Esta pauta de solución está hecha con los datos de GABRIEL AMARU ANKATU RÍOS MELLADO. Si alguien desea que lo haga con sus datos personalizados, lo haré con todo gusto.

Instrucciones

Descargue del aula virtual, carpeta Evaluación 2 – Datos, el archivo de datos con su nombre. La evaluación tiene que ser realizada con el conjunto de datos de su nombre. Si lo hace con el de otro estudiante, tendrá la nota mínima.

El archivo consiste en un conjunto de datos, con cinco variables teóricas: una variable independiente x y cuatro variables dependientes o series: ya, yb, yc, yd.

Para cada una de las series ya, yb, yc, yd, encuentre el mejor modelo entre los siguientes:

  1. Lineal
  2. Log
  3. Semilog
  4. Logístico

La ecuación original de cada uno de estos modelos es:

\[y = \beta_0 + \beta_1x + u...(Lineal)\] \[y = \beta_0x^{\beta_1}u...(Log)\] \[y = \beta_0e^{\beta_1x}u...(Semilog)\] \[y = \frac{y_m}{1 + e^{-\beta_0 - \beta_1x + u}}...(Logístico)\]

Para cada una de las series, use el mejor modelo para estimar el parámetro \(\beta_1\).

¡Ojo! Un modelo puede ser el mejor en más de una serie. Por lo mismo, no necesariamente van a usar todos los modelos.

Ayuda: Para el modelo logístico, estime el valor de \({\mathrm{y}}_{\mathrm{m}}\) usando el siguiente código R:

ym = max(df_datos$ya) + 1

Es importante el + 1 al final para que la regresión no dé un mensaje de error.

Escriba todas sus respuestas en el formulario a continuación.

En las preguntas numéricas, escriba su respuesta redondeada a 4 decimales y con coma decimal.

Solución

Siempre el primer paso es hacer un gráfico de los datos. Esto da la pista de cual podría ser la solución.
Se carga el archivo csv de datos personalizado, y se crean los cuatro gráficos:

df_data = read.table(paste0(path.data, nombre, ".csv"), header = T, sep = "|")
ga = ggplot(data = df_data, mapping = aes(y=ya, x=x)) + geom_point() + ggtitle("A")
gb = ggplot(data = df_data, mapping = aes(y=yb, x=x)) + geom_point() + ggtitle("B")
gc = ggplot(data = df_data, mapping = aes(y=yc, x=x)) + geom_point() + ggtitle("C")
gd = ggplot(data = df_data, mapping = aes(y=yd, x=x)) + geom_point() + ggtitle("D")
grid.arrange(ga, gb, gc, gd, nrow = 2, ncol = 2)

Los gráficos nos dan una pista para el posible mejor modelo para cada serie de datos. Ahora lo comprobaremos haciendo una regresión para cada serie, para cada uno de los modelos.

Para poder hacer la regresión con cada modelo, necesitamos transformar cada ecuación original a una forma lineal, con la cual se puede hacer una regresión lineal. Las formas lineales para los modelos log, semilog y logística son:

\[log(y) = log(\beta_0) + \beta_1 log(x) + v...(Log)\] \[log(y) = log(\beta_0) + \beta_1 x + v...(Semilog)\] \[log \left( \frac{y_m}{y} - 1 \right) = -\beta_0 - \beta_1x + u...(Logístico)\]

Note que cuando realiza la regresión del modelo logístico, tiene que cambiar el signo del coeficiente de la regresión:

\[\hat \beta_1 = -Coeficiente \ de \ la \ regresión\]

Pregunta 1

¿Cuál es el mejor modelo para la serie (a)?

Respuesta

Con los datos \(ya\), hacemos cuatro regresiones usando las ecuaciones transformadas y para cada una, anotamos los resultados:

x = df_data$x
y = df_data$ya
df_resultados = data.frame(Modelo = c("Lineal", "Log", "Semilog", "Logistico"), R2 = NA, Estadistico.F = NA, Beta1 = NA)
ym = max(y) + 1
df_resultados[df_resultados$Modelo=="Lineal", "R2"] = summary(lm(formula = y ~ x))$r.squared
df_resultados[df_resultados$Modelo=="Log", "R2"] = summary(lm(formula = log(y) ~ log(x)))$r.squared
df_resultados[df_resultados$Modelo=="Semilog", "R2"] = summary(lm(formula = log(y) ~ x))$r.squared
df_resultados[df_resultados$Modelo=="Logistico", "R2"] = summary(lm(formula = log(ym/y-1) ~ x))$r.squared
df_resultados[df_resultados$Modelo=="Lineal", "Estadistico.F"] = summary(lm(formula = y ~ x))$fstatistic[1]
df_resultados[df_resultados$Modelo=="Log", "Estadistico.F"] = summary(lm(formula = log(y) ~ log(x)))$fstatistic[1]
df_resultados[df_resultados$Modelo=="Semilog", "Estadistico.F"] = summary(lm(formula = log(y) ~ x))$fstatistic[1]
df_resultados[df_resultados$Modelo=="Logistico", "Estadistico.F"] = summary(lm(formula = log(ym/y-1) ~ x))$fstatistic[1]
df_resultados[df_resultados$Modelo=="Lineal", "Beta1"] = lm(formula = y ~ x)$coefficients[2]
df_resultados[df_resultados$Modelo=="Log", "Beta1"] = lm(formula = log(y) ~ log(x))$coefficients[2]
df_resultados[df_resultados$Modelo=="Semilog", "Beta1"] = lm(formula = log(y) ~ x)$coefficients[2]
df_resultados[df_resultados$Modelo=="Logistico", "Beta1"] = -lm(formula = log(ym/y-1) ~ x)$coefficients[2]

df_resultados
##      Modelo        R2 Estadistico.F     Beta1
## 1    Lineal 0.8351537      496.4932 1.0053885
## 2       Log 0.8681725      645.3960 3.9864394
## 3   Semilog 0.7752275      337.9963 0.1205035
## 4 Logistico 0.9001403      883.3764 0.1797764

El mejor modelo es el que tiene los mayores valores \(R^2\) y \(estadístico \ F\). En este caso, se observa que el mejor modelo es el Logistico.

Pregunta 2

Ingrese el coeficiente \(\beta_1\) de su mejor modelo para la serie (a).

Respuesta

Se realiza la regresión con el mejor modelo (Logistico) y se observa que:

\[\hat \beta_1 = 0.1798\]

Pregunta 3

¿Cuál es el mejor modelo para la serie (b)?

Respuesta

Con los datos \(yb\), hacemos cuatro regresiones usando las ecuaciones transformadas y para cada una, anotamos los resultados:

##      Modelo        R2 Estadistico.F      Beta1
## 1    Lineal 0.8500423      555.5178 0.10150343
## 2       Log 0.9085560      973.6944 0.40943064
## 3   Semilog 0.7516690      296.6346 0.01191299
## 4 Logistico 0.8074460      410.9481 0.02973094

El mejor modelo es el que tiene los mayores valores \(R^2\) y \(estadístico \ F\). En este caso, se observa que el mejor modelo es el Log.

Pregunta 4

Ingrese el coeficiente \(\beta_1\) de su mejor modelo para la serie (b).

Respuesta

Se realiza la regresión con el mejor modelo (Log) y se observa que:

\[\hat \beta_1 = 0.4094\]

Pregunta 5

¿Cuál es el mejor modelo para la serie (c)?

Respuesta

Con los datos \(yc\), hacemos cuatro regresiones usando las ecuaciones transformadas y para cada una, anotamos los resultados:

##      Modelo        R2 Estadistico.F      Beta1
## 1    Lineal 0.5774299     133.91416 2.00066802
## 2       Log 0.5469382     118.30605 0.45457749
## 3   Semilog 0.4752463      88.75428 0.01355504
## 4 Logistico 0.4886484      93.64895 0.02850857

El mejor modelo es el que tiene los mayores valores \(R^2\) y \(estadístico \ F\). En este caso, se observa que el mejor modelo es el Lineal.

Pregunta 6

Ingrese el coeficiente \(\beta_1\) de su mejor modelo para la serie (c).

Respuesta

Se realiza la regresión con el mejor modelo (Lineal) y se observa que:

\[\hat \beta_1 = 2.0007\]

Pregunta 7

¿Cuál es el mejor modelo para la serie (d)?

Respuesta

Con los datos \(yd\), hacemos cuatro regresiones usando las ecuaciones transformadas y para cada una, anotamos los resultados:

##      Modelo        R2 Estadistico.F       Beta1
## 1    Lineal 0.6490824      181.2678 -0.18818787
## 2       Log 0.7340744      270.5241 -0.87899558
## 3   Semilog 0.8874574      772.7813 -0.03091671
## 4 Logistico 0.8000787      392.1930 -0.03901223

El mejor modelo es el que tiene los mayores valores \(R^2\) y \(estadístico \ F\). En este caso, se observa que el mejor modelo es el Semilog.

Pregunta 8

Ingrese el coeficiente \(\beta_1\) de su mejor modelo para la serie (d).

Respuesta

Se realiza la regresión con el mejor modelo (Semilog) y se observa que:

\[\hat \beta_1 = -0.0309\]

\[...\]