Aufgabenstellung

Begruenden Sie, dass die Aussagen wahr sind.

Loesungsweg

Man vergleicht Richtungs- bzw. Normalenvektoren: - Parallele Ebenen -> parallele Normalenvektoren. - Achse in Ebene -> Achsenrichtung in Ebene + Achsenpunkt in Ebene. - Gerade in Ebene -> Stuetzpunkt in Ebene + Richtung als Linearkombination.

Vorbereitung

library(plotly)

Teilaufgabe a)

Begruendung: Richtungsvektoren (0,1,0) und (1,0,0) haben dritte Komponente 0, der Normalenvektor ist (0,0,1) - gleich wie bei der x1x2-Ebene. Stuetzpunkt (0,0,1) liegt nicht in der x1x2-Ebene -> echt parallel.

p_a <- make_plane(c(0, 0, 1), c(0, 1, 0), c(1, 0, 0), color = "deepskyblue", alpha = 0.35) %>%
  add_plane(c(0, 0, 0), c(0, 1, 0), c(1, 0, 0), color = "gray", alpha = 0.25) %>%
  layout(title = "17a) E parallel zur x1x2-Ebene",
         scene = list(xaxis = list(title = "x1"),
                      yaxis = list(title = "x2"),
                      zaxis = list(title = "x3"),
                      aspectmode = "data"))
p_a

Teilaufgabe b)

Begruendung: Stuetzvektor (0,0,0) = Ursprung (liegt auf x3-Achse). Achsenrichtung (0,0,1) = -1/2 * (0,0,-2), steckt also in E -> Achse liegt in E.

p_b <- make_plane(c(0, 0, 0), c(1, -2, 3), c(0, 0, -2), color = "gold", alpha = 0.35) %>%
  add_line(c(0, 0, 0), c(0, 0, 1), color = "red", t_range = c(-3, 3)) %>%
  layout(title = "17b) E enthaelt die x3-Achse",
         scene = list(xaxis = list(title = "x1"),
                      yaxis = list(title = "x2"),
                      zaxis = list(title = "x3"),
                      aspectmode = "data"))
p_b

Teilaufgabe c)

Begruendung: Stuetzpunkt (0,0,0) in E (r=s=0). Richtung zerlegt: (1,2,5) = 1(2,0,1) + 1(-1,2,4) -> Richtung liegt in E -> Gerade liegt in E.

p_c <- make_plane(c(0, 0, 0), c(2, 0, 1), c(-1, 2, 4), color = "deepskyblue", alpha = 0.3) %>%
  add_line(c(0, 0, 0), c(1, 2, 5), color = "red", t_range = c(-2, 2)) %>%
  layout(title = "17c) g liegt in E",
         scene = list(xaxis = list(title = "x1"),
                      yaxis = list(title = "x2"),
                      zaxis = list(title = "x3"),
                      aspectmode = "data"))
p_c

Zusammenfassung

a) gleicher Normalenvektor (0,0,1) -> echt parallel
b) Ursprung in E + Richtung (0,0,1) in E -> Achse in E
c) (1,2,5) = 1*(2,0,1) + 1*(-1,2,4) -> g in E