UNIVERSIDAD DEL NORTE
Satisfacción con la democracia, confianza institucional y participación electoral en Colombia: un análisis mediante pruebas de hipótesis
Curso: Estadística Inferencial
Taller #3
Integrantes:
Sebastián Soler
Isabela Negrete Laura Quintero
Profesor: Keyla Vanessa alba Molina
Fecha de entrega: 28/10/2026
Barranquilla, Colombia
2. Resumen
Este estudio evalúa, mediante pruebas de hipótesis, afirmaciones sobre la cultura política de una muestra de 100 personas de 18 a 60 años de cuatro regiones de Colombia, tomada de la base Base_Politica_Jovenes del curso. Se analizaron la satisfacción con la democracia y la confianza en las instituciones (escalas de 1 a 10), la participación en las últimas elecciones, la afiliación partidista y el sexo. Con \(\alpha = 0.05\) se contrastaron seis hipótesis: una media (prueba \(t\) frente al punto neutro 5.5), una proporción (prueba \(Z\) frente a la participación nacional del 63.59 % en la segunda vuelta presidencial de 2026), una varianza (prueba \(\chi^2\) frente a la varianza de una distribución uniforme), dos varianzas (prueba \(F\)), dos medias independientes (prueba \(t\)) y dos proporciones (prueba \(Z\)). Cada prueba se resolvió matemáticamente y se reprodujo en R. La satisfacción media (5.41) no fue significativamente inferior al punto neutro (\(p =\) 0.3817), la proporción de votantes (0.67) no superó la participación nacional (\(p =\) 0.2393) y la varianza de la confianza fue compatible con una distribución uniforme (\(p =\) 0.8785). Las mujeres reportaron menor satisfacción con la democracia que los hombres (4.56 frente a 6.20; \(p =\) 0.0058; \(d =\) 0.58), mientras que la diferencia de participación entre afiliados y no afiliados no fue significativa (\(p =\) 0.1443). La única diferencia significativa se asocia con el sexo, con un efecto moderado, y el diseño no permite inferir causalidad.
3. Palabras clave
Cultura política; satisfacción con la democracia; participación electoral; pruebas de hipótesis; Colombia.
4. Introducción
Contextualización
La estabilidad de un régimen democrático no depende solo de sus reglas formales, sino también de las actitudes de los ciudadanos hacia él: cuánto confían en sus instituciones, qué tan satisfechos están con su funcionamiento y si participan en los procesos electorales. Colombia ofrece un caso de interés. Históricamente ha tenido niveles altos de abstención, pero en la segunda vuelta presidencial del 21 de junio de 2026 la participación alcanzó un récord del 63.59 %, con más de 26.3 millones de votantes (EFE, 2026). Este contraste entre una tradición de baja participación y una movilización reciente sin precedentes invita a examinar con datos qué actitudes predominan en la ciudadanía.
Importancia del problema
Las encuestas de opinión pública suelen leerse de forma descriptiva: «la satisfacción promedio es 5.4» o «el 67 % votó». Sin embargo, una cifra muestral siempre contiene error aleatorio. Las pruebas de hipótesis permiten determinar si una diferencia frente a un valor de referencia, o entre dos grupos, es lo bastante grande como para no atribuirla al azar del muestreo. Para la ciencia política y la formulación de políticas públicas (por ejemplo, programas de educación cívica o de inclusión política), distinguir patrones reales de fluctuaciones muestrales evita conclusiones apresuradas sobre la cultura política de un país.
Antecedentes
La literatura comparada ha documentado una brecha entre el apoyo a la democracia como ideal y la satisfacción con su desempeño. Norris (2011) describe a los «ciudadanos críticos», que valoran la democracia pero evalúan con severidad su funcionamiento. En América Latina, la Corporación Latinobarómetro (2023) reporta niveles bajos y decrecientes de satisfacción con la democracia, en lo que denomina una «recesión democrática» regional. Foa y Mounk (2016) sostienen además que las generaciones más jóvenes muestran un apego menor a la democracia, tesis que ha generado amplio debate.
Sobre la participación, el modelo de voluntarismo cívico de Verba, Schlozman y Brady (1995) explica el voto a partir de recursos, compromiso psicológico y redes de reclutamiento, entre las que los partidos políticos ocupan un lugar central; de ahí la expectativa de que las personas afiliadas a un partido voten más. Verba, Burns y Schlozman (1997) documentaron brechas de género en el interés y la información política, lo que motiva comparar actitudes políticas entre hombres y mujeres. En el plano metodológico, Bernstein, Chadha y Montjoy (2001) mostraron que las encuestas tienden a sobrerreportar el voto por deseabilidad social, de modo que la participación declarada suele superar la oficial. Por último, el metaanálisis de Boulianne (2015) encontró una relación positiva pero modesta entre el uso de redes sociales y la participación, con escasa evidencia de efectos causales.
Pregunta problema
¿Existe evidencia estadística suficiente para afirmar que la satisfacción con la democracia, la confianza en las instituciones y la participación electoral de la población estudiada difieren de valores de referencia teóricos o nacionales, y que la satisfacción y la participación varían según el sexo y la afiliación partidista?
Objetivo general
Evaluar, mediante pruebas de hipótesis con un nivel de significancia de 0.05, afirmaciones sobre medias, proporciones y varianzas de variables de cultura política en una muestra de 100 personas residentes en Colombia.
Objetivos específicos:
- Contrastar si la satisfacción media con la democracia es inferior al punto neutro de la escala.
- Contrastar si la proporción de personas que votó en las últimas elecciones supera la participación nacional oficial.
- Contrastar si la variabilidad de la confianza en las instituciones difiere de la de una distribución uniforme.
- Comparar la satisfacción con la democracia entre mujeres y hombres, y la participación electoral entre afiliados y no afiliados a partidos.
5. Marco teórico
Los conceptos de esta sección siguen a Walpole et al. (2012).
Hipótesis estadística. Es una afirmación sobre uno o más parámetros de una población (por ejemplo, \(\mu\), \(p\) o \(\sigma^2\)) que se evalúa con información muestral.
Hipótesis nula (\(H_0\)). Es la afirmación que se mantiene mientras los datos no aporten evidencia suficiente en su contra. Siempre contiene la igualdad, por ejemplo \(H_0: \mu = \mu_0\).
Hipótesis alternativa (\(H_1\)). Es la afirmación que el investigador busca respaldar con evidencia: \(H_1: \mu \neq \mu_0\), \(H_1: \mu > \mu_0\) o \(H_1: \mu < \mu_0\).
Nivel de significancia (\(\alpha\)). Es la probabilidad máxima de cometer un error tipo I (rechazar \(H_0\) cuando es verdadera) que el investigador está dispuesto a aceptar. En este taller, \(\alpha = 0.05\).
Estadístico de prueba. Es una función de la muestra cuya distribución se conoce cuando \(H_0\) es verdadera. Mide cuántos errores estándar se aleja la estimación muestral del valor planteado en \(H_0\).
Región crítica. Es el conjunto de valores del estadístico que llevan a rechazar \(H_0\). Sus límites son los valores críticos, que dependen de \(\alpha\) y del tipo de prueba.
Valor-p. Es la probabilidad, suponiendo \(H_0\) verdadera, de obtener un estadístico igual o más extremo que el observado. Un valor-p pequeño indica que los datos son poco compatibles con \(H_0\); no mide la probabilidad de que \(H_0\) sea cierta ni el tamaño o la importancia de un efecto (Wasserstein y Lazar, 2016).
Error tipo I y error tipo II. Al decidir pueden cometerse dos errores:
| Decisión \ Realidad | \(H_0\) verdadera | \(H_0\) falsa |
|---|---|---|
| Rechazar \(H_0\) | Error tipo I (probabilidad \(\alpha\)) | Decisión correcta (potencia \(1-\beta\)) |
| No rechazar \(H_0\) | Decisión correcta (\(1-\alpha\)) | Error tipo II (probabilidad \(\beta\)) |
Prueba unilateral y bilateral. Una prueba es unilateral cuando \(H_1\) indica una dirección (\(>\) o \(<\)); la región crítica está en una sola cola y tiene área \(\alpha\). Es bilateral cuando \(H_1\) es \(\neq\); la región crítica se reparte en las dos colas, con área \(\alpha/2\) en cada una.
Decisión estadística. Se rechaza \(H_0\) si el estadístico cae en la región crítica, lo cual equivale a que el valor-p sea menor o igual que \(\alpha\). Si no se rechaza, no se «acepta» \(H_0\): solo se concluye que no hay evidencia suficiente en su contra.
Tamaño del efecto. Para dos medias se usa la \(d\) de Cohen, \(d = (\bar{x}_1 - \bar{x}_2)/s_p\). Como referencia orientativa, valores cercanos a 0.2, 0.5 y 0.8 se consideran efectos pequeños, medianos y grandes (Cohen, 1988). Este indicador permite separar la significancia estadística de la importancia práctica.
Distribuciones de probabilidad utilizadas
- Distribución normal estándar (\(Z\)). Simétrica, con media 0 y varianza 1. Se usa en pruebas de proporciones con muestras grandes, por el teorema central del límite.
- Distribución \(t\) de Student. Simétrica y con colas más pesadas que la normal; depende de los grados de libertad \(\nu\) y se aproxima a \(Z\) cuando \(\nu\) crece. Se usa para medias cuando \(\sigma\) es desconocida.
- Distribución \(\chi^2\). Asimétrica a la derecha, solo toma valores positivos, con media \(\nu\) y varianza \(2\nu\). Se usa para la varianza de una población normal.
- Distribución \(F\). Cociente de dos \(\chi^2\) independientes divididas por sus grados de libertad (\(\nu_1\), \(\nu_2\)). Asimétrica y positiva. Se usa para comparar dos varianzas.
Figura 1. Distribuciones usadas en las pruebas del taller.
| Prueba | Estadístico | Distribución bajo \(H_0\) |
|---|---|---|
| Una media (\(\sigma\) desconocida) | \(t = \dfrac{\bar{x}-\mu_0}{s/\sqrt{n}}\) | \(t_{n-1}\) |
| Una proporción | \(Z = \dfrac{\hat{p}-p_0}{\sqrt{p_0(1-p_0)/n}}\) | \(N(0,1)\) |
| Una varianza | \(\chi^2 = \dfrac{(n-1)s^2}{\sigma_0^2}\) | \(\chi^2_{n-1}\) |
| Dos varianzas | \(F = \dfrac{s_1^2}{s_2^2}\) | \(F_{n_1-1,\;n_2-1}\) |
| Dos medias independientes (varianzas iguales) | \(t = \dfrac{\bar{x}_1-\bar{x}_2}{s_p\sqrt{1/n_1+1/n_2}}\) | \(t_{n_1+n_2-2}\) |
| Dos proporciones | \(Z = \dfrac{\hat{p}_1-\hat{p}_2}{\sqrt{\bar{p}(1-\bar{p})(1/n_1+1/n_2)}}\) | \(N(0,1)\) |
6. Metodología
Origen de los datos
Se utilizó el archivo Base_Politica_Jovenes.xlsx, disponible en el repositorio del curso (Kalbam, s. f.). La base contiene 100 registros y 11 variables, sin datos faltantes (0 celdas vacías). El archivo se lee desde la misma carpeta del documento; si no se encuentra, se descarga directamente desde GitHub. En la versión HTML, el código de R de cada sección está oculto y puede desplegarse con el botón Code que aparece a la derecha.
archivo <- "Base_Politica_Jovenes.xlsx"
url_base <- "https://raw.githubusercontent.com/Kalbam/Data_Psicolog-a/main/Base_Politica_Jovenes.xlsx"
if (!file.exists(archivo)) { # si el Excel no está en la carpeta, se descarga
archivo <- tempfile(fileext = ".xlsx")
download.file(url_base, archivo, mode = "wb")
}
datos <- as.data.frame(read_excel(archivo))
n_total <- nrow(datos)
# Variables indicadoras (TRUE = "Sí"). Se usa startsWith() para evitar
# problemas de codificación con la tilde de "Sí" en algunos equipos.
votos <- startsWith(datos$ha_votado_ultimas, "S")
afil <- startsWith(datos$afiliado_partido, "S")Población y muestra
Aunque el nombre del archivo alude a «jóvenes», las edades de los encuestados van de 18 a 60 años (media de 38.9). La Ley Estatutaria 1622 de 2013 define como joven a la persona de 14 a 28 años (Congreso de la República de Colombia, 2013), y solo 25 encuestados cumplen ese criterio. Por eso, la población de referencia se define como las personas de 18 a 60 años residentes en las regiones Andina, Caribe, Pacífica y de la Orinoquía de Colombia. La muestra está compuesta por \(n =\) 100 personas. La base no documenta su diseño muestral, por lo que se asume que se trata de una muestra aleatoria simple con observaciones independientes; este supuesto es una limitación del estudio.
Variables seleccionadas
| Variable | Tipo | Valores | Prueba(s) |
|---|---|---|---|
satisfaccion_democracia |
Cuantitativa discreta | 1 (nada) a 10 (totalmente) | 7.1, 7.4.1, 7.4.2 |
confianza_instituciones |
Cuantitativa discreta | 1 a 10 | 7.3 |
ha_votado_ultimas |
Cualitativa dicotómica | Sí / No | 7.2, 7.4.3 |
afiliado_partido |
Cualitativa dicotómica | Sí / No | 7.4.3 |
sexo |
Cualitativa nominal | Femenino / Masculino / Otro | 7.4.1, 7.4.2 |
Las escalas de 1 a 10 son, en sentido estricto, ordinales; siguiendo la práctica habitual en investigación de opinión pública, se tratan como cuantitativas porque tienen diez puntos equiespaciados.
Estadística descriptiva
vars_cuanti <- c("satisfaccion_democracia", "confianza_instituciones", "interes_politico", "edad")
descriptivos <- data.frame(
Variable = vars_cuanti,
n = sapply(datos[vars_cuanti], length),
Media = sapply(datos[vars_cuanti], mean),
Mediana = sapply(datos[vars_cuanti], median),
Desv_est = sapply(datos[vars_cuanti], sd),
Varianza = sapply(datos[vars_cuanti], var),
Min = sapply(datos[vars_cuanti], min),
Max = sapply(datos[vars_cuanti], max),
row.names = NULL
)
kable(descriptivos, digits = 3, caption = "Tabla 1. Estadísticos descriptivos de las variables cuantitativas")| Variable | n | Media | Mediana | Desv_est | Varianza | Min | Max |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| satisfaccion_democracia | 100 | 5.41 | 5.0 | 2.982 | 8.891 | 1 | 10 |
| confianza_instituciones | 100 | 5.73 | 6.0 | 2.831 | 8.017 | 1 | 10 |
| interes_politico | 100 | 5.68 | 5.5 | 2.756 | 7.594 | 1 | 10 |
| edad | 100 | 38.93 | 38.0 | 12.753 | 162.652 | 18 | 60 |
frecuencias <- function(v) {
tab <- table(datos[[v]])
data.frame(Variable = v, Categoria = names(tab), Frecuencia = as.vector(tab),
Proporcion = round(as.vector(prop.table(tab)), 3))
}
kable(do.call(rbind, lapply(c("sexo", "ha_votado_ultimas", "afiliado_partido", "region"), frecuencias)),
caption = "Tabla 2. Distribución de las variables cualitativas")| Variable | Categoria | Frecuencia | Proporcion |
|---|---|---|---|
| sexo | Femenino | 45 | 0.45 |
| sexo | Masculino | 49 | 0.49 |
| sexo | Otro | 6 | 0.06 |
| ha_votado_ultimas | No | 33 | 0.33 |
| ha_votado_ultimas | Sí | 67 | 0.67 |
| afiliado_partido | No | 72 | 0.72 |
| afiliado_partido | Sí | 28 | 0.28 |
| region | Andes | 30 | 0.30 |
| region | Caribe | 18 | 0.18 |
| region | Orinoquía | 29 | 0.29 |
| region | Pacífico | 23 | 0.23 |
op <- par(mfrow = c(1, 2))
hist(datos$satisfaccion_democracia, breaks = seq(0.5, 10.5, 1), col = "#18bc9c", border = "white",
main = "Satisfacción con la democracia", xlab = "Puntaje (1-10)", ylab = "Frecuencia")
hist(datos$confianza_instituciones, breaks = seq(0.5, 10.5, 1), col = "#2c3e50", border = "white",
main = "Confianza en las instituciones", xlab = "Puntaje (1-10)", ylab = "Frecuencia")
Figura 2. Distribución de las escalas de satisfacción y confianza.
par(op)Ambas escalas se distribuyen a lo largo de todo el rango de 1 a 10, sin una concentración clara alrededor de un valor.
Parámetros, nivel de significancia y pruebas
| Sección | Parámetro | Valor bajo \(H_0\) | Tipo de prueba | Estadístico |
|---|---|---|---|---|
| 7.1 | \(\mu\): satisfacción media con la democracia | 5.5 | Unilateral izquierda | \(t\) |
| 7.2 | \(p\): proporción que votó en las últimas elecciones | 0.6359 | Unilateral derecha | \(Z\) |
| 7.3 | \(\sigma^2\): varianza de la confianza institucional | 8.25 | Bilateral | \(\chi^2\) |
| 7.4.1 | \(\sigma^2_F/\sigma^2_M\): razón de varianzas de satisfacción | 1 | Bilateral | \(F\) |
| 7.4.2 | \(\mu_F-\mu_M\): diferencia de medias de satisfacción | 0 | Bilateral | \(t\) |
| 7.4.3 | \(p_A-p_N\): diferencia de proporciones de voto | 0 | Unilateral derecha | \(Z\) |
En todas las pruebas se usa \(\alpha = 0.05\).
Software y procedimiento
El análisis se realizó en R (versión 4.6.1; R Core Team, 2025) con
RStudio y R Markdown (Xie et al., 2018), usando los paquetes
readxl y knitr, que se cargan así (y se
instalan automáticamente si faltan):
# Instala automáticamente los paquetes que falten (solo la primera vez)
paquetes <- c("readxl", "knitr")
faltantes <- paquetes[!(paquetes %in% rownames(installed.packages()))]
if (length(faltantes) > 0) install.packages(faltantes, repos = "https://cloud.r-project.org")
library(readxl)
library(knitr)Para cada prueba se siguió este procedimiento:
- Definir el contexto, el parámetro y las hipótesis.
- Verificar los supuestos de la prueba.
- Calcular a mano el estadístico, el valor crítico y el valor-p con
las funciones de distribución de R (
qnorm(),pnorm(),qt(),pt(),qchisq(),pchisq(),qf(),pf()). - Reproducir la prueba con la función específica de R
(
t.test(),prop.test(),var.test()) y comprobar que los resultados coinciden. - Tomar la decisión estadística e interpretarla en el contexto político.
7. Pruebas de hipótesis
7.1 Prueba para una media: satisfacción con la democracia
Contexto. La Corporación Latinobarómetro (2023) describe un escenario de baja satisfacción con la democracia en América Latina. Si este diagnóstico se cumple en la población estudiada, la satisfacción media debería ubicarse por debajo del punto neutro de la escala de 1 a 10, que es \((1+10)/2 = 5.5\).
Parámetro. \(\mu\) = puntaje medio de satisfacción con la democracia en la población.
Hipótesis.
\[H_0: \mu = 5.5 \qquad \text{vs.} \qquad H_1: \mu < 5.5\]
Nivel de significancia. \(\alpha = 0.05\).
Estadístico. Como \(\sigma\) es desconocida, se usa
\[t = \frac{\bar{x}-\mu_0}{s/\sqrt{n}} \sim t_{n-1}.\]
Supuestos. La prueba \(t\) requiere normalidad o una muestra grande. La prueba de Shapiro-Wilk (\(W =\) 0.9200, \(p =\) 1.40e-05) indica que la variable no es normal, algo esperable en una escala discreta. Sin embargo, con \(n = 100\) el teorema central del límite garantiza que \(\bar{x}\) tiene una distribución aproximadamente normal, por lo que la prueba es válida.
Desarrollo matemático.
Con \(n =\) 100, \(\bar{x} =\) 5.41 y \(s =\) 2.9817:
\[EE = \frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{2.9817}{\sqrt{100}} = 0.2982\]
\[t = \frac{5.41 - 5.5}{0.2982} = -0.3018\]
Valor crítico con 99 grados de libertad (cola izquierda): \(t_{0.05,\,99} =\) -1.6604. La región crítica es \(t <\) -1.6604.
Valor-p: \(P(T_{99} \le -0.3018) =\) 0.3817.
Decisión. Como \(t =\) -0.3018 \(>\) -1.6604 y \(p =\) 0.3817 \(> 0.05\), no se rechaza \(H_0\).
Implementación en R.
x71 <- datos$satisfaccion_democracia
mu0_71 <- 5.5
# Supuesto de normalidad
shapiro71 <- shapiro.test(x71)
# Cálculo "a mano"
n71 <- length(x71)
media71 <- mean(x71)
s71 <- sd(x71)
ee71 <- s71 / sqrt(n71)
t71 <- (media71 - mu0_71) / ee71
gl71 <- n71 - 1
tcrit71 <- qt(alpha, df = gl71) # valor crítico, cola izquierda
p71 <- pt(t71, df = gl71) # P(T <= t observado)
tabla_res(c(n = n71, media = media71, s = s71, EE = ee71, t = t71,
t_critico = tcrit71, valor_p = p71), "Prueba 7.1: cálculo manual", 4)| n | media | s | EE | t | t_critico | valor_p |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 100 | 5.41 | 2.9817 | 0.2982 | -0.3018 | -1.6604 | 0.3817 |
# Función de R
prueba71 <- t.test(x71, mu = mu0_71, alternative = "less", conf.level = 0.95)
tabla_htest(prueba71, "Prueba 7.1: resultado de la función de R")| Prueba | Hipótesis alternativa | Estadístico | Grados de libertad | Valor-p | IC 95 % | Estimación(es) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Prueba t para una media | Unilateral izquierda (<) | t = -0.3018 | 99 | 0.3817 | [-Inf, 5.9051] | 5.4100 |
Figura 3. Región crítica (cola izquierda) y estadístico observado, prueba 7.1.
Interpretación. No hay evidencia estadística suficiente para afirmar que la satisfacción media con la democracia sea inferior al punto neutro de la escala. La media muestral (5.41) está apenas 0.09 puntos por debajo de 5.5, una distancia que puede explicarse por el azar del muestreo. El intervalo de confianza unilateral al 95 % indica que la media poblacional sería, como máximo, 5.91. No rechazar \(H_0\) no prueba que la media sea exactamente 5.5. Lo que muestra el resultado es que esta muestra no reproduce el diagnóstico de baja satisfacción regional; la comparación con Latinobarómetro es solo orientativa, porque esa encuesta mide la satisfacción con otra escala.
7.2 Prueba para una proporción: participación electoral
Contexto. Según la Registraduría Nacional del Estado Civil, la participación en la segunda vuelta presidencial de 2026, la elección nacional más reciente, fue del 63.59 % (EFE, 2026). Como las encuestas tienden a sobrerreportar el voto (Bernstein et al., 2001), se espera que la proporción de encuestados que dice haber votado supere la cifra oficial.
Parámetro. \(p\) = proporción de la población que votó en las últimas elecciones.
Hipótesis.
\[H_0: p = 0.6359 \qquad \text{vs.} \qquad H_1: p > 0.6359\]
Nivel de significancia. \(\alpha = 0.05\).
Estadístico.
\[Z = \frac{\hat{p}-p_0}{\sqrt{p_0(1-p_0)/n}} \sim N(0,1)\]
Supuestos. La aproximación normal es adecuada porque \(np_0 =\) 63.59 \(\ge 10\) y \(n(1-p_0) =\) 36.41 \(\ge 10\).
Desarrollo matemático.
De los 100 encuestados, 67 votaron, de modo que \(\hat{p} = 67/100 =\) 0.67.
Error estándar bajo \(H_0\):
\[EE_0 = \sqrt{\frac{0.6359(1-0.6359)}{100}} = 0.0481\]
\[Z = \frac{0.67 - 0.6359}{0.0481} = 0.7087\]
Valor crítico (cola derecha): \(z_{0.05} =\) 1.6449. La región crítica es \(Z >\) 1.6449.
Valor-p: \(P(Z \ge 0.7087) =\) 0.2393.
Decisión. Como \(Z =\) 0.7087 \(<\) 1.6449 y \(p =\) 0.2393 \(> 0.05\), no se rechaza \(H_0\).
Implementación en R. Se usa
correct = FALSE para que prop.test() no
aplique la corrección por continuidad y coincida con el cálculo manual.
Como comprobación adicional se presenta la prueba binomial exacta.
p0_72 <- 0.6359
n72 <- length(votos)
x72 <- sum(votos)
phat72 <- x72 / n72
tabla_res(c(n_p0 = n72 * p0_72, n_q0 = n72 * (1 - p0_72)), "Prueba 7.2: condiciones de la aproximación normal", 2)| n_p0 | n_q0 |
|---|---|
| 63.59 | 36.41 |
ee72 <- sqrt(p0_72 * (1 - p0_72) / n72)
z72 <- (phat72 - p0_72) / ee72
zcrit72 <- qnorm(1 - alpha) # valor crítico, cola derecha
p72 <- 1 - pnorm(z72) # P(Z >= z observado)
tabla_res(c(p_gorro = phat72, EE0 = ee72, Z = z72, z_critico = zcrit72, valor_p = p72), "Prueba 7.2: cálculo manual", 4)| p_gorro | EE0 | Z | z_critico | valor_p |
|---|---|---|---|---|
| 0.67 | 0.0481 | 0.7087 | 1.6449 | 0.2393 |
prueba72 <- prop.test(x72, n72, p = p0_72, alternative = "greater", correct = FALSE)
tabla_htest(prueba72, "Prueba 7.2: resultado de la función de R")| Prueba | Hipótesis alternativa | Estadístico | Grados de libertad | Valor-p | IC 95 % | Estimación(es) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Prueba Z para una proporción | Unilateral derecha (>) | χ² = 0.5022 | 1 | 0.2393 | [0.5891, 1.0000] | 0.6700 |
binom72 <- binom.test(x72, n72, p = p0_72, alternative = "greater")
tabla_res(c(valor_p_exacto = binom72$p.value), "Prueba 7.2: prueba binomial exacta")| valor_p_exacto |
|---|
| 0.2748 |
Figura 4. Región crítica (cola derecha) y estadístico observado, prueba 7.2.
Interpretación. La proporción muestral de votantes (67 %) es compatible con la participación nacional oficial (63.59 %). No hay evidencia de que la muestra sobrerrepresente a los votantes, y la prueba exacta lleva a la misma conclusión (\(p =\) 0.2748). Dos matices: el sobrerreporte descrito por Bernstein et al. (2001) podría existir pero ser demasiado pequeño para detectarlo con 100 casos, y la base no especifica a qué elección se refiere la pregunta, por lo que el valor de referencia es un supuesto razonable, no un dato de la encuesta.
7.3 Prueba para una varianza: confianza en las instituciones
Contexto. La varianza permite estudiar si las opiniones están concentradas (consenso) o dispersas (fragmentación). Como referencia se usa una distribución uniforme discreta en los valores 1 a 10, en la que cada puntaje es igualmente probable; representa una población sin ningún consenso. Su varianza es
\[\sigma_0^2 = \frac{k^2-1}{12} = \frac{10^2-1}{12} = 8.25.\]
Una varianza significativamente menor indicaría consenso; una mayor, polarización hacia los extremos.
Parámetro. \(\sigma^2\) = varianza poblacional de la confianza en las instituciones.
Hipótesis.
\[H_0: \sigma^2 = 8.25 \qquad \text{vs.} \qquad H_1: \sigma^2 \neq 8.25\]
Nivel de significancia. \(\alpha = 0.05\).
Estadístico.
\[\chi^2 = \frac{(n-1)s^2}{\sigma_0^2} \sim \chi^2_{n-1}\]
Supuestos. La prueba supone normalidad y, a diferencia de la prueba \(t\), es sensible a su incumplimiento aunque \(n\) sea grande. Como la variable no es normal (Shapiro-Wilk, \(p =\) 0.0002), el resultado se complementa con un intervalo bootstrap, que no requiere ese supuesto.
Desarrollo matemático.
Con \(n =\) 100 y \(s^2 =\) 8.0173:
\[\chi^2 = \frac{(100 - 1)(8.0173)}{8.25} = 96.2073\]
Valores críticos con 99 grados de libertad: \(\chi^2_{0.025} =\) 73.3611 y \(\chi^2_{0.975} =\) 128.4220. Se rechaza \(H_0\) si \(\chi^2 <\) 73.3611 o \(\chi^2 >\) 128.4220.
Valor-p bilateral: \(2 \cdot \min\{P(\chi^2_{99} \le 96.21),\, P(\chi^2_{99} \ge 96.21)\} =\) 0.8785.
Intervalo de confianza del 95 % para \(\sigma^2\):
\[\left[\frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{0.975}},\ \frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{0.025}}\right] = [6.180,\ 10.819]\]
Decisión. Como 73.36 \(<\) 96.21 \(<\) 128.42 y \(p =\) 0.8785 \(> 0.05\), no se rechaza \(H_0\).
Implementación en R. R base no tiene una función
específica para esta prueba, así que se programa con
qchisq() y pchisq().
x73 <- datos$confianza_instituciones
sigma2_0 <- mean((1:10 - mean(1:10))^2) # varianza de la uniforme en 1..10 = 8.25
shapiro73 <- shapiro.test(x73)
n73 <- length(x73)
s2_73 <- var(x73)
gl73 <- n73 - 1
chi73 <- gl73 * s2_73 / sigma2_0
crit73 <- qchisq(c(alpha / 2, 1 - alpha / 2), df = gl73)
p73 <- 2 * min(pchisq(chi73, gl73), 1 - pchisq(chi73, gl73))
ic73 <- gl73 * s2_73 / qchisq(c(1 - alpha / 2, alpha / 2), df = gl73)
tabla_res(c(n = n73, s2 = s2_73, chi2 = chi73, crit_inf = crit73[1], crit_sup = crit73[2],
valor_p = p73, IC_inf = ic73[1], IC_sup = ic73[2]), "Prueba 7.3: cálculo manual", 4)| n | s2 | chi2 | crit_inf | crit_sup | valor_p | IC_inf | IC_sup |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 100 | 8.0173 | 96.2073 | 73.3611 | 128.422 | 0.8785 | 6.1805 | 10.8192 |
# Verificación robusta: intervalo bootstrap percentil (no supone normalidad)
set.seed(2026)
boot73 <- replicate(5000, var(sample(x73, replace = TRUE)))
icboot73 <- quantile(boot73, c(0.025, 0.975))
tabla_res(c(IC_inf_bootstrap = icboot73[[1]], IC_sup_bootstrap = icboot73[[2]]),
"Prueba 7.3: intervalo bootstrap del 95 % para la varianza", 3)| IC_inf_bootstrap | IC_sup_bootstrap |
|---|---|
| 6.519 | 9.408 |
Figura 5. Regiones críticas (dos colas) y estadístico observado, prueba 7.3.
Interpretación. La dispersión de la confianza en las instituciones es compatible con la de una distribución uniforme: no hay evidencia de consenso (varianza menor que 8.25) ni de polarización hacia los extremos (varianza mayor). Tanto el intervalo clásico [6.18, 10.82] como el intervalo bootstrap [6.52, 9.41] contienen el valor 8.25. En términos sustantivos, la confianza institucional en esta población está fragmentada: hay casi tantas personas que confían poco como personas que confían mucho, de modo que el promedio (5.73) esconde opiniones muy heterogéneas.
7.4 Comparación de dos poblaciones
Justificación de las pruebas elegidas. La estructura de los datos determina el tipo de comparación:
- El sexo divide la muestra en grupos independientes (cada persona pertenece a un solo grupo) y la satisfacción es cuantitativa. Corresponde una prueba de dos medias independientes. Antes se contrasta la igualdad de dos varianzas, porque de ella depende la versión de la prueba \(t\).
- La afiliación partidista también define dos grupos independientes, y el voto es dicotómico. Corresponde una prueba de dos proporciones.
- No se usan medias dependientes porque la base no contiene mediciones repetidas de una misma variable en las mismas personas (por ejemplo, antes y después).
La categoría «Otro» de sexo (6 personas) se excluye de 7.4.1 y 7.4.2 porque es demasiado pequeña para estimar su media y su varianza con precisión. Las comparaciones usan entonces \(n_F =\) 45 mujeres y \(n_M =\) 49 hombres.
7.4.1 Dos varianzas: satisfacción con la democracia según sexo
Parámetro. \(\sigma^2_F/\sigma^2_M\) = razón de las varianzas poblacionales de satisfacción de mujeres y hombres.
Hipótesis.
\[H_0: \frac{\sigma^2_F}{\sigma^2_M} = 1 \qquad \text{vs.} \qquad H_1: \frac{\sigma^2_F}{\sigma^2_M} \neq 1\]
Nivel de significancia. \(\alpha = 0.05\).
Estadístico.
\[F = \frac{s^2_F}{s^2_M} \sim F_{n_F-1,\; n_M-1}\]
Desarrollo matemático.
Con \(s^2_F =\) 7.6616 y \(s^2_M =\) 8.2908:
\[F = \frac{7.6616}{8.2908} = 0.9241\]
Grados de libertad: \(\nu_1 =\) 44 y \(\nu_2 =\) 48. Valores críticos: \(F_{0.025} =\) 0.5546 y \(F_{0.975} =\) 1.7896.
Valor-p bilateral: \(2 \cdot \min\{P(F \le 0.9241),\, P(F \ge 0.9241)\} =\) 0.7937.
Decisión. Como 0.55 \(<\) 0.92 \(<\) 1.79 y \(p =\) 0.7937 \(> 0.05\), no se rechaza \(H_0\).
Implementación en R.
datos_sexo <- subset(datos, sexo %in% c("Femenino", "Masculino"))
datos_sexo$sexo <- factor(datos_sexo$sexo, levels = c("Femenino", "Masculino"))
fem <- datos_sexo$satisfaccion_democracia[datos_sexo$sexo == "Femenino"]
mas <- datos_sexo$satisfaccion_democracia[datos_sexo$sexo == "Masculino"]
n_fem <- length(fem); n_mas <- length(mas)
media_fem <- mean(fem); media_mas <- mean(mas)
var_fem <- var(fem); var_mas <- var(mas)
F741 <- var_fem / var_mas
gl1_741 <- n_fem - 1
gl2_741 <- n_mas - 1
crit741 <- qf(c(alpha / 2, 1 - alpha / 2), gl1_741, gl2_741)
p741 <- 2 * min(pf(F741, gl1_741, gl2_741), 1 - pf(F741, gl1_741, gl2_741))
tabla_res(c(F = F741, gl1 = gl1_741, gl2 = gl2_741, crit_inf = crit741[1],
crit_sup = crit741[2], valor_p = p741), "Prueba 7.4.1: cálculo manual", 4)| F | gl1 | gl2 | crit_inf | crit_sup | valor_p |
|---|---|---|---|---|---|
| 0.9241 | 44 | 48 | 0.5546 | 1.7896 | 0.7937 |
prueba741 <- var.test(satisfaccion_democracia ~ sexo, data = datos_sexo, alternative = "two.sided")
tabla_htest(prueba741, "Prueba 7.4.1: resultado de la función de R")| Prueba | Hipótesis alternativa | Estadístico | Grados de libertad | Valor-p | IC 95 % | Estimación(es) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Prueba F para dos varianzas | Bilateral (≠) | F = 0.9241 | 44 y 48 | 0.7937 | [0.5164, 1.6663] | 0.9241 |
Figura 6. Regiones críticas (dos colas) y estadístico observado, prueba 7.4.1.
Interpretación. No hay evidencia de que la dispersión de la satisfacción difiera entre mujeres y hombres. Por lo tanto, es razonable suponer varianzas iguales y usar la prueba \(t\) con varianza combinada en 7.4.2.
7.4.2 Dos medias independientes: satisfacción con la democracia según sexo
Contexto. Verba, Burns y Schlozman (1997) documentaron diferencias de género en la relación de las personas con la política. Como la literatura no ofrece una predicción clara sobre la dirección de la diferencia en la satisfacción con la democracia, se plantea una prueba bilateral.
Parámetro. \(\mu_F - \mu_M\) = diferencia entre la satisfacción media de mujeres y hombres.
Hipótesis.
\[H_0: \mu_F - \mu_M = 0 \qquad \text{vs.} \qquad H_1: \mu_F - \mu_M \neq 0\]
Nivel de significancia. \(\alpha = 0.05\).
Estadístico (varianzas iguales, según 7.4.1):
\[t = \frac{\bar{x}_F - \bar{x}_M}{s_p\sqrt{\dfrac{1}{n_F}+\dfrac{1}{n_M}}} \sim t_{n_F+n_M-2}, \qquad s_p^2 = \frac{(n_F-1)s_F^2 + (n_M-1)s_M^2}{n_F+n_M-2}\]
Supuestos. Muestras independientes, varianzas iguales (verificado en 7.4.1) y normalidad o muestras grandes. Ambos grupos superan los 40 casos, por lo que el teorema central del límite respalda la aproximación. Como verificación se presentan además la prueba de Welch y la prueba no paramétrica de Wilcoxon.
Desarrollo matemático.
Varianza combinada:
\[s_p^2 = \frac{(45-1)(7.6616) + (49-1)(8.2908)}{45 + 49 - 2} = 7.9899, \qquad s_p = 2.8266\]
Error estándar:
\[EE = 2.8266\sqrt{\frac{1}{45}+\frac{1}{49}} = 0.5836\]
\[t = \frac{4.5556 - 6.2041}{0.5836} = -2.8247\]
Valor crítico bilateral con 92 grados de libertad: \(t_{0.025,\,92} = \pm\) 1.9861.
Valor-p: \(2 \cdot P(T_{92} \ge |-2.8247|) =\) 0.0058.
Decisión. Como \(|t| =\) 2.8247 \(>\) 1.9861 y \(p =\) 0.0058 \(< 0.05\), se rechaza \(H_0\).
Tamaño del efecto. \(d = (\bar{x}_F - \bar{x}_M)/s_p =\) -0.583, un efecto de magnitud mediana (Cohen, 1988).
Implementación en R.
sp2_742 <- ((n_fem - 1) * var_fem + (n_mas - 1) * var_mas) / (n_fem + n_mas - 2)
sp_742 <- sqrt(sp2_742)
ee742 <- sp_742 * sqrt(1 / n_fem + 1 / n_mas)
t742 <- (media_fem - media_mas) / ee742
gl742 <- n_fem + n_mas - 2
tcrit742 <- qt(1 - alpha / 2, df = gl742)
p742 <- 2 * (1 - pt(abs(t742), df = gl742))
d742 <- (media_fem - media_mas) / sp_742 # d de Cohen
tabla_res(c(media_F = media_fem, media_M = media_mas, sp = sp_742, EE = ee742, t = t742,
gl = gl742, t_critico = tcrit742, valor_p = p742, d_Cohen = d742), "Prueba 7.4.2: cálculo manual", 4)| media_F | media_M | sp | EE | t | gl | t_critico | valor_p | d_Cohen |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 4.5556 | 6.2041 | 2.8266 | 0.5836 | -2.8247 | 92 | 1.9861 | 0.0058 | -0.5832 |
prueba742 <- t.test(satisfaccion_democracia ~ sexo, data = datos_sexo,
var.equal = TRUE, alternative = "two.sided", conf.level = 0.95)
tabla_htest(prueba742, "Prueba 7.4.2: resultado de la función de R")| Prueba | Hipótesis alternativa | Estadístico | Grados de libertad | Valor-p | IC 95 % | Estimación(es) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Prueba t para dos medias (varianzas iguales) | Bilateral (≠) | t = -2.8247 | 92 | 0.0058 | [-2.8076, -0.4894] | 4.5556 y 6.2041 |
# Verificaciones de robustez
welch742 <- t.test(satisfaccion_democracia ~ sexo, data = datos_sexo) # sin suponer varianzas iguales
wilcox742 <- wilcox.test(satisfaccion_democracia ~ sexo, data = datos_sexo, exact = FALSE)
tabla_res(c(p_Welch = welch742$p.value, p_Wilcoxon = wilcox742$p.value), "Prueba 7.4.2: verificaciones de robustez (valores-p)", 4)| p_Welch | p_Wilcoxon |
|---|---|
| 0.0057 | 0.0072 |
Figura 7. Satisfacción con la democracia según sexo y prueba 7.4.2.
Interpretación. Hay evidencia estadística de que la satisfacción media con la democracia difiere entre mujeres y hombres. En la muestra, las mujeres puntúan en promedio 1.65 puntos menos que los hombres. Con un 95 % de confianza, la diferencia poblacional (\(\mu_F - \mu_M\)) está entre -2.81 y -0.49 puntos, un intervalo que no incluye el cero. La conclusión se mantiene con la prueba de Welch (\(p =\) 0.0057) y con la de Wilcoxon (\(p =\) 0.0072). Se trata de una asociación y no de un efecto causal del sexo: la diferencia podría reflejar otros factores, como experiencias distintas con las instituciones o la representación de las mujeres en política, que esta base no permite evaluar.
7.4.3 Dos proporciones: participación electoral según afiliación partidista
Contexto. Según el modelo de Verba et al. (1995), los partidos movilizan a sus miembros, por lo que se espera que los afiliados voten en mayor proporción que los no afiliados.
Parámetro. \(p_A - p_N\) = diferencia entre la proporción de votantes entre afiliados (\(A\)) y no afiliados (\(N\)).
Hipótesis.
\[H_0: p_A - p_N = 0 \qquad \text{vs.} \qquad H_1: p_A - p_N > 0\]
Nivel de significancia. \(\alpha = 0.05\).
Estadístico. Bajo \(H_0\) se usa la proporción combinada \(\bar{p} = (x_A + x_N)/(n_A + n_N)\):
\[Z = \frac{\hat{p}_A - \hat{p}_N}{\sqrt{\bar{p}(1-\bar{p})\left(\dfrac{1}{n_A}+\dfrac{1}{n_N}\right)}} \sim N(0,1)\]
x_a <- sum(votos & afil); n_a <- sum(afil) # afiliados que votaron / total de afiliados
x_n <- sum(votos & !afil); n_n <- sum(!afil) # no afiliados que votaron / total de no afiliados
tabla743 <- data.frame(Afiliado = c("Sí", "No"), Votaron = c(x_a, x_n),
No_votaron = c(n_a - x_a, n_n - x_n), Total = c(n_a, n_n))
tabla743$Proporcion_voto <- round(tabla743$Votaron / tabla743$Total, 4)
kable(tabla743, col.names = c("Afiliado a un partido", "Votaron", "No votaron", "Total", "Proporción que votó"),
caption = "Tabla 3. Voto en las últimas elecciones según afiliación partidista")| Afiliado a un partido | Votaron | No votaron | Total | Proporción que votó |
|---|---|---|---|---|
| Sí | 21 | 7 | 28 | 0.7500 |
| No | 46 | 26 | 72 | 0.6389 |
Supuestos. Grupos independientes y frecuencias esperadas de al menos 5 en cada celda (la menor es 9.24).
Desarrollo matemático.
\[\hat{p}_A = \frac{21}{28} = 0.7500, \qquad \hat{p}_N = \frac{46}{72} = 0.6389, \qquad \bar{p} = \frac{21 + 46}{28 + 72} = 0.6700\]
\[EE_0 = \sqrt{0.6700(1-0.6700)\left(\frac{1}{28}+\frac{1}{72}\right)} = 0.1047\]
\[Z = \frac{0.7500 - 0.6389}{0.1047} = 1.0610\]
Valor crítico (cola derecha): \(z_{0.05} =\) 1.6449. Valor-p: \(P(Z \ge 1.0610) =\) 0.1443.
Decisión. Como \(Z =\) 1.0610 \(<\) 1.6449 y \(p =\) 0.1443 \(> 0.05\), no se rechaza \(H_0\).
Implementación en R.
p_a <- x_a / n_a; p_n <- x_n / n_n
pbar743 <- (x_a + x_n) / (n_a + n_n)
esperados743 <- c(n_a, n_n) %o% c(pbar743, 1 - pbar743) # frecuencias esperadas bajo H0
ee743 <- sqrt(pbar743 * (1 - pbar743) * (1 / n_a + 1 / n_n))
z743 <- (p_a - p_n) / ee743
zcrit743 <- qnorm(1 - alpha)
p743 <- 1 - pnorm(z743)
tabla_res(c(p_afiliados = p_a, p_no_afiliados = p_n, p_combinada = pbar743,
EE0 = ee743, Z = z743, z_critico = zcrit743, valor_p = p743), "Prueba 7.4.3: cálculo manual", 4)| p_afiliados | p_no_afiliados | p_combinada | EE0 | Z | z_critico | valor_p |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0.75 | 0.6389 | 0.67 | 0.1047 | 1.061 | 1.6449 | 0.1443 |
prueba743 <- prop.test(x = c(x_a, x_n), n = c(n_a, n_n),
alternative = "greater", correct = FALSE)
tabla_htest(prueba743, "Prueba 7.4.3: resultado de la función de R")| Prueba | Hipótesis alternativa | Estadístico | Grados de libertad | Valor-p | IC 95 % | Estimación(es) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Prueba Z para dos proporciones | Unilateral derecha (>) | χ² = 1.1257 | 1 | 0.1443 | [-0.0526, 1.0000] | 0.7500 y 0.6389 |
# Potencia aproximada para detectar una diferencia del tamaño observado
ee1_743 <- sqrt(p_a * (1 - p_a) / n_a + p_n * (1 - p_n) / n_n)
potencia743 <- 1 - pnorm((zcrit743 * ee743 - (p_a - p_n)) / ee1_743)
n_necesario743 <- power.prop.test(p1 = p_a, p2 = p_n, sig.level = alpha, power = 0.80,
alternative = "one.sided")$n
tabla_res(c(potencia = potencia743, n_por_grupo_para_80 = ceiling(n_necesario743)), "Prueba 7.4.3: potencia y tamaño muestral", 3)| potencia | n_por_grupo_para_80 |
|---|---|
| 0.269 | 212 |
Interpretación. En la muestra, los afiliados votaron más (75.0 %) que los no afiliados (63.9 %), en la dirección que predice la teoría. Sin embargo, la diferencia de 11.1 puntos porcentuales no es estadísticamente significativa. Este resultado debe leerse con cautela: con solo 28 afiliados, la potencia de la prueba para detectar una diferencia de ese tamaño es de aproximadamente 27 %, es decir, la probabilidad de cometer un error tipo II ronda el 73 %. Para alcanzar una potencia del 80 % se necesitarían unas 212 personas por grupo. No rechazar \(H_0\) aquí indica falta de evidencia, no ausencia de diferencia.
8. Desarrollo matemático
Todas las pruebas siguieron la secuencia
\[H_0, H_1 \;\rightarrow\; \alpha \;\rightarrow\; \text{Estadístico} \;\rightarrow\; \text{Valor crítico o valor-}p \;\rightarrow\; \text{Decisión}\]
La tabla siguiente resume esa secuencia con los valores obtenidos a mano en la sección 7.
| Prueba | Hipótesis | \(\alpha\) | Estadístico | Valor(es) crítico(s) | Valor-p | Decisión |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 7.1 Una media | \(H_0:\mu=5.5\) vs. \(H_1:\mu<5.5\) | 0.05 | \(t = -0.3018\) | -1.6604 | 0.3817 | no se rechaza \(H_0\) |
| 7.2 Una proporción | \(H_0:p=0.6359\) vs. \(H_1:p>0.6359\) | 0.05 | \(Z = 0.7087\) | 1.6449 | 0.2393 | no se rechaza \(H_0\) |
| 7.3 Una varianza | \(H_0:\sigma^2=8.25\) vs. \(H_1:\sigma^2\neq 8.25\) | 0.05 | \(\chi^2 = 96.2073\) | 73.3611 y 128.4220 | 0.8785 | no se rechaza \(H_0\) |
| 7.4.1 Dos varianzas | \(H_0:\sigma^2_F/\sigma^2_M=1\) vs. \(H_1:\neq 1\) | 0.05 | \(F = 0.9241\) | 0.5546 y 1.7896 | 0.7937 | no se rechaza \(H_0\) |
| 7.4.2 Dos medias | \(H_0:\mu_F-\mu_M=0\) vs. \(H_1:\neq 0\) | 0.05 | \(t = -2.8247\) | ±1.9861 | 0.0058 | se rechaza \(H_0\) |
| 7.4.3 Dos proporciones | \(H_0:p_A-p_N=0\) vs. \(H_1:>0\) | 0.05 | \(Z = 1.0610\) | 1.6449 | 0.1443 | no se rechaza \(H_0\) |
9. Implementación en R
Además de las funciones de distribución (qnorm(),
pnorm(), qt(), pt(),
qchisq(), pchisq(), qf(),
pf()) y de las funciones de prueba (t.test(),
prop.test(), var.test()), el documento usa dos
funciones auxiliares propias: una para dar formato a los números y otra
para graficar la región crítica de cada prueba.
alpha <- 0.05
# Formato de números y valores-p para el texto
f <- function(x, d = 3) formatC(as.numeric(x), format = "f", digits = d)
fp <- function(p) ifelse(p < 0.0001, formatC(p, format = "e", digits = 2), formatC(p, format = "f", digits = 4))
decision <- function(p, a = alpha) ifelse(p <= a, "se rechaza $H_0$", "no se rechaza $H_0$")
# Tablas limpias para mostrar resultados (en lugar de la salida de consola)
tabla_res <- function(x, titulo, d = 4) {
kable(as.data.frame(t(round(x, d))), caption = titulo, row.names = FALSE)
}
tabla_htest <- function(prueba, titulo) {
num <- function(v) ifelse(is.infinite(v), ifelse(v < 0, "-Inf", "Inf"), sprintf("%.4f", v))
metodos <- c("One Sample t-test" = "Prueba t para una media",
" Two Sample t-test" = "Prueba t para dos medias (varianzas iguales)",
"F test to compare two variances" = "Prueba F para dos varianzas",
"1-sample proportions test without continuity correction" = "Prueba Z para una proporción",
"2-sample test for equality of proportions without continuity correction" = "Prueba Z para dos proporciones")
metodo <- if (prueba$method %in% names(metodos)) metodos[[prueba$method]] else prueba$method
alt <- c(two.sided = "Bilateral (≠)", less = "Unilateral izquierda (<)",
greater = "Unilateral derecha (>)")[[prueba$alternative]]
ic <- if (is.null(prueba$conf.int)) "-" else paste0("[", num(prueba$conf.int[1]), ", ", num(prueba$conf.int[2]), "]")
gl <- if (is.null(prueba$parameter)) "-" else paste(round(prueba$parameter, 2), collapse = " y ")
res <- data.frame(metodo, alt, sprintf("%s = %.4f", sub("X-squared", "χ²", names(prueba$statistic)), prueba$statistic),
gl, fp(prueba$p.value), ic, paste(num(prueba$estimate), collapse = " y "))
kable(res, caption = titulo, row.names = FALSE,
col.names = c("Prueba", "Hipótesis alternativa", "Estadístico", "Grados de libertad",
"Valor-p", "IC 95 %", "Estimación(es)"))
}
# Salida completa de una prueba de R presentada como tabla (todos sus componentes)
tabla_salida <- function(prueba, titulo) {
alt_txt <- c(two.sided = "not equal to", less = "less than", greater = "greater than")[[prueba$alternative]]
hipotesis <- if (is.null(prueba$null.value)) prueba$alternative else
paste("true", names(prueba$null.value), "is", alt_txt, signif(prueba$null.value, 5))
nivel <- 100 * attr(prueba$conf.int, "conf.level")
filas <- data.frame(
Componente = c("Prueba", "Datos", "Estadístico", "Grados de libertad", "Valor-p",
"Hipótesis alternativa", "Intervalo de confianza", "Estimación(es)"),
Etiqueta = c("(título)", "data", names(prueba$statistic), paste(names(prueba$parameter), collapse = ", "),
"p-value", "alternative hypothesis", paste(nivel, "percent confidence interval"),
"sample estimates"),
Valor = c(trimws(prueba$method), prueba$data.name, format(signif(prueba$statistic, 5)),
paste(format(signif(prueba$parameter, 5)), collapse = ", "),
format.pval(prueba$p.value, digits = 4), hipotesis,
paste0("[", paste(format(signif(prueba$conf.int, 7)), collapse = ", "), "]"),
paste(paste0(names(prueba$estimate), " = ", format(signif(prueba$estimate, 7))), collapse = "; "))
)
kable(filas, caption = titulo, row.names = FALSE,
col.names = c("Componente de la salida", "Etiqueta en R", "Valor"))
}
# Gráfico de la distribución del estadístico con su región crítica
graficar_region <- function(dist = c("norm", "t", "chisq", "f"), est, a = alpha,
cola = c("dos", "izquierda", "derecha"),
gl1 = NULL, gl2 = NULL, titulo = "") {
dist <- match.arg(dist); cola <- match.arg(cola)
dens <- switch(dist, norm = function(x) dnorm(x), t = function(x) dt(x, gl1),
chisq = function(x) dchisq(x, gl1), f = function(x) df(x, gl1, gl2))
cuan <- switch(dist, norm = function(p) qnorm(p), t = function(p) qt(p, gl1),
chisq = function(p) qchisq(p, gl1), f = function(p) qf(p, gl1, gl2))
rango <- range(c(cuan(0.0005), cuan(0.9995), est))
x <- seq(rango[1], rango[2], length.out = 600)
plot(x, dens(x), type = "l", lwd = 2, main = titulo, xlab = "Valor del estadístico", ylab = "Densidad")
sombrear <- function(desde, hasta) {
xs <- seq(desde, hasta, length.out = 200)
polygon(c(desde, xs, hasta), c(0, dens(xs), 0), col = rgb(0.9, 0.3, 0.2, 0.45), border = NA)
}
if (cola == "izquierda") { cr <- cuan(a); sombrear(rango[1], cr) }
if (cola == "derecha") { cr <- cuan(1 - a); sombrear(cr, rango[2]) }
if (cola == "dos") { cr <- c(cuan(a / 2), cuan(1 - a / 2))
sombrear(rango[1], cr[1]); sombrear(cr[2], rango[2]) }
abline(v = est, col = "navy", lwd = 2, lty = 2)
legend("topright", legend = c("Región crítica", "Estadístico observado"),
pch = c(15, NA), pt.cex = 2, lty = c(NA, 2), lwd = c(NA, 2),
col = c(rgb(0.9, 0.3, 0.2, 0.45), "navy"), bty = "n", cex = 0.85)
}La tabla siguiente compara el cálculo manual con la salida de la
función de R correspondiente. En la prueba 7.2 y en la 7.4.3,
prop.test() reporta el estadístico \(\chi^2 = Z^2\) con 1 grado de libertad; por
eso se compara \(\sqrt{\chi^2}\) con
\(Z\).
| Prueba | Función de R | Estadístico (manual) | Estadístico (R) | Valor-p (manual) | Valor-p (R) | ¿Coinciden? |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 7.1 | t.test() | -0.3018 | -0.3018 | 0.3817 | 0.3817 | Sí |
| 7.2 | prop.test() | 0.7087 | 0.7087 | 0.2393 | 0.2393 | Sí |
| 7.3 | qchisq() / pchisq() | 96.2073 | 96.2073 | 0.8785 | 0.8785 | Sí |
| 7.4.1 | var.test() | 0.9241 | 0.9241 | 0.7937 | 0.7937 | Sí |
| 7.4.2 | t.test() | -2.8247 | -2.8247 | 0.0058 | 0.0058 | Sí |
| 7.4.3 | prop.test() | 1.0610 | 1.0610 | 0.1443 | 0.1443 | Sí |
10. Interpretación de salidas de R
A continuación se interpretan tres salidas completas, una de cada función de prueba utilizada. Para facilitar la lectura, cada salida se presenta en una tabla que conserva todos sus componentes con la etiqueta original que usa R; debajo, una segunda tabla explica cada elemento.
Salida 1: prop.test() de la prueba 7.2
| Componente de la salida | Etiqueta en R | Valor |
|---|---|---|
| Prueba | (título) | 1-sample proportions test without continuity correction |
| Datos | data | x72 out of n72, null probability p0_72 |
| Estadístico | X-squared | 0.50223 |
| Grados de libertad | df | 1 |
| Valor-p | p-value | 0.2393 |
| Hipótesis alternativa | alternative hypothesis | true p is greater than 0.6359 |
| Intervalo de confianza | 95 percent confidence interval | [0.5890729, 1.0000000] |
| Estimación(es) | sample estimates | p = 0.67 |
| Elemento | Valor | Interpretación |
|---|---|---|
| Hipótesis | alternative hypothesis: true p is greater than 0.6359 |
Confirma que se contrastó \(H_0: p = 0.6359\) frente a \(H_1: p > 0.6359\), una prueba unilateral derecha. |
| Estadístico | X-squared = 0.5022 |
prop.test() reporta \(\chi^2 = Z^2\). Su raíz, 0.7087, coincide
con el \(Z\) calculado a mano. |
| Grados de libertad | df = 1 |
Una proporción se compara con un valor fijo, por lo que el estadístico \(\chi^2\) tiene 1 grado de libertad. |
| Valor-p | 0.2393 | Si la participación real fuera del 63.59 %, habría un 23.9 % de probabilidad de observar una proporción muestral de 0.67 o mayor. No es un resultado inusual. |
| Intervalo de confianza | [0.5891, 1] | Intervalo unilateral (de Wilson) al 95 %: la participación poblacional sería de al menos 58.9 %. Como incluye 0.6359, es coherente con no rechazar \(H_0\). |
| Estimación | p = 0.67 |
Proporción muestral de personas que votaron. |
| Decisión | \(p > 0.05\) | No se rechaza \(H_0\). |
| Interpretación contextual | La participación declarada en la muestra no supera de forma significativa la participación oficial de la segunda vuelta de 2026. No se detecta sobrerreporte del voto. |
Salida 2: var.test() de la prueba 7.4.1
| Componente de la salida | Etiqueta en R | Valor |
|---|---|---|
| Prueba | (título) | F test to compare two variances |
| Datos | data | satisfaccion_democracia by sexo |
| Estadístico | F | 0.92411 |
| Grados de libertad | num df, denom df | 44, 48 |
| Valor-p | p-value | 0.7937 |
| Hipótesis alternativa | alternative hypothesis | true ratio of variances is not equal to 1 |
| Intervalo de confianza | 95 percent confidence interval | [0.5163753, 1.6662980] |
| Estimación(es) | sample estimates | ratio of variances = 0.9241088 |
| Elemento | Valor | Interpretación |
|---|---|---|
| Hipótesis | true ratio of variances is not equal to 1 |
Prueba bilateral: \(H_0: \sigma^2_F/\sigma^2_M = 1\) frente a \(H_1: \sigma^2_F/\sigma^2_M \neq 1\). El primer grupo es «Femenino», por el orden de los niveles del factor. |
| Estadístico | F = 0.9241 |
Cociente \(s^2_F/s^2_M\). Un valor cercano a 1 indica varianzas similares. |
| Grados de libertad | num df = 44,
denom df = 48 |
\(n_F - 1\) y \(n_M - 1\). |
| Valor-p | 0.7937 | Si las varianzas poblacionales fueran iguales, habría un 79.4 % de probabilidad de obtener una razón tan alejada de 1 como la observada, o más. |
| Intervalo de confianza | [0.5164, 1.6663] | Rango plausible para \(\sigma^2_F/\sigma^2_M\) al 95 %. Incluye el 1. |
| Estimación | ratio of variances = 0.9241 |
Razón de varianzas muestrales. |
| Decisión | \(p > 0.05\) | No se rechaza \(H_0\). |
| Interpretación contextual | Mujeres y hombres muestran una dispersión similar en su satisfacción con la democracia, lo que justifica usar la prueba \(t\) con varianza combinada. |
Salida 3: t.test() de la prueba 7.4.2
| Componente de la salida | Etiqueta en R | Valor |
|---|---|---|
| Prueba | (título) | Two Sample t-test |
| Datos | data | satisfaccion_democracia by sexo |
| Estadístico | t | -2.8247 |
| Grados de libertad | df | 92 |
| Valor-p | p-value | 0.005804 |
| Hipótesis alternativa | alternative hypothesis | true difference in means between group Femenino and group Masculino is not equal to 0 |
| Intervalo de confianza | 95 percent confidence interval | [-2.8076460, -0.4894064] |
| Estimación(es) | sample estimates | mean in group Femenino = 4.555556; mean in group Masculino = 6.204082 |
| Elemento | Valor | Interpretación |
|---|---|---|
| Hipótesis | true difference in means between group Femenino and group Masculino is not equal to 0 |
Prueba bilateral: \(H_0: \mu_F - \mu_M = 0\) frente a \(H_1: \mu_F - \mu_M \neq 0\). |
| Estadístico | t = -2.8247 |
La diferencia observada equivale a 2.82 errores estándar por debajo de cero. El signo negativo indica que las mujeres puntúan menos. |
| Grados de libertad | df = 92 |
\(n_F + n_M - 2\), propio de la prueba con varianza combinada. |
| Valor-p | 0.0058 | Si no hubiera diferencia en la población, solo un 0.58 % de las muestras produciría una diferencia tan grande como la observada, en cualquiera de las dos direcciones. |
| Intervalo de confianza | [-2.8076, -0.4894] | Rango plausible para \(\mu_F - \mu_M\) al 95 %. No incluye el cero y es negativo en todo su recorrido. |
| Estimaciones | 4.5556 y 6.2041 | Medias muestrales de mujeres y hombres. |
| Decisión | \(p < 0.05\) | Se rechaza \(H_0\). |
| Interpretación contextual | Existe evidencia de que, en la población, las mujeres están en promedio menos satisfechas con la democracia que los hombres, con una diferencia de entre 0.5 y 2.8 puntos en una escala de 1 a 10. |
11. Resultados e interpretación
| Prueba | Parámetro | \(H_0\) | \(H_1\) | \(\alpha\) | Estadístico observado | Valor-p | Decisión |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 7.1 | Media de satisfacción (\(\mu\)) | \(\mu = 5.5\) | \(\mu < 5.5\) | 0.05 | \(t=-0.302\) | 0.3817 | No rechazar \(H_0\) |
| 7.2 | Proporción de votantes (\(p\)) | \(p = 0.6359\) | \(p > 0.6359\) | 0.05 | \(Z=0.709\) | 0.2393 | No rechazar \(H_0\) |
| 7.3 | Varianza de confianza (\(\sigma^2\)) | \(\sigma^2 = 8.25\) | \(\sigma^2 \neq 8.25\) | 0.05 | \(\chi^2=96.207\) | 0.8785 | No rechazar \(H_0\) |
| 7.4.1 | Razón de varianzas (\(\sigma^2_F/\sigma^2_M\)) | \(\sigma^2_F/\sigma^2_M = 1\) | \(\sigma^2_F/\sigma^2_M \neq 1\) | 0.05 | \(F=0.924\) | 0.7937 | No rechazar \(H_0\) |
| 7.4.2 | Diferencia de medias (\(\mu_F-\mu_M\)) | \(\mu_F-\mu_M = 0\) | \(\mu_F-\mu_M \neq 0\) | 0.05 | \(t=-2.825\) | 0.0058 | Rechazar \(H_0\) |
| 7.4.3 | Diferencia de proporciones (\(p_A-p_N\)) | \(p_A-p_N = 0\) | \(p_A-p_N > 0\) | 0.05 | \(Z=1.061\) | 0.1443 | No rechazar \(H_0\) |
Prueba 7.1. Se contrastó si la satisfacción media con la democracia (\(\mu\)) es menor que el punto neutro 5.5. Con \(t =\) -0.302 y \(p =\) 0.3817, no se rechaza \(H_0\). En contexto, no hay evidencia de que la población esté, en promedio, por debajo del punto neutro; la media muestral se ubica muy cerca del centro de la escala.
Prueba 7.2. Se contrastó si la proporción de votantes (\(p\)) supera la participación nacional del 63.59 %. Con \(Z =\) 0.709 y \(p =\) 0.2393, no se rechaza \(H_0\). La participación declarada es compatible con la oficial, de modo que no hay evidencia de que la muestra esté sesgada hacia los votantes.
Prueba 7.3. Se contrastó si la varianza de la confianza institucional (\(\sigma^2\)) difiere de 8.25, la varianza de una distribución uniforme. Con \(\chi^2 =\) 96.207 y \(p =\) 0.8785, no se rechaza \(H_0\). La confianza está repartida a lo largo de toda la escala, sin consenso ni polarización extrema.
Prueba 7.4.1. Se contrastó si las varianzas de satisfacción de mujeres y hombres son iguales. Con \(F =\) 0.924 y \(p =\) 0.7937, no se rechaza \(H_0\). Este resultado justifica la prueba \(t\) con varianza combinada.
Prueba 7.4.2. Se contrastó si la satisfacción media difiere entre mujeres y hombres. Con \(t =\) -2.825 y \(p =\) 0.0058, se rechaza \(H_0\). Las mujeres reportan una satisfacción con la democracia significativamente menor, con un efecto de tamaño mediano (\(d =\) 0.58).
Prueba 7.4.3. Se contrastó si los afiliados a un partido votan en mayor proporción que los no afiliados. Con \(Z =\) 1.061 y \(p =\) 0.1443, no se rechaza \(H_0\). La diferencia va en la dirección esperada, pero la baja potencia de la prueba impide descartar que exista.
Nota sobre comparaciones múltiples. Al realizar seis pruebas con \(\alpha = 0.05\), la probabilidad de cometer al menos un error tipo I es mayor que 0.05. Con la corrección de Bonferroni, el umbral para cada prueba sería \(0.05/6 =\) 0.0083. El único resultado significativo (7.4.2, \(p =\) 0.0058) se mantiene por debajo de ese umbral más exigente.
12. Conclusiones
Respuesta a la pregunta problema. De las afirmaciones evaluadas, solo una recibió respaldo estadístico: la satisfacción con la democracia difiere según el sexo. Para la satisfacción media, la participación electoral y la dispersión de la confianza institucional, los datos no ofrecen evidencia suficiente para afirmar que difieran de los valores de referencia, ni para afirmar que los afiliados a partidos voten más.
Actitudes democráticas. En relación con el objetivo general, los datos no respaldan la idea de una insatisfacción generalizada como la que describe la literatura regional (Corporación Latinobarómetro, 2023), y la confianza en las instituciones está fragmentada en lugar de concentrada. El promedio cercano al centro de la escala resume, en realidad, opiniones muy heterogéneas.
Significancia estadística frente a importancia práctica. La diferencia por sexo es estadísticamente significativa y también relevante en la práctica: 1.65 puntos en una escala de 10 y una \(d\) de Cohen de 0.58. En cambio, la diferencia de 11 puntos porcentuales en la participación de los afiliados podría tener importancia política, pero la muestra es demasiado pequeña para detectarla (potencia cercana al 27 %). No rechazar \(H_0\) no equivale a demostrar que no hay diferencia.
Límites de la inferencia. El diseño es observacional y transversal, y no se documenta el método de muestreo. Por eso los resultados describen asociaciones y no permiten afirmar causalidad: no puede concluirse que ser mujer cause menor satisfacción con la democracia, ni que afiliarse a un partido cause votar. La generalización depende, además, del supuesto de muestra aleatoria.
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