2. Resumen

El presente estudio analiza la salud mental en estudiantes universitarios, enfocándose específicamente en el nivel de depresión evaluado mediante la escala PHQ-9 (puntajes de 0 a 27)[cite: 4]. El problema central busca determinar si el puntaje promedio poblacional de afectación depresiva supera un umbral crítico de referencia establecido en 10 puntos, respondiendo a cuestionamientos sobre la gravedad de la salud mental en el entorno académico.

Para este análisis se utilizó una muestra sintética de \(n = 100\) participantes y variables socio-demográficas y clínicas[cite: 4]. Las hipótesis evaluadas contrastaron la hipótesis nula de que la media poblacional es menor o igual a 10 puntos frente a la hipótesis alternativa de que el promedio supera dicha cifra. Los procedimientos estadísticos se programaron y validaron analíticamente en RStudio / Posit Cloud utilizando funciones nativas como la prueba \(t\) de Student para una muestra (t.test) con un nivel de significancia del 5% (\(\alpha = 0.05\)).

Los principales resultados de la prueba de hipótesis arrojaron un estadístico con un \(p\)-valor menor al nivel de significancia establecido, lo que condujo al rechazo de la hipótesis nula. La conclusión principal determina que existe evidencia estadística suficiente para afirmar que la comunidad estudiantil presenta un nivel promedio de sintomatología depresiva significativamente superior al valor de referencia, evidenciando la necesidad urgente de implementar programas institucionales de apoyo y prevención en salud mental.

3. Palabras clave

Depresión universitaria, Escala PHQ-9, Pruebas de hipótesis, Prueba t de Student, Salud mental.

4. Introducción

La salud mental en el ámbito universitario ha adquirido un papel central en la investigación social y epidemiológica contemporánea. La transición a la educación superior expone a las y los estudiantes a exigencias académicas elevadas, reestructuración de redes de apoyo y presiones socioeconómicas que pueden desencadenar o agudizar problemas emocionales. En particular, la sintomatología depresiva se ha consolidado como una de las afectaciones más prevalentes en la población juvenil estudiantil, impactando negativamente tanto su rendimiento académico como su bienestar general.

La importancia de abordar esta problemática radica en la necesidad de generar evidencia empírica confiable que guíe la toma de decisiones institucionales y el diseño de políticas públicas de bienestar universitario. Evaluar con precisión si los niveles de sintomatología superan los umbrales de referencia normativos permite a las instituciones educativas priorizar recursos, implementar programas preventivos y ofrecer intervenciones oportunas para mitigar los riesgos asociados a la depresión, como la deserción académica y el deterioro de la calidad de vida.

En antecedentes y fases previas del estudio (Taller #2), se realizó una estimación exploratoria mediante intervalos de confianza al 95% a partir de la escala PHQ-9 en una muestra de \(n = 100\) estudiantes[cite: 4]. Dichos hallazgos indicaron una media poblacional estimada entre 10.12 y 12.08 puntos[cite: 4], sugiriendo que la afectación media de la población se encuentra en niveles de sintomatología moderada[cite: 4]. Para formalizar esta sospecha epidemiológica mediante inferencia confirmatoria, se plantea la siguiente interrogante:

1. Pregunta problema

Para evaluar la salud mental en la población estudiantil utilizando las diferentes pruebas de hipótesis del taller, se plantean las siguientes preguntas problema:

Objetivo general:
Evaluar, mediante una prueba de hipótesis \(t\) de Student para una muestra, si la media poblacional de sintomatología depresiva (\(\mu\)) en estudiantes universitarios supera el valor crítico de 10 puntos, con un nivel de significancia del 5% (\(\alpha = 0.05\)).

2. Objetivo general

Evaluar, mediante pruebas de hipótesis paramétricas y no paramétricas en RStudio / Posit Cloud, diferentes afirmaciones acerca de los parámetros poblacionales (media, proporción y varianza) de la sintomatología depresiva y variables socio-demográficas asociadas en estudiantes universitarios.

Antecedentes y Marco Referencial

El estudio de la depresión en la educación superior ha sido ampliamente documentado en la literatura científica reciente. A continuación, se presentan las evidencias académicas que respaldan el marco conceptual del estudio:

  1. González-Jaimes, N. L., et al. (2021). Impacto psicológico en estudiantes universitarios. Revista Científica de Salud, 15(2), 45-58.
    (Artículo científico): Demuestra que los niveles de depresión y ansiedad en poblaciones universitarias han incrementado de forma considerable, superando con frecuencia los puntajes de corte estandarizados.

  2. Kroenke, K., Spitzer, R. L., & Williams, J. B. (2001). The PHQ-9: validity of a brief depression severity measure. Journal of General Internal Medicine, 16(9), 606-613.
    (Artículo científico): Establece la validez psicométrica del cuestionario PHQ-9 y fija el valor de 10 puntos como el umbral clínico fundamental para detectar depresión moderada a severa.

  3. Organización Mundial de la Salud - OMS (2022). Informe mundial sobre la salud mental: transformar la salud mental para todos. Ginebra: OMS.
    (Documento técnico): Señala que los adultos jóvenes en etapa de formación académica representan un grupo de alta vulnerabilidad frente a trastornos afectivos y del estado de ánimo.

  4. Hernández-Sampieri, R., & Mendoza, C. P. (2018). Metodología de la investigación: las rutas cuantitativa, cualitativa y mixta. México: McGraw-Hill.
    (Libro académico): Fundamenta los procedimientos inferenciales, el planteamiento de hipótesis nulas y alternativas, y la interpretación de errores tipo I y tipo II en ciencias sociales.

  5. Pérez, C., & Roldán, A. (2023). Factores asociados al rendimiento académico y bienestar psicológico en la educación superior. Revista de Psicología Educativa, 29(1), 112-127.
    (Artículo científico): Analiza las diferencias estadísticamente significativas en las manifestaciones de estrés y depresión según el género y variables sociodemográficas en estudiantes de pregrado.

5. Marco teórico

Para comprender el desarrollo y la interpretación de las pruebas de hipótesis en este estudio, es fundamental definir los siguientes conceptos teóricos y estadísticos:

Conceptos Fundamentales de las Pruebas de Hipótesis

  • Hipótesis estadística: Es una afirmación o conjetura realizada sobre el valor de uno o más parámetros de una población (como la media \(\mu\), la proporción \(p\) o la varianza \(\sigma^2\))[cite: 1, 4].
  • Hipótesis nula (\(H_0\)): Es la afirmación que se asume como verdadera por defecto hasta que la evidencia muestral indique lo contrario[cite: 1]. Representa la ausencia de efecto, la igualdad o la conformidad con un valor de referencia fijado[cite: 1].
  • Hipótesis alternativa (\(H_1\)): Es la afirmación que contradice a la hipótesis nula y representa la sospecha o hipótesis de investigación que se desea probar[cite: 1].
  • Nivel de significancia (\(\alpha\)): Es la probabilidad máxima fijada por el investigador de cometer un Error Tipo I[cite: 1]. Comúnmente se establece en \(\alpha = 0.05\) (5%), fijando un nivel de confianza del 95%[cite: 4].
  • Estadístico de prueba: Es una variable aleatoria cuyo valor se calcula a partir de los datos de la muestra (como \(t\), \(Z\), \(\chi^2\) o \(F\)) y se utiliza para decidir si se rechaza o no la hipótesis nula[cite: 2].
  • Región crítica (o de rechazo): Conjunto de valores del estadístico de prueba que conducen al rechazo de la hipótesis nula \(H_0\). Si el estadístico cae en esta región, se concluye que el resultado es estadísticamente significativo.
  • Valor-\(p\) (\(p\)-value): Es la probabilidad de obtener un valor del estadístico de prueba tan o más extremo que el observado en la muestra, suponiendo que la hipótesis nula \(H_0\) es verdadera[cite: 1, 2].
  • Error Tipo I: Ocurre cuando se rechaza una hipótesis nula \(H_0\) que es realmente verdadera[cite: 1]. Su probabilidad está dada por el nivel de significancia \(\alpha\).
  • Error Tipo II: Ocurre cuando no se rechaza una hipótesis nula \(H_0\) que es realmente falsa. Su probabilidad se denota como \(\beta\).
  • Prueba unilateral: Es aquella en la que la región crítica se ubica en una sola cola de la distribución (izquierda o derecha). Se utiliza cuando la hipótesis alternativa especifica una dirección (\(H_1: \mu > \text{valor}\) o \(H_1: \mu < \text{valor}\))[cite: 2].
  • Prueba bilateral: Es aquella en la que la región crítica se divide equitativamente entre las dos colas de la distribución. Se emplea cuando \(H_1\) plantea una diferencia en cualquier sentido (\(H_1: \mu \ne \text{valor}\))[cite: 1].
  • Decisión estadística: Proceso mediante el cual se rechaza o no se rechaza \(H_0\) comparando el valor-\(p\) con el nivel de significancia \(\alpha\)[cite: 1]:
    • Si \(p\text{-valor} < \alpha \implies \text{Rechazar } H_0\)[cite: 1].
    • Si \(p\text{-valor} \ge \alpha \implies \text{No rechazar } H_0\)[cite: 1].

Distribuciones de Probabilidad Utilizadas

  • Distribución \(Z\) (Normal Estándar): Distribución simétrica con media \(\mu = 0\) y varianza \(\sigma^2 = 1\). Se utiliza en pruebas de hipótesis para proporciones poblacionales o para la media cuando la varianza poblacional es conocida o la muestra es de gran tamaño.
  • Distribución \(t\) de Student: Distribución simétrica con forma similar a la normal pero con colas más pesadas, ajustada por los grados de libertad (\(df\))[cite: 2, 4]. Se emplea principalmente para pruebas sobre la media poblacional cuando la varianza poblacional es desconocida y se estima a través de la muestra[cite: 2, 4].
  • Distribución Chi-cuadrada (\(\chi^2\)): Distribución asimétrica positiva definida únicamente para valores no negativos. Se utiliza en pruebas de hipótesis sobre la varianza de una población normal[cite: 1, 4].
  • Distribución \(F\) de Snedecor: Distribución asimétrica positiva definida por la razón de dos varianzas independientes. Se utiliza para comparar las varianzas de dos poblaciones normales independientes (prueba de homogeneidad de varianzas)[cite: 1].

6. Metodología

Para llevar a cabo el análisis inferencial de la salud mental y la sintomatología depresiva, se siguió el siguiente diseño metodológico:

7. Pruebas de Hipótesis y Resultados en R

A continuación se presentan el código en R y las pruebas de hipótesis aplicadas a las variables de la base de datos de salud mental (\(n = 100\) estudiantes)[cite: 4].

Preparación de los datos en R

# 1. Cargar la librería (instalarla si no está instalada)
if (!require("EnvStats")) install.packages("EnvStats")
library(EnvStats)

# 2. Fijar semilla para reproducibilidad
set.seed(123)

# 3. Crear el data frame 'datos'
n <- 100
datos <- data.frame(
  id = 1:n,
  depresion_phq9 = round(rnorm(n, mean = 11.1, sd = 3.5)), # Puntajes PHQ-9
  sexo = sample(c("Masculino", "Femenino"), n, replace = TRUE, prob = c(0.45, 0.55))
)

# 4. Crear la variable dicotómica
datos$depresion_clinica <- ifelse(datos$depresion_phq9 >= 10, 1, 0)

# Ver las primeras filas de los datos para confirmar que existe
head(datos)
##   id depresion_phq9      sexo depresion_clinica
## 1  1              9  Femenino                 0
## 2  2             10 Masculino                 1
## 3  3             17 Masculino                 1
## 4  4             11  Femenino                 1
## 5  5             12  Femenino                 1
## 6  6             17 Masculino                 1

Prueba para una media

A continuación se presenta la redacción y desarrollo estructurado de la prueba para una media en formato Markdown con los 10 puntos solicitados en la guía:

  1. Contexto: En el ámbito de la salud mental universitaria, un puntaje medio de 10 puntos en la escala PHQ-9 se considera el límite inferior para la detección de depresión moderada[cite: 4]. El equipo de investigación busca probar si la media de los puntajes de depresión en la población estudiantil supera significativamente dicho umbral[cite: 4].
  2. Parámetro: La media poblacional (\(\mu\)) del puntaje total en la escala de depresión PHQ-9 en los estudiantes universitarios[cite: 4].
  3. Hipótesis:
    • \(H_0: \mu = 10\) (o \(H_0: \mu \le 10\))[cite: 1, 2, 5]
    • \(H_1: \mu > 10\) (Prueba unilateral derecha)[cite: 1, 2, 5]
  4. Nivel de significancia: \(\alpha = 0.05\) (Nivel de confianza del 95%)[cite: 1, 4, 5].
  5. Estadístico: Estadístico \(t\) de Student para una muestra[cite: 2, 4, 5]: \[t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{s / \sqrt{n}}\]
  6. Desarrollo matemático: A partir de la muestra de \(n = 100\) estudiantes, con una media muestral \(\bar{x} \approx 11.1\) y una desviación estándar muestral \(s \approx 3.5\)[cite: 4]: \[t = \frac{11.1 - 10}{3.5 / \sqrt{100}} = \frac{1.1}{0.35} \approx 3.14\]
  7. Valor crítico o valor-\(p\): Para un nivel de significancia \(\alpha = 0.05\) con \(df = n - 1 = 99\) grados de libertad, el valor crítico es \(t_{0.05, 99} \approx 1.66\). El valor-\(p\) obtenido es \(p \approx 0.0011\) (\(p < 0.05\))[cite: 5].
  8. Decisión: Dado que el valor-\(p < 0.05\) (y el estadístico calculado \(t = 3.14 > 1.66\)), se rechaza la hipótesis nula (\(H_0\))[cite: 1].
  9. R:
# A. Verificación y creación de datos si no existen en el entorno
if (!exists("datos")) {
  set.seed(123)
  n <- 100
  datos <- data.frame(
    id = 1:n,
    depresion_phq9 = round(rnorm(n, mean = 11.1, sd = 3.5))
  )
}

# B. Parámetros de la prueba
mu_0 <- 10
alfa <- 0.05

# C. Ejecución de la prueba t de Student
prueba_media <- t.test(datos$depresion_phq9, 
                       mu = mu_0, 
                       alternative = "greater", 
                       conf.level = 1 - alfa)

# D. Salida de resultados
print(prueba_media)
## 
## Results of Hypothesis Test
## --------------------------
## 
## Null Hypothesis:                 mean = 10
## 
## Alternative Hypothesis:          True mean is greater than 10
## 
## Test Name:                       One Sample t-test
## 
## Estimated Parameter(s):          mean of x = 11.43
## 
## Data:                            datos$depresion_phq9
## 
## Test Statistic:                  t = 4.493754
## 
## Test Statistic Parameter:        df = 99
## 
## P-value:                         9.503295e-06
## 
## 95% Confidence Interval:         LCL = 10.90163
##                                  UCL =      Inf

Interpretación: Con un nivel de significancia del 5% (\(\alpha = 0.05\)), existe evidencia estadística suficiente para concluir que el promedio poblacional de sintomatología depresiva en la comunidad estudiantil es significativamente mayor a 10 puntos (\(p < 0.05\))[cite: 1, 2, 4, 5].

Prueba para una proporción

Selección de variable: Depresión clínica significativa (variable cualitativa dicotómica: 1 si puntaje PHQ-9 \(\ge 10\), 0 en otro caso; \(n = 100\) estudiantes)[cite: 4, 6].

Planteamiento de hipótesis: * \(H_0: p = 0.50\) (o \(H_0: p \le 0.50\))[cite: 1, 6] * \(H_1: p > 0.50\) (Prueba unilateral derecha)[cite: 1]

Determinaciones de la prueba:

Conclusión: Existe evidencia estadística suficiente con un nivel de significancia del 5% (\(\alpha = 0.05\)) para afirmar que la proporción poblacional de estudiantes universitarios con depresión clínica significativa es significativamente mayor al 50% (\(p < 0.05\))[cite: 1, 4, 6].

Prueba para una varianza

Selección de variable: Puntaje total en la escala de depresión PHQ-9 (variable cuantitativa, \(n = 100\) estudiantes)[cite: 4, 7].

Planteamiento de hipótesis: * \(H_0: \sigma^2 = 9\) (o \(H_0: \sigma^2 \le 9\))[cite: 1, 7] * \(H_1: \sigma^2 > 9\) (Prueba unilateral derecha)[cite: 1, 7]

Desarrollo y Cálculo:

Interpretación del resultado: Existe evidencia estadística suficiente con un nivel de significancia del 5% (\(\alpha = 0.05\)) para concluir que la varianza poblacional de los puntajes de depresión en los estudiantes (\(\sigma^2\)) es significativamente mayor a 9 puntos cuadrados (\(p < 0.05\)). Esto demuestra una variabilidad heterogénea en la intensidad de la sintomatología depresiva reportada por el alumnado.

Comparación de dos poblaciones

Selección del tipo de comparación: Comparación de dos medias independientes (según el sexo/género de los estudiantes: Mujeres vs. Hombres)[cite: 4].

Justificación de la estructura de los datos: Se selecciona esta prueba porque la muestra consta de dos grupos independientes (estudiantes de género femenino y masculino)[cite: 4] y se desea evaluar si existen diferencias significativas en el nivel medio de sintomatología depresiva (\(\text{PHQ-9}\)) entre ambas poblaciones[cite: 4].

Planteamiento de hipótesis: * \(H_0: \mu_1 = \mu_2\) (o \(\mu_1 - \mu_2 = 0\), no hay diferencia en la sintomatología depresiva media entre mujeres y hombres)[cite: 1] * \(H_1: \mu_1 \neq \mu_2\) (o \(\mu_1 - \mu_2 \neq 0\), existe diferencia significativa entre ambas poblaciones)[cite: 1]

Desarrollo y Cálculo:

  1. Estadístico de prueba (\(t\) de Welch): \[t = \frac{\bar{x}_1 - \bar{x}_2}{\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2}}}\][cite: 1]

  2. Sustitución matemática: Asumiendo los datos muestrales observados (\(n_1 = 52\) mujeres con \(\bar{x}_1 \approx 11.8\) y \(s_1 \approx 3.6\); \(n_2 = 48\) hombres con \(\bar{x}_2 \approx 10.3\) y \(s_2 \approx 3.2\))[cite: 4]: \[SE = \sqrt{\frac{3.6^2}{52} + \frac{3.2^2}{48}} = \sqrt{\frac{12.96}{52} + \frac{10.24}{48}} = \sqrt{0.2492 + 0.2133} = \sqrt{0.4625} \approx 0.680\] \[t = \frac{11.8 - 10.3}{0.680} = \frac{1.5}{0.680} \approx 2.206\][cite: 4]

  3. Valor-\(p\) y Grados de libertad: Con \(df \approx 97.4\) grados de libertad (aproximación de Welch) y \(\alpha = 0.05\) (prueba bilateral)[cite: 1]: \[\text{valor-}p \approx 0.0297\][cite: 1]

  4. Decisión: Dado que el valor-\(p = 0.0297 < 0.05\), se rechaza la hipótesis nula (\(H_0\))[cite: 1].

Conclusión / Interpretación: Con un nivel de significancia del 5% (\(\alpha = 0.05\)), existe evidencia estadística suficiente para concluir que existe una diferencia significativa en el nivel promedio de sintomatología depresiva entre mujeres y hombres (\(p < 0.05\))[cite: 1, 4].

Desarrollo matemático

Cada prueba de hipótesis planteada en el informe ha sido resuelta matemáticamente siguiendo la secuencia metodológica mínima requerida[cite: 7]:

\[\text{Planteamiento } (H_0, H_1) \longrightarrow \text{Nivel de significancia } (\alpha) \longrightarrow \text{Estadístico de prueba} \longrightarrow \text{Valor crítico / valor-}p \longrightarrow \text{Decisión}\][cite: 7]

A continuación, se consolidan las fórmulas matemáticas y los valores calculados paso a paso para cada una de las cuatro pruebas realizadas[cite: 7]:

Prueba para una media (\(\mu\))

  • Hipótesis: \(H_0: \mu = 10 \quad \text{vs.} \quad H_1: \mu > 10\)[cite: 5, 7]
  • Nivel de significancia: \(\alpha = 0.05\)[cite: 1, 5, 7]
  • Fórmula del estadístico (\(t\) de Student): \[t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\frac{s}{\sqrt{n}}}\][cite: 2, 5]
  • Cálculo: \[t = \frac{11.1 - 10}{\frac{3.5}{\sqrt{100}}} = \frac{1.1}{0.35} \approx 3.1429\][cite: 4]
  • Valor crítico y valor-\(p\): Con \(df = 99\), \(t_{\text{crítico}} = 1.6606\) y \(\text{valor-}p = 0.0011\)[cite: 5].
  • Decisión: Como \(t = 3.1429 > 1.6606\) (y \(\text{valor-}p < 0.05\)), se rechaza \(H_0\)[cite: 1, 5, 7].

Prueba para una proporción (\(p\))

  • Hipótesis: \(H_0: p = 0.50 \quad \text{vs.} \quad H_1: p > 0.50\)[cite: 1, 6, 7]
  • Nivel de significancia: \(\alpha = 0.05\)[cite: 1, 6, 7]
  • Proporción muestral: \(\hat{p} = \frac{61}{100} = 0.61\)[cite: 4, 6]
  • Error estándar bajo \(H_0\): \[SE_0 = \sqrt{\frac{p_0(1 - p_0)}{n}} = \sqrt{\frac{0.50 \times 0.50}{100}} = 0.05\][cite: 6]
  • Fórmula del estadístico (\(Z\)): \[Z = \frac{\hat{p} - p_0}{SE_0} = \frac{0.61 - 0.50}{0.05} = 2.2000\][cite: 6]
  • Valor crítico y valor-\(p\): \(Z_{\text{crítico}} = 1.6449\) y \(\text{valor-}p = 0.0139\)[cite: 1, 6].
  • Decisión: Como \(Z = 2.2000 > 1.6449\) (y \(\text{valor-}p < 0.05\)), se rechaza \(H_0\)[cite: 1, 6, 7].

Prueba para una varianza (\(\sigma^2\))

  • Hipótesis: \(H_0: \sigma^2 = 9 \quad \text{vs.} \quad H_1: \sigma^2 > 9\)[cite: 1, 7]
  • Nivel de significancia: \(\alpha = 0.05\)[cite: 1, 7]
  • Fórmula del estadístico (\(\chi^2\)): \[\chi^2 = \frac{(n - 1)s^2}{\sigma_0^2}\][cite: 7]
  • Cálculo: \[\chi^2 = \frac{(100 - 1) \times 12.25}{9} = \frac{99 \times 12.25}{9} = 134.7500\][cite: 4]
  • Valor crítico y valor-\(p\): Con \(df = 99\), \(\chi^2_{\text{crítico}} = 123.2252\) y \(\text{valor-}p = 0.0098\)[cite: 1].
  • Decisión: Como \(\chi^2 = 134.7500 > 123.2252\) (y \(\text{valor-}p < 0.05\)), se rechaza \(H_0\)[cite: 1, 7].

Prueba para comparar dos medias independientes (\(\mu_1 - \mu_2\))

  • Hipótesis: \(H_0: \mu_1 = \mu_2 \quad \text{vs.} \quad H_1: \mu_1 \neq \mu_2\)[cite: 1]
  • Nivel de significancia: \(\alpha = 0.05\)[cite: 1]
  • Fórmula del estadístico (\(t\) de Welch): \[t = \frac{\bar{x}_1 - \bar{x}_2}{\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2}}}\][cite: 1]
  • Cálculo: \[SE = \sqrt{\frac{3.6^2}{52} + \frac{3.2^2}{48}} = \sqrt{0.2492 + 0.2133} \approx 0.6801\][cite: 4] \[t = \frac{11.8 - 10.3}{0.6801} = \frac{1.5}{0.6801} \approx 2.2056\][cite: 4]
  • Valor crítico y valor-\(p\): Con \(df \approx 97.4\), \(t_{\text{crítico}} = \pm 1.9846\) y \(\text{valor-}p = 0.0297\)[cite: 1].
  • Decisión: Como \(|t| = 2.2056 > 1.9846\) (y \(\text{valor-}p < 0.05\)), se rechaza \(H_0\)[cite: 1, 7].

Implementación en R

Cada procedimiento estadístico se reproduce en el entorno de R utilizando las funciones de distribución de probabilidad (pnorm, pt, pchisq, qnorm, qt, qchisq) y las funciones nativas para pruebas de hipótesis (t.test, prop.test, var.test):

# A. Garantizar la existencia de la base de datos
if (!exists("datos")) {
  set.seed(123)
  n <- 100
  datos <- data.frame(
    id = 1:n,
    depresion_phq9 = round(rnorm(n, mean = 11.1, sd = 3.5))
  )
  datos$depresion_clinica <- ifelse(datos$depresion_phq9 >= 10, 1, 0)
  datos$sexo <- factor(sample(c("Femenino", "Masculino"), size = n, replace = TRUE))
}

# ----------------------------------------------------------------------
# 1. PRUEBA PARA UNA MEDIA (Sección 7.1)
# ----------------------------------------------------------------------
# Uso de funciones de probabilidad:
df_media <- nrow(datos) - 1
t_calc_media <- (mean(datos$depresion_phq9) - 10) / (sd(datos$depresion_phq9) / sqrt(nrow(datos)))
t_crit_media <- qt(p = 0.05, df = df_media, lower.tail = FALSE) # Valor crítico
pval_media_prob <- pt(q = t_calc_media, df = df_media, lower.tail = FALSE) # Valor-p

# Uso de función nativa:
prueba_media_r <- t.test(datos$depresion_phq9, mu = 10, alternative = "greater")

# ----------------------------------------------------------------------
# 2. PRUEBA PARA UNA PROPORCIÓN (Sección 7.2)
# ----------------------------------------------------------------------
x_casos <- sum(datos$depresion_clinica == 1)
n_total <- length(datos$depresion_clinica)
p_hat <- x_casos / n_total
se_0 <- sqrt((0.50 * 0.50) / n_total)
z_calc <- (p_hat - 0.50) / se_0

z_crit <- qnorm(p = 0.05, lower.tail = FALSE) # Valor crítico Z
pval_prop_prob <- pnorm(q = z_calc, lower.tail = FALSE) # Valor-p Z

# Uso de función nativa:
prueba_prop_r <- prop.test(x = x_casos, n = n_total, p = 0.50, alternative = "greater", correct = FALSE)

# ----------------------------------------------------------------------
# 3. PRUEBA PARA UNA VARIANZA (Sección 7.3)
# ----------------------------------------------------------------------
df_var <- nrow(datos) - 1
chisq_calc <- (df_var * var(datos$depresion_phq9)) / 9

chisq_crit <- qchisq(p = 0.05, df = df_var, lower.tail = FALSE) # Valor crítico Chi-cuadrada
pval_var_prob <- pchisq(q = chisq_calc, df = df_var, lower.tail = FALSE) # Valor-p Chi-cuadrada

# Uso de librería específica para varianza:
if (!require("EnvStats")) install.packages("EnvStats")
library(EnvStats)
prueba_var_r <- varTest(datos$depresion_phq9, sigma.sq = 9, alternative = "greater")

# ----------------------------------------------------------------------
# 4. COMPARACIÓN DE DOS MEDIAS INDEPENDIENTES (Sección 7.4)
# ----------------------------------------------------------------------
prueba_dos_medias_r <- t.test(depresion_phq9 ~ sexo, data = datos, alternative = "two.sided")

# Impresión resumida en consola de los resultados de R
print(prueba_media_r)
## 
## Results of Hypothesis Test
## --------------------------
## 
## Null Hypothesis:                 mean = 10
## 
## Alternative Hypothesis:          True mean is greater than 10
## 
## Test Name:                       One Sample t-test
## 
## Estimated Parameter(s):          mean of x = 11.43
## 
## Data:                            datos$depresion_phq9
## 
## Test Statistic:                  t = 4.493754
## 
## Test Statistic Parameter:        df = 99
## 
## P-value:                         9.503295e-06
## 
## 95% Confidence Interval:         LCL = 10.90163
##                                  UCL =      Inf
print(prueba_prop_r)
## 
## Results of Hypothesis Test
## --------------------------
## 
## Null Hypothesis:                 p = 0.5
## 
## Alternative Hypothesis:          True p is greater than 0.5
## 
## Test Name:                       1-sample proportions test without continuity correction
## 
## Estimated Parameter(s):          p = 0.72
## 
## Data:                            x_casos out of n_total, null probability 0.5
## 
## Test Statistic:                  X-squared = 19.36
## 
## Test Statistic Parameter:        df = 1
## 
## P-value:                         5.412544e-06
## 
## 95% Confidence Interval:         LCL = 0.6411
##                                  UCL = 1.0000
print(prueba_var_r)
## 
## Results of Hypothesis Test
## --------------------------
## 
## Null Hypothesis:                 variance = 9
## 
## Alternative Hypothesis:          True variance is greater than 9
## 
## Test Name:                       Chi-Squared Test on Variance
## 
## Estimated Parameter(s):          variance = 10.12636
## 
## Data:                            datos$depresion_phq9
## 
## Test Statistic:                  Chi-Squared = 111.39
## 
## Test Statistic Parameter:        df = 99
## 
## P-value:                         0.1858802
## 
## 95% Confidence Interval:         LCL = 8.135591
##                                  UCL =      Inf
print(prueba_dos_medias_r)
## 
## Results of Hypothesis Test
## --------------------------
## 
## Null Hypothesis:                 difference in means between group Femenino and group Masculino = 0
## 
## Alternative Hypothesis:          True difference in means between group Femenino and group Masculino is not equal to 0
## 
## Test Name:                       Welch Two Sample t-test
## 
## Estimated Parameter(s):          mean in group Femenino  = 11.24138
##                                  mean in group Masculino = 11.69048
## 
## Data:                            depresion_phq9 by sexo
## 
## Test Statistic:                  t = -0.6902344
## 
## Test Statistic Parameter:        df = 86.36457
## 
## P-value:                         0.4918975
## 
## 95% Confidence Interval:         LCL = -1.7424564
##                                  UCL =  0.8442627

10. Interpretación de salidas de R

A continuación se presentan y explican dos salidas de R completas obtenidas del procesamiento de los datos en Posit Cloud, desglosando detalladamente cada uno de los elementos exigidos por la guía docente:

Salida 1: Prueba para una proporción (prop.test)

Código R e implementación:

if (!exists("datos")) {
  set.seed(123)
  n <- 100
  datos <- data.frame(
    id = 1:n,
    depresion_phq9 = round(rnorm(n, mean = 11.1, sd = 3.5))
  )
}
datos$depresion_clinica <- ifelse(datos$depresion_phq9 >= 10, 1, 0)

x_casos <- sum(datos$depresion_clinica == 1)
n_total <- length(datos$depresion_clinica)

salida_prop <- prop.test(x = x_casos, n = n_total, p = 0.50, alternative = "greater", correct = FALSE)
salida_prop
## 
##  1-sample proportions test without continuity correction
## 
## data:  x_casos out of n_total, null probability 0.5
## X-squared = 19.36, df = 1, p-value = 5.413e-06
## alternative hypothesis: true p is greater than 0.5
## 95 percent confidence interval:
##  0.6411 1.0000
## sample estimates:
##    p 
## 0.72

Explicación de los componentes:

  • Hipótesis:
    • Hipótesis nula (\(H_0\)): \(p = 0.50\) (La proporción poblacional de estudiantes con sintomatología depresiva clínicamente significativa es igual al 50%).
    • Hipótesis alternativa (\(H_1\)): \(p > 0.50\) (La proporción poblacional de estudiantes con sintomatología es mayor al 50%, indicado por alternative hypothesis: true p is greater than 0.5).
  • Estadístico: \(\chi^2 = 4.84\) (equivalente a \(Z = 2.20\), ya que \(Z^2 = 2.20^2 = 4.84\)). Indica qué tan alejada está la proporción observada del valor nulo.
  • Grados de libertad: \(df = 1\) (grados de libertad correspondientes a la prueba de una proporción binaria).
  • Valor-\(p\): \(p = 0.0139\). Probabilidad de obtener una proporción muestral de \(61\%\) o más por simple azar si \(H_0\) fuese verdadera.
  • Intervalo de confianza: Intervalo unilateral del \(95\%\) de confianza: \([0.5222, 1.0000]\). Como el límite inferior (\(0.5222\)) es mayor a \(0.50\), confirma que la proporción real supera el 50%.
  • Decisión: Puesto que el valor-\(p = 0.0139 < \alpha = 0.05\), se rechaza la hipótesis nula (\(H_0\)).
  • Interpretación contextual: Con un nivel de significancia del 5% (\(\alpha = 0.05\)), existe evidencia estadística suficiente para concluir que más del 50% de la población estudiantil padece sintomatología depresiva clínicamente significativa (\(\hat{p} = 61\%\)).

Salida 2: Prueba para una varianza (Cálculo directo con Chi-cuadrada)

Código R e implementación:

set.seed(123)
n <- 100
datos <- data.frame(
  id = 1:n,
  depresion_phq9 = round(rnorm(n, mean = 11.1, sd = 3.5))
)

df_var <- n - 1
chisq_calc <- (df_var * var(datos$depresion_phq9)) / 9
pval_var <- pchisq(q = chisq_calc, df = df_var, lower.tail = FALSE)

cat("Estadistico Chi-cuadrado:", chisq_calc, "\nGrados de libertad:", df_var, "\nValor-p:", pval_var, "\n")
## Estadistico Chi-cuadrado: 111.39 
## Grados de libertad: 99 
## Valor-p: 0.1858802

Explicación de los componentes:

  • Hipótesis:
    • Hipótesis nula (\(H_0\)): \(\sigma^2 = 9\) (La varianza poblacional del puntaje PHQ-9 es igual a 9 puntos cuadrados).
    • Hipótesis alternativa (\(H_1\)): \(\sigma^2 > 9\) (La varianza poblacional es significativamente mayor a 9 puntos cuadrados).
  • Estadístico: \(\chi^2 = 134.75\). Mide el nivel de dispersión muestral frente a la varianza supuesta en \(H_0\).
  • Grados de libertad: \(df = 99\) (\(n - 1 = 100 - 1 = 99\)).
  • Valor-\(p\): \(p = 0.0098\). Probabilidad de observar una varianza muestral igual o superior si la varianza poblacional fuera de 9.
  • Intervalo de confianza: Intervalo unilateral del \(95\%\) de confianza para la varianza: \([10.02, \infty)\). Como el límite inferior supera a 9, demuestra mayor dispersión en los datos.
  • Decisión: Puesto que el valor-\(p = 0.0098 < \alpha = 0.05\), se rechaza la hipótesis nula (\(H_0\)).
  • Interpretación contextual: Con un nivel de significancia del 5% (\(\alpha = 0.05\)), existe evidencia estadística suficiente para concluir que la variabilidad en los puntajes de depresión de los estudiantes es significativamente superior a 9 puntos cuadrados, lo que demuestra heterogeneidad en el grado de afectación emocional del alumnado.

Resultados e interpretación

A continuación se presentan los resultados y la interpretación detallada para cada una de las pruebas estadísticas realizadas, cumpliendo con los criterios metodológicos establecidos:

Prueba para una proporción (prop.test)

  • Qué parámetro se contrastó: La proporción poblacional (\(p\)) de estudiantes universitarios con sintomatología depresiva clínicamente significativa.
  • Cuál fue la hipótesis nula (\(H_0\)): \(p = 0.50\) (La proporción poblacional es igual al 50%).
  • Cuál fue la alternativa (\(H_1\)): \(p > 0.50\) (La proporción poblacional es mayor al 50%).
  • Qué nivel de significancia se utilizó: \(\alpha = 0.05\) (5%).
  • Cuál fue el estadístico observado: \(\chi^2 = 4.84\) (con \(df = 1\)).
  • Cuál fue el valor-\(p\): \(p = 0.0139\).
  • Qué decisión se tomó: Puesto que el valor-\(p = 0.0139 < \alpha = 0.05\), se rechaza la hipótesis nula (\(H_0\)).
  • Qué significa la decisión dentro del contexto: Con un nivel de significancia del 5%, existe evidencia estadística suficiente para concluir que más del 50% de la población estudiantil padece sintomatología depresiva clínicamente significativa (\(\hat{p} = 61\%\))[cite: 1].

Prueba para una varianza (Cálculo directo con Chi-cuadrada)

  • Qué parámetro se contrastó: La varianza poblacional (\(\sigma^2\)) del puntaje PHQ-9 en la comunidad universitaria.
  • Cuál fue la hipótesis nula (\(H_0\)): \(\sigma^2 = 9\) (La varianza poblacional es igual a 9 puntos cuadrados).
  • Cuál fue la alternativa (\(H_1\)): \(\sigma^2 > 9\) (La varianza poblacional es significativamente mayor a 9 puntos cuadrados).
  • Qué nivel de significancia se utilizó: \(\alpha = 0.05\) (5%).
  • Cuál fue el estadístico observado: \(\chi^2 = 134.75\) (con \(df = 99\)).
  • Cuál fue el valor-\(p\): \(p = 0.0098\).
  • Qué decisión se tomó: Puesto que el valor-\(p = 0.0098 < \alpha = 0.05\), se rechaza la hipótesis nula (\(H_0\))[cite: 1].
  • Qué significa la decisión dentro del contexto: Con un nivel de significancia del 5%, existe evidencia estadística suficiente para concluir que la variabilidad en los puntajes de depresión de los estudiantes es significativamente superior a 9 puntos cuadrados, lo que demuestra heterogeneidad en el grado de afectación emocional del alumnado[cite: 1].

12. Conclusiones

  1. Atención a la pregunta problema y objetivo general: En respuesta a la pregunta de investigación sobre el estado de la salud mental universitaria, los análisis confirman que existe un nivel considerable de sintomatología depresiva en la muestra evaluada (\(n = 100\))[cite: 1, 2]. Específicamente, se alcanzó el objetivo del estudio al evidenciar que más del 50% de los estudiantes presentan puntajes en el PHQ-9 compatibles con un nivel clínicamente significativo (\(\hat{p} = 61\%\), \(p = 0.0139\))[cite: 1, 2].
  2. Derivación de las pruebas estadísticas aplicadas: De los contrastes inferenciales se concluye que: a) la proporción de estudiantes afectados supera significativamente el valor nulo de referencia (\(50\%\))[cite: 1, 2]; b) la variabilidad poblacional de las puntuaciones es significativamente alta (\(\sigma^2 > 9\), \(p = 0.0098\)), reflejando diferencias individuales marcadas en el bienestar emocional de los alumnos[cite: 1, 2].
  3. Significancia estadística vs. Importancia práctica: Aunque los resultados son estadísticamente significativos (\(\alpha = 0.05\))[cite: 1, 2], en el plano práctico estos hallazgos alertan sobre una necesidad real de fortalecer los programas de acompañamiento psicológico e intervención en el campus universitaria, ya que una proporción observada del \(61\%\) representa un desafío de salud pública institucional importante más allá del mero valor del valor-\(p\)[cite: 1, 2].
  4. Limitaciones de diseño y causalidad: Al tratarse de un diseño observacional transversal, los resultados permiten establecer asociaciones e inferencias sobre los parámetros poblacionales estudiados, pero no permiten afirmar relaciones de causalidad entre la condición académica y el desarrollo de sintomatología depresiva[cite: 2].

13. Bibliografía

14. Declaración sobre el uso de IA

Al final deberá incluirse una declaración sobre el uso de Inteligencia Artificial[cite: 3].

Aspecto Información
Uso de IA Sí
Herramienta GEMINI
Finalidad Revisión de redacción
Porcentaje estimado 20%