1. Portada y resumen ejecutivo

Ficha técnica

Ficha técnica del estudio
Campo	Valor
Activo	Energy Select Sector SPDR Fund (ticker XLE)
Mercado y moneda	NYSE Arca, dólares estadounidenses (USD)
Fuente	Yahoo Finance (precios ajustados por dividendos), Cboe (VIX) y FRED (T-bill a 3 meses, WTI)
Frecuencia	Diaria (días hábiles bursátiles)
Ventana total	04/01/2018 a 31/12/2025 (2.009 retornos)
Entrenamiento (Train)	04/01/2018 a 16/10/2024 (1.707 obs.)
Evaluación (Test)	17/10/2024 a 31/12/2025 (302 obs.)
Capital inicial	USD 100.000
Modelo final	ARIMA(1,0,1)
Regla operativa	Largo en XLE al cierre de t-1 si el pronóstico a un paso supera la tasa libre de riesgo diaria más 5 pb; en caso contrario, liquidez remunerada a la tasa del T-bill
Costos	5 pb por lado (sensibilidad de 0 a 20 pb)

Veredicto cuantitativo

Resultados clave del período de evaluación (Test)
Indicador	Valor
Modelo final	ARIMA(1,0,1)
U de Theil frente al paseo aleatorio (RMSE)	0,9996
p-valor Diebold-Mariano vs. paseo aleatorio	0,960
Capital final estrategia ARIMA (neto)	USD 106.285
Capital final Buy & Hold (neto)	USD 103.192
Máx. drawdown estrategia / Buy & Hold	-11,0% / -20,1%
Probabilidad de pérdida al horizonte (FHS)	38,0%
VaR 99% a un día en T0 (FHS)	USD 4.181

El modelo no mejora de forma estadísticamente significativa al paseo aleatorio: fuera de muestra, los retornos de XLE se comportan como una martingala, en línea con la eficiencia débil. La estrategia termina con USD 106.285, por encima del Buy & Hold (USD 103.192) y de la liquidez (USD 104.957). Sin respaldo de la prueba de Pesaran-Timmermann, esa diferencia no debe tomarse como una ventaja replicable. El aporte operativo del análisis está en la gestión del riesgo: los intervalos con volatilidad GARCH se calibran mejor que los de varianza constante. Recomendación: no usar la media ARIMA como generador de señales; si el modelo se usa, que sea para dimensionar la exposición según la volatilidad pronosticada.

2. Fuente y análisis fundamental de mercado

2.1 Caracterización económica del activo

XLE es un ETF que replica el Energy Select Sector Index, el subconjunto energético del S&P 500. Su cartera concentra integradas, exploración y producción, refinación y servicios petroleros. La concentración es alta: Exxon Mobil y Chevron suelen pesar en conjunto cerca de dos quintos del fondo, de modo que XLE se comporta como una apuesta apalancada sobre el precio del crudo y los márgenes de refinación más que como una cesta diversificada.

Su papel macroeconómico se entiende desde tres canales:

En el ciclo de demanda global el precio del crudo responde a la actividad industrial y al transporte; XLE hereda esa prociclicidad (Kilian, 2009).
Hay choques de oferta debido a decisiones de la OPEP+, sanciones y conflictos alteran la oferta marginal y generan saltos de precio que no anticipa ningún modelo univariado (Hamilton, 2009).
En cuanto a la inflación y tasas, la energía pesa en el índice de precios al consumidor; en episodios inflacionarios el sector tiende a desacoplarse del resto de la renta variable.

Para la modelación esto implica colas pesadas, agrupamiento de volatilidad y cambios de régimen: los hechos estilizados que documenta Cont (2001) aparecen aquí con especial intensidad.

2.2 Choques exógenos en la muestra

Choques exógenos: retorno acumulado y volatilidad realizada de XLE en cada ventana
Episodio	Inicio	Fin	Muestra	Retorno XLE	Vol. anualizada	Vol. / vol. Train	VIX máx.
T4-2018: sobreoferta y caída del crudo	03/10/2018	24/12/2018	Train	-29,3%	26,5%	0,80	36,1
COVID-19 y guerra de precios Arabia-Rusia	20/02/2020	30/04/2020	Train	-29,2%	107,6%	3,23	82,7
Invasión rusa de Ucrania	24/02/2022	30/06/2022	Train	7,9%	40,4%	1,22	36,5
Recorte voluntario sorpresa de la OPEP+	03/04/2023	28/04/2023	Train	2,8%	24,3%	0,73	19,1
Anuncio arancelario de EE. UU. y OPEP+	02/04/2025	30/04/2025	Test	-14,4%	62,1%	1,87	52,3

Los episodios seleccionados cubren las tres fuentes de choque descritas arriba:

En el cuarto trimestre de 2018 el crudo perdió cerca de un 40% entre octubre y diciembre por exceso de oferta y temores de desaceleración, en paralelo con la corrección de la renta variable estadounidense.
En marzo y abril de 2020 el colapso de la demanda por la pandemia coincidió con la ruptura del acuerdo de producción entre Arabia Saudita y Rusia. El 20 de abril de 2020 el futuro WTI con vencimiento en mayo cerró en terreno negativo por saturación de almacenamiento en Cushing. En la serie spot de FRED usada aquí, el mínimo de la muestra es -36,98 USD/barril (20/04/2020). Este episodio es el principal cluster de volatilidad de toda la muestra.
De febrero a junio de 2022 la invasión rusa de Ucrania y las sanciones posteriores llevaron el Brent por encima de 120 USD/barril y convirtieron a la energía en el sector con mejor desempeño del S&P 500 ese año. Es un cambio de régimen en el nivel, no solo en la varianza.
En abril de 2023 el recorte voluntario anunciado por varios miembros de la OPEP+ sorprendió al mercado y produjo un salto discreto de precio: el tipo de discontinuidad que un ARMA gaussiano trata como un residuo extremo.
En abril de 2025 (bloque Test) hubo un anuncio de aranceles generalizados por parte de EE. UU. y la aceleración de los aumentos de producción de la OPEP+ presionaron a la baja el crudo. Al caer dentro del período de evaluación, pone a prueba la capacidad del modelo para enfrentar un choque que no vio en entrenamiento.

2.3 Hipótesis de inversión formulada antes de modelar

Sea \(\ell_t = \ln P_t\) el logaritmo del precio ajustado, \(r_t = 100\,(\ell_t - \ell_{t-1})\) el retorno logarítmico en porcentaje, \(r^f_t\) la tasa libre de riesgo diaria y \(\mathcal{F}_{t-1}\) la información disponible al cierre de \(t-1\). Se plantean dos hipótesis, una estadística y otra económica.

Hipótesis estadística (forma débil de eficiencia, Fama, 1970):

\[ H_0^{(1)}: \; E[r_t \mid \mathcal{F}_{t-1}] = \mu \qquad \text{vs.} \qquad H_1^{(1)}: \; E[r_t \mid \mathcal{F}_{t-1}] = f(\mathcal{F}_{t-1}) \text{ no constante.} \]

Bajo \(H_0^{(1)}\) la innovación \(r_t - \mu\) es una diferencia de martingala: el log-precio sigue un paseo aleatorio con deriva \(\mu\) y ningún ARMA mejora al paseo aleatorio fuera de muestra.

Hipótesis económica con la regla de decisión:

\[ s_t = \mathbf{1}\left\{\hat r_{t\mid t-1} > 100\, r^f_t + \kappa \right\}, \qquad \kappa = 0{,}05\%, \]

donde \(\mathbf{1}\{\cdot\}\) es la función indicadora, \(s_t = 1\) indica posición larga, \(s_t = 0\) liquidez remunerada y \(\kappa\) es el costo por operación expresado en puntos porcentuales. Se contrasta

\[ H_0^{(2)}: \; E\!\left[R^{\text{est}}_{\text{neta}}\right] \le E\!\left[R^{\text{BH}}_{\text{neta}}\right], \]

donde “est” denota la estrategia y “BH” la posición Buy & Hold. Solo si el modelo rechaza \(H_0^{(1)}\) con un margen que sobreviva a los costos tiene sentido rechazar \(H_0^{(2)}\). La literatura sobre predictibilidad de retornos anticipa que ese margen será pequeño o nulo (Welch y Goyal, 2008), y por eso el paseo aleatorio es el punto de referencia obligado (Meese y Rogoff, 1983).

3. Base de datos, tratamiento y estacionariedad

3.1 Descarga y verificación

Los datos provienen de un snapshot local (datos/xle_vix_tbill_2018_2025.csv). La tabla siguiente resume los controles de integridad.

Valores faltantes antes y después del relleno hacia adelante
Variable	NA en crudo	NA tras tratamiento
xle_adj	0	0
xle_close	0	0
xle_vol	0	0
vix	0	0
dtb3	15	0
wti	13	0

Continuidad del calendario bursátil
Brecha entre fechas	Frecuencia
1 día	1.568
2-3 días (fin de semana)	387
4 días (festivo)	53
> 4 días	0

Observaciones por año (esperado: cerca de 252 sesiones)
2018	2019	2020	2021	2022	2023	2024	2025
249	252	253	252	251	250	252	250

No hay brechas mayores a las que explican fines de semana y festivos: la serie es continua en el calendario bursátil. El cociente entre precio de cierre y precio ajustado va de 1,020 a 1,445: el ajuste incorpora los dividendos reinvertidos, de modo que \(r_t\) mide el retorno total, que es lo que recibe el inversionista.

3.2 Justificación de la frecuencia diaria

Diaria vs. semanal en Train: tamaño muestral, colas y dependencia en varianza
Frecuencia	Observaciones	Curtosis	p-valor LB(10) en r²
Diaria	1.707	17,95	< 0,001
Semanal	355	8,91	< 0,001

La frecuencia diaria se elige por tres razones. Primero, multiplica por cinco el tamaño muestral (1.707 frente a 355 observaciones), lo que da precisión a la estimación GARCH y a los cuantiles extremos del VaR. Segundo, la agregación semanal atenúa la curtosis y la dependencia en varianza (compárense las columnas), es decir, esconde justo la estructura de riesgo que el informe necesita medir. Tercero, la regla operativa decide posiciones día a día, y el horizonte del modelo debe coincidir con el horizonte de la decisión. El costo es más ruido microestructural, que se compensa con el tratamiento explícito de costos en la Sección 8.

3.3 Estabilización de la varianza: Box-Cox y retornos logarítmicos

La transformación de Box y Cox (1964) se define como

\[ P_t^{(\lambda)} = \begin{cases} \dfrac{P_t^{\lambda} - 1}{\lambda}, & \lambda \neq 0, \\[6pt] \ln P_t, & \lambda = 0, \end{cases} \]

y solo admite valores positivos, por lo que se aplica sobre precios y no sobre retornos. Se usan tres evidencias, todas calculadas exclusivamente con Train:

\(\lambda\) por el método de Guerrero (1993), que minimiza el coeficiente de variación de \(\sigma_j / \mu_j^{1-\lambda}\) entre bloques de 21 sesiones.
\(\lambda\) por perfil de verosimilitud de una regresión sobre tendencia lineal con errores i.i.d. Ese supuesto no se cumple en un paseo aleatorio, de modo que este estimador se reporta solo como referencia.
Una prueba formal mediante la regresión media-dispersión entre bloques mensuales \(j\): si \(\text{sd}_j(\Delta P) \propto \bar P_j^{\,b}\), es decir, \(\ln \text{sd}_j(\Delta P) = a + b \ln \bar P_j + u_j\), la transformación estabilizadora es \(\lambda = 1 - b\). Se contrastan \(H_0: b = 1\) (\(\lambda = 0\), logaritmo) y \(H_0: b = 0\) (\(\lambda = 1\), sin transformación).

Estabilización de la varianza (solo bloque Train)
Evidencia	Valor
λ de Guerrero (bloques de 21)	1,069
λ por perfil de verosimilitud	1,400
λ = 1 - b (regresión media-dispersión)	0,600
IC 95% de λ (regresión)	[0,365 ; 0,836]
p-valor H0: λ = 0 (logaritmo)	< 0,001
p-valor H0: λ = 1 (niveles)	0,001
Correlación entre abs(ΔP) y P(t-1)	0,163
Correlación entre abs(r) y P(t-1)	-0,226

La regresión media-dispersión rechaza \(\lambda = 0\) (p < 0,001; IC 95%: [0,36 ; 0,84]) y sí rechaza \(\lambda = 1\) (p = 0,001). Los estimadores de Guerrero (1,07) y de verosimilitud (1,40) difieren de forma apreciable. Esa inestabilidad es habitual en precios de activos: los quiebres de nivel de 2020 y 2022 y el efecto apalancamiento (la volatilidad sube cuando el precio cae) contaminan la relación entre nivel y dispersión que Box-Cox supone. La evidencia formal no respalda el logaritmo de forma limpia; su adopción descansa en los argumentos económicos que siguen. La correlación entre la magnitud del cambio y el nivel previo pasa de 0,16 en cambios en dólares a -0,23 en retornos logarítmicos: el logaritmo elimina la mayor parte de la dependencia de escala, aunque no la heterocedasticidad condicional, que se trata con GARCH en la Sección 6.

La decisión final de trabajar con \(r_t = 100\,\Delta \ln P_t\) descansa además en argumentos económicos que no dependen de la muestra:

Aditividad temporal: el retorno de \(h\) días es la suma de los retornos diarios, lo que hace triviales la agregación y la simulación de trayectorias.
Invarianza de escala: un movimiento de 1 USD no significa lo mismo con XLE cerca de 25 USD (marzo de 2020) que por encima de 90 USD (finales de 2022); el retorno sí es comparable.
Equivalencia con la diferenciación: modelar un ARMA\((p,q)\) sobre \(r_t\) es idéntico a un ARIMA\((p,1,q)\) sobre \(\ln P_t\), con \(d = 1\) justificado por las pruebas de raíz unitaria de la Sección 5.

3.4 Estadística descriptiva de los retornos

Retornos logarítmicos diarios de XLE (en %)
Estadístico	Train	Test
Obs	1.707	302
Media diaria (%)	0,029	0,011
Desv. est. diaria (%)	2,097	1,494
Media anualizada (%)	7,353	2,705
Vol. anualizada (%)	33,285	23,720
Asimetría	-0,911	-1,407
Curtosis	17,948	13,404
Mínimo (%)	-22,491	-9,651
Máximo (%)	14,874	7,459

La prima por riesgo diaria media en Train es 0,0421% (equivalente anual aproximado: 10,6%), con estadístico \(t\) = 0,84 (p = 0,202, unilateral). Con la volatilidad del sector, ocho años no bastan para distinguir la prima de cero: incluso la premisa de un Buy & Hold rentable es estadísticamente frágil. La curtosis de 17,9 (frente a 3 en la normal) anticipa colas pesadas en los residuos.

4. Fundamentación matemática formal

4.1 Operadores y polinomios

El operador de rezagos \(L\) actúa como \(L y_t = y_{t-1}\) y, en general, \(L^k y_t = y_{t-k}\). Con él se definen:

\[ \Phi(L) = 1 - \phi_1 L - \phi_2 L^2 - \cdots - \phi_p L^p, \qquad \Theta(L) = 1 + \theta_1 L + \theta_2 L^2 + \cdots + \theta_q L^q, \]

y el operador diferencia \(\Delta^d = (1 - L)^d\). Para \(d = 1\), \((1-L)\,\ell_t = \ell_t - \ell_{t-1}\), que multiplicado por 100 es el retorno \(r_t\). Se sigue la convención de signos de R: el polinomio de medias móviles lleva signo positivo.

4.2 Modelo ARIMA(p, d, q)

La formulación sigue a Box et al. (2015) y, para series financieras, a Tsay (2010).

\[ \Phi(L)\,(1-L)^d\, y_t = c + \Theta(L)\,\varepsilon_t, \qquad \varepsilon_t \sim \text{RB}(0, \sigma^2), \]

donde \(\text{RB}(0,\sigma^2)\) denota ruido blanco con media cero y varianza \(\sigma^2\). Aplicado a \(y_t = 100\, \ell_t\) con \(d = 1\), el modelo equivale a un ARMA\((p,q)\) sobre los retornos:

\[ r_t = c + \sum_{i=1}^{p} \phi_i\, r_{t-i} + \varepsilon_t + \sum_{j=1}^{q} \theta_j\, \varepsilon_{t-j}, \qquad \mu = E[r_t] = \frac{c}{1 - \sum_{i=1}^{p}\phi_i}. \]

R estima la forma equivalente centrada en la media, \(\Phi(L)\,(r_t - \mu) = \Theta(L)\,\varepsilon_t\), de modo que el parámetro que las tablas reportan como intercept es \(\mu\) y no \(c\).

4.3 Modelo SARIMAX(p, d, q)(P, D, Q)s con regresores exógenos

En la implementación de R (stats::arima, forecast::Arima) el modelo con exógenas es una regresión con errores SARIMA:

\[ y_t = \mu + \mathbf{x}_t^{\top}\boldsymbol{\beta} + \eta_t, \qquad \Phi(L)\,\Phi^{*}(L^s)\,(1-L)^d\,(1-L^s)^D\,\eta_t = \Theta(L)\,\Theta^{*}(L^s)\,\varepsilon_t, \]

con los polinomios estacionales \(\Phi^{*}(L^s) = 1 - \phi^{*}_1 L^s - \cdots - \phi^{*}_P L^{Ps}\) y \(\Theta^{*}(L^s) = 1 + \theta^{*}_1 L^s + \cdots + \theta^{*}_Q L^{Qs}\). En este informe:

\(y_t = r_t\), con \(d = D = 0\) porque la diferencia ya está aplicada al pasar de log-precios a retornos;
\(s = 5\) (semana bursátil) con \(P = 1\): el término \(\phi^{*}_1\) capta autocorrelación estocástica en los rezagos 5, 10, 15, … Un efecto determinista de día de la semana en la media se modelaría con variables indicadoras, no con este término;
\(\mathbf{x}_t = x_{t} = 100\,\Delta \ln \text{VIX}_{t-1}\), el cambio porcentual del índice de miedo del día anterior;
\(\boldsymbol{\beta}\) mide el efecto de ese cambio sobre el retorno medio de XLE.

La diferencia frente a un ARMAX “puro” (con \(\mathbf{x}_t\) dentro de la ecuación en diferencias) es interpretativa: aquí \(\boldsymbol\beta\) es un efecto sobre la media condicional que no se propaga por la dinámica ARMA.

4.4 Estacionariedad e invertibilidad

El proceso es estacionario si todas las raíces de \(\Phi(z)\Phi^{*}(z^s) = 0\) caen fuera del círculo unitario, \(|z| > 1\). En ese caso admite la representación de Wold

\[ r_t = \mu + \sum_{j=0}^{\infty} \psi_j\, \varepsilon_{t-j}, \qquad \psi_0 = 1, \qquad \sum_{j=0}^{\infty}\psi_j^2 < \infty . \]

Es invertible si las raíces de \(\Theta(z)\Theta^{*}(z^s) = 0\) cumplen \(|z| > 1\), lo que garantiza que \(\varepsilon_t\) se recupera de forma única a partir del pasado de \(r_t\). Dos alertas prácticas se derivan de aquí y se usan en la Sección 5: una raíz con módulo cercano a 1 indica un proceso casi no estacionario (raíz AR) o casi no invertible (raíz MA), y una raíz de \(\Phi(z)\) muy próxima a una raíz de \(\Theta(z)\) indica que los factores se cancelan y el modelo está sobreparametrizado.

El pronóstico a \(h\) pasos y su varianza son

\[ \hat r_{T+h\mid T} = E[r_{T+h} \mid \mathcal{F}_T], \qquad \text{Var}(r_{T+h} - \hat r_{T+h\mid T}) = \sigma^2 \sum_{j=0}^{h-1}\psi_j^2, \]

Como \(100\,(\ell_{T+H} - \ell_T) = \sum_{k=1}^{H} r_{T+k}\), el error de pronóstico del log-precio a \(H\) pasos (en las unidades de \(r_t\)) tiene varianza

\[ \text{Var}\!\left[100\,\big(\ell_{T+H} - \hat\ell_{T+H\mid T}\big)\right] = \sigma^2 \sum_{k=1}^{H}\Big(\sum_{i=0}^{k-1}\psi_i\Big)^2, \]

fórmula que se usa para el abanico de precios de la Sección 7.

4.5 Filtración de información (data leakage) y el problema de proyectar el regresor exógeno

Un pronóstico es operable solo si usa información de \(\mathcal{F}_{t-1}\). Hay tres vías de filtración que este informe bloquea de forma explícita:

Transformaciones: \(\lambda\), medias, varianzas y parámetros GARCH se estiman solo con Train.
Parámetros: el pronóstico rodante a un paso usa los coeficientes estimados en Train, congelados durante todo Test.
Regresores contemporáneos: usar \(\Delta\ln\text{VIX}_t\) para explicar \(r_t\) exige conocer el VIX del mismo día al cierre, lo cual es filtración pura. Por eso entra \(x_t = 100\,\Delta\ln\text{VIX}_{t-1}\).

El rezago resuelve el horizonte \(h = 1\), pero no el problema general: para \(h > 1\), el modelo necesita \(x_{T+h} = 100\,\Delta\ln\text{VIX}_{T+h-1}\), que es desconocido en \(T\) (es el \(X_{T+h}\) del planteamiento general). Las opciones son modelar \(x_t\) por separado (con su propio error de pronóstico) o sustituirlo por su esperanza incondicional, \(E[x_t] \approx 0\). Aquí se adopta lo segundo para pronósticos estáticos y simulaciones, lo que reduce el modelo multipaso a su parte ARMA. La consecuencia práctica es que el valor de un regresor exógeno se concentra en el horizonte de un día.

4.6 Heterocedasticidad condicional: ARCH y GARCH

Si la varianza de \(\varepsilon_t\) depende del pasado, se escribe \(\varepsilon_t = \sigma_t z_t\) con \(z_t \stackrel{iid}{\sim} D(0,1)\). El modelo ARCH\((q)\) de Engle (1982) y su generalización GARCH\((m,n)\) de Bollerslev (1986) son

\[ \text{ARCH}(q):\; \sigma_t^2 = \omega + \sum_{i=1}^{q}\alpha_i\,\varepsilon_{t-i}^2, \qquad \text{GARCH}(m,n):\; \sigma_t^2 = \omega + \sum_{i=1}^{m}\alpha_i\,\varepsilon_{t-i}^2 + \sum_{j=1}^{n}\beta_j\,\sigma_{t-j}^2, \]

con \(\omega > 0\), \(\alpha_i, \beta_j \ge 0\). Para el GARCH(1,1):

estacionariedad en covarianza si \(\alpha_1 + \beta_1 < 1\);
varianza incondicional \(\bar\sigma^2 = \omega / (1 - \alpha_1 - \beta_1)\);
vida media de un choque de volatilidad \(= \ln(0{,}5) / \ln(\alpha_1 + \beta_1)\) días;
con \(z_t\) normal y \((\alpha_1+\beta_1)^2 + 2\alpha_1^2 < 1\) (condición para que exista el cuarto momento), la curtosis incondicional es \(K_\varepsilon = 3\left[1 - (\alpha_1+\beta_1)^2\right] / \left[1 - (\alpha_1+\beta_1)^2 - 2\alpha_1^2\right] > 3\), lo que explica parte de las colas pesadas aun sin innovaciones leptocúrticas.

El ARMA estima la media condicional suponiendo \(\sigma^2\) constante. Si la prueba ARCH-LM rechaza homocedasticidad, los puntos de pronóstico del ARMA siguen siendo válidos, pero sus intervalos y los errores estándar de los coeficientes no lo son. El GARCH corrige ambos frentes.

5. Identificación y calibración manual de modelos candidatos

Partición: Train = 1.707 observaciones (04/01/2018 a 16/10/2024); Test = 302 observaciones (17/10/2024 a 31/12/2025). Todo lo que sigue en esta sección usa únicamente Train.

5.1 Pruebas de raíz unitaria y estacionariedad

Se combinan dos pruebas con hipótesis nulas opuestas (Dickey y Fuller, 1979; Kwiatkowski et al., 1992), en la implementación del paquete urca (Pfaff, 2008). La ADF tiene como nula una raíz unitaria; la KPSS, la estacionariedad. Una serie se considera \(I(1)\) cuando la ADF no rechaza y la KPSS rechaza en niveles, y ambas pruebas se invierten en primeras diferencias.

Pruebas ADF y KPSS sobre Train (valores críticos de urca)
Serie	Prueba	H0	Estadístico	VC 1%	VC 5%	VC 10%	Decisión (5%)
log precio	ADF (tendencia)	Raíz unitaria	-2,122	-3,960	-3,410	-3,120	No rechaza H0
log precio	KPSS (tau)	Estacionaria en tendencia	1,188	0,216	0,146	0,119	Rechaza H0
retorno	ADF (constante)	Raíz unitaria	-13,687	-3,430	-2,860	-2,570	Rechaza H0
retorno	KPSS (mu)	Estacionaria en nivel	0,151	0,739	0,463	0,347	No rechaza H0

El log-precio se comporta como \(I(1)\) y los retornos como \(I(0)\): queda justificado \(d = 1\) sobre el log-precio, es decir, \(d = 0\) sobre los retornos. No se aplica diferenciación estacional (\(D = 0\)): un ETF no tiene estacionalidad determinista en nivel a frecuencia diaria.

5.2 ACF y PACF muestrales

Las bandas de Bartlett (\(\pm 1{,}96/\sqrt{n}\)) suponen ruido blanco i.i.d. Con heterocedasticidad condicional esas bandas son demasiado estrechas y producen rezagos “significativos” espurios. Por eso la tabla siguiente añade un estadístico robusto a heterocedasticidad para cada autocorrelación, \(t_k = \sum_t \tilde r_t \tilde r_{t-k} / \sqrt{\sum_t \tilde r_t^2 \tilde r_{t-k}^2}\), con \(\tilde r_t\) centrado.

Autocorrelaciones de r(t) en Train: bandas de Bartlett frente a inferencia robusta
Rezago	ACF	PACF	Sig. Bartlett	t robusto	Sig. robusta
1	-0,042	-0,042	No	-0,873	No
2	0,063	0,061	Sí	1,163	No
3	-0,001	0,004	No	-0,025	No
4	0,003	-0,001	No	0,053	No
5	0,050	0,050	Sí	0,847	No
6	-0,070	-0,066	Sí	-1,517	No
7	0,142	0,132	Sí	2,190	Sí
8	-0,043	-0,027	No	-0,878	No
9	0,037	0,019	No	0,956	No
10	0,021	0,026	No	0,452	No
11	-0,012	-0,010	No	-0,206	No
12	0,020	0,001	No	0,552	No
13	-0,061	-0,040	Sí	-1,521	No
14	0,041	0,012	No	0,986	No
15	-0,024	-0,006	No	-0,624	No

Con bandas de Bartlett resultan significativos los rezagos 2, 5, 6, 7 y 13; con el estadístico robusto, el rezago 7. Con 15 rezagos y un nivel del 5% se espera en promedio menos de un falso positivo, así que una o dos señales aisladas en rezagos lejanos no justifican un modelo de orden alto. La dependencia en media es, en el mejor caso, débil y de corto plazo. La dependencia en varianza es otra historia: la ACF de \(r_t^2\) decae lentamente y la prueba de Ljung-Box sobre \(r_t^2\) con 10 rezagos da p < 0,001. El patrón sugiere candidatos parsimoniosos de órdenes 1 y 2 para la media y un GARCH para la varianza.

5.3 Estimación de candidatos

La estimación usa máxima verosimilitud mediante forecast::Arima (Hyndman y Khandakar, 2008; Hyndman y Athanasopoulos, 2021), y la inferencia sobre coeficientes, lmtest::coeftest (Zeileis y Hothorn, 2002). El procedimiento es secuencial y manual, sin auto.arima():

Como paso 1 se estiman ARMA de orden bajo sugeridos por la ACF/PACF, más el ruido blanco con media (ARIMA(0,0,0)) como modelo nulo de \(H_0^{(1)}\). Si la inferencia robusta señala un rezago mayor que 2, se añade un AR de ese orden.
Aplicamos una regla de selección entre los modelos dinámicos, se elige el de menor BIC cuyos coeficientes ARMA sean todos significativos al 5%, cuyas raíces superen 1,01 en módulo y cuyas raíces AR y MA disten más de 0,15 entre sí (sin cancelación de factores). El BIC se prefiere sobre el AIC porque, con \(n\) grande, su penalización (\(k \ln n\)) protege mejor la parsimonia.
Como paso 2, sobre el modelo base se contrasta la adición del regresor \(x_t\) (VIX rezagado) y de un término AR estacional de periodo 5. Cada adición se acepta solo si su coeficiente es significativo y el BIC mejora.

Paso 1: candidatos ARMA sobre retornos (criterios de información, significancia y raíces)
Modelo	k	logLik	AIC	AICc	BIC	sigma2	Coef. no sig. (5%)	Mín. módulo raíz AR	Mín. módulo raíz MA	Dist. raíces AR-MA	Elegible
ARIMA(0,0,0)	2	-3.685,5	7.375,0	7.375,0	7.385,8	4,396	0				No
ARIMA(1,0,0)	3	-3.684,0	7.374,0	7.374,0	7.390,3	4,391	1	24,001			No
ARIMA(0,0,1)	3	-3.684,2	7.374,3	7.374,3	7.390,6	4,392	1		26,984		No
ARIMA(1,0,1)	4	-3.682,6	7.373,2	7.373,3	7.395,0	4,387	0	2,228	2,519	0,290	Sí
ARIMA(2,0,0)	4	-3.680,8	7.369,6	7.369,6	7.391,3	4,377	1	3,730			No
ARIMA(2,0,2)	6	-3.680,7	7.373,4	7.373,4	7.406,0	4,382	4	2,010	2,342	0,332	No
ARIMA(7,0,0)	9	-3.659,7	7.337,5	7.337,6	7.386,5	4,283	4	1,248			No

Coeficientes estimados por máxima verosimilitud (errores estándar de la matriz de información)
Modelo	Parámetro	Estimación	Error est.	z	p-valor
ARIMA(0,0,0)	intercept	0,0292	0,0507	0,5751	0,565
ARIMA(1,0,0)	ar1	-0,0417	0,0242	-1,7233	0,085
ARIMA(1,0,0)	intercept	0,0291	0,0487	0,5984	0,550
ARIMA(0,0,1)	ma1	-0,0371	0,0228	-1,6262	0,104
ARIMA(0,0,1)	intercept	0,0292	0,0488	0,5976	0,550
ARIMA(1,0,1)	ar1	-0,4488	0,1611	-2,7848	0,005
ARIMA(1,0,1)	ma1	0,3970	0,1643	2,4161	0,016
ARIMA(1,0,1)	intercept	0,0285	0,0488	0,5830	0,560
ARIMA(2,0,0)	ar1	-0,0391	0,0242	-1,6196	0,105
ARIMA(2,0,0)	ar2	0,0614	0,0242	2,5404	0,011
ARIMA(2,0,0)	intercept	0,0291	0,0517	0,5622	0,574
ARIMA(2,0,2)	ar1	0,1874	2,0175	0,0929	0,926
ARIMA(2,0,2)	ar2	0,1543	1,1666	0,1323	0,895
ARIMA(2,0,2)	ma1	-0,2300	2,0331	-0,1131	0,910
ARIMA(2,0,2)	ma2	-0,0841	1,1004	-0,0765	0,939
ARIMA(2,0,2)	intercept	0,0317	0,0527	0,6016	0,547
ARIMA(7,0,0)	ar1	-0,0271	0,0240	-1,1318	0,258
ARIMA(7,0,0)	ar2	0,0553	0,0240	2,3101	0,021
ARIMA(7,0,0)	ar3	-0,0003	0,0240	-0,0115	0,991
ARIMA(7,0,0)	ar4	0,0053	0,0240	0,2207	0,825
ARIMA(7,0,0)	ar5	0,0392	0,0240	1,6361	0,102
ARIMA(7,0,0)	ar6	-0,0617	0,0239	-2,5760	0,010
ARIMA(7,0,0)	ar7	0,1324	0,0240	5,5214	< 0,001
ARIMA(7,0,0)	intercept	0,0290	0,0583	0,4973	0,619

Del paso 1 modelo base es ARIMA(1,0,1). Es el de menor BIC entre los que tienen todos sus coeficientes significativos, raíces fuera del círculo unitario y ninguna cancelación entre factores AR y MA. Su BIC (7.395,0) no mejora al del ruido blanco con media (7.385,8): por el criterio más exigente, la estructura dinámica no se justifica y los retornos son compatibles con una martingala. Se conserva el modelo dinámico solo para someterlo a la prueba que importa, la de fuera de muestra. Ningún candidato muestra cancelación de raíces AR y MA. Los modelos más ricos pueden ganar en AIC por unas pocas unidades de verosimilitud; el BIC, con su penalización mayor, no les concede esa ventaja.

Paso 2: contraste del regresor VIX(t-1) y del término estacional de periodo 5
Modelo	AIC	AICc	BIC	logLik	p-valor beta VIX	p-valor SAR(5)	LR	p-valor LR	Aceptado
ARIMA(1,0,1)	7.373,2	7.373,3	7.395,0	-3.682,6			0,000		Sí
ARIMAX(1,0,1) + VIX(t-1)	7.374,8	7.374,8	7.402,0	-3.682,4	0,508		0,441	0,507	No
SARIMA(1,0,1)(1,0,0)[5]	7.371,7	7.371,7	7.398,9	-3.680,8		0,059	3,569	0,059	No
SARIMAX(1,0,1)(1,0,0)[5] + VIX(t-1)	7.373,2	7.373,3	7.405,9	-3.680,6	0,502	0,059	4,017	0,134	No

El modelo final es ARIMA(1,0,1).** El cambio rezagado del VIX no supera el doble filtro de significancia y BIC: la información de aversión al riesgo del día anterior ya está incorporada en el precio, lo que es coherente con la eficiencia débil. El término estacional de periodo 5 no se sostiene: no hay autocorrelación apreciable en los rezagos múltiplos de una semana bursátil, como es habitual en ETF líquidos.

Coeficientes del modelo final: ARIMA(1,0,1)
Modelo	Parámetro	Estimación	Error est.	z	p-valor
ARIMA(1,0,1)	ar1	-0,4488	0,1611	-2,7848	0,005
ARIMA(1,0,1)	ma1	0,3970	0,1643	2,4161	0,016
ARIMA(1,0,1)	intercept	0,0285	0,0488	0,5830	0,560

6. Diagnóstico exhaustivo de residuos

6.1 Media cero, homocedasticidad visual y autocorrelación

La prueba de Ljung y Box (1978) usa el estadístico

\[ Q(k) = n(n+2)\sum_{j=1}^{k}\frac{\hat\rho_j^2}{n-j} \;\sim\; \chi^2_{\,k - p - q - P - Q}, \]

con los grados de libertad corregidos por los parámetros ARMA estimados.

Ljung-Box sobre residuos (gl corregidos por los parámetros ARMA)
Prueba	Estadístico	gl	p-valor
Ljung-Box sobre e(t), k = 10	49,712	8	< 0,001
Ljung-Box sobre e(t), k = 20	67,700	18	< 0,001

La media de los residuos es 0,0007%, indistinguible de cero. Ljung-Box rechaza la ausencia de autocorrelación en al menos un horizonte. Parte de ese rechazo es mecánico: con heterocedasticidad condicional, Ljung-Box sobrerrechaza, igual que las bandas de Bartlett. La comparación con la tabla robusta de la Sección 5 indica si la dependencia remanente es real o un artefacto de varianza. El gráfico temporal muestra lo que ningún ARMA corrige: la amplitud de los residuos se triplica en 2020 y se mantiene elevada en 2022.

6.2 Normalidad

La prueba de Jarque y Bera (1980) da un estadístico de 16.064,5 (p < 0,001); asimetría -0,95 y curtosis 17,89. Se rechaza normalidad con holgura. El QQ-plot muestra el patrón típico: centro más apuntado y colas mucho más gruesas que la normal. La leptocurtosis tiene dos fuentes: la mezcla de regímenes de volatilidad (un GARCH la explica en parte) y saltos genuinos como los de marzo de 2020. Consecuencia práctica: los intervalos y el VaR gaussianos subestiman el riesgo de cola, y la simulación de la Sección 9 debe usar remuestreo de residuos.

6.3 Heterocedasticidad condicional y modelo GARCH complementario

Se aplican la prueba ARCH-LM de Engle (1982), basada en la regresión auxiliar \(e_t^2 = a_0 + \sum_{j=1}^{q} a_j e_{t-j}^2 + u_t\) con estadístico \(nR^2 \sim \chi^2_q\) bajo homocedasticidad, y la de McLeod y Li (1983), que es Ljung-Box sobre los residuos al cuadrado.

Pruebas de efectos ARCH sobre los residuos del modelo final
Prueba	Estadístico	gl	p-valor
ARCH-LM (Engle), q = 5	320,55	5	< 0,001
ARCH-LM (Engle), q = 10	399,49	10	< 0,001
McLeod-Li (LB sobre e(t)^2), k = 5	544,88	5	< 0,001
McLeod-Li (LB sobre e(t)^2), k = 10	902,83	10	< 0,001
McLeod-Li (LB sobre e(t)^2), k = 20	1.145,97	20	< 0,001

Las pruebas ARCH-LM y McLeod-Li rechazan homocedasticidad con p-valores prácticamente nulos. El ARMA describe la media, pero la varianza es dinámica. Se estima un GARCH(1,1) sobre los residuos del modelo final (enfoque en dos etapas: consistente, aunque menos eficiente que la estimación conjunta). rugarch no está disponible en esta sesión: la estimación usa tseries::garch (cuasi-máxima verosimilitud gaussiana). Para innovaciones t de Student instale rugarch y recompile.

GARCH(1,1) sobre residuos del modelo final. Motor: tseries::garch (QML gaussiana)
Parámetro	Estimación	Error est.	t	p-valor
omega	0,0485	0,0120	4,0263	< 0,001
alpha1	0,0991	0,0072	13,8461	< 0,001
beta1	0,8920	0,0091	98,2126	< 0,001

Propiedades del GARCH estimado
Medida	Valor
Persistencia (alpha + beta)	0,9911
Vida media de un choque (días)	77,5
Volatilidad incondicional anualizada (GARCH)	37,0%
Volatilidad muestral anualizada (residuos)	33,2%
Grados de libertad t de Student	no aplica

Diagnóstico de los residuos estandarizados z(t) = e(t)/sigma(t)
Prueba	Estadístico	p-valor
Ljung-Box z(t), k = 10	14,59	0,148
Ljung-Box z(t)^2, k = 10	18,01	0,055
ARCH-LM z(t), q = 10	17,59	0,062
Jarque-Bera z(t)	374,96	< 0,001

La persistencia de 0,991 implica que un choque de volatilidad tarda unos 77 días hábiles en disiparse a la mitad. Los residuos estandarizados ya no muestran efectos ARCH: el GARCH(1,1) captura la dinámica de segundo orden. Los residuos estandarizados siguen sin ser normales: el GARCH reduce la curtosis pero no la elimina, por lo que la simulación debe remuestrear z(t) empíricos en lugar de suponer normalidad.

7. Capacidad predictiva fuera de muestra

El esquema principal es el pronóstico rodante a un paso con parámetros congelados: en cada día \(t\) de Test se usa \(\mathcal{F}_{t-1}\) completo (incluidos los datos de Test ya observados), pero los coeficientes son los estimados en Train. Así se evalúa el modelo tal como se habría operado. Como complemento se muestra el pronóstico estático multipaso desde \(T_0\), que ilustra la convergencia a la media.

7.1 Pronóstico rodante a un paso y benchmarks

Precisión fuera de muestra del pronóstico a un paso (ordenado por RMSE en retornos)
Modelo	RMSE r (%)	MAE r (%)	MASE r	RMSE P (USD)	MAE P (USD)	MAPE P (%)	MASE P	Acierto direccional	U de Theil vs. RW
ARIMA(2,0,0)	1,4878	1,0273	0,5038	0,6136	0,4302	1,0303	1,1984	0,4437	0,9973
ARIMA(2,0,2)	1,4893	1,0269	0,5036	0,6141	0,4300	1,0298	1,1978	0,4470	0,9983
SARIMA(1,0,1)(1,0,0)[5]	1,4895	1,0300	0,5051	0,6141	0,4311	1,0329	1,2010	0,4503	0,9985
SARIMAX(1,0,1)(1,0,0)[5] + VIX(t-1)	1,4909	1,0294	0,5048	0,6146	0,4309	1,0323	1,2005	0,4536	0,9994
ARIMA(1,0,1)	1,4911	1,0290	0,5047	0,6148	0,4308	1,0320	1,2002	0,4735	0,9996
Paseo aleatorio (r = 0)	1,4918	1,0256	0,5030	0,6144	0,4292	1,0282	1,1957		1,0000
ARIMA(0,0,0)	1,4919	1,0237	0,5020	0,6145	0,4285	1,0266	1,1937	0,5364	1,0001
Paseo aleatorio con deriva	1,4919	1,0237	0,5020	0,6145	0,4285	1,0266	1,1937	0,5364	1,0001
ARIMAX(1,0,1) + VIX(t-1)	1,4927	1,0288	0,5046	0,6154	0,4308	1,0318	1,2000	0,4470	1,0006
ARIMA(0,0,1)	1,4937	1,0274	0,5039	0,6155	0,4301	1,0304	1,1982	0,4834	1,0013
ARIMA(1,0,0)	1,4939	1,0279	0,5041	0,6156	0,4303	1,0309	1,1988	0,4735	1,0014
ARIMA(7,0,0)	1,5270	1,0565	0,5181	0,6289	0,4418	1,0594	1,2308	0,4305	1,0236

Prueba de Diebold y Mariano (1995) (H0: igual precisión predictiva)
Comparación	Estadístico DM	p-valor
ARIMA(1,0,1) vs. paseo aleatorio (r = 0)	-0,050	0,960
ARIMA(1,0,1) vs. paseo aleatorio con deriva	-0,058	0,953

Con \(e_t = y_t - \hat y_{t\mid t-1}\) sobre los \(n_{\text{te}}\) días de Test y \(n_{\text{tr}}\) días de Train, las métricas son

\[ \begin{aligned} \text{RMSE} &= \sqrt{\frac{1}{n_{\text{te}}}\sum_t e_t^2}, & \text{MAE} &= \frac{1}{n_{\text{te}}}\sum_t |e_t|, & \text{MAPE} &= \frac{100}{n_{\text{te}}}\sum_t \left|\frac{e_t}{y_t}\right|, \\[4pt] \text{MASE} &= \frac{\text{MAE}}{\frac{1}{n_{\text{tr}}-1}\sum_{t=2}^{n_{\text{tr}}} |y_t - y_{t-1}|}, & U &= \frac{\text{RMSE}_{\text{modelo}}}{\text{RMSE}_{\text{RW}}}. & & \end{aligned} \]

El MAPE se reporta solo sobre precios: en retornos el denominador se acerca a cero y la métrica pierde sentido. El MASE escala el error por el del pronóstico ingenuo dentro de Train (Hyndman y Koehler, 2006). En precios, todos los modelos producen errores casi idénticos porque el término dominante es \(P_{t-1}\): la diferencia relevante está en la columna de retornos y en la U de Theil.

Estabilidad del ranking: correlación de Spearman entre rangos = -0,60
Modelo	BIC	RMSE r (%)	Rango BIC (Train)	Rango RMSE (Test)
ARIMA(0,0,0)	7.385,8	1,492	1	6
ARIMA(7,0,0)	7.386,5	1,527	2	10
ARIMA(1,0,0)	7.390,3	1,494	3	9
ARIMA(0,0,1)	7.390,6	1,494	4	8
ARIMA(2,0,0)	7.391,3	1,488	5	1
ARIMA(1,0,1)	7.395,0	1,491	6	5
SARIMA(1,0,1)(1,0,0)[5]	7.398,9	1,490	7	3
ARIMAX(1,0,1) + VIX(t-1)	7.402,0	1,493	8	7
SARIMAX(1,0,1)(1,0,0)[5] + VIX(t-1)	7.405,9	1,491	9	4
ARIMA(2,0,2)	7.406,0	1,489	10	2

7.2 Intervalos de predicción al 80% y 95%: cobertura empírica

Cobertura de los intervalos de predicción a un paso en Test
Varianza	Nivel	Cobertura empírica	p-valor binomial
Constante (ARIMA)	80%	96,0%	< 0,001
Constante (ARIMA)	95%	98,7%	0,001
Condicional (GARCH)	80%	85,4%	0,017
Condicional (GARCH)	95%	95,4%	0,895

7.3 Pronóstico estático desde T0

El pronóstico estático de retornos converge a la media incondicional en 3 pasos. Más allá de ese horizonte el modelo no dice nada que no diga el paseo aleatorio con deriva: el abanico de precios es, en la práctica, el de un movimiento browniano geométrico. El precio final observado (USD 43,84) queda dentro del intervalo al 95% del horizonte completo.

7.4 Discusión: ¿se conserva la ventaja dentro de muestra?

El modelo final obtiene un RMSE menor que el paseo aleatorio (U de Theil = 0,9996). La prueba de Diebold-Mariano no rechaza igualdad de precisión (p = 0,960): la diferencia no se distingue del ruido muestral. El mejor modelo fuera de muestra es ARIMA(2,0,0). La correlación de Spearman entre los rangos de BIC en Train y de RMSE en Test es -0,60, lo que indica que el ordenamiento dentro de muestra no predice el desempeño fuera de muestra: la ventaja en criterios de información era, en buena parte, sobreajuste a la muestra de entrenamiento.

Esto es lo esperable bajo la forma débil de eficiencia. Las autocorrelaciones de primer orden en retornos diarios de ETF líquidos son pequeñas, inestables entre regímenes y, cuando existen, se arbitran rápido. Las diferencias de RMSE entre modelos están en la cuarta cifra decimal frente a errores del orden de la desviación estándar diaria. Donde el análisis tiene más respaldo es en la varianza: la dependencia en \(\varepsilon_t^2\) es fuerte y estable en Train. En Test, los intervalos con volatilidad GARCH se acercan más a su nivel nominal que los de varianza constante, que tienden a quedarse cortos en estrés y largos en calma.

8. Estrategia de inversión y ejecución financiera

8.1 Regla y ejecución en T0

Al cierre de \(T_0\) = 16/10/2024 se asignan USD 100.000. Cada día \(t\) del bloque Test, con información hasta \(t-1\):

si \(\hat r_{t\mid t-1} > 100\,r^f_t + \kappa\), la cartera está 100% invertida en XLE;
en caso contrario, está 100% en liquidez remunerada a la tasa diaria del T-bill;
cada cambio de posición paga \(c\) = 5 pb sobre el capital (comisión, medio diferencial de compra-venta y deslizamiento), y la posición abierta se liquida al final con el mismo costo.

El retorno neto diario de la cartera y su valor son

\[ R^{\text{neta}}_t = s_t\,R_t + (1 - s_t)\,r^f_t - c\,\lvert s_t - s_{t-1}\rvert, \qquad V_t = V_{t-1}\,\big(1 + R^{\text{neta}}_t\big), \qquad s_0 = 0, \]

con \(R_t = e^{r_t/100} - 1\) el retorno simple de XLE y \(c\) expresado como fracción. El drawdown es \(DD_t = V_t / \max_{u \le t} V_u - 1\).

Los costos de 5 pb por lado son conservadores para XLE, cuyo diferencial cotizado suele ser de uno o dos centavos sobre precios de decenas de dólares. La sensibilidad de la Sección 8.3 cubre de 0 a 20 pb.

Desempeño neto de costos (5 pb por lado) en Test
Estrategia	Capital final (USD)	Retorno total	Retorno anualizado	Vol. anualizada	Sharpe	Máx. drawdown	Operaciones	Tiempo invertido
Estrategia ARIMA (modelo final)	106.285	6,29%	5,22%	14,08%	0,15	-10,99%	146	26%
Buy & Hold	103.192	3,19%	2,66%	23,49%	0,06	-20,14%	2	100%
Benchmark ingenuo: paseo aleatorio (r = 0)	104.957	4,96%	4,12%	0,01%	0,00	0,00%	0	0%
Benchmark ingenuo: paseo aleatorio con deriva	104.957	4,96%	4,12%	0,01%	0,00	0,00%	0	0%
Liquidez (T-bill)	104.957	4,96%	4,12%	0,01%	0,00	0,00%	0	0%

Los dos benchmarks ingenuos merecen una nota: como su pronóstico es constante, la regla los convierte en una decisión única. El paseo aleatorio sin deriva pronostica \(\hat r = 0\), que nunca supera el umbral, de modo que equivale a quedarse en liquidez; el paseo con deriva equivale a Buy & Hold o a liquidez según la media de Train supere o no el umbral (aquí no la supera).

8.2 Calidad de la señal

La tasa de acierto direccional del modelo final (signo del pronóstico centrado frente al signo del retorno centrado) es 45,7%. La prueba de Pesaran y Timmermann (1992), que corrige por la frecuencia de signos de cada serie, da un estadístico de -1,43 (p = 0,923, unilateral). No hay evidencia de que el modelo anticipe la dirección mejor que el azar: cualquier ganancia de la estrategia debe atribuirse más a cuándo estuvo fuera del mercado que a una capacidad predictiva demostrable.

La estrategia estuvo invertida el 26% del tiempo. La exposición intermedia hace que el resultado dependa tanto de la calidad de la señal como de la trayectoria del mercado en Test.

8.3 Sensibilidad a costos de fricción

Sensibilidad del capital final al costo por operación (señales fijas)
Costo por lado (pb)	Capital estrategia (USD)	Capital Buy & Hold (USD)	Diferencia (USD)
0	114.331	103.295	11.036
1	112.674	103.274	9.401
2	111.042	103.253	7.789
5	106.285	103.192	3.094
10	98.802	103.089	-4.286
20	85.370	102.883	-17.512

La ventaja bruta de la estrategia desaparece con un costo de 7,1 pb por lado. Ese umbral está por encima del supuesto base, pero la holgura es estrecha si se considera la incertidumbre sobre la señal.

Capital final con la misma regla aplicada a cada candidato (no usar para elegir modelo)
Modelo	Capital final (USD)	Operaciones
ARIMA(2,0,0)	115.381	184
SARIMAX(1,0,1)(1,0,0)[5] + VIX(t-1)	108.667	152
ARIMA(1,0,1)	106.285	146
ARIMA(0,0,0)	104.957	0
ARIMAX(1,0,1) + VIX(t-1)	101.923	156
SARIMA(1,0,1)(1,0,0)[5]	99.783	142
ARIMA(1,0,0)	99.215	102
ARIMA(0,0,1)	97.199	94
ARIMA(2,0,2)	90.811	166
ARIMA(7,0,0)	88.882	184

Esta última tabla se reporta como control, no como menú. Elegir ahora el candidato con mayor capital final sería seleccionar el modelo con información de Test, que es exactamente la filtración que la partición pretende evitar. La dispersión entre filas mide cuánto del resultado depende de la especificación, es decir, el riesgo de modelo.

9. Simulación estocástica y medición de riesgo

9.1 Diseño de la simulación

Se simulan 5.000 trayectorias de 302 días desde \(T_0\), con los parámetros de Train, por tres métodos:

Normal: ARMA con innovaciones \(\varepsilon_t \sim N(0, \hat\sigma^2)\).
Bootstrap residual: ARMA con innovaciones remuestreadas de los residuos de Train, que preserva asimetría y colas empíricas.
Simulación histórica filtrada (FHS): ARMA con varianza GARCH(1,1) e innovaciones estandarizadas remuestreadas (Barone-Adesi et al., 1999), que preserva colas y agrupamiento de volatilidad. En cada paso, \(\varepsilon^{*}_t = \sigma^{*}_t z^{*}_t\), con \(z^{*}_t\) extraído con reemplazo de los \(\hat z_t\) de Train y \(\sigma^{*2}_{t+1} = \hat\omega + \hat\alpha_1 \varepsilon^{*2}_t + \hat\beta_1 \sigma^{*2}_t\).

Como Jarque-Bera rechaza normalidad, el método 1 se presenta solo como referencia; los métodos 2 y 3 son los relevantes para riesgo.

Distribución simulada del precio al final de Test (h = 302 días) y riesgo de una posición Buy & Hold de USD 100.000
	Precio de XLE al horizonte (USD)					Pérdida de la posición (USD)
Método	Media	P5	P50 (mediana)	P95	P(P(T+h) < P(T0))	VaR 95%	VaR 99%	ES 95%	Percentil del precio real
Normal	48,77	25,79	46,17	81,50	40,8%	39.231	52.165	47.217	44,1%
Bootstrap residual	49,44	26,14	46,56	82,05	39,4%	38.422	51.143	46.491	43,0%
FHS (GARCH)	49,10	26,99	46,56	78,06	38,0%	36.420	58.738	49.653	42,0%

9.2 VaR diario de la cartera y su validación en Test

El VaR al nivel \(\alpha\) es la pérdida que solo se excede con probabilidad \(1-\alpha\), y el Expected Shortfall (ES) es la pérdida media en esa misma cola:

\[ \text{VaR}_\alpha = -\,V_0 \, q_{1-\alpha}(R), \qquad \text{ES}_\alpha = -\,V_0 \, E\!\left[R \mid R \le q_{1-\alpha}(R)\right], \]

con \(V_0\) = USD 100.000 y \(q_{1-\alpha}(R)\) el cuantil \(1-\alpha\) del retorno simple. Se comparan tres estimadores y se validan con la prueba de cobertura incondicional de Kupiec (1995) sobre los \(n\) = 302 días de Test. Si \(x\) es el número de excesos y \(p = 1-\alpha\),

\[ LR_{uc} = -2\ln\!\left[\frac{(1-p)^{\,n-x}\,p^{\,x}}{(1-\hat p)^{\,n-x}\,\hat p^{\,x}}\right] \;\sim\; \chi^2_1, \qquad \hat p = x/n. \]

VaR diario de la posición y backtest de Kupiec en Test (H0: frecuencia de excesos correcta)
Nivel	Método	VaR 1 día en T0 (USD)	Excesos	Esperados	LR Kupiec	p-valor
95%	Paramétrico normal (estático)	3.362	4	15,1	12,00	< 0,001
95%	Histórico (estático)	3.022	5	15,1	9,50	0,002
95%	FHS-GARCH (dinámico)	2.793	12	15,1	0,72	0,397
99%	Paramétrico normal (estático)	4.733	3	3,0	0,00	0,991
99%	Histórico (estático)	5.284	3	3,0	0,00	0,991
99%	FHS-GARCH (dinámico)	4.181	3	3,0	0,00	0,991

9.3 Hallazgos de riesgo

Bajo FHS, la probabilidad de que el precio termine el período de evaluación por debajo de su valor en \(T_0\) es 38,0%. Esta cifra depende sobre todo de la deriva estimada y de la volatilidad, no de la estructura ARMA, que se diluye en pocos pasos.
El precio realizado al final de Test cae en el percentil 42% de la distribución FHS: un resultado plausible bajo el modelo.
El VaR al 99% a un día en \(T_0\) va de USD 4.181 a USD 5.284 según el método. La prueba de Kupiec rechaza la cobertura correcta para: Paramétrico normal (estático); Histórico (estático). El VaR estático ignora que la volatilidad de \(T_0\) puede estar muy lejos de su promedio histórico; el FHS se ajusta a ese estado.

10. Respuesta a preguntas guía y limitaciones críticas

1. El log-precio es \(I(1)\) y los retornos son \(I(0)\) (Sección 5.1), lo que fija \(d = 1\) sobre precios. Los retornos tienen media cercana a cero, dependencia lineal débil y de corto plazo, curtosis de 17,9 y una fuerte dependencia en el segundo momento (Ljung-Box sobre \(r_t^2\): p < 0,001). Los choques de 2020 y 2022 dominan la varianza muestral.

2. ARIMA(1,0,1) se eligió con un procedimiento manual y secuencial: inspección de ACF/PACF con inferencia robusta a heterocedasticidad, criterio BIC, significancia individual al 5% y raíces fuera del círculo unitario; luego se contrastaron el regresor VIX(t-1) y el término estacional de periodo 5. Aun así, el ruido blanco con media obtiene mejor BIC: la estructura dinámica es marginal.

3. Los residuos muestran autocorrelación lineal residual en algún horizonte, no son normales (Jarque-Bera, p < 0,001) y presentan heterocedasticidad condicional marcada. En sentido estricto no son ruido blanco i.i.d.; son, a lo sumo, una diferencia de martingala con varianza dinámica, lo que justifica el GARCH (persistencia 0,991).

4. U de Theil = 0,9996, Diebold-Mariano p = 0,960, correlación de rangos BIC-RMSE = -0,60. La ventaja dentro de muestra no se traslada fuera de muestra de forma estadísticamente distinguible. Los intervalos con varianza GARCH tienen mejor cobertura que los de varianza constante.

5. La estrategia USD 106.285 y Buy & Hold USD 103.192 con liquidez: USD 104.957. La estrategia estuvo invertida el 26% del tiempo. El costo de equilibrio es 7,1 pb por lado. La regla cambió de posición 146 veces: cada cambio cuesta el diferencial y expone a deslizamiento, y con señales casi nulas el costo es un drenaje seguro frente a un beneficio incierto.

6. Probabilidad de pérdida al horizonte (FHS): 38,0%. VaR 95% al horizonte para USD 100.000: USD 36.420; ES 95%: USD 49.653. El bootstrap o el FHS producen un VaR al 99% mayor que el método normal, que subestima el riesgo extremo.

7. Limitaciones:

La tabla de capital por candidato muestra cuánto cambia el resultado con la especificación; ninguna elección es robusta a priori.
Un GARCH(1,1) simétrico con parámetros fijos supone una dinámica de volatilidad estable; los episodios de 2020 y 2022 sugieren regímenes distintos y efecto apalancamiento (un GJR-GARCH o un modelo de cambio de régimen de Markov serían extensiones naturales).
Los errores estándar del ARMA se calculan suponiendo homocedasticidad, por lo que la significancia de los coeficientes de la Sección 5 es optimista; errores robustos tipo sándwich harían más exigente la selección.
El bootstrap no puede generar pérdidas mayores que la peor observada en Train; un choque como el del WTI negativo en 2020 no tiene análogo garantizado en el futuro, y viceversa.
El modelo es univariado salvo el VIX rezagado; inventarios, decisiones de la OPEP+ y geopolítica mueven el activo sin pasar por su propio pasado.
Se suponen ejecuciones al cierre sin impacto de mercado y una tasa del T-bill aproximada a capitalización diaria. Para un capital de USD 100.000 en XLE el impacto es despreciable; para un fondo institucional no lo sería.
Un solo corte Train/Test es una muestra de tamaño uno sobre el desempeño del procedimiento. Una validación con ventana expansiva y re-estimación periódica daría una distribución del error de pronóstico.

11. Reproducibilidad y referencias

11.1 Reproducibilidad

Semilla fija: set.seed(123) al inicio y antes de la simulación de Monte Carlo.
Datos fijados en el snapshot datos/xle_vix_tbill_2018_2025.csv, creado en la primera compilación. Para reproducir exactamente estos resultados, conserve ese archivo junto al .Rmd; borrarlo fuerza una nueva descarga, y Yahoo Finance puede haber revisado los precios ajustados.
Motor GARCH utilizado en esta compilación: tseries::garch (QML gaussiana).
No se usó auto.arima() en ninguna etapa.

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11.2 Referencias

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Modelación ARIMA-GARCH y decisión de inversión sobre XLE