1 Introducción

Se estudia si la fuerza de compresión afecta la dureza de comprimidos farmacéuticos, expresada en newtons (N). Se preparan cuatro lotes independientes de granulado. Cada lote se divide en tres porciones comparables y cada porción se comprime con una fuerza distinta (8, 12 o 16 kN), en orden aleatorio dentro de cada lote.

El diseño es en bloques completos aleatorizados (DBCA), no un diseño completamente aleatorizado sin bloques. Los lotes son los bloques; las fuerzas, los tratamientos. Cada resultado representa la dureza media de una porción procesada independientemente, que constituye una unidad experimental.

Aviso: todos los datos son ficticios y se utilizan exclusivamente para aprender estadística experimental.

1.1 Objetivo e hipótesis

Objetivo: determinar si existen diferencias en la dureza media entre tres fuerzas de compresión, controlando la variabilidad entre lotes de granulado.

  • H₀ (tratamientos): las medias de dureza son iguales para 8, 12 y 16 kN.
  • H₁ (tratamientos): al menos una media difiere.
  • H₀ (bloques): los lotes no tienen efectos medios diferentes.
  • H₁ (bloques): al menos un lote presenta un efecto distinto.

Nivel de significancia: α = 0.05.

2 Datos experimentales

datos <- data.frame(
  Lote = factor(rep(paste0("Lote ", 1:4), each=3)),
  Fuerza = factor(rep(c("8 kN", "12 kN", "16 kN"), times=4),
                  levels=c("8 kN", "12 kN", "16 kN")),
  Dureza = c(62,81,101, 66,85,105, 59,79,98, 64,83,103)
)
kable(datos, caption="Observaciones simuladas: dureza (N) por lote y fuerza")
Observaciones simuladas: dureza (N) por lote y fuerza
Lote Fuerza Dureza
Lote 1 8 kN 62
Lote 1 12 kN 81
Lote 1 16 kN 101
Lote 2 8 kN 66
Lote 2 12 kN 85
Lote 2 16 kN 105
Lote 3 8 kN 59
Lote 3 12 kN 79
Lote 3 16 kN 98
Lote 4 8 kN 64
Lote 4 12 kN 83
Lote 4 16 kN 103

3 Estadística descriptiva

descriptivos <- datos %>% group_by(Fuerza) %>%
  summarise(n=n(), Media=mean(Dureza), Mediana=median(Dureza),
            DE=sd(Dureza), Varianza=var(Dureza),
            Minimo=min(Dureza), Maximo=max(Dureza),
            CV_porcentaje=100*sd(Dureza)/mean(Dureza), .groups="drop")
kable(descriptivos, digits=2,
      caption="Estadísticos descriptivos por fuerza de compresión")
Estadísticos descriptivos por fuerza de compresión
Fuerza n Media Mediana DE Varianza Minimo Maximo CV_porcentaje
8 kN 4 62.75 63 2.99 8.92 59 66 4.76
12 kN 4 82.00 82 2.58 6.67 79 85 3.15
16 kN 4 101.75 102 2.99 8.92 98 105 2.93

La mayor dureza media corresponde a 16 kN (101.75 N), mientras que la menor corresponde a 8 kN (62.75 N).

4 Visualizaciones

4.1 Diagrama de cajas y observaciones

ggplot(datos, aes(Fuerza, Dureza, fill=Fuerza)) +
  geom_boxplot(alpha=.65, width=.55, outlier.shape=NA) +
  geom_jitter(width=.09, size=3.1, alpha=.85, shape=21, color="#23313F") +
  scale_fill_manual(values=color_fuerza) +
  labs(title="Distribución de dureza por fuerza de compresión",
       subtitle="Cada punto representa una porción experimental",
       x="Fuerza de compresión", y="Dureza (N)") +
  theme_minimal(base_size=13) + theme(legend.position="none", plot.title=element_text(face="bold"))

4.2 Dureza media por fuerza

ggplot(descriptivos, aes(Fuerza, Media, fill=Fuerza)) +
  geom_col(width=.62, alpha=.85) +
  geom_errorbar(aes(ymin=Media-DE, ymax=Media+DE), width=.15, linewidth=.8) +
  geom_text(aes(label=sprintf("%.2f N", Media)), vjust=-1.1, fontface="bold") +
  scale_fill_manual(values=color_fuerza) +
  scale_y_continuous(limits=c(0, max(descriptivos$Media+descriptivos$DE)+14)) +
  labs(title="Dureza media ± desviación estándar",
       x="Fuerza de compresión", y="Dureza media (N)") +
  theme_minimal(base_size=13) + theme(legend.position="none")

4.3 Comportamiento dentro de cada lote

ggplot(datos, aes(Fuerza, Dureza, group=Lote, color=Lote)) +
  geom_line(linewidth=1.2) + geom_point(size=3.5) +
  scale_color_brewer(palette="Dark2") +
  labs(title="Respuesta a la compresión dentro de cada lote",
       subtitle="Cada línea corresponde a un bloque",
       x="Fuerza de compresión", y="Dureza (N)") +
  theme_minimal(base_size=13)

5 ANOVA del diseño en bloques

El modelo aditivo es Dureza = media general + efecto de fuerza + efecto de lote + error.

modelo <- aov(Dureza ~ Fuerza + Lote, data=datos)
tabla_anova <- as.data.frame(summary(modelo)[[1]])
tabla_anova$Fuente <- trimws(rownames(tabla_anova))
tabla_anova <- tabla_anova[, c("Fuente", "Df", "Sum Sq", "Mean Sq", "F value", "Pr(>F)")]
colnames(tabla_anova) <- c("Fuente", "GL", "SC", "CM", "F", "p")
kable(tabla_anova, digits=5, caption="ANOVA aditivo del DBCA")
ANOVA aditivo del DBCA
Fuente GL SC CM F p
Fuerza Fuerza 2 3042.167 1521.08333 18253 0
Lote Lote 3 73.000 24.33333 292 0
Residuals Residuals 6 0.500 0.08333 NA NA 
p_fuerza <- tabla_anova$p[match("Fuerza", tabla_anova$Fuente)]
p_lote <- tabla_anova$p[match("Lote", tabla_anova$Fuente)]

Tratamientos: p = <1e-04. Se rechaza H₀: existe evidencia de diferencias en dureza media entre fuerzas de compresión.

Bloques: p = <1e-04. Se detectan diferencias asociadas con los lotes, lo que muestra que el bloqueo captura variación relevante en estos datos.

Precaución: al existir una sola observación por combinación lote × fuerza, no se puede estimar por separado una interacción lote × fuerza. El ANOVA utilizado supone un modelo aditivo.

6 Evaluación de supuestos

6.1 Normalidad de los residuos: Shapiro-Wilk

  • H₀: los residuos del modelo tienen distribución normal.
  • H₁: los residuos no tienen distribución normal.
residuos <- residuals(modelo)
normalidad <- shapiro.test(residuos)
kable(data.frame(Prueba="Shapiro-Wilk", W=unname(normalidad$statistic),
                 p=normalidad$p.value), digits=5)
Prueba W p
Shapiro-Wilk 0.82661 0.01911

Interpretación: p = 0.0191. Se rechaza la hipótesis de normalidad. El ANOVA debe interpretarse con cautela y conviene revisar el gráfico Q-Q y Friedman.

ggplot(data.frame(Residuos=residuos), aes(sample=Residuos)) +
  stat_qq(color="#2471A3", size=3) +
  stat_qq_line(color="#E74C3C", linewidth=1) +
  labs(title="Gráfico Q-Q de residuos", x="Cuantiles teóricos", y="Cuantiles observados") +
  theme_minimal(base_size=13)

6.2 Homocedasticidad: Levene (mediana)

  • H₀: las varianzas de dureza son iguales entre las fuerzas.
  • H₁: al menos una varianza es diferente.
lev <- car::leveneTest(Dureza ~ Fuerza, data=datos, center=median)
kable(as.data.frame(lev), digits=5, caption="Levene por fuerza de compresión")
Levene por fuerza de compresión
Df F value Pr(>F)
group 2 0.04286 0.95824
9 NA NA 
p_levene <- lev[1,"Pr(>F)"]

Interpretación: p = 0.958. No se rechaza la igualdad de varianzas entre fuerzas.

Limitación: esta prueba compara las observaciones por fuerza sin incorporar explícitamente el bloqueo. Es una revisión complementaria, no una validación completa de la homogeneidad de la varianza residual del DBCA.

6.3 Residuos frente a valores ajustados

diagnostico <- data.frame(Ajustados=fitted(modelo), Residuos=residuos,
                          Fuerza=datos$Fuerza, Lote=datos$Lote)
ggplot(diagnostico, aes(Ajustados, Residuos, color=Fuerza)) +
  geom_hline(yintercept=0, linetype="dashed", color="#C0392B") +
  geom_point(size=3.5) +
  scale_color_manual(values=color_fuerza) +
  labs(title="Residuos frente a valores ajustados",
       x="Dureza ajustada (N)", y="Residuo (N)") +
  theme_minimal(base_size=13)

7 Comparaciones múltiples: Tukey

tukey <- TukeyHSD(modelo, which="Fuerza")
tabla_tukey <- data.frame(Comparacion=rownames(tukey$Fuerza),
                          tukey$Fuerza, row.names=NULL, check.names=FALSE)
kable(tabla_tukey, digits=5, caption="Comparaciones de Tukey ajustadas por multiplicidad")
Comparaciones de Tukey ajustadas por multiplicidad
Comparacion diff lwr upr p adj
12 kN-8 kN 19.25 18.62369 19.87631 0
16 kN-8 kN 39.00 38.37369 39.62631 0
16 kN-12 kN 19.75 19.12369 20.37631 0 
plot(tukey, las=1, col="#8E44AD")

Una comparación se considera significativa cuando su valor p ajustado es inferior a 0.05 o su intervalo de confianza no incluye cero.

8 Análisis no paramétricos

8.1 Kruskal-Wallis (complementario, sin bloques)

kw <- kruskal.test(Dureza ~ Fuerza, data=datos)
kable(data.frame(Prueba="Kruskal-Wallis", Estadistico=unname(kw$statistic),
                 GL=unname(kw$parameter), p=kw$p.value), digits=5)
Prueba Estadistico GL p
Kruskal-Wallis 9.84615 2 0.00728

Interpretación: p = 0.00728. La prueba detecta diferencias entre los grupos.

Advertencia: Kruskal-Wallis no incorpora los lotes como bloques y supone observaciones independientes entre grupos; por eso no debe reemplazar al análisis bloqueado de este experimento.

8.2 Friedman (alternativa no paramétrica para DBCA)

fr <- friedman.test(Dureza ~ Fuerza | Lote, data=datos)
kable(data.frame(Prueba="Friedman", Estadistico=unname(fr$statistic),
                 GL=unname(fr$parameter), p=fr$p.value), digits=5)
Prueba Estadistico GL p
Friedman 8 2 0.01832

Interpretación: p = 0.0183. Se rechaza H₀: hay evidencia de diferencias entre fuerzas al considerar los lotes como bloques.

Friedman compara los rangos de los tratamientos dentro de cada bloque. Si se necesitan comparaciones posteriores específicas entre fuerzas, debe utilizarse un procedimiento post hoc adecuado para datos bloqueados.

9 Resumen automático

resumen <- data.frame(
  Prueba=c("ANOVA: fuerza", "ANOVA: lote", "Shapiro-Wilk (residuos)",
           "Levene (por fuerza)", "Kruskal-Wallis (sin bloques)", "Friedman (con bloques)"),
  p=c(p_fuerza, p_lote, normalidad$p.value, p_levene, kw$p.value, fr$p.value)
)
resumen$Decision <- ifelse(resumen$p < alpha, "Rechazar H0", "No rechazar H0")
kable(resumen, digits=5, caption="Resumen de contrastes (α = 0.05)")
Resumen de contrastes (α = 0.05)
Prueba p Decision
ANOVA: fuerza 0.00000 Rechazar H0
ANOVA: lote 0.00000 Rechazar H0
Shapiro-Wilk (residuos) 0.01911 Rechazar H0
Levene (por fuerza) 0.95824 No rechazar H0
Kruskal-Wallis (sin bloques) 0.00728 Rechazar H0
Friedman (con bloques) 0.01832 Rechazar H0

10 Conclusiones

  1. La dureza media observada es 62.75 N a 8 kN, 82 N a 12 kN y 101.75 N a 16 kN.
  2. El ANOVA del DBCA detecta diferencias significativas entre fuerzas de compresión.
  3. Los lotes presentan efectos estadísticamente diferentes; bloquear permite separar esta variación de la variación residual.
  4. La prueba Shapiro-Wilk cuestiona la normalidad de los residuos; la interpretación paramétrica requiere cautela.
  5. Friedman también detecta diferencias entre fuerzas al respetar el bloqueo.

Alcance: el ejercicio utiliza únicamente datos simulados. Para una investigación real deben justificarse las condiciones de fabricación, el número de réplicas, la independencia de las porciones experimentales y los criterios farmacotécnicos de aceptación.