En este taller revisaremos la conexión que existe entre las regiones y sus efectos: efectos spillover/derrame. A través de un ejemplo numérico de Miller y Blair (2009) se revisará la extensión del modelo con dos regiones y tres sectores. También, revisaremos la extensión del modelo a más de dos regiones y se introduce el enfoque multirregional, que resuelve con menos datos el problema que el modelo interregional plantea.
Referencia Bibliográfica: Miller, R. y Blair, P. (2009), Input-Output Analysis: Foundations and Extensions, 2.ª ed., Cambridge University Press, capítulo 3, secciones 3.3.2 a 3.3.5 y 3.4.1.
El modelo interregional de dos regiones (IRIO) parte de una tabla de transacciones particionada por región de origen y región de destino:
\[\mathbf{Z} = \begin{pmatrix}\mathbf{Z}^{rr} & \mathbf{Z}^{rs}\\ \mathbf{Z}^{sr} & \mathbf{Z}^{ss}\end{pmatrix}\]
donde \(z^{rs}_{ij}\) es la venta del sector \(i\) de la región \(r\) al sector \(j\) de la región \(s\). Cada bloque se divide por la producción de la región compradora (la de la columna):
\[a^{rr}_{ij} = \frac{z^{rr}_{ij}}{x^r_j}, \qquad a^{rs}_{ij} = \frac{z^{rs}_{ij}}{x^s_j}, \qquad a^{sr}_{ij} = \frac{z^{sr}_{ij}}{x^r_j}, \qquad a^{ss}_{ij} = \frac{z^{ss}_{ij}}{x^s_j} \qquad (3.6,\ 3.7)\]
Las ecuaciones de balance de ambas regiones forman el sistema (3.10), que es un sistema de Leontief ordinario con la matriz particionada:
\[\begin{aligned}(\mathbf{I} - \mathbf{A}^{rr})\mathbf{x}^r - \mathbf{A}^{rs}\mathbf{x}^s &= \mathbf{f}^r\\ -\mathbf{A}^{sr}\mathbf{x}^r + (\mathbf{I} - \mathbf{A}^{ss})\mathbf{x}^s &= \mathbf{f}^s\end{aligned} \qquad (3.10) \quad\Longleftrightarrow\quad (\mathbf{I}-\mathbf{A})\mathbf{x} = \mathbf{f}, \quad \mathbf{A} = \begin{pmatrix}\mathbf{A}^{rr} & \mathbf{A}^{rs}\\ \mathbf{A}^{sr} & \mathbf{A}^{ss}\end{pmatrix}\]
En este modelo \(\mathbf{f}^r\) es la demanda final, esté donde esté el comprador, de bienes producidos en la región \(r\). La región aparece en el lado del productor.
Tres sectores en \(r\) y dos en \(s\). Los bloques fuera de la diagonal no son cuadrados: \(\mathbf{Z}^{rs}\) es de \(3 \times 2\) y \(\mathbf{Z}^{sr}\) de \(2 \times 3\).
# Transacciones intermedias dentro de la región r (3 x 3)
zrr <- matrix(c(150, 500, 50,
200, 100, 400,
300, 500, 50), nrow = 3, byrow = TRUE)
print(zrr)#> [,1] [,2] [,3]
#> [1,] 150 500 50
#> [2,] 200 100 400
#> [3,] 300 500 50# Ventas de sectores de la región r a sectores de la región s (3 x 2)
zrs <- matrix(c( 25, 75,
200, 100,
60, 40), nrow = 3, byrow = TRUE)
print(zrs)#> [,1] [,2]
#> [1,] 25 75
#> [2,] 200 100
#> [3,] 60 40# Ventas de sectores de la región s a sectores de la región r (2 x 3)
zsr <- matrix(c( 75, 100, 60,
50, 25, 25), nrow = 2, byrow = TRUE)
print(zsr)#> [,1] [,2] [,3]
#> [1,] 75 100 60
#> [2,] 50 25 25# Transacciones intermedias dentro de la región s (2 x 2)
zss <- matrix(c(200, 250,
150, 100), nrow = 2, byrow = TRUE)
print(zss)#> [,1] [,2]
#> [1,] 200 250
#> [2,] 150 100# Demanda final por bienes producidos en la región r y en la región s
fr <- c(200, 1000, 50)
fs <- c(515, 450)
f <- c(fr, fs)
sect_r <- c("r1", "r2", "r3"); sect_s <- c("s1", "s2")
dimnames(zrr) <- list(sect_r, sect_r); dimnames(zrs) <- list(sect_r, sect_s)
dimnames(zsr) <- list(sect_s, sect_r); dimnames(zss) <- list(sect_s, sect_s)La producción bruta de cada sector es la suma de su fila completa: ventas intermedias dentro de su región, ventas intermedias a la otra región y demanda final.
#> r1 r2 r3 s1 s2
#> 1000 2000 1000 1200 800Interpretación: El sector 1 de \(r\) produce 1.000: vende 700 dentro de su región, 100 a sectores de \(s\) y 200 a la demanda final. Las ventas a sectores de \(s\) son exportaciones intermedias; en el modelo nacional estarían escondidas dentro de la demanda final.
Cada bloque se divide por la producción de la región que compra. Recordar, desde algebra matricial, dividir por columna es posmultiplicar por la inversa de la matriz diagonal de producción, \(\mathbf{Z}(\hat{\mathbf{x}})^{-1}\).
Arr <- zrr %*% solve(diag(xr))
Ass <- zss %*% solve(diag(xs))
Ars <- zrs %*% solve(diag(xs)) # compradores en s: se divide por x^s
Asr <- zsr %*% solve(diag(xr)) # compradores en r: se divide por x^r
A <- rbind(cbind(Arr, Ars),
cbind(Asr, Ass))
dimnames(A) <- list(c(sect_r, sect_s), c(sect_r, sect_s))
round(A, 4)#> r1 r2 r3 s1 s2
#> r1 0.150 0.2500 0.050 0.0208 0.0938
#> r2 0.200 0.0500 0.400 0.1667 0.1250
#> r3 0.300 0.2500 0.050 0.0500 0.0500
#> s1 0.075 0.0500 0.060 0.1667 0.3125
#> s2 0.050 0.0125 0.025 0.1250 0.1250Interpretación de un coeficiente.
A["s1","r1"] \(=
0{,}075\): por cada peso que produce el sector 1 de la región
\(r\), compra 0,075 al sector 1 de la
región \(s\). Es un coeficiente de
comercio interregional, \(a^{sr}_{11}\). A["r1","s1"]
\(= 0{,}0208\): por cada peso que
produce el sector 1 de \(s\), compra
0,021 al sector 1 de \(r\).
#> r1 r2 r3 s1 s2
#> r1 1.4234 0.4652 0.2909 0.1917 0.3041
#> r2 0.6346 1.4237 0.6707 0.4092 0.4558
#> r3 0.6383 0.5369 1.3363 0.2501 0.3108
#> s1 0.2672 0.2000 0.1973 1.3406 0.5473
#> s2 0.1468 0.0908 0.0926 0.2155 1.2538Una nueva demanda final de 100 por bienes del sector 1 producidos en \(r\): \(\mathbf{f}^{new} = (100, 0, 0, 0, 0)'\).
#> [,1]
#> r1 142.34
#> r2 63.46
#> r3 63.83
#> s1 26.72
#> s2 14.68Interpretación La región \(r\) produce \(142,34\) en el sector 1, \(63,46\) en el 2 y \(63,83\) en el 3. Pero la región \(s\), donde no cambió ninguna demanda final, produce \(26,72\) en su sector 1 y \(14,68\) en su sector 2. Ese estímulo en una región distinta de aquella en la que ocurrió el cambio exógeno es el efecto derrame interregional (interregional spillover), de \(r\) hacia \(s\).
El derrame no termina en \(s\). Para producir esos \(41,40\), los sectores de \(s\) compran insumos, y parte de esos insumos viene de \(r\). Ese segundo derrame, de \(s\) hacia \(r\), cierra un circuito: la producción de \(r\) se estimula a sí misma a través de \(s\). Ese circuito es el efecto de retroalimentación interregional.
El modelo escrito como dos ecuaciones matriciales permite aislarlo exactamente. Con \(\Delta\mathbf{f}^s = \mathbf{0}\), la segunda ecuación de (3.10) se resuelve para \(\mathbf{x}^s\):
\[\mathbf{x}^s = (\mathbf{I}-\mathbf{A}^{ss})^{-1}\mathbf{A}^{sr}\mathbf{x}^r\]
y al sustituir en la primera:
\[(\mathbf{I}-\mathbf{A}^{rr})\mathbf{x}^r - \underbrace{\mathbf{A}^{rs}(\mathbf{I}-\mathbf{A}^{ss})^{-1}\mathbf{A}^{sr}\mathbf{x}^r}_{\text{retroalimentación}} = \mathbf{f}^r \qquad (3.13,\ 3.14)\]
El término de retroalimentación se lee de derecha a izquierda, en tres pasos:
| Paso | Expresión | Qué mide |
|---|---|---|
| 1 | \(\mathbf{A}^{sr}\mathbf{x}^r\) | Lo que \(s\) debe enviar a \(r\) para que \(r\) produzca \(\mathbf{x}^r\) (el primer derrame, \(r \to s\)) |
| 2 | \((\mathbf{I}-\mathbf{A}^{ss})^{-1}\mathbf{A}^{sr}\mathbf{x}^r\) | Toda la producción, directa e indirecta, que \(s\) necesita para fabricar esos envíos |
| 3 | \(\mathbf{A}^{rs}(\mathbf{I}-\mathbf{A}^{ss})^{-1}\mathbf{A}^{sr}\mathbf{x}^r\) | Lo que \(r\) debe vender a \(s\) para sostener esa producción de \(s\) (el segundo derrame, \(s \to r\)) |
Como el término se resta de \((\mathbf{I}-\mathbf{A}^{rr})\mathbf{x}^r\), la misma \(\mathbf{f}^r\) exige una \(\mathbf{x}^r\) mayor que en el modelo de una región. Los dos modelos producen, para la región \(r\):
\[\mathbf{x}^r_S = (\mathbf{I}-\mathbf{A}^{rr})^{-1}\mathbf{f}^r \qquad\text{y}\qquad \mathbf{x}^r_T = (\mathbf{I}-\mathbf{A}^{rr}-\mathbf{A}^{rs}\mathbf{L}^{ss}\mathbf{A}^{sr})^{-1}\mathbf{f}^r\]
donde \(S\) recuerda el modelo de una sola región (single) y \(T\) el modelo de dos regiones (two).
Lrr <- solve(diag(3) - Arr) # inversa regional de r, como en el modelo de una región
Lss <- solve(diag(2) - Ass) # inversa regional de s, como en el modelo de una región
dimnames(Lrr) <- list(sect_r, sect_r)
round(Lrr, 4)#> r1 r2 r3
#> r1 1.3651 0.4253 0.2509
#> r2 0.5273 1.3481 0.5954
#> r3 0.5698 0.4890 1.2885fr_new <- c(100, 0, 0)
xr_S <- Lrr %*% fr_new # una región
xr_T <- solve(diag(3) - Arr - Ars %*% Lss %*% Asr) %*% fr_new # dos regiones, por (3.13)
# El término de retroalimentación, paso a paso, evaluado en x^r_T
paso1 <- Asr %*% xr_T
paso2 <- Lss %*% paso1
paso3 <- Ars %*% paso2
round(cbind(envios_s_a_r = paso1, produccion_total_s = paso2), 3) # vectores de la región s (2 sectores)#> [,1] [,2]
#> s1 17.678 26.719
#> s2 9.506 14.681#> [,1]
#> r1 1.933
#> r2 6.288
#> r3 2.070#> [,1] [,2] [,3]
#> r1 136.51 142.34 5.83
#> r2 52.73 63.46 10.73
#> r3 56.98 63.83 6.84Para producir \(\mathbf{x}^r_T\), la región \(s\) debe enviar a \(r\) \(17,68\) del sector \(1\) y \(9,51\) del \(2\) (paso 1). Fabricarlos exige en \(s\) una producción total de \(26,72\) y \(14,68\) (paso \(2\), que coincide con los derrames de 3.1: la coincidencia no es casual, es la misma cantidad vista desde el otro lado). Y esa producción de \(s\) compra a \(r\) \(1,93\), \(6,29\) y \(2,07\) (paso 3). Esas son las ventas que el modelo de una región nunca ve. El resultado: cada sector de \(r\) produce más en el modelo de dos regiones; \(5,83\), \(10,73\) y \(6,84\) más.
Una medida del error cometido al usar el modelo de una región es el porcentaje de la producción total de \(r\) (la del modelo de dos regiones) que el modelo de una región no captura:
\[OPE = \frac{\mathbf{i}'\mathbf{x}^r_T - \mathbf{i}'\mathbf{x}^r_S}{\mathbf{i}'\mathbf{x}^r_T} \times 100 = \frac{\mathbf{i}'(\mathbf{x}^r_T - \mathbf{x}^r_S)}{\mathbf{i}'\mathbf{x}^r_T} \times 100\]
OPE <- sum(xr_T - xr_S) / sum(xr_T) * 100
c(total_dos_regiones = sum(xr_T), total_una_region = sum(xr_S), diferencia = sum(xr_T - xr_S), OPE = OPE)#> total_dos_regiones total_una_region diferencia OPE
#> 269.6312 246.2258 23.4054 8.6805De los 269,63 de producción total que el choque genera en \(r\), el modelo de una región estima \(246,23\). Deja fuera \(23,40\), el \(8,7\) por ciento.
Oosterhaven (1981) objeta que la medida anterior diluye el error, porque el denominador incluye el propio choque (\(\mathbf{f}\), el primer término \(\mathbf{I}\) de la serie de potencias), que ningún modelo puede errar. Propone medir el error solo sobre los efectos indirectos, restando \(\mathbf{f}\) de la producción bruta:
\[OPE^n = \frac{(\mathbf{i}'\mathbf{x}^r_T - \mathbf{i}'\mathbf{f}) - (\mathbf{i}'\mathbf{x}^r_S - \mathbf{i}'\mathbf{f})}{\mathbf{i}'\mathbf{x}^r_T - \mathbf{i}'\mathbf{f}} \times 100 = \frac{\mathbf{i}'(\mathbf{x}^r_T - \mathbf{x}^r_S)}{\mathbf{i}'\mathbf{x}^r_T - \mathbf{i}'\mathbf{f}} \times 100\]
El numerador es el mismo; solo cambia el denominador, que es menor. Por eso \(OPE^n \ge OPE\), con igualdad solo si \(\mathbf{f} = \mathbf{0}\), y la relación entre ambas es \(OPE^n = OPE \cdot \dfrac{\mathbf{i}'\mathbf{x}^r_T}{\mathbf{i}'\mathbf{x}^r_T - \mathbf{i}'\mathbf{f}}\).
OPEn <- sum(xr_T - xr_S) / (sum(xr_T) - sum(fr_new)) * 100
factor <- sum(xr_T) / (sum(xr_T) - sum(fr_new))
c(OPE = OPE, OPEn = OPEn, factor = factor, OPE_por_factor = OPE * factor, pct_capturado = 100 * OPE / OPEn)#> OPE OPEn factor OPE_por_factor pct_capturado
#> 8.6805 13.7978 1.5895 13.7978 62.9123Lectura. Sobre los efectos indirectos solamente (169,63), el modelo de una región omite el 13,8 por ciento. La medida original captura el 63 por ciento de la medida neta: \(100 \times OPE/OPE^n = 100 \times (\mathbf{i}'\mathbf{x}^r_T - \mathbf{i}'\mathbf{f})/\mathbf{i}'\mathbf{x}^r_T = 100 \times 169{,}63/269{,}63\). En el libro y en las diapositivas de apoyo ese último cociente aparece con un «10» delante; el factor correcto es 100, como se comprueba en el código.
El error depende de la fuerza de los encadenamientos interregionales, es decir, de las magnitudes de \(\mathbf{A}^{rs}\) y \(\mathbf{A}^{sr}\), y en particular de cuánto depende \(r\) de insumos de \(s\) (coeficientes grandes en \(\mathbf{A}^{sr}\) generan un término de retroalimentación grande). También depende de \(\mathbf{L}^{ss}\), es decir, de toda la estructura interna de la otra región. Los experimentos empíricos tempranos (Miller, 1966, 1969) encontraron retroalimentaciones muy pequeñas, por debajo del medio punto porcentual con la medida OPE. Eso no convierte al modelo de una región en suficiente: por construcción no captura los derrames, y hay muchas preguntas de impacto (una inversión en una región, un recorte de gasto público nacional) cuya respuesta interesante está fuera de la región donde ocurre el cambio.
La estructura con \(p\) regiones es la misma; solo crecen el número de bloques y sus tamaños. Para tres regiones:
\[\mathbf{A} = \begin{pmatrix}\mathbf{A}^{11} & \mathbf{A}^{12} & \mathbf{A}^{13}\\ \mathbf{A}^{21} & \mathbf{A}^{22} & \mathbf{A}^{23}\\ \mathbf{A}^{31} & \mathbf{A}^{32} & \mathbf{A}^{33}\end{pmatrix} \qquad (3.15)\]
\[\begin{aligned}(\mathbf{I}-\mathbf{A}^{11})\mathbf{x}^1 - \mathbf{A}^{12}\mathbf{x}^2 - \mathbf{A}^{13}\mathbf{x}^3 &= \mathbf{f}^1\\ -\mathbf{A}^{21}\mathbf{x}^1 + (\mathbf{I}-\mathbf{A}^{22})\mathbf{x}^2 - \mathbf{A}^{23}\mathbf{x}^3 &= \mathbf{f}^2\\ -\mathbf{A}^{31}\mathbf{x}^1 - \mathbf{A}^{32}\mathbf{x}^2 + (\mathbf{I}-\mathbf{A}^{33})\mathbf{x}^3 &= \mathbf{f}^3\end{aligned} \qquad (3.16)\]
y el sistema sigue siendo \((\mathbf{I}-\mathbf{A})\mathbf{x} = \mathbf{f}\) con \(\mathbf{x}\), \(\mathbf{f}\) e \(\mathbf{I}\) apilados por región.
Requerimientos de datos. Con \(n\) sectores por región, un modelo de \(p\) regiones necesita \(p^2\) matrices de \(n \times n\): 4 para dos regiones, 9 para tres, 16 para cuatro. Para las 16 regiones de Chile serían 256 bloques, 240 de ellos de comercio interregional, que es justo la información que no existe en las estadísticas oficiales. Dos observaciones atenúan el problema: una región puede definirse siempre como «el resto del país» o «el resto del mundo», de modo que un modelo de dos regiones es útil con pocos datos; y el enfoque multirregional (parte 6 y sesión siguiente) reemplaza los \(p(p-1)\) bloques de comercio sector a sector por \(p^2\) vectores de proporciones por bien.
El siguiente bloque construye la matriz de un modelo de tres regiones de forma genérica, a partir de una lista de matrices, y comprueba que la inversa particionada se arma igual que en el caso de dos regiones. Las matrices son simulados y no provienen del libro. La tercera región se obtiene reescalando los de la parte 2 para obtener una tercera región de dos sectores.
# Datos simulados: la región 3 copia la estructura de s, con comercio débil hacia y desde 1 y 2
A3 <- list(list(Arr, Ars, 0.5 * Ars),
list(Asr, Ass, 0.3 * Ass),
list(0.5 * Asr, 0.3 * Ass, Ass))
A_3reg <- do.call(rbind, lapply(A3, function(fila) do.call(cbind, fila)))
dim(A_3reg)#> [1] 7 7#> [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7]
#> r1 0.1500 0.25000 0.0500 0.020833 0.09375 0.010417 0.046875
#> r2 0.2000 0.05000 0.4000 0.166667 0.12500 0.083333 0.062500
#> r3 0.3000 0.25000 0.0500 0.050000 0.05000 0.025000 0.025000
#> s1 0.0750 0.05000 0.0600 0.166667 0.31250 0.050000 0.093750
#> s2 0.0500 0.01250 0.0250 0.125000 0.12500 0.037500 0.037500
#> s1 0.0375 0.02500 0.0300 0.050000 0.09375 0.166667 0.312500
#> s2 0.0250 0.00625 0.0125 0.037500 0.03750 0.125000 0.125000L_3reg <- solve(diag(nrow(A_3reg)) - A_3reg)
# Un choque de 100 en el sector 1 de la región 1 derrama sobre las tres regiones
x_3reg <- L_3reg %*% c(100, rep(0, 6))
round(cbind(region = c(1, 1, 1, 2, 2, 3, 3), x = x_3reg), 2)#> region
#> [1,] 1 145.23
#> [2,] 1 68.77
#> [3,] 1 67.21
#> [4,] 2 30.62
#> [5,] 2 16.81
#> [6,] 3 18.61
#> [7,] 3 10.29El modelo interregional es casi imposible de implementar con muchas regiones por la cantidad de datos de comercio sector a sector que exige. El modelo multirregional (MRIO, enfoque de Chenery y Moses) simplifica dos cosas: cómo se mide la tecnología de cada región y cómo se mide el comercio. Aquí revisaremos la primera parte de este modelo, en la clase siguiente revisaremos la segunda parte.
El MRIO usa en cada región una matriz de coeficientes técnicos regionales \(\mathbf{A}^r\), en lugar de la matriz de coeficientes de insumo regional \(\mathbf{A}^{rr}\). La diferencia está en la pregunta que se hace a la empresa:
Las transacciones se denotan \(z^{\cdot r}_{ij}\), donde el punto reúne todas las ubicaciones posibles del sector vendedor, y
\[a^r_{ij} = \frac{z^{\cdot r}_{ij}}{x^r_j}, \qquad \mathbf{A}^r = [a^r_{ij}]\]
\(\mathbf{A}^r\) describe la tecnología de producción en \(r\); \(\mathbf{A}^{rr}\) describe solo cómo las empresas de \(r\) usan insumos de \(r\). La información sobre el origen de los insumos se recupera después, con los coeficientes de comercio.
Cuando no hay encuesta regional, los coeficientes técnicos regionales suelen estimarse con el enfoque del mix de productos. El supuesto es que, a niveles finos de clasificación, la receta de insumos es la misma en todas las regiones, y que lo que distingue a una región es la composición de la producción del sector agregado.
Ejemplo de Miller y Blair (tabla 3.3). El sector 2, alimentos, tiene tres subsectores: sopa de tomate (2.1), barras de chocolate (2.2) y mermelada de guayaba (2.3). Los coeficientes técnicos nacionales de insumos de papel (sector 8) en cada subsector son 0,005, 0,009 y 0,003. En Nueva Jersey (\(J\)) el sector 2 produce 700 de sopa y 300 de chocolate; en Florida (\(F\)), 80 de sopa y 420 de mermelada (en miles). El coeficiente regional es un promedio ponderado de los coeficientes nacionales, con la composición regional como ponderador:
\[a^J_{82} = a^N_{8,2.1}\frac{x^J_{2.1}}{x^J_2} + a^N_{8,2.2}\frac{x^J_{2.2}}{x^J_2} + a^N_{8,2.3}\frac{x^J_{2.3}}{x^J_2}\]
a_nac <- c(sopa = 0.005, chocolate = 0.009, mermelada = 0.003) # a^N_{8,2.k}
x_sub <- rbind(NJ = c(700, 300, 0),
Florida = c( 80, 0, 420)) # miles de dólares
colnames(x_sub) <- names(a_nac)
pesos <- x_sub / rowSums(x_sub) # composición del sector 2 en cada región
a_82 <- as.vector(pesos %*% a_nac); names(a_82) <- rownames(x_sub)
round(pesos, 3)#> sopa chocolate mermelada
#> NJ 0.70 0.3 0.00
#> Florida 0.16 0.0 0.84#> NJ Florida
#> 0.0062 0.0033Lectura. Nueva Jersey usa 0,0062 de papel por peso de alimentos; Florida, 0,0033. La receta de cada producto es la misma en ambas; lo que cambia es que Nueva Jersey produce chocolate, intensivo en papel, y Florida produce mermelada, que lo es menos. Ninguno de los dos coeficientes es el nacional, y la diferencia proviene solo de la composición.
Limitaciones. El supuesto de receta uniforme falla cuando la tecnología misma difiere entre regiones (electricidad hidráulica frente a electricidad a carbón, en el ejemplo del propio libro) y requiere datos de producción por subsector en cada región, que en Chile existen para pocas actividades.
| Concepto | Expresión | Dónde se calcula |
|---|---|---|
| Derrame \(r \to s\) | \(\mathbf{x}^s = \mathbf{L}^{ss}\mathbf{A}^{sr}\mathbf{x}^r\) (con \(\Delta\mathbf{f}^s = 0\)) | bloque \(s\) de \(\mathbf{L}\mathbf{f}^{new}\) |
| Retroalimentación | \(\mathbf{A}^{rs}\mathbf{L}^{ss}\mathbf{A}^{sr}\mathbf{x}^r\) | (3.14) |
| Producción en \(r\), una región | \(\mathbf{x}^r_S = (\mathbf{I}-\mathbf{A}^{rr})^{-1}\mathbf{f}^r\) | Lrr %*% fr_new |
| Producción en \(r\), dos regiones | \(\mathbf{x}^r_T = (\mathbf{I}-\mathbf{A}^{rr}-\mathbf{A}^{rs}\mathbf{L}^{ss}\mathbf{A}^{sr})^{-1}\mathbf{f}^r\) | (3.13) |
| Error global | \(OPE = \mathbf{i}'(\mathbf{x}^r_T-\mathbf{x}^r_S)/\mathbf{i}'\mathbf{x}^r_T \times 100\) | 8,7 % |
| Error neto | \(OPE^n = \mathbf{i}'(\mathbf{x}^r_T-\mathbf{x}^r_S)/(\mathbf{i}'\mathbf{x}^r_T - \mathbf{i}'\mathbf{f}) \times 100\) | 13,8 % |
| Coeficiente técnico regional | \(a^r_{ij} = z^{\cdot r}_{ij}/x^r_j\) | mix de productos |