1. Intervalo de confianza Z

Ejercicio 1: Media poblacional con sigma conocida

Una empresa produce componentes industriales. Se conoce que la desviación estándar poblacional es de 12 gramos.

Se selecciona una muestra aleatoria de 64 componentes, obteniendo una media muestral de 150 gramos.

Construya un intervalo de confianza del 95% para la media poblacional.

Datos:

  • Media muestral: 150 gramos
  • Desviación estándar poblacional: 12 gramos
  • Tamaño muestral: 64
  • Nivel de confianza: 95%

Fórmula:

\[ IC_{95\%} = \bar{x} \pm Z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \]

# Datos
media <- 150
sigma <- 12
n <- 64
confianza <- 0.95

# Nivel de significancia
alpha <- 1 - confianza

# Valor crítico Z
z <- qnorm(1 - alpha/2)

# Error estándar
error_estandar <- sigma / sqrt(n)

# Margen de error
margen <- z * error_estandar

# Límites del intervalo
LI <- media - margen
LS <- media + margen

cat("Valor crítico Z:", round(z, 4), "\n")
## Valor crítico Z: 1.96
cat("Error estándar:", round(error_estandar, 4), "\n")
## Error estándar: 1.5
cat("Margen de error:", round(margen, 4), "\n")
## Margen de error: 2.9399
cat("Intervalo:", round(LI, 3), "a",
    round(LS, 3), "\n")
## Intervalo: 147.06 a 152.94

Representación gráfica

plot(c(LI, LS), c(1, 1),
     type = "b", pch = 19, col = "blue",
     lwd = 3, xlim = c(145, 155),
     ylim = c(0.5, 1.5),
     yaxt = "n",
     xlab = "Media poblacional (gramos)",
     ylab = "",
     main = "Intervalo de confianza Z (95%)")

abline(v = media, col = "red", lty = 2)
points(media, 1, pch = 19, col = "red", cex = 1.5)
grid()

Interpretación: El intervalo obtenido es aproximadamente [147.06, 152.94] gramos. El procedimiento utilizado tiene una cobertura del 95% bajo los supuestos del modelo.

2. Intervalo de confianza t-Student

Ejercicio 2: Media poblacional con sigma desconocida

Una empresa desea estimar el tiempo promedio de producción.

Se selecciona una muestra aleatoria de 16 trabajadores, obteniendo:

  • Media muestral: 45 minutos
  • Desviación estándar muestral: 8 minutos
  • Tamaño muestral: 16
  • Nivel de confianza: 95%

Suponga que los tiempos de producción siguen una distribución normal.

Fórmula:

\[ IC_{95\%} = \bar{x} \pm t_{\alpha/2,n-1} \frac{s}{\sqrt{n}} \]

# Datos
media <- 45
s <- 8
n <- 16
confianza <- 0.95

# Nivel de significancia
alpha <- 1 - confianza

# Grados de libertad
gl <- n - 1

# Valor crítico t
t_critico <- qt(1 - alpha/2, df = gl)

# Error estándar
error_estandar <- s / sqrt(n)

# Margen de error
margen <- t_critico * error_estandar

# Intervalo de confianza
LI <- media - margen
LS <- media + margen

cat("Grados de libertad:", gl, "\n")
## Grados de libertad: 15
cat("Valor crítico t:", round(t_critico, 4), "\n")
## Valor crítico t: 2.1314
cat("Margen de error:", round(margen, 4), "\n")
## Margen de error: 4.2629
cat("Intervalo:", round(LI, 3), "a",
    round(LS, 3), "\n")
## Intervalo: 40.737 a 49.263

Representación gráfica

plot(c(LI, LS), c(1, 1),
     type = "b", pch = 19,
     col = "darkgreen", lwd = 3,
     xlim = c(39, 51),
     ylim = c(0.5, 1.5),
     yaxt = "n",
     xlab = "Tiempo de producción (minutos)",
     ylab = "",
     main = "Intervalo de confianza t (95%)")

abline(v = media, col = "red", lty = 2)
points(media, 1, pch = 19, col = "red", cex = 1.5)
grid()

Interpretación: El intervalo es aproximadamente [40.74, 49.26] minutos. Se utiliza t-Student porque la desviación estándar poblacional es desconocida y se estima mediante la muestra.

3. Intervalo de confianza Chi-cuadrado

Ejercicio 3: Varianza poblacional

Una fábrica analiza la variabilidad del peso de sus productos.

Se selecciona una muestra aleatoria de 20 productos. La varianza muestral obtenida es de 25 gramos cuadrados.

Suponga que los pesos siguen una distribución normal.

Construya un intervalo de confianza del 95% para la varianza poblacional.

Datos:

  • Varianza muestral: 25
  • Tamaño muestral: 20
  • Nivel de confianza: 95%
  • Grados de libertad: 19

Fórmula:

\[ IC_{95\%}(\sigma^2) = \left[ \frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{1-\alpha/2,n-1}}, \frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{\alpha/2,n-1}} \right] \]

# Datos
varianza <- 25
n <- 20
confianza <- 0.95

# Nivel de significancia
alpha <- 1 - confianza

# Grados de libertad
gl <- n - 1

# Cuantiles Chi-cuadrado
chi_inferior <- qchisq(alpha/2, df = gl)
chi_superior <- qchisq(1 - alpha/2, df = gl)

# Intervalo para la varianza
LI <- (gl * varianza) / chi_superior
LS <- (gl * varianza) / chi_inferior

cat("Grados de libertad:", gl, "\n")
## Grados de libertad: 19
cat("Chi inferior:", round(chi_inferior, 4), "\n")
## Chi inferior: 8.9065
cat("Chi superior:", round(chi_superior, 4), "\n")
## Chi superior: 32.8523
cat("Intervalo varianza:", round(LI, 3),
    "a", round(LS, 3), "\n")
## Intervalo varianza: 14.459 a 53.332
# Intervalo para desviación estándar
cat("Intervalo desviación estándar:",
    round(sqrt(LI), 3), "a",
    round(sqrt(LS), 3), "\n")
## Intervalo desviación estándar: 3.802 a 7.303

Representación gráfica

plot(c(LI, LS), c(1, 1),
     type = "b", pch = 19,
     col = "purple", lwd = 3,
     xlim = c(10, 60),
     ylim = c(0.5, 1.5),
     yaxt = "n",
     xlab = "Varianza poblacional",
     ylab = "",
     main = "Intervalo de confianza Chi-cuadrado")

abline(v = varianza, col = "red", lty = 2)
points(varianza, 1, pch = 19,
       col = "red", cex = 1.5)
grid()

Interpretación: El intervalo estima la varianza poblacional, no la media. Su validez exacta requiere normalidad de la población.

4. Resumen de funciones estadísticas en R

Función Distribución Aplicación
qnorm() Normal estándar Z Valor crítico Z
qt() t-Student Valor crítico t
qchisq() Chi-cuadrado Valores críticos para varianza
pnorm() Normal Probabilidad acumulada
pt() t-Student Probabilidad acumulada
pchisq() Chi-cuadrado Probabilidad acumulada
mean() Descriptiva Media muestral
sd() Descriptiva Desviación estándar
var() Descriptiva Varianza muestral
length() Descriptiva Número de observaciones

5. Ejercicios propuestos para estudiantes

Ejercicio A (Z): Una muestra de 100 observaciones presenta una media de 80 unidades. La desviación estándar poblacional es 15. Calcule el IC del 99%.

Ejercicio B (t): Una muestra aleatoria de 25 trabajadores presenta un salario promedio de 850 mil pesos y desviación estándar muestral de 120 mil pesos. Suponiendo normalidad, calcule el IC del 95% para la media.

Ejercicio C (Chi-cuadrado): Una muestra aleatoria de 30 observaciones presenta varianza muestral igual a 36. Suponiendo normalidad, calcule el IC del 90% para la varianza poblacional.