Reporte: Análisis del Impacto de la Inversión Publicitaria sobre las Ventas

Introducción

En el ámbito empresarial, la publicidad representa una estrategia importante para promover productos y servicios, atraer consumidores e incrementar las ventas. Por ello, resulta relevante analizar si existe una relación entre los recursos económicos destinados a las distintas formas de publicidad y los resultados obtenidos en términos de ventas.

Para realizar este análisis, se utiliza el conjunto de datos marketing disponible en el paquete datarium de R, el cual contiene información sobre 200 observaciones relativas a presupuestos de inversión publicitaria en diferentes medios (YouTube, Facebook y prensa escrita) y las ventas resultantes.

Nuestro objetivo es analizar cómo influye la inversión en publicidad ($X = \text{total\_adv}$, en miles de dólares) sobre el volumen de ventas ($Y = \text{sales}$, en miles de unidades).

Análisis Exploratorio de Datos

Antes de construir el modelo de regresión, es importante realizar una exploración inicial de los datos que permita conocer el comportamiento de las variables involucradas e identificar posibles patrones en su relación.

Estadísticos Descriptivos Univariados (Dataset marketing)
Variable	min	Q1	median	Q3	max	mean	sd	n	missing
Inversión Publicitaria Total (total_adv - miles de dólares)	14.04	148.26	248.82	337.35	520.32	241.03	111.58	200	0
Ventas (sales - miles de unidades)	1.92	12.45	15.48	20.88	32.40	16.83	6.26	200	0

Gráfico de dispersión

Se analizará la relación gráfica entre la inversión publicitaria y el volumen de ventas para identificar la dirección de la asociación y determinar si resulta razonable ajustar una recta de regresión.

La gráfica evidencia una tendencia lineal directa (positiva) entre ambas variables. Se observa visualmente que a medida que se incrementa la inversión publicitaria total (eje $X$), el volumen de ventas (eje $Y$) aumenta, lo que sugiere una relación entre ambas variables.

Ajuste del Modelo de Regresión Lineal Simple

El modelo matemático poblacional se define como:

$Y_i=\beta_0+\beta_1X_i+\varepsilon_i$

Donde:

$Y_i$ es el volumen de ventas (sales).
$X_i$ es la inversión publicitaria total (total_adv).
$\beta_0$ es el intercepto.
$\beta_1$ es la pendiente.
$\varepsilon_i$ es el término de error aleatorio.

Estimación de los coeficientes


Call:
lm(formula = sales ~ total_adv, data = marketing)

Residuals:
    Min      1Q  Median      3Q     Max 
-9.6655 -1.5685  0.1408  1.9153  8.6274 

Coefficients:
            Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept) 5.091634   0.526230   9.676   <2e-16 ***
total_adv   0.048688   0.001982  24.564   <2e-16 ***
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Residual standard error: 3.12 on 198 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.7529,    Adjusted R-squared:  0.7517 
F-statistic: 603.4 on 1 and 198 DF,  p-value: < 2.2e-16

Interpretación de los parámetros

Intercepto ($\beta_0$ ): Representa el volumen de ventas estimado cuando la inversión publicitaria es de cero miles de dólares. En este caso, se estiman ventas de aproximadamente 5.09 miles de unidades.
Pendiente ($\beta_1$ ): Por cada incremento de mil dólares en la inversión publicitaria, se estima que el volumen de ventas aumenta en promedio 0.048688 miles de unidades, es decir, aproximadamente 48.69 unidades.

Diagnóstico del Modelo

Para garantizar decisiones confiables, validamos las condiciones sobre los errores ($\varepsilon_i$).

Análisis detallado de los supuestos

Homocedasticidad (Residuals vs Fitted ): En el gráfico Residuals vs Fitted , la línea roja presenta una tendencia ascendente y se observa una mayor dispersión de los residuos conforme aumentan los valores ajustados. Este comportamiento sugiere una posible falta de homocedasticidad, por lo que sería conveniente verificar este supuesto mediante una prueba estadística.
Normalidad de los errores (Q-Q Normal): En el gráfico Normal Q-Q, la mayoría de los puntos se alinean bastante bien sobre la línea diagonal punteada. Se observan algunas desviaciones en los extremos, principalmente en las observaciones 166, 179 y 129, lo que indica que el supuesto de normalidad de los residuos se cumple de manera aproximada.
Puntos influyentes (Residuals vs Leverage): Se identifican algunas observaciones como las 132,166 y 179, que presentan residuos relativamente elevados que podrian ejercer una influencia sobre la recta de regresión.

Supuesto de Normalidad de los residuales

Planteamiento de las Hipótesis

Para cualquier prueba de normalidad sobre los residuales del modelo ($\varepsilon_i$):

$H_0$ (Hipótesis Nula): Los residuales del modelo siguen una distribución normal ($\varepsilon_i \sim N(0, \sigma^2)$).
$H_1$ (Hipótesis Alternativa): Los residuales del modelo no siguen una distribución normal.

Regla de Decisión ($\alpha = 0.05$):
- Si $p\text{-valor} > 0.05$: No se rechaza $H_0$. Se concluye que existe evidencia suficiente de que se cumple el supuesto de normalidad en los residuales.
- Si $p\text{-valor} \le 0.05$: Se rechaza $H_0$. Existen evidencias de que los residuales no se distribuyen de forma normal.
```
  Lilliefors (Kolmogorov-Smirnov) normality test

data:  modelo_marketing$residuals
D = 0.078008, p-value = 0.004837
```

Como el $p\text{-valor} = 0.004837$ es inferior al nivel de significancia $\alpha = 0.05$, se rechaza la hipótesis nula ($H_0$). Por lo tanto, con un nivel de confianza del 95%, los residuales no siguen una distribución normal en esta prueba.

Supuesto de Homocedasticidad

Planteamiento de las Hipótesis

Hipótesis NUla: $H_0$: Los residuales son homocedásticos / varianza constante)
Hipótesis Alternativa:$H_1$: Los residuales son heterocedásticos (la varianza de los errores no es constante).

Regla de Decisión (α=0.05):

Si $p\text{-valor} > 0.05$ no se rechazas $H_0$, lo que significa que sí se cumple la homocedasticidad.
Si $p\text{-valor} \leq0.05$ se rechaza $H_0$, entonces existe evidencia de heterocedasticidad.


    studentized Breusch-Pagan test

data:  modelo_marketing
BP = 28.815, df = 1, p-value = 7.962e-08

Mediante la prueba de Breusch-Pagan se obtuvo un estadístico $\chi^2 = 28.815$ (o $BP = 28.815$) con 1 grado de libertad y un $p\text{-valor} = 7.962 \times 10^{-8}).$

Conclusión: Al ser el $p\text{-valor} = 7.962 \times 10^{-8}$ inferior al nivel de significancia $\alpha=0.05$ se rechaza la hipótesis nula ($H_0$) con un nivel de confianza del 95%. Por lo tanto, existe evidencia estadística suficiente para afirmar que los residuales presentan heterocedasticidad, es decir, que la varianza de los errores no es constante.

Supuesto de Independencia

Planteamiento de las Hipótesis

Hipótesis NUla: $H_0: \rho=0.05$ (Los errores son independientes / No existe autocorrelación en los residuales).
Hipótesis Alternativa:$H_1:\rho=0.05$(Existe autocorrelación en los residuales).

Regla de Decisión (α=0.05):

Si $p\text{-valor} > 0.05$ no se rechazas $H_0$, lo que significa que sí se cumple el supuesto de independencia.
Si $p\text{-valor} \leq0.05$ se rechaza $H_0$, entonces existe autocorrelación entre los residuales.


    Durbin-Watson test

data:  modelo_marketing
DW = 1.9672, p-value = 0.408
alternative hypothesis: true autocorrelation is greater than 0

Al ejecutar la prueba de Durbin-Watson sobre el modelo ajustado, se obtuvo un estadístico $DW = 1.9672$ con un $p\text{-valor} = 0.408$ (para la hipótesis alternativa de autocorrelación mayor que cero).

Conclusión: Como el $p\text{-valor} > 0.05$ ($0.408 > 0.05$), no se rechaza la hipótesis nula ($H_0$) de independencia. Por lo tanto, se concluye que los errores del modelo son independientes y no presentan problemas significativos de autocorrelación.

Detección de valores atípicos

--- REVISIÓN DE VALORES ATÍPICOS E INFLUYENTES ---

Observaciones con alto apalancamiento (Hat): 102

Observaciones con distancia de Cook alta: 26 36 37 82 101 129 131 132 148 151 166 176 179

Observaciones con RStudent > 3: 166

Eliminación de observaciones extremas


Call:
lm(formula = sales ~ total_adv, data = marketing_filtrado)

Residuals:
    Min      1Q  Median      3Q     Max 
-8.7367 -1.5201  0.1254  1.8838  8.5287 

Coefficients:
            Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept) 5.001254   0.515217   9.707   <2e-16 ***
total_adv   0.049266   0.001946  25.315   <2e-16 ***
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Residual standard error: 3.05 on 197 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.7649,    Adjusted R-squared:  0.7637 
F-statistic: 640.8 on 1 and 197 DF,  p-value: < 2.2e-16


    Lilliefors (Kolmogorov-Smirnov) normality test

data:  modelo_filtrado$residuals
D = 0.073898, p-value = 0.01016

Transformaciones de BoxCox

El valor óptimo estimado de lambda es: 0.5858586


Call:
lm(formula = sales_trans ~ total_adv, data = marketing)

Residuals:
     Min       1Q   Median       3Q      Max 
-1.53500 -0.19960  0.03222  0.23988  0.89376 

Coefficients:
             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept) 2.5633162  0.0643472   39.84   <2e-16 ***
total_adv   0.0060770  0.0002424   25.07   <2e-16 ***
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Residual standard error: 0.3815 on 198 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.7605,    Adjusted R-squared:  0.7593 
F-statistic: 628.7 on 1 and 198 DF,  p-value: < 2.2e-16


--- EVALUACIÓN DE SUPUESTOS ---


    Lilliefors (Kolmogorov-Smirnov) normality test

data:  modelo_trans$residuals
D = 0.091286, p-value = 0.0003489


    studentized Breusch-Pagan test

data:  modelo_trans
BP = 3.2095, df = 1, p-value = 0.07321


    Durbin-Watson test

data:  modelo_trans
DW = 1.8738, p-value = 0.185
alternative hypothesis: true autocorrelation is greater than 0

Observaciones atípicas extremas en el modelo transformado: 131 166


Call:
lm(formula = sales_trans ~ total_adv, data = marketing_trans_filt)

Residuals:
     Min       1Q   Median       3Q      Max 
-1.01552 -0.20427  0.02061  0.23180  0.88429 

Coefficients:
            Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept)  2.58815    0.06104   42.40   <2e-16 ***
total_adv    0.00603    0.00023   26.22   <2e-16 ***
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Residual standard error: 0.358 on 196 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.7781,    Adjusted R-squared:  0.777 
F-statistic: 687.3 on 1 and 196 DF,  p-value: < 2.2e-16


    Lilliefors (Kolmogorov-Smirnov) normality test

data:  modelo_trans_filtrado$residuals
D = 0.079837, p-value = 0.003728


    studentized Breusch-Pagan test

data:  modelo_trans_filtrado
BP = 11.184, df = 1, p-value = 0.000825


    Durbin-Watson test

data:  modelo_trans_filtrado
DW = 1.9555, p-value = 0.3761
alternative hypothesis: true autocorrelation is greater than 0

Introducción

Análisis Exploratorio de Datos

Gráfico de dispersión

Ajuste del Modelo de Regresión Lineal Simple

Estimación de los coeficientes

Interpretación de los parámetros

Diagnóstico del Modelo

Análisis detallado de los supuestos

Supuesto de Normalidad de los residuales

Planteamiento de las Hipótesis

Regla de Decisión (\(\alpha = 0.05\)):

Supuesto de Homocedasticidad

Planteamiento de las Hipótesis

Regla de Decisión (α=0.05):

Supuesto de Independencia

Planteamiento de las Hipótesis

Regla de Decisión (α=0.05):

Detección de valores atípicos

Eliminación de observaciones extremas

Transformaciones de BoxCox