1 Resumen

Activo elegido: Exxon Mobil Corporation (XOM), acción negociada en la Bolsa de Nueva York (NYSE), en dólares estadounidenses.

Pregunta de investigación: ¿Un modelo de series de tiempo nos ayuda a decidir si conviene comprar acciones de XOM durante los próximos tres meses?

Muestra: de 28/02/2015 a 30/09/2026, con 140 observaciones mensuales.

Capital disponible: USD 100,000. Horizonte de cada inversión: 3 meses.

Resultado principal: el modelo seleccionado con la muestra de entrenamiento fue ARIMA_010. Desde la fecha de corte 31/10/2023, la regla lleva a COMPRAR XOM porque el rendimiento previsto a tres meses es 1.64%. Se trata de una decisión basada en una estimación, no de una ganancia asegurada.

2 Contexto de mercado y fuentes

Exxon Mobil es una empresa energética con negocios relacionados con petróleo, gas y productos derivados. Se eligio XOM porque tiene precios historicos disponibles y su actividad esta relacionada economicamente con el mercado del crudo. Cotiza como XOM en la NYSE (Exxon Mobil, 2026).

Utilizamos el cierre ajustado de XOM de Yahoo Finance (quantmod) y el precio mensual del crudo WTI de FRED (serie MCOILWTICO, suministrada por EIA). Los precios de la acción representan USD por acción; el WTI se mide en USD por barril. Si se utiliza cierre ajustado, el precio incorpora ajustes reportados por el proveedor; si se utiliza cierre sin ajustar, pueden no estar reflejados los dividendos y otros eventos (Yahoo Finance, s. f.; EIA, s. f.).

Tres hechos económicos para interpretar la muestra:

  1. En 2020, la pandemia redujo la demanda de petróleo y presionó los precios a la baja (EIA, 2021).
  2. En 2022, la invasión de Ucrania por Rusia generó incertidumbre y fuertes subidas del crudo (EIA, 2022).
  3. En 2023, los recortes de producción de OPEP+ afectaron la oferta mundial de petroleo (EIA, 2023).

Estos hechos sirven para dar contexto, pero por si solos no prueban que causaron cada cambio en la cotización de XOM.

Regla de inversión del ejercicio: comprar XOM si el modelo pronostica una apreciación superior al 1% para los siguientes tres meses; en caso contrario, conservar efectivo. El capital virtual es USD 100.000 y no se incluyen impuestos ni comisiones. La regla se aplica sin cambiarla al observar los resultados posteriores. Es una regla para comparar los resultados históricos; por sí sola no demuestra que la estrategia sea rentable en otras fechas.

3 Información y preparación de los datos

Se usa frecuencia mensual para reducir el ruido de los cambios diarios y tener un ejercicio manejable. En XOM se toma el último cierre ajustado disponible de cada mes. En WTI se utiliza el precio promedio mensual publicado por FRED. Como la publicación del promedio mensual no es simultánea al cierre bursátil, se utiliza WTI del mes anterior en ARIMAX y SARIMAX. En una aplicación real también habría que verificar la fecha en que se publicó cada promedio mensual del WTI.

Primeras observaciones de la muestra
Fecha XOM (USD) WTI (USD/barril) Log WTI anterior
2015-02-28 54.56 50.58 3.85
2015-03-31 52.38 47.82 3.92
2015-04-30 53.84 54.45 3.87
2015-05-31 52.94 59.27 4.00
2015-06-30 51.69 59.82 4.08
2015-07-31 49.22 50.90 4.09
2015-08-31 47.19 42.87 3.93
2015-09-30 46.63 45.48 3.76
Comprobaciones de la base
Comprobacion Resultado
Observaciones mensuales 140
Registros incompletos 0
Meses duplicados 0
Meses intermedios faltantes 0

Estadísticas descriptivas de XOM
Estadístico Valor
Promedio precio (USD) 73.16
Mediana precio (USD) 56.60
Precio minimo (USD) 25.52
Precio maximo (USD) 167.43
Retorno mensual promedio (%) 0.79
Volatilidad mensual (%) 7.70
Volatilidad anual aproximada (%) 26.67

En los gráficos vemos que el precio de XOM no siguió una trayectoria constante. Hubo períodos de caída y otros de recuperación. El precio mínimo de la muestra fue de USD 25.52 y el máximo de USD 167.43. Esto nos permite ver que la acción tuvo cambios importantes durante los años analizados.

Los rendimientos mensuales también subieron y bajaron. Su desviación estándar fue de 7.70%, que muestra que el cambio de un mes a otro puede ser considerable. Por eso no basta con observar si el precio termina más alto: también necesitamos revisar cuánto varió durante el recorrido.

Transformación Box-Cox. Se estimó lambda con entrenamiento. Se utiliza el logaritmo natural del precio para interpretar las diferencias como retornos logarítmicos; esta elección puede ser distinta de la lambda que minimiza el criterio de Guerrero.

Revisión de la transformación Box-Cox
Concepto Resultado
Lambda estimada en entrenamiento 0.744
Transformación utilizada Logaritmo del precio (lambda = 0)

La prueba de Box-Cox estimó una lambda de 0.744. Este resultado no está cerca de cero, así que el logaritmo no es la transformación sugerida por Box-Cox. De todos modos, trabajamos con el logaritmo porque nos permite interpretar sus diferencias como rendimientos. Reconocemos que es una elección práctica y no la transformación que obtuvo el mejor valor en esa prueba.

4 Modelos utilizados

AR y MA. Un AR(1) usa la observación anterior: \(y_t=c+\phi_1 y_{t-1}+\varepsilon_t\). Un MA(1) usa el error anterior: \(y_t=c+\varepsilon_t+\theta_1\varepsilon_{t-1}\).

Operador rezago y diferenciación. Si \(Ly_t=y_{t-1}\), entonces \((1-L)y_t=y_t-y_{t-1}\). Cuando la serie presenta tendencia, diferenciarla ayuda a trabajar con cambios en lugar de niveles. Para \(d\) diferencias se escribe \((1-L)^dy_t\). Aquí \(y_t=\log(P_t)\), y \(\Delta y_t\) aproxima el rendimiento mensual.

ARIMA(p,d,q). Combinando los componentes anteriores:

\[\underbrace{(1-\phi_1 L-\cdots-\phi_pL^p)}_{AR(p)}(1-L)^d y_t = c+\underbrace{(1+\theta_1L+\cdots+\theta_qL^q)}_{MA(q)}\varepsilon_t.\]

ARIMAX. Incorpora una variable externa \(X_t\), que aquí es \(\log(WTI_{t-1})\):

\[\phi(L)(1-L)^d[y_t-\beta X_t]=\theta(L)\varepsilon_t.\]

\(\beta\) representa una relación estadística condicional, no una prueba de causalidad. Cuando \(d=1\), la ecuación trabaja con cambios en el logaritmo del precio y del regresor. El WTI tiene relación económica con el negocio de XOM. En los pronósticos, el primer WTI rezagado ya es conocido; para los meses siguientes se necesita proyectar el WTI sin utilizar datos futuros observados.

SARIMAX. Añade patrones estacionales con periodo \(s=12\) para datos mensuales:

\[\Phi(L^{12})\phi(L)(1-L)^d(1-L^{12})^D[y_t-\beta X_t]=\Theta(L^{12})\theta(L)\varepsilon_t.\]

\((p,d,q)(P,D,Q)_{12}\) distingue la dinámica habitual de la estacional. La periodicidad de 12 meses es una hipótesis a evaluar, no una prueba de estacionalidad; por eso los candidatos estacionales conservan \(D=0\) y se comparan contra modelos más sencillos.

5 Identificación y estimación de modelos

Dividimos la base cronológicamente en 75% train y 25% test. Esto deja 105 meses para estimar los modelos y 35 meses para comprobarlos. La fecha de corte \(T_0\) es 31/10/2023. Ningún dato de test se utiliza para escoger o calibrar el modelo inicial.

División cronológica de los datos
Conjunto Inicio Final Meses
Entrenamiento 2015-02-28 2023-10-31 105
Prueba 2023-11-30 2026-09-30 35

Pruebas de estacionariedad: ADF y PP tienen como hipótesis nula la presencia de raíz unitaria; KPSS tiene como hipótesis nula la estacionariedad. Su interpretación conjunta ayuda a decidir cuántas diferencias utilizar.

Pruebas de estacionariedad en entrenamiento
Serie ADF (p) PP (p) KPSS (p)
Log-precio 0.9072 0.896 0.034
Diferencia del log-precio 0.0100 0.010 0.100

Interpretación. En el logaritmo del precio, ADF y PP dieron valores p de 0.907 y 0.896. Como son mayores que 0,05, no rechazamos la presencia de raíz unitaria. Además, KPSS obtuvo 0.034, por debajo de 0,05, lo que también indica que el precio en niveles no se comporta como una serie estacionaria.

Al calcular la primera diferencia del logaritmo, los resultados cambian: ADF y PP tienen valores p de 0.010 y 0.010, y KPSS de 0.100. En conjunto, estos resultados respaldan trabajar con una diferencia (\(d=1\)). Esto fue lo que usamos en los modelos siguientes.

En la ACF del log-precio observamos que las correlaciones van disminuyendo lentamente. Después de aplicar la primera diferencia, la mayoría de las barras de la ACF y la PACF quedan cerca de cero y dentro de las bandas de referencia. Por eso decidimos empezar con modelos sencillos, con uno o ningún término AR y MA. También probamos algunos componentes de 12 meses, porque los datos son mensuales, pero no asumimos que exista estacionalidad solamente por tener esa frecuencia.

Modelos candidatos estimados con entrenamiento
Modelo AICc BIC Parámetros Ljung-Box (p) Ljung-Box p > 0,05
ARIMA_010 -222.00 -216.83 1 0.525 TRUE
SARIMA_011_001 -221.65 -211.48 3 0.752 TRUE
SARIMAX_110_100 -220.09 -207.48 4 0.751 TRUE
ARIMA_011 -219.96 -212.26 2 0.479 TRUE
ARIMA_110 -219.95 -212.26 2 0.475 TRUE
ARIMAX_011 -219.06 -208.89 3 0.523 TRUE
ARIMAX_110 -219.06 -208.89 3 0.523 TRUE
ARIMA_111 -217.82 -207.64 3 0.424 TRUE

Selección del modelo. Comparamos AICc, BIC y el diagnóstico de Ljung-Box. Entre los modelos que no presentaron evidencia de autocorrelación residual al 5%, escogimos el de menor AICc. El seleccionado fue ARIMA_010, con AICc de -222.00. Esto no significa que sea perfecto, sino que fue el candidato que mejor cumplió el criterio que usamos con los datos de entrenamiento. La elección se mantiene al evaluar la prueba final.

Coeficientes del modelo elegido
Parámetro Estimación Error estándar Valor p aproximado
drift 0.0054 0.008 0.4978

Interpretación. La deriva estimada fue de 0.0054 por mes en el logaritmo del precio, con valor p de 0.498. Como este valor supera 0,05, no hay evidencia estadística suficiente para afirmar que la tendencia mensual sea distinta de cero. La señal de compra debe mirarse con cautela.

6 Revisión de los residuos

Los residuos son la parte que el modelo no logró explicar. Idealmente no deben mostrar un patrón temporal claro ni una autocorrelación importante.

Diagnóstico de los residuos del modelo elegido
Prueba Valor p
Ljung-Box (autocorrelacion) 0.525
Jarque-Bera (normalidad) < 0,001
ARCH LM aproximada (varianza) 0.005

La prueba de Ljung-Box dio un valor p de 0.525. Como es mayor que 0,05, no encontramos evidencia suficiente de autocorrelación en los residuos. Esto es importante porque el modelo debería dejar errores sin un patrón fácil de anticipar.

En cambio, Jarque-Bera obtuvo un valor p de < 0,001, y la prueba ARCH aproximada, de 0.005. Los residuos no siguen bien una distribución normal. También hay indicios de que la variabilidad de los errores cambia con el tiempo. Por eso los intervalos de pronóstico deben tomarse con cautela, aunque la prueba de autocorrelación haya sido favorable.

7 Comparación de pronósticos

Para evaluar fuera de muestra, pronosticamos test sin introducir sus precios en el modelo. El WTI rezagado de la primera predicción es conocido en \(T_0\); para los demás meses se construye una trayectoria proyectada de WTI usando solo entrenamiento, mediante un paseo aleatorio con deriva. No se usan valores reales futuros de la variable externa.

Compararemos todos los candidatos sobre las mismas fechas. MAE y RMSE están en USD por acción; MAPE, en porcentaje; MASE compara el MAE con el cambio medio mensual de train. El benchmark naive mantiene el último precio visto.

Errores de pronóstico fuera de muestra
Modelo MAE (USD) RMSE (USD) MAPE (%) MASE
SARIMAX_110_100 12.755 19.124 9.395 3.869
ARIMA_111 13.607 20.479 9.962 4.127
ARIMAX_110 13.620 20.490 9.971 4.131
ARIMAX_011 13.620 20.490 9.971 4.131
ARIMA_011 13.650 20.534 9.992 4.140
ARIMA_110 13.669 20.558 10.005 4.146
ARIMA_010 13.846 20.800 10.128 4.200
SARIMA_011_001 13.988 20.878 10.249 4.242
NAIVE 22.392 30.700 16.725 6.791

El menor RMSE en el período de prueba lo obtuvo SARIMAX_110_100, con 19.12 USD. El modelo que habíamos seleccionado en entrenamiento, ARIMA_010, obtuvo 20.80 USD, y el pronóstico ingenuo, 30.70 USD.

Esto nos muestra dos cosas. Primero, el modelo elegido consiguió un error menor que simplemente repetir el último precio conocido. Segundo, SARIMAX_110_100 logró un error menor en prueba, aunque no fue el seleccionado inicialmente. No cambiamos el modelo después de observar el test, porque ese conjunto se reservó para comprobar el pronóstico.

En la gráfica se aprecia que el pronóstico y el precio real no avanzan exactamente de la misma forma. En algunos meses hay diferencias importantes, lo cual es esperable cuando hacemos un pronóstico de muchos meses desde una sola fecha de corte. La banda gris muestra un intervalo del 95% calculado bajo los supuestos del modelo; no garantiza que el precio termine dentro de ella. En los modelos con WTI, tampoco recoge por completo la incertidumbre de la trayectoria futura de esa variable.

8 Aplicación: ejercicio de inversión

Nuestro corte histórico \(T_0\) es 31/10/2023. En ese momento solo conocemos train. La regla se evalúa con el cierre ajustado de 95.92 USD y un horizonte de tres meses.

concepto resultado
Precio en T0 (USD) 95.92
Precio pronosticado a 3 meses (USD) 97.49
Retorno pronosticado (%) 1.64
Umbral de compra (%) 1.00
Capital estrategia al cabo de 3 meses (USD) 98016.19
Capital comprar y mantener 3 meses (USD) 98016.19
Capital solo efectivo 3 meses (USD) 100000.00

El rendimiento pronosticado para los siguientes tres meses fue de 1.64%. Como supera el umbral del 1%, la regla indica COMPRAR XOM. Es una decisión dentro del ejercicio, no una recomendación real de inversión. Además, la estimación de la deriva del modelo fue incierta, así que no debemos tomar ese porcentaje como una ganancia segura.

8.1 Evaluación de la estrategia por períodos de tres meses

Para dar una comparación adicional, repetimos el ejercicio trimestralmente en test. En cada fecha se reestima la misma estructura de modelo con datos disponibles hasta ese mes, y se pronostican tres meses nuevos; nunca usamos datos posteriores a la fecha de la decision. Los meses restantes que no completan un trimestre no entran en este cálculo.

Decisiones trimestrales en el período de prueba
Fecha inicial Fecha final Previsto_pct Decision Observado_pct Capital final (USD)
2023-10-31 2024-01-31 1.64 Comprar -1.98 98016.19
2024-01-31 2024-04-30 1.54 Comprar 16.11 113803.22
2024-04-30 2024-07-31 1.91 Comprar 1.09 115037.99
2024-07-31 2024-10-31 1.89 Comprar -0.73 114194.21
2024-10-31 2025-01-31 1.82 Comprar -7.77 105322.94
2025-01-31 2025-04-30 1.57 Comprar -0.24 105071.37
2025-04-30 2025-07-31 1.52 Comprar 6.66 112072.37
2025-07-31 2025-10-31 1.64 Comprar 3.39 115871.19
2025-10-31 2026-01-31 1.68 Comprar 24.73 144521.61
2026-01-31 2026-04-30 2.16 Comprar 9.87 158788.44
2026-04-30 2026-07-31 2.32 Comprar 1.40 161016.04
Comparación de estrategias con USD 100.000 iniciales
Estrategia Capital final (USD) Rendimiento (%)
Regla de pronostico 161016 61.02
Comprar y mantener XOM 161016 61.02
Siempre efectivo 100000 0.00

En los 11 períodos del ejercicio, el modelo indicó comprar 11 veces. Como siempre dio señal de compra, la estrategia terminó comportándose igual que comprar y mantener XOM. El capital final de la regla fue USD 161,016.04, frente a USD 161,016.04 de comprar y mantener. En esta prueba, el uso del pronóstico no produjo una ventaja adicional frente a comprar y mantener. Los resultados son históricos y no incluyen comisiones ni impuestos.

9 Conclusiones y limitaciones

En este trabajo utilizamos los precios mensuales de ExxonMobil y el WTI para aplicar los modelos ARIMA, ARIMAX y SARIMAX que vimos en clase. Las pruebas ADF, PP y KPSS nos ayudaron a comprobar por qué era necesario trabajar con la primera diferencia del logaritmo del precio.

De los modelos estimados con entrenamiento, escogimos ARIMA_010, siguiendo el criterio de AICc y Ljung-Box. Aunque los residuos no mostraron autocorrelación importante según Ljung-Box (p = 0.525), las otras pruebas indicaron que no cumplían todos los supuestos. Por eso consideramos que el modelo puede servir para practicar pronósticos, pero tiene limitaciones.

En el período de prueba, el RMSE del modelo elegido fue 20.80 USD, frente a 30.70 USD del pronóstico ingenuo. Sin embargo, el menor RMSE de todos los candidatos lo obtuvo SARIMAX_110_100. Esto nos enseñó que escoger un modelo con los datos de entrenamiento no garantiza que sea el que mejor funcione en un período posterior. Tampoco podemos concluir que haya una estacionalidad fuerte solo porque un modelo estacional haya tenido un error menor en test.

Para el ejercicio de inversión, la primera señal fue COMPRAR XOM. En la comparación trimestral, la estrategia terminó con USD 161,016.04, mientras que comprar y mantener terminó con USD 161,016.04. Como ambas estrategias terminaron igual, no encontramos una ventaja adicional por usar la regla de pronósticos en este período.

La principal dificultad fue pronosticar los movimientos reales de una acción durante varios meses. El precio depende de noticias, condiciones del mercado y situaciones que estos modelos no pueden anticipar por completo. Además, utilizamos un supuesto para proyectar el WTI cuando no conocíamos su valor futuro, y no incluimos costos de transacción ni impuestos. Por estas razones, los resultados sirven para entender el procedimiento de clase, pero no deben tomarse como una predicción segura de inversión.

10 Referencias y reproducibilidad

Referencias bibliográficas:

Versiones utilizadas para generar el informe
Programa Version
R 4.6.1
quantmod 0.4.29
forecast 9.0.2
tseries 0.10.63
zoo 1.9.1
ggplot2 4.0.3
knitr 1.51
rmarkdown 2.32
curl 8.1.0
jsonlite 2.0.0

11 Uso de inteligencia artificial como herramienta de apoyo

Durante el desarrollo de este trabajo utilizamos herramientas de inteligencia artificial como apoyo para mejorar y perfeccionar los códigos en R, organizar la estructura del documento y facilitar la conexión directa con Yahoo Finance para obtener los datos históricos necesarios.

Esta herramienta nos permitió encontrar soluciones de programación más eficientes, corregir errores y adaptar los códigos a las necesidades de cada análisis.

El equipo fue responsable de comprender los procedimientos, revisar los resultados obtenidos y desarrollar las interpretaciones y conclusiones del trabajo. La inteligencia artificial se utilizó principalmente como una herramienta de apoyo técnico para facilitar la programación y mejorar el desarrollo del ejercicio.

Consideramos que su uso fue un complemento para nuestro aprendizaje, ya que nos permitió concentrarnos en comprender y aplicar los conceptos de econometría financiera.