Aufgabenstellung

Untersuchen Sie die gegenseitige Lage der Geraden g1 und g2 und geben Sie gegebenenfalls eine Parametergleichung der Ebene an, die beide Geraden enthält.

Lösungsweg

  1. Richtungsvektoren auf Kollinearität prüfen (Vielfache?).
  2. LGS gleichsetzen: eine Lösung = schneidend, Widerspruch = windschief.
  3. Nur bei schneidend/parallel existiert eine Ebene mit beiden Geraden.

Vorbereitung

library(plotly)

Teilaufgabe a)

Rechnung: LGS führt auf r = 3/7, s = 12/7 (aus I & II), aber III ergibt 2(3/7) - 5(12/7) = -54/7 ungleich -4. Widerspruch.

Ergebnis: windschief -> keine Ebene möglich.

A1 <- c(4, 3, 1); u <- c(1, -3, 2)
A2 <- c(1, 0, -3); v <- c(2, 1, 5)

p_a <- plot_ly() %>%
  add_line(A1, u, color = "red") %>%
  add_line(A2, v, color = "blue") %>%
  add_point(A1, "A1(4|3|1)", color = "red") %>%
  add_point(A2, "A2(1|0|-3)", color = "blue") %>%
  layout(title = "16a) windschief - keine Ebene",
         scene = list(xaxis = list(title = "x"),
                      yaxis = list(title = "y"),
                      zaxis = list(title = "z"),
                      aspectmode = "data"),
         legend = list(x = 0.02, y = 0.98))
p_a

Teilaufgabe b)

Rechnung: v = -3/2 * u -> kollinear (parallel). A2 liegt nicht auf g1 (Widerspruch r = -1/2 vs r = 1/4) -> echt parallel.

Ergebnis: echt parallel. Ebene: E: x = (1, 0, 1) + r(-2, 4, 6) + s(1, 1, 4)

A1b <- c(1, 0, 1); ub <- c(-2, 4, 6)
A2b <- c(2, 1, 5); vb <- c(3, -6, -9)
vplane <- A2b - A1b  # (1, 1, 4)

p_b <- make_plane(A1b, ub, vplane, color = "gold", alpha = 0.3) %>%
  add_line(A1b, ub, color = "red") %>%
  add_line(A2b, vb, color = "blue") %>%
  add_point(A1b, "A1(1|0|1)", color = "red") %>%
  add_point(A2b, "A2(2|1|5)", color = "blue") %>%
  layout(title = "16b) echt parallel - eine Ebene",
         scene = list(xaxis = list(title = "x"),
                      yaxis = list(title = "y"),
                      zaxis = list(title = "z"),
                      aspectmode = "data"),
         legend = list(x = 0.02, y = 0.98))
p_b

Zusammenfassung

a) windschief   -> keine Ebene
b) echt parallel -> E: x = (1,0,1) + r*(-2,4,6) + s*(1,1,4)