcoin.

Con tseries se obtiene el mismo estadístico del modelo con constante y tendencia, ahora con un p-valor:

adf_btc <- adf.test(btc, k = 0)
print(adf_btc, digits = 6)
## 
##  Augmented Dickey-Fuller Test
## 
## data:  btc
## Dickey-Fuller = -2.039, Lag order = 0, p-value = 0.56
## alternative hypothesis: stationary

El p-valor, 0.5603, es mayor que 0.05, así que tampoco se rechaza la raíz unitaria.

3 Prueba de Dickey-Fuller: resultados e implementación

3.1 Estadístico de prueba

La prueba usa el estadístico \(\tau\), que es el cociente \(t\) del coeficiente de \(y_{t-1}\):

\[ \tau = \frac{\hat{\delta}}{\operatorname{EE}(\hat{\delta})} . \]

Aunque se calcula como un estadístico \(t\), no sigue la distribución \(t\) de Student, ni en muestras finitas ni asintóticamente, y sus valores críticos se obtienen por simulación (MacKinnon, 2010, p. 2). Esos valores críticos son más negativos que los habituales: en el modelo con constante, el valor crítico asintótico al 5 % es −2.862 (MacKinnon, 2010, p. 9), mientras que el de la normal estándar sería −1.645. Usar la \(t\) llevaría a rechazar la raíz unitaria con demasiada frecuencia.

Cómo identificarlo en la salida de R. En summary(ur.df(...)) hay que ubicar la línea Value of test-statistic is:.

  • El primer valor es \(\tau\). Coincide con el t value de la fila z.lag.1 en la tabla de coeficientes, porque z.lag.1 es \(y_{t-1}\).
  • Los demás valores (phi1, phi2, phi3) son estadísticos \(F\) sobre la constante y la tendencia; no son el estadístico principal de la prueba.
  • El valor de \(\tau\) se compara con la fila correspondiente de la tabla de valores críticos:
type Fila con la que se compara \(\tau\)
"none" tau1
"drift" tau2
"trend" tau3

La columna Pr(>|t|) de la tabla de coeficientes no es el p-valor de la prueba, porque usa la distribución \(t\), que no es válida bajo \(H_0\).

3.2 Tabla de valores críticos

Los valores críticos de \(\tau\) dependen de la especificación de la regresión y del tamaño de la muestra. Gujarati y Porter (2010, tabla D.7) los resumen al 1 % y al 5 %:

Tamaño de la muestra \(\tau_{nc}\) 1 % \(\tau_{nc}\) 5 % \(\tau_{c}\) 1 % \(\tau_{c}\) 5 % \(\tau_{ct}\) 1 % \(\tau_{ct}\) 5 % \(F^{\dagger}\) 1 % \(F^{\dagger}\) 5 % \(F^{\ddagger}\) 1 % \(F^{\ddagger}\) 5 %
25 −2.66 −1.95 −3.75 −3.00 −4.38 −3.60 10.61 7.24 8.21 5.68
50 −2.62 −1.95 −3.58 −2.93 −4.15 −3.50 9.31 6.73 7.02 5.13
100 −2.60 −1.95 −3.51 −2.89 −4.04 −3.45 8.73 6.49 6.50 4.88
250 −2.58 −1.95 −3.46 −2.88 −3.99 −3.43 8.43 6.34 6.22 4.75
500 −2.58 −1.95 −3.44 −2.87 −3.98 −3.42 8.34 6.30 6.15 4.71
\(\infty\) −2.58 −1.95 −3.43 −2.86 −3.96 −3.41 8.27 6.25 6.09 4.68

Nota. Tomado de Gujarati y Porter (2010, tabla D.7).

Cómo se usa la tabla:

  • Columna. El subíndice indica la especificación: \(nc\), sin constante (type = "none", fila tau1 de ur.df()); \(c\), con constante ("drift", tau2); y \(ct\), con constante y tendencia ("trend", tau3). Cuantos más términos determinísticos tiene la regresión, más negativo es el valor crítico: con 100 observaciones y al 5 %, pasa de −1.95 a −2.89 y a −3.45.
  • Fila. Se elige según el tamaño de la muestra. La fila \(\infty\) de \(\tau_c\) al 5 % (−2.86) es el valor asintótico de MacKinnon citado arriba, redondeado. ur.df() usa estos mismos valores y, cuando el tamaño de la muestra no aparece en la tabla, toma la fila del tamaño inmediatamente superior: con el Bitcoin (132 observaciones) usa la fila 250 y con el PIB de El Salvador (61 observaciones), la fila 100.
  • Columnas \(F\). \(F^{\dagger}\) y \(F^{\ddagger}\) son valores críticos de pruebas \(F\) conjuntas en el modelo con constante y tendencia; en ur.df() corresponden a phi3 y phi2. Este informe solo usa las columnas de \(\tau\).

3.3 Criterio de decisión

La prueba es de cola izquierda, así que se rechaza con valores muy negativos de \(\tau\):

\[ \text{se rechaza } H_0 \iff \tau < \tau_{\text{crítico}}, \qquad \text{no se rechaza } H_0 \iff \tau \geq \tau_{\text{crítico}} . \]

El nivel de referencia habitual es el 5 %. Con adf.test(), que da un p-valor, la regla equivalente es rechazar \(H_0\) si \(p < 0.05\) (Montero, 2013, pp. 4-5).

3.4 Interpretación

  • Se rechaza \(H_0\). La serie es estacionaria: los choques son transitorios y la serie revierte a su media o a su tendencia.
  • No se rechaza \(H_0\). La serie se comporta como una serie con raíz unitaria: los choques tienen efectos permanentes y debe diferenciarse antes de usarla en una regresión, salvo que esté cointegrada con otras. Para conocer su orden de integración se repite la prueba en primeras diferencias: si en niveles no se rechaza y en diferencias sí, la serie es \(I(1)\).

No rechazar \(H_0\) no demuestra que exista una raíz unitaria, solo que los datos no dan evidencia suficiente en contra. Por eso conviene complementar la prueba con la KPSS, cuya hipótesis nula es la contraria: que la serie es estacionaria (Kwiatkowski et al., 1992, como se citó en Hyndman y Athanasopoulos, 2021). También hay que tener cuidado con los cambios estructurales: si una serie es estacionaria alrededor de una tendencia con un quiebre, las pruebas habituales tienden a no rechazar la raíz unitaria (Perron, 1989, como se citó en Montero, 2013).

3.5 Ejemplo práctico: PIB per cápita de El Salvador

Se usa el PIB per cápita real de El Salvador, en dólares constantes de 2015 y con frecuencia anual, en logaritmos. Los datos se descargaron del Banco Mundial con el paquete wbstats y se guardaron en datos/pib_pc_slv.csv para que los resultados no cambien si el banco revisa la serie:

library(wbstats)
datos <- wb_data(indicator = "NY.GDP.PCAP.KD", country = "SLV",
                 start_date = 1965, end_date = 2025)

Paso 1: gráfico y correlograma. Montero (2013, p. 4) recomienda empezar por el gráfico de la serie y su correlograma.

pib_datos <- read.csv("datos/pib_pc_slv.csv")
pib <- ts(log(pib_datos$pib_pc_usd2015), start = min(pib_datos$anio), frequency = 1)
N_pib <- length(pib)
op <- par(mfrow = c(1, 2), mar = c(4, 4, 3, 1))
plot(pib, main = "log del PIB per cápita", xlab = "Año", ylab = "")
acf(pib, main = "Correlograma (niveles)")

par(op)

El logaritmo del PIB per cápita sube hasta finales de los setenta, cae con fuerza durante los ochenta, se recupera desde 1990 y tiene una caída puntual en 2020. No hay una media estable a la que regrese, y el correlograma decae lentamente, que es el patrón de una serie no estacionaria (Hyndman y Athanasopoulos, 2021, sec. 9.1).

Paso 2: prueba ADF en niveles. Con \(N = 61\) observaciones, la regla de Montero da un máximo de 3 rezagos. Se usa el modelo con constante y tendencia:

p_pib <- regla_montero(N_pib)
adf_pib_niv <- ur.df(pib, type = "trend", lags = p_pib, selectlags = "AIC")
summary(adf_pib_niv)
## 
## ############################################### 
## # Augmented Dickey-Fuller Test Unit Root Test # 
## ############################################### 
## 
## Test regression trend 
## 
## 
## Call:
## lm(formula = z.diff ~ z.lag.1 + 1 + tt + z.diff.lag)
## 
## Residuals:
##      Min       1Q   Median       3Q      Max 
## -0.15372 -0.00863  0.00157  0.01517  0.12407 
## 
## Coefficients:
##              Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)   
## (Intercept)  0.342070   0.277569    1.23    0.223   
## z.lag.1     -0.044833   0.035579   -1.26    0.213   
## tt           0.000755   0.000405    1.86    0.068 . 
## z.diff.lag   0.352269   0.129852    2.71    0.009 **
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 0.0375 on 53 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.187,  Adjusted R-squared:  0.141 
## F-statistic: 4.06 on 3 and 53 DF,  p-value: 0.0114
## 
## 
## Value of test-statistic is: -1.26 1.615 1.742 
## 
## Critical values for test statistics: 
##       1pct  5pct 10pct
## tau3 -4.04 -3.45 -3.15
## phi2  6.50  4.88  4.16
## phi3  8.73  6.49  5.47

Lectura de la salida:

  • El AIC eligió 1 rezago: es la fila z.diff.lag de la tabla de coeficientes.
  • El estadístico es el primer valor de Value of test-statistic: \(\tau = -1.26\), igual al t value de z.lag.1.
  • Los valores críticos de tau3 son -4.04 (1 %), -3.45 (5 %) y -3.15 (10 %). Como \(-1.26 > -3.45\), no se rechaza \(H_0\): la serie en niveles tiene raíz unitaria.

Paso 3: prueba ADF en primeras diferencias. La primera diferencia del logaritmo es, aproximadamente, la tasa de crecimiento del PIB per cápita. Ya no tiene tendencia, así que se usa el modelo con constante:

adf_pib_dif <- ur.df(diff(pib), type = "drift", lags = p_pib, selectlags = "AIC")
tabla_pib <- rbind(res_niv, resumen_adf(adf_pib_dif, "Δlog(PIB pc)", "Diferencias, con constante"))
tabla_pib
Serie Especificacion Rezagos Tau Critico_5 Decision_5
log(PIB pc) Niveles, con tendencia 1 -1.260 -3.45 No se rechaza H0
Δlog(PIB pc) Diferencias, con constante 1 -3.489 -2.89 Se rechaza H0

En primeras diferencias, \(\tau = -3.489\) es menor que el valor crítico al 5 % (-2.89), así que se rechaza \(H_0\): la tasa de crecimiento es estacionaria.

Conclusión del ejemplo. El logaritmo del PIB per cápita de El Salvador es integrado de orden uno, \(I(1)\): no es estacionario en niveles y se vuelve estacionario al diferenciarlo una vez. Esta conclusión trata la caída de finales de los setenta como parte del proceso; si se tratara como un cambio estructural, la conclusión podría cambiar, que es la limitación señalada por Perron (1989, como se citó en Montero, 2013).

4 Cointegración: enfoque de Johansen

4.1 Propósito de la prueba

La prueba de Johansen sirve para determinar cuántas relaciones de equilibrio de largo plazo (vectores de cointegración) existen entre un conjunto de variables \(I(1)\). Aunque cada serie sea no estacionaria, puede existir una combinación lineal \(\beta' X_t\) que sí sea estacionaria: las variables se mueven juntas en el largo plazo y las desviaciones del equilibrio son transitorias.

El método de Engle y Granger (1987, como se citó en Real Academia Sueca de Ciencias, 2003) estima por MCO una relación de largo plazo y aplica una prueba de raíz unitaria a los residuos (Real Academia Sueca de Ciencias, 2003, pp. 7-8). Johansen, en cambio, trabaja con el sistema completo y estima por máxima verosimilitud todas las relaciones a la vez (Real Academia Sueca de Ciencias, 2003, p. 8):

Engle-Granger Johansen
Marco Una ecuación (residuos de MCO) VAR de todas las variables
Número de relaciones Solo una Hasta \(n-1\); se estima cuántas hay
Variable dependiente Hay que elegirla No hace falta

4.2 Fundamento teórico

Sea \(X_t\) un vector de \(n\) variables \(I(1)\). Un VAR en niveles se puede reescribir como un modelo de corrección de errores vectorial (VECM) (Johansen, 2014, p. 5):

\[ \Delta X_t = \Pi X_{t-1} + \sum_{i=1}^{K-1} \Gamma_i\, \Delta X_{t-i} + \mu + \varepsilon_t . \]

\(\Delta X_t\) y los términos en diferencias son estacionarios; para que la ecuación sea coherente, \(\Pi X_{t-1}\) también tiene que serlo. Eso depende del rango de la matriz \(\Pi\), \(r = \operatorname{rango}(\Pi)\) (Johansen, 1988, p. 5):

Rango de \(\Pi\) Interpretación
\(r = 0\) No hay cointegración; corresponde un VAR en primeras diferencias.
\(0 < r < n\) Hay \(r\) relaciones de cointegración y \(\Pi = \alpha\beta'\).
\(r = n\) Todas las variables son estacionarias en niveles.

Cuando hay cointegración, \(\Pi = \alpha\beta'\), donde \(\alpha\) y \(\beta\) son matrices de \(n \times r\) (Johansen, 2014, pp. 4-5):

  • \(\beta\) contiene los vectores de cointegración: \(\beta' X_t\) es estacionario y define el equilibrio de largo plazo.
  • \(\alpha\) contiene los coeficientes de ajuste: cómo responde cada variable a los desequilibrios del periodo anterior. Es la versión multivariada del coeficiente de corrección de errores de Montero (2013, p. 7).

Johansen estima el modelo por máxima verosimilitud y obtiene unos valores propios \(\hat\lambda_1 > \hat\lambda_2 > \dots > \hat\lambda_n\), entre 0 y 1; el número de valores propios significativamente distintos de cero es el rango de \(\Pi\) (Johansen, 1988, pp. 7-9).

Antes de aplicar la prueba hay que comprobar que ninguna serie sea \(I(2)\) (Johansen, 2014, p. 7) y decidir qué términos determinísticos (constante, tendencia) se incluyen, porque esa elección cambia los valores críticos (Johansen, 1991).

4.3 Hipótesis de la prueba

Johansen (1991) propone dos estadísticos, que contrastan hipótesis distintas sobre \(r\):

Prueba de la traza (para \(r_0 = 0, 1, \dots, n-1\)):

\[ H_0:\ \operatorname{rango}(\Pi) \leq r_0 \qquad \text{frente a} \qquad H_1:\ \operatorname{rango}(\Pi) > r_0 \]

Prueba del máximo valor propio:

\[ H_0:\ \operatorname{rango}(\Pi) = r_0 \qquad \text{frente a} \qquad H_1:\ \operatorname{rango}(\Pi) = r_0 + 1 \]

Se parte de \(r_0 = 0\) (no hay cointegración), igual que en Dickey-Fuller la nula es la raíz unitaria: es el supuesto que debe refutarse con evidencia. El procedimiento es secuencial:

  1. Se contrasta \(H_0: r = 0\). Si no se rechaza, no hay cointegración y el procedimiento termina.
  2. Si se rechaza, se contrasta \(r \leq 1\), luego \(r \leq 2\), y así sucesivamente.
  3. El rango estimado es el primer \(r_0\) para el que no se rechaza \(H_0\).

4.4 Implementación en R

La prueba se hace con ca.jo() del paquete urca:

ca.jo(x, type = c("eigen", "trace"), ecdet = c("none", "const", "trend"), K = 2,
      spec = c("longrun", "transitory"), season = NULL, dumvar = NULL)
Argumento Descripción
x Matriz, data.frame u objeto ts con las \(n\) variables \(I(1)\) en columnas.
type "trace": prueba de la traza; "eigen": prueba del máximo valor propio.
ecdet Término determinístico dentro de la relación de cointegración: "none", "const" o "trend".
K Número de rezagos del VAR en niveles. Debe ser \(K \geq 2\).
spec Forma del VECM: "longrun" o "transitory". Las dos dan la misma inferencia sobre \(\Pi\).
season Frecuencia de los datos (4 trimestral, 12 mensual) para incluir dummies estacionales; NULL no las incluye.

Los valores críticos que reporta ca.jo() provienen de Osterwald-Lenum (1992, como se citó en Pfaff, 2024a).

Para elegir el número de rezagos \(K\) se usa VARselect() del paquete vars (Pfaff, 2024b), que estima el VAR en niveles con 1 a lag.max rezagos y reporta el rezago que minimiza cada criterio de información:

VARselect(y, lag.max = 10, type = c("const", "trend", "both", "none"), season = NULL)

5 Cointegración de Johansen: resultados e implementación

5.1 Estadísticos de prueba

Con \(T\) observaciones y los valores propios ordenados \(\hat\lambda_1 > \dots > \hat\lambda_n\):

Estadístico de la traza (Johansen, 1988, p. 10):

\[ \lambda_{\text{traza}}(r_0) = -T \sum_{i = r_0 + 1}^{n} \ln\left(1 - \hat\lambda_i\right) \]

Estadístico del máximo valor propio (Johansen, 1991):

\[ \lambda_{\max}(r_0) = -T \ln\left(1 - \hat\lambda_{r_0 + 1}\right) \]

Si los valores propios que según \(H_0\) deberían ser cero lo son realmente, los estadísticos son pequeños; un estadístico grande indica que hay más cointegración de la que supone \(H_0\). Ninguno de los dos sigue una distribución \(\chi^2\): sus valores críticos se obtienen por simulación (Johansen, 1988, p. 12) y dependen de \(n - r\) y de los términos determinísticos (Johansen, 2014, pp. 12-13).

Dónde están en la salida de R. En summary(ca.jo(...)):

  • Eigenvalues (lambda): los \(\hat\lambda_i\).
  • Values of teststatistic and critical values of test: una fila por cada hipótesis nula. La columna test es el estadístico y las columnas 10pct, 5pct y 1pct son los valores críticos.
  • Eigenvectors, normalised to first column: los vectores de cointegración \(\hat\beta\), uno por columna.
  • Weights W: la matriz de ajuste \(\hat\alpha\).

5.2 Criterio de decisión

La tabla se lee de abajo hacia arriba, empezando por la fila \(r = 0\):

  • Si test es mayor que el valor crítico al 5 %, se rechaza \(H_0\) y se pasa a la fila de arriba.
  • El procedimiento se detiene en la primera fila en la que test es menor que el valor crítico (no se rechaza \(H_0\)); el \(r\) de esa fila es el número estimado de vectores de cointegración.

5.3 Interpretación

  • No se rechaza \(r = 0\): no hay evidencia de relaciones de largo plazo; corresponde un VAR en primeras diferencias.
  • Se rechaza \(r = 0\) y no se rechaza \(r \leq 1\): hay una relación de equilibrio de largo plazo y el sistema se modela con un VECM.
  • En general, \(0 < r < n\): hay \(r\) relaciones de equilibrio entre las variables.
  • Se rechazan todas las hipótesis (\(r = n\)): las variables serían estacionarias en niveles, lo que contradice que sean \(I(1)\) y obliga a revisar las pruebas de raíz unitaria.

Antes de interpretar el rango conviene revisar que los residuos del modelo no tengan autocorrelación (Johansen, 2014, p. 10).

5.4 Ejemplo práctico: demanda de dinero en Dinamarca

Se usan los datos denmark de urca: series trimestrales de 1974:1 a 1987:3 (55 observaciones) con las que Johansen y Juselius (1990, como se citó en Pfaff, 2024a) estimaron una función de demanda de dinero para Dinamarca. Las variables son LRM (logaritmo del dinero real, M2), LRY (logaritmo del ingreso real), IBO (tasa de los bonos) e IDE (tasa de los depósitos bancarios).

data(denmark)
dk <- ts(denmark[, c("LRM", "LRY", "IBO", "IDE")], start = c(1974, 1), frequency = 4)
plot(dk, main = "Datos denmark (1974:1-1987:3)", xlab = "Año")

Paso 1: orden de integración. Se aplica la prueba ADF a cada serie, en niveles con tendencia y en diferencias con constante:

p_dk <- regla_montero(nrow(dk))
do.call(rbind, lapply(colnames(dk), function(v) rbind(
  resumen_adf(ur.df(dk[, v], type = "trend", lags = p_dk, selectlags = "AIC"), v, "Niveles, con tendencia"),
  resumen_adf(ur.df(diff(dk[, v]), type = "drift", lags = p_dk, selectlags = "AIC"), v, "Diferencias, con constante"))))
Serie Especificacion Rezagos Tau Critico_5 Decision_5
LRM Niveles, con tendencia 2 -1.704 -3.45 No se rechaza H0
LRM Diferencias, con constante 1 -2.984 -2.89 Se rechaza H0
LRY Niveles, con tendencia 1 -2.339 -3.45 No se rechaza H0
LRY Diferencias, con constante 1 -4.814 -2.89 Se rechaza H0
IBO Niveles, con tendencia 1 -2.013 -3.45 No se rechaza H0
IBO Diferencias, con constante 1 -4.379 -2.89 Se rechaza H0
IDE Niveles, con tendencia 1 -2.419 -3.45 No se rechaza H0
IDE Diferencias, con constante 1 -4.708 -2.89 Se rechaza H0

En niveles ninguna serie rechaza la raíz unitaria, y en diferencias las cuatro la rechazan al 5 %. Las cuatro series son \(I(1)\) y ninguna es \(I(2)\), como exige la prueba.

Paso 2: número de rezagos. Los datos son trimestrales, así que se incluyen dummies estacionales, como en el ejemplo de la documentación de ca.jo() (Pfaff, 2024a):

VARselect(dk, lag.max = 5, type = "const", season = 4)$selection
## AIC(n)  HQ(n)  SC(n) FPE(n) 
##      2      1      1      2

El AIC y el FPE eligen 2 rezagos, y el HQ y el SC eligen 1. Como ca.jo() exige \(K \geq 2\), se usa \(K = 2\).

Paso 3: prueba del máximo valor propio. Se sigue la especificación de la documentación del paquete: constante dentro de la relación de cointegración (ecdet = "const") y dummies estacionales.

jo_eigen <- ca.jo(dk, type = "eigen", ecdet = "const", K = 2, spec = "longrun", season = 4)
summary(jo_eigen)
## 
## ###################### 
## # Johansen-Procedure # 
## ###################### 
## 
## Test type: maximal eigenvalue statistic (lambda max) , without linear trend and constant in cointegration 
## 
## Eigenvalues (lambda):
## [1] 4.332e-01 1.776e-01 1.128e-01 4.341e-02 6.668e-16
## 
## Values of teststatistic and critical values of test:
## 
##           test 10pct  5pct  1pct
## r <= 3 |  2.35  7.52  9.24 12.97
## r <= 2 |  6.34 13.75 15.67 20.20
## r <= 1 | 10.36 19.77 22.00 26.81
## r = 0  | 30.09 25.56 28.14 33.24
## 
## Eigenvectors, normalised to first column:
## (These are the cointegration relations)
## 
##          LRM.l2 LRY.l2  IBO.l2  IDE.l2 constant
## LRM.l2    1.000  1.000  1.0000   1.000   1.0000
## LRY.l2   -1.033 -1.368 -3.2267  -1.884  -0.6337
## IBO.l2    5.207  0.243  0.5383  24.399   1.6966
## IDE.l2   -4.216  6.841 -5.6474 -14.298  -1.8952
## constant -6.060 -4.271  7.8964  -2.263  -8.0330
## 
## Weights W:
## (This is the loading matrix)
## 
##         LRM.l2    LRY.l2    IBO.l2     IDE.l2   constant
## LRM.d -0.21295 -0.004815  0.035011  2.029e-03  2.000e-13
## LRY.d  0.11502  0.019750  0.049938  1.109e-03 -2.480e-13
## IBO.d  0.02318 -0.010596  0.003480 -1.574e-03 -1.733e-14
## IDE.d  0.02941 -0.030229 -0.002812 -4.768e-05  9.676e-15

Paso 4: prueba de la traza. Con la misma especificación, solo se muestra la tabla de la prueba:

jo_traza <- ca.jo(dk, type = "trace", ecdet = "const", K = 2, spec = "longrun", season = 4)
cbind(test = round(jo_traza@teststat, 2), jo_traza@cval)
##           test 10pct  5pct  1pct
## r <= 3 |  2.35  7.52  9.24 12.97
## r <= 2 |  8.69 17.85 19.96 24.60
## r <= 1 | 19.06 32.00 34.91 41.07
## r = 0  | 49.14 49.65 53.12 60.16

Lectura de las dos tablas, de abajo hacia arriba:

  • Máximo valor propio. Para \(r = 0\), el estadístico (30.09) supera el valor crítico al 5 % (28.14), así que se rechaza que no haya cointegración; para \(r = 1\) (10.36 frente a 22.00) no se rechaza. El rango estimado es \(r = 1\): hay un vector de cointegración.
  • Traza. Para \(r = 0\), el estadístico (49.14) es menor que el valor crítico incluso al 10 % (49.65), así que no se rechaza la ausencia de cointegración, aunque queda cerca del límite.

Las dos pruebas no coinciden. Puede pasar porque contrastan alternativas distintas: el máximo valor propio se concentra en el primer valor propio, que aquí es claramente el más grande (0.433 frente a 0.178 del segundo), mientras que la traza lo suma con los demás, que son pequeños. Además, con pocas observaciones los resultados deben leerse con cautela (Johansen, 2014, p. 13).

Paso 5: el vector de cointegración. Con \(r = 1\) interesa la primera columna de los vectores propios, normalizada con LRM igual a 1:

beta1 <- jo_eigen@V[, 1] / jo_eigen@V[1, 1]
round(beta1, 3)
##   LRM.l2   LRY.l2   IBO.l2   IDE.l2 constant 
##    1.000   -1.033    5.207   -4.216   -6.060

Como \(\hat\beta' X_t\) es estacionario, la relación de largo plazo es

\[ LRM_t -1.033\, LRY_t +5.207\, IBO_t -4.216\, IDE_t -6.060 = u_t, \qquad u_t \sim I(0), \]

y, al despejar el dinero real,

\[ LRM_t \approx 1.033\, LRY_t -5.207\, IBO_t +4.216\, IDE_t +6.060 . \]

Tiene la forma de una función de demanda de dinero: la elasticidad ingreso de largo plazo es cercana a 1 (1.03), la tasa de los bonos (costo de oportunidad de mantener dinero) reduce la demanda y la tasa de los depósitos (rendimiento propio de M2) la aumenta. En la matriz Weights W, el coeficiente de ajuste de LRM es negativo (-0.213): cuando el dinero real está por encima de su nivel de equilibrio, tiende a bajar en el trimestre siguiente.

Conclusión del ejemplo. Hay evidencia de una relación de largo plazo entre dinero, ingreso y tasas de interés en Dinamarca, sostenida por la prueba del máximo valor propio al 5 %, con la traza en el límite. Por eso el resultado debe reportarse con esa reserva.

6 Causalidad en el sentido de Granger

6.1 Propósito de la prueba

La noción proviene de Granger (1969, como se citó en Hecq et al., 2023), quien propuso definiciones de causalidad que se pueden comprobar con datos. Según el propio autor, la causa ocurre antes que el efecto y contiene información única sobre él, de modo que ayuda a pronosticarlo aun después de usar toda la demás información (Granger, 2004, sec. “Causalidad”).

Se dice que \(x\) causa en el sentido de Granger a \(y\) si los valores pasados de \(x\) ayudan a predecir \(y\), además de lo que ya predicen los valores pasados de \(y\). Es un concepto de predictibilidad, no de causalidad en sentido fuerte: Granger la llamó “causalidad de Granger” para distinguirla de la causalidad verdadera (Granger, 2004, sec. “Causalidad”). Además, el resultado depende de las variables incluidas: si se omiten variables relacionadas, la causalidad encontrada puede ser un artefacto (Hecq et al., 2023, sec. 1).

6.2 Hipótesis de la prueba

Para probar si \(x\) causa a \(y\) se estima una regresión de \(y\) sobre sus propios rezagos y los de \(x\) (modelo no restringido):

\[ y_t = c + \sum_{i=1}^{p} a_i\, y_{t-i} + \sum_{i=1}^{p} b_i\, x_{t-i} + u_t . \]

Las hipótesis son:

\[ H_0:\ b_1 = b_2 = \dots = b_p = 0 \qquad (x \text{ no causa a } y \text{ en el sentido de Granger}) \]

\[ H_1:\ b_i \neq 0 \text{ para al menos un } i \qquad (x \text{ causa a } y \text{ en el sentido de Granger}) \]

Bajo \(H_0\) el modelo se reduce al modelo restringido, que solo tiene rezagos de \(y\):

\[ y_t = c + \sum_{i=1}^{p} a_i\, y_{t-i} + u_t . \]

Las \(p\) restricciones se prueban de forma conjunta con una prueba \(F\) (Stock y Watson, 2001, pp. 104-105). Para saber si \(y\) causa a \(x\) se intercambian los papeles: los dos sentidos se prueban por separado.

6.3 Implementación en R

Se usa la función grangertest() del paquete lmtest:

grangertest(formula, data = list(), order = 1)   # método con fórmula
grangertest(x, y, order = 1)                     # método por defecto
Argumento Descripción
formula Se escribe y ~ x y responde a la pregunta “¿x causa a y?”: a la izquierda va la variable que se quiere predecir y a la derecha la posible causa.
x, y En el método por defecto, las dos series; se prueba si x causa a y.
order Número \(p\) de rezagos, que se aplica a las dos variables.
data data.frame u objeto ts con las variables.

La función compara el modelo no restringido con el restringido mediante una prueba de Wald, y solo admite series bivariadas (Hothorn et al., 2022).

6.4 Estadístico de prueba

El estadístico es una \(F\) para las \(p\) restricciones:

\[ F = \frac{\left(SCR_R - SCR_{NR}\right)/p}{SCR_{NR}/(n - 2p - 1)} \;\sim\; F_{(p,\ n - 2p - 1)} \quad \text{bajo } H_0 , \]

donde \(SCR_R\) y \(SCR_{NR}\) son las sumas de cuadrados de los residuos de los modelos restringido y no restringido, y \(n\) es el número de observaciones usadas. Si el pasado de \(x\) no aporta nada, las dos sumas son parecidas y \(F\) es pequeño.

En la salida de grangertest(), Model 1 es el no restringido y Model 2 el restringido; la columna F es el estadístico y Pr(>F) su p-valor.

6.5 Criterio de decisión

Con un nivel de significancia del 5 %:

  • Si Pr(>F) \(< 0.05\), se rechaza \(H_0\).
  • Si Pr(>F) \(\geq 0.05\), no se rechaza \(H_0\).

6.6 Interpretación

  • Se rechaza \(H_0\): el pasado de \(x\) aporta información para predecir \(y\); se dice que \(x\) causa a \(y\) en el sentido de Granger.
  • No se rechaza \(H_0\): no hay evidencia de que el pasado de \(x\) ayude a predecir \(y\) con esos datos y ese número de rezagos.
  • Siempre hay que probar las dos direcciones: la causalidad puede ir en un solo sentido, en los dos (retroalimentación) o en ninguno.

Cuidado con la no estacionariedad. Con series \(I(1)\) o cointegradas, la prueba no tiene la distribución habitual (Hecq et al., 2023, sec. 2.1). Por eso primero se determina el orden de integración de las series:

Caso Cómo se prueba la causalidad
Todas las series \(I(0)\) Regresión en niveles y prueba \(F\)
Series \(I(1)\) no cointegradas Regresión en primeras diferencias
Series \(I(1)\) cointegradas VECM; la causalidad también pasa por el término de corrección de errores
Orden de integración dudoso Procedimiento de Toda y Yamamoto (1995, como se citó en Hecq et al., 2023), con rezagos adicionales

6.7 Ejemplo práctico: ¿qué fue primero, el huevo o la gallina?

Se usan los datos ChickEgg de lmtest: población de gallinas y producción de huevos de Estados Unidos (en millones de docenas), anual, de 1930 a 1983.

data(ChickEgg)
ce <- ts(ChickEgg, start = 1930)
plot(ce, main = "ChickEgg: gallinas y huevos en Estados Unidos, 1930-1983", xlab = "Año")

Paso 1: orden de integración.

p_ce <- regla_montero(nrow(ce))
do.call(rbind, lapply(colnames(ce), function(v) rbind(
  resumen_adf(ur.df(ce[, v], type = "trend", lags = p_ce, selectlags = "AIC"), v, "Niveles, con tendencia"),
  resumen_adf(ur.df(diff(ce[, v]), type = "drift", lags = p_ce, selectlags = "AIC"), v, "Diferencias, con constante"))))
Serie Especificacion Rezagos Tau Critico_5 Decision_5
chicken Niveles, con tendencia 2 -2.515 -3.45 No se rechaza H0
chicken Diferencias, con constante 1 -4.255 -2.89 Se rechaza H0
egg Niveles, con tendencia 1 -1.837 -3.45 No se rechaza H0
egg Diferencias, con constante 1 -4.096 -2.89 Se rechaza H0

Las dos series tienen raíz unitaria en niveles y son estacionarias en diferencias: son \(I(1)\). Por eso la prueba se aplica sobre las primeras diferencias.

Paso 2: la prueba de Granger en las dos direcciones, con 3 rezagos, como en el ejemplo de la documentación del paquete (Hothorn et al., 2022):

dce <- diff(ce)

# ¿Las gallinas causan (en el sentido de Granger) a los huevos?
g_gallinas_huevos <- grangertest(egg ~ chicken, order = 3, data = dce)
g_gallinas_huevos
Res.Df Df F Pr(>F)
43 NA NA NA
46 -3 0.2245 0.8788 
# ¿Los huevos causan (en el sentido de Granger) a las gallinas?
g_huevos_gallinas <- grangertest(chicken ~ egg, order = 3, data = dce)
g_huevos_gallinas
Res.Df Df F Pr(>F)
43 NA NA NA
46 -3 2.932 0.0441
  • En egg ~ chicken, \(F = 0.225\) y Pr(>F) \(= 0.879\). Como el p-valor es mayor que 0.05, no se rechaza \(H_0\): no hay evidencia de que las gallinas ayuden a predecir los huevos.
  • En chicken ~ egg, \(F = 2.932\) y Pr(>F) \(= 0.044\). Es menor que 0.05, así que se rechaza \(H_0\): los huevos ayudan a predecir a las gallinas.

Paso 3: sensibilidad al número de rezagos.

do.call(rbind, lapply(1:4, function(o) data.frame(
  Rezagos = o,
  p_gallinas_causan_huevos = round(grangertest(egg ~ chicken, order = o, data = dce)[2, "Pr(>F)"], 4),
  p_huevos_causan_gallinas = round(grangertest(chicken ~ egg, order = o, data = dce)[2, "Pr(>F)"], 4))))
Rezagos p_gallinas_causan_huevos p_huevos_causan_gallinas
1 0.4646 0.0023
2 0.6816 0.0268
3 0.8788 0.0441
4 0.8881 0.0064

Con 1 a 4 rezagos, el p-valor de “las gallinas causan a los huevos” es alto y el de “los huevos causan a las gallinas” es menor que 0.05: la conclusión no depende del número de rezagos.

Conclusión del ejemplo. La causalidad en el sentido de Granger va de los huevos a las gallinas y no al revés: el pasado de la producción de huevos ayuda a predecir la población de gallinas, pero no a la inversa. En ese sentido predictivo, “el huevo fue primero”. Como se trata de predictibilidad, el resultado no dice nada sobre mecanismos biológicos o económicos.

7 Conclusiones

  1. Dickey-Fuller. La prueba contrasta \(H_0\): raíz unitaria contra \(H_1\): estacionariedad con el estadístico \(\tau\), que no sigue una \(t\) de Student y se compara con valores críticos propios. En R se usa ur.df() o adf.test(). El precio del Bitcoin y el PIB per cápita de El Salvador tienen raíz unitaria en niveles, y el PIB es \(I(1)\).
  2. Johansen. La prueba determina cuántas relaciones de largo plazo hay entre varias series \(I(1)\), con los estadísticos de la traza y del máximo valor propio aplicados de forma secuencial desde \(r = 0\). En R se usa ca.jo(). En los datos de Dinamarca, el máximo valor propio indica una relación de cointegración con la forma de una demanda de dinero, aunque la traza queda en el límite.
  3. Granger. La prueba contrasta con un estadístico \(F\) si los rezagos de una variable mejoran la predicción de otra. En R se usa grangertest(). En el ejemplo, la producción de huevos ayuda a predecir la población de gallinas y no al revés. Es causalidad predictiva, no estructural.
  4. Relación entre las tres pruebas. Dickey-Fuller determina el orden de integración de cada serie; Johansen, si las series integradas comparten una relación de largo plazo; y Granger, en qué dirección hay capacidad de predicción. El orden de integración condiciona cómo se aplican las otras dos pruebas.

Referencias

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Gujarati, D. N., & Porter, D. C. (2010). Econometría (5.ª ed.). McGraw-Hill.

Hecq, A., Margaritella, L., & Smeekes, S. (2023). Inference in non-stationary high-dimensional VARs (arXiv:2302.01434v2). arXiv. https://arxiv.org/abs/2302.01434

Hothorn, T., Zeileis, A., Farebrother, R. W., & Cummins, C. (2022). lmtest: Testing linear regression models (Versión 0.9-40) [Paquete de R]. https://CRAN.R-project.org/package=lmtest

Hyndman, R. J., & Athanasopoulos, G. (2021). Forecasting: Principles and practice (3.ª ed.). OTexts. https://otexts.com/fpp3/

Johansen, S. (1988). Statistical analysis of cointegration vectors. Journal of Economic Dynamics and Control, 12(2-3), 231-254. https://doi.org/10.1016/0165-1889(88)90041-3 (Se consultó el preprint de 1987 de la Universidad de Copenhague; las páginas citadas corresponden a esa versión).

Johansen, S. (1991). Estimation and hypothesis testing of cointegration vectors in Gaussian vector autoregressive models. Econometrica, 59(6), 1551-1580. https://doi.org/10.2307/2938278 (Se consultó el preprint de 1989 de la Universidad de Copenhague).

Johansen, S. (2014). Times series: Cointegration (Discussion Paper No. 14-24). Department of Economics, University of Copenhagen. https://www.economics.ku.dk/research/publications/wp/dp_2014/1424.pdf

MacKinnon, J. G. (2010). Critical values for cointegration tests (Queen’s Economics Department Working Paper No. 1227). Queen’s University. https://doi.org/10.22004/ag.econ.273723

Montero, R. (2013). Variables no estacionarias y cointegración (Documentos de Trabajo en Economía Aplicada). Universidad de Granada.

Pfaff, B. (2024a). urca: Unit root and cointegration tests for time series data (Versión 1.3-4) [Paquete de R]. https://CRAN.R-project.org/package=urca

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Real Academia Sueca de Ciencias. (2003). Time-series econometrics: Cointegration and autoregressive conditional heteroskedasticity [Información avanzada sobre el Premio de Ciencias Económicas 2003]. https://www.nobelprize.org/prizes/economic-sciences/2003/advanced-information/

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Trapletti, A., & Hornik, K. (2026). tseries: Time series analysis and computational finance (Versión 0.10-63) [Paquete de R]. https://CRAN.R-project.org/package=tseries

## R 4.6.1 | urca 1.3.4 | vars 1.6.1 | lmtest 0.9.40 | tseries 0.10.63