1.1 Tujuan Pembelajaran

Setelah menyelesaikan praktikum ini, mahasiswa mampu:

1. Menghitung dan menafsirkan mean, median, dan modus (termasuk rata-rata tertimbang dan trimmed mean), serta memilih ukuran yang sesuai dengan skala pengukuran dan bentuk distribusi data.

2. Menghitung dan menafsirkan rentang, varians, dan simpangan baku, termasuk alasan pembagi n − 1 pada varians sampel.

3. Menghitung dan menafsirkan koefisien variasi untuk membandingkan variabilitas relatif.

4. Menafsirkan pusat dan sebaran secara bersamaan, termasuk hubungan mean–median den- gan bentuk distribusi dan pengaruh nilai ekstrem.

5. Memakai z-score, aturan empiris, dan teorema Chebyshev untuk menafsirkan simpan- gan baku.

6. Menghitung ukuran pemusatan dan penyebaran dari data terkelompok (tabel distribusi frekuensi Pertemuan 4).

7. Melaporkan ringkasan statistik deskriptif secara jujur dan informatif.

1.2 Peta Alur Belajar

2.1 Skala Pengukuran Menentukan Ukuran yang Valid

Ingat kembali skala pengukuran dari Pertemuan 2. Skala data menentukan ukuran mana yang bermakna untuk dihitung:

Contoh: “rata-rata golongan darah” tidak bermakna (nominal), sedangkan “rata-rata tinggi badan” bermakna (rasio).

2.2 Populasi vs Sampel: Notasi

Karena statistik dari sampel dipakai untuk menduga parameter populasi, notasinya dibedakan:

library(knitr)
library(kableExtra)

tabel_notasi <- data.frame(
  Ukuran    = c("Banyaknya data", "Rata-rata", "Varians", "Simpangan baku"),
  Populasi  = c("$N$", "$\\mu$", "$\\sigma^2$", "$\\sigma$"),
  Sampel    = c("$n$", "$\\bar{x}$", "$s^2$", "$s$")
)

kable(tabel_notasi, escape = FALSE, align = "c", booktabs = TRUE,
      col.names = c("Ukuran", "Populasi (Parameter)", "Sampel (Statistik)")) %>%
  kable_styling(latex_options = c("hold_position"), full_width = FALSE,
                position = "center")

Simbol ∑ (sigma besar) berarti “jumlahkan”: \(\sum_{i=1}^{n} x_i = x_1 + x_2 + \cdots + x_n.\)

2.3 Data Utama yang Dipakai

Sepanjang praktikum, kita memakai nilai ujian Statistika 30 mahasiswa dari Pertemuan 4. Pengelompokan kelasnya (Aturan Sturges: 6 kelas, lebar 6, batas nyata dimulai dari 62,5) sudah kita peroleh dan dipakai ulang pada bagian data terkelompok.

nilai_ujian <- c(78, 65, 82, 90, 74, 68, 95, 88, 72, 80,
91, 77, 63, 85, 79, 92, 70, 84, 76, 89,
81, 67, 93, 75, 86, 71, 94, 83, 69, 87)

n <- length(nilai_ujian)
# Batas nyata kelas hasil pengelompokan pada Pertemuan 4
batas_nyata_u <- seq(62.5, by = 6, length.out = 7)
f_ujian <- as.numeric(table(cut(nilai_ujian, breaks = batas_nyata_u)))
n

## [1] 30

sort(nilai_ujian)

##  [1] 63 65 67 68 69 70 71 72 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
## [26] 91 92 93 94 95

library(plotly)

## Loading required package: ggplot2

## 
## Attaching package: 'plotly'

## The following object is masked from 'package:ggplot2':
## 
##     last_plot

## The following object is masked from 'package:stats':
## 
##     filter

## The following object is masked from 'package:graphics':
## 
##     layout

# Data (berdasarkan gambar/histogram)
batas <- c(62.5, 68.5, 74.5, 80.5, 86.5, 92.5, 98.5)
frek  <- c(4, 5, 6, 6, 6, 3)

lebar  <- diff(batas)
tengah <- batas[-length(batas)] + lebar / 2
kelas  <- paste0(batas[-length(batas)], " - ", batas[-1])

# Gradasi hijau: pudar (terendah) -> tebal (tertinggi)
ramp  <- colorRamp(c("#C8E6C9", "#1B5E20"))
skala <- (frek - min(frek)) / (max(frek) - min(frek))
warna <- rgb(ramp(skala), maxColorValue = 255)

fig <- plot_ly() %>%
  add_bars(
    x = tengah, y = frek, width = lebar,
    marker = list(color = warna,
                  line = list(color = "white", width = 1.5)),
    text = frek, textposition = "outside",
    textfont = list(size = 14),
    customdata = kelas,
    hovertemplate = "Kelas: <b>%{customdata}</b><br>Frekuensi: %{y}<extra></extra>"
  ) %>%
  layout(
    title = list(text = "<b>Nilai Ujian Statistika (n = 30)</b>",
                 x = 0.5, xanchor = "center"),
    showlegend = FALSE,
    bargap = 0,
    xaxis = list(title = "",   # Judul sumbu x dihapus
                 tickvals = seq(65, 95, 5), ticktext = seq(65, 95, 5),
                 range = c(61, 100),
                 ticks = "outside",
                 showgrid = FALSE, zeroline = FALSE),
    yaxis = list(title = "Frekuensi",
                 range = c(0, max(frek) * 1.2),
                 showticklabels = FALSE,   # Angka sumbu y di kiri dihapus
                 ticks = "",
                 showgrid = FALSE, zeroline = FALSE),
    margin = list(t = 80, b = 40, l = 70, r = 40)
  )

fig

Dari histogram, kita bisa memperkirakan “pusat” data ada di sekitar 80 dan sebarannya kira-kira dari 63 sampai 95. Praktikum ini mengubah perkiraan visual tersebut menjadi angka yang tepat.

3.1 Rata-rata Hitung (Mean)

Mean adalah jumlah seluruh nilai dibagi banyaknya data:

\[ \mu = \frac{\sum_{i=1}^{N} x_i}{N} \qquad\qquad\qquad \bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n} \]

# Manual: jumlahkan lalu bagi n
sum(nilai_ujian) / n

## [1] 80.13333

# Fungsi bawaan R
mean(nilai_ujian)

## [1] 80.13333

Sifat penting mean:

1. Memakai seluruh nilai data.
2. Jumlah selisih (deviasi) semua data terhadap mean selalu nol: ∑(xi − ̄x) = 0. Karena itu mean disebut titik keseimbangan data.
3. Sensitif terhadap outlier – satu nilai ekstrem dapat menggeser mean secara drastis.

round(sum(nilai_ujian - mean(nilai_ujian)), 10) # selalu 0

## [1] 0

library(plotly)

# Data tiruan untuk nilai ujian (n = 30) dengan rata-rata sekitar 80
set.seed(42)
nilai <- rnorm(30, mean = 80, sd = 6)
nilai <- pmin(pmax(nilai, 63), 95)
nilai <- round(nilai, 1)

# Hitung nilai Mean
rata_rata <- mean(nilai)

# Berikan sedikit variasi vertikal (jitter) agar titik-titik tidak bertumpuk
set.seed(123)
y_pos <- runif(length(nilai), 0.2, 0.8)

fig <- plot_ly() %>%
  # Titik-titik sebaran data
  add_trace(
    x = nilai, y = y_pos, type = "scatter", mode = "markers",
    marker = list(color = "#2b7bba", size = 10, opacity = 0.8),
    hovertemplate = "Nilai Ujian: <b>%{x}</b><extra></extra>"
  ) %>%
  layout(
    title = list(text = "<b>Mean sebagai Titik Keseimbangan</b>",
                 x = 0.5, xanchor = "center"),
    showlegend = FALSE,
    xaxis = list(title = "Nilai Ujian",
                 range = c(60, 98),
                 tickvals = seq(65, 95, 5),
                 ticks = "outside",
                 showgrid = FALSE, zeroline = FALSE,
                 showline = TRUE, mirror = TRUE),
    yaxis = list(title = "",
                 range = c(0, 1),
                 showticklabels = FALSE, ticks = "",
                 showgrid = FALSE, zeroline = FALSE,
                 showline = TRUE, mirror = TRUE),
    shapes = list(
      # Garis vertikal merah untuk menunjukkan posisi Mean
      list(type = "line", xref = "x", x0 = rata_rata, x1 = rata_rata,
           yref = "paper", y0 = 0, y1 = 1,
           line = list(color = "#C0392B", width = 2))
    ),
    annotations = list(
      # Label keterangan Mean di area kiri atas grafik
      list(text = paste0("<b>Mean</b> (", round(rata_rata, 1), ")"),
           x = 0.05, y = 0.85, xref = "paper", yref = "paper",
           showarrow = FALSE,
           font = list(size = 13, color = "#C0392B"))
    ),
    margin = list(t = 80, b = 60, l = 50, r = 40)
  )

fig

library(knitr)
library(kableExtra)

tabel_frekuensi <- data.frame(
  Kolom = c("Frekuensi ($f$)", "Frekuensi relatif", "Persentase"),
  Rumus = c("hitung", "$\\dfrac{f}{n}$", "$\\dfrac{f}{n} \\times 100\\%$"),
  Arti  = c("Banyaknya data pada kategori",
            "Proporsi (0 sampai 1)",
            "Proporsi dalam persen")
)

kable(tabel_frekuensi,
      format = "html",
      escape = FALSE,
      align = "lcl",
      col.names = c("Kolom", "Rumus", "Arti")) %>%
  kable_styling(full_width = FALSE, position = "center")

nilai_mutu <- c(4.0, 3.0, 3.5, 2.0)
sks        <- c(3, 4, 3, 2)

mean(nilai_mutu)                  # rata-rata biasa (mengabaikan bobot SKS)

## [1] 3.125

weighted.mean(nilai_mutu, sks)    # rata-rata berbobot SKS (IPK)

## [1] 3.208333

weighted.mean(nilai_mutu, w = sks) # IPK sebenarnya

## [1] 3.208333

3.2 Median

Median adalah nilai tengah setelah data diurutkan. Median membagi data menjadi dua bagian sama banyak: 50% data berada di bawahnya dan 50% di atasnya.

• Jika \(n\) ganjil: median = data ke-\(\frac{n+1}{2}\).
• Jika \(n\) genap: median = rata-rata data ke-\(\frac{n}{2}\) dan ke-\(\left(\frac{n}{2}+1\right)\).

# n = 30 (genap): rata-rata data ke-15 dan ke-16
urut <- sort(nilai_ujian)
urut[c(15, 16)]

## [1] 80 81

mean(urut[c(15, 16)])

## [1] 80.5

median(nilai_ujian)

## [1] 80.5

Sekarang perhatikan data yang berbeda: gaji bulanan 7 karyawan sebuah perusahaan rintisan (juta rupiah), di mana salah satunya adalah pendiri perusahaan.

gaji <- c(4.5, 4.8, 5.0, 5.2, 5.5, 5.8, 45)
# n = 7 (ganjil): median = data ke-4
sort(gaji)[4]

## [1] 5.2

median(gaji)

## [1] 5.2

mean(gaji)

## [1] 10.82857

Mean (10,83 juta) jauh lebih besar dari gaji enam dari tujuh karyawan, karena tertarik oleh satu nilai ekstrem (45 juta). Median (5,2 juta) tidak terpengaruh besarnya nilai ekstrem tersebut – median hanya peduli pada urutan, bukan besar nilainya. Inilah sebabnya median disebut ukuran yang tahan (robust) terhadap outlier.

mean(gaji) # mean biasa

## [1] 10.82857

mean(gaji, trim = 0.2) # buang 20% terkecil & 20% terbesar (1 data tiap ujung)

## [1] 5.26

median(gaji) # trimmed mean ekstrem (trim = 0.5)

## [1] 5.2

3.3 Modus

Modus adalah nilai yang paling sering muncul. Berbeda dengan mean dan median, modus juga valid untuk data nominal. R tidak menyediakan fungsi bawaan untuk modus statistik (fungsi mode() di R menunjukkan tipe data, bukan modus), sehingga kita membuatnya sendiri:

hitung_modus <- function(x) {
tabel <- table(x)
maks <- max(tabel)
if (maks == 1) return(NA) # semua nilai unik -> tidak ada modus
hasil <- names(tabel)[tabel == maks] # bisa lebih dari satu modus
if (is.numeric(x)) as.numeric(hasil) else hasil
}
hitung_modus(c(2, 3, 3, 4, 4, 4, 5)) # satu modus (unimodal)

## [1] 4

hitung_modus(c(1, 2, 2, 3, 3, 4)) # dua modus (bimodal)

## [1] 2 3

hitung_modus(nilai_ujian) # tidak ada modus (semua nilai unik)

## [1] NA

# Modus pada data nominal
metode_bayar <- c("Tunai", "Debit", "Debit", "E-Wallet", "Debit", "Kredit", "Tunai")
hitung_modus(metode_bayar)

## [1] "Debit"

Catatan: untuk data kontinu (seperti nilai ujian di atas) yang hampir tidak pernah berulang persis, modus dari data mentah tidak informatif. Solusinya adalah mencari kelas modus dari data yang sudah dikelompokkan (dibahas pada bagian Data Terkelompok).

3.4 Membandingkan dan Memilih Ukuran Pemusatan

library(plotly)

# Data simulasi gaji bulanan (dalam juta rupiah) dengan nilai outlier di kanan
set.seed(42)
gaji <- c(4.5, 5.0, 5.2, 5.5, 5.8, 6.0, 45.0) # 45.0 adalah outlier

# Hitung statistik
mean_val <- mean(gaji)
median_val <- median(gaji)

# Fungsi trimmed mean 20% manual (membuang 20% data dari masing-masing ujung)
trimmed_mean <- function(x, prop = 0.2) {
  n <- length(x)
  k <- floor(n * prop)
  x_sorted <- sort(x)
  mean(x_sorted[(k + 1):(n - k)])
}
trim_val <- trimmed_mean(gaji, 0.2)

# Berikan sedikit variasi vertikal (jitter) agar titik-titik tidak bertumpuk
set.seed(123)
y_pos <- runif(length(gaji), 0.3, 0.7)

fig <- plot_ly() %>%
  # Titik-titik sebaran data (termasuk outlier di kanan)
  add_trace(
    x = gaji, y = y_pos, type = "scatter", mode = "markers",
    marker = list(color = "#2b7bba", size = 11, opacity = 0.85),
    hovertemplate = "Gaji: <b>%{x} Juta Rupiah</b><extra></extra>"
  ) %>%
  layout(
    title = list(text = "<b>Mean Tertarik ke Arah Outlier, Median Tidak</b>",
                 x = 0.5, xanchor = "center"),
    showlegend = FALSE,
    xaxis = list(title = "Gaji Bulanan (Juta Rupiah)",
                 range = c(-2, 52),
                 tickvals = seq(0, 50, 10),
                 ticks = "outside",
                 showgrid = FALSE, zeroline = FALSE,
                 showline = TRUE, mirror = TRUE),
    yaxis = list(title = "",
                 range = c(0, 1),
                 showticklabels = FALSE, ticks = "",
                 showgrid = FALSE, zeroline = FALSE,
                 showline = TRUE, mirror = TRUE),
    shapes = list(
      # Garis vertikal Mean (Merah)
      list(type = "line", xref = "x", x0 = mean_val, x1 = mean_val,
           yref = "paper", y0 = 0, y1 = 1,
           line = list(color = "#C0392B", width = 2)),
      # Garis vertikal Median (Hijau putus-putus)
      list(type = "line", xref = "x", x0 = median_val, x1 = median_val,
           yref = "paper", y0 = 0, y1 = 1,
           line = list(color = "#1E8449", width = 2, dash = "dash")),
      # Garis vertikal Trimmed Mean (Oranye titik-titik)
      list(type = "line", xref = "x", x0 = trim_val, x1 = trim_val,
           yref = "paper", y0 = 0, y1 = 1,
           line = list(color = "#D35400", width = 2, dash = "dot"))
    ),
    annotations = list(
      # Keterangan Legenda Manual di Kanan Atas
      list(text = "<b>Mean</b>", x = 0.82, y = 0.88, xref = "paper", yref = "paper", showarrow = FALSE, font = list(size = 12, color = "#C0392B"), xanchor = "left"),
      list(text = "<b>Median</b>", x = 0.82, y = 0.78, xref = "paper", yref = "paper", showarrow = FALSE, font = list(size = 12, color = "#1E8449"), xanchor = "left"),
      list(text = "<b>Trimmed mean (20%)</b>", x = 0.82, y = 0.68, xref = "paper", yref = "paper", showarrow = FALSE, font = list(size = 12, color = "#D35400"), xanchor = "left"),
      
      # Garis kecil ikon legenda
      list(type = "line", x0 = 0.77, x1 = 0.80, y0 = 0.88, y1 = 0.88, xref = "paper", yref = "paper", line = list(color = "#C0392B", width = 2)),
      list(type = "line", x0 = 0.77, x1 = 0.80, y0 = 0.78, y1 = 0.78, xref = "paper", yref = "paper", line = list(color = "#1E8449", width = 2, dash = "dash")),
      list(type = "line", x0 = 0.77, x1 = 0.80, y0 = 0.68, y1 = 0.68, xref = "paper", yref = "paper", line = list(color = "#D35400", width = 2, dash = "dot"))
    ),
    margin = list(t = 80, b = 60, l = 50, r = 40)
  )

fig

Panduan memilih:

• Data nominal -> gunakan modus. • Data ordinal -> gunakan median (dan modus). • Data numerik simetris, tanpa outlier -> mean. • Data numerik menceng atau mengandung outlier -> median (laporkan mean sebagai pe- lengkap jika perlu).

5.1 Mengapa Ukuran Pusat Saja Tidak Cukup?

Dua loket pelayanan mencatat waktu tunggu (menit) enam pelanggan. Keduanya memiliki mean dan median yang persis sama:

loket_1 <- c(9, 10, 10, 10, 10, 11)
loket_2 <- c(1, 4, 10, 10, 16, 19)
rbind(Loket_1 = c(Mean = mean(loket_1), Median = median(loket_1)),
Loket_2 = c(Mean = mean(loket_2), Median = median(loket_2)))

##         Mean Median
## Loket_1   10     10
## Loket_2   10     10

library(plotly)

# Data waktu tunggu (menit) untuk kedua loket
waktu_loket1 <- c(9, 10, 10, 10, 10, 11)
waktu_loket2 <- c(1, 4, 10, 10, 16, 19)

# Fungsi pembuat panel scatter/dot plot dengan jitter vertikal
buat_panel_loket <- function(data_waktu, warna_titik) {
  # Memberikan sedikit variasi vertikal agar titik bertumpuk rapi
  set.seed(42)
  y_pos <- jitter(rep(0.5, length(data_waktu)), amount = 0.25)
  
  plot_ly() %>%
    add_trace(
      x = data_waktu, y = y_pos, type = "scatter", mode = "markers",
      marker = list(color = warna_titik, size = 11, opacity = 0.85),
      hovertemplate = "Waktu Tunggu: <b>%{x} menit</b><extra></extra>"
    ) %>%
    layout(
      xaxis = list(title = "Waktu Tunggu (menit)",
                   range = c(-1, 21),
                   tickvals = seq(0, 20, 5),
                   ticks = "outside",
                   showgrid = FALSE, zeroline = FALSE,
                   showline = TRUE, mirror = TRUE),
      yaxis = list(title = "",
                   range = c(-0.2, 1.2),
                   showticklabels = FALSE, ticks = "",
                   showgrid = FALSE, zeroline = FALSE,
                   showline = TRUE, mirror = TRUE),
      shapes = list(
        # Garis vertikal merah untuk nilai rata-rata (mean)
        list(type = "line", xref = "x", x0 = mean(data_waktu), x1 = mean(data_waktu),
             yref = "paper", y0 = 0, y1 = 1,
             line = list(color = "#C0392B", width = 2))
      )
    )
}

# Membuat panel untuk masing-masing loket
p1 <- buat_panel_loket(waktu_loket1, "#2b7bba") # Warna biru untuk Loket 1
p2 <- buat_panel_loket(waktu_loket2, "#E67E22") # Warna oranye untuk Loket 2

# ---------- Gabungkan Subplot ----------
fig <- subplot(p1, p2, nrows = 1, margin = 0.1, titleX = TRUE, titleY = FALSE) %>%
  layout(
    showlegend = FALSE,
    margin = list(t = 90, b = 50, l = 50, r = 40)
  )

# Mengambil domain sumbu X untuk menempatkan judul panel di tengah masing-masing sub-grafik
b      <- plotly_build(fig)
pusat1 <- mean(b$x$layout$xaxis$domain)
pusat2 <- mean(b$x$layout$xaxis2$domain)

fig <- fig %>%
  layout(
    annotations = list(
      list(text = "<b>Loket 1</b>", x = pusat1, y = 1.08,
           xref = "paper", yref = "paper", xanchor = "center",
           showarrow = FALSE, font = list(size = 15)),
      list(text = "<b>Loket 2</b>", x = pusat2, y = 1.08,
           xref = "paper", yref = "paper", xanchor = "center",
           showarrow = FALSE, font = list(size = 15))
    )
  )

fig

par(mfrow = c(1, 1))

Kedua loket “rata-rata 10 menit”, tetapi pengalaman pelanggannya sangat berbeda: Loket 1 kon- sisten, Loket 2 tidak dapat diprediksi (ada yang hanya menunggu 1 menit, ada yang 19 menit). Perbedaan inilah yang ditangkap oleh ukuran penyebaran.

5.2 Rentang (Range)

\[ \text{Rentang} = x_{\max} - x_{\min} \]

range(nilai_ujian)           # R mengembalikan nilai min dan max, BUKAN selisihnya

## [1] 63 95

diff(range(nilai_ujian))     # rentang sebenarnya

## [1] 32

diff(range(loket_1))

## [1] 2

diff(range(loket_2))

## [1] 18

Rentang mudah dihitung, tetapi hanya memakai dua nilai (terkecil dan terbesar) sehingga sangat dipengaruhi nilai ekstrem dan mengabaikan sebaran data di antaranya. Ukuran sebaran yang memakai seluruh data adalah varians dan simpangan baku.

5.3 Deviasi, Varians, dan Simpangan Baku

Untuk mengukur “rata-rata jarak data dari meannya”, langkah pertama yang terpikir adalah merata-ratakan deviasi (xi − ̄x). Namun sudah kita lihat bahwa jumlah deviasi selalu nol (yang positif dan negatif saling meniadakan), sehingga tidak informatif. Ada dua jalan keluar: memakai

nilai mutlak (menghasilkan mean absolute deviation) atau mengkuadratkan deviasi (meng- hasilkan varians). Cara kedua lebih umum karena sifat matematisnya yang baik.

Rumus varians:

\[ \sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{N} (x_i - \mu)^2}{N} \qquad\qquad\qquad s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n-1} \]

Simpangan baku (standar deviasi): akar dari varians, sehingga satuannya kembali sama dengan data asli.

\[ \sigma = \sqrt{\sigma^2} \qquad\qquad\qquad s = \sqrt{s^2} \]

library(knitr)
library(kableExtra)

x <- c(6, 8, 7, 9, 5, 10, 7, 8)
rata <- mean(x)   # 7.5

tabel_deviasi <- data.frame(
  x = x,
  Deviasi = x - rata,
  Deviasi_Kuadrat = (x - rata)^2
)

kable(tabel_deviasi,
      format = "html",
      align = "rrr",
      caption = paste0("Tabel Deviasi (mean = ", rata, ")")) %>%
  kable_styling(bootstrap_options = c("striped", "hover"),
                full_width = FALSE,
                position = "center")

colSums(tabel_deviasi) # jumlah deviasi = 0; jumlah kuadrat deviasi = 18

##               x         Deviasi Deviasi_Kuadrat 
##              60               0              18

kuis <- c(80, 75, 90, 85, 70)   # ganti dengan data kuis dari soal Anda
mean(kuis)

## [1] 80

n_k <- length(kuis)
JKD <- sum((kuis - mean(kuis))^2) # jumlah kuadrat deviasi
c(Varians_Sampel = JKD / (n_k - 1), # s^2 (dibagi n - 1)
Varians_Populasi = JKD / n_k, # sigma^2 (dibagi N)
SD_Sampel = sqrt(JKD / (n_k - 1)))

##   Varians_Sampel Varians_Populasi        SD_Sampel 
##        62.500000        50.000000         7.905694

var(kuis) # fungsi bawaan R

## [1] 62.5

sd(kuis) # fungsi bawaan R

## [1] 7.905694

# Rumus komputasi (setara): [sum(x^2) - (sum(x))^2 / n] / (n - 1)
(sum(kuis^2) - sum(kuis)^2 / n_k) / (n_k - 1)

## [1] 62.5

library(knitr)
library(kableExtra)

hasil <- data.frame(
  Metode = c("Varians populasi sebenarnya",
             "Rata-rata s^2 dibagi n",
             "Rata-rata s^2 dibagi n - 1"),
  Nilai = c(100.28, 79.45, 99.31)
)

kable(hasil, format = "html", digits = 2, align = "lr",
      caption = "Rata-rata dari 5000 varians sampel (n = 5)") %>%
  kable_styling(full_width = FALSE, position = "center")

c(Varians = var(nilai_ujian), SD = sd(nilai_ujian))

##   Varians        SD 
## 87.016092  9.328242

5.4 Koefisien Variasi (CV)

Simpangan baku bergantung pada satuan dan besar data, sehingga tidak adil untuk memband- ingkan variabilitas dua variabel yang skalanya berbeda. Koefisien variasi menyatakan simpangan baku relatif terhadap meannya:

\[CV = \frac{s}{\bar{x}} \times 100\%\]

Contoh: manakah yang lebih bervariasi, tinggi badan atau berat badan mahasiswa?

tinggi <- c(mean = 165, sd = 8) # cm
berat <- c(mean = 60, sd = 9) # kg
cv <- function(rata, simpangan) simpangan / rata * 100
c(CV_Tinggi_persen = cv(tinggi[["mean"]], tinggi[["sd"]]),
CV_Berat_persen = cv(berat[["mean"]], berat[["sd"]]))

## CV_Tinggi_persen  CV_Berat_persen 
##         4.848485        15.000000

Simpangan baku berat badan (9 kg) memang hanya sedikit lebih besar daripada tinggi badan (8 cm), tetapi dalam kaitannya dengan meannya, berat badan jauh lebih bervariatif (CV sekitar 15% vs 4,8%). Perbandingan SD langsung antara “cm” dan “kg” tidak bermakna; CV tidak memiliki satuan sehingga dapat dibandingkan.

Syarat CV: hanya valid untuk data skala rasio (nol mutlak) dengan mean positif dan tidak mendekati nol. Jangan gunakan CV untuk suhu dalam °C (skala interval).

5.5 Ringkasan Ukuran Penyebaran

Kaidah pasangan: mean dilaporkan bersama simpangan baku; median dilaporkan bersama rentang atau – setelah Pertemuan 6 – bersama IQR (kuartil).

7.1 Ukuran Mana yang Tahan Nilai Ekstrem?

Bandingkan seluruh ukuran pada data gaji dengan dan tanpa outlier:

library(knitr)
library(kableExtra)

tabel11 <- data.frame(
  Mean   = c(10.83, 5.13),
  Median = c(5.2, 5.1),
  SD     = c(15.07, 0.47),
  Rentang = c(40.5, 1.3),
  CV_persen = c(139.21, 9.19),
  row.names = c("Dengan outlier", "Tanpa outlier")
)

kable(tabel11, format = "html", digits = 2, row.names = TRUE,
      align = "lrrrrr",
      caption = "Table 11: Pengaruh Satu Nilai Ekstrem terhadap Ukuran Pusat dan Sebaran") %>%
  kable_classic(full_width = FALSE, position = "center")

Satu data ekstrem mengubah mean, SD, rentang, dan CV secara dramatis, sedangkan median hampir tidak berubah. Ringkasnya:

Cara mendeteksi outlier secara formal (pagar IQR, boxplot, modified z-score) dibahas pada Pertemuan 6. Satu prinsip yang perlu dipegang sejak sekarang – jangan menghapus nilai ekstrem secara otomatis. Selidiki dahulu penyebabnya: (1) kesalahan input/pengukuran -> perbaiki atau hapus; (2) nilai ekstrem yang sah (seperti gaji pendiri perusahaan) -> pertahankan, dan gunakan ukuran yang robust; (3) berasal dari populasi yang berbeda -> analisis terpisah. Selalu laporkan keputusan Anda.

8.1 Z-Score

Z-score menyatakan berapa simpangan baku sebuah nilai berada di atas (+) atau di bawah (-) mean:

\[z = \frac{x - \bar{x}}{s}\]

Karena tanpa satuan, z-score memungkinkan membandingkan nilai dari skala yang berbeda.

z_ujian <- (nilai_ujian - mean(nilai_ujian)) / sd(nilai_ujian) # setara scale(nilai_ujian)
round(c(Nilai_63 = z_ujian[nilai_ujian == 63],
Nilai_80 = z_ujian[nilai_ujian == 80],
Nilai_95 = z_ujian[nilai_ujian == 95]), 2)

## Nilai_63 Nilai_80 Nilai_95 
##    -1.84    -0.01     1.59

round(c(Mean_z = mean(z_ujian), SD_z = sd(z_ujian)), 10) # z-score selalu bermean 0 dan SD 1

## Mean_z   SD_z 
##      0      1

Contoh perbandingan: Andi mendapat 85 pada Statistika (mean kelas 80, SD 5) dan 78 pada Kalkulus (mean kelas 65, SD 10). Di mata pelajaran mana prestasi relatifnya lebih baik?

z_stat <- (85 - 80) / 5
z_kalk <- (78 - 65) / 10
c(z_Statistika = z_stat, z_Kalkulus = z_kalk)

## z_Statistika   z_Kalkulus 
##          1.0          1.3

Meskipun nilai mentah Statistika lebih tinggi, prestasi relatif Andi lebih baik di Kalkulus (1,3 SD di atas rata-rata kelas, dibanding 1,0 SD pada Statistika).

Nilai dengan |z| yang sangat besar berada jauh dari pusat data. Kapan nilai seperti itu layak disebut outlier – dan mengapa aturan “|z| > 3” punya kelemahan – dibahas pada Pertemuan 6.

8.2 Aturan Empiris (68-95-99.7)

Untuk data yang berbentuk lonceng dan simetris (mendekati distribusi normal):

8.3 Teorema Chebyshev

Untuk sembarang bentuk distribusi (termasuk yang menceng atau bimodal), minimal proporsi data dalam k simpangan baku dari mean (k > 1) adalah:

\[ \text{Proporsi} \geq 1 - \frac{1}{k^2} \]

Chebyshev berlaku umum, tetapi batasnya lebih longgar dibanding aturan empiris.

Data nilai ujian (bentuk relatif simetris, tetapi n hanya 30) cukup mendekati aturan empiris dan selalu memenuhi batas minimal Chebyshev. Untuk k = 1, Chebyshev tidak memberikan informasi (1−1/12 = 0%). Aturan empiris tidak boleh dipakai pada data yang sangat menceng atau bimodal; gunakan Chebyshev.

9.1 Rumus Data Terkelompok

Dengan f = frekuensi kelas, m = titik tengah, n = ∑ f, w = lebar kelas:

Keterangan:

• Median: L = batas nyata bawah kelas median (kelas pertama yang frekuensi kumulatifnya mencapai n/2 ); F = frekuensi kumulatif sebelum kelas median; fmed = frekuensi kelas median.

• Modus: L = batas nyata bawah kelas modus (kelas dengan frekuensi terbesar); d1 = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya; d2 = selisih dengan kelas sesudahnya.

9.2 Studi Kasus: Pendapatan Mingguan 100 Karyawan

Data: pendapatan mingguan (USD) dari 100 karyawan, dikelompokkan ke dalam 6 kelas (data yang sama dengan Pertemuan 4).

## [1] 1322.5

## [1] 50

## [1] "1201-1400"

## [1] 1297.936

## d1 d2 
## 17 24

## [1] 1283.427

##    Varians         SD  CV_persen 
## 65369.6970   255.6750    19.3327

##         n      Mean    Median     Modus   Varians        SD CV_persen 
##    100.00   1322.50   1297.94   1283.43  65369.70    255.67     19.33

10.1 Contoh 1: Rata-rata pada Data Menceng

“Rata-rata gaji di perusahaan kami mencapai 10,8 juta rupiah per bulan!” Kalimat ini benar secara perhitungan untuk data gaji, tetapi menyesatkan: enam dari tujuh karyawan bergaji di bawah 6 juta. Untuk data menceng atau beroutlier, laporkan median.

##   Mean Median 
##   11.0    5.5

## [1] 6

10.2 Contoh 2: Rata-rata dari Rata-rata

Kelas A (30 mahasiswa) memiliki rata-rata 80, dan Kelas B (10 mahasiswa) memiliki rata-rata 70. Berapa rata-rata gabungan?

## [1] 75

## [1] 77.5

Rata-rata sederhana (75) salah karena memperlakukan kedua kelas sama penting; rata-rata gabun- gan yang benar adalah 77,5 karena Kelas A memiliki lebih banyak mahasiswa.

10.3 Contoh 3: Rata-rata pada Data Bimodal

Pada data data_bimodal (bagian Bentuk Distribusi), mean sekitar 50, padahal hampir tidak ada data di sekitar nilai tersebut. Mean di sini “merata-ratakan” dua kelompok berbeda dan tidak mewakili siapa pun.

10.4 Contoh 4: Pusat Tanpa Sebaran

Pelaporan yang lebih baik memungkinkan pembaca menilai apakah “rata-rata 80” mewakili kelas secara wajar atau tidak.

10.5 Daftar Periksa (Checklist) Pelaporan Statistik yang Jujur

□ Ukuran pusat selalu disertai ukuran sebaran (mean dengan SD; median dengan rentang atau IQR) □ Ukuran sesuai dengan skala pengukuran (tidak ada “rata-rata” untuk data nominal) □ Data menceng atau beroutlier dilaporkan dengan median □ Ukuran sampel (n) dicantumkan □ Rata-rata gabungan memakai bobot yang tepat □ Keputusan menghapus/mempertahankan outlier dijelaskan □ Perbandingan variabilitas antarvariabel berbeda skala memakai koefisien variasi

11.1 Langkah 1: Ringkasan Statistik Lengkap

11.2 Langkah 2: Visualisasi Berdampingan

## Langkah 3: Posisi Relatif Seorang Mahasiswa

Seorang mahasiswa mendapat nilai **90.** Seberapa baik posisinya jika ia berada di Kelas A diband-
ingkan Kelas B?

<table class=" lightable-classic" style='font-family: "Arial Narrow", "Source Sans Pro", sans-serif; width: auto !important; margin-left: auto; margin-right: auto;'>
<caption>Table 21: Posisi Relatif Nilai 90</caption>
 <thead>
  <tr>
   <th style="text-align:left;"> Kelas </th>
   <th style="text-align:right;"> Mean </th>
   <th style="text-align:right;"> SD </th>
   <th style="text-align:right;"> z_score </th>
  </tr>
 </thead>
<tbody>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> A </td>
   <td style="text-align:right;"> 80.13 </td>
   <td style="text-align:right;"> 9.33 </td>
   <td style="text-align:right;"> 1.06 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> B </td>
   <td style="text-align:right;"> 80.00 </td>
   <td style="text-align:right;"> 14.41 </td>
   <td style="text-align:right;"> 0.69 </td>
  </tr>
</tbody>
</table>

## Pertanyaan Diskusi dan Jawaban

**1. Kelas mana yang berprestasi lebih baik berdasarkan ukuran pusat?**

Mean kedua kelas hampir identik (80.1 vs 80), sehingga berdasarkan mean saja keduanya “sama”.
Namun median Kelas B (82) lebih tinggi daripada mean-nya (80), yang mengindikasikan distribusi
**menjulur kiri:** mayoritas mahasiswa Kelas B bernilai relatif tinggi, tetapi ditarik turun oleh
segelintir nilai rendah (54–61). Kelas A hampir simetris (mean ≈ median).

**2. Kelas mana yang lebih homogen?**

**Kelas A.** Rentangnya lebih sempit (32 vs 46), simpangan bakunya lebih kecil (9.3 vs 14.4), dan
CV-nya lebih rendah (11.6% vs 18%). Kelas B jauh lebih beragam: ada mahasiswa yang sangat
unggul sekaligus yang tertinggal.

**3. Mengapa nilai 90 tampak “lebih istimewa” di Kelas A?**

Karena sebaran Kelas A lebih kecil, nilai 90 berada 1.06 SD di atas mean Kelas A, tetapi hanya 0.69
SD di atas mean Kelas B. Nilai yang sama menempati posisi relatif berbeda tergantung sebaran
kelasnya.

**4. Apa rekomendasi bagi dosen?**

Kelas A cukup ditangani dengan pengajaran standar. Kelas B membutuhkan **pendekatan**
**berlapis:** pendampingan tambahan bagi kelompok bernilai rendah, dan materi pengayaan bagi
kelompok bernilai tinggi. Kesimpulan ini **tidak akan terlihat** bila hanya membandingkan mean.

<hr style="border: 2px solid black; width: 50%; margin: 50px auto;">

# Latihan Mandiri

## Latihan Utama (Exercise 2.14 Lanjutan): Kepemilikan Kartu Kredit

**Konteks:** Sebuah sampel acak dari 80 orang dewasa ditanya mengenai jumlah kartu kredit yang
mereka miliki. Data sudah disajikan dalam kelas (data terkelompok):



### Tugas 1: Klasifikasi variabel dan pemilihan ukuran

Variabel yang diamati adalah **jumlah kartu kredit yang dimiliki.** Karena berupa hasil **hitun-**
**gan** (bilangan bulat non-negatif) dengan nol mutlak, variabelnya **kuantitatif diskrit berskala**
**rasio.** Dengan skala rasio, **semua** ukuran pemusatan dan penyebaran (termasuk koefisien variasi)
valid untuk dihitung.

### Tugas 2: Hitung titik tengah kelas (m) untuk interval “4 to 7”

11.3 [1] 5.5

Titik tengah kelas "4 to 7" adalah **5.5**, diperoleh dari $\dfrac{4+7}{2}$ (sama dengan menggunakan batas nyata: $\dfrac{3{,}5+7{,}5}{2}$).

### Tugas 3: Hitung mean, median, dan modus

11.4 n Mean Median Modus

11.5 80.00 7.10 6.88 6.17

Kelas median dan kelas modus keduanya adalah “4 to 7” (frekuensi terbesar = 26; frekuensi kumu-
latif melampaui 40 di kelas ini).

### Tugas 4: Hitung varians, simpangan baku, dan koefisien variasi

11.6 Varians SD CV_persen

11.7 16.85 4.10 57.82

### Tugas 5: Interpretasikan bentuk distribusi dan variabilitasnya

11.8 Mean

11.9 0.16

```{=html}
<div class="plotly html-widget html-fill-item" id="htmlwidget-494c6bbfceedb9bdba15" style="width:768px;height:480px;"></div>
<script type="application/json" data-for="htmlwidget-494c6bbfceedb9bdba15">{"x":{"visdat":{"140413ac210c":["function () ","plotlyVisDat"]},"cur_data":"140413ac210c","attrs":{"140413ac210c":{"alpha_stroke":1,"sizes":[10,100],"spans":[1,20],"x":[1.5,5.5,9.5,13.5],"y":[18,26,22,14],"type":"bar","width":[4,4,4,4],"marker":{"color":["#91C2A6","#0B5D2E","#4E8F6A","#D5F5E3"],"line":{"color":"white","width":1.5}},"text":[18,26,22,14],"textposition":"outside","textfont":{"size":14},"showlegend":false,"customdata":["0 - 3","4 - 7","8 - 11","12 - 15"],"hovertemplate":"Kelas: <b>%{customdata}<\/b> kartu<br>Frekuensi: %{y}<extra><\/extra>","inherit":true},"140413ac210c.1":{"alpha_stroke":1,"sizes":[10,100],"spans":[1,20],"x":[7.0999999999999996,7.0999999999999996],"y":[0,31.199999999999999],"type":"scatter","mode":"lines","name":"Mean","line":{"color":"black","width":3},"hovertemplate":"Mean: 7.1<extra><\/extra>","inherit":true},"140413ac210c.2":{"alpha_stroke":1,"sizes":[10,100],"spans":[1,20],"x":[6.884615384615385,6.884615384615385],"y":[0,31.199999999999999],"type":"scatter","mode":"lines","name":"Median","line":{"color":"#E67E22","width":3,"dash":"dash"},"hovertemplate":"Median: 6.88<extra><\/extra>","inherit":true},"140413ac210c.3":{"alpha_stroke":1,"sizes":[10,100],"spans":[1,20],"x":[6.1666666666666661,6.1666666666666661],"y":[0,31.199999999999999],"type":"scatter","mode":"lines","name":"Modus","line":{"color":"#1F4E9E","width":3,"dash":"dot"},"hovertemplate":"Modus: 6.17<extra><\/extra>","inherit":true}},"layout":{"margin":{"b":40,"l":70,"t":80,"r":40},"title":{"text":"<b>Distribusi Kepemilikan Kartu Kredit (n = 80)<\/b>","x":0.5,"xanchor":"center"},"bargap":0,"xaxis":{"domain":[0,1],"automargin":true,"title":"","tickvals":[0,5,10,15],"range":[-1,16],"showgrid":false,"zeroline":false,"showline":true,"mirror":true},"yaxis":{"domain":[0,1],"automargin":true,"title":"Frekuensi","range":[0,31.199999999999999],"showticklabels":false,"ticks":"","showgrid":false,"zeroline":false,"showline":true,"mirror":true},"legend":{"x":0.96999999999999997,"y":0.96999999999999997,"xanchor":"right","yanchor":"top","bgcolor":"rgba(255,255,255,0.7)"},"hovermode":"closest","showlegend":true},"source":"A","config":{"modeBarButtonsToAdd":["hoverclosest","hovercompare"],"showSendToCloud":false},"data":[{"x":[1.5,5.5,9.5,13.5],"y":[18,26,22,14],"type":"bar","width":[4,4,4,4],"marker":{"color":["#91C2A6","#0B5D2E","#4E8F6A","#D5F5E3"],"line":{"color":"white","width":1.5}},"text":[18,26,22,14],"textposition":["outside","outside","outside","outside"],"textfont":{"size":14},"showlegend":false,"customdata":["0 - 3","4 - 7","8 - 11","12 - 15"],"hovertemplate":["Kelas: <b>%{customdata}<\/b> kartu<br>Frekuensi: %{y}<extra><\/extra>","Kelas: <b>%{customdata}<\/b> kartu<br>Frekuensi: %{y}<extra><\/extra>","Kelas: <b>%{customdata}<\/b> kartu<br>Frekuensi: %{y}<extra><\/extra>","Kelas: <b>%{customdata}<\/b> kartu<br>Frekuensi: %{y}<extra><\/extra>"],"error_y":{"color":"rgba(31,119,180,1)"},"error_x":{"color":"rgba(31,119,180,1)"},"xaxis":"x","yaxis":"y","frame":null},{"x":[7.0999999999999996,7.0999999999999996],"y":[0,31.199999999999999],"type":"scatter","mode":"lines","name":"Mean","line":{"color":"black","width":3},"hovertemplate":["Mean: 7.1<extra><\/extra>","Mean: 7.1<extra><\/extra>"],"marker":{"color":"rgba(255,127,14,1)","line":{"color":"rgba(255,127,14,1)"}},"error_y":{"color":"rgba(255,127,14,1)"},"error_x":{"color":"rgba(255,127,14,1)"},"xaxis":"x","yaxis":"y","frame":null},{"x":[6.884615384615385,6.884615384615385],"y":[0,31.199999999999999],"type":"scatter","mode":"lines","name":"Median","line":{"color":"#E67E22","width":3,"dash":"dash"},"hovertemplate":["Median: 6.88<extra><\/extra>","Median: 6.88<extra><\/extra>"],"marker":{"color":"rgba(44,160,44,1)","line":{"color":"rgba(44,160,44,1)"}},"error_y":{"color":"rgba(44,160,44,1)"},"error_x":{"color":"rgba(44,160,44,1)"},"xaxis":"x","yaxis":"y","frame":null},{"x":[6.1666666666666661,6.1666666666666661],"y":[0,31.199999999999999],"type":"scatter","mode":"lines","name":"Modus","line":{"color":"#1F4E9E","width":3,"dash":"dot"},"hovertemplate":["Modus: 6.17<extra><\/extra>","Modus: 6.17<extra><\/extra>"],"marker":{"color":"rgba(214,39,40,1)","line":{"color":"rgba(214,39,40,1)"}},"error_y":{"color":"rgba(214,39,40,1)"},"error_x":{"color":"rgba(214,39,40,1)"},"xaxis":"x","yaxis":"y","frame":null}],"highlight":{"on":"plotly_click","persistent":false,"dynamic":false,"selectize":false,"opacityDim":0.20000000000000001,"selected":{"opacity":1},"debounce":0},"shinyEvents":["plotly_hover","plotly_click","plotly_selected","plotly_relayout","plotly_brushed","plotly_brushing","plotly_clickannotation","plotly_doubleclick","plotly_deselect","plotly_afterplot","plotly_sunburstclick"],"base_url":"https://plot.ly"},"evals":[],"jsHooks":[]}</script>

Jawaban: Mean (7.1) sedikit di atas median (6.88) dan modus (6.17), dengan Sk = 0.16, sehingga distribusinya hampir simetris dengan sedikit kemencengan ke kanan. Rata-rata orang dalam sampel memiliki sekitar 7 kartu kredit. CV sebesar 57.8% menunjukkan variabilitas yang tinggi (simpangan baku mencapai lebih dari separuh mean-nya) – kepemilikan kartu kredit sangat beragam antarindividu.