Funciones lineales: comprender y representar cambios
Semana 8: Cátedra (Recalendarizada)
2026-10-27
De ayer a hoy: una pregunta diferente
Ayer: buscamos dos cantidades que cumplieran dos condiciones al mismo tiempo.
Buscábamos los valores para dos incógnitas.
Hoy: queremos describir cómo cambia una cantidad cuando cambia otra.
No buscamos valores específicos, sino valores que van cambiando según una pauta.
Por ejemplo: si pasan las semanas, ¿qué ocurre con las solicitudes pendientes en una municipalidad?
Un problema de gestión municipal
Una oficina municipal comienza con 520 solicitudes pendientes.
Cada semana:
- recibe 95 solicitudes nuevas
- resuelve 130 solicitudes.
Pregunta: ¿cuántas solicitudes quedan pendientes después de 1, 2 o 3 semanas?
Primero: ¿cuál es el cambio semanal?
Cada semana entran 95 y se resuelven 130.
\[ \text{Cambio semanal}=95-130=-35 \]
Interpretación: el número de solicitudes pendientes disminuye en 35 por semana.
Si partimos de 520:
\[ 520-35=485 \quad \text{(al terminar la semana 1)} \]
Identificamos las variables
- \(t\): número de semanas transcurridas.
- \(P(t)\): número de solicitudes pendientes al terminar la semana \(t\).
| Variable | Papel | ¿Por qué? |
|---|---|---|
| \(t\) | Independiente | Elegimos la semana que queremos estudiar. |
| \(P(t)\) | Dependiente | Su valor cambia según la semana. |
La función relaciona cada semana con una cantidad de solicitudes.
Construimos la regla
Partimos de 520 solicitudes y restamos 35 por cada semana transcurrida.
\[ \boxed{P(t)=520-35t} \]
En la expresión:
- 520 es la cantidad inicial (cuando \(t=0\)).
- \(-35\) es el cambio por semana.
- \(t\) indica cuántas semanas han pasado.
Evaluar una función: reemplazar y calcular
¿Qué sucede después de 2 semanas?
\[ P(2)=520-35(2) \]
\[ P(2)=520-70=450 \]
Respuesta: después de 2 semanas se proyectan 450 solicitudes pendientes.
Ojo: \(P(2)\) no significa \(P\times 2\); significa el valor de la función cuando \(t=2\).
Construimos una tabla de valores
| Semana \(t\) | Cálculo | Pendientes \(P(t)\) |
|---|---|---|
| 0 | \(520-35(0)\) | 520 |
| 1 | \(520-35(1)\) | 485 |
| 2 | \(520-35(2)\) | 450 |
| 3 | \(520-35(3)\) | 415 |
| 4 | \(520-35(4)\) | 380 |
¿Qué patrón observamos entre una fila y la siguiente?
De la tabla al gráfico
Cada fila de la tabla se convierte en un punto \((t,P(t))\):
\[ (0,520),\ (1,485),\ (2,450),\ (3,415),\ (4,380) \]
- Eje horizontal: semanas \(t\).
- Eje vertical: solicitudes pendientes \(P(t)\).
Para datos semanales, podemos graficar los puntos y unirlos solo si explicitamos la interpretación entre semanas.
Representamos gráficamente las solicitudes pendientes
¿Qué ocurre con las solicitudes pendientes cuando aumenta el número de semanas?
¿Qué significa que la función disminuya?
Comparemos dos relaciones ficticias:
\[ A(t)=100+20t \]
\[ B(t)=100-20t \]
- En \(A(t)\), la cantidad aumenta 20 por período.
- En \(B(t)\), la cantidad disminuye 20 por período.
El signo del cambio indica la dirección
El dominio: ¿para qué semanas sirve el modelo?
No podemos usar la fórmula sin pensar en el contexto.
- Si contamos semanas completas, \(t=0,1,2,\ldots\)
- No tiene sentido proyectar una cantidad negativa de solicitudes pendientes.
- El modelo supone que entran y se resuelven las mismas cantidades cada semana.
Por ejemplo:
\[ P(15)=520-35(15)=-5 \]
Un resultado negativo señala que el modelo ya no sirve literalmente en ese punto.
Interpretar antes de concluir
Si \(P(4)=380\), podemos afirmar:
Bajo los supuestos del modelo, al finalizar cuatro semanas quedarían 380 solicitudes pendientes.
No podemos afirmar automáticamente que la municipalidad mejoró la calidad de atención: solo modelamos el volumen pendiente.
Una función ayuda a describir un aspecto de un fenómeno, no toda su complejidad.
Practiquemos juntos: participación comunitaria
Un programa comunitario comienza con 80 participantes y suma 12 nuevos participantes por mes, suponiendo que nadie abandona.
En parejas, respondan:
- ¿Cuál es la variable independiente?
- ¿Cuál es la variable dependiente?
- ¿Cómo expresarían el total después de \(m\) meses?
- ¿Cuántas personas habría después de 3 meses?
Revisemos el procedimiento
Definimos \(m\): meses transcurridos; \(C(m)\): participantes.
\[ \boxed{C(m)=80+12m} \]
\[ C(3)=80+12(3)=116 \]
Interpretación: después de 3 meses habría 116 participantes, si se cumplen los supuestos.
Un error frecuente: confundir el inicio con el cambio
Una función de la forma:
\[ f(x)=a+bx \]
contiene dos elementos distintos:
- \(a\): valor inicial cuando \(x=0\)
- \(b\): cambio por unidad de \(x\).
En \(C(m)=80+12m\):
- 80 participantes al inicio
- 12 participantes adicionales por mes.
Ayuda rápida: ¿cómo trabajo con una función?
Para construirla
1. Identifica las dos variables.
2. Determina el valor inicial.
3. Encuentra cuánto cambia por período.
4. Escribe la regla:
\[ f(x)=a+bx \]
Para usarla
1. Elige un valor de entrada \(x\).
2. Reemplázalo en la fórmula.
3. Calcula con cuidado.
4. Interpreta con unidades y contexto.
5. Comprueba si el resultado tiene sentido.
Matemáticas para las Cs. Sociales I