Semana 7: Cátedra (Recalendarizada)
2026-10-26
Esta semana trabajamos los contenidos recalendarizados:
Una unidad municipal paga 5 mil pesos por preparar una impresión y 2 mil por cada lote de folletos informativos. El total es de 23 mil pesos.
Si \(n\) cuenta lotes de folletos:
\[ 5+2n=23 \quad\Longrightarrow\quad 2n=18 \quad\Longrightarrow\quad n=9. \]
Comprobamos: \(5+2(9)=23\).
Restamos y dividimos ambos miembros para conservar la igualdad.
Un proceso de participación ciudadana organiza 34 mesas de deliberación:
Participan 178 representantes, cada uno en una sola mesa.
¿Cuántas mesas de cada tipo se organizaron?
Todas las mesas tienen exactamente la composición indicada.
Definimos:
Ambas cantidades son enteros no negativos.
\[ \begin{cases} x+y=34 & \text{mesas},\\ 4x+7y=178 & \text{representantes}. \end{cases} \]
Las dos igualdades deben cumplirse con la misma pareja.
El dominio de las incógnitas indica qué valores admitimos según lo que representan.
En nuestro caso, \(x\) e \(y\) cuentan mesas:
\[ x,y\in\{0,1,2,\ldots,34\}. \]
Esto delimita los valores candidatos, pero todavía falta cumplir las dos ecuaciones.
| Si la incógnita representa… | Valores que podemos admitir |
|---|---|
| Hogares de una muestra | Enteros no negativos: 0, 1, 2… |
| Horas de trabajo de campo | Valores no negativos; pueden incluir fracciones. |
| Presupuesto en miles de pesos | Puede incluir decimales: 2,5 equivale a 2.500 pesos. |
En el caso de las mesas, \((20,14)\) cumple dos revisiones:
Comprobar exige revisar tanto las ecuaciones como el contexto.
Con la primera ecuación, \(x+y=34\), podemos proponer:
| Barriales \(x\) | Interbarriales \(y\) | Representantes \(4x+7y\) |
|---|---|---|
| 10 | 24 | 208 |
| 20 | 14 | 178 |
| 30 | 4 | 148 |
Todas las filas suman 34 mesas, pero solo una reproduce los 178 representantes.
De \(x+y=34\), restamos \(y\) en ambos miembros:
\[ x+y-y=34-y. \]
\[ x=34-y \]
Reemplazamos \(x\) en la ecuación de representantes:
\[ 4(34-y)+7y=178. \]
Así incorporamos la primera condición dentro de la segunda.
Aplicamos distributividad y agrupamos:
\[ 4(34-y) + 7y=178 \]
\[ 136-4y+7y=178, \]
\[ 136+3y=178. \]
Restamos 136 y dividimos por 3:
\[ 3y=42 \quad\Longrightarrow\quad y=14. \]
\[ x=34-14=20. \]
20 mesas barriales y 14 interbarriales.
Comprobamos las dos condiciones:
\[ 20+14=34, \]
\[ 4(20)+7(14)=80+98=178. \]
Los valores también respetan el dominio: son enteros no negativos.
Multiplicamos toda la primera ecuación por 4:
\[ x+y=34 \quad\Longrightarrow\quad 4x+4y=136. \]
Restamos esa igualdad de la ecuación de representantes:
\[ (4x+7y)-(4x+4y)=178-136. \]
\[ 3y=42 \quad\Longrightarrow\quad y=14. \]
Luego \(x=20\). Obtenemos la misma pareja.
Dos sectores organizan un cabildo ciudadano con 72 personas inscritas.
El sector Norte tiene 6 personas más que el doble de las inscritas del sector Sur.
Definimos \(n\): Norte y \(s\): Sur.
\[ \begin{cases} n+s=72,\\ n=2s+6. \end{cases} \]
¿Qué ecuación conviene sustituir directamente?
El Norte tiene 6 personas más que el doble del Sur.
Si \(s\) es la cantidad del Sur:
\[ \underbrace{2s}_{\text{el doble del Sur}}+\underbrace{6}_{\text{seis personas más}}. \]
En cambio, \(2(s+6)=2s+12\) duplica también las seis personas.
Por eso escribimos \(n=2s+6\), y no \(n=2(s+6)\).
Sustituimos \(n=2s+6\) en el total:
\[ (2s+6)+s=72 \quad\Longrightarrow\quad 3s=66 \quad\Longrightarrow\quad s=22. \]
Volvemos a la otra relación:
\[ n=2(22)+6=50. \]
Comprobamos: \(50+22=72\) y \(50=2(22)+6\).
Hay 50 personas inscritas del Norte y 22 del Sur.
| Lo que observamos | Una opción práctica |
|---|---|
| Una incógnita ya está despejada, como \(n=2s+6\). | Sustitución: reemplazar esa expresión en la otra ecuación. |
| Podemos igualar coeficientes con una multiplicación sencilla. | Eliminación: sumar o restar para cancelar una incógnita. |
Los dos métodos deben dar la misma pareja. Elegimos el que simplifica las operaciones.
El contexto determina qué valores aceptamos.
Hoy aprendimos a:
Mañana preguntaremos cómo cambia una cantidad cuando cambia otra.
Ahora trabajaremos en parejas con el documento separado «Taller: sistemas y problemas de ciencias sociales»: cuatro ejercicios con solución única.
Usaremos este sistema solo para recordar el procedimiento:
\[\begin{cases} x+y=10\\ 2x+y=14 \end{cases}\]1. Despeja una incógnita
De la primera ecuación:
x+y=10 –> x=10-y
2. Sustituye en la otra ecuación
2(10-y)+y=14
3. Resuelve
20-2y+y=14 –> -y=-6
y=6
4. Encuentra la otra incógnita
x=10-6=4
1. Escribe las ecuaciones ordenadas
x+y = 10
2x+y = 14
2. Elimina una incógnita
Como ambas tienen \(+y\), restamos:
(2x+y)-(x+y)=14-10
3. Resuelve
x=4
4. Encuentra la otra incógnita
Reemplazamos \(x=4\):
4+y=10. –> y=6
Matemáticas para las Cs. Sociales I