Estadística inferencial, taller 3

Profesora: Keyla Vanessa Alba Molina

# Opciones globales: aplican a todos los bloques de código
knitr::opts_chunk$set(
  echo = TRUE,       # muestra el código en el PDF
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  fig.align = "center",
  fig.width = 6,
  fig.height = 4
)

# Paquetes utilizados
library(readxl)    # leer archivos Excel
library(ggplot2)   # gráficos
library(knitr)     # tablas con kable()

# Lectura de datos con ruta RELATIVA
datos <- read_excel("Base_Psicologia_Bienestar (1).xlsx")

Resumen

Este estudio analiza si el estilo de vida se asocia con indicadores de bienestar psicológico en una muestra de 100 personas adultas, a partir de una base de datos suministrada por la docente para el curso. Se evaluaron tres hipótesis sobre parámetros poblacionales con un nivel de significancia de 0,05: (1) si la satisfacción promedio con la vida supera el punto medio de la escala (\(\mu_0=5\)); (2) si la proporción de personas que realiza actividad física difiere de 0,50; y (3) si la varianza del nivel de estrés difiere de 8,25, valor teórico de una distribución uniforme en la escala de 1 a 10. Se emplearon la prueba \(t\) para una media, la prueba \(Z\) para una proporción y la prueba \(\chi^2\) para una varianza, con desarrollo matemático y verificación en R. La satisfacción media fue de 5,72 (\(p=0{,}0048\)) y la proporción con actividad física fue de 0,61 (\(p=0{,}0278\)); en ambos casos se rechazó la hipótesis nula, con efectos pequeños. La varianza del estrés (8,16) fue compatible con 8,25 (\(p=0{,}9788\)). Se concluye que existe evidencia de un bienestar moderadamente favorable y de una ligera mayoría físicamente activa, y se advierte que el diseño transversal impide afirmaciones causales.

Palabras clave

Pruebas de hipótesis; bienestar psicológico; satisfacción con la vida; actividad física; estrés.

Introducción

Contextualización

El bienestar psicológico se ha consolidado como un indicador central de la salud mental, más allá de la ausencia de enfermedad. Uno de sus componentes más estudiados es la satisfacción con la vida, definida como un juicio cognitivo global sobre la propia existencia (Diener et al., 1985). Junto a ella, el estrés percibido describe el grado en que las situaciones de la vida se valoran como impredecibles, incontrolables y abrumadoras (Cohen et al., 1983). Ambos constructos se relacionan con hábitos cotidianos como la actividad física, el sueño y el uso de redes sociales.

Importancia del problema

Comprender cómo se distribuyen estas variables en una población permite orientar acciones de promoción de la salud mental. Sin embargo, la descripción de una muestra no basta: la estadística inferencial permite contrastar si lo observado en la muestra aporta evidencia sobre los parámetros de la población (Llinás, s. f.).

Antecedentes

La literatura reciente muestra que la actividad física se asocia con mejor salud mental y bienestar, y que esta relación está mediada por factores como el afecto, la autoestima, la resiliencia y el apoyo social (White, R.L., Vella, S., Biddle, S. et al., 2024). Por otra parte, en estudiantes universitarios se ha documentado que niveles altos de estrés percibido se asocian con peor calidad del sueño (Huang, Y., Yang, L., Liu, Y. et al., 2024). Estos hallazgos sugieren que hábitos de vida, sueño y estrés forman un conjunto interrelacionado, lo que justifica analizarlos conjuntamente.

Pregunta problema

¿Existe evidencia estadística suficiente para afirmar que los parámetros poblacionales de satisfacción con la vida, actividad física y nivel de estrés difieren de los valores de referencia establecidos?

Objetivo general

Evaluar mediante pruebas de hipótesis diferentes afirmaciones acerca de parámetros poblacionales relacionados con el estilo de vida y el bienestar psicológico en una muestra de 100 personas adultas.

Marco teórico

Hipótesis estadística

Una hipótesis estadística es una afirmación cuantitativa acerca de uno o más parámetros de una o más poblaciones (Llinás, s. f.). Se contrasta con la información de una muestra aleatoria.

Hipótesis nula y alternativa

La hipótesis nula (\(H_0\)) afirma que no hay diferencia entre el valor verdadero de un parámetro y su valor hipotético. Siempre contiene un signo de igualdad. La hipótesis alternativa (\(H_1\)) es su complemento y representa la conclusión que se apoya si \(H_0\) se rechaza; nunca contiene un signo de igualdad (Llinás, s. f.). Si \(\theta\) es un parámetro y \(k\) un número real, la alternativa \(H_1: \theta \neq k\) es bilateral (dos colas) y las alternativas \(H_1: \theta < k\) o \(H_1: \theta > k\) son unilaterales (una cola).

Nivel de significancia, errores Tipo I y Tipo II

Decisión \(H_0\) es verdadera \(H_0\) es falsa
No rechazar \(H_0\) Decisión correcta (\(1-\alpha\)) Error Tipo II (\(\beta\))
Rechazar \(H_0\) Error Tipo I (\(\alpha\)) Decisión correcta (\(1-\beta\))

El error Tipo I es rechazar \(H_0\) cuando es verdadera, y su probabilidad es el nivel de significancia \(\alpha\). El error Tipo II es no rechazar \(H_0\) cuando es falsa, con probabilidad \(\beta\). La cantidad \(1-\beta\) es la potencia de la prueba. Al reducir \(\alpha\) aumenta \(\beta\), salvo que se aumente el tamaño de la muestra (Llinás, s. f.).

Estadístico de prueba, región crítica y valor \(p\)

El estadístico de prueba es una función de la muestra que se usa para decidir si se rechaza \(H_0\). La región crítica es el conjunto de valores del estadístico para los cuales se rechaza \(H_0\). El valor \(p\) es la probabilidad, bajo \(H_0\), de obtener un estadístico tan extremo o más que el observado. Se rechaza \(H_0\) si \(p < \alpha\).

Decisión estadística

Se rechaza \(H_0\) si el estadístico cae en la región crítica o, de forma equivalente, si \(p<\alpha\). Aquí se usa la expresión “no se rechaza \(H_0\)” en lugar de “se acepta \(H_0\)”, porque la ausencia de evidencia en contra no demuestra que \(H_0\) sea cierta (Llinás, s. f.).

Distribuciones y estadísticos utilizados

Prueba Parámetro Estadístico Distribución bajo \(H_0\)
Una media (\(\sigma\) desconocida) \(\mu\) \(t=\dfrac{\bar{x}-\mu_0}{s/\sqrt{n}}\) \(t\) de Student, \(n-1\) g.l.
Una proporción \(p\) \(Z=\dfrac{\hat{p}-p_0}{\sqrt{p_0(1-p_0)/n}}\) Normal estándar
Una varianza \(\sigma^2\) \(\chi^2=\dfrac{(n-1)s^2}{\sigma_0^2}\) \(\chi^2\) con \(n-1\) g.l.

Metodología

Origen de los datos

La base de datos (Base_Psicologia_Bienestar (1).xlsx) fue suministrada por la docente del curso con fines académicos. No se dispone de información sobre el instrumento de recolección ni sobre el procedimiento de muestreo; por tanto, los resultados se interpretan como ejercicio de inferencia estadística y no como evidencia confirmatoria sobre una población específica.

Población y muestra

La población de interés son personas adultas de las que se tienen registros de bienestar psicológico y hábitos de vida. Se trabajó con una muestra de \(n = 100\) participantes (edades entre 18 y 60 años). Se asume, como supuesto de trabajo, que corresponde a una muestra aleatoria simple de dicha población.

Variables seleccionadas

Variable Tipo Escala
satisfaccion_vida Cuantitativa 1 a 10
realiza_actividad_fisica Cualitativa dicotómica Sí / No
nivel_estres Cuantitativa 1 a 10 Prueba 7.3

Parámetros y pruebas analizadas

Parámetro Hipótesis Prueba
\(\mu\) (satisfacción media) \(H_0:\mu=5\) vs \(H_1:\mu>5\) \(t\) de una muestra
\(p\) (proporción con actividad física) \(H_0:p=0{,}50\) vs \(H_1:p\neq0{,}50\) \(Z\) para una proporción
\(\sigma^2\) (varianza del estrés) \(H_0:\sigma^2=8{,}25\) vs \(H_1:\sigma^2\neq8{,}25\) \(\chi^2\) para una varianza

Justificación de los valores de referencia

  • \(\mu_0=5\): punto medio de la escala 1 a 10.
  • \(p_0=0{,}50\): valor de máxima incertidumbre, sin información previa que sugiera otro.
    • \(\sigma_0^2=8{,}25\): varianza teórica de una variable que toma los valores 1 a 10 con igual probabilidad, \(\sigma^2=(k^2-1)/12\) con \(k=10\). Se usa como referencia de “máxima dispersión sin preferencia por ningún valor de la escala”.

Nivel de significancia y criterios

En todas las pruebas se fijó \(\alpha=0{,}05\). Se reporta el estadístico, los grados de libertad, el valor \(p\), el intervalo de confianza del 95 %.

Software y procedimiento

El análisis se realizó en R, con RStudio en Posit Cloud, y el informe se elaboró en R Markdown. Cada prueba se resolvió primero de forma matemática (hipótesis, \(\alpha\), estadístico, valor crítico o \(p\), decisión) y luego se reprodujo en R con t.test(), prop.test(), qt(), qnorm(), qchisq() y pchisq().

Pruebas de hipótesis

Prueba para una media

Contexto. Se evalúa si la satisfacción media con la vida supera el punto medio de la escala (5).

Hipótesis: \(H_0:\mu=5\) frente a \(H_1:\mu>5\), con \(\alpha=0{,}05\).

Desarrollo matemático en R

# Datos de la muestra
x <- datos$satisfaccion_vida
n <- length(x)             # tamaño de la muestra
xbar <- mean(x)            # media muestral
s <- sd(x)                 # desviación estándar muestral
mu0 <- 5                   # valor de referencia
alfa <- 0.05

# Estadístico t "a mano"
ee <- s / sqrt(n)                  # error estándar
t_obs <- (xbar - mu0) / ee         # estadístico observado
gl <- n - 1                        # grados de libertad

# Valor crítico y valor p (cola derecha)
t_crit <- qt(1 - alfa, df = gl)
p_valor <- pt(t_obs, df = gl, lower.tail = FALSE)

# Tamaño del efecto: d de Cohen para una muestra
d_cohen <- (xbar - mu0) / s

# Tabla resumen
resumen_media <- data.frame(
  Medida = c("n", "Media muestral", "Desv. estándar", "Error estándar",
             "t observado", "t crítico", "Grados de libertad",
             "Valor p", "d de Cohen"),
  Valor = round(c(n, xbar, s, ee, t_obs, t_crit, gl, p_valor, d_cohen), 4)
)
kable(resumen_media, caption = "Prueba t para una media: cálculo manual")
Prueba t para una media: cálculo manual
Medida Valor
n 100.0000
Media muestral 5.7200
Desv. estándar 2.7269
Error estándar 0.2727
t observado 2.6404
t crítico 1.6604
Grados de libertad 99.0000
Valor p 0.0048
d de Cohen 0.2640

Verificación con t.test()

# Prueba unilateral derecha
resultado_media <- t.test(x, mu = 5, alternative = "greater", conf.level = 0.95)
resultado_media
## 
##  One Sample t-test
## 
## data:  x
## t = 2.6404, df = 99, p-value = 0.004812
## alternative hypothesis: true mean is greater than 5
## 95 percent confidence interval:
##  5.267229      Inf
## sample estimates:
## mean of x 
##      5.72
# Intervalo de confianza bilateral del 95 % (más fácil de interpretar)
ic_media <- t.test(x, mu = 5, alternative = "two.sided", conf.level = 0.95)$conf.int
ic_media
## [1] 5.178925 6.261075
## attr(,"conf.level")
## [1] 0.95

Gráfico

# Valores de la prueba (reutiliza t_obs, t_crit y gl del bloque anterior)
curva <- data.frame(x = seq(-4, 4, length.out = 500))
curva$y <- dt(curva$x, df = gl)

ggplot(curva, aes(x = x, y = y)) +
  geom_line(linewidth = 1) +
  # Región crítica: cola derecha
  geom_area(data = subset(curva, x >= t_crit), aes(y = y),
            fill = "tomato", alpha = 0.5) +
  geom_vline(xintercept = t_crit, linetype = "dashed", color = "tomato") +
  geom_vline(xintercept = t_obs, color = "darkgreen", linewidth = 1) +
  annotate("text", x = t_crit, y = 0.30,
           label = paste0("t crítico = ", round(t_crit, 3)),
           hjust = 1.1, color = "tomato") +
  annotate("text", x = t_obs, y = 0.38,
           label = paste0("t observado = ", round(t_obs, 3)),
           hjust = -0.1, color = "darkgreen") +
  labs(title = "Prueba t unilateral derecha",
       subtitle = "Zona roja: región crítica (alfa = 0,05)",
       x = "Valor de t", y = "Densidad") +
  theme_minimal()
Distribución t con 99 grados de libertad: región crítica (cola derecha) y estadístico observado.

Distribución t con 99 grados de libertad: región crítica (cola derecha) y estadístico observado.

Interpretación

Con un nivel de significancia del 5%, no hay suficiente evidencia para concluir que la satisfacción media con la vida supera el punto medio de la escala (5), por lo que se rechaza la \(H_0\).

Prueba para una proporción

Contexto. Se evalúa si la proporción de personas que realizan actividad física difiere de 0,50.

Parámetro: \(p\), proporción poblacional con actividad física.

Hipótesis: \(H_0:p=0{,}50\) frente a \(H_1:p\neq0{,}50\), con \(\alpha=0{,}05\).

Desarrollo matemático en R

# Conteo de éxitos: personas que SÍ realizan actividad física
x_exitos <- sum(datos$realiza_actividad_fisica == "Sí")
n_prop <- nrow(datos)
p_hat <- x_exitos / n_prop        # proporción muestral
p0 <- 0.50                        # valor de referencia
alfa <- 0.05

# Verificación de condiciones (n*p0 >= 5 y n*(1-p0) >= 5)
cond1 <- n_prop * p0
cond2 <- n_prop * (1 - p0)

# Error estándar BAJO H0 y estadístico Z
ee0 <- sqrt(p0 * (1 - p0) / n_prop)
z_obs <- (p_hat - p0) / ee0

# Valores críticos y valor p (bilateral)
z_crit <- qnorm(1 - alfa / 2)
p_valor_z <- 2 * pnorm(abs(z_obs), lower.tail = FALSE)

# Intervalo de confianza de Wald al 95 %
ee_hat <- sqrt(p_hat * (1 - p_hat) / n_prop)
ic_wald <- c(p_hat - z_crit * ee_hat, p_hat + z_crit * ee_hat)

# Tamaño del efecto: h de Cohen para proporciones
h_cohen <- 2 * asin(sqrt(p_hat)) - 2 * asin(sqrt(p0))

resumen_prop <- data.frame(
  Medida = c("Éxitos", "n", "Proporción muestral", "n * p0", "n * (1 - p0)",
             "Error estándar bajo H0", "Z observado", "Z crítico (±)",
             "Valor p", "IC 95 % inferior", "IC 95 % superior", "h de Cohen"),
  Valor = round(c(x_exitos, n_prop, p_hat, cond1, cond2,
                  ee0, z_obs, z_crit, p_valor_z,
                  ic_wald[1], ic_wald[2], h_cohen), 4)
)
kable(resumen_prop, caption = "Prueba Z para una proporción: cálculo manual")
Prueba Z para una proporción: cálculo manual
Medida Valor
Éxitos 61.0000
n 100.0000
Proporción muestral 0.6100
n * p0 50.0000
n * (1 - p0) 50.0000
Error estándar bajo H0 0.0500
Z observado 2.2000
Z crítico (±) 1.9600
Valor p 0.0278
IC 95 % inferior 0.5144
IC 95 % superior 0.7056
h de Cohen 0.2218

Verificación con prop.test()

# correct = FALSE para que coincida con la prueba Z de los apuntes
resultado_prop <- prop.test(x = x_exitos, n = n_prop, p = 0.50,
                            alternative = "two.sided", conf.level = 0.95,
                            correct = FALSE)
resultado_prop
## 
##  1-sample proportions test without continuity correction
## 
## data:  x_exitos out of n_prop, null probability 0.5
## X-squared = 4.84, df = 1, p-value = 0.02781
## alternative hypothesis: true p is not equal to 0.5
## 95 percent confidence interval:
##  0.5120302 0.6998313
## sample estimates:
##    p 
## 0.61
# Comprobación: el chi-cuadrado de prop.test es el cuadrado de Z
c(Z_al_cuadrado = z_obs^2, X_squared = unname(resultado_prop$statistic))
## Z_al_cuadrado     X_squared 
##          4.84          4.84

Gráfico: distribución normal con región crítica

# Curva normal estándar
curva_z <- data.frame(x = seq(-4, 4, length.out = 500))
curva_z$y <- dnorm(curva_z$x)

ggplot(curva_z, aes(x = x, y = y)) +
  geom_line(linewidth = 1) +
  # Región crítica: cola izquierda
  geom_area(data = subset(curva_z, x <= -z_crit), aes(y = y),
            fill = "tomato", alpha = 0.5) +
  # Región crítica: cola derecha
  geom_area(data = subset(curva_z, x >= z_crit), aes(y = y),
            fill = "tomato", alpha = 0.5) +
  geom_vline(xintercept = c(-z_crit, z_crit), linetype = "dashed",
             color = "tomato") +
  geom_vline(xintercept = z_obs, color = "darkgreen", linewidth = 1) +
  annotate("text", x = z_crit, y = 0.30,
           label = paste0("Z crítico = ±", round(z_crit, 2)),
           hjust = -0.1, color = "tomato") +
  annotate("text", x = z_obs, y = 0.38,
           label = paste0("Z observado = ", round(z_obs, 2)),
           hjust = -0.1, color = "darkgreen") +
  labs(title = "Prueba Z bilateral para una proporción",
       subtitle = "Zonas rojas: regiones críticas (alfa = 0,05)",
       x = "Valor de Z", y = "Densidad") +
  theme_minimal()
Distribución normal estándar: regiones críticas (ambas colas) y estadístico Z observado.

Distribución normal estándar: regiones críticas (ambas colas) y estadístico Z observado.

Interpretación

Existe evidencia estadística suficiente, con un nivel de significancia del 5 %, para afirmar que la proporción de personas que realizan actividad física en la población es distinta de 0,50, por lo que se rechaza la \(H_0\).

Prueba para una varianza

Contexto. Se evalúa si la variabilidad del nivel de estrés difiere de la de una variable uniforme en la escala de 1 a 10.

Parámetro: \(\sigma^2\), varianza poblacional del nivel de estrés.

Hipótesis: \(H_0:\sigma^2=8{,}25\) frente a \(H_1:\sigma^2\neq8{,}25\), con \(\alpha=0{,}05\).

Desarrollo matemático en R

# Datos de la muestra
y <- datos$nivel_estres
n_var <- length(y)               # tamaño de la muestra
s2 <- var(y)                     # varianza muestral
sigma0_2 <- 8.25                 # valor de referencia
alfa <- 0.05
gl_var <- n_var - 1              # grados de libertad

# Estadístico chi-cuadrado
chi_obs <- gl_var * s2 / sigma0_2

# Valores críticos (dos colas) y valor p bilateral
chi_inf <- qchisq(alfa / 2, df = gl_var)
chi_sup <- qchisq(1 - alfa / 2, df = gl_var)
p_valor_var <- 2 * min(pchisq(chi_obs, df = gl_var),
                       pchisq(chi_obs, df = gl_var, lower.tail = FALSE))

# Intervalo de confianza del 95 % para sigma^2 y para sigma
ic_var <- c(gl_var * s2 / chi_sup, gl_var * s2 / chi_inf)
ic_sd <- sqrt(ic_var)

# Tamaño del efecto: razón s^2 / sigma0^2 (vale 1 si no hay diferencia)
razon <- s2 / sigma0_2
ic_razon <- ic_var / sigma0_2

resumen_var <- data.frame(
  Medida = c("n", "Varianza muestral", "Desv. estándar muestral",
             "Chi-cuadrado observado", "Grados de libertad",
             "Chi crítico inferior", "Chi crítico superior", "Valor p",
             "IC 95 % sigma^2 inferior", "IC 95 % sigma^2 superior",
             "IC 95 % sigma inferior", "IC 95 % sigma superior",
             "Razón s2 / sigma0^2"),
  Valor = round(c(n_var, s2, sqrt(s2), chi_obs, gl_var,
                  chi_inf, chi_sup, p_valor_var,
                  ic_var[1], ic_var[2], ic_sd[1], ic_sd[2], razon), 4)
)
kable(resumen_var, caption = "Prueba chi-cuadrado para una varianza: cálculo manual")
Prueba chi-cuadrado para una varianza: cálculo manual
Medida Valor
n 100.0000
Varianza muestral 8.1635
Desv. estándar muestral 2.8572
Chi-cuadrado observado 97.9624
Grados de libertad 99.0000
Chi crítico inferior 73.3611
Chi crítico superior 128.4220
Valor p 0.9788
IC 95 % sigma^2 inferior 6.2932
IC 95 % sigma^2 superior 11.0166
IC 95 % sigma inferior 2.5086
IC 95 % sigma superior 3.3191
Razón s2 / sigma0^2 0.9895

Verificación con pchisq() y qchisq()

n <- length(datos$nivel_estres)
s2 <- var(datos$nivel_estres)
sigma02 <- 8.25
chi_obs <- (n - 1) * s2 / sigma02
gl <- n - 1

# Bilateral: el doble de la cola más pequeña
p_valor <- 2 * min(pchisq(chi_obs, df = gl),
                   pchisq(chi_obs, df = gl, lower.tail = FALSE))

c(chi2 = chi_obs, gl = gl, p_valor = p_valor)
##       chi2         gl    p_valor 
## 97.9624242 99.0000000  0.9788152

Gráfico: distribución chi-cuadrado con regiones críticas

# Curva chi-cuadrado
curva_chi <- data.frame(x = seq(55, 150, length.out = 600))
curva_chi$y <- dchisq(curva_chi$x, df = gl_var)

ggplot(curva_chi, aes(x = x, y = y)) +
  geom_line(linewidth = 1) +
  # Región crítica: cola izquierda
  geom_area(data = subset(curva_chi, x <= chi_inf), aes(y = y),
            fill = "tomato", alpha = 0.5) +
  # Región crítica: cola derecha
  geom_area(data = subset(curva_chi, x >= chi_sup), aes(y = y),
            fill = "tomato", alpha = 0.5) +
  geom_vline(xintercept = c(chi_inf, chi_sup), linetype = "dashed",
             color = "tomato") +
  geom_vline(xintercept = chi_obs, color = "darkgreen", linewidth = 1) +
  annotate("text", x = chi_inf, y = 0.034,
           label = paste0("crítico = ", round(chi_inf, 2)),
           hjust = 1.05, color = "tomato") +
  annotate("text", x = chi_sup, y = 0.034,
           label = paste0("crítico = ", round(chi_sup, 2)),
           hjust = -0.05, color = "tomato") +
  annotate("text", x = chi_obs, y = 0.040,
           label = paste0("chi2 observado = ", round(chi_obs, 2)),
           hjust = -0.1, color = "darkgreen") +
  labs(title = "Prueba chi-cuadrado bilateral para una varianza",
       subtitle = "Zonas rojas: regiones críticas (alfa = 0,05)",
       x = "Valor de chi-cuadrado", y = "Densidad") +
  theme_minimal()
Distribución chi-cuadrado con 99 grados de libertad: regiones críticas (ambas colas) y estadístico observado.

Distribución chi-cuadrado con 99 grados de libertad: regiones críticas (ambas colas) y estadístico observado.

Interpretación

Con estos datos no hay evidencia suficiente, con un nivel de significancia del 5 %, para afirmar que la variabilidad del nivel de estrés difiere de la de una distribución uniforme en la escala de 1 a 10. Por lo que se rechaza la \(H_0\)

Interpretación de salidas de R

Salida 1: prueba t para una media (satisfacción con la vida)

    One Sample t-test

data:  x
t = 2.6404, df = 99, p-value = 0.004812
alternative hypothesis: true mean is greater than 5
95 percent confidence interval:
 5.267229      Inf
sample estimates:
mean of x 
     5.72
Línea de la salida Qué significa
One Sample t-test Prueba \(t\) para una sola muestra, que contrasta la media poblacional con un valor de referencia.
data: x La variable analizada: satisfaccion_vida (guardada en x).
t = 2.6404 Estadístico observado: la media muestral está a 2,64 errores estándar por encima de 5.
df = 99 Grados de libertad, \(n-1=100-1\).
p-value = 0.004812 Si \(\mu\) fuera realmente 5, la probabilidad de obtener un \(t\) tan alto o más sería del 0,48 %.
alternative hypothesis: ... greater than 5 Indica que la prueba fue unilateral derecha: \(H_1:\mu>5\).
95 percent confidence interval: 5.267229 Inf Cota inferior: con 95 % de confianza, \(\mu\geq5{,}27\). El límite superior es infinito porque la prueba es de una cola.
mean of x = 5.72 Media muestral \(\bar{x}\).

Hipótesis. \(H_0:\mu=5\) frente a \(H_1:\mu>5\).

Decisión. Como \(p=0{,}004812<\alpha=0{,}05\) (y \(t=2{,}6404>t_{0{,}05;99}=1{,}660\)), se rechaza \(H_0\).

Intervalo de confianza. El intervalo unilateral \([5{,}27;\ \infty)\) ya excluye al 5. El bilateral, calculado aparte, es \((5{,}179;\ 6{,}261)\): con 95 % de confianza, la satisfacción media poblacional está entre 5,18 y 6,26 puntos.

Interpretación contextual. Hay evidencia estadística suficiente para afirmar que las personas de esta población están, en promedio, más satisfechas con su vida que el punto medio de la escala. El efecto es pequeño (\(d=0{,}26\)): la media supera a 5 en 0,72 puntos sobre una escala de 10.

Salida 2: prueba para una proporción (actividad física)

    1-sample proportions test without continuity correction

data:  x_exitos out of n_prop, null probability 0.5
X-squared = 4.84, df = 1, p-value = 0.02781
alternative hypothesis: true p is not equal to 0.5
95 percent confidence interval:
 0.5120302 0.6998313
sample estimates:
   p 
0.61
Línea de la salida Qué significa
1-sample proportions test without continuity correction Prueba para una proporción, sin corrección de Yates (correct = FALSE), por lo que coincide con la prueba \(Z\) del desarrollo matemático.
data: x_exitos out of n_prop, null probability 0.5 Se analizan los éxitos (personas con actividad física) sobre el total, con \(p_0=0{,}5\).
X-squared = 4.84 Estadístico chi-cuadrado. Es el cuadrado del estadístico \(Z\): \(Z^2=2{,}20^2=4{,}84\).
df = 1 Un grado de libertad, propio de la prueba para una proporción.
p-value = 0.02781 Si \(p\) fuera 0,5, la probabilidad de un resultado tan o más extremo sería del 2,78 %.
alternative hypothesis: ... not equal to 0.5 Prueba bilateral: \(H_1:p\neq0{,}5\).
95 percent confidence interval: 0.5120302 0.6998313 Con 95 % de confianza, la proporción poblacional está entre 0,512 y 0,700 (intervalo de Wilson).
p = 0.61 Proporción muestral \(\hat{p}\).

Hipótesis. \(H_0:p=0{,}50\) frente a \(H_1:p\neq0{,}50\).

Decisión. Como \(p=0{,}02781<0{,}05\) (y \(|Z|=2{,}20>1{,}96\)), se rechaza \(H_0\).

Intervalo de confianza. El intervalo \((0{,}512;\ 0{,}700)\) no contiene el 0,5, coherente con el rechazo. También muestra incertidumbre: la proporción verdadera podría ser apenas superior a la mitad o cercana al 70 %.

Interpretación contextual. Hay evidencia suficiente para afirmar que la proporción de personas que realizan actividad física es distinta de 0,50. Como \(\hat{p}=0{,}61\), los datos sugieren que más de la mitad de la población la realiza. El efecto es pequeño (\(h=0{,}22\)): la diferencia es de 11 puntos porcentuales.

Salida 3: prueba chi-cuadrado para una varianza (nivel de estrés)

R base no incluye una función directa para esta prueba (var.test() compara dos varianzas y chisq.test() se usa para tablas de contingencia). Por eso el estadístico y el valor \(p\) se calcularon con pchisq(), y la salida es un vector con tres valores:

      chi2          gl     p_valor 
97.9624242  99.0000000   0.9788152
Elemento de la salida Qué significa
chi2 = 97.9624 Estadístico observado \(\chi^2=\dfrac{(n-1)s^2}{\sigma_0^2}\). Compara la varianza muestral con la de referencia: un valor cercano a los grados de libertad (99) indica que \(s^2\) es parecido a \(\sigma_0^2\).
gl = 99 Grados de libertad, \(n-1=100-1\).
p_valor = 0.9788 Valor \(p\) bilateral, calculado como el doble de la cola más pequeña. Si \(\sigma^2\) fuera realmente 8,25, un estadístico tan alejado de 99 como el observado (o más) ocurriría el 97,9 % de las veces.

Esta salida no trae las hipótesis, el nivel de significancia ni los valores críticos, por lo que se completan con el resto del cálculo:

  • Hipótesis. \(H_0:\sigma^2=8{,}25\) frente a \(H_1:\sigma^2\neq8{,}25\).
  • Valores críticos (con qchisq(), \(\alpha=0{,}05\)): \(73{,}36\) y \(128{,}42\).
  • Intervalo de confianza del 95 % para \(\sigma^2\): \((6{,}29;\ 11{,}02)\), obtenido con \(\dfrac{(n-1)s^2}{\chi^2_{0{,}025}}\) y \(\dfrac{(n-1)s^2}{\chi^2_{0{,}975}}\).

Decisión. Como \(\chi^2=97{,}96\) está entre \(73{,}36\) y \(128{,}42\), y \(p=0{,}9788>0{,}05\), no se rechaza \(H_0\).

Interpretación contextual. Los datos no aportan evidencia suficiente para afirmar que la variabilidad del nivel de estrés difiera de la de una variable repartida de forma uniforme en la escala de 1 a 10 (\(\sigma^2=8{,}25\)). En lenguaje sencillo: el estrés de las personas varía tanto como se esperaría si todos los valores de la escala fueran igualmente probables.

Cómo leer un valor \(p\) tan alto. Un \(p=0{,}9788\) no significa que \(H_0\) sea verdadera ni que haya un 97,9 % de probabilidad de que \(\sigma^2=8{,}25\). Significa que la varianza muestral (\(s^2=8{,}16\)) es casi idéntica a la de referencia, de modo que los datos no contradicen \(H_0\). La ausencia de evidencia en contra no demuestra que \(H_0\) sea cierta. El intervalo de confianza lo confirma: es amplio y la varianza verdadera podría estar entre un 24 % por debajo y un 34 % por encima de 8,25.

Resultados e interpretación

Elemento Una media Una proporción Una varianza
Parámetro \(\mu\): satisfacción media con la vida \(p\): proporción con actividad física \(\sigma^2\): varianza del nivel de estrés
\(H_0\) \(\mu=5\) \(p=0{,}50\) \(\sigma^2=8{,}25\)
\(H_1\) \(\mu>5\) \(p\neq0{,}50\) \(\sigma^2\neq8{,}25\)
\(\alpha\) 0,05 0,05 0,05
Estadístico observado \(t=2{,}640\) (99 g.l.) \(Z=2{,}20\) (\(X^2=4{,}84\)) \(\chi^2=97{,}96\) (99 g.l.)
Valor crítico \(t_{0{,}05;99}=1{,}660\) \(\pm1{,}96\) \(73{,}36\) y \(128{,}42\)
Valor \(p\) 0,0048 0,0278 0,9788
IC 95 % \((5{,}18;\ 6{,}26)\) \((0{,}512;\ 0{,}700)\) \((6{,}29;\ 11{,}02)\) para \(\sigma^2\)
Tamaño del efecto \(d=0{,}26\) (pequeño) \(h=0{,}22\) (pequeño) \(s^2/\sigma_0^2=0{,}99\)
Decisión Rechazar \(H_0\) Rechazar \(H_0\) No rechazar \(H_0\)

Significado en el contexto

Satisfacción con la vida. La satisfacción media (\(\bar{x}=5{,}72\)) es significativamente mayor que el punto medio de la escala. Las personas se sienten, en promedio, algo más satisfechas que el punto neutro, aunque la diferencia es modesta (0,72 puntos).

Actividad física. El 61 % de la muestra realiza actividad física, y esta proporción es significativamente distinta de 0,50. Los datos sugieren que una ligera mayoría lo hace, con una diferencia de 11 puntos porcentuales.

Variabilidad del estrés. La varianza muestral (\(s^2=8{,}16\)) es compatible con la de una distribución uniforme en la escala de 1 a 10. No se encontró evidencia de que la dispersión del estrés difiera de \(8{,}25\). Esto no demuestra que sea exactamente \(8{,}25\): el intervalo de confianza (\(6{,}29\) a \(11{,}02\)) es amplio.

Conclusiones

  1. Satisfacción con la vida. Existe evidencia estadística suficiente, al nivel del 5 %, para afirmar que la satisfacción media con la vida supera el punto medio de la escala (\(\bar{x}=5{,}72\); \(t=2{,}640\); \(p=0{,}0048\); IC 95 %: 5,18 a 6,26). Sin embargo, el tamaño del efecto es pequeño (\(d=0{,}26\)): la diferencia es de 0,72 puntos en una escala de 10, por lo que la significancia estadística no implica una diferencia grande en la práctica.

  2. Actividad física. Se encontró evidencia de que la proporción de personas que realizan actividad física difiere de 0,50 (\(\hat{p}=0{,}61\); \(Z=2{,}20\); \(p=0{,}0278\); IC 95 %: 0,512 a 0,700). Los datos sugieren que una ligera mayoría realiza actividad física, con una diferencia de 11 puntos porcentuales y un efecto pequeño (\(h=0{,}22\)). El intervalo es amplio, lo que muestra incertidumbre sobre el valor poblacional.

  3. Variabilidad del estrés. No se encontró evidencia de que la varianza del nivel de estrés difiera de 8,25 (\(s^2=8{,}16\); \(\chi^2=97{,}96\); \(p=0{,}9788\); IC 95 % para \(\sigma^2\): 6,29 a 11,02). Esto no demuestra que la varianza sea exactamente 8,25: el intervalo es amplio y la prueba es sensible a la falta de normalidad, de modo que el resultado debe tomarse con cautela.

  4. Respuesta a la pregunta problema y al objetivo. De los tres parámetros contrastados, dos (media de satisfacción y proporción con actividad física) difieren de sus valores de referencia y uno (varianza del estrés) no. Con ello se cumple el objetivo de evaluar mediante pruebas de hipótesis afirmaciones sobre parámetros poblacionales relacionados con el estilo de vida y el bienestar psicológico.

  5. Alcance y límites. El diseño es transversal, se desconoce el procedimiento de muestreo y los valores de referencia (\(\mu_0=5\), \(p_0=0{,}50\), \(\sigma_0^2=8{,}25\)) fueron elegidos por los autores. Por tanto, los resultados describen la muestra frente a esos valores y no permiten afirmar causalidad ni generalizar con certeza a una población específica.

Bibliografía

  1. Diener, E., Emmons, R. A., Larsen, R. J., & Griffin, S. (1985). The Satisfaction with Life Scale. Journal of Personality Assessment, 49(1), 71-75. https://doi.org/10.1207/s15327752jpa4901_13

  2. Cohen, S., Kamarck, T., & Mermelstein, R. (1983). A global measure of perceived stress. Journal of Health and Social Behavior, 24(4), 385-396.

  3. Huang, Y., Yang, L., Liu, Y. et al. Effects of perceived stress on college students’ sleep quality: a moderated chain mediation model. BMC Psychol 12, 476 (2024). https://doi.org/10.1186/s40359-024-01976-3

  4. Llinás Solano, H. (2018). Estadística inferencial. Editorial Universidad del Norte.

  5. White, R.L., Vella, S., Biddle, S. et al. Physical activity and mental health: a systematic review and best-evidence synthesis of mediation and moderation studies. Int J Behav Nutr Phys Act 21, 134 (2024). https://doi.org/10.1186/s12966-024-01676-6 # Declaración sobre el uso de Inteligencia Artificial

Aspecto Información
Uso de IA Sí
Herramienta LucIA
Finalidad Apoyo en la estructuración del informe, orientación en la sintaxis de R y R Markdown, y revisión de redacción. Las pruebas se resolvieron y verificaron en R con la base de datos asignada.
Porcentaje estimado 35 %