Introducción

En esta publicación se presentan ejemplos de cómo resolver ecuaciones de segundo grado y sistemas de ecuaciones con dos incógnitas utilizando el lenguaje de programación R mediante R Markdown.

R permite realizar cálculos matemáticos de forma rápida y comprobar los resultados obtenidos.

1. Ecuaciones de segundo grado

Una ecuación de segundo grado tiene la forma:

\[ ax^2+bx+c=0 \]

Para resolverla podemos utilizar la fórmula general:

\[ x = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \]

El siguiente código en R permite calcular las dos soluciones.

Ejemplo 1

Resolver:

\[ x^2-5x+6=0 \]

Identificamos los valores:

\[ a=1,\quad b=-5,\quad c=6 \]

En R:

a <- 1
b <- -5
c <- 6

discriminante <- b^2 - 4*a*c

x1 <- (-b + sqrt(discriminante))/(2*a)
x2 <- (-b - sqrt(discriminante))/(2*a)

x1
## [1] 3
x2
## [1] 2

Resultado:

\[ x_1=3 \]

\[ x_2=2 \]

Comprobación:

x <- x1
x^2 - 5*x + 6
## [1] 0

El resultado es 0, por lo tanto, la solución es correcta.

Ejemplo 2

Resolver:

\[ 2x^2+3x-2=0 \]

Identificamos:

\[ a=2,\quad b=3,\quad c=-2 \]

En R:

a <- 2
b <- 3
c <- -2

discriminante <- b^2 - 4*a*c

x1 <- (-b + sqrt(discriminante))/(2*a)
x2 <- (-b - sqrt(discriminante))/(2*a)

x1
## [1] 0.5
x2
## [1] -2

Resultado:

\[ x_1=\frac{1}{2} \]

\[ x_2=-2 \]

Comprobación:

2 * x1^2 + 3 * x1 - 2
## [1] 0
2 * x2^2 + 3 * x2 - 2
## [1] 0

En ambos casos se obtiene 0, por lo que las soluciones son

2. Sistemas de ecuaciones de dos incógnitas

Un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas puede expresarse como:

\[ \begin{cases} ax + by = c \\ dx + ey = f \end{cases} \]

En R:

Ejemplo 1: Método de sustitución

Resolver el siguiente sistema:

\[\begin{cases} x - y = 2\\ x + y = 10 \end{cases}\]

Paso 1. Despejar una incógnita

Despejamos (x) en la segunda ecuación:

\[ x=10-y \]

Paso 2. Sustituir en la primera ecuación.

Reemplazamos el valor de (x):

\[ (10-y)-y=2 \]

Reducimos términos semejantes:

\[ 10-2y=2 \]

Despejamos (y):

\[ -2y=2-10 \]

\[ y=\frac{-8}{-2}=4 \]

Paso 3. Encontrar el valor de x.

Sustituimos (y=4):

\[ x=10-4=6 \]

Solución:

\[ \boxed{x=6,\quad y=4} \]

Comprobación en R:

x <- 6
y <- 4

x + y
## [1] 10
x - y
## [1] 2

Los resultados son 10 y 2, por lo tanto, la solución es correcta.

Ejemplo 2: Método de eliminación o reducción

Resolver el siguiente sistema:

\[ \begin{cases} 2x - y = 4 \\ 2x + 3y = 12 \end{cases} \]

Paso 1. Restar las ecuaciones

Restamos la segunda ecuación de la primera:

\[ (2x+3y)-(2x-y) = 12-4 \]

Eliminamos los términos con (x):

\[ 4y=8 \]

Despejamos:

\[ y=\frac{8}{4}=2 \]

Paso 2. Encontrar el valor de x.

Sustituimos (y=2) en la primera ecuación:

\[ 2x-2=4 \]

Despejamos:

\[ 2x=4+2 \]

\[ x=\frac{6}{2}=3 \]

Solución:

\[ \boxed{x=3,\quad y=2} \]

Comprobación en R:

x <- 3
y <- 2

2*x + 3*y
## [1] 12
2*x - y
## [1] 4

Los resultados son 12 y 4, respectivamente. Por lo tanto, la solución es correcta.

Conclusión

R Markdown permite combinar texto, fórmulas matemáticas y código R en un mismo documento. En los ejemplos anteriores se resolvieron dos ecuaciones de segundo grado utilizando la fórmula general y dos sistemas de dos incógnitas utilizando el método de sustitución y el método de eliminacion o reducción.

Además, se realizaron comprobaciones para verificar que los resultados obtenidos satisfacen las ecuaciones originales.