RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO Y SISTEMAS DE ECUACIONES DE DOS INCÓGNITAS

1. Introducción

Las ecuaciones matemáticas permiten encontrar valores desconocidos. En este trabajo se explicará cómo resolver ecuaciones de segundo grado mediante la fórmula general y cómo resolver sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas mediante la regla de Cramer, utilizando en ambos casos el lenguaje de programación R.

Además, se mostrará el procedimiento matemático de cada ejercicio, los cálculos realizados mediante programación, la comprobación de los resultados y las respuestas obtenidas.

2. Objetivos

• Comprender las ecuaciones de segundo grado y los sistemas de ecuaciones de dos incógnitas.
• Identificar los coeficientes de una ecuación cuadrática y los coeficientes y términos independientes de un sistema.
• Resolver ecuaciones cuadráticas utilizando la fórmula general.
• Resolver sistemas de dos ecuaciones lineales utilizando determinantes (regla de Cramer).
• Aplicar el lenguaje R para obtener las soluciones.

• Comprobar los resultados mediante programación.

  3. Desarrollo

El lenguaje de programación R permite realizar cálculos matemáticos de forma rápida y sencilla. Este trabajo se divide en dos partes: en la primera se presentan ocho ejercicios de ecuaciones de segundo grado y en la segunda ocho ejercicios de sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas.

Para las ecuaciones cuadráticas se utilizará la fórmula general y el discriminante, que permite identificar el tipo de soluciones que tiene cada ecuación. Para los sistemas se utilizará el determinante del sistema, que permite identificar si el sistema tiene una única solución, infinitas soluciones o ninguna solución. De los ocho sistemas, seis tienen solución única, uno es incompatible y uno es compatible indeterminado.

4. Ecuaciones de segundo grado

4.1. Fórmulas utilizadas

Una ecuación de segundo grado tiene la siguiente forma general:

\[ax^2 + bx + c = 0\]

Donde:

• \(a\) representa el coeficiente de \(x^2\).
• \(b\) representa el coeficiente de \(x\).
• \(c\) representa el término independiente.
• \(a\) debe ser diferente de cero.

La fórmula general es:

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

El discriminante se calcula mediante:

\[D = b^2 - 4ac\]

4.2. Interpretación del discriminante

• Si \(D > 0\), existen dos soluciones reales diferentes.
• Si \(D = 0\), existe una solución real doble.
• Si \(D < 0\), existen dos soluciones complejas conjugadas.

4.3. Función para resolver ecuaciones en R

La siguiente función permite resolver las ecuaciones cuadráticas. Primero identifica los coeficientes, después calcula el discriminante y finalmente reemplaza los valores en la fórmula general.

resolver <- function(numero, a, b, c, ecuacion) {
  cat("\n========================================\n")
  cat("EJERCICIO:", numero, "\n")
  cat("========================================\n")
  cat("Ecuacion:", ecuacion, "\n\n")

  cat("PASO 1. Identificar los coeficientes\n")
  cat("a =", a, "\n")
  cat("b =", b, "\n")
  cat("c =", c, "\n")
  cat("\nTipo: Ecuacion cuadratica completa\n")

  cat("\nPASO 2. Calcular el discriminante\n")
  D <- b^2 - 4*a*c
  cat("Formula: D = b^2 - 4*a*c\n")
  cat("Reemplazando:\n")
  cat("D =", b, "^2 - 4*(", a, ")*(", c, ")\n")
  cat("D =", D, "\n")

  cat("\nPASO 3. Aplicar la formula general\n")
  cat("Formula:\n")
  cat("x = (-b +/- sqrt(D))/(2*a)\n")
  cat("Reemplazando:\n")
  cat("x = (", -b, " +/- sqrt(", D, "))/(", 2*a, ")\n")

  if (D > 0) {
    x1 <- (-b + sqrt(D))/(2*a)
    x2 <- (-b - sqrt(D))/(2*a)
    cat("\nPASO 4. Calcular las soluciones\n")
    cat("Primera solucion:\n")
    cat("x1 =", round(x1, 4), "\n")
    cat("Segunda solucion:\n")
    cat("x2 =", round(x2, 4), "\n")
    cat("\nInterpretacion:\n")
    cat("La ecuacion tiene dos soluciones reales diferentes.\n")
  } else if (D == 0) {
    x1 <- -b/(2*a)
    cat("\nPASO 4. Calcular la solucion\n")
    cat("x =", round(x1, 4), "\n")
    cat("\nInterpretacion:\n")
    cat("La ecuacion tiene una solucion real doble.\n")
  } else {
    x1 <- (-b + sqrt(as.complex(D)))/(2*a)
    x2 <- (-b - sqrt(as.complex(D)))/(2*a)
    cat("\nPASO 4. Calcular las soluciones complejas\n")
    cat("Primera solucion:\n")
    print(x1)
    cat("Segunda solucion:\n")
    print(x2)
    cat("\nInterpretacion:\n")
    cat("La ecuacion tiene dos soluciones complejas conjugadas.\n")
  }

  cat("\nRESPUESTA FINAL:\n")
  if (D > 0) {
    cat("x1 =", round(x1, 4), "\n")
    cat("x2 =", round(x2, 4), "\n")
  } else if (D == 0) {
    cat("x =", round(x1, 4), "\n")
  } else {
    print(x1)
    print(x2)
  }
  cat("========================================\n")
}

4.4. Resolución de los ejercicios

EJERCICIO 1

Enunciado: Resolver la siguiente ecuación cuadrática:

\[x^2 - 7x + 10 = 0\]

Clasificación: Ecuación cuadrática completa, porque contiene los términos cuadrático, lineal e independiente.

Procedimiento en R:

resolver(1, 1, -7, 10, "x^2 - 7x + 10 = 0")

## 
## ========================================
## EJERCICIO: 1 
## ========================================
## Ecuacion: x^2 - 7x + 10 = 0 
## 
## PASO 1. Identificar los coeficientes
## a = 1 
## b = -7 
## c = 10 
## 
## Tipo: Ecuacion cuadratica completa
## 
## PASO 2. Calcular el discriminante
## Formula: D = b^2 - 4*a*c
## Reemplazando:
## D = -7 ^2 - 4*( 1 )*( 10 )
## D = 9 
## 
## PASO 3. Aplicar la formula general
## Formula:
## x = (-b +/- sqrt(D))/(2*a)
## Reemplazando:
## x = ( 7  +/- sqrt( 9 ))/( 2 )
## 
## PASO 4. Calcular las soluciones
## Primera solucion:
## x1 = 5 
## Segunda solucion:
## x2 = 2 
## 
## Interpretacion:
## La ecuacion tiene dos soluciones reales diferentes.
## 
## RESPUESTA FINAL:
## x1 = 5 
## x2 = 2 
## ========================================

Explicación del resultado: El discriminante es positivo, por lo tanto, la ecuación tiene dos soluciones reales diferentes.

Respuesta:

\[x_1 = 5 \qquad x_2 = 2\]

EJERCICIO 2

Enunciado: Resolver la siguiente ecuación cuadrática:

\[2x^2 - 5x - 3 = 0\]

Clasificación: Ecuación cuadrática completa, porque contiene los términos cuadrático, lineal e independiente.

Procedimiento en R:

resolver(2, 2, -5, -3, "2x^2 - 5x - 3 = 0")

## 
## ========================================
## EJERCICIO: 2 
## ========================================
## Ecuacion: 2x^2 - 5x - 3 = 0 
## 
## PASO 1. Identificar los coeficientes
## a = 2 
## b = -5 
## c = -3 
## 
## Tipo: Ecuacion cuadratica completa
## 
## PASO 2. Calcular el discriminante
## Formula: D = b^2 - 4*a*c
## Reemplazando:
## D = -5 ^2 - 4*( 2 )*( -3 )
## D = 49 
## 
## PASO 3. Aplicar la formula general
## Formula:
## x = (-b +/- sqrt(D))/(2*a)
## Reemplazando:
## x = ( 5  +/- sqrt( 49 ))/( 4 )
## 
## PASO 4. Calcular las soluciones
## Primera solucion:
## x1 = 3 
## Segunda solucion:
## x2 = -0.5 
## 
## Interpretacion:
## La ecuacion tiene dos soluciones reales diferentes.
## 
## RESPUESTA FINAL:
## x1 = 3 
## x2 = -0.5 
## ========================================

Explicación del resultado: El discriminante es positivo, por lo tanto, la ecuación tiene dos soluciones reales diferentes.

Respuesta:

\[x_1 = 3 \qquad x_2 = -0.5\]

EJERCICIO 3

Enunciado: Resolver la siguiente ecuación cuadrática:

\[x^2 + 4x - 12 = 0\]

Clasificación: Ecuación cuadrática completa, porque contiene los tres términos de la forma general.

Procedimiento en R:

resolver(3, 1, 4, -12, "x^2 + 4x - 12 = 0")

## 
## ========================================
## EJERCICIO: 3 
## ========================================
## Ecuacion: x^2 + 4x - 12 = 0 
## 
## PASO 1. Identificar los coeficientes
## a = 1 
## b = 4 
## c = -12 
## 
## Tipo: Ecuacion cuadratica completa
## 
## PASO 2. Calcular el discriminante
## Formula: D = b^2 - 4*a*c
## Reemplazando:
## D = 4 ^2 - 4*( 1 )*( -12 )
## D = 64 
## 
## PASO 3. Aplicar la formula general
## Formula:
## x = (-b +/- sqrt(D))/(2*a)
## Reemplazando:
## x = ( -4  +/- sqrt( 64 ))/( 2 )
## 
## PASO 4. Calcular las soluciones
## Primera solucion:
## x1 = 2 
## Segunda solucion:
## x2 = -6 
## 
## Interpretacion:
## La ecuacion tiene dos soluciones reales diferentes.
## 
## RESPUESTA FINAL:
## x1 = 2 
## x2 = -6 
## ========================================

Explicación del resultado: El discriminante es positivo, por lo tanto, la ecuación tiene dos soluciones reales diferentes.

Respuesta:

\[x_1 = 2 \qquad x_2 = -6\]

EJERCICIO 4

Enunciado: Resolver la siguiente ecuación cuadrática:

\[2x^2 - 8x + 6 = 0\]

Clasificación: Ecuación cuadrática completa, porque presenta un término cuadrático, uno lineal y uno independiente.

Procedimiento en R:

resolver(4, 2, -8, 6, "2x^2 - 8x + 6 = 0")

## 
## ========================================
## EJERCICIO: 4 
## ========================================
## Ecuacion: 2x^2 - 8x + 6 = 0 
## 
## PASO 1. Identificar los coeficientes
## a = 2 
## b = -8 
## c = 6 
## 
## Tipo: Ecuacion cuadratica completa
## 
## PASO 2. Calcular el discriminante
## Formula: D = b^2 - 4*a*c
## Reemplazando:
## D = -8 ^2 - 4*( 2 )*( 6 )
## D = 16 
## 
## PASO 3. Aplicar la formula general
## Formula:
## x = (-b +/- sqrt(D))/(2*a)
## Reemplazando:
## x = ( 8  +/- sqrt( 16 ))/( 4 )
## 
## PASO 4. Calcular las soluciones
## Primera solucion:
## x1 = 3 
## Segunda solucion:
## x2 = 1 
## 
## Interpretacion:
## La ecuacion tiene dos soluciones reales diferentes.
## 
## RESPUESTA FINAL:
## x1 = 3 
## x2 = 1 
## ========================================

Explicación del resultado: El discriminante es positivo, por lo tanto, la ecuación tiene dos soluciones reales diferentes.

Respuesta:

\[x_1 = 3 \qquad x_2 = 1\]

EJERCICIO 5

Enunciado: Resolver la siguiente ecuación cuadrática:

\[3x^2 + 6x - 9 = 0\]

Clasificación: Ecuación cuadrática completa, porque contiene los tres términos de la ecuación general.

Procedimiento en R:

resolver(5, 3, 6, -9, "3x^2 + 6x - 9 = 0")

## 
## ========================================
## EJERCICIO: 5 
## ========================================
## Ecuacion: 3x^2 + 6x - 9 = 0 
## 
## PASO 1. Identificar los coeficientes
## a = 3 
## b = 6 
## c = -9 
## 
## Tipo: Ecuacion cuadratica completa
## 
## PASO 2. Calcular el discriminante
## Formula: D = b^2 - 4*a*c
## Reemplazando:
## D = 6 ^2 - 4*( 3 )*( -9 )
## D = 144 
## 
## PASO 3. Aplicar la formula general
## Formula:
## x = (-b +/- sqrt(D))/(2*a)
## Reemplazando:
## x = ( -6  +/- sqrt( 144 ))/( 6 )
## 
## PASO 4. Calcular las soluciones
## Primera solucion:
## x1 = 1 
## Segunda solucion:
## x2 = -3 
## 
## Interpretacion:
## La ecuacion tiene dos soluciones reales diferentes.
## 
## RESPUESTA FINAL:
## x1 = 1 
## x2 = -3 
## ========================================

Explicación del resultado: El discriminante es positivo, por lo tanto, la ecuación tiene dos soluciones reales diferentes.

Respuesta:

\[x_1 = 1 \qquad x_2 = -3\]

EJERCICIO 6

Enunciado: Resolver la siguiente ecuación cuadrática:

\[4x^2 - 4x - 3 = 0\]

Clasificación: Ecuación cuadrática completa, porque contiene el término cuadrático, el término lineal y el independiente.

Procedimiento en R:

resolver(6, 4, -4, -3, "4x^2 - 4x - 3 = 0")

## 
## ========================================
## EJERCICIO: 6 
## ========================================
## Ecuacion: 4x^2 - 4x - 3 = 0 
## 
## PASO 1. Identificar los coeficientes
## a = 4 
## b = -4 
## c = -3 
## 
## Tipo: Ecuacion cuadratica completa
## 
## PASO 2. Calcular el discriminante
## Formula: D = b^2 - 4*a*c
## Reemplazando:
## D = -4 ^2 - 4*( 4 )*( -3 )
## D = 64 
## 
## PASO 3. Aplicar la formula general
## Formula:
## x = (-b +/- sqrt(D))/(2*a)
## Reemplazando:
## x = ( 4  +/- sqrt( 64 ))/( 8 )
## 
## PASO 4. Calcular las soluciones
## Primera solucion:
## x1 = 1.5 
## Segunda solucion:
## x2 = -0.5 
## 
## Interpretacion:
## La ecuacion tiene dos soluciones reales diferentes.
## 
## RESPUESTA FINAL:
## x1 = 1.5 
## x2 = -0.5 
## ========================================

Explicación del resultado: El discriminante es positivo, por lo tanto, la ecuación tiene dos soluciones reales diferentes.

Respuesta:

\[x_1 = 1.5 \qquad x_2 = -0.5\]

EJERCICIO 7

Enunciado: Resolver la siguiente ecuación cuadrática:

\[x^2 - 6x + 5 = 0\]

Clasificación: Ecuación cuadrática completa, porque presenta los tres términos de la forma general.

Procedimiento en R:

resolver(7, 1, -6, 5, "x^2 - 6x + 5 = 0")

## 
## ========================================
## EJERCICIO: 7 
## ========================================
## Ecuacion: x^2 - 6x + 5 = 0 
## 
## PASO 1. Identificar los coeficientes
## a = 1 
## b = -6 
## c = 5 
## 
## Tipo: Ecuacion cuadratica completa
## 
## PASO 2. Calcular el discriminante
## Formula: D = b^2 - 4*a*c
## Reemplazando:
## D = -6 ^2 - 4*( 1 )*( 5 )
## D = 16 
## 
## PASO 3. Aplicar la formula general
## Formula:
## x = (-b +/- sqrt(D))/(2*a)
## Reemplazando:
## x = ( 6  +/- sqrt( 16 ))/( 2 )
## 
## PASO 4. Calcular las soluciones
## Primera solucion:
## x1 = 5 
## Segunda solucion:
## x2 = 1 
## 
## Interpretacion:
## La ecuacion tiene dos soluciones reales diferentes.
## 
## RESPUESTA FINAL:
## x1 = 5 
## x2 = 1 
## ========================================

Explicación del resultado: El discriminante es positivo, por lo tanto, la ecuación tiene dos soluciones reales diferentes.

Respuesta:

\[x_1 = 5 \qquad x_2 = 1\]

EJERCICIO 8

Enunciado: Resolver la siguiente ecuación cuadrática:

\[5x^2 + 5x - 10 = 0\]

Clasificación: Ecuación cuadrática completa, porque contiene el término cuadrático, el lineal y el independiente.

Procedimiento en R:

resolver(8, 5, 5, -10, "5x^2 + 5x - 10 = 0")

## 
## ========================================
## EJERCICIO: 8 
## ========================================
## Ecuacion: 5x^2 + 5x - 10 = 0 
## 
## PASO 1. Identificar los coeficientes
## a = 5 
## b = 5 
## c = -10 
## 
## Tipo: Ecuacion cuadratica completa
## 
## PASO 2. Calcular el discriminante
## Formula: D = b^2 - 4*a*c
## Reemplazando:
## D = 5 ^2 - 4*( 5 )*( -10 )
## D = 225 
## 
## PASO 3. Aplicar la formula general
## Formula:
## x = (-b +/- sqrt(D))/(2*a)
## Reemplazando:
## x = ( -5  +/- sqrt( 225 ))/( 10 )
## 
## PASO 4. Calcular las soluciones
## Primera solucion:
## x1 = 1 
## Segunda solucion:
## x2 = -2 
## 
## Interpretacion:
## La ecuacion tiene dos soluciones reales diferentes.
## 
## RESPUESTA FINAL:
## x1 = 1 
## x2 = -2 
## ========================================

Explicación del resultado: El discriminante es positivo, por lo tanto, la ecuación tiene dos soluciones reales diferentes.

Respuesta:

\[x_1 = 1 \qquad x_2 = -2\]

4.5. Clasificación general de las ecuaciones cuadráticas

La forma general de una ecuación cuadrática es:

\[ax^2 + bx + c = 0\]

Donde \(a\) representa el coeficiente cuadrático, \(b\) el coeficiente lineal y \(c\) el término independiente. Los tipos de ecuaciones cuadráticas son:

• Completa: contiene los tres términos, \(ax^2 + bx + c = 0\).
• Incompleta pura: no contiene el término lineal, \(ax^2 + c = 0\).
• Incompleta mixta: no contiene el término independiente, \(ax^2 + bx = 0\).

Según el discriminante \(D = b^2 - 4ac\):

• Si \(D > 0\), existen dos soluciones reales diferentes.
• Si \(D = 0\), existe una solución real doble.
• Si \(D < 0\), existen dos soluciones complejas conjugadas.

5. Sistemas de ecuaciones de dos incógnitas

5.1. Sistema de dos ecuaciones lineales

Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas tiene la siguiente forma general:

\[\begin{cases} a_1 x + b_1 y = c_1 \\ a_2 x + b_2 y = c_2 \end{cases}\]

Donde:

• \(a_1\) y \(a_2\) son los coeficientes de \(x\).
• \(b_1\) y \(b_2\) son los coeficientes de \(y\).
• \(c_1\) y \(c_2\) son los términos independientes.
• \(x\) e \(y\) son las incógnitas.

5.2. Regla de Cramer

El determinante del sistema se calcula mediante:

\[D = a_1 b_2 - a_2 b_1\]

Los determinantes asociados a cada incógnita son:

\[D_x = c_1 b_2 - c_2 b_1 \qquad D_y = a_1 c_2 - a_2 c_1\]

Si \(D\) es diferente de cero, las soluciones se obtienen con:

\[x = \frac{D_x}{D} \qquad y = \frac{D_y}{D}\]

5.3. Interpretación de los determinantes

• Si \(D \neq 0\), el sistema es compatible determinado: existe una única solución.
• Si \(D = 0\), \(D_x = 0\) y \(D_y = 0\), el sistema es compatible indeterminado: existen infinitas soluciones.
• Si \(D = 0\) y \(D_x\) o \(D_y\) es distinto de cero, el sistema es incompatible: no existe solución.

5.4. Función para resolver sistemas en R

La siguiente función permite resolver los sistemas. Primero identifica los coeficientes, después calcula el determinante del sistema, luego calcula \(D_x\) y \(D_y\) y, finalmente, obtiene las soluciones y las comprueba en las ecuaciones originales.

resolver_sistema <- function(numero, a1, b1, c1, a2, b2, c2, ec1, ec2) {
  cat("\n========================================\n")
  cat("EJERCICIO:", numero, "\n")
  cat("========================================\n")
  cat("Sistema:\n", ec1, "\n", ec2, "\n\n")

  cat("PASO 1. Identificar los coeficientes\n")
  cat("a1 =", a1, " b1 =", b1, " c1 =", c1, "\n")
  cat("a2 =", a2, " b2 =", b2, " c2 =", c2, "\n")

  cat("\nPASO 2. Calcular el determinante del sistema\n")
  D <- a1*b2 - a2*b1
  cat("Formula: D = a1*b2 - a2*b1\n")
  cat("Reemplazando:\n")
  cat("D = (", a1, ")*(", b2, ") - (", a2, ")*(", b1, ")\n")
  cat("D =", D, "\n")

  cat("\nPASO 3. Calcular Dx y Dy\n")
  Dx <- c1*b2 - c2*b1
  Dy <- a1*c2 - a2*c1
  cat("Dx = c1*b2 - c2*b1 =", Dx, "\n")
  cat("Dy = a1*c2 - a2*c1 =", Dy, "\n")

  if (D != 0) {
    x <- Dx/D
    y <- Dy/D
    cat("\nPASO 4. Calcular las soluciones\n")
    cat("x = Dx/D =", Dx, "/", D, "=", round(x, 4), "\n")
    cat("y = Dy/D =", Dy, "/", D, "=", round(y, 4), "\n")
    cat("\nPASO 5. Comprobacion\n")
    cat("Ecuacion 1:", a1, "*(", round(x, 4), ") +", b1, "*(", round(y, 4), ") =",
        round(a1*x + b1*y, 4), "\n")
    cat("Ecuacion 2:", a2, "*(", round(x, 4), ") +", b2, "*(", round(y, 4), ") =",
        round(a2*x + b2*y, 4), "\n")
    cat("\nInterpretacion:\n")
    cat("El sistema es compatible determinado: tiene una unica solucion.\n")
    cat("\nRESPUESTA FINAL:\n")
    cat("x =", round(x, 4), "\n")
    cat("y =", round(y, 4), "\n")
  } else if (Dx == 0 && Dy == 0) {
    cat("\nPASO 4. Analizar el sistema\n")
    cat("D = 0, Dx = 0 y Dy = 0\n")
    cat("\nInterpretacion:\n")
    cat("El sistema es compatible indeterminado: tiene infinitas soluciones.\n")
    cat("\nRESPUESTA FINAL:\n")
    cat("Infinitas soluciones (las dos ecuaciones son equivalentes).\n")
  } else {
    cat("\nPASO 4. Analizar el sistema\n")
    cat("D = 0, pero Dx o Dy es distinto de 0\n")
    cat("\nInterpretacion:\n")
    cat("El sistema es incompatible: no tiene solucion.\n")
    cat("\nRESPUESTA FINAL:\n")
    cat("No existe solucion.\n")
  }
  cat("========================================\n")
}

5.5. Resolución de los ejercicios

EJERCICIO 1

Enunciado: Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

\[\begin{cases} x + y = 10 \\ x - y = 2 \end{cases}\]

Clasificación: Sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. Se resuelve con la regla de Cramer porque el determinante del sistema es distinto de cero.

Procedimiento en R:

resolver_sistema(1, 1, 1, 10, 1, -1, 2,
                 "x + y = 10",
                 "x - y = 2")

## 
## ========================================
## EJERCICIO: 1 
## ========================================
## Sistema:
##  x + y = 10 
##  x - y = 2 
## 
## PASO 1. Identificar los coeficientes
## a1 = 1  b1 = 1  c1 = 10 
## a2 = 1  b2 = -1  c2 = 2 
## 
## PASO 2. Calcular el determinante del sistema
## Formula: D = a1*b2 - a2*b1
## Reemplazando:
## D = ( 1 )*( -1 ) - ( 1 )*( 1 )
## D = -2 
## 
## PASO 3. Calcular Dx y Dy
## Dx = c1*b2 - c2*b1 = -12 
## Dy = a1*c2 - a2*c1 = -8 
## 
## PASO 4. Calcular las soluciones
## x = Dx/D = -12 / -2 = 6 
## y = Dy/D = -8 / -2 = 4 
## 
## PASO 5. Comprobacion
## Ecuacion 1: 1 *( 6 ) + 1 *( 4 ) = 10 
## Ecuacion 2: 1 *( 6 ) + -1 *( 4 ) = 2 
## 
## Interpretacion:
## El sistema es compatible determinado: tiene una unica solucion.
## 
## RESPUESTA FINAL:
## x = 6 
## y = 4 
## ========================================

Explicación del resultado: El determinante del sistema es \(D = -2\), distinto de cero, por lo tanto el sistema tiene una única solución. Al reemplazar \(x = 6\) e \(y = 4\) en las dos ecuaciones se obtienen los términos independientes 10 y 2, lo que confirma el resultado.

Respuesta:

\[x = 6 \qquad y = 4\]

EJERCICIO 2

Enunciado: Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

\[\begin{cases} 2x + y = 7 \\ x - y = 2 \end{cases}\]

Clasificación: Sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. Se resuelve con la regla de Cramer porque el determinante del sistema es distinto de cero.

Procedimiento en R:

resolver_sistema(2, 2, 1, 7, 1, -1, 2,
                 "2x + y = 7",
                 "x - y = 2")

## 
## ========================================
## EJERCICIO: 2 
## ========================================
## Sistema:
##  2x + y = 7 
##  x - y = 2 
## 
## PASO 1. Identificar los coeficientes
## a1 = 2  b1 = 1  c1 = 7 
## a2 = 1  b2 = -1  c2 = 2 
## 
## PASO 2. Calcular el determinante del sistema
## Formula: D = a1*b2 - a2*b1
## Reemplazando:
## D = ( 2 )*( -1 ) - ( 1 )*( 1 )
## D = -3 
## 
## PASO 3. Calcular Dx y Dy
## Dx = c1*b2 - c2*b1 = -9 
## Dy = a1*c2 - a2*c1 = -3 
## 
## PASO 4. Calcular las soluciones
## x = Dx/D = -9 / -3 = 3 
## y = Dy/D = -3 / -3 = 1 
## 
## PASO 5. Comprobacion
## Ecuacion 1: 2 *( 3 ) + 1 *( 1 ) = 7 
## Ecuacion 2: 1 *( 3 ) + -1 *( 1 ) = 2 
## 
## Interpretacion:
## El sistema es compatible determinado: tiene una unica solucion.
## 
## RESPUESTA FINAL:
## x = 3 
## y = 1 
## ========================================

Explicación del resultado: El determinante del sistema es \(D = -3\), distinto de cero, por lo tanto el sistema tiene una única solución. Al reemplazar \(x = 3\) e \(y = 1\) en las dos ecuaciones se obtienen los términos independientes 7 y 2, lo que confirma el resultado.

Respuesta:

\[x = 3 \qquad y = 1\]

EJERCICIO 3

Enunciado: Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

\[\begin{cases} 3x + 2y = 13 \\ 2x - y = 4 \end{cases}\]

Clasificación: Sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. Se resuelve con la regla de Cramer porque el determinante del sistema es distinto de cero.

Procedimiento en R:

resolver_sistema(3, 3, 2, 13, 2, -1, 4,
                 "3x + 2y = 13",
                 "2x - y = 4")

## 
## ========================================
## EJERCICIO: 3 
## ========================================
## Sistema:
##  3x + 2y = 13 
##  2x - y = 4 
## 
## PASO 1. Identificar los coeficientes
## a1 = 3  b1 = 2  c1 = 13 
## a2 = 2  b2 = -1  c2 = 4 
## 
## PASO 2. Calcular el determinante del sistema
## Formula: D = a1*b2 - a2*b1
## Reemplazando:
## D = ( 3 )*( -1 ) - ( 2 )*( 2 )
## D = -7 
## 
## PASO 3. Calcular Dx y Dy
## Dx = c1*b2 - c2*b1 = -21 
## Dy = a1*c2 - a2*c1 = -14 
## 
## PASO 4. Calcular las soluciones
## x = Dx/D = -21 / -7 = 3 
## y = Dy/D = -14 / -7 = 2 
## 
## PASO 5. Comprobacion
## Ecuacion 1: 3 *( 3 ) + 2 *( 2 ) = 13 
## Ecuacion 2: 2 *( 3 ) + -1 *( 2 ) = 4 
## 
## Interpretacion:
## El sistema es compatible determinado: tiene una unica solucion.
## 
## RESPUESTA FINAL:
## x = 3 
## y = 2 
## ========================================

Explicación del resultado: El determinante del sistema es \(D = -7\), distinto de cero, por lo tanto el sistema tiene una única solución. Al reemplazar \(x = 3\) e \(y = 2\) en las dos ecuaciones se obtienen los términos independientes 13 y 4, lo que confirma el resultado.

Respuesta:

\[x = 3 \qquad y = 2\]

EJERCICIO 4

Enunciado: Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

\[\begin{cases} 2x + 3y = 8 \\ 4x - y = 2 \end{cases}\]

Clasificación: Sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. Se resuelve con la regla de Cramer porque el determinante del sistema es distinto de cero.

Procedimiento en R:

resolver_sistema(4, 2, 3, 8, 4, -1, 2,
                 "2x + 3y = 8",
                 "4x - y = 2")

## 
## ========================================
## EJERCICIO: 4 
## ========================================
## Sistema:
##  2x + 3y = 8 
##  4x - y = 2 
## 
## PASO 1. Identificar los coeficientes
## a1 = 2  b1 = 3  c1 = 8 
## a2 = 4  b2 = -1  c2 = 2 
## 
## PASO 2. Calcular el determinante del sistema
## Formula: D = a1*b2 - a2*b1
## Reemplazando:
## D = ( 2 )*( -1 ) - ( 4 )*( 3 )
## D = -14 
## 
## PASO 3. Calcular Dx y Dy
## Dx = c1*b2 - c2*b1 = -14 
## Dy = a1*c2 - a2*c1 = -28 
## 
## PASO 4. Calcular las soluciones
## x = Dx/D = -14 / -14 = 1 
## y = Dy/D = -28 / -14 = 2 
## 
## PASO 5. Comprobacion
## Ecuacion 1: 2 *( 1 ) + 3 *( 2 ) = 8 
## Ecuacion 2: 4 *( 1 ) + -1 *( 2 ) = 2 
## 
## Interpretacion:
## El sistema es compatible determinado: tiene una unica solucion.
## 
## RESPUESTA FINAL:
## x = 1 
## y = 2 
## ========================================

Explicación del resultado: El determinante del sistema es \(D = -14\), distinto de cero, por lo tanto el sistema tiene una única solución. Al reemplazar \(x = 1\) e \(y = 2\) en las dos ecuaciones se obtienen los términos independientes 8 y 2, lo que confirma el resultado.

Respuesta:

\[x = 1 \qquad y = 2\]

EJERCICIO 5

Enunciado: Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

\[\begin{cases} 5x + 2y = 16 \\ 3x - 4y = -6 \end{cases}\]

Clasificación: Sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. Se resuelve con la regla de Cramer porque el determinante del sistema es distinto de cero.

Procedimiento en R:

resolver_sistema(5, 5, 2, 16, 3, -4, -6,
                 "5x + 2y = 16",
                 "3x - 4y = -6")

## 
## ========================================
## EJERCICIO: 5 
## ========================================
## Sistema:
##  5x + 2y = 16 
##  3x - 4y = -6 
## 
## PASO 1. Identificar los coeficientes
## a1 = 5  b1 = 2  c1 = 16 
## a2 = 3  b2 = -4  c2 = -6 
## 
## PASO 2. Calcular el determinante del sistema
## Formula: D = a1*b2 - a2*b1
## Reemplazando:
## D = ( 5 )*( -4 ) - ( 3 )*( 2 )
## D = -26 
## 
## PASO 3. Calcular Dx y Dy
## Dx = c1*b2 - c2*b1 = -52 
## Dy = a1*c2 - a2*c1 = -78 
## 
## PASO 4. Calcular las soluciones
## x = Dx/D = -52 / -26 = 2 
## y = Dy/D = -78 / -26 = 3 
## 
## PASO 5. Comprobacion
## Ecuacion 1: 5 *( 2 ) + 2 *( 3 ) = 16 
## Ecuacion 2: 3 *( 2 ) + -4 *( 3 ) = -6 
## 
## Interpretacion:
## El sistema es compatible determinado: tiene una unica solucion.
## 
## RESPUESTA FINAL:
## x = 2 
## y = 3 
## ========================================

Explicación del resultado: El determinante del sistema es \(D = -26\), distinto de cero, por lo tanto el sistema tiene una única solución. Al reemplazar \(x = 2\) e \(y = 3\) en las dos ecuaciones se obtienen los términos independientes 16 y \(-6\), lo que confirma el resultado.

Respuesta:

\[x = 2 \qquad y = 3\]

EJERCICIO 6

Enunciado: Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

\[\begin{cases} 2x + y = 4 \\ 4x - 3y = 3 \end{cases}\]

Clasificación: Sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. Se resuelve con la regla de Cramer porque el determinante del sistema es distinto de cero.

Procedimiento en R:

resolver_sistema(6, 2, 1, 4, 4, -3, 3,
                 "2x + y = 4",
                 "4x - 3y = 3")

## 
## ========================================
## EJERCICIO: 6 
## ========================================
## Sistema:
##  2x + y = 4 
##  4x - 3y = 3 
## 
## PASO 1. Identificar los coeficientes
## a1 = 2  b1 = 1  c1 = 4 
## a2 = 4  b2 = -3  c2 = 3 
## 
## PASO 2. Calcular el determinante del sistema
## Formula: D = a1*b2 - a2*b1
## Reemplazando:
## D = ( 2 )*( -3 ) - ( 4 )*( 1 )
## D = -10 
## 
## PASO 3. Calcular Dx y Dy
## Dx = c1*b2 - c2*b1 = -15 
## Dy = a1*c2 - a2*c1 = -10 
## 
## PASO 4. Calcular las soluciones
## x = Dx/D = -15 / -10 = 1.5 
## y = Dy/D = -10 / -10 = 1 
## 
## PASO 5. Comprobacion
## Ecuacion 1: 2 *( 1.5 ) + 1 *( 1 ) = 4 
## Ecuacion 2: 4 *( 1.5 ) + -3 *( 1 ) = 3 
## 
## Interpretacion:
## El sistema es compatible determinado: tiene una unica solucion.
## 
## RESPUESTA FINAL:
## x = 1.5 
## y = 1 
## ========================================

Explicación del resultado: El determinante del sistema es \(D = -10\), distinto de cero, por lo tanto el sistema tiene una única solución. Al reemplazar \(x = 1.5\) e \(y = 1\) en las dos ecuaciones se obtienen los términos independientes 4 y 3, lo que confirma el resultado.

Respuesta:

\[x = 1.5 \qquad y = 1\]

EJERCICIO 7

Enunciado: Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

\[\begin{cases} 2x + 4y = 6 \\ x + 2y = 5 \end{cases}\]

Clasificación: Sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. Se analiza con determinantes porque los coeficientes de \(x\) e \(y\) son proporcionales, pero los términos independientes no.

Procedimiento en R:

resolver_sistema(7, 2, 4, 6, 1, 2, 5,
                 "2x + 4y = 6",
                 "x + 2y = 5")

## 
## ========================================
## EJERCICIO: 7 
## ========================================
## Sistema:
##  2x + 4y = 6 
##  x + 2y = 5 
## 
## PASO 1. Identificar los coeficientes
## a1 = 2  b1 = 4  c1 = 6 
## a2 = 1  b2 = 2  c2 = 5 
## 
## PASO 2. Calcular el determinante del sistema
## Formula: D = a1*b2 - a2*b1
## Reemplazando:
## D = ( 2 )*( 2 ) - ( 1 )*( 4 )
## D = 0 
## 
## PASO 3. Calcular Dx y Dy
## Dx = c1*b2 - c2*b1 = -8 
## Dy = a1*c2 - a2*c1 = 4 
## 
## PASO 4. Analizar el sistema
## D = 0, pero Dx o Dy es distinto de 0
## 
## Interpretacion:
## El sistema es incompatible: no tiene solucion.
## 
## RESPUESTA FINAL:
## No existe solucion.
## ========================================

Explicación del resultado: El determinante del sistema es \(D = 0\), pero \(D_x = -8\) es distinto de cero. El lado izquierdo de la primera ecuación es el doble del de la segunda, pero su término independiente (6) no es el doble de 5, por lo tanto el sistema es incompatible y no tiene solución.

Respuesta: El sistema no tiene solución.

EJERCICIO 8

Enunciado: Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

\[\begin{cases} 3x - 6y = 9 \\ x - 2y = 3 \end{cases}\]

Clasificación: Sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. Se analiza con determinantes porque los coeficientes de una ecuación son proporcionales a los de la otra.

Procedimiento en R:

resolver_sistema(8, 3, -6, 9, 1, -2, 3,
                 "3x - 6y = 9",
                 "x - 2y = 3")

## 
## ========================================
## EJERCICIO: 8 
## ========================================
## Sistema:
##  3x - 6y = 9 
##  x - 2y = 3 
## 
## PASO 1. Identificar los coeficientes
## a1 = 3  b1 = -6  c1 = 9 
## a2 = 1  b2 = -2  c2 = 3 
## 
## PASO 2. Calcular el determinante del sistema
## Formula: D = a1*b2 - a2*b1
## Reemplazando:
## D = ( 3 )*( -2 ) - ( 1 )*( -6 )
## D = 0 
## 
## PASO 3. Calcular Dx y Dy
## Dx = c1*b2 - c2*b1 = 0 
## Dy = a1*c2 - a2*c1 = 0 
## 
## PASO 4. Analizar el sistema
## D = 0, Dx = 0 y Dy = 0
## 
## Interpretacion:
## El sistema es compatible indeterminado: tiene infinitas soluciones.
## 
## RESPUESTA FINAL:
## Infinitas soluciones (las dos ecuaciones son equivalentes).
## ========================================

Explicación del resultado: El determinante del sistema es \(D = 0\) y además \(D_x = 0\) y \(D_y = 0\). La primera ecuación es equivalente a la segunda (se obtiene al multiplicarla por 3), por lo tanto el sistema es compatible indeterminado y tiene infinitas soluciones.

Respuesta: Infinitas soluciones. Por ejemplo, \(x = 3 + 2y\): para \(y = 0\) se tiene \(x = 3\) y para \(y = 1\) se tiene \(x = 5\).

5.6. Clasificación general de los sistemas de ecuaciones lineales

La forma general de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas es:

\[\begin{cases} a_1 x + b_1 y = c_1 \\ a_2 x + b_2 y = c_2 \end{cases}\]

• Compatible determinado: tiene una única solución. Gráficamente, las dos rectas se cortan en un solo punto. Ocurre cuando \(D \neq 0\) (ejercicios 1 al 6).
• Compatible indeterminado: tiene infinitas soluciones. Gráficamente, las dos rectas coinciden. Ocurre cuando \(D = 0\), \(D_x = 0\) y \(D_y = 0\) (ejercicio 8).
• Incompatible: no tiene solución. Gráficamente, las dos rectas son paralelas y no se cortan. Ocurre cuando \(D = 0\) y \(D_x\) o \(D_y\) es distinto de cero (ejercicio 7).

6. Conclusiones

• Las ecuaciones cuadráticas tienen como mayor exponente de la incógnita el número dos.
• La fórmula general permite encontrar las soluciones de una ecuación de segundo grado.
• El discriminante permite identificar si las soluciones son reales diferentes, reales dobles o complejas.
• Un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas está formado por dos ecuaciones de primer grado que deben cumplirse al mismo tiempo.
• La regla de Cramer permite encontrar las soluciones de un sistema mediante el cálculo de determinantes, y el determinante del sistema indica si tiene una solución, infinitas soluciones o ninguna.
• El lenguaje R facilita los cálculos matemáticos y permite comprobar los resultados.
• Las funciones creadas en R permiten resolver los dieciséis ejercicios de forma organizada, incluyendo los casos incompatible e indeterminado de los sistemas.
• R Markdown permite integrar explicaciones, fórmulas matemáticas, códigos y resultados en un solo documento.