paquetes <- c("readxl", "ggplot2", "knitr", "scales")
install.packages(setdiff(paquetes, rownames(installed.packages())))

2. Resumen

Este trabajo contrasta, con un nivel de significancia del 5 %, cuatro afirmaciones sobre la población representada por una base sintética de 100 observaciones y 11 variables económicas, la misma de los talleres anteriores. Se evaluó si la tasa de ahorro promedio difiere del 20 % que recomienda la regla 50/30/20, si menos de la mitad de la población realiza inversiones, si la desviación estándar del gasto mensual difiere de 500.000 pesos y si el ingreso promedio difiere entre mujeres y hombres. Se aplicaron las pruebas \(t\) de Student, \(Z\) para una proporción, \(\chi^2\) para una varianza y \(t\) de Welch. Cada prueba se resolvió primero de forma matemática y luego se reprodujo en R, con verificación previa de sus supuestos. Solo se rechazó una hipótesis nula: la proporción que invierte es inferior a la mitad (p = 0,0228), aunque la decisión cambiaría si dos personas más de la muestra invirtieran. La tasa de ahorro promedio, de 22,1 %, es compatible con el 20 % (p = 0,5536). La desviación del gasto es compatible con el valor de referencia (p = 0,6767), y la diferencia de ingreso de 211.291 pesos entre mujeres y hombres no resulta significativa (p = 0,1641). En las tres pruebas sin rechazo, los datos son compatibles con la hipótesis nula y también con diferencias moderadas que este tamaño muestral no permite detectar.

3. Palabras clave

prueba de hipótesis; valor p; tasa de ahorro; brecha de ingreso; inferencia estadística.

4. Introducción

4.1 Contextualización

El Taller #2 estimó con intervalos de confianza los parámetros asociados al ahorro y al ingreso. Un intervalo responde cuánto vale un parámetro, pero muchas preguntas económicas tienen otra forma: si un parámetro cumple una norma, si supera un umbral o si difiere entre dos grupos. Ese tipo de pregunta se responde con una prueba de hipótesis, que contrasta una afirmación concreta contra la evidencia de la muestra.

4.2 Importancia del problema

Las cuatro afirmaciones que se contrastan aquí tocan decisiones financieras corrientes. La regla 50/30/20 propone destinar el 50 % del ingreso a necesidades, el 30 % a gustos y el 20 % al ahorro (Warren y Warren Tyagi, 2005). Saber si una población cumple esa referencia orienta programas de educación financiera. Invertir, y no solo ahorrar, se asocia con el nivel de alfabetización financiera (Lusardi y Mitchell, 2014). La dispersión del gasto indica qué tan heterogénea es la población en sus patrones de consumo, y la brecha de ingreso entre mujeres y hombres es uno de los temas más estudiados de la economía laboral (Blau y Kahn, 2017).

4.3 Antecedentes

El marco de decisión entre una hipótesis nula y una alternativa, con control del error Tipo I y búsqueda de la prueba más potente, fue formalizado por Neyman y Pearson (1933). Su tratamiento moderno se encuentra en Casella y Berger (2002), y su presentación aplicada en Walpole, Myers, Myers y Ye (2012).

El uso del valor p ha recibido críticas por su interpretación frecuente como probabilidad de que la hipótesis nula sea cierta. La American Statistical Association advirtió que el valor p no mide el tamaño de un efecto ni su importancia, y que una decisión no debe basarse solo en si cruza un umbral (Wasserstein y Lazar, 2016). El informe sigue esa recomendación: cada decisión se acompaña del tamaño del efecto y, cuando corresponde, de su sensibilidad.

Dos aportes metodológicos sustentan procedimientos concretos. Welch (1947) y Satterthwaite (1946) desarrollaron la aproximación que permite comparar dos medias sin suponer varianzas iguales. Shapiro y Wilk (1965) propusieron la prueba de normalidad que se usa para verificar los supuestos.

El análisis se realizó en R (R Core Team, 2025), con gráficos elaborados en ggplot2 (Wickham, 2016).

4.4 Pregunta problema

¿Existe evidencia estadística suficiente para afirmar que la tasa de ahorro promedio difiere del 20 % recomendado, que menos de la mitad de la población invierte, que la dispersión del gasto difiere de un valor de referencia y que el ingreso promedio difiere entre mujeres y hombres?

4.5 Objetivo general

Evaluar mediante pruebas de hipótesis, con \(\alpha = 0{,}05\), cuatro afirmaciones sobre parámetros poblacionales del ahorro, la inversión, el gasto y el ingreso, combinando el desarrollo matemático, la implementación en R y la interpretación en contexto.

5. Marco teórico

Hipótesis estadística. Es una afirmación sobre un parámetro poblacional (\(\mu\), \(p\), \(\sigma^2\) o una diferencia entre poblaciones), no sobre la muestra.

Hipótesis nula y alternativa. La hipótesis nula \(H_0\) fija un valor de referencia para el parámetro y se mantiene salvo que la evidencia la contradiga. La alternativa \(H_1\) es la afirmación que se acepta cuando \(H_0\) se rechaza. La prueba nunca demuestra \(H_0\): solo concluye si la muestra es o no compatible con ella.

Prueba bilateral y unilateral. Si \(H_1\) plantea \(\theta \neq \theta_0\), la prueba es bilateral y la evidencia en contra de \(H_0\) puede estar en cualquiera de las dos colas. Si plantea \(\theta < \theta_0\) o \(\theta > \theta_0\), es unilateral y solo cuenta una cola. La dirección debe fijarse por la pregunta de investigación, no por lo que muestren los datos.

Nivel de significancia. \(\alpha\) es la probabilidad máxima de rechazar \(H_0\) cuando es verdadera, fijada antes del cálculo. Aquí \(\alpha = 0{,}05\).

Estadístico de prueba. Es una función de la muestra cuya distribución se conoce bajo \(H_0\). En las pruebas \(Z\) y \(t\) mide cuántos errores estándar separan la estimación del valor de referencia. En la prueba \(\chi^2\) compara la varianza muestral con la de referencia, escalada por los grados de libertad.

Región crítica. Es el conjunto de valores del estadístico que llevan a rechazar \(H_0\). Su frontera es el valor crítico, que depende de \(\alpha\) y del número de colas.

Valor p. Es la probabilidad, calculada suponiendo \(H_0\) cierta, de obtener un estadístico tan extremo o más que el observado. Si \(p < \alpha\) se rechaza \(H_0\). No es la probabilidad de que \(H_0\) sea cierta ni mide la magnitud del efecto (Wasserstein y Lazar, 2016).

Error Tipo I y Tipo II. El error Tipo I es rechazar \(H_0\) cuando es verdadera, y su probabilidad es \(\alpha\). El error Tipo II es no rechazar \(H_0\) cuando es falsa, con probabilidad \(\beta\). La potencia, \(1 - \beta\), crece con el tamaño muestral y con la distancia real entre el parámetro y el valor de referencia.

Decisión estadística. La conclusión es “se rechaza \(H_0\)” o “no se rechaza \(H_0\)”, nunca “se acepta \(H_0\)”. Un no rechazo es compatible con que \(H_0\) sea cierta y también con una diferencia real que la prueba no alcanza a detectar.

Distribuciones empleadas. La normal estándar \(Z\) sirve para la proporción, cuando \(np_0\) y \(n(1-p_0)\) son suficientemente grandes. La \(t\) de Student se usa para medias cuando \(\sigma\) es desconocida. La \(\chi^2\) con \(n-1\) grados de libertad sirve para una varianza, y exige que la población sea normal. La \(F\) es el cociente de dos \(\chi^2\) divididas por sus grados de libertad y se emplea para comparar dos varianzas. En este trabajo no se usa, porque la comparación elegida es de medias.

6. Metodología

6.1 Origen de los datos, población y muestra

La base es Base_Economia_Negocios.xlsx, del repositorio docente Kalbam/Data_Psicolog-a, asignada al grupo desde el Taller #1. Contiene 100 registros sin faltantes ni duplicados.

La base es sintética y no proviene de un muestreo probabilístico documentado. Se mantiene el marco del Taller #2: la población es la población hipotética de unidades generadas por el mismo mecanismo que produjo la base, y los 100 registros se tratan como muestra aleatoria simple de ella. Las conclusiones se refieren a ese mecanismo, no a la población colombiana.

6.2 Variables, parámetros y pruebas

La tabla siguiente resume las cuatro pruebas.

data.frame(
  Variable = c("Tasa de ahorro (derivada)", "Realiza inversiones",
               "Gasto mensual", "Ingreso mensual por sexo"),
  Parametro = c("$\\mu$", "$p$", "$\\sigma^2$", "$\\mu_F - \\mu_M$"),
  H0 = c("$\\mu = 0{,}20$", "$p = 0{,}50$", "$\\sigma^2 = 500.000^2$",
         "$\\mu_F - \\mu_M = 0$"),
  H1 = c("$\\mu \\neq 0{,}20$", "$p < 0{,}50$", "$\\sigma^2 \\neq 500.000^2$",
         "$\\mu_F - \\mu_M \\neq 0$"),
  Prueba = c("t de Student, bilateral", "Z, cola izquierda",
             "Ji-cuadrado, bilateral", "t de Welch, bilateral")
) |>
  kable(caption = "Variables, hipótesis y prueba empleada en cada caso.",
        col.names = c("Variable", "Parámetro", "$H_0$", "$H_1$", "Prueba"),
        escape = FALSE)
Variables, hipótesis y prueba empleada en cada caso.
Variable Parámetro \(H_0\) \(H_1\) Prueba
Tasa de ahorro (derivada) \(\mu\) \(\mu = 0{,}20\) \(\mu \neq 0{,}20\) t de Student, bilateral
Realiza inversiones \(p\) \(p = 0{,}50\) \(p < 0{,}50\) Z, cola izquierda
Gasto mensual \(\sigma^2\) \(\sigma^2 = 500.000^2\) \(\sigma^2 \neq 500.000^2\) Ji-cuadrado, bilateral
Ingreso mensual por sexo \(\mu_F - \mu_M\) \(\mu_F - \mu_M = 0\) \(\mu_F - \mu_M \neq 0\) t de Welch, bilateral

La tasa de ahorro es una variable derivada, calculada para cada persona como la proporción del ingreso que no se gasta:

\[\text{tasa de ahorro} = \frac{\text{ingreso mensual} - \text{gasto mensual}}{\text{ingreso mensual}}\]

Es negativa cuando el gasto supera al ingreso, lo que ocurre en 15 de los 100 casos.

La comparación por sexo usa los grupos Femenino (46) y Masculino (45). Se excluyen los 9 registros de la categoría Otro, porque un grupo de ese tamaño no permite verificar supuestos ni produce una comparación con potencia útil. Ese grupo no se analiza aquí, y la exclusión no implica que carezca de interés.

6.3 Valores de referencia y dirección de las pruebas

Los valores de referencia tienen fuentes distintas, y conviene declararlas. El 20 % de la tasa de ahorro proviene de la regla 50/30/20 (Warren y Warren Tyagi, 2005). El 50 % de la proporción marca la frontera entre una práctica mayoritaria y una minoritaria. Los 500.000 pesos de la desviación del gasto no provienen de ninguna fuente externa: son una convención del grupo, un valor redondo que se adopta como umbral de dispersión, del mismo modo que el ejemplo del curso fija \(\sigma_0^2 = 6\).

El grupo conocía la base por los talleres anteriores, incluida la proporción muestral de inversionistas y el orden de magnitud de la dispersión del gasto, de modo que no puede afirmarse que las hipótesis se hayan planteado sin conocer los datos. Para limitar ese sesgo, las pruebas de la media, la varianza y la comparación son bilaterales, la opción que no presupone una dirección. La prueba de la proporción es unilateral porque la pregunta lo es: interesa saber si invertir es una práctica minoritaria, no solo si la proporción difiere de la mitad. La elección de la cola no determina la decisión: la prueba bilateral también rechazaría, con un valor p de 0,0455.

El valor de 500.000 pesos quedó a un 2,6 % de la desviación muestral. Una referencia tan próxima a la estimación hace que la prueba de la varianza informe poco, y así se lee en la sección 11.

6.4 Nivel de significancia, software y control de errores

Se usa \(\alpha = 0{,}05\) en las cuatro pruebas. El procesamiento se hizo en R (R Core Team, 2025) con los paquetes readxl, ggplot2, knitr y scales.

Cada prueba se resuelve por dos vías: la sección 8 desarrolla el cálculo matemático y la sección 9 lo reproduce con las funciones de R. Los valores críticos se denotan por su cuantil: \(t_{0{,}975;\,gl}\) es el valor que deja un área de 0,975 a su izquierda, y \(z_{0{,}05}\), negativo, el que deja 0,05. Algunos textos, como Walpole et al. (2012), usan el área a la derecha, de modo que el mismo valor aparece allí con otro subíndice.

7. Pruebas de Hipótesis

Esta sección presenta para cada prueba el contexto, el parámetro, las hipótesis, el nivel de significancia, el estadístico y la verificación de los supuestos. El desarrollo matemático hasta la decisión está en la sección 8, la implementación en R en la sección 9 y la interpretación en la sección 11.

7.1 Prueba para una media: tasa de ahorro

Contexto. La regla 50/30/20 recomienda ahorrar el 20 % del ingreso. Interesa saber si la tasa de ahorro promedio de la población se aparta de esa referencia.

Parámetro. \(\mu\) es la tasa de ahorro promedio poblacional.

Hipótesis.

\[H_0: \mu = 0{,}20 \qquad H_1: \mu \neq 0{,}20\]

La prueba es bilateral, con \(\alpha = 0{,}05\).

Estadístico. Como \(\sigma\) es desconocida:

\[t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{s/\sqrt{n}} \sim t_{n-1} \text{ bajo } H_0\]

Supuestos. Se rechaza la normalidad de la tasa de ahorro. Shapiro-Wilk da un p-valor inferior a 0,001 y la asimetría es -1,691. La causa es una cola izquierda larga: la tasa no puede superar 1, pero no tiene límite inferior cuando el gasto excede al ingreso, y su mínimo es -1,391.

ggplot(datos, aes(sample = tasa_ahorro)) +
  stat_qq(colour = col_1, alpha = 0.7) +
  stat_qq_line(colour = col_2, linewidth = 0.8) +
  labs(title = "Gráfico Q-Q normal de la tasa de ahorro",
       x = "Cuantiles teóricos", y = "Cuantiles muestrales",
       caption = "Los puntos inferiores caen por debajo de la recta: cola izquierda pesada.") +
  tema_informe
Gráfico Q-Q normal de la tasa de ahorro. La cola izquierda se aparta de la diagonal.

Gráfico Q-Q normal de la tasa de ahorro. La cola izquierda se aparta de la diagonal.

El gráfico confirma lo que indica Shapiro-Wilk: los valores centrales siguen la diagonal y la desviación se concentra en los casos con gasto superior al ingreso. La prueba \(t\) sigue siendo aplicable porque se contrasta la media. Con \(n = 100\), el Teorema del Límite Central hace que la distribución de \(\bar{x}\) sea aproximadamente normal aunque la variable no lo sea. Esa robustez es menor con colas pesadas, así que el resultado se lee con esa reserva.

7.2 Prueba para una proporción: personas que invierten

Contexto. Invertir exige conocimientos que no todas las personas tienen (Lusardi y Mitchell, 2014). Interesa saber si invertir es una práctica minoritaria en la población.

Parámetro. \(p\) es la proporción poblacional de personas que realizan inversiones.

Hipótesis.

\[H_0: p = 0{,}50 \qquad H_1: p < 0{,}50\]

La prueba es unilateral de cola izquierda, con \(\alpha = 0{,}05\).

Estadístico.

\[Z = \frac{\hat{p} - p_0}{\sqrt{p_0(1-p_0)/n}} \sim N(0, 1) \text{ bajo } H_0\]

El error estándar se calcula con \(p_0\) y no con \(\hat{p}\), porque la distribución del estadístico se evalúa suponiendo \(H_0\) cierta.

Supuestos. La aproximación normal requiere \(np_0 \geq 10\) y \(n(1-p_0) \geq 10\). Aquí ambos valen 50, así que la condición se cumple. Cada registro corresponde a una persona distinta.

7.3 Prueba para una varianza: gasto mensual

Contexto. La dispersión del gasto mide qué tan distintos son los patrones de consumo dentro de la población. Se contrasta contra el umbral convencional de 500.000 pesos definido en 6.3.

Parámetro. \(\sigma^2\) es la varianza poblacional del gasto mensual. Plantear la hipótesis sobre \(\sigma^2\) equivale a plantearla sobre \(\sigma\), que se lee en pesos.

Hipótesis.

\[H_0: \sigma^2 = 500.000^2 \qquad H_1: \sigma^2 \neq 500.000^2\]

La prueba es bilateral, con \(\alpha = 0{,}05\).

Estadístico.

\[\chi^2 = \frac{(n-1)s^2}{\sigma_0^2} \sim \chi^2_{n-1} \text{ bajo } H_0\]

Supuestos. A diferencia de la prueba para la media, esta no es robusta. El estadístico sigue una \(\chi^2\) solo si la población es normal, y cuando el supuesto falla el valor p deja de ser correcto sin que nada lo advierta. Por eso se eligió gasto_mensual y no las escalas de 1 a 10 de endeudamiento y satisfacción, cuya normalidad se rechaza (Shapiro-Wilk con p-valores de 0,0000 y 0,0008). Para el gasto, Shapiro-Wilk da un p-valor de 0,4038, con asimetría 0,067 y curtosis en exceso 0,463, ambas cercanas a cero.

ggplot(datos, aes(sample = gasto_mensual)) +
  stat_qq(colour = col_1, alpha = 0.7) +
  stat_qq_line(colour = col_2, linewidth = 0.8) +
  scale_y_continuous(labels = label_number(big.mark = ".",
                                           decimal.mark = ",")) +
  labs(title = "Gráfico Q-Q normal del gasto mensual",
       x = "Cuantiles teóricos", y = "Cuantiles muestrales (pesos)",
       caption = "Ajuste cercano a la diagonal en casi todo el rango.") +
  tema_informe
Gráfico Q-Q normal del gasto mensual. Los puntos siguen la diagonal, salvo unos pocos en la cola superior.

Gráfico Q-Q normal del gasto mensual. Los puntos siguen la diagonal, salvo unos pocos en la cola superior.

Un p-valor alto en Shapiro-Wilk no prueba la normalidad. Solo indica que la muestra no aporta evidencia en su contra. El supuesto se sostiene en el conjunto de la evidencia: la prueba, los momentos y el gráfico Q-Q. En el gráfico, los puntos siguen la diagonal en casi todo el rango, y solo unos pocos valores de la cola superior quedan por encima de ella. Es una desviación leve, coherente con la curtosis en exceso cercana a cero, pero conviene tenerla presente porque la prueba \(\chi^2\) es sensible precisamente a las colas.

7.4 Comparación de dos medias independientes: ingreso por sexo

Contexto. La literatura documenta diferencias de ingreso entre mujeres y hombres (Blau y Kahn, 2017). Interesa saber si esa diferencia aparece en la población de referencia.

Parámetro. \(\mu_F - \mu_M\) es la diferencia entre el ingreso mensual promedio de las mujeres y el de los hombres.

Hipótesis.

\[H_0: \mu_F - \mu_M = 0 \qquad H_1: \mu_F - \mu_M \neq 0\]

La prueba es bilateral, con \(\alpha = 0{,}05\).

Justificación de la prueba. Las muestras son independientes porque cada persona pertenece a un solo grupo y no hay emparejamiento entre registros. Por eso no se usa una prueba para medias dependientes. Se usa la \(t\) de Welch, que no supone varianzas iguales y es válida tanto si coinciden como si no (Welch, 1947).

Estadístico.

\[t = \frac{(\bar{x}_F - \bar{x}_M) - 0}{\sqrt{s_F^2/n_F + s_M^2/n_M}}\]

con grados de libertad dados por la aproximación de Satterthwaite (1946).

data.frame(
  Grupo = c("Femenino", "Masculino"),
  n = c(n41, n42),
  Media = c(fmt(m41, 0), fmt(m42, 0)),
  Desviacion = c(fmt(sqrt(v41), 0), fmt(sqrt(v42), 0)),
  W = c(fmt(sw4a$statistic, 4), fmt(sw4b$statistic, 4)),
  p = c(fmt(sw4a$p.value, 4), fmt(sw4b$p.value, 4))
) |> kable(caption = "Ingreso mensual por sexo y prueba de Shapiro-Wilk en cada grupo.",
           col.names = c("Grupo", "n", "Media (pesos)", "Desviación (pesos)",
                         "Shapiro W", "Shapiro p-valor"))
Ingreso mensual por sexo y prueba de Shapiro-Wilk en cada grupo.
Grupo n Media (pesos) Desviación (pesos) Shapiro W Shapiro p-valor
Femenino 46 2.315.831 753.159 0,9758 0,4456
Masculino 45 2.527.123 682.512 0,9720 0,3403

Supuestos. La tabla anterior muestra que en ninguno de los dos grupos se rechaza la normalidad y que cada grupo supera las 40 observaciones, lo que además respalda la aproximación por el Teorema del Límite Central.

ggplot(datos_fm, aes(x = sexo, y = ingreso_mensual, fill = sexo)) +
  geom_boxplot(alpha = 0.75, outlier.colour = col_2, width = 0.55) +
  stat_summary(fun = mean, geom = "point", shape = 23, size = 3,
               fill = "white") +
  scale_fill_manual(values = c(col_1, col_3)) +
  scale_y_continuous(labels = label_number(big.mark = ".",
                                           decimal.mark = ",")) +
  labs(title = "Ingreso mensual según sexo",
       x = NULL, y = "Ingreso mensual (pesos)",
       caption = "El rombo blanco marca la media de cada grupo.") +
  tema_informe + theme(legend.position = "none")
Ingreso mensual por sexo. Las cajas se superponen en buena parte.

Ingreso mensual por sexo. Las cajas se superponen en buena parte.

El gráfico muestra una media femenina algo menor, pero los rangos intercuartílicos de los dos grupos se superponen en buena parte. La prueba determinará si esa diferencia supera lo que produciría el azar muestral.

8. Desarrollo matemático

Cada prueba se resuelve con la secuencia hipótesis, nivel de significancia, estadístico, valor crítico o valor p y decisión.

8.1 Media de la tasa de ahorro

\[n = 100 \qquad \bar{x} = 0{,}2214 \qquad s = 0{,}3604\]

Paso 1. Error estándar:

\[EE = \frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{0{,}3604}{\sqrt{100}} = 0{,}0360\]

Paso 2. Estadístico:

\[t = \frac{0{,}2214 - 0{,}20}{0{,}0360} = 0{,}5944\]

Paso 3. Grados de libertad: \(gl = n - 1 = 99\).

Paso 4. Valor crítico bilateral: \(t_{0{,}975;\,99} = 1{,}9842\). La región crítica es \(|t| > 1{,}9842\).

Paso 5. Valor p:

\[p = 2 \cdot P(t_{99} > 0{,}5944) = 0{,}5536\]

Decisión. \(|t| = 0{,}5944 < 1{,}9842\) y \(p = 0{,}5536 > 0{,}05\): No se rechaza H0.

8.2 Proporción que invierte

\[n = 100 \qquad x = 40 \qquad \hat{p} = \frac{40}{100} = 0{,}40\]

Paso 1. Error estándar bajo \(H_0\):

\[EE = \sqrt{\frac{0{,}50 \times 0{,}50}{100}} = 0{,}0500\]

Paso 2. Estadístico:

\[Z = \frac{0{,}40 - 0{,}50}{0{,}0500} = -2{,}0000\]

Paso 3. Valor crítico de cola izquierda: \(z_{0{,}05} = -1{,}6449\). La región crítica es \(Z < -1{,}6449\).

Paso 4. Valor p:

\[p = P(Z < -2{,}0000) = 0{,}0228\]

Decisión. \(Z = -2{,}0000 < -1{,}6449\) y \(p = 0{,}0228 < 0{,}05\): Se rechaza H0.

8.3 Varianza del gasto

\[n = 100 \qquad s = 513.198 \qquad s^2 = 263.372.520.163 \qquad \sigma_0^2 = 250.000.000.000\]

Paso 1. Grados de libertad: \(gl = n - 1 = 99\).

Paso 2. Estadístico:

\[\chi^2 = \frac{99 \times 263.372.520.163}{250.000.000.000} = 104{,}2955\]

Paso 3. Valores críticos bilaterales:

\[\chi^2_{0{,}025;\,99} = 73{,}3611 \qquad \chi^2_{0{,}975;\,99} = 128{,}4220\]

La región crítica es \(\chi^2 < 73{,}3611\) o \(\chi^2 > 128{,}4220\). Las tablas impresas habituales no traen la fila de 99 grados de libertad, por eso los valores se publican aquí con cuatro decimales.

Paso 4. Valor p. Como la \(\chi^2\) es asimétrica, el valor p bilateral se obtiene duplicando la cola más pequeña:

\[p = 2 \cdot \min\left[P(\chi^2_{99} \leq 104{,}2955),\; P(\chi^2_{99} \geq 104{,}2955)\right] = 0{,}6767\]

Decisión. \(73{,}3611 < 104{,}2955 < 128{,}4220\) y \(p = 0{,}6767 > 0{,}05\): No se rechaza H0.

8.4 Diferencia de medias del ingreso

Paso 1. Diferencia observada:

\[\bar{x}_F - \bar{x}_M = 2.315.831{,}37 - 2.527.122{,}82 = -211.291{,}45\]

Paso 2. Error estándar:

\[EE = \sqrt{\frac{s_F^2}{n_F} + \frac{s_M^2}{n_M}} = \sqrt{12.331.478.447 + 10.351.600.599} = 150.609{,}03\]

Paso 3. Estadístico:

\[t = \frac{-211.291{,}45}{150.609{,}03} = -1{,}4029\]

Paso 4. Grados de libertad de Welch-Satterthwaite:

\[\nu = \frac{\left(\dfrac{s_F^2}{n_F} + \dfrac{s_M^2}{n_M}\right)^2}{\dfrac{(s_F^2/n_F)^2}{n_F - 1} + \dfrac{(s_M^2/n_M)^2}{n_M - 1}}\]

Sustituyendo \(s_F^2/n_F = 12.331.478.447\) y \(s_M^2/n_M = 10.351.600.599\), cuya suma es 22.683.079.047:

\[\nu = \frac{(22.683.079.047)^2}{\dfrac{(12.331.478.447)^2}{45} + \dfrac{(10.351.600.599)^2}{44}} = 88{,}4882\]

Los sumandos se muestran redondeados al peso, así que su suma impresa puede diferir en una unidad de la suma exacta que usa el cálculo.

Paso 5. Valor crítico: \(t_{0{,}975;\,88{,}49} = 1{,}9871\). Valor p:

\[p = 2 \cdot P(t_{88{,}49} > 1{,}4029) = 0{,}1641\]

Decisión. \(|t| = 1{,}4029 < 1{,}9871\) y \(p = 0{,}1641 > 0{,}05\): No se rechaza H0.

9. Implementación en R

Cada prueba se reproduce con las funciones de R. Al final de la sección, un bloque de control detiene la compilación si alguna vía no coincide con el desarrollo de la sección 8.

9.1 Media de la tasa de ahorro

r1 <- t.test(datos$tasa_ahorro, mu = mu0, alternative = "two.sided",
             conf.level = 1 - alpha)
r1
## 
##  One Sample t-test
## 
## data:  datos$tasa_ahorro
## t = 0.59437, df = 99, p-value = 0.5536
## alternative hypothesis: true mean is not equal to 0.2
## 95 percent confidence interval:
##  0.1499045 0.2929422
## sample estimates:
## mean of x 
## 0.2214233

9.2 Proporción que invierte

r2 <- prop.test(x = x2, n = n, p = p0, alternative = "less", correct = FALSE)
r2
## 
##  1-sample proportions test without continuity correction
## 
## data:  x2 out of n, null probability p0
## X-squared = 4, df = 1, p-value = 0.02275
## alternative hypothesis: true p is less than 0.5
## 95 percent confidence interval:
##  0.0000000 0.4821905
## sample estimates:
##   p 
## 0.4

Se usa correct = FALSE para que R aplique la misma aproximación normal de la sección 8.2. Con la corrección de continuidad, que prop.test() aplica por defecto, el valor p cambiaría y las dos vías dejarían de ser comparables.

9.3 Varianza del gasto

R base no trae una función para esta prueba, así que se reproduce con pchisq(), calculando cada cola por separado:

chi_r <- (length(datos$gasto_mensual) - 1) * var(datos$gasto_mensual) / sigma0^2
p_r3  <- 2 * min(pchisq(chi_r, df = gl3),
                 pchisq(chi_r, df = gl3, lower.tail = FALSE))
c(estadistico = chi_r, p_valor = p_r3)
## estadistico     p_valor 
## 104.2955180   0.6766628

Ese cálculo repite la fórmula de la sección 8.3, así que no la verifica de forma independiente. La verificación independiente se hace por otra vía: el intervalo al 95 % para \(\sigma\), construido con los cuantiles de qchisq(), debe contener a \(\sigma_0\) exactamente cuando la prueba bilateral no rechaza \(H_0\). El bloque de control de 9.5 exige esa coincidencia.

9.4 Diferencia de medias del ingreso

r4 <- t.test(ingreso_mensual ~ sexo, data = datos_fm, var.equal = FALSE,
             alternative = "two.sided", conf.level = 1 - alpha)
r4
## 
##  Welch Two Sample t-test
## 
## data:  ingreso_mensual by sexo
## t = -1.4029, df = 88.488, p-value = 0.1641
## alternative hypothesis: true difference in means between group Femenino and group Masculino is not equal to 0
## 95 percent confidence interval:
##  -510572.23   87989.33
## sample estimates:
##  mean in group Femenino mean in group Masculino 
##                 2315831                 2527123

La fórmula ingreso_mensual ~ sexo ordena los grupos alfabéticamente, así que R calcula la diferencia Femenino menos Masculino, en el mismo sentido que la sección 8.4.

9.5 Contraste entre las dos vías

stopifnot(
  isTRUE(all.equal(unname(r1$statistic), t1)),
  isTRUE(all.equal(r1$p.value, p1)),
  isTRUE(all.equal(unname(r2$statistic), z2^2)),
  isTRUE(all.equal(r2$p.value, p2)),
  isTRUE(all.equal(chi_r, chi3)),
  isTRUE(all.equal(p_r3, p3)),
  (sigma0 > ic3s[1] & sigma0 < ic3s[2]) == (p3 >= alpha),
  (mu0 > r1$conf.int[1] & mu0 < r1$conf.int[2]) == (r1$p.value >= alpha),
  isTRUE(all.equal(unname(r4$statistic), t4)),
  isTRUE(all.equal(unname(r4$parameter), gl4)),
  isTRUE(all.equal(r4$p.value, p4))
)

data.frame(
  Prueba = c("Media de la tasa de ahorro", "Proporción que invierte",
             "Varianza del gasto", "Diferencia de medias del ingreso"),
  Est_manual = c(fmt(t1, 4), fmt(z2, 4), fmt(chi3, 4), fmt(t4, 4)),
  Est_R = c(fmt(r1$statistic, 4),
            paste0(fmt(r2$statistic, 4), " ($= Z^2$)"),
            fmt(chi_r, 4), fmt(r4$statistic, 4)),
  p_manual = c(fmt(p1, 4), fmt(p2, 4), fmt(p3, 4), fmt(p4, 4)),
  p_R = c(fmt(r1$p.value, 4), fmt(r2$p.value, 4), fmt(p_r3, 4),
          fmt(r4$p.value, 4))
) |> kable(caption = "Estadístico y valor p obtenidos por las dos vías.",
           col.names = c("Prueba", "Estadístico (§ 8)", "Estadístico (R)",
                         "Valor p (§ 8)", "Valor p (R)"),
           escape = FALSE)
Estadístico y valor p obtenidos por las dos vías.
Prueba Estadístico (§ 8) Estadístico (R) Valor p (§ 8) Valor p (R)
Media de la tasa de ahorro 0,5944 0,5944 0,5536 0,5536
Proporción que invierte -2,0000 4,0000 (\(= Z^2\)) 0,0228 0,0228
Varianza del gasto 104,2955 104,2955 0,6767 0,6767
Diferencia de medias del ingreso -1,4029 -1,4029 0,1641 0,1641

Las dos vías coinciden en las cuatro pruebas. La única diferencia de forma está en la proporción: prop.test() no reporta \(Z\) sino su cuadrado, como se explica en 10.2.

10. Interpretación de salidas de R

10.1 Salida de t.test() para la tasa de ahorro

La salida de 9.1 se lee así:

  • Hipótesis. La línea alternative hypothesis: true mean is not equal to 0.2 confirma que R contrastó \(H_1: \mu \neq 0{,}20\), la prueba bilateral planteada.
  • Estadístico. t = 0,5944: la media muestral está a 0,59 errores estándar del 20 %.
  • Grados de libertad. df = 99, es decir, \(n - 1\).
  • Valor p. p-value = 0,5536. Si la tasa promedio fuera 20 %, una muestra tan alejada o más aparecería en cerca del 55 % de las repeticiones.
  • Intervalo de confianza. (0,1499; 0,2929). Contiene el 0,20, lo que es coherente con no rechazar \(H_0\): en una prueba bilateral, el valor de referencia queda dentro del intervalo al 95 % exactamente cuando \(p \geq 0{,}05\).
  • Decisión. No se rechaza H0.
  • Contexto. La muestra no permite afirmar que la tasa de ahorro promedio se aparte de la recomendación del 20 %.

10.2 Salida de prop.test() para la proporción que invierte

  • Hipótesis. alternative hypothesis: true p is less than 0.5 corresponde a \(H_1: p < 0{,}50\).
  • Estadístico. R reporta X-squared = 4,0000 y no \(Z\). Con una sola proporción y sin corrección, \(\chi^2_1 = Z^2\): \((-2{,}0000)^2 = 4{,}0000\). El signo de \(Z\) se pierde al elevar al cuadrado, pero R lo tiene en cuenta al calcular la cola izquierda.
  • Grados de libertad. df = 1, propio de la \(\chi^2\) equivalente.
  • Valor p. p-value = 0,0228, igual al de la sección 8.2. Si la mitad de la población invirtiera, una muestra con 40 inversionistas o menos aparecería en cerca del 2,3 % de las repeticiones.
  • Intervalo de confianza. Es unilateral, (0; 0,4822), y se calcula con el método de Wilson, no centrado en \(\hat{p}\). Su extremo superior está por debajo de 0,50, coherente con el rechazo.
  • Decisión. Se rechaza H0.
  • Contexto. Hay evidencia de que menos de la mitad de la población realiza inversiones.

10.3 Salida de t.test() de Welch para el ingreso

  • Hipótesis. true difference in means between group Femenino and group Masculino is not equal to 0 confirma el orden Femenino menos Masculino y la prueba bilateral.
  • Estadístico. t = -1,4029. El signo negativo indica que la media femenina es menor en la muestra.
  • Grados de libertad. df = 88,488. Son fraccionarios porque Welch no combina las varianzas, y coinciden con el \(\nu\) de la sección 8.4.
  • Valor p. p-value = 0,1641. Si los ingresos promedio fueran iguales, una diferencia muestral de 211.291 pesos o mayor, en cualquiera de los dos sentidos, aparecería en cerca del 16 % de las repeticiones.
  • Intervalo de confianza. (-510.572; 87.989) pesos. Contiene el cero, coherente con no rechazar.
  • Decisión. No se rechaza H0.
  • Contexto. La muestra no permite afirmar que el ingreso promedio difiera entre mujeres y hombres.

11. Resultados e interpretación

La tabla siguiente resume los elementos de cada prueba.

data.frame(
  Parametro = c("Media de la tasa de ahorro", "Proporción que invierte",
                "Desviación del gasto", "Diferencia de ingreso F - M"),
  H0 = c("$\\mu = 0{,}20$", "$p = 0{,}50$", "$\\sigma^2 = 500.000^2$",
         "$\\mu_F - \\mu_M = 0$"),
  H1 = c("$\\mu \\neq 0{,}20$", "$p < 0{,}50$", "$\\sigma^2 \\neq 500.000^2$",
         "$\\mu_F - \\mu_M \\neq 0$"),
  Estimacion = c(fmt(xb1, 4), fmt(ph2, 2), fmt(s3, 0), fmt(d4, 0)),
  p = c(fmt(p1, 4), fmt(p2, 4), fmt(p3, 4), fmt(p4, 4)),
  Decision = decision(c(p1, p2, p3, p4))
) |> kable(caption = "Decisión de las cuatro pruebas con $\\alpha = 0{,}05$.",
           col.names = c("Parámetro", "$H_0$", "$H_1$", "Estimación",
                         "Valor p", "Decisión"),
           escape = FALSE)
Decisión de las cuatro pruebas con \(\alpha = 0{,}05\).
Parámetro \(H_0\) \(H_1\) Estimación Valor p Decisión
Media de la tasa de ahorro \(\mu = 0{,}20\) \(\mu \neq 0{,}20\) 0,2214 0,5536 No se rechaza H0
Proporción que invierte \(p = 0{,}50\) \(p < 0{,}50\) 0,40 0,0228 Se rechaza H0
Desviación del gasto \(\sigma^2 = 500.000^2\) \(\sigma^2 \neq 500.000^2\) 513.198 0,6767 No se rechaza H0
Diferencia de ingreso F - M \(\mu_F - \mu_M = 0\) \(\mu_F - \mu_M \neq 0\) -211.291 0,1641 No se rechaza H0

Tasa de ahorro. La tasa promedio muestral es de 22,1 % y no difiere significativamente del 20 %. El intervalo de 10.1 va de 15,0 % a 29,3 %, un rango amplio que incluye tasas claramente inferiores y superiores a la recomendación. La imprecisión proviene de la heterogeneidad de la población: la desviación es de 36,0 puntos porcentuales y 15 personas gastan más de lo que ganan. Con este error estándar, la prueba solo detectaría con un 80 % de probabilidad una tasa que se apartara del 20 % en unos 10 puntos o más. El resultado no permite afirmar que la población cumple la regla.

Proporción que invierte. Se rechaza \(H_0\): invertir es una práctica minoritaria. El resultado está cerca del umbral, y conviene medir cuánto. Con 41 inversionistas el valor p sería 0,0359, y con 42 sería 0,0548, por encima de \(\alpha\). Basta que dos personas de cien cambien de respuesta para que la decisión se invierta. La conclusión es válida con \(\alpha = 0{,}05\), pero la evidencia es moderada y no contundente.

Desviación del gasto. No se rechaza \(H_0\). El valor p de 0,6767 indica que, si la desviación fuera de 500.000 pesos, una varianza muestral tan alejada de la de referencia como la observada aparecería en cerca del 68 % de las repeticiones. El intervalo al 95 % para \(\sigma\), (450.592; 596.170), contiene a 500.000. El alcance de la conclusión es limitado por dos razones declaradas en 6.3: la referencia es una convención y quedó muy cerca de la desviación muestral. El resultado dice que la dispersión es del orden de medio millón de pesos, no que cumpla un estándar.

Ingreso por sexo. No se rechaza \(H_0\). La diferencia muestral es de 211.291 pesos a favor de los hombres, un 8,4 % del ingreso masculino promedio. No es despreciable en términos económicos, pero tampoco se distingue de la variabilidad muestral. El intervalo de 10.3 abarca desde una brecha de 510.572 pesos en contra de las mujeres hasta una de 87.989 a su favor. La muestra no permite distinguir entre esas posibilidades. Con grupos de 46 y 45 personas, la prueba solo detectaría con un 80 % de probabilidad una brecha de unos 426.037 pesos o más, el doble de la observada.

12. Conclusiones

  1. La tasa de ahorro promedio es compatible con el 20 % que recomienda la regla 50/30/20, pero la muestra no basta para afirmar que la población la cumple. El intervalo (15,0 %; 29,3 %) es demasiado amplio para esa afirmación, por la presencia de 15 personas con tasa negativa.

  2. Invertir es una práctica minoritaria en la población de referencia (p = 0,0228), pero el resultado es frágil: dos inversionistas más en la muestra bastarían para no rechazar \(H_0\). Esto ilustra que la significancia estadística depende del umbral elegido y no mide la solidez de la evidencia.

  3. La dispersión del gasto es compatible con 500.000 pesos. Como ese valor es una convención del grupo, la conclusión describe el orden de magnitud de la dispersión y no el cumplimiento de una norma.

  4. No hay evidencia de una diferencia de ingreso entre mujeres y hombres, aunque la diferencia muestral de 211.291 pesos tiene relevancia económica. Los datos son compatibles tanto con la igualdad como con una brecha de hasta 510.572 pesos. Aun si se hubiera encontrado una diferencia, el diseño no permitiría atribuirla al sexo como causa.

  5. Tres de las cuatro pruebas no rechazaron \(H_0\), y en ninguna de ellas eso significa que la hipótesis nula sea cierta. Separar la significancia estadística de la importancia práctica es lo que distingue una conclusión defendible de una lectura mecánica del valor p.

13. Bibliografía

Blau, F. D., y Kahn, L. M. (2017). The gender wage gap: Extent, trends, and explanations. Journal of Economic Literature, 55(3), 789-865. https://doi.org/10.1257/jel.20160995

Casella, G., y Berger, R. L. (2002). Statistical inference (2.ª ed.). Duxbury Press.

Lusardi, A., y Mitchell, O. S. (2014). The economic importance of financial literacy: Theory and evidence. Journal of Economic Literature, 52(1), 5-44. https://doi.org/10.1257/jel.52.1.5

Neyman, J., y Pearson, E. S. (1933). On the problem of the most efficient tests of statistical hypotheses. Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A, 231, 289-337. https://doi.org/10.1098/rsta.1933.0009

R Core Team. (2025). R: A language and environment for statistical computing. R Foundation for Statistical Computing. https://www.R-project.org/

Satterthwaite, F. E. (1946). An approximate distribution of estimates of variance components. Biometrics Bulletin, 2(6), 110-114. https://doi.org/10.2307/3002019

Shapiro, S. S., y Wilk, M. B. (1965). An analysis of variance test for normality (complete samples). Biometrika, 52(3-4), 591-611. https://doi.org/10.1093/biomet/52.3-4.591

Walpole, R. E., Myers, R. H., Myers, S. L., y Ye, K. (2012). Probabilidad y estadística para ingeniería y ciencias (9.ª ed.). Pearson Educación.

Warren, E., y Warren Tyagi, A. (2005). All your worth: The ultimate lifetime money plan. Free Press.

Wasserstein, R. L., y Lazar, N. A. (2016). The ASA statement on p-values: Context, process, and purpose. The American Statistician, 70(2), 129-133. https://doi.org/10.1080/00031305.2016.1154108

Welch, B. L. (1947). The generalization of “Student’s” problem when several different population variances are involved. Biometrika, 34(1-2), 28-35. https://doi.org/10.1093/biomet/34.1-2.28

Wickham, H. (2016). ggplot2: Elegant graphics for data analysis (2.ª ed.). Springer-Verlag.

14. Declaración sobre el uso de IA

data.frame(
  Aspecto = c("Uso de IA", "Herramienta", "Finalidad",
              "Porcentaje estimado"),
  Informacion = c("Sí", "Claude (Anthropic)",
                  "Orientación en la redacción, validación de cifras y complemento de la codificación en R",
                  paste0(porcentaje_ia, " %"))
) |> kable(caption = "Declaración sobre el uso de Inteligencia Artificial.",
           col.names = c("Aspecto", "Información"))
Declaración sobre el uso de Inteligencia Artificial.
Aspecto Información
Uso de IA Sí
Herramienta Claude (Anthropic)
Finalidad Orientación en la redacción, validación de cifras y complemento de la codificación en R
Porcentaje estimado 40 %

El grupo eligió las preguntas, las variables y las pruebas, y revisó los planteamientos de las hipótesis, los desarrollos matemáticos, la verificación de los supuestos y la interpretación de los resultados. Las cifras provienen de la ejecución del código incluido en este documento sobre la base adjunta, no de la herramienta de IA.

Reproducibilidad

El informe se genera desde un archivo .Rmd autocontenido, con rutas relativas (datos/Base_Economia_Negocios.xlsx y archivos_auxiliares/estilo.css). Las cifras del texto se calculan durante la compilación y se insertan por referencia.

Los controles de integridad detienen la compilación si la base cambia de tamaño, aparecen faltantes, los tamaños de grupo dejan de ser los esperados o el cálculo manual y las funciones de R dejan de coincidir. Las categorías Sí/No se identifican comparando contra “No”, que no lleva tilde, para que un problema de codificación no produzca un grupo vacío sin aviso.

sessionInfo()
## R version 4.6.1 (2026-06-24 ucrt)
## Platform: x86_64-w64-mingw32/x64
## Running under: Windows 11 x64 (build 26200)
## 
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##   LAPACK version 3.12.1
## 
## locale:
## [1] LC_COLLATE=Spanish_Colombia.utf8  LC_CTYPE=Spanish_Colombia.utf8   
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## 
## time zone: America/Bogota
## tzcode source: internal
## 
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## [1] stats     graphics  grDevices utils     datasets  methods   base     
## 
## other attached packages:
## [1] scales_1.4.0  knitr_1.52    ggplot2_4.0.3 readxl_1.6.0 
## 
## loaded via a namespace (and not attached):
##  [1] vctrs_0.7.3        cli_3.6.6          rlang_1.3.0        xfun_0.62         
##  [5] S7_0.2.2           jsonlite_2.0.0     labeling_0.4.3     glue_1.8.1        
##  [9] htmltools_0.5.9    sass_0.4.10        rmarkdown_2.32     grid_4.6.1        
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## [25] R6_2.6.1           pillar_1.11.1      magrittr_2.0.5     bslib_0.12.0      
## [29] tools_4.6.1        withr_3.0.3        gtable_0.3.6       cachem_1.1.0