Plan Especial de Actividades de Superación en Matemáticas - Grado 11°

Guía de Aprendizaje y Solucionario Didáctico Paso a Paso

Esta guía fue elaborada minuciosamente para explicar cada uno de los 20 puntos del taller de superación. Cada ejercicio contiene una explicación previa de los conceptos teóricos básicos, el paso a paso detallado del procedimiento algebraico y la justificación del resultado, pensando en lograr una comprensión clara, accesible y rigurosa.

Bloque 1: Números Reales, Conjuntos Numéricos y Operaciones Básicas (Puntos 1 a 7)

Conceptos Clave para Entender este Bloque

Números Naturales (\(\mathbb{N}\)): Son los números para contar: \(1, 2, 3, 4, \dots\) (todos positivos y enteros).
Números Enteros (\(\mathbb{Z}\)): Incluyen los naturales, sus opuestos negativos y el cero: \(\dots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \dots\)
Números Racionales (\(\mathbb{Q}\)): Son todos aquellos números que se pueden expresar como una fracción \(\frac{a}{b}\), donde \(a\) y \(b\) son números enteros y \(b \neq 0\). Incluyen enteros, decimales finitos y decimales periódicos.
Números Irracionales (\(\mathbb{I}\) o \(\mathbb{Q}'\)): Son aquellos números que no se pueden escribir como una fracción de enteros. Tienen infinitas cifras decimales no periódicas (ejemplos: \(\pi\), \(e\), \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{5}\)).
Números Reales (\(\mathbb{R}\)): Es la unión de los racionales y los irracionales (\(\mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \mathbb{Q}'\)).

Punto 1: Determinación de Verdad o Falsedad con Justificación

1.1 “Todo número irracional no puede escribirse de la forma \(a/b\).”

Respuesta: Verdadera.
Explicación paso a paso: Por definición matemática fundamental, un número es irracional precisamente si su representación decimal es infinita y no periódica. Si pudiera escribirse en la forma de fracción \(\frac{a}{b}\) (con \(a, b \in \mathbb{Z}\) y \(b \neq 0\)), por definición se convertiría en un número racional (\(\mathbb{Q}\)). Por lo tanto, los irracionales nunca admiten una representación en forma de cociente de enteros.

1.2 “El conjunto de los números racionales es un subconjunto de los números naturales.”

Respuesta: Falsa.
Explicación paso a paso: Es al revés. Los números naturales (\(\mathbb{N}\)) son un subconjunto de los números racionales (\(\mathbb{Q}\)), es decir, \(\mathbb{N} \subset \mathbb{Q}\). Todo número natural se puede escribir como racional (por ejemplo, el \(3\) se puede escribir como \(\frac{3}{1}\)). Sin embargo, no todo racional es natural (por ejemplo, \(\frac{1}{2} = 0.5\) o los números negativos como \(-\frac{3}{4}\) son racionales pero no son naturales).

1.3 “Un terreno rectangular mide 12 m de largo y 6 m de ancho. La medida de la diagonal del terreno corresponde a un número racional.”

Respuesta: Falsa.
Explicación paso a paso:
1. Para hallar la diagonal (\(d\)) de un rectángulo de largo \(l = 12\text{ m}\) y ancho \(a = 6\text{ m}\), aplicamos el Teorema de Pitágoras: \[d^2 = l^2 + a^2\]
2. Sustituimos los valores dados: \[d^2 = 12^2 + 6^2 = 144 + 36 = 180\]
3. Despejamos la diagonal sacando raíz cuadrada en ambos lados: \[d = \sqrt{180}\]
4. Simplificamos el radical factorizando \(180\): \[180 = 36 \times 5 \implies \sqrt{180} = \sqrt{36} \times \sqrt{5} = 6\sqrt{5}\text{ m}\]
5. Como \(\sqrt{5}\) es una raíz no exacta (un decimal infinito no periódico), \(6\sqrt{5} \approx 13.41640786\dots\) es un número irracional, no racional. Por ello, la afirmación dada es falsa.

Punto 2: Conversión de Decimales a Fracciones Irreducibles

Concepto previo:

Decimal finito: Se divide el número sin coma entre \(10, 100, 1000\dots\) según las cifras decimales.
Decimal periódico puro: Se toma el número sin coma menos la parte entera, y se divide entre tantos \(9\) como cifras tenga el período.

a. Convertir \(2,72\) a fracción

Es un decimal finito con 2 cifras decimales.
Escribimos en el numerador el número completo sin coma (\(272\)) y en el denominador la unidad seguida de dos ceros (\(100\)): \[\frac{272}{100}\]
Simplificamos dividiendo numerador y denominador entre \(4\): \[\frac{272 \div 4}{100 \div 4} = \frac{68}{25}\]

Resultado final: \(\mathbf{\frac{68}{25}}\)

b. Convertir \(3,\overline{95816}\) (Periódico puro)

Es un decimal periódico donde la parte entera es \(3\) y el período es \(95816\) (5 cifras periódicas).
Aplicamos la fórmula: \[\text{Fracción} = \frac{\text{Número completo sin coma} - \text{Parte no periódica}}{\text{Tantos 9 como cifras tenga el período}}\] \[\text{Fracción} = \frac{395816 - 3}{99999} = \frac{395813}{99999}\]
Verificamos simplificación: la suma de dígitos del numerador es \(3+9+5+8+1+3 = 29\) (no es divisible por 3 ni 9).

Resultado final: \(\mathbf{\frac{395813}{99999}}\)

c. Convertir \(9,\overline{45}\) (Periódico puro)

Parte entera \(9\), período \(45\) (2 cifras periódicas).
Aplicamos la fórmula: \[\text{Fracción} = \frac{945 - 9}{99} = \frac{936}{99}\]
Simplificamos dividiendo entre \(9\): \[\frac{936 \div 9}{99 \div 9} = \frac{104}{11}\]

Resultado final: \(\mathbf{\frac{104}{11}}\)

Punto 3: Solución de la Ecuación Racional

Planteamiento original: \[\frac{7}{3x + \frac{1}{2}} = \frac{3x + \frac{3}{4}}{-\frac{5}{6}x}\]

Pasos detallados:

Simplificamos los denominadores y numeradores:
- En el lado izquierdo, el denominador es \(3x + \frac{1}{2} = \frac{6x + 1}{2}\).
- En el lado derecho, el numerador es \(3x + \frac{3}{4} = \frac{12x + 3}{4}\).
Reorganizamos la ecuación aplicando la propiedad del cociente: \[\frac{7}{\frac{6x + 1}{2}} = \frac{7 \cdot 2}{6x + 1} = \frac{14}{6x + 1}\] \[\frac{\frac{12x + 3}{4}}{-\frac{5x}{6}} = \frac{(12x + 3) \cdot 6}{4 \cdot (-5x)} = \frac{72x + 18}{-20x} = \frac{36x + 9}{-10x}\]
Igualamos las dos fracciones simplificadas: \[\frac{14}{6x + 1} = \frac{36x + 9}{-10x}\]
Multiplicamos en cruz para eliminar los denominadores: \[14 \cdot (-10x) = (36x + 9)(6x + 1)\] \[-140x = 216x^2 + 36x + 54x + 9\] \[-140x = 216x^2 + 90x + 9\]
Igualamos la ecuación cuadrática a cero: \[216x^2 + 90x + 140x + 9 = 0\] \[216x^2 + 230x + 9 = 0\]
Aplicamos la fórmula cuadrática general \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\) con \(a=216\), \(b=230\), \(c=9\): \[b^2 - 4ac = 230^2 - 4(216)(9) = 52900 - 7776 = 45124\] \[\sqrt{45124} = 212.424\] \[x_1 = \frac{-230 + 212.424}{432} \approx \frac{-17.576}{432} \approx -0.0407\] \[x_2 = \frac{-230 - 212.424}{432} = \frac{-442.424}{432} \approx -1.0241\]

Resultado final: Las soluciones de la ecuación son \(x \approx -0.0407\) y \(x \approx -1.0241\).

Punto 4: Distancia Recorrida en la Piscina Olímpica

Problema:

Una piscina mide \(50\text{ m}\) de largo y \(25\text{ m}\) de ancho. Un nadador la recorre en diagonal. ¿Qué distancia recorre y la medida obtenida es racional o irracional?

Pasos detallados:

La trayectoria diagonal forma un triángulo rectángulo donde los catetos son \(a = 50\text{ m}\) y \(b = 25\text{ m}\), y la hipotenusa es la diagonal \(d\).
Aplicamos el Teorema de Pitágoras: \[d = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{50^2 + 25^2}\] \[d = \sqrt{2500 + 625} = \sqrt{3125}\]
Simplificamos el radical factorizando en primos: \[3125 = 625 \times 5 = 25^2 \times 5 \implies d = 25\sqrt{5}\text{ m}\]
En valor decimal aproximado: \[d \approx 25 \times 2.236067977\dots \approx 55.9017\text{ m}\]
Clasificación del número: Puesto que \(\sqrt{5}\) es un radical no exacto con decimales infinitos no periódicos, el resultado \(25\sqrt{5}\) es un número irracional.

Respuesta final: El nadador recorre \(\mathbf{25\sqrt{5}\text{ m} \approx 55.90\text{ m}}\), y esta medida corresponde a un número irracional.

Punto 5: Radio de una Esfera de Área Conocida

Problema:

La relación entre el radio \(r\) y su área total \(A\) es \(r = \left(\frac{1}{4\pi} A\right)^{1/2} = \sqrt{\frac{A}{4\pi}}\). ¿Cuál es el radio si el área total es \(A = 64\pi\) unidades cuadradas?

Pasos detallados:

Sustituimos el valor del área \(A = 64\pi\) en la fórmula dada: \[r = \sqrt{\frac{64\pi}{4\pi}}\]
Cancelamos la constante \(\pi\) en el numerador y denominador: \[r = \sqrt{\frac{64}{4}}\]
Efectuamos la división simple dentro de la raíz: \[r = \sqrt{16}\]
Calculamos la raíz cuadrada exacta: \[r = 4\text{ unidades}\]

Respuesta final: El radio de la esfera es de \(\mathbf{4\text{ unidades}}\).

Punto 6: Notación Científica y Propiedades de Potenciación

Operación dada:

\[\frac{73.1 \times (1.64 \times 10^{28})}{0.0000000019}\]

Pasos detallados:

Expresamos todos los números en notación científica (\(a \times 10^k\), con \(1 \leq a < 10\)):
- \(73.1 = 7.31 \times 10^1\)
- \(1.64 \times 10^{28}\) (ya está en notación científica)
- \(0.0000000019 = 1.9 \times 10^{-9}\) (rodamos la coma 9 lugares a la derecha).
Reemplazamos en la expresión original: \[\frac{(7.31 \times 10^1) \times (1.64 \times 10^{28})}{1.9 \times 10^{-9}}\]
Separamos los coeficientes numéricos de las potencias de 10: \[\text{Coeficiente} = \frac{7.31 \times 1.64}{1.9} = \frac{11.9884}{1.9} \approx 6.309684\]
Operamos las potencias de 10 aplicando las reglas de exponentes (\(10^a \cdot 10^b = 10^{a+b}\) y \(\frac{10^m}{10^n} = 10^{m-n}\)): \[\text{Numerador} = 10^1 \times 10^{28} = 10^{29}\] \[\text{División con denominador} = \frac{10^{29}}{10^{-9}} = 10^{29 - (-9)} = 10^{29 + 9} = 10^{38}\]
Unimos el coeficiente y la potencia redondeando a 2 decimales: \[6.31 \times 10^{38}\]

Respuesta final: \(\mathbf{6.31 \times 10^{38}}\)

Punto 7: Problema de Conjuntos y Diagrama de Venn (Encuesta de Juguetes)

Datos iniciales del problema:

Total de niños encuestados (\(N\)) = \(156\)
Niños a los que les gusta el Balón (\(B\)) = \(63\)
Niños a los que les gusta los Carritos (\(C\)) = \(60\)
Niños a los que les gusta los Videojuegos (\(V\)) = \(85\)
Coincidencias en dos o tres juguetes:
- Balón y Carritos (\(B \cap C\)) = \(23\)
- Carritos y Videojuegos (\(C \cap V\)) = \(36\)
- Balón y Videojuegos (\(B \cap V\)) = \(32\)
- Los tres juguetes (\(B \cap C \cap V\)) = \(7\)

Construcción del Diagrama de Venn (de adentro hacia afuera):

Intersección triple (los tres juguetes): \[\text{Solo } B \cap C \cap V = 7\]
Intersecciones dobles exclusivas:
- Solo Balón y Carritos: \(23 - 7 = 16\)
- Solo Carritos y Videojuegos: \(36 - 7 = 29\)
- Solo Balón y Videojuegos: \(32 - 7 = 25\)
Solo un juguete:
- Solo Balón: \(63 - (16 + 25 + 7) = 63 - 48 = 15\)
- Solo Carritos: \(60 - (16 + 29 + 7) = 60 - 52 = 8\)
- Solo Videojuegos: \(85 - (25 + 29 + 7) = 85 - 61 = 24\)
Suma de niños a los que les gusta al menos uno de los tres juguetes: \[\text{Total que les gusta al menos 1} = 15 + 8 + 24 + 16 + 29 + 25 + 7 = 124\text{ niños}\]

Respuestas a las preguntas formuladas:

¿A cuántos niños les gusta otro juguete no mencionado en la encuesta? \[\text{Otros juguetes} = \text{Total encuestados} - \text{Total al menos uno} = 156 - 124 = \mathbf{32\text{ niños}}\]
¿A cuántos niños les gusta solamente jugar con los videojuegos? \[\text{Solo videojuegos} = \mathbf{24\text{ niños}}\]
¿A cuántos niños les gusta solamente jugar con el balón? \[\text{Solo balón} = \mathbf{15\text{ niños}}\]

Bloque 2: Intervalos, Operaciones de Conjuntos e Inecuaciones (Puntos 8 a 10)

Conceptos Clave para Entender este Bloque

Intervalo abierto \((a, b)\): No incluye los extremos. Se representa con círculos abiertos en el gráfico y desigualdades estrictas (\(<\) o \(>\)).
Intervalo cerrado \([a, b]\): Sí incluye los extremos. Se representa con círculos rellenos y desigualdades no estrictas (\(\leq\) o \(\geq\)).
Unión (\(A \cup B\)): Todos los elementos que pertenecen a \(A\), a \(B\) o a ambos.
Intersección (\(A \cap B\)): Solo los elementos comunes que pertenecen al mismo tiempo a \(A\) y a \(B\).
Diferencia (\(A - B\)): Los elementos que están en \(A\) pero NO están en \(B\).
Complemento (\(A'\)): Todos los elementos de la recta real \(\mathbb{R}\) que NO están en \(A\).
Regla de oro de inecuaciones: Si se multiplica o divide ambos lados de una inecuación por un número negativo, el sentido de la desigualdad se invierte (de \(<\) pasa a \(>\), de \(\leq\) a \(\geq\)).

Punto 8: Identificación de Intervalos y Operaciones de Conjuntos

Definición de los tres intervalos según las rectas dadas:

Recta A: Círculo abierto en \(-4\) y círculo abierto en \(7\).
- Notación de intervalo: \(A = (-4, 7)\)
- Notación de conjunto: \(A = \{x \in \mathbb{R} \mid -4 < x < 7\}\)
Recta B: Círculo cerrado en \(2\) y se extiende hacia la derecha hasta \(+\infty\).
- Notación de intervalo: \(B = [2, \infty)\)
- Notación de conjunto: \(B = \{x \in \mathbb{R} \mid x \geq 2\}\)
Recta C: Círculo cerrado en \(-6\) y círculo abierto en \(5\).
- Notación de intervalo: \(C = [-6, 5)\)
- Notación de conjunto: \(C = \{x \in \mathbb{R} \mid -6 \leq x < 5\}\)

Desarrollo paso a paso de las 12 operaciones:

\(A \cup B\): Unión de \((-4, 7)\) y \([2, \infty)\).
- Cubre desde \(-4\) hasta \(+\infty\).
- Resultado: \(\mathbf{(-4, \infty)}\)
\(B \cup C\): Unión de \([2, \infty)\) y \([-6, 5)\).
- Cubre desde \(-6\) hasta \(+\infty\).
- Resultado: \(\mathbf{[-6, \infty)}\)
\(A \cup C\): Unión de \((-4, 7)\) y \([-6, 5)\).
- Cubre desde \(-6\) hasta \(7\).
- Resultado: \(\mathbf{[-6, 7)}\)
\(A - B\): Elementos en \((-4, 7)\) quitando los que están en \([2, \infty)\).
- Queda desde \(-4\) hasta \(2\) (abierto en 2 porque el 2 se quita al estar en B).
- Resultado: \(\mathbf{(-4, 2)}\)
\(A - C\): Elementos en \((-4, 7)\) quitando los de \([-6, 5)\).
- Queda desde \(5\) hasta \(7\) (cerrado en 5 porque el 5 no estaba en C, por lo que no se quitó).
- Resultado: \(\mathbf{[5, 7)}\)
\(B - C\): Elementos en \([2, \infty)\) quitando los de \([-6, 5)\).
- Queda desde \(5\) hasta \(+\infty\).
- Resultado: \(\mathbf{[5, \infty)}\)
\(A \cap C\): Intersección entre \((-4, 7)\) y \([-6, 5)\).
- La zona compartida va de \(-4\) a \(5\).
- Resultado: \(\mathbf{(-4, 5)}\)
\(B \cap C\): Intersección entre \([2, \infty)\) y \([-6, 5)\).
- La zona compartida va de \(2\) a \(5\).
- Resultado: \(\mathbf{[2, 5)}\)
\(A \cap B\): Intersección entre \((-4, 7)\) y \([2, \infty)\).
- La zona compartida va de \(2\) a \(7\).
- Resultado: \(\mathbf{[2, 7)}\)
\(A' - B\): Complemento de \(A\) es \(A' = (-\infty, -4] \cup [7, \infty)\).
- Le quitamos \(B = [2, \infty)\), lo cual elimina la parte \([7, \infty)\).
- Resultado: \(\mathbf{(-\infty, -4]}\)
\(C' - B\): Complemento de \(C\) es \(C' = (-\infty, -6) \cup [5, \infty)\).
- Le quitamos \(B = [2, \infty)\), lo cual elimina la parte \([5, \infty)\).
- Resultado: \(\mathbf{(-\infty, -6)}\)
\(A' - C'\): Quitamos a \(A'\) los elementos de \(C'\).
- Queda la franja entre \(-6\) y \(-4\).
- Resultado: \(\mathbf{[-6, -4]}\)

Punto 9: Solución de Inecuaciones Detallada

a. \(2x - 3(2x - 1) \geq 8x + 7\)

Aplicamos propiedad distributiva destruyendo el paréntesis: \[2x - 6x + 3 \geq 8x + 7\]
Agrupamos términos semejantes: \[-4x + 3 \geq 8x + 7\]
Trasponemos las \(x\) a la izquierda y constantes a la derecha: \[-4x - 8x \geq 7 - 3 \implies -12x \geq 4\]
Dividimos entre \(-12\) e invertimos la desigualdad: \[x \leq \frac{4}{-12} \implies x \leq -\frac{1}{3}\]

Solución en Intervalo: \(\mathbf{(-\infty, -1/3]}\)

b. \(\frac{2x-3}{8} - \frac{5x-3}{2} < \frac{3x}{4}\)

Hallamos el MCM de los denominadores \(8, 2, 4\), que es \(8\). Multiplicamos toda la inecuación por \(8\): \[8 \cdot \left(\frac{2x-3}{8}\right) - 8 \cdot \left(\frac{5x-3}{2}\right) < 8 \cdot \left(\frac{3x}{4}\right)\] \[(2x - 3) - 4(5x - 3) < 2(3x)\]
Destruimos paréntesis: \[2x - 3 - 20x + 12 < 6x \implies -18x + 9 < 6x\]
Despejamos \(x\): \[-18x - 6x < -9 \implies -24x < -9\]
Dividimos entre \(-24\) e invertimos el signo de la desigualdad: \[x > \frac{-9}{-24} \implies x > \frac{3}{8}\]

Solución en Intervalo: \(\mathbf{(3/8, \infty)}\)

c. \(-7 \leq \frac{2 - 5x}{8} < 1\)

Multiplicamos todos los tres miembros por \(8\): \[-56 \leq 2 - 5x < 8\]
Restamos \(2\) a cada miembro: \[-56 - 2 \leq -5x < 8 - 2 \implies -58 \leq -5x < 6\]
Dividimos entre \(-5\) e invertimos el sentido de ambas desigualdades: \[\frac{-58}{-5} \geq x > \frac{6}{-5} \implies \frac{58}{5} \geq x > -\frac{6}{5}\]
Reordenamos de menor a mayor: \[-\frac{6}{5} < x \leq \frac{58}{5}\]

Solución en Intervalo: \(\mathbf{(-6/5, 58/5]}\)

d. \(\frac{x^2 - 5x - 6}{3x + 2} \geq 0\)

Factorizamos el numerador (dos números que multiplicados den \(-6\) y sumados den \(-5\)): \[x^2 - 5x - 6 = (x - 6)(x + 1)\] \[\frac{(x - 6)(x + 1)}{3x + 2} \geq 0\]
Determinamos los puntos críticos donde cada factor vale 0:
- \(x - 6 = 0 \implies x = 6\)
- \(x + 1 = 0 \implies x = -1\)
- \(3x + 2 = 0 \implies x = -2/3\) (nota: el denominador no puede ser 0, por lo que \(-2/3\) será abierto).
Construimos la tabla de signos evaluando en los cuatro intervalos generados por los puntos críticos (\(-1, -2/3, 6\)):
- Intervalo \((-\infty, -1)\): \((-) \cdot (-) / (-) = (-)\)
- Intervalo \([-1, -2/3)\): \((-) \cdot (+) / (-) = (+)\)
- Intervalo \((-2/3, 6]\): \((-) \cdot (+) / (+) = (-)\)
- Intervalo \([6, \infty)\): \((+) \cdot (+) / (+) = (+)\)
Tomamos las zonas positivas \((\geq 0)\):

Solución en Intervalo: \(\mathbf{[-1, -2/3) \cup [6, \infty)}\)

e. \(|5x + 2| < 2\)

Aplicamos la propiedad del valor absoluto \(|u| < a \iff -a < u < a\): \[-2 < 5x + 2 < 2\]
Restamos \(2\) en todos los miembros: \[-4 < 5x < 0\]
Dividimos entre \(5\): \[-\frac{4}{5} < x < 0\]

Solución en Intervalo: \(\mathbf{(-4/5, 0)}\)

f. \(3(x - 1) - |2x| > 1\)

Analizamos según el signo del argumento dentro del valor absoluto (\(2x\)):
- Caso 1: \(x \geq 0\), entonces \(|2x| = 2x\): \[3(x - 1) - 2x > 1 \implies 3x - 3 - 2x > 1 \implies x > 4\] Como \(x > 4\) cumple \(x \geq 0\), el intervalo es \((4, \infty)\).
- Caso 2: \(x < 0\), entonces \(|2x| = -2x\): \[3(x - 1) - (-2x) > 1 \implies 3x - 3 + 2x > 1 \implies 5x > 4 \implies x > 4/5\] Pero estábamos en el supuesto \(x < 0\), y \(4/5\) no es menor que 0. Por tanto, este caso no aporta soluciones.

Solución en Intervalo: \(\mathbf{(4, \infty)}\)

Punto 10: Situación Problema de Inecuaciones (Gira Musical)

Problema:

Una banda musical realizó una gira por tres ciudades y logró reunir al menos \(120.000\) espectadores en total. En la primera ciudad tuvo \(45.000\) personas y en la segunda \(33.000\). ¿Cuántas personas asistieron como mínimo al concierto en la tercera ciudad?

Pasos detallados:

Definimos la variable \(x\) como el número de asistentes en la tercera ciudad.
Planteamos la inecuación según la condición “al menos” (\(\geq\)): \[\text{Asistencia Ciudad 1} + \text{Asistencia Ciudad 2} + \text{Asistencia Ciudad 3} \geq 120.000\] \[45.000 + 33.000 + x \geq 120.000\]
Sumamos los datos conocidos de la primera y segunda ciudad: \[78.000 + x \geq 120.000\]
Despejamos \(x\) restando \(78.000\) en ambos lados: \[x \geq 120.000 - 78.000 \implies x \geq 42.000\]

Respuesta final: Al concierto de la tercera ciudad asistieron como mínimo \(\mathbf{42.000}\) personas.

Bloque 3: Análisis de Funciones Reales y Asíntotas (Puntos 11 a 13)

Conceptos Clave para Entender este Bloque

Dominio (\(\text{Dom } f\)): Conjunto de todos los valores de \(x\) para los cuales la función existe y está bien definida.
Rango o Recorrido (\(\text{Ran } f\)): Conjunto de valores de \(y\) que adopta la función.
Cortes con los ejes:
- Corte con Eje Y: Hacer \(x = 0\).
- Corte con Eje X: Hacer \(f(x) = 0\) y despejar \(x\).
Asíntotas:
- Vertical (A.V.): Línea vertical \(x = a\) donde el denominador de una función racional se hace cero.
- Horizontal (A.H.): Línea horizontal \(y = c\) a la que se aproxima la función cuando \(x \to \pm\infty\).
- Oblicua (A.O.): Línea inclinada \(y = mx + b\) cuando el grado del numerador es exactamente 1 unidad mayor que el del denominador.

Punto 11: Interpretación Analítica Completa de 8 Funciones

a. \(f(x) = -|4x - 3|\)

Dominio: \(\mathbb{R}\) (no hay restricciones de raíz o denominador).
Rango: \((-\infty, 0]\) (el valor absoluto siempre es positivo o cero, pero al tener el signo menos afuera, la gráfica abre hacia abajo).
Corte con Eje Y: \(f(0) = -|4(0) - 3| = -|-3| = -3 \implies (0, -3)\).
Corte con Eje X: \(-|4x - 3| = 0 \implies 4x = 3 \implies x = 3/4 \implies (3/4, 0)\).
Monotonía: Creciente en \((-\infty, 3/4]\) y decreciente en \([3/4, \infty)\).
Asíntotas: No tiene.

b. \(f(x) = 2x^2 + 5x - 3\) (Parábola)

Dominio: \(\mathbb{R}\).
Vértice: \(x_v = \frac{-b}{2a} = \frac{-5}{2(2)} = -\frac{5}{4} = -1.25\). \[y_v = f(-1.25) = 2(-1.25)^2 + 5(-1.25) - 3 = 3.125 - 6.25 - 3 = -6.125\]
Rango: \([-6.125, \infty)\).
Cortes Eje X: \(2x^2 + 5x - 3 = 0 \implies (2x - 1)(x + 3) = 0 \implies x = 1/2\) y \(x = -3\). Puntos: \((1/2, 0)\) y \((-3, 0)\).
Corte Eje Y: \((0, -3)\).

c. \(f(x) = \log_2(x - 7)\)

Dominio: El argumento debe ser estrictamente positivo: \(x - 7 > 0 \implies x > 7 \implies \text{Dom } f = (7, \infty)\).
Rango: \(\mathbb{R}\).
Asíntota Vertical: \(x = 7\).
Corte Eje X: \(\log_2(x - 7) = 0 \implies x - 7 = 2^0 = 1 \implies x = 8 \implies (8, 0)\).

d. \(f(x) = \frac{2}{3x + 1}\)

Dominio: Denominador diferente de 0: \(3x + 1 \neq 0 \implies x \neq -1/3 \implies \text{Dom } f = \mathbb{R} \setminus \{-1/3\}\).
Asíntota Vertical: \(x = -1/3\).
Asíntota Horizontal: \(y = 0\) (el grado del denominador es mayor que el del numerador).
Rango: \(\mathbb{R} \setminus \{0\}\).

e. \(f(x) = \sqrt{x^2 + 2x - 8}\)

Dominio: Lo que está dentro de la raíz cuadrada debe ser \(\geq 0\): \[x^2 + 2x - 8 \geq 0 \implies (x + 4)(x - 2) \geq 0 \implies \text{Dom } f = (-\infty, -4] \cup [2, \infty)\]
Rango: \([0, \infty)\).

f. \(f(x) = \left(\frac{2}{3}\right)^x\) (Exponencial decreciente)

Dominio: \(\mathbb{R}\).
Rango: \((0, \infty)\).
Asíntota Horizontal: \(y = 0\) (Eje X).
Corte Eje Y: \(f(0) = (2/3)^0 = 1 \implies (0, 1)\).

g. \(f(x) = \frac{1}{x^2 - 1}\)

Dominio: \(x^2 - 1 \neq 0 \implies x \neq \pm 1 \implies \text{Dom } f = \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\}\).
Asíntotas Verticales: \(x = 1\) y \(x = -1\).
Asíntota Horizontal: \(y = 0\).

h. \(f(x) = \frac{x^3}{x^2 - 1}\)

Dominio: \(\mathbb{R} \setminus \{-1, 1\}\).
Asíntotas Verticales: \(x = 1\) y \(x = -1\).
Asíntota Oblicua: Como el numerador es grado 3 y el denominador grado 2, dividimos \(x^3 \div (x^2 - 1) = x + \frac{x}{x^2-1}\).
- La recta de la Asíntota Oblicua es \(y = x\).

Punto 12: Análisis de Funciones a Partir de Gráficas

Al observar minuciosamente la gráfica discontinua a trozos provista en la guía: 1. Dominio: Comprende todos los valores de \(x\) observados en el eje horizontal salvo los saltos o huecos. En la figura principal, la función está definida desde \(x = -6\) hasta \(x = 5\), exceptuando las discontinuidades en los saltos de tramo. 2. Rango: Se extiende verticalmente desde el valor mínimo \(y = -2\) hasta el pico máximo en \(y = 6\). 3. Puntos de Corte: - Con el Eje Y: La curva corta al eje vertical en \((0, 5)\). - Con el Eje X: Los cortes ocurren en las raíces aproximadas \(x = -2.5\) y \(x = 1.3\). 4. Asíntotas: Se observa una discontinuidad de salto infinito o asíntota en \(x = 2\).

Punto 13: Comprobación Analítica de Asíntotas en Funciones Racionales

a. \(f(x) = \frac{2x^2 - 4x - 5}{x - 3}\)

Asíntota Vertical:
- Igualamos el denominador a cero: \(x - 3 = 0 \implies \mathbf{x = 3}\).
Asíntota Horizontal:
- Grado del numerador (\(2\)) > Grado del denominador (\(1\)). No tiene asíntota horizontal.
Asíntota Oblicua:
- Hacemos la división sintética o polinomial de \((2x^2 - 4x - 5)\) entre \((x - 3)\): \[2x^2 - 4x - 5 = (x - 3)(2x + 2) + 1\]
- Por tanto, la ecuación de la Asíntota Oblicua es el cociente: \(\mathbf{y = 2x + 2}\).

b. \(f(x) = \frac{x + 1}{x^2 - 6x + 8}\)

Factorizamos el denominador: \(x^2 - 6x + 8 = (x - 2)(x - 4)\).
Asíntotas Verticales: Igualamos cada factor a 0:
- \(x - 2 = 0 \implies \mathbf{x = 2}\)
- \(x - 4 = 0 \implies \mathbf{x = 4}\)
Asíntota Horizontal:
- Grado del numerador (\(1\)) < Grado del denominador (\(2\)).
- Por regla general de límites al infinito, \(\mathbf{y = 0}\).

c. \(f(x) = \frac{9x^2 - 4}{3x^2 - x - 1}\)

Asíntota Horizontal:
- El grado del numerador (\(2\)) es igual al grado del denominador (\(2\)).
- Dividimos los coeficientes principales: \(y = \frac{9}{3} = 3 \implies \mathbf{y = 3}\).
Asíntotas Verticales:
- Resolvemos \(3x^2 - x - 1 = 0\) con la fórmula cuadrática: \[x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4(3)(-1)}}{6} = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{6}\]
- Las asíntotas verticales son \(x \approx 0.768\) y \(x \approx -0.434\).

Bloque 4: Sucesiones Numéricas (Punto 14)

Conceptos Clave

Sucesión: Una lista ordenada de números generada por una regla \(a_n\), donde \(n = 1, 2, 3, 4, 5, \dots\)
Monotonía: Una sucesión es creciente si \(a_{n+1} \geq a_n\), y decreciente si \(a_{n+1} \leq a_n\).
Convergencia: Si el límite cuando \(n \to \infty\) es un número real finito \(L\), la sucesión converge a \(L\). Si tiende a \(\pm\infty\), diverge.

Punto 14: Cálculo de Términos, Monotonía y Convergencia

a. Sucesión \(a_n = \sqrt{\frac{2n + 3}{n + 1}}\)

Cálculo de los 5 primeros términos:
- Para \(n = 1\): \(a_1 = \sqrt{\frac{2(1)+3}{1+1}} = \sqrt{\frac{5}{2}} \approx 1.5811\)
- Para \(n = 2\): \(a_2 = \sqrt{\frac{2(2)+3}{2+1}} = \sqrt{\frac{7}{3}} \approx 1.5275\)
- Para \(n = 3\): \(a_3 = \sqrt{\frac{2(3)+3}{3+1}} = \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2} = 1.5000\)
- Para \(n = 4\): \(a_4 = \sqrt{\frac{2(4)+3}{4+1}} = \sqrt{\frac{11}{5}} \approx 1.4832\)
- Para \(n = 5\): \(a_5 = \sqrt{\frac{2(5)+3}{5+1}} = \sqrt{\frac{13}{6}} \approx 1.4719\)
Monotonía: Observamos que los términos disminuyen progresivamente (\(a_1 > a_2 > a_3 > a_4 > a_5\)). Es una sucesión Monótona Decreciente.
Cotas: Está acotada superiormente por \(a_1 = \sqrt{2.5} \approx 1.5811\) e inferiormente por su límite \(\sqrt{2} \approx 1.4142\).
Convergencia: Calculamos el límite al infinito: \[\lim_{n \to \infty} \sqrt{\frac{2n + 3}{n + 1}} = \sqrt{\lim_{n \to \infty} \frac{2n+3}{n+1}} = \sqrt{2}\]

Respuesta: La sucesión es decreciente, acotada y CONVERGE a \(\mathbf{\sqrt{2}}\).

b. Sucesión \(a_n = \frac{2n^2 - 5}{3n + 2}\)

Cálculo de los 5 primeros términos:
- Para \(n = 1\): \(a_1 = \frac{2(1)^2 - 5}{3(1) + 2} = \frac{-3}{5} = -0.6000\)
- Para \(n = 2\): \(a_2 = \frac{2(2)^2 - 5}{3(2) + 2} = \frac{3}{8} = 0.3750\)
- Para \(n = 3\): \(a_3 = \frac{2(3)^2 - 5}{3(3) + 2} = \frac{13}{11} \approx 1.1818\)
- Para \(n = 4\): \(a_4 = \frac{2(4)^2 - 5}{3(4) + 2} = \frac{27}{14} \approx 1.9286\)
- Para \(n = 5\): \(a_5 = \frac{2(5)^2 - 5}{3(5) + 2} = \frac{45}{17} \approx 2.6471\)
Monotonía: Los valores aumentan continuamente. Es una sucesión Monótona Creciente.
Cotas: Acotada inferiormente por \(a_1 = -3/5\). No está acotada superiormente.
Convergencia: Como el grado del numerador (\(2\)) es mayor que el del denominador (\(1\)): \[\lim_{n \to \infty} \frac{2n^2 - 5}{3n + 2} = +\infty\]

Respuesta: La sucesión es creciente y DIVERGE a \(+\infty\).

Bloque 5: Límites de Funciones (Puntos 15 a 17)

Conceptos Clave para Entender este Bloque

Límite en un punto \(\lim_{x \to a} f(x)\): El valor al que se acerca la función cuando \(x\) se aproxima al punto \(a\). Para que exista, los límites laterales por izquierda (\(\lim_{x \to a^-}\)) y por derecha (\(\lim_{x \to a^+}\)) deben ser iguales.
Indeterminación \(\frac{0}{0}\): Indica que hay un factor común que se cancela mediante factorización o conjugada.
Indeterminación \(\frac{\infty}{\infty}\): Se resuelve dividiendo entre la mayor potencia de \(x\).

Punto 15: Lectura de Límites Gráficos Mediante Límites Laterales

Observando detalladamente la gráfica de la guía:

a. \(\lim_{x \to -4} f(x)\):
- Por la izquierda (\(x \to -4^-\)), la curva baja hacia un punto relleno en \(y = -1\).
- Por la derecha (\(x \to -4^+\)), la curva inicia en el círculo abierto \(y = 0\).
- Resultado: Como \(\lim_{x \to -4^-} \neq \lim_{x \to -4^+}\), El límite NO existe.
b. \(\lim_{x \to -2} f(x)\):
- La gráfica presenta una asíntota vertical vertical donde las ramas se van a \(-\infty\) por la izquierda y a \(+\infty\) por la derecha.
- Resultado: El límite NO existe (divergencia infinita).
c. \(\lim_{x \to 0} f(x)\):
- Tanto por la izquierda como por la derecha, la gráfica alcanza suavemente el pico superior en \(y = 2\).
- Resultado: \(\mathbf{\lim_{x \to 0} f(x) = 2}\).
d. \(\lim_{x \to 2} f(x)\):
- Por la izquierda (\(x \to 2^-\)), llega a \(y = 1\).
- Por la derecha (\(x \to 2^+\)), baja al círculo abierto en \(y = -1\).
- Resultado: El límite NO existe.

Punto 16: Límites al Infinito Paso a Paso

a. \(\lim_{x \to \infty} \frac{5x^2 + 3x + 2}{2x^2 - 4x + 8}\)

Dividimos todos los términos por la mayor potencia de \(x\), que es \(x^2\): \[\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5x^2}{x^2} + \frac{3x}{x^2} + \frac{2}{x^2}}{\frac{2x^2}{x^2} - \frac{4x}{x^2} + \frac{8}{x^2}} = \lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{3}{x} + \frac{2}{x^2}}{2 - \frac{4}{x} + \frac{8}{x^2}}\]
Evaluamos sabiendo que \(\frac{k}{\infty} = 0\): \[\frac{5 + 0 + 0}{2 - 0 + 0} = \frac{5}{2}\]

Resultado: \(\mathbf{5/2}\)

b. \(\lim_{x \to \infty} \frac{x - 1}{2x^2 + 5x + 2}\)

Dividimos por la mayor potencia \(x^2\): \[\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x^2} - \frac{1}{x^2}}{\frac{2x^2}{x^2} + \frac{5x}{x^2} + \frac{2}{x^2}} = \frac{\frac{1}{x} - \frac{1}{x^2}}{2 + \frac{5}{x} + \frac{2}{x^2}}\]
Evaluamos el límite: \[\frac{0 - 0}{2 + 0 + 0} = \frac{0}{2} = 0\]

Resultado: \(\mathbf{0}\)

c. \(\lim_{x \to \infty} \frac{4x^5 - 2x + 1}{x^4 + 6x}\)

El grado del numerador (\(5\)) es mayor que el del denominador (\(4\)).
Dividimos por \(x^4\): \[\lim_{x \to \infty} \frac{4x - \frac{2}{x^3} + \frac{1}{x^4}}{1 + \frac{6}{x^3}} = \frac{\infty - 0 + 0}{1 + 0} = +\infty\]

Resultado: \(\mathbf{+\infty}\)

d. \(\lim_{x \to \infty} \left(\sqrt{x^2 - 3} - x\right)\)

Presenta indeterminación del tipo \(\infty - \infty\). Racionalizamos multiplicando y dividiendo por la expresión conjugada \((\sqrt{x^2 - 3} + x)\): \[\lim_{x \to \infty} \frac{(\sqrt{x^2 - 3} - x)(\sqrt{x^2 - 3} + x)}{\sqrt{x^2 - 3} + x} = \lim_{x \to \infty} \frac{(x^2 - 3) - x^2}{\sqrt{x^2 - 3} + x} = \lim_{x \to \infty} \frac{-3}{\sqrt{x^2 - 3} + x}\]
Al evaluar \(x \to \infty\), el denominador crece indefinidamente mientras el numerador es \(-3\): \[\frac{-3}{\infty} = 0\]

Resultado: \(\mathbf{0}\)

Punto 17: Límites Indeterminados por Factorización, Racionalización y Trigonometría

a. \(\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x+5} - \sqrt{5}}{2x}\)

Al sustituir \(x = 0\), da \(\frac{0}{0}\) (indeterminado). Multiplicamos por la conjugada \((\sqrt{x+5} + \sqrt{5})\): \[\lim_{x \to 0} \frac{(\sqrt{x+5} - \sqrt{5})(\sqrt{x+5} + \sqrt{5})}{2x(\sqrt{x+5} + \sqrt{5})} = \lim_{x \to 0} \frac{(x+5) - 5}{2x(\sqrt{x+5} + \sqrt{5})}\] \[= \lim_{x \to 0} \frac{x}{2x(\sqrt{x+5} + \sqrt{5})}\]
Cancelamos la \(x\) del numerador y denominador: \[= \lim_{x \to 0} \frac{1}{2(\sqrt{x+5} + \sqrt{5})} = \frac{1}{2(\sqrt{5} + \sqrt{5})} = \frac{1}{2(2\sqrt{5})} = \frac{1}{4\sqrt{5}}\]
Racionalizamos el denominador: \[\frac{1 \cdot \sqrt{5}}{4\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{20}\]

Resultado: \(\mathbf{\frac{\sqrt{5}}{20}}\)

b. \(\lim_{x \to -2} \frac{x^2 - 4}{x^3 + 8}\)

Al evaluar da \(\frac{0}{0}\). Factorizamos el numerador (diferencia de cuadrados) y el denominador (suma de cubos):
- \(x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)\)
- \(x^3 + 8 = (x + 2)(x^2 - 2x + 4)\)
Reemplazamos y cancelamos el factor común \((x + 2)\): \[\lim_{x \to -2} \frac{(x - 2)(x + 2)}{(x + 2)(x^2 - 2x + 4)} = \lim_{x \to -2} \frac{x - 2}{x^2 - 2x + 4}\]
Evaluamos \(x = -2\): \[\frac{-2 - 2}{(-2)^2 - 2(-2) + 4} = \frac{-4}{4 + 4 + 4} = \frac{-4}{12} = -\frac{1}{3}\]

Resultado: \(\mathbf{-1/3}\)

c. \(\lim_{x \to 5} \frac{x^2 - 2x - 15}{x - 5}\)

Evaluando \(x = 5\) da \(\frac{0}{0}\). Factorizamos el trinomio del numerador: \[x^2 - 2x - 15 = (x - 5)(x + 3)\]
Cancelamos el factor indeterminado \((x - 5)\): \[\lim_{x \to 5} \frac{(x - 5)(x + 3)}{x - 5} = \lim_{x \to 5} (x + 3) = 5 + 3 = 8\]

Resultado: \(\mathbf{8}\)

d. \(\lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x}\)

Separamos en dos fracciones sencillas: \[\lim_{x \to 0} \left(\frac{x}{x} - \frac{\sin x}{x}\right) = \lim_{x \to 0} \left(1 - \frac{\sin x}{x}\right)\]
Aplicamos el límite trigonométrico fundamental conocido \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1\): \[1 - 1 = 0\]

Resultado: \(\mathbf{0}\)

e. \(\lim_{x \to \pi/4} \frac{1 - \tan x}{\sin x - \cos x}\)

Expresamos \(\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}\): \[1 - \tan x = 1 - \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{\cos x - \sin x}{\cos x} = -\frac{\sin x - \cos x}{\cos x}\]
Reemplazamos en el límite original: \[\lim_{x \to \pi/4} \frac{-\frac{\sin x - \cos x}{\cos x}}{\sin x - \cos x} = \lim_{x \to \pi/4} \frac{-1}{\cos x}\]
Evaluamos en \(x = \pi/4\) (donde \(\cos(\pi/4) = \frac{\sqrt{2}}{2}\)): \[\frac{-1}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = -\frac{2}{\sqrt{2}} = -\sqrt{2}\]

Resultado: \(\mathbf{-\sqrt{2}}\)

Bloque 6: Derivadas de Funciones y Regla de la Cadena (Puntos 18 a 20)

Conceptos Clave para Entender este Bloque

La Derivada (\(f'(x)\)): Representa la razón de cambio instantánea de una función.
Regla de la Potencia: Si \(f(x) = x^n \implies f'(x) = n \cdot x^{n-1}\).
Regla de la Constante: Si \(f(x) = c \implies f'(x) = 0\).
Regla del Producto: \((u \cdot v)' = u'v + uv'\).
Regla del Cociente: \(\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}\).
Regla de la Cadena: Si \(y = f(g(x)) \implies y' = f'(g(x)) \cdot g'(x)\) (derivada externa por derivada interna).

Punto 18: Cálculo de Derivadas Básicas

a. \(f(x) = 5x^2 - 7x + 2\)

Aplicamos la regla de la potencia a cada término: \[f'(x) = 5(2x) - 7(1) + 0 = \mathbf{10x - 7}\]

b. \(f(x) = -3x^2 + 4x - 8\)

Derivando término a término: \[f'(x) = -3(2x) + 4(1) - 0 = \mathbf{-6x + 4}\]

c. \(f(x) = 2x^3 + 8x^2 + 9x - 2\)

Derivando cada potencia: \[f'(x) = 2(3x^2) + 8(2x) + 9(1) - 0 = \mathbf{6x^2 + 16x + 9}\]

d. \(f(x) = -5x^3 - 2x^2\)

Aplicamos regla de la potencia: \[f'(x) = -5(3x^2) - 2(2x) = \mathbf{-15x^2 - 4x}\]

Punto 19: Derivadas por Regla de la Suma, Producto y Cociente

a. \(f(x) = -\frac{2}{21}x^7 + 9x^5 - \frac{4}{6}x^3 + \frac{5}{2}x^2 + 8x - 10\)

Multiplicamos el exponente por el coeficiente y restamos 1 al exponente:
- \(-\frac{2}{21} \cdot 7x^6 = -\frac{14}{21}x^6 = -\frac{2}{3}x^6\)
- \(9 \cdot 5x^4 = 45x^4\)
- \(-\frac{4}{6} \cdot 3x^2 = -\frac{12}{6}x^2 = -2x^2\)
- \(\frac{5}{2} \cdot 2x = 5x\)
- Derivada de \(8x\) es \(8\), y de \(-10\) es \(0\).

Resultado: \(\mathbf{f'(x) = -\frac{2}{3}x^6 + 45x^4 - 2x^2 + 5x + 8}\)

b. \(f(x) = 3x^{-6} - 5x^7 + \frac{2}{3}x^4 - 7x + 9\)

Aplicamos la regla para exponentes negativos (\(n \cdot x^{n-1}\)):
- \(3(-6)x^{-7} = -18x^{-7}\)
- \(-5(7)x^6 = -35x^6\)
- \(\frac{2}{3}(4)x^3 = \frac{8}{3}x^3\)
- Derivada de \(-7x\) es \(-7\).

Resultado: \(\mathbf{f'(x) = -18x^{-7} - 35x^6 + \frac{8}{3}x^3 - 7}\)

c. \(y = (3x - 5)(2x^2 + 5x - 3)\) (Regla del Producto)

Definimos \(u = 3x - 5 \implies u' = 3\) y \(v = 2x^2 + 5x - 3 \implies v' = 4x + 5\).
Aplicamos la fórmula \((uv)' = u'v + uv'\): \[y' = 3(2x^2 + 5x - 3) + (3x - 5)(4x + 5)\] \[y' = (6x^2 + 15x - 9) + (12x^2 + 15x - 20x - 25)\] \[y' = 18x^2 + 10x - 34\]

Resultado: \(\mathbf{y' = 18x^2 + 10x - 34}\)

d. \(y = (3x^2 - 5)(4x^2 + 3)\) (Regla del Producto)

Definimos \(u = 3x^2 - 5 \implies u' = 6x\) y \(v = 4x^2 + 3 \implies v' = 8x\).
Aplicamos la fórmula: \[y' = 6x(4x^2 + 3) + (3x^2 - 5)(8x)\] \[y' = 24x^3 + 18x + 24x^3 - 40x = 48x^3 - 22x\]

Resultado: \(\mathbf{y' = 48x^3 - 22x}\)

e. \(y = \frac{3x^2}{x + 1}\) (Regla del Cociente)

Definimos \(u = 3x^2 \implies u' = 6x\) y \(v = x + 1 \implies v' = 1\).
Aplicamos \(\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}\): \[y' = \frac{6x(x + 1) - (3x^2)(1)}{(x + 1)^2} = \frac{6x^2 + 6x - 3x^2}{(x + 1)^2} = \frac{3x^2 + 6x}{(x + 1)^2}\]

Resultado: \(\mathbf{y' = \frac{3x(x + 2)}{(x + 1)^2}}\)

f. \(y = \frac{5x^2 - 2x - 1}{2 - 3x}\) (Regla del Cociente)

Definimos \(u = 5x^2 - 2x - 1 \implies u' = 10x - 2\) y \(v = 2 - 3x \implies v' = -3\).
Aplicamos la fórmula del cociente: \[y' = \frac{(10x - 2)(2 - 3x) - (5x^2 - 2x - 1)(-3)}{(2 - 3x)^2}\] \[y' = \frac{(20x - 30x^2 - 4 + 6x) - (-15x^2 + 6x + 3)}{(2 - 3x)^2}\] \[y' = \frac{-30x^2 + 26x - 4 + 15x^2 - 6x - 3}{(2 - 3x)^2} = \frac{-15x^2 + 20x - 7}{(2 - 3x)^2}\]

Resultado: \(\mathbf{y' = \frac{-15x^2 + 20x - 7}{(2 - 3x)^2}}\)

Punto 20: Regla de la Cadena (Derivación Interna y Funciones Compuestas)

a. \(f(x) = (4x^{-2} + 7x^8 - 9x^{-6} - 3x + 7)^7\)

La función externa es \(u^7\), cuya derivada es \(7u^6\).
Multiplicamos por la derivada interna del paréntesis: \[\frac{d}{dx}(4x^{-2} + 7x^8 - 9x^{-6} - 3x + 7) = -8x^{-3} + 56x^7 + 54x^{-7} - 3\]

Resultado: \[\mathbf{f'(x) = 7(4x^{-2} + 7x^8 - 9x^{-6} - 3x + 7)^6 \cdot (-8x^{-3} + 56x^7 + 54x^{-7} - 3)}\]

b. \(y = (-7x^{-4} - 5x^4 + 6x^{-8} + 5x^2 + 4x)^5\)

Derivada externa: \(5u^4\).
Derivada interna del polinomio: \[\frac{d}{dx}(-7x^{-4} - 5x^4 + 6x^{-8} + 5x^2 + 4x) = 28x^{-5} - 20x^3 - 48x^{-9} + 10x + 4\]

Resultado: \[\mathbf{y' = 5(-7x^{-4} - 5x^4 + 6x^{-8} + 5x^2 + 4x)^4 \cdot (28x^{-5} - 20x^3 - 48x^{-9} + 10x + 4)}\]

c. \(y = x^3 \sin x\) (Producto con Trigonometría)

Aplicamos la regla del producto con \(u = x^3 \implies u' = 3x^2\) y \(v = \sin x \implies v' = \cos x\): \[y' = (3x^2)(\sin x) + (x^3)(\cos x)\]

Resultado: \(\mathbf{y' = 3x^2 \sin x + x^3 \cos x}\)

d. \(y = 3 e^{4x^2 - 5 \cos x}\) (Exponencial Compuesta)

La derivada de \(e^{g(x)}\) es \(e^{g(x)} \cdot g'(x)\).
Derivada interna del exponente: \[\frac{d}{dx}(4x^2 - 5 \cos x) = 8x - 5(-\sin x) = 8x + 5 \sin x\]

Resultado: \[\mathbf{y' = 3 e^{4x^2 - 5 \cos x} \cdot (8x + 5 \sin x)}\]

e. \(f(x) = \log_2(\cos x)\) (Logaritmo Compuesto)

La derivada de \(\log_b(u)\) es \(\frac{u'}{u \ln b}\).
Aquí \(u = \cos x \implies u' = -\sin x\) y la base es \(b = 2\): \[f'(x) = \frac{-\sin x}{\cos x \ln 2} = -\frac{\tan x}{\ln 2}\]

Resultado: \(\mathbf{f'(x) = -\frac{\tan x}{\ln 2}}\)

f. \(y = 3 e^{-3x^7 + 9x - 2} \tan(7x - 5)\) (Producto y Doble Regla de la Cadena)

Aplicamos la regla del producto \(u \cdot v\) con:
- \(u = 3 e^{-3x^7 + 9x - 2} \implies u' = 3 e^{-3x^7 + 9x - 2} \cdot (-21x^6 + 9)\)
- \(v = \tan(7x - 5) \implies v' = \sec^2(7x - 5) \cdot 7 = 7 \sec^2(7x - 5)\)
Ensamblamos la regla del producto \(y' = u'v + uv'\): \[y' = \left[3 e^{-3x^7 + 9x - 2} (-21x^6 + 9)\right] \tan(7x - 5) + \left[3 e^{-3x^7 + 9x - 2}\right] \left[7 \sec^2(7x - 5)\right]\]
Factorizamos el término común \(3 e^{-3x^7 + 9x - 2}\): \[y' = 3 e^{-3x^7 + 9x - 2} \left[ (-21x^6 + 9) \tan(7x - 5) + 7 \sec^2(7x - 5) \right]\]

Resultado: \(\mathbf{y' = 3 e^{-3x^7 + 9x - 2} \left[ (9 - 21x^6) \tan(7x - 5) + 7 \sec^2(7x - 5) \right]}\)

Autoevaluación y Consejos para la Sustentación Oral/Escrita

Para presentar y sustentar exitosamente este Plan Especial de Superación ante la profesora: 1. Puntos de Atención en Números Reales: Recuerda que si una raíz cuadrada no es exacta (como \(\sqrt{5}\) o \(\sqrt{180}\)), el resultado siempre dará un número irracional. 2. Atención a las Inecuaciones: El error más común es olvidar dar vuelta al signo de la desigualdad cuando se pasa a dividir o multiplicar un número negativo. ¡Revisa bien los signos! 3. Asíntotas de Funciones Racionales: La asíntota vertical sale de hacer el denominador igual a cero. Si el grado de arriba y abajo es igual, la asíntota horizontal es la división de los números que acompañan a la mayor \(x\). 4. Regla de la Cadena en Derivadas: Siempre deriva la “caja externa” manteniendo lo de adentro igual, y luego multiplica por la “derivada de lo de adentro”.

¡Muchos éxitos en tu sustentación!