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title: "Capítulo 5: Inferencia Estadística para Datos Numéricos en Ciencias de la Salud"
subtitle: "Adaptación Didáctica de 'Introductory Statistics for the Life and Biomedical Sciences' con Datos Reales de Investigaciones Estudiantiles (UJMD)"
author: "Dr. Giovanni Francisco Guevara MD, MPH, Ph.D(c). - Cátedra de Bioestadística Médica - Facultad de Ciencias de la Salud"
date: "2026-10-27"
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# Introducción y Objetivos del Capítulo
El propósito fundamental de la inferencia bioestadística es trascender la simple descripción de una muestra para evaluar hipótesis y estimar parámetros en poblaciones biomédicas generales. En los capítulos anteriores exploramos la caracterización descriptiva de datos numéricos y los principios teóricos del Teorema del Límite Central (TLC).
En este capítulo desarrollamos el marco formal para estimar diferencias y probar hipótesis sobre variables cuantitativas continuas (tales como presión arterial, horas de sueño, puntajes de estrés, índice de masa corporal o rendimiento académico).
### Objetivos de Aprendizaje
Al finalizar este capítulo, el estudiante de medicina será capaz de:
1. **Comprobar** si la media de un solo grupo difiere de un estándar fisiológico o referencia clínica conocida.
2. **Diferenciar** con rigor metodológico entre estructuras de datos independientes y pareadas/dependientes.
3. **Formular y evaluar** hipótesis estadísticas para comparar las medias de dos grupos independientes mediante la prueba t de Student y la prueba de Welch.
4. **Analizar** diseños longitudinales autorreferenciados (mediciones antes-después) utilizando la prueba t pareada.
5. **Generalizar** la comparación a tres o más grupos mediante el Análisis de Varianza (ANOVA de un factor) evitando la inflación del Error Tipo I.
6. **Interpretar y aplicar** los Intervalos de Confianza del 95% como herramienta para evaluar la magnitud del efecto y la relevancia clínica.
7. **Calcular** la potencia estadística y estimar el tamaño muestral óptimo para estudios clínicos cuantitativos.
8. **Ejecutar e interpretar** estos procedimientos en el entorno computacional de RStudio.
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# Inferencia para una Sola Muestra mediante la Distribución t
## Concepto y Modelo de Referencia
En la práctica clínica, a menudo se desea evaluar si el valor promedio de una variable cuantitativa continua en una población específica difiere de un valor estándar de referencia ($\mu_0$), tal como una norma fisiológica internacional, un punto de corte diagnóstico o una meta de salud pública.
### Distribución t de Student de Gosset
Cuando la desviación estándar poblacional ($\sigma$) es desconocida y debe ser estimada a partir de la desviación estándar muestral ($s$), el estadístico de prueba estandarizado no sigue exactamente una distribución Normal estándar $Z$, sino una **distribución t de Student** con $df = n - 1$ grados de libertad:
$$t = \frac{\bar{X} - \mu_0}{\frac{s}{\sqrt{n}}}$$
La distribución $t$ posee una forma de campana simétrica centrada en cero, pero exhibe colas más pesadas que la Normal estándar para compensar la incertidumbre adicional introducida al estimar $\sigma$ mediante $s$. A medida que el tamaño de muestra $n$ aumenta, la distribución $t$ converge asintóticamente a la distribución Normal $Z$.
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## Intervalo de Confianza para una Media Poblacional (mu)
El Intervalo de Confianza (IC) del $(1-\alpha)\%$ para una media poblacional representa el rango de valores verdaderos de $\mu$ que resultan compatibles y plausibles con los datos muestrales observados:
$$IC_{(1-\alpha)\%}(\mu) = \bar{X} \pm t_{\alpha/2, \, n-1} \cdot \left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right)$$
Donde $SE = \frac{s}{\sqrt{n}}$ es el Error Estándar de la Media y $ME = t_{\alpha/2, \, n-1} \cdot SE$ es el Margen de Error.
### Criterio Decisional mediante el Intervalo de Confianza
Existe una equivalencia matemática exacta entre la prueba t de hipótesis y el intervalo de confianza:
* **Si el valor de referencia $\mu_0$ se encuentra DENTRO del IC del 95%:** No existe evidencia suficiente para rechazar $H_0$ ($\alpha = 0.05$). La media observada no difiere significativamente de la norma.
* **Si el valor de referencia $\mu_0$ queda FUERA del IC del 95%:** Se rechaza categóricamente $H_0$ ($p < 0.05$). El rango plausible de la media poblacional excluye el estándar fisiológico.
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## Ejemplo Aplicado con Datos Estudiantiles (Informe Subgrupo 15: Horas de Sueño vs. Estándar Clínico)
En el informe del **Subgrupo 15**, se registró la duración promedio del descanso nocturno en una muestra de $n = 30$ estudiantes de Medicina de la UJMD. Se desea probar si la duración promedio poblacional de sueño de los estudiantes difiere de la recomendación estándar de la National Sleep Foundation de $\mu_0 = 7.0$ horas por noche.
### Parámetros Muestrales Registrados:
* Tamaño muestral: $n = 30$
* Media muestral: $\bar{x} = 5.48$ horas
* Desviación estándar: $s = 0.95$ horas
* Valor de referencia clínico: $\mu_0 = 7.0$ horas
### Formulación de Hipótesis:
* $H_0: \mu = 7.0$ (El promedio de sueño nocturno de los estudiantes es igual al estándar de 7.0 horas)
* $H_A: \mu \neq 7.0$ (El promedio de sueño nocturno difiere del estándar de 7.0 horas)
### Cálculo Aritmético Manual e Intervalo de Confianza:
1. **Error Estándar de la Media:**
$$SE = \frac{0.95}{\sqrt{30}} = \frac{0.95}{5.477} \approx 0.1734 \text{ horas}$$
2. **Estadístico t Calculado:**
$$t_{\text{calc}} = \frac{5.48 - 7.0}{0.1734} = \frac{-1.52}{0.1734} \approx -8.766$$
3. **Intervalo de Confianza del 95%:**
Con $df = 29$, el valor crítico de $t$ a dos colas ($\alpha = 0.05$) es $t_{0.025, 29} = \pm 2.045$.
$$ME = 2.045 \times 0.1734 \approx 0.3546 \text{ horas}$$
$$IC_{95\%}(\mu) = 5.48 \pm 0.3546 = [5.125, \, 5.835] \text{ horas}$$
4. **Decisión e Interpretación:** Dado que $|t_{\text{calc}}| = 8.766 > 2.045$ ($p < 0.0001$) y el valor de referencia $\mu_0 = 7.0$ queda completamente fuera del $IC_{95\%} = [5.125, 5.835]$, se rechaza $H_0$. Los estudiantes de Medicina duermen en promedio entre 5.13 y 5.84 horas, significativamente por debajo del estándar clínico.
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### Código Ejecutable en RStudio
```{r}
#| label: fig-una-muestra
#| fig-cap: "Distribución de las horas de sueño nocturno frente al estándar de referencia de 7.0 horas."
library(ggplot2)
set.seed(2026)
sueño_1muestra <- rnorm(30, mean = 5.48, sd = 0.95)
# Prueba t de una muestra en R
test_1m <- t.test(sueño_1muestra, mu = 7.0)
print(test_1m)
# Gráfico de densidad con referencia clínica
ggplot(data.frame(sueño = sueño_1muestra), aes(x = sueño)) +
geom_density(fill = "#A8DADC", alpha = 0.6, color = "#1D3557", linewidth = 1) +
geom_vline(xintercept = 7.0, linetype = "dashed", color = "#E63946", linewidth = 1.2) +
geom_vline(xintercept = mean(sueño_1muestra), color = "#1D3557", linewidth = 1.2) +
annotate("text", x = 7.05, y = 0.2, label = "Estándar (7.0 h)", color = "#E63946", hjust = 0, fontface = "bold") +
annotate("text", x = mean(sueño_1muestra) - 0.05, y = 0.3, label = paste("Media =", round(mean(sueño_1muestra), 2), "h"), color = "#1D3557", hjust = 1, fontface = "bold") +
labs(
title = "Duración de Sueño Nocturno vs. Estándar Clínico (n = 30)",
subtitle = paste("Prueba t de 1 Muestra: t =", round(test_1m$statistic, 3), ", p < 0.0001 | IC 95%: [", round(test_1m$conf.int[1], 2), ",", round(test_1m$conf.int[2], 2), "]"),
x = "Horas de Sueño Nocturno",
y = "Densidad de Probabilidad"
) +
theme_minimal(base_size = 12)
```
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# Inferencia para Dos Muestras Independientes
## Fundamentos Teóricos y Modelo Matemático
Iniciamos la comparación de dos poblaciones independientes (no apareadas), donde las observaciones de un grupo no guardan relación biológica, temporal ni metodológica con las del otro grupo.
### La Distribución Muestral de la Diferencia de Medias
Sean dos muestras aleatorias independientes extraídas de dos poblaciones con medias $\mu_1$ y $\mu_2$, y varianzas $\sigma_1^2$ y $\sigma_2^2$:
* Muestra 1: $X_{1,1}, X_{1,2}, \dots, X_{1,n_1} \sim N(\mu_1, \sigma_1^2)$
* Muestra 2: $X_{2,1}, X_{2,2}, \dots, X_{2,n_2} \sim N(\mu_2, \sigma_2^2)$
El estimador puntual de la diferencia poblacional $(\mu_1 - \mu_2)$ es la diferencia de medias muestrales:
$$\hat{\Delta} = \bar{X}_1 - \bar{X}_2$$
Por las propiedades de la esperanza y la varianza de variables independientes:
1. **Media del estimador:** $E(\bar{X}_1 - \bar{X}_2) = \mu_1 - \mu_2$
2. **Varianza del estimador:** $Var(\bar{X}_1 - \bar{X}_2) = \frac{\sigma_1^2}{n_1} + \frac{\sigma_2^2}{n_2}$
3. **Error Estándar de la Diferencia de Medias:**
$$SE_{\bar{X}_1 - \bar{X}_2} = \sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1} + \frac{\sigma_2^2}{n_2}}$$
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## Prueba t de Student Convencional (Varianzas Homogéneas)
Cuando las varianzas poblacionales se asumen iguales ($\sigma_1^2 = \sigma_2^2 = \sigma^2$), estimamos la varianza común mediante la **Varianza Combinada Ponderada** ($s_p^2$):
$$s_p^2 = \frac{(n_1 - 1)s_1^2 + (n_2 - 1)s_2^2}{n_1 + n_2 - 2}$$
$$SE_{\text{pool}} = \sqrt{s_p^2 \left(\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}\right)}$$
El estadístico de prueba $t$ sigue una distribución $t$ de Student con $df = n_1 + n_2 - 2$ grados de libertad:
$$t_{\text{calc}} = \frac{(\bar{X}_1 - \bar{X}_2) - 0}{SE_{\text{pool}}}$$
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## Prueba t de Welch (Varianzas Heterogéneas / Heterocedasticidad)
En investigación médica real, cuando las varianzas muestrales difieren ($s_1^2 \neq s_2^2$) o los tamaños muestrales son desiguales ($n_1 \neq n_2$), se aplica la **Prueba t de Welch**, la cual no combina las varianzas:
$$t_{\text{Welch}} = \frac{\bar{X}_1 - \bar{X}_2}{\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2}}}$$
Los grados de libertad se ajustan mediante la fórmula de Satterthwaite ($\nu$):
$$\nu = \frac{\left(\frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2}\right)^2}{\frac{(s_1^2 / n_1)^2}{n_1 - 1} + \frac{(s_2^2 / n_2)^2}{n_2 - 1}}$$
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## Intervalo de Confianza para la Diferencia de Medias Independientes (mu1 - mu2)
El Intervalo de Confianza del 95% para la diferencia de dos medias poblacionales independientes se define como:
$$IC_{95\%}(\mu_1 - \mu_2) = (\bar{X}_1 - \bar{X}_2) \pm t_{\alpha/2, \, df} \cdot SE$$
### La Regla del Cero (0) en la Comparación de Dos Grupos
El valor nulo de referencia en la comparación de dos grupos es el **cero (0)** (ausencia de diferencia):
* **Si el IC del 95% INCLUYE al cero (0):** El valor 0 es una diferencia poblacional plausible. **No se rechaza $H_0$** ($p \ge 0.05$). No hay evidencia de diferencia entre ambos grupos.
* **Si el IC del 95% EXCLUYE al cero (0):** El valor 0 es incompatible con los datos. **Se rechaza $H_0$** ($p < 0.05$). Se concluye que existe una diferencia estadísticamente significativa entre ambas poblaciones.
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## Ejemplo Aplicado con Datos Estudiantiles (Informe Subgrupo 6: CUM vs. Horas de Sueño)
En la investigación del **Subgrupo 6**, se evaluó si el rendimiento académico (CUM acumulado) difiere entre estudiantes de Medicina con privación de sueño ($< 6$ horas nocturnas) y aquellos con descanso adecuado ($\ge 6$ horas nocturnas).
### Datos Muestrales Registrados:
* **Grupo 1 (< 6 horas de sueño):** $n_1 = 8$, $\bar{x}_1 = 7.58$, $s_1 = 1.19$
* **Grupo 2 (>= 6 horas de sueño):** $n_2 = 10$, $\bar{x}_2 = 7.17$, $s_2 = 0.71$
### Planteamiento de Hipótesis:
* $H_0: \mu_1 - \mu_2 = 0$ (No hay diferencia en el CUM promedio)
* $H_A: \mu_1 - \mu_2 \neq 0$ (Existe diferencia en el CUM promedio)
* Nivel de significancia: $\alpha = 0.05$
### Cálculo Aritmético Manual e Intervalo de Confianza (Prueba t de Welch):
1. **Diferencia de Medias:**
$$\bar{x}_1 - \bar{x}_2 = 7.58 - 7.17 = 0.41 \text{ puntos}$$
2. **Error Estándar de Welch:**
$$SE_{\text{Welch}} = \sqrt{\frac{1.19^2}{8} + \frac{0.71^2}{10}} = \sqrt{0.1770 + 0.0504} = \sqrt{0.2274} \approx 0.4769$$
3. **Estadístico t Calculado:**
$$t_{\text{calc}} = \frac{0.41}{0.4769} \approx 0.860$$
4. **Grados de Libertad de Satterthwaite:**
$$\nu = \frac{(0.2274)^2}{\frac{(0.1770)^2}{7} + \frac{(0.0504)^2}{9}} \approx 10.85 \implies df \approx 11$$
5. **Intervalo de Confianza del 95%:**
Con $df = 11$, el valor crítico de $t$ a dos colas es $t_{0.025, 11} = \pm 2.201$.
$$ME = 2.201 \times 0.4769 \approx 1.050 \text{ puntos}$$
$$IC_{95\%}(\mu_1 - \mu_2) = 0.41 \pm 1.050 = [-0.64, \, 1.46] \text{ puntos}$$
6. **Decisión e Interpretación:** Dado que $t_{\text{calc}} = 0.860 < 2.201$ ($p = 0.408$) y el $IC_{95\%} = [-0.64, 1.46]$ **incluye al cero (0)**, no se rechaza $H_0$. No existe evidencia estadísticamente significativa de diferencia en el CUM entre ambos grupos.
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### Código Ejecutable en RStudio
```{r}
#| label: fig-cum-sueño
#| fig-cap: "Distribución del CUM según categoría de descanso nocturno en estudiantes de Medicina."
set.seed(2026)
datos_sueño <- data.frame(
grupo = factor(rep(c("< 6 horas", ">= 6 horas"), c(8, 10))),
cum = c(rnorm(8, mean = 7.58, sd = 1.19), rnorm(10, mean = 7.17, sd = 0.71))
)
# Prueba t de Welch en R
test_welch <- t.test(cum ~ grupo, data = datos_sueño, var.equal = FALSE)
print(test_welch)
# Visualización gráfica profesional
ggplot(datos_sueño, aes(x = grupo, y = cum, fill = grupo)) +
geom_boxplot(alpha = 0.6, outlier.shape = NA) +
geom_jitter(width = 0.1, size = 3, color = "#1D3557") +
scale_fill_manual(values = c("#E63946", "#2A9D8F")) +
labs(
title = "Comparación de Rendimiento Académico (CUM) según Sueño",
subtitle = paste("Prueba t de Welch: t =", round(test_welch$statistic, 3), ", p =", round(test_welch$p.value, 3), "| IC 95%: [", round(test_welch$conf.int[1], 2), ",", round(test_welch$conf.int[2], 2), "]"),
x = "Categoría de Descanso Nocturno",
y = "Coeficiente de Unidades de Mérito (CUM)"
) +
theme_minimal(base_size = 12) +
theme(legend.position = "none")
```
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# Inferencia para Datos Pareados / Dependientes
## Justificación Metodológica y Diseños Longitudinales
En los experimentos clínicos y estudios observacionales antes-después, las mediciones se realizan **en los mismos individuos en dos momentos temporales distintos**. Esta estructura de datos dependientes requiere un abordaje analítico diferente al de muestras independientes.
### La Ventaja de Reducir la Variabilidad Interindividual
En muestras independientes, la varianza total incluye tanto la variabilidad del tratamiento como la enorme variabilidad biológica entre personas. En un **diseño longitudinal autorreferenciado**, cada paciente actúa como su propio control, lo que permite cancelar la variabilidad interindividual y aislar el verdadero efecto del tratamiento o intervención.
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## Modelo Matemático de la Prueba t Pareada
La transformación $D_i = X_{i, \text{post}} - X_{i, \text{pre}}$ convierte el problema de dos muestras dependientes en **una sola muestra univariada de diferencias**.
### Formulación de Hipótesis:
* $H_0: \mu_D = 0$ (La media poblacional de las diferencias es igual a cero)
* $H_A: \mu_D \neq 0$ (Existe un cambio promedio significativo)
### Parámetros Muestrales:
* Media de las diferencias: $\bar{D} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n D_i$
* Desviación estándar de las diferencias: $s_D = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^n (D_i - \bar{D})^2}{n - 1}}$
* Error Estándar de la media de diferencias: $SE_{\bar{D}} = \frac{s_D}{\sqrt{n}}$
### Estadístico de Prueba t Pareado:
$$t_{\text{calc}} = \frac{\bar{D} - 0}{\frac{s_D}{\sqrt{n}}}$$
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## Intervalo de Confianza para la Media de las Diferencias Pareadas (muD)
El Intervalo de Confianza del 95% para la media poblacional de las diferencias en datos pareados se calcula como:
$$IC_{95\%}(\mu_D) = \bar{D} \pm t_{\alpha/2, \, n-1} \cdot \left(\frac{s_D}{\sqrt{n}}\right)$$
### Interpretación Clínica del IC Pareado
* **Si el IC del 95% contiene al cero (0):** La intervención o paso del tiempo no produce un cambio clínicamente ni estadísticamente computable ($p \ge 0.05$).
* **Si el IC del 95% excluye al cero (0):** Se confirma un efecto intraindividual significativo ($p < 0.05$). Los límites del IC señalan el impacto mínimo y máximo esperado del tratamiento en la escala de medición.
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## Ejemplo Aplicado con Datos Estudiantiles (Informe Subgrupo 13: Estrés Antes y Después de Parciales)
Basado en la línea de investigación del **Subgrupo 13**, se evaluó el nivel de estrés percibido (Escala PSS-8, 0–32 puntos) en una cohorte de $n = 10$ estudiantes de Medicina al inicio del ciclo (*Baseline*) y durante la semana de exámenes parciales (*Post-Intervención*).
### Matriz de Datos Individuales:
| Estudiante ($i$) | PSS-8 Inicial ($X_{\text{pre}}$) | PSS-8 Parciales ($X_{\text{post}}$) | Diferencia ($D_i = X_{\text{post}} - X_{\text{pre}}$) | $(D_i - \bar{D})^2$ |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| 1 | 14 | 18 | +4 | 0.01 |
| 2 | 12 | 17 | +5 | 0.81 |
| 3 | 16 | 20 | +4 | 0.01 |
| 4 | 18 | 21 | +3 | 1.21 |
| 5 | 11 | 16 | +5 | 0.81 |
| 6 | 15 | 19 | +4 | 0.01 |
| 7 | 13 | 18 | +5 | 0.81 |
| 8 | 17 | 20 | +3 | 1.21 |
| 9 | 10 | 15 | +5 | 0.81 |
| 10 | 14 | 17 | +3 | 1.21 |
| **Suma** | — | — | $\sum D_i = 41$ | $\sum (D_i - \bar{D})^2 = 6.90$ |
### Pasos del Cálculo Aritmético Manual e Intervalo de Confianza:
1. **Media de las Diferencias:**
$$\bar{D} = \frac{41}{10} = 4.10 \text{ puntos}$$
2. **Desviación Estándar de las Diferencias:**
$$s_D = \sqrt{\frac{6.90}{9}} = \sqrt{0.7667} \approx 0.8756 \text{ puntos}$$
3. **Error Estándar:**
$$SE_{\bar{D}} = \frac{0.8756}{\sqrt{10}} = \frac{0.8756}{3.162} \approx 0.2769 \text{ puntos}$$
4. **Estadístico t Calculado:**
$$t_{\text{calc}} = \frac{4.10}{0.2769} \approx 14.807$$
5. **Intervalo de Confianza del 95%:**
Con $df = 9$, el valor crítico de $t$ a dos colas ($\alpha = 0.05$) es $t_{0.025, 9} = \pm 2.262$.
$$ME = 2.262 \times 0.2769 \approx 0.626 \text{ puntos}$$
$$IC_{95\%}(\mu_D) = 4.10 \pm 0.626 = [3.47, \, 4.73] \text{ puntos}$$
6. **Decisión e Interpretación:** Dado que $t_{\text{calc}} = 14.807 > 2.262$ ($p < 0.0001$) y el $IC_{95\%} = [3.47, 4.73]$ **excluye categóricamente al cero (0)**, se rechaza $H_0$. El período de exámenes parciales genera un incremento promedio estadísticamente significativo de entre 3.47 y 4.73 puntos en el nivel de estrés percibido.
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### Código Ejecutable en RStudio
```{r}
#| label: fig-estres-pareado
#| fig-cap: "Evaluación longitudinal autorreferenciada del estrés percibido (PSS-8) antes y durante exámenes."
datos_pareados <- data.frame(
estudiante = factor(1:10),
pre = c(14, 12, 16, 18, 11, 15, 13, 17, 10, 14),
post = c(18, 17, 20, 21, 16, 19, 18, 20, 15, 17)
)
# Prueba t pareada en R
test_pareado <- t.test(datos_pareados$post, datos_pareados$pre, paired = TRUE)
print(test_pareado)
# Gráfico de trayectorias individuales (Slopegraph)
library(tidyr)
datos_long <- pivot_longer(datos_pareados, cols = c("pre", "post"), names_to = "momento", values_to = "pss8")
datos_long$momento <- factor(datos_long$momento, levels = c("pre", "post"), labels = c("Baseline (Inicio)", "Parciales (Estrés)"))
ggplot(datos_long, aes(x = momento, y = pss8, group = estudiante)) +
geom_line(color = "#457B9D", linewidth = 0.8, alpha = 0.7) +
geom_point(size = 3, color = "#1D3557") +
labs(
title = "Cambio Longitudinal Intraindividual en Estrés PSS-8 (n = 10)",
subtitle = paste("Prueba t Pareada: t =", round(test_pareado$statistic, 3), ", p < 0.0001 | IC 95% Incremento: [", round(test_pareado$conf.int[1], 2), ",", round(test_pareado$conf.int[2], 2), "]"),
x = "Momento de Evaluación",
y = "Puntaje de Estrés PSS-8 (0 - 32)"
) +
theme_minimal(base_size = 12)
```
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# Comparación de Múltiples Medias mediante ANOVA (Analysis of Variance)
## La Limitación del Test t Iterativo e Inflación del Error Tipo I
Cuando la variable independiente tiene tres o más categorías ($k \ge 3$), como por ejemplo comparar el nivel de estrés entre estudiantes de 1º, 2º y 3º año académico, podría pensarse en realizar múltiples pruebas t por pares (1º vs 2º, 1º vs 3º, 2º vs 3º).
Sin embargo, para $c = \frac{k(k-1)}{2}$ comparaciones independientes, la probabilidad global de cometer **al menos un Error Tipo I** (falso positivo) se infla exponencialmente:
$$\alpha_{\text{FW}} = 1 - (1 - \alpha)^c$$
Para $k = 4$ grupos ($c = 6$ comparaciones), la tasa de falso positivo pasa de un 5% planificado a un $\alpha_{\text{global}} = 1 - (0.95)^6 \approx 26.5\%$.
Para evitar este sesgo, empleamos el **Análisis de Varianza (ANOVA de un factor)**, una **prueba ómnibus** que evalúa simultáneamente si al menos una media de grupo difiere de las demás manteniendo $\alpha = 0.05$.
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## Modelo Matemático de ANOVA de Un Factor
El principio de ANOVA descompone la Variabilidad Total de los datos ($SS_{\text{total}}$) en dos componentes independientes:
$$SS_{\text{total}} = SS_{\text{entre}} + SS_{\text{dentro}}$$
### Cuadro Resumen de ANOVA:
| Fuente de Variación | Suma de Cuadrados ($SS$) | Grados de Libertad ($df$) | Media Cuadrática ($MS$) | Estadístico $F$ |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| **Entre Grupos (Factor)** | $SS_{\text{entre}} = \sum_{j=1}^k n_j (\bar{X}_j - \bar{X}_{\text{global}})^2$ | $k - 1$ | $MS_{\text{entre}} = \frac{SS_{\text{entre}}}{k - 1}$ | $F = \frac{MS_{\text{entre}}}{MS_{\text{dentro}}}$ |
| **Dentro de Grupos (Error)** | $SS_{\text{dentro}} = \sum_{j=1}^k \sum_{i=1}^{n_j} (X_{ij} - \bar{X}_j)^2$ | $N - k$ | $MS_{\text{dentro}} = \frac{SS_{\text{dentro}}}{N - k}$ | — |
| **Total** | $SS_{\text{total}} = \sum \sum (X_{ij} - \bar{X}_{\text{global}})^2$ | $N - 1$ | — | — |
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## Utilidad e Intervalos de Confianza Simultáneos en ANOVA (Post-Hoc Tukey HSD)
Dado que la prueba $F$ de ANOVA es una prueba ómnibus, un valor de $p < 0.05$ indica que al menos un grupo difiere, pero no señala cuáles pares específicos presentan diferencias significativas.
### Pruebas Post-Hoc e Intervalos de Confianza Ajustados
Para identificar los pares que difieren, aplicamos la prueba de **Diferencia Sinceramente Significativa de Tukey (Tukey HSD)**, la cual construye **Intervalos de Confianza Simultáneos del 95%** para todas las comparaciones por parejas $(\mu_i - \mu_j)$, manteniendo la tasa de error global en $\alpha = 0.05$:
$$IC_{95\% \, \text{Tukey}}(\mu_i - \mu_j) = (\bar{X}_i - \bar{X}_j) \pm q_{\alpha, k, N-k} \cdot \sqrt{\frac{MS_{\text{dentro}}}{2} \left(\frac{1}{n_i} + \frac{1}{n_j}\right)}$$
* **Interpretación del Cero (0) en Tukey HSD:**
* Si el $IC_{95\%}$ ajustado para la pareja $(\mu_i - \mu_j)$ **incluye al cero (0)**, no hay diferencia estadísticamente significativa entre esos dos grupos específicos.
* Si el $IC_{95\%}$ ajustado **excluye al cero (0)**, se concluye que el Grupo $i$ y el Grupo $j$ difieren significativamente en la población.
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## Ejemplo Aplicado con Datos Estudiantiles (Informe Subgrupo 13: Estrés según Año Académico)
Evaluación del nivel de estrés PSS-8 en $N = 30$ estudiantes clasificados por su año académico:
* **1º Año ($j=1$):** $n_1 = 3$, $\bar{x}_1 = 14.33$, $s_1 = 0.58$
* **2º Año ($j=2$):** $n_2 = 4$, $\bar{x}_2 = 19.75$, $s_2 = 3.30$
* **3º Año ($j=3$):** $n_3 = 23$, $\bar{x}_3 = 16.43$, $s_3 = 4.69$
* **Total:** $N = 30$, $\bar{X}_{\text{global}} = 16.67$
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### Código Ejecutable en RStudio (ANOVA + Post-Hoc Tukey HSD con ggplot2)
```{r}
#| label: fig-anova-estres
#| fig-cap: "ANOVA de Estrés según Año Académico e Intervalos de Confianza Simultáneos de Tukey."
set.seed(2026)
datos_anova <- data.frame(
anio = factor(c(rep("1º Año", 3), rep("2º Año", 4), rep("3º Año", 23))),
pss8 = c(c(14, 15, 14), c(20, 18, 24, 17), c(16, 21, 12, 19, 15, 11, 22, 18, 22, 17, 12, 14, 19, 20, 13, 16, 21, 15, 18, 14, 17, 16, 12))
)
# Ajuste del Modelo ANOVA
modelo_anova <- aov(pss8 ~ anio, data = datos_anova)
resumen_anova <- summary(modelo_anova)
print(resumen_anova)
# Intervalos de Confianza Simultáneos del 95% (Tukey HSD)
tukey_res <- TukeyHSD(modelo_anova)
print(tukey_res)
# Visualización de los IC de Tukey con ggplot2
tukey_df <- as.data.frame(tukey_res$anio)
tukey_df$comparacion <- rownames(tukey_df)
ggplot(tukey_df, aes(x = comparacion, y = diff, ymin = lwr, ymax = upr)) +
geom_hline(yintercept = 0, linetype = "dashed", color = "#E63946", linewidth = 1) +
geom_pointrange(color = "#1D3557", size = 0.8, linewidth = 1) +
coord_flip() +
labs(
title = "Intervalos de Confianza Simultáneos del 95% (Tukey HSD)",
subtitle = "Evaluación de diferencias de estrés PSS-8 entre años académicos",
x = "Comparación por Parejas",
y = "Diferencia Estimada en Puntaje PSS-8"
) +
theme_minimal(base_size = 12)
```
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# Potencia Estadística y Tamaño Muestral
## Parámetros del Cálculo de Tamaño Muestral
Al diseñar una investigación cuantitativa en salud, no basta con definir la prueba estadística; es indispensable calcular previamente el **tamaño de muestra mínimo ($n$)** para asegurar una **potencia estadística adecuada ($1 - \beta \ge 0.80$)**.
1. **Nivel de Significancia ($\alpha$):** Probabilidad de Error Tipo I (convencionalmente $\alpha = 0.05$).
2. **Potencia ($1 - \beta$):** Probabilidad de detectar una diferencia real cuando esta existe (convencionalmente $80\%$ o $90\%$).
3. **Tamaño del Efecto ($d$ de Cohen):** Magnitud estandarizada de la diferencia clínica mínima que se desea detectar:
$$d = \frac{|\mu_1 - \mu_2|}{\sigma}$$
* $d = 0.20$: Efecto pequeño
* $d = 0.50$: Efecto moderado
* $d = 0.80$: Efecto grande
---
## Estimación de Tamaño Muestral en RStudio (`power.t.test`)
```{r}
# Cálculo de tamaño de muestra para dos grupos independientes
calculo_n <- power.t.test(
delta = 1.0, # Diferencia clínica mínima a detectar (1.0 hora de sueño)
sd = 1.2, # Desviación estándar estimada
sig.level = 0.05, # Nivel alfa
power = 0.80, # Potencia deseada (80%)
type = "two.sample",
alternative = "two.sided"
)
print(calculo_n)
```
*Interpretación:* Se requieren al menos **24 estudiantes por grupo** ($n = 24$, total $N = 48$) para detectar un incremento de 1.0 hora de sueño con una potencia del 80% y un nivel $\alpha = 0.05$.
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# Ejercicios Prácticos del Capítulo (Basados en Informes Estudiantiles g1 a g15)
A continuación se presentan 15 ejercicios prácticos correspondientes a cada uno de los informes de investigación estudiantil de la UJMD para resolver en RStudio, integrando pruebas de hipótesis e intervalos de confianza.
### Ejercicio 5.1 (Informe Subgrupo 1: Calidad de Sueño PSQI Pre-Post Restricción)
Se evaluó el puntaje global del PSQI en $n = 15$ estudiantes de Medicina antes y después de implementar un programa de restricción de pantallas nocturnas. La media de las diferencias fue $\bar{D} = -2.4$ puntos ($s_D = 1.1$).
* **Consigna:** Formule las hipótesis, calcule el estadístico $t$ pareado, determine el $IC_{95\%}(\mu_D)$ e interprete mediante la regla del cero.
### Ejercicio 5.2 (Informe Subgrupo 2: Glucemia Basal vs. Estándar Clínico)
En una muestra de $n = 35$ estudiantes, se registró una glucemia media en ayunas de $\bar{x} = 91.2$ mg/dL ($s = 8.5$).
* **Consigna:** Pruebe si la glucemia media difiere significativamente del límite superior de glucemia normal ($\mu_0 = 100.0$ mg/dL) utilizando una prueba $t$ de una muestra y su $IC_{95\%}$.
### Ejercicio 5.3 (Informe Subgrupo 3: IMC según Frecuencia de Comida Rápida)
Se comparó el IMC ($kg/m^2$) entre tres grupos de estudiantes según la frecuencia de consumo de comida rápida: Ocasional ($n_1 = 12, \bar{x}_1 = 21.8$), Moderado ($n_2 = 15, \bar{x}_2 = 24.3$) y Frecuente ($n_3 = 10, \bar{x}_3 = 27.1$).
* **Consigna:** Formule las hipótesis del ANOVA, explique por qué no se deben hacer tres pruebas $t$ independientes y describa cómo la prueba de Tukey HSD evalúa los $IC_{95\%}$ simultáneos.
### Ejercicio 5.4 (Informe Subgrupo 4: Latencia de Sueño por Consumo de Cafeína)
Se evaluó la latencia de sueño (minutos para conciliar el sueño) entre consumidores altos ($n_1 = 18, \bar{x}_1 = 38.5, s_1 = 12.4$) y consumidores bajos de cafeína ($n_2 = 22, \bar{x}_2 = 21.2, s_2 = 6.8$).
* **Consigna:** Justifique el uso de la prueba $t$ de Welch en lugar de la prueba $t$ convencional y calcule el $IC_{95\%}$ para la diferencia de medias.
### Ejercicio 5.5 (Informe Subgrupo 5: Presión Arterial Sistólica por Consumo de Sodio)
Se midió la PAS (mmHg) en estudiantes con alto consumo de sodio ($n_1 = 20, \bar{x}_1 = 126.4, s_1 = 8.2$) y consumo normal ($n_2 = 25, \bar{x}_2 = 118.1, s_2 = 7.5$).
* **Consigna:** Formule $H_0$ y $H_A$, ejecute la prueba $t$ para dos muestras independientes y determine si el $IC_{95\%}(\mu_1 - \mu_2)$ incluye al cero.
### Ejercicio 5.6 (Informe Subgrupo 6: CUM Académico vs. Promedio Histórico)
Un grupo de $n = 40$ estudiantes con privación severa de sueño registró un CUM promedio de $\bar{x} = 7.20$ ($s = 0.95$).
* **Consigna:** Pruebe si el CUM de este grupo es significativamente inferior al promedio histórico institucional de $\mu_0 = 7.80$ puntos mediante una prueba $t$ unilateral de una muestra.
### Ejercicio 5.7 (Informe Subgrupo 7: Presión Arterial Sistólica en Usuarios de Vapeadores)
Se evaluó la PAS (mmHg) en estudiantes usuarios de vapeadores ($n_1 = 14, \bar{x}_1 = 128.5, s_1 = 9.4$) y no usuarios ($n_2 = 18, \bar{x}_2 = 117.2, s_2 = 6.1$).
* **Consigna:** Aplique la prueba $t$ de Welch en RStudio, obtenga el $IC_{95\%}$ e interprete la relevancia clínica del hallazgo.
### Ejercicio 5.8 (Informe Subgrupo 8: Ansiedad GAD-7 según Nivel de Insomnio)
Se comparó la puntuación GAD-7 entre estudiantes Sin Insomnio ($n_1 = 15, \bar{x}_1 = 4.2$), Insomnio Moderado ($n_2 = 18, \bar{x}_2 = 8.7$) e Insomnio Severo ($n_3 = 12, \bar{x}_3 = 13.5$).
* **Consigna:** Escriba el código en RStudio para ajustar un modelo ANOVA de un factor y obtener la comparación Post-Hoc de Tukey HSD.
### Ejercicio 5.9 (Informe Subgrupo 9: Concentración de Hemoglobina Pre-Post Suplementación)
En $n = 12$ estudiantes con anemia leve, se midió la hemoglobina ($g/dL$) antes y después de 8 semanas de suplementación con hierro ($\bar{D} = +1.65 g/dL, s_D = 0.55$).
* **Consigna:** Calcule el estadístico $t$ pareado, obtenga el $IC_{95\%}(\mu_D)$ concluya si la suplementación elevó significativamente la hemoglobina.
### Ejercicio 5.10 (Informe Subgrupo 10: Conocimientos sobre Automedicación vs. Umbral)
Se evaluó una prueba de conocimientos (0–100 puntos) sobre riesgos de automedicación en $n = 50$ estudiantes, obteniendo $\bar{x} = 62.4$ puntos ($s = 11.2$).
* **Consigna:** Evalúe si la media muestral alcanza el umbral mínimo de competencia de $\mu_0 = 70.0$ puntos utilizando una prueba $t$ y su $IC_{95\%}$.
### Ejercicio 5.11 (Informe Subgrupo 11: Estrés PSS-14 según Nivel de Actividad Física)
Se comparó el estrés PSS-14 entre estudiantes físicamente activos ($n_1 = 22, \bar{x}_1 = 18.2, s_1 = 4.1$) y sedentarios ($n_2 = 28, \bar{x}_2 = 24.6, s_2 = 5.3$).
* **Consigna:** Formule las hipótesis, aplique la prueba $t$ de dos muestras independientes y determine el intervalo de confianza del 95% para la diferencia de medias.
### Ejercicio 5.12 (Informe Subgrupo 12: Agotamiento Emocional MBI según Año Académico)
Se midió la subescala de agotamiento emocional del Maslach Burnout Inventory en 1º Año ($n_1 = 15, \bar{x}_1 = 18.4$), 2º Año ($n_2 = 20, \bar{x}_2 = 26.1$) y 3º Año ($n_3 = 25, \bar{x}_3 = 31.5$).
* **Consigna:** Ajuste un modelo ANOVA en RStudio, interprete el valor $p$ de la prueba $F$ y determine mediante Tukey HSD qué parejas de años académicos difieren significativamente.
### Ejercicio 5.13 (Informe Subgrupo 13: Estrés Percibido PSS-8 Pre-Post Parciales)
En $n = 10$ estudiantes se midió el PSS-8 al inicio del ciclo y durante parciales ($\bar{D} = +4.10, s_D = 0.88$).
* **Consigna:** Realice el cálculo aritmético manual del $IC_{95\%}(\mu_D)$ y compruebe su coincidencia con la salida de `t.test(post, pre, paired = TRUE)` en RStudio.
### Ejercicio 5.14 (Informe Subgrupo 14: Frecuencia Cardíaca por Consumo de Energizantes)
Se midió la frecuencia cardíaca en reposo (ppm) en consumidores habituales de bebidas energizantes ($n_1 = 16, \bar{x}_1 = 82.4, s_1 = 8.1$) y no consumidores ($n_2 = 20, \bar{x}_2 = 72.1, s_2 = 5.4$).
* **Consigna:** Justifique el uso de la prueba $t$ de Welch y calcule el $IC_{95\%}$ para la diferencia de medias.
### Ejercicio 5.15 (Informe Subgrupo 15: Horas de Sueño Pre-Post Taller de Higiene del Sueño)
En $n = 25$ estudiantes con insomnio, se registró la duración del sueño antes y después de participar en un taller de higiene del sueño ($\bar{D} = +1.25 \text{ horas}, s_D = 0.62$).
* **Consigna:** Formule las hipótesis, ejecute la prueba $t$ pareada en RStudio y concluya sobre la efectividad del taller mediante el intervalo de confianza del 95%.
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# Resumen Sintético del Capítulo
| Estructura del Diseño | Condición Metodológica | Estadístico de Prueba | Grados de Libertad ($df$) | Criterio de Decisión por IC (95%) | Función en RStudio |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| **1 Muestra vs. Estándar** | Comparación de $\bar{X}$ contra $\mu_0$ | $t = \frac{\bar{X} - \mu_0}{s / \sqrt{n}}$ | $n - 1$ | Rechaza $H_0$ si $\mu_0$ queda FUERA del IC | `t.test(x, mu = mu_0)` |
| **2 Grupos Independientes** | Varianzas heterogéneas ($s_1^2 \neq s_2^2$) | $t_{\text{Welch}} = \frac{\bar{X}_1 - \bar{X}_2}{\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2}}}$ | Satterthwaite ($\nu$) | Rechaza $H_0$ si el IC EXCLUYE al cero (0) | `t.test(y ~ x, var.equal=FALSE)` |
| **2 Grupos Independientes** | Varianzas homogéneas ($s_1^2 = s_2^2$) | $t = \frac{\bar{X}_1 - \bar{X}_2}{SE_{\text{pool}}}$ | $n_1 + n_2 - 2$ | Rechaza $H_0$ si el IC EXCLUYE al cero (0) | `t.test(y ~ x, var.equal=TRUE)` |
| **2 Grupos Pareados (Antes-Después)** | Mediciones en los mismos sujetos ($D_i$) | $t = \frac{\bar{D}}{s_D / \sqrt{n}}$ | $n - 1$ | Rechaza $H_0$ si el IC EXCLUYE al cero (0) | `t.test(x, y, paired=TRUE)` |
| **k >= 3 Grupos Independientes** | Comparación global de medias | $F = \frac{MS_{\text{entre}}}{MS_{\text{dentro}}}$ | $k - 1, N - k$ | Parejas difieren si el IC de Tukey EXCLUYE al 0 | `aov(y ~ x)` / `TukeyHSD()` |
