Análisis estadístico de los rendimientos diarios de BMW
Jesús David Diaz
Leonardo Favio Duran
María Fernanda Gutierrez
María Juliana García
Universidad Nacional de Colombia sede de la Paz
📧 jesdiaz@unal.edu.co
Asignatura: Computación Estadística
Fecha: 28 de Noviembre de 2026
Introducción
Los rendimientos financieros presentan variaciones a lo largo del tiempo, con movimientos que pueden ser pequeños o alcanzar magnitudes elevadas. El análisis de su comportamiento mediante distribuciones de probabilidad permite describir estas variaciones, estudiar sus características y construir modelos que puedan utilizarse en simulaciones y en la evaluación del riesgo financiero.
En este trabajo se estudia el comportamiento de los rendimientos financieros mediante el ajuste y la comparación de diferentes distribuciones de probabilidad. Para ello, se estiman sus parámetros por máxima verosimilitud y se evalúa qué tan bien representan los datos observados. Posteriormente, se utilizan muestras simuladas y criterios estadísticos para comparar los modelos y analizar sus diferencias.
Este procedimiento permite identificar cuál de las distribuciones consideradas presenta un mejor ajuste relativo a los datos. Asimismo, proporciona una base para comprender las características de los rendimientos y explorar sus posibles aplicaciones en el análisis financiero, teniendo en cuenta que ningún modelo garantiza una representación perfecta del comportamiento real del mercado.
Fase A: Simulación y generación de variables
Se ajustaron las distribuciones lognormal y Weibull mediante máxima verosimilitud, programando las expresiones matemáticas correspondientes. Para la lognormal, los parámetros se estimaron a partir de los logaritmos de los datos. Para la Weibull, el parámetro de forma se obtuvo mediante Newton–Raphson y el parámetro de escala se calculó a partir de dicha estimación.
| Descripción | Resultado |
|---|---|
| Observaciones originales | 6146 |
| Rendimientos iguales a cero | 611 |
| Porcentaje de ceros | 9.9414% |
| Observaciones utilizadas en el ajuste | 5535 |
| Modelo | Parámetro_1 | Parámetro_2 | Log_verosimilitud | AIC |
|---|---|---|---|---|
| Lognormal | mu = -1.250326 | sigma = 2.688197 | -6406.669 | 12817.34 |
| Weibull | k = 0.3659582 | lambda = 1.168623 | -7026.700 | 14057.40 |
El criterio de información de Akaike se calcula mediante \(AIC=2p-2\ell(\hat{\theta})\), donde \(p\) es el número de parámetros estimados y \(\ell(\hat{\theta})\) es la log-verosimilitud maximizada. El modelo con menor AIC se considera preferible entre las alternativas comparadas.
Generación de muestras sintéticas
Se generaron muestras sintéticas veinte veces mayores que la muestra utilizada en el ajuste. La Weibull se simuló mediante la transformada inversa de variables uniformes. Para la lognormal se generaron variables normales estándar con Box–Muller y se aplicó la transformación exponencial.
| Estadístico | Weibull | Lognormal |
|---|---|---|
| Mínimo | 0.00000 | 0.00000 |
| Q1 | 0.03910 | 0.04691 |
| Mediana | 0.42839 | 0.28368 |
| Media | 5.16226 | 9.98102 |
| Q3 | 2.87906 | 1.75123 |
| Máximo | 1381.40589 | 49603.99147 |
Gráficos cuantil-cuantil (Q–Q)
Los gráficos Q–Q comparan los cuantiles observados con los cuantiles simulados. Una mayor proximidad a la recta de referencia indica mayor concordancia; las desviaciones en los extremos evidencian diferencias en la representación de las colas.
Distancia KS y comparación de cuantiles
La distancia de Kolmogórov–Smirnov se calcula como la máxima diferencia absoluta entre las funciones de distribución acumulada empíricas. La función siguiente evalúa las diferencias en los puntos observados y en los límites de los saltos, sin utilizar una función automática de prueba KS.
| Modelo | Distancia_KS |
|---|---|
| Weibull | 0.2243631 |
| Lognormal | 0.1743993 |
| Cuantil | Real | Weibull | Lognormal |
|---|---|---|---|
| 50% | 0.1223 | 0.4284 | 0.2837 |
| 90% | 19.6938 | 11.5817 | 9.1579 |
| 99% | 46.9599 | 77.3220 | 144.1067 |
Conclusión
La selección de una distribución debe considerar conjuntamente el AIC, la distancia KS, los gráficos Q–Q y los cuantiles de interés. En los resultados reportados previamente, la lognormal obtuvo un AIC de 12.817,34, frente a 14.057,40 para Weibull, y una distancia KS de 0,1756549, frente a 0,2276784. Ambos criterios favorecieron a la lognormal.
Sin embargo, la comparación de cuantiles mostró que la lognormal se aproximó más a la mediana, mientras que Weibull quedó más cerca de los cuantiles 90 y 99. Los gráficos Q–Q también evidenciaron desviaciones importantes en los extremos. Por tanto, la lognormal se considera la alternativa preferida según los criterios globales reportados, pero no reproduce perfectamente todas las características de las colas.
Para la Fase B, los valores absolutos simulados podrán convertirse en rendimientos con signo asignando independientemente un signo positivo o negativo con probabilidad \(1/2\), de acuerdo con el supuesto del proyecto. Este supuesto no implica que las ganancias y pérdidas reales de BMW sean igualmente probables. Además, si se pretende simular la serie completa, será necesario considerar por separado la proporción de rendimientos iguales a cero.
Fase B: Integración y remuestreo
Monte Carlo: probabilidad de pérdida acumulada a cinco días
En esta parte se estima la probabilidad de que la pérdida acumulada durante cinco días supere un umbral elevado. Se utiliza la distribución lognormal seleccionada en la Fase A para simular las magnitudes de los rendimientos y se asignan signos positivos o negativos con igual probabilidad. La pérdida diaria se define como el negativo del rendimiento; por tanto, una pérdida acumulada positiva representa un resultado desfavorable.
Primero se realizó una simulación de calibración de un millón de trayectorias para determinar el umbral correspondiente al percentil 99,9 %. El umbral obtenido fue \(u=2295{,}113\). Después se realizó una simulación independiente para comprobar la probabilidad de superar dicho valor.
| Método | Probabilidad estimada | Error estándar |
|---|---|---|
| Referencia independiente | 0.00108700 | 3.295e-05 |
| Monte Carlo simple | 0.00104300 | 3.228e-05 |
| Muestreo por importancia | 0.00101876 | 4.139e-05 |
| Medida | Resultado |
|---|---|
| Varianza Monte Carlo simple | 0.00000 |
| Varianza del muestreo por importancia | 0.00000 |
| Reducción de varianza | -64.43772 |
La simulación independiente estimó una probabilidad de 0,001087, es decir, aproximadamente 0,109 %. Monte Carlo simple obtuvo 0,001043 (0,104 %), con un intervalo de confianza aproximado del 95 % entre 0,000980 y 0,001106. Estos valores son cercanos al objetivo de 0,1 % establecido durante la calibración.
El muestreo por importancia obtuvo una estimación de 0,001019 (0,102 %). Sin embargo, su error estándar fue mayor que el de Monte Carlo simple. La reducción de varianza calculada fue de −64,44 %. El signo negativo indica que, en esta implementación, la varianza aumentó en lugar de disminuir.
Esto puede ocurrir cuando la distribución propuesta no genera suficientes observaciones informativas del evento extremo o cuando los pesos de corrección son muy variables. Por tanto, aunque el muestreo por importancia produjo una estimación de probabilidad parecida, no mejoró la precisión con los parámetros utilizados. La técnica debe ajustarse y evaluarse antes de afirmar que reduce la varianza.
Jackknife y Bootstrap: incertidumbre de los estadísticos
Para esta parte se utilizaron los 6.146 rendimientos de BMW, incluidos los 611 valores iguales a cero. Se definió la pérdida diaria como el negativo del rendimiento. Los estadísticos seleccionados fueron la desviación estándar de las pérdidas y el VaR al 99 %. El VaR al 99 % representa el percentil 99 de la distribución de pérdidas diarias: bajo esta definición, aproximadamente el 1 % de las pérdidas observadas queda por encima de ese valor.
El método Jackknife elimina una observación cada vez y recalcula los estadísticos. El Bootstrap genera nuevas muestras del mismo tamaño mediante selección aleatoria con reemplazo. Para este análisis se utilizaron 2.000 réplicas Bootstrap y se construyeron intervalos de confianza del 95 % por el método percentil. También se calculó el intervalo BCa como referencia adicional y se compararon estos resultados con intervalos asintóticos.
| Estadístico | Método | Estimación | Error_estándar | IC_inferior | IC_superior |
|---|---|---|---|---|---|
| Desviación estándar | Jackknife | 11.5098 | 0.2298 | 11.0595 | 11.9601 |
| Desviación estándar | Bootstrap percentil | 11.5098 | 0.2274 | 11.0409 | 11.9440 |
| Desviación estándar | Bootstrap BCa | 11.5098 | NA | 11.0637 | 11.9822 |
| Desviación estándar | Asintótico | 11.5098 | 0.2295 | 11.0599 | 11.9597 |
| VaR al 99 % | Jackknife | 42.2230 | 0.3144 | 41.6067 | 42.8393 |
| VaR al 99 % | Bootstrap percentil | 42.2230 | 0.7424 | 40.6016 | 43.8134 |
| VaR al 99 % | Bootstrap BCa | 42.2230 | NA | 40.8626 | 43.8889 |
| VaR al 99 % | Asintótico | 42.2230 | 0.1394 | 41.9499 | 42.4962 |
La desviación estándar estimada fue 11,5098 y el VaR al 99 % fue 42,2230. En el caso de la desviación estándar, los intervalos Bootstrap percentil (11,0409 a 11,9440) y asintótico (11,0599 a 11,9597) son muy parecidos. Esto indica que, para este estadístico, ambos métodos ofrecen una estimación de incertidumbre similar.
Para el VaR al 99 %, el intervalo Bootstrap percentil fue más amplio (40,6016 a 43,8134), mientras que el intervalo asintótico fue más estrecho (41,9499 a 42,4962). La diferencia es importante porque el VaR se encuentra en la cola de la distribución y depende de las observaciones más extremas. El Bootstrap refleja una variabilidad mayor de este cuantil al volver a muestrear los datos, mientras que el intervalo asintótico depende de una aproximación basada en la densidad estimada alrededor del VaR.
El intervalo BCa para el VaR (40,8626 a 43,8889) también es más amplio que el asintótico y parecido al percentil, aunque sus límites se ajustan para considerar sesgo y asimetría. El Jackknife ofrece errores estándar útiles para comparar la sensibilidad de los estadísticos a la eliminación de observaciones, pero el VaR puede ser especialmente sensible a los valores extremos.
Conclusión
En B1, la probabilidad de superar el umbral de pérdida acumulada a cinco días se estimó cerca del 0,1 %. Monte Carlo simple y el muestreo por importancia produjeron estimaciones similares, pero la propuesta de importancia utilizada aumentó la varianza estimada en un 64,44 %. Por ello, no se puede afirmar que haya mejorado la eficiencia en esta implementación.
En B2, los intervalos de la desviación estándar fueron similares entre Bootstrap percentil y aproximación asintótica. Para el VaR al 99 %, Bootstrap produjo un intervalo más amplio, lo que evidencia mayor incertidumbre al estimar pérdidas extremas. En conjunto, los resultados muestran que la incertidumbre depende del estadístico analizado y que los métodos de remuestreo pueden ser especialmente informativos cuando se estudian las colas de la distribución.