Esta pauta de solución está hecha con los datos y valores de CATALINA ISIDORA LAVÍN SOBARZO. Si alguien quiere que lo haga con sus datos, encantado lo haré.
Marcela tiene en su refrigerador x1 ingredientes. Quiere hacer una comida de y1 ingredientes distintos cada día. ¿Cuántas comidas de y1 ingredientes distintos puede hacer?
Este es un problema de combinatoria.
Para cada comida, no importa el orden en que se eligen los ingredientes, y además, no se pueden repetir. Por lo tanto, la cantidad de comidas es la cantidad de combinaciones de tamaño y1 de un total de x1: \[\binom{x1}{y1} = \frac{x1!}{(x1-y1)!y1!}\] De su tabla de valores personalizado, obtener los valores de las variables:
\[x1 = 7\] \[y1 = 2\] Sustituir los valores:
\[\binom{7}{2} = \frac{7!}{(7-2)!2!}\] \[\therefore \binom{7}{2} = 21\]
Para un estudio, entrevistas a varias personas al azar de la Región Metropolitana. De antemano tienes las siguientes estadísticas:
Población Región Metropolitana: x2 + y2
Mujeres: x2
Hombres: y2
Población Comuna Quilicura: z2 + w2
Mujeres: z2
Hombres: w2
¿Cuál es la probabilidad de que al elegir al azar una persona de la Región Metropolitana, sea mujer o viva en la comuna de Quilicura?
¡Ojo! Dice “o”, no “y”.
De su tabla de valores personalizado, obtener los valores de las variables:
\[x2 = 2.973.278\] \[y2 = 2.841.959\] \[z2 = 148.049\] \[w2 = 142.982\]
El evento “ser mujer o vivir en Quilicura” es la unión de los eventos “ser mujer” y “vivir en Quilicura”. Por lo tanto, podemos usar la ecuación de probabilidad de la unión. \[P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P(A\cap B)\] Sean: \[A = Evento \ “encuestado(a) \ es \ mujer”\] \[B = Evento \ “encuestado(a) \ vive \ en \ Quilicura”\]
Como estamos entrevistando a las personas al azar, por simetría la probabilidad de entrevistar a cada persona es la misma para todos. Entonces podemos aplicar la fórmula frecuentista para calcular las probabilidades:
\[Probabilidad = \frac{Casos \ Favorables}{Casos \ Totales}\]
\[P\left(A\right)=\frac{Cantidad\ de\ mujeres\ en\ la\ Región\ Metropolitana}{Población\ Región\ Metropolitana} = \frac{x2}{x2+y2} = \frac{2.973.278}{2.973.278+2.841.959} = 0.5113\] \[P\left(B\right)=\frac{Población\ de\ Quilicura}{Población\ Región\ Metropolina} = \frac{z2+w2}{x2+y2} = \frac{148.049+142.982}{2.973.278+2.841.959} = 0.05\] \[P\left(A\cap B\right)=\frac{Cantidad\ de\ mujeres\ en\ Quilicura}{Población\ Región\ Metropolitana} = \frac{z2}{x2+y2} = \frac{148.049}{2.973.278+2.841.959} = 0.0255\] \[\therefore P\left(A\cup B\right) = 0.5113 + 0.05 - 0.0255\] \[\therefore P\left(A\cup B\right) = 0.5359\]
Marcela Pérez, una vendedora, tiene x3 clientes y decide llamarlos a todos. Si la probabilidad de lograr una venta para cada cliente es p3, ¿cuál es la probabilidad de hacer un mínimo de y3 ventas?
Cada venta tiene solamente dos desenlaces posibles: venta sí/no, con probabilidad p3. Además, Marcela llama a un número fijo de clientes: x3. Entonces el problema puede ser modelado por una distribución binomial, donde cada llamada a un cliente es un intento y una venta lograda constituye un éxito, con probabilidad de p3.
\[X \sim Bin(n,p)\] donde \(n=x3\) y \(p=p3\).
La función de masa de probabilidad es: \[p_X(x) = {n \choose x}p^x(1-p)^{n-x}\]
Nos interesa la probabilidad de que Marcela haga por lo menos y3 ventas: \(P(X \ge y3)\). Entonces usamos la función de distribución acumulada: \[P(X \ge y3) = 1 - P(X < y3)\] \[P(X \ge y3) = 1 - F_X(y3-1)\]
porque X is discreto y \(P(X < y3) = P(X \le y3-1) = F_X(y3-1)\).
De su tabla de valores personalizado, obtener los valores de las variables:
\[x3 = 177\] \[p3 = 0.03\] \[y3 = 4\]
\[\therefore P(X \ge 4) = 1 - \sum_{i=0}^{3} {177 \choose i}0.03^i(1-0.03)^{177-i}\] Sumar 4 términos para i=0 hasta 3 se hace mejor en Excel. Ver la planilla Calculos de Evaluaciones.xlsx, pestaña Evaluación 3, en la carpeta Retroalimentación de Evaluaciones del aula virtual.
\[\sum_{i=0}^{3} {177 \choose i}0.03^i(1-0.03)^{177-i} = 0.2198458\] \[\therefore P(X \ge 4) = 0.7801542\]
A Juan le encanta componer canciones. Cada vez que publica una canción en YouTube la probabilidad de que esa canción sea exitosa es p4. ¿Cuántas veces tiene Juan que componer una canción y publicarla en YouTube para que su probabilidad de éxito supere q4?
Podemos considerar que, cada vez que Juan publica una de sus canciones en YouTube, hay solamente dos desenlaces de interés: que sea exitosa, o no. Podemos considerar cada publicación como un intento, y que además Juan seguirá intentando hasta conseguir publicar su canción. Como la cantidad de intentos no está predeterminada, sino que es una variable, este problema se presta para ser modelado con la distribución geométrica.
\[X \sim Geom(p)\] donde \(p = p4\)
La función de masa de probabilidad de la distribución geométrica es:
\[p_X(x) = (1-p)^{x-1}p\] Juan no busca el éxito en algún intento en particular, sino que su probabilidad de éxito aumente hasta al menos q4 en la medida en que sigue intentando. Entonces necesitamos usar la función de distribución acumulada:
\[P(X \le x) = F_X(X) = 1 - (1-p)^x\]
Buscamos \(x\) que haga que \(F_X(x) = q4\). Entonces:
\[q4 = 1 - (1-p4)^x\] \[\therefore (1-p4)^x = 1 - q4\] Tomar el logaritmo:
\[x \cdot ln(1-p4) = ln(1-q4)\] \[\therefore x = \frac{ln(1-q4)}{ln(1-p4)}\] De su tabla de valores personalizado, obtener los valores de las variables:
\[p4 = 0.05\] \[q4 = 0.83\] Sustituir los valores de las variables:
\[x = \frac{ln(1-0.83)}{ln(1-0.05)}\] \[\therefore x = 34.5455846\] Como buscamos x tal que \(F_X(x)\) supere 0.83 y x tiene que ser entero, lo redondeamos al entero superior: \[x = 35\]