Propósito de aprendizaje

Al finalizar esta unidad, el estudiante podrá formular, estimar, evaluar e interpretar un modelo de regresión lineal simple, comunicar su incertidumbre y justificar decisiones empresariales sin confundir asociación estadística con causalidad.

Preguntas orientadoras: ¿Cómo cambian las ventas cuando aumenta la inversión publicitaria? ¿Qué parte de la variación de las ventas explica el modelo? ¿Qué tan precisa es una predicción? ¿Qué condiciones deben cumplirse para confiar en las conclusiones?

Ruta de aprendizaje: pregunta de negocio → diagrama de dispersión → modelo → mínimos cuadrados → bondad de ajuste → inferencia → predicción → diagnóstico → recomendación.

El problema empresarial

Una empresa registra durante 24 períodos su inversión publicitaria y sus ventas. Ambas variables se expresan en millones de pesos por período. La dirección desea anticipar ventas y evaluar si la inversión está asociada con mejores resultados.

Para garantizar que todos puedan reproducir los cálculos, utilizaremos datos simulados con fines pedagógicos. No representan observaciones reales de una compañía ni permiten atribuir efectos causales a la publicidad.

periodo <- 1:24
inversion <- c(4,7,5,9,6,11,8,12,10,14,7,13,
               15,9,16,12,18,14,17,20,16,19,21,23)
ruido <- c(3,-4,1,5,-2,-3,4,-5,2,1,-1,3,
           -4,2,5,-2,1,-3,4,-4,0,3,-2,2)
ventas <- 35 + 4.2*inversion + ruido
datos <- data.frame(periodo, inversion, ventas)
kable(head(datos, 10), digits=2,
      col.names=c('Período','Inversión (millones)','Ventas (millones)'))

Período	Inversión (millones)	Ventas (millones)
1	4	54.8
2	7	60.4
3	5	57.0
4	9	77.8
5	6	58.2
6	11	78.2
7	8	72.6
8	12	80.4
9	10	79.0
10	14	94.8

Antes de modelar: ¿esperamos una relación positiva, negativa o nula? ¿Una asociación positiva implica necesariamente que la publicidad causa el aumento de las ventas? ¿Qué otras variables podrían explicar las ventas (temporada, precios, promociones, competencia)?

ggplot(datos, aes(inversion, ventas)) +
  geom_point(size=3, color='#176aa0') +
  labs(title='Inversión publicitaria y ventas',
       subtitle='Datos simulados: 24 períodos',
       x='Inversión publicitaria (millones de pesos)',
       y='Ventas (millones de pesos)') +
  theme_minimal(base_size=13)

El modelo de regresión lineal simple

El modelo poblacional describe la relación entre una variable respuesta \(Y\) y una variable explicativa \(X\):

\[Y_i=\beta_0+\beta_1X_i+\varepsilon_i.\]

\(Y_i\): ventas del período \(i\).
\(X_i\): inversión publicitaria del período \(i\).
\(\beta_0\): intercepto poblacional; media condicional de \(Y\) cuando \(X=0\), si tal valor tiene sentido en el contexto.
\(\beta_1\): pendiente poblacional; cambio esperado en la media de \(Y\) por una unidad adicional de \(X\).
\(\varepsilon_i\): componente aleatorio no explicado por la recta.

Bajo el supuesto \(E(\varepsilon_i\mid X_i)=0\), la media condicional es:

\[E(Y_i\mid X_i)=\beta_0+\beta_1X_i.\]

La recta estimada utiliza los datos de la muestra:

\[\widehat{Y}_i=b_0+b_1X_i.\]

Es fundamental distinguir \(Y_i\) (valor observado), \(\widehat{Y}_i\) (valor ajustado) y \(e_i=Y_i-\widehat{Y}_i\) (residuo). El residuo es observable después de ajustar el modelo; el error poblacional \(\varepsilon_i\) no lo es.

Estimación por mínimos cuadrados ordinarios

El método de mínimos cuadrados ordinarios (MCO) elige \(b_0\) y \(b_1\) para minimizar la suma de cuadrados de los residuos:

\[SCE=\sum_{i=1}^{n}(Y_i-b_0-b_1X_i)^2.\]

Al derivar respecto a ambos coeficientes e igualar a cero, obtenemos las ecuaciones normales. Su solución, si los valores de \(X\) no son todos iguales, es:

\[b_1=\frac{\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline X)(Y_i-\overline Y)}{\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline X)^2},\qquad b_0=\overline Y-b_1\overline X.\]

Interpretación: la pendiente compara cómo se mueven conjuntamente \(X\) e \(Y\) con la dispersión propia de \(X\). La recta estimada pasa por \((\overline X,\overline Y)\) cuando el modelo incluye intercepto.

Cálculo manual y verificación en R

x <- datos$inversion
y <- datos$ventas
x_barra <- mean(x); y_barra <- mean(y)
Sxx <- sum((x-x_barra)^2)
Sxy <- sum((x-x_barra)*(y-y_barra))
b1 <- Sxy/Sxx
b0 <- y_barra-b1*x_barra
modelo <- lm(ventas ~ inversion, data=datos)
kable(data.frame(Parametro=c('Intercepto','Pendiente'),
                 Calculo_manual=c(b0,b1),
                 Funcion_lm=unname(coef(modelo))), digits=4)

Parametro	Calculo_manual	Funcion_lm
Intercepto	35.4558	35.4558
Pendiente	4.1839	4.1839

La función lm() ajusta la misma recta mediante MCO. Explique con sus palabras qué significa la pendiente estimada en millones de pesos de ventas por cada millón adicional invertido. El intercepto no debe interpretarse como pronóstico confiable de ventas sin publicidad si \(X=0\) queda fuera del rango observado.

ggplot(datos, aes(inversion, ventas)) +
  geom_point(color='#176aa0', size=2.8) +
  geom_smooth(method='lm', se=FALSE, color='#c0392b', linewidth=1.1) +
  labs(title='Recta de mínimos cuadrados',
       x='Inversión publicitaria (millones)',
       y='Ventas (millones)') +
  theme_minimal(base_size=13)

¿Qué minimiza exactamente la recta?

datos$ajustado <- fitted(modelo)
datos$residuo <- resid(modelo)
ggplot(datos, aes(inversion, ventas)) +
  geom_segment(aes(xend=inversion, yend=ajustado),
               color='#d35400', linewidth=.8) +
  geom_point(color='#176aa0', size=2.7) +
  geom_line(aes(y=ajustado), color='#b52c36', linewidth=1) +
  labs(title='Distancias verticales entre observaciones y recta',
       subtitle='MCO minimiza la suma de estas distancias elevadas al cuadrado',
       x='Inversión (millones)', y='Ventas (millones)') +
  theme_minimal(base_size=13)

kable(head(transform(datos, residuo_cuadrado=residuo^2)[,
                     c('periodo','ventas','ajustado','residuo','residuo_cuadrado')],8),
      digits=3)

periodo	ventas	ajustado	residuo	residuo_cuadrado
1	54.8	52.191	2.609	6.806
2	60.4	64.743	-4.343	18.860
3	57.0	56.375	0.625	0.391
4	77.8	73.111	4.689	21.991
5	58.2	60.559	-2.359	5.565
6	78.2	81.478	-3.278	10.747
7	72.6	68.927	3.673	13.493
8	80.4	85.662	-5.262	27.690

cat('Suma de cuadrados residual:', round(sum(resid(modelo)^2),3))

## Suma de cuadrados residual: 226.331

Compruebe lo siguiente: en una regresión con intercepto, la suma de los residuos es aproximadamente cero (salvo error numérico). Esto no significa que el modelo sea correcto ni que sus predicciones sean exactas.

Correlación y coeficiente de determinación

La correlación de Pearson mide dirección e intensidad de la asociación lineal:

\[r=\frac{\sum(X_i-\overline X)(Y_i-\overline Y)}{\sqrt{\sum(X_i-\overline X)^2\sum(Y_i-\overline Y)^2}},\quad -1\le r\le1.\]

Un valor cercano a \(1\) indica asociación lineal positiva fuerte; cercano a \(-1\), negativa fuerte; cercano a cero, poca asociación lineal (aunque podría existir una relación no lineal).

La variabilidad total de \(Y\) puede descomponerse, en MCO con intercepto, en:

\[SCT=\sum(Y_i-\overline Y)^2,\quad SCR=\sum(\widehat Y_i-\overline Y)^2,\quad SCE=\sum(Y_i-\widehat Y_i)^2.\]

\[SCT=SCR+SCE,\qquad R^2=\frac{SCR}{SCT}=1-\frac{SCE}{SCT}.\]

En regresión lineal simple con intercepto, \(R^2=r^2\). Esta igualdad no debe generalizarse sin cuidado a modelos sin intercepto o a otras especificaciones.

SCT <- sum((y-mean(y))^2)
SCE <- sum(resid(modelo)^2)
SCR <- SCT-SCE
r <- cor(x,y)
R2 <- summary(modelo)$r.squared
kable(data.frame(Indicador=c('Correlación r','R cuadrado','SCT','SCR','SCE'),
                 Valor=c(r,R2,SCT,SCR,SCE)),digits=4)

Indicador	Valor
Correlación r	0.9902
R cuadrado	0.9805
SCT	11613.1200
SCR	11386.7895
SCE	226.3305

stopifnot(isTRUE(all.equal(R2,r^2,tolerance=1e-10)))

Interpretación correcta: \(R^2\) es la proporción de variabilidad observada de las ventas explicada por la recta ajustada en esta muestra. No es la probabilidad de que el modelo sea verdadero, ni el porcentaje de ventas causado por la publicidad, ni una garantía de precisión futura.

Supuestos del modelo e inferencia

Para interpretar los coeficientes y realizar inferencia clásica debemos examinar:

Linealidad de la media condicional: \(E(Y\mid X)\) se representa adecuadamente mediante una recta.
Exogeneidad o media condicional nula: \(E(\varepsilon\mid X)=0\). No se verifica únicamente mirando gráficos; requiere justificar el diseño y las variables omitidas.
Independencia de errores/observaciones: especialmente importante en datos temporales.
Varianza constante (homocedasticidad): \(Var(\varepsilon_i\mid X_i)=\sigma^2\).
Normalidad condicional de los errores: necesaria para las pruebas t y F exactas en muestras pequeñas bajo el modelo clásico; no para calcular la recta MCO.

Advertencia: una nube de puntos muy alineada no demuestra que estos supuestos se cumplan. En nuestro caso, los datos están ordenados por períodos y por eso conviene revisar dependencia temporal.

Error estándar de la regresión

Con dos parámetros estimados (intercepto y pendiente), los grados de libertad residuales son \(n-2\):

\[s^2=\frac{SCE}{n-2},\qquad s=\sqrt{\frac{SCE}{n-2}}.\]

El error estándar residual expresa la magnitud típica de los residuos en las unidades de \(Y\), aunque no es un límite máximo de error.

s <- summary(modelo)$sigma
cat('Error estándar residual:',round(s,3),'millones de pesos\n')

## Error estándar residual: 3.207 millones de pesos

cat('Grados de libertad:',df.residual(modelo),'\n')

## Grados de libertad: 22

Prueba de significancia de la pendiente

La pregunta inferencial es si la pendiente poblacional es distinta de cero:

\[H_0:\beta_1=0,\qquad H_1:\beta_1\ne0.\]

Para el modelo clásico:

\[EE(b_1)=\frac{s}{\sqrt{S_{xx}}},\qquad t=\frac{b_1-0}{EE(b_1)},\quad gl=n-2.\]

Bajo \(H_0\) y los supuestos correspondientes, el estadístico sigue una distribución t con \(n-2\) grados de libertad. El valor-p mide qué tan extremos serían los resultados observados, o más, si \(H_0\) fuera verdadera; no es la probabilidad de que \(H_0\) sea cierta.

resumen <- summary(modelo)
tabla_coef <- coef(resumen)
kable(tabla_coef,digits=5,caption='Estimaciones, errores estándar, t y valores-p')

Estimaciones, errores estándar, t y valores-p
	Estimate	Std. Error	t value	Pr(>\|t\|)
(Intercept)	35.45580	1.73194	20.47176	0
inversion	4.18386	0.12576	33.26905	0

alpha <- .05
p_pendiente <- tabla_coef['inversion','Pr(>|t|)']
cat('Decisión al 5%:',ifelse(p_pendiente<alpha,
   'Rechazar H0: evidencia de pendiente no nula.',
   'No rechazar H0: evidencia insuficiente.'),'\n')

## Decisión al 5%: Rechazar H0: evidencia de pendiente no nula.

Importante: una pendiente estadísticamente significativa puede ser pequeña o poco relevante económicamente. Tampoco demuestra causalidad.

Intervalo de confianza para la pendiente

\[b_1\pm t_{1-\alpha/2,n-2}\,EE(b_1).\]

confint(modelo, level=.95)

##                 2.5 %    97.5 %
## (Intercept) 31.863986 39.047621
## inversion    3.923052  4.444665

Interprete el intervalo de la pendiente en millones de pesos de ventas por cada millón de inversión, aclarando que el 95% corresponde a la cobertura del procedimiento en muestreos repetidos bajo sus supuestos.

Prueba F global y tabla ANOVA

La prueba F contrasta si el modelo con predictor mejora, en términos de suma de cuadrados, respecto al modelo con solo intercepto. En regresión simple con intercepto, contrasta \(H_0:\beta_1=0\) y cumple \(F=t^2\) para la pendiente.

\[CMR=\frac{SCR}{1},\quad CME=\frac{SCE}{n-2},\quad F=\frac{CMR}{CME}.\]

tabla_anova <- anova(modelo)
kable(tabla_anova,digits=4)

	Df	Sum Sq	Mean Sq	F value	Pr(>F)
inversion	1	11386.7895	11386.7895	1106.83	0
Residuals	22	226.3305	10.2878	NA	NA

cat('F calculada:',unname(summary(modelo)$fstatistic[1]),'\n')

## F calculada: 1106.83

cat('t de pendiente al cuadrado:',unname(tabla_coef['inversion','t value']^2),'\n')

## t de pendiente al cuadrado: 1106.83

La prueba F y la prueba t proporcionan la misma decisión para la pendiente en este caso. Esto deja de ser una equivalencia general cuando se prueban varios coeficientes simultáneamente.

Estimaciones y predicciones

La empresa considera una inversión de 15 millones de pesos. Debemos distinguir dos preguntas:

Media esperada: ¿cuál sería la media de ventas de muchos periodos comparables con inversión 15?
Nueva observación: ¿cuánto podría venderse en un periodo individual con inversión 15?

La predicción puntual es \(\widehat y_0=b_0+b_1x_0\). Para \(x_0=15\):

\[EE(\widehat{E[Y\mid x_0]})=s\sqrt{\frac1n+\frac{(x_0-\overline X)^2}{S_{xx}}}.\]

\[EE(\text{predicción individual})=s\sqrt{1+\frac1n+\frac{(x_0-\overline X)^2}{S_{xx}}}.\]

Ambos intervalos usan el valor crítico \(t_{1-\alpha/2,n-2}\), pero el intervalo de predicción es más ancho porque incorpora la variabilidad de una nueva observación.

nuevo <- data.frame(inversion=15)
IC_media <- predict(modelo,newdata=nuevo,interval='confidence',level=.95)
IP_individual <- predict(modelo,newdata=nuevo,interval='prediction',level=.95)
kable(rbind('IC para media'=IC_media,'IP para observación'=IP_individual),digits=3)

	fit	lwr	upr
1	98.214	96.734	99.693
1	98.214	91.399	105.028

rejilla <- data.frame(inversion=seq(min(x),max(x),length.out=150))
ic <- as.data.frame(predict(modelo,rejilla,interval='confidence'))
ip <- as.data.frame(predict(modelo,rejilla,interval='prediction'))
bandas <- cbind(rejilla, media=ic$fit, ic_inf=ic$lwr, ic_sup=ic$upr,
                ip_inf=ip$lwr, ip_sup=ip$upr)
ggplot() +
  geom_ribbon(data=bandas,aes(inversion,ymin=ip_inf,ymax=ip_sup),
              fill='#bdd7e7',alpha=.5) +
  geom_ribbon(data=bandas,aes(inversion,ymin=ic_inf,ymax=ic_sup),
              fill='#4292c6',alpha=.4) +
  geom_line(data=bandas,aes(inversion,media),color='#b2182b',linewidth=1) +
  geom_point(data=datos,aes(inversion,ventas),color='#184b70',size=2) +
  labs(title='Incertidumbre: media condicional frente a observación futura',
       subtitle='Banda estrecha: IC 95% de la media; banda amplia: IP 95% individual',
       x='Inversión (millones)',y='Ventas (millones)') +
  theme_minimal(base_size=12)

Discusión: ¿por qué las bandas se amplían cuando nos alejamos del promedio de inversión? ¿Sería razonable predecir para 80 millones si los datos observados solo cubren de 4 a 23 millones? Esto último sería extrapolación y requiere cautela especial.

Diagnóstico: ¿podemos confiar en el modelo?

El diagnóstico evalúa si el modelo describe razonablemente los datos y si algunas observaciones influyen desproporcionadamente en el ajuste.

Residuos frente a valores ajustados

Buscamos ausencia de patrones sistemáticos. Una curva sugiere no linealidad; un embudo, varianza no constante.

ggplot(data.frame(ajustado=fitted(modelo),residuo=resid(modelo)),
       aes(ajustado,residuo)) +
  geom_hline(yintercept=0,linetype='dashed',color='#b2182b') +
  geom_point(color='#176aa0',size=2.7) +
  geom_smooth(se=FALSE,method='loess',color='#d35400') +
  labs(title='Residuos frente a valores ajustados',
       x='Ventas ajustadas',y='Residuo') +
  theme_minimal(base_size=13)

Normalidad de residuos: gráfico Q-Q

ggplot(data.frame(residuo=rstandard(modelo)),aes(sample=residuo)) +
  stat_qq(color='#176aa0') + stat_qq_line(color='#b2182b') +
  labs(title='Gráfico Q-Q de residuos estandarizados',
       x='Cuantiles teóricos normales',y='Cuantiles observados') +
  theme_minimal(base_size=13)

Las desviaciones de la línea pueden sugerir colas pesadas o asimetría. Un gráfico Q-Q no prueba por sí solo que los errores sean normales; además, los residuos no son idénticos a los errores poblacionales.

Dependencia temporal

ggplot(datos,aes(periodo,residuo)) +
  geom_hline(yintercept=0,linetype='dashed',color='#b2182b') +
  geom_line(color='#176aa0') + geom_point(color='#176aa0') +
  labs(title='Residuos ordenados por período',x='Período',y='Residuo') +
  theme_minimal(base_size=13)

En datos secuenciales es importante revisar ciclos, tendencias y autocorrelación. No basta con asumir independencia porque se haya usado lm().

Observaciones atípicas e influyentes

Residuo estandarizado grande: una observación presenta una diferencia notable entre valor observado y ajustado.
Apalancamiento (leverage) alto: una observación tiene un valor de \(X\) relativamente alejado del centro de los predictores.
Distancia de Cook: resume cuánto puede cambiar el ajuste al retirar una observación; se utiliza como señal de revisión, no como regla automática de eliminación.

diagnostico <- data.frame(
  periodo=datos$periodo,
  residuo_estandarizado=rstandard(modelo),
  leverage=hatvalues(modelo),
  cook=cooks.distance(modelo))
kable(diagnostico[order(-diagnostico$cook),][1:6,],digits=4,
      caption='Seis observaciones con mayor distancia de Cook')

Seis observaciones con mayor distancia de Cook
	periodo	residuo_estandarizado	leverage	cook
20	20	-1.3755	0.1225	0.1320
2	2	-1.4213	0.0925	0.1029
4	4	1.5106	0.0633	0.0771
1	1	0.8871	0.1594	0.0746
15	15	1.5426	0.0579	0.0731
8	8	-1.6766	0.0425	0.0624

ggplot(diagnostico,aes(periodo,cook)) +
  geom_col(fill='#2677a8') +
  geom_hline(yintercept=4/nrow(datos),linetype='dashed',color='#b2182b') +
  labs(title='Distancia de Cook por período',
       subtitle='Línea punteada: regla exploratoria 4/n (no criterio definitivo)',
       x='Período',y='Distancia de Cook') +
  theme_minimal(base_size=13)

Precaución: no se deben eliminar observaciones solo porque contradigan el modelo. Primero hay que verificar captura, contexto, representatividad y sensibilidad de las conclusiones.

Ejercicio de sensibilidad: cuando un dato cambia la recta

Creamos una copia de los datos e introducimos una venta extraordinariamente alta en un periodo de inversión elevada. Este escenario es artificial y permite observar la influencia de un punto.

datos_alt <- datos
indice <- which.max(datos_alt$inversion)
datos_alt$ventas[indice] <- datos_alt$ventas[indice] + 65
modelo_alt <- lm(ventas~inversion,data=datos_alt)
comparacion <- data.frame(
  Modelo=c('Original','Con observación extrema'),
  Intercepto=c(coef(modelo)[1],coef(modelo_alt)[1]),
  Pendiente=c(coef(modelo)[2],coef(modelo_alt)[2]),
  R2=c(summary(modelo)$r.squared,summary(modelo_alt)$r.squared))
kable(comparacion,digits=3)

Modelo	Intercepto	Pendiente	R2
Original	35.456	4.184	0.981
Con observación extrema	25.105	5.208	0.821

ggplot() +
  geom_point(data=datos,aes(inversion,ventas),color='#176aa0',size=2.4) +
  geom_point(data=datos_alt[indice,,drop=FALSE],
             aes(inversion,ventas),color='#c0392b',size=4) +
  geom_abline(intercept=coef(modelo)[1],slope=coef(modelo)[2],
              color='#176aa0',linewidth=1) +
  geom_abline(intercept=coef(modelo_alt)[1],slope=coef(modelo_alt)[2],
              color='#c0392b',linetype='dashed',linewidth=1) +
  labs(title='Sensibilidad del ajuste a una observación extrema',
       subtitle='Azul: modelo original; rojo punteado: modelo modificado',
       x='Inversión (millones)',y='Ventas (millones)') +
  theme_minimal(base_size=13)

Reflexión: ¿cuánto cambia la pendiente? ¿Qué decisión empresarial podría cambiar si no se revisara este dato? ¿Sería justificable eliminarlo sin investigar su origen?

De la estadística a una decisión empresarial

Supongamos que la dirección propone aumentar la inversión de 12 a 15 millones. Según la recta, la diferencia en ventas medias estimadas es:

\[\widehat{\Delta Y}=b_1(15-12).\]

ventas_12 <- predict(modelo,newdata=data.frame(inversion=12))
ventas_15 <- predict(modelo,newdata=data.frame(inversion=15))
cat('Ventas medias estimadas con inversión 12:',round(ventas_12,2),'millones\n')

## Ventas medias estimadas con inversión 12: 85.66 millones

cat('Ventas medias estimadas con inversión 15:',round(ventas_15,2),'millones\n')

## Ventas medias estimadas con inversión 15: 98.21 millones

cat('Diferencia estimada:',round(ventas_15-ventas_12,2),'millones\n')

## Diferencia estimada: 12.55 millones

No confundir: una diferencia de ventas no equivale a utilidad. Para recomendar la inversión se requieren, al menos, margen de contribución, costos, capacidad operativa, horizonte temporal y evidencia que permita atribuir el cambio a la inversión. La regresión observacional presentada es una herramienta descriptiva y predictiva, no una evaluación causal.

Errores frecuentes que debemos evitar

Interpretar \(R^2\) como porcentaje de causalidad.
Confundir correlación fuerte con relación causal.
Afirmar que un valor-p pequeño demuestra que el modelo es verdadero.
Usar un intervalo de confianza de la media como intervalo de predicción individual.
Pronosticar muy lejos del rango observado sin advertir la extrapolación.
Ignorar valores atípicos, patrones residuales o dependencia temporal.
Reportar coeficientes sin sus unidades y sin interpretar su importancia práctica.
Considerar el intercepto como un hecho económico cuando \(X=0\) no está observado.

Ejercicios de práctica: decisiones empresariales con regresión

Estos cuatro ejercicios cortos permiten comprobar lo aprendido sin convertir la práctica en otro proyecto. Se utiliza la base mtcars, incluida en R. Los datos son históricos y se usan exclusivamente con fines pedagógicos.

Contexto: una empresa de transporte desea comprender cómo se relaciona el peso de un vehículo con su rendimiento de combustible. En mtcars, wt mide el peso en miles de libras y mpg mide el rendimiento en millas por galón. No se requiere buscar datos, calcular costos ni redactar un informe ejecutivo.

flota <- data.frame(peso = mtcars$wt, rendimiento = mtcars$mpg)
modelo_flota <- lm(rendimiento ~ peso, data = flota)

Ejercicio 1. ¿Qué muestran los datos?

La gerencia quiere saber si los vehículos más pesados tienden a rendir más o menos combustible.

Construya un diagrama de dispersión de peso frente a rendimiento.
Describa en dos o tres frases si la relación parece positiva, negativa o inexistente.

plot(flota$peso, flota$rendimiento,
     xlab = "Peso (miles de libras)",
     ylab = "Rendimiento (millas por galón)",
     pch = 19, col = "steelblue")

Ejercicio 2. ¿Cómo interpretar el modelo?

El equipo de análisis ajustó una regresión lineal para explicar el rendimiento a partir del peso.

Ejecute el código e identifique el intercepto y la pendiente.
Explique en una o dos frases qué significa el signo de la pendiente para la empresa, incluyendo las unidades.

summary(modelo_flota)
coef(modelo_flota)

Ejercicio 3. ¿Qué tan útil es la relación?

Antes de utilizar el modelo, la gerencia pregunta si existe evidencia estadística de una relación lineal.

Identifique el valor de \(R^2\) y explique qué representa.
Observe el valor-p asociado a la pendiente. Con \(\alpha=0,05\), ¿rechazaría la hipótesis de pendiente igual a cero? Justifique en dos frases.

summary(modelo_flota)$r.squared
summary(modelo_flota)$coefficients

Ejercicio 4. Una predicción con cautela

La empresa estudia un vehículo cuyo peso es de 3.000 libras (peso = 3 en esta base).

Calcule el rendimiento esperado con predict().
Explique en dos frases por qué esta predicción no garantiza el rendimiento exacto de un vehículo real.

vehiculo <- data.frame(peso = 3)
predict(modelo_flota, newdata = vehiculo)

Indicaciones para la actividad en Moodle

Resuelva los cuatro ejercicios con ayuda del material de clase. No se solicita informe, presentación, búsqueda de bases de datos ni trabajo adicional de investigación. Para cada ejercicio basta con ejecutar el código indicado y responder brevemente las preguntas de interpretación. Esta actividad sirve para reforzar los conceptos mientras se desarrolla el proyecto principal del curso.

Síntesis de la unidad

Un modelo de regresión lineal simple no es solo una ecuación: es una cadena de decisiones analíticas. Primero formulamos una pregunta, después examinamos la relación entre variables, estimamos una recta, cuantificamos incertidumbre, revisamos los supuestos y finalmente comunicamos conclusiones con límites explícitos.

Idea central: el valor de la regresión no está en dibujar la mejor línea, sino en saber qué podemos afirmar con ella y qué todavía no.

Referencia bibliográfica

Anderson, D. R., Sweeney, D. J., & Williams, T. A. (2008). Estadística para administración y economía (10.ª ed.). Cengage Learning. Capítulo 14: Regresión lineal simple.

Regresión lineal simple: de los datos a las decisiones

Estadística Inferencial