Relaciones Internacionales

Pruebas de Hipótesis sobre Parámetros Poblacionales: Análisis de Ansiedad, Satisfacción con la Terapia y Asistencia a Psicología Clínica

Asignatura: Estadística Inferencial (NRC 2014)

Presentado por:
Luis Escaño
Juan van Neerven

Presentado a:
Keyla Alba Molina

Programa: Relaciones Internacionales

Universidad del Norte, Barranquilla, Colombia
28 de octubre de 2026

Introducción

La salud mental es hoy reconocida como un componente esencial del bienestar y del desarrollo de las sociedades. De acuerdo con la Organización Mundial de la Salud (2022), cerca de 970 millones de personas vivían con un trastorno mental en 2019, y la ansiedad y la depresión figuran entre los más frecuentes; además, durante el primer año de la pandemia de COVID-19 la prevalencia global de ambos trastornos aumentó alrededor de un 25%. En este escenario, los centros de atención psicológica necesitan evaluar con rigor si los niveles de malestar emocional y de satisfacción con el tratamiento que observan en sus pacientes coinciden con los valores esperados o de referencia, o si difieren de ellos de manera relevante.

La importancia de este problema radica en que las decisiones clínicas y administrativas, como priorizar recursos, ajustar la oferta terapéutica o definir metas de calidad, suelen apoyarse en afirmaciones sobre el promedio o la proporción de una característica en toda la población atendida, y no solo en la muestra observada. Las pruebas de hipótesis permiten contrastar esas afirmaciones usando la información muestral y cuantificar el riesgo de equivocarse al hacerlo, lo cual es esencial para no sobrerreaccionar ante diferencias que pueden deberse al azar ni pasar por alto diferencias reales (Llinás, s. f.). Asimismo, la Asociación Estadística Americana recuerda que el valor p no mide la magnitud ni la importancia práctica de un efecto, por lo que la decisión estadística debe acompañarse de una interpretación contextual y, cuando corresponda, de medidas del tamaño del efecto (Wasserstein y Lazar, 2016; Cohen, 1988).

Diversos antecedentes respaldan el interés por este tipo de contrastes en salud mental. Kessler et al. (2005), a partir de la Encuesta Nacional de Comorbilidad Replicada, estimaron una prevalencia a 12 meses del 18,1% para los trastornos de ansiedad y del 9,5% para los trastornos del estado de ánimo, y mostraron que una proporción importante de los casos presenta comorbilidad, lo que justifica evaluar de forma conjunta ambos síntomas. Por otra parte, la medición de estos síntomas mediante escalas breves y estandarizadas ha permitido establecer valores de referencia para la práctica clínica: el cuestionario PHQ-9 se validó como medida de la gravedad de la depresión (Kroenke et al., 2001) y la escala GAD-7 identificó un puntaje de corte de 10 como umbral para detectar probable trastorno de ansiedad generalizada, con sensibilidad del 89% y especificidad del 82% (Spitzer et al., 2006). Estos instrumentos ilustran cómo un valor de referencia puede utilizarse como parámetro poblacional frente al cual contrastar el promedio observado en una muestra de pacientes.

A partir de lo anterior, esta investigación se plantea la siguiente pregunta problema: ¿Existe evidencia estadística suficiente para afirmar que la satisfacción promedio con la terapia, la variabilidad del nivel de ansiedad y la proporción de pacientes que ha asistido a terapia difieren de valores de referencia en la población de pacientes de un centro de psicología clínica, y que el nivel promedio de ansiedad difiere entre los pacientes que han asistido a terapia y los que no?

En consecuencia, el objetivo general de este trabajo es evaluar mediante pruebas de hipótesis afirmaciones acerca de parámetros poblacionales (una media, una proporción, una varianza y la diferencia entre dos medias) relacionados con la satisfacción con la terapia, el nivel de ansiedad y la asistencia a terapia en pacientes de un centro de psicología clínica.

Marco Teórico

Hipótesis estadística

Una hipótesis estadística es una afirmación sobre un parámetro de la población, como su media, su proporción o su varianza, que se somete a comprobación usando la información de una muestra. Como casi nunca se puede medir a toda la población, la hipótesis no se verifica de forma directa, sino que se evalúa si los datos observados son compatibles con ella o si, por el contrario, la contradicen de manera lo bastante fuerte como para descartarla. En este trabajo, una hipótesis estadística es, por ejemplo, la afirmación de que la satisfacción promedio de los pacientes con la terapia es 5.5, que es el punto neutral de la escala, o la afirmación de que la mitad de los pacientes del centro ha asistido a terapia.

Hipótesis nula y alternativa

La hipótesis nula, que se denota \(H_0\), es la afirmación que se pone a prueba y que se mantiene como cierta mientras los datos no aporten evidencia suficiente en su contra. Suele expresar ausencia de diferencia o de efecto, y siempre incluye el signo de igualdad, como en \(H_0: \mu = 5.5\). La hipótesis alternativa, que se denota \(H_1\), es la afirmación que se acepta si se rechaza la nula, y expresa que el parámetro es distinto del valor propuesto, como en \(H_1: \mu \neq 5.5\). Las dos son excluyentes y cubren todas las posibilidades, de modo que si una es falsa la otra es verdadera. Un punto importante es que la prueba nunca demuestra que \(H_0\) sea cierta: solo indica si los datos alcanzan o no para descartarla, y por eso se habla de rechazar o no rechazar, pero no de aceptar la hipótesis nula.

Prueba unilateral y bilateral

Una prueba es bilateral cuando la hipótesis alternativa plantea que el parámetro es simplemente distinto del valor propuesto, sin indicar en qué dirección, como en \(H_1: \mu \neq 5.5\). En ese caso la región de rechazo se reparte en las dos colas de la distribución. Una prueba es unilateral cuando la alternativa señala una dirección, ya sea que el parámetro es mayor, \(H_1: \mu > 5.5\), o menor, \(H_1: \mu < 5.5\), y la región de rechazo se concentra en una sola cola. La elección debe hacerse antes de mirar los datos y según lo que interese saber. En este trabajo todas las pruebas son bilaterales, porque no se tenía una razón para suponer de antemano en qué dirección se alejaría cada parámetro de su valor de referencia.

Nivel de significancia

El nivel de significancia, que se denota \(\alpha\), es la probabilidad máxima de rechazar la hipótesis nula cuando en realidad es verdadera que el investigador está dispuesto a aceptar. Se fija antes de analizar los datos y suele valer 0.05, 0.01 o 0.10. Con \(\alpha = 0.05\), que es el valor usado en todas las pruebas de este trabajo, se acepta un riesgo máximo del 5% de concluir que existe una diferencia que en realidad no existe. Su complemento, \(1-\alpha\), es el nivel de confianza, que en este caso es del 95%.

Estadístico de prueba

El estadístico de prueba es un valor que se calcula a partir de la muestra y que resume qué tan lejos está lo observado de lo que afirma la hipótesis nula, medido en unidades de error estándar. Tiene la forma general de una diferencia entre el valor observado y el valor propuesto, dividida por el error estándar:

\[\text{Estadístico} = \dfrac{\text{valor observado} - \text{valor propuesto por } H_0}{\text{error estándar}}\]

Cuanto más grande es el estadístico en valor absoluto, más difícil resulta explicar lo observado como una simple casualidad del muestreo. En la prueba de la satisfacción, por ejemplo, el estadístico fue \(t = -0.4238\), un valor pequeño porque la media muestral (5.38) está muy cerca de 5.5, mientras que en la prueba de la proporción fue \(Z = 3.40\), un valor grande porque el 67% de asistencia queda lejos del 50% propuesto.

Región crítica y valor crítico

La región crítica, también llamada región de rechazo, es el conjunto de valores del estadístico de prueba para los cuales se rechaza la hipótesis nula. Se determina a partir del nivel de significancia y deja un área igual a \(\alpha\) en las colas de la distribución, de modo que si el estadístico cae allí, un resultado así sería muy poco probable si \(H_0\) fuera cierta. Los valores que separan la región de rechazo de la región de no rechazo se llaman valores críticos. En una prueba bilateral con \(\alpha = 0.05\) y la distribución normal, los valores críticos son \(\pm 1.96\), y si el estadístico queda fuera de ese intervalo se rechaza \(H_0\).

Valor p

El valor p es la probabilidad de obtener un resultado tan extremo o más extremo que el observado, suponiendo que la hipótesis nula es verdadera. Un valor p pequeño indica que los datos son muy difíciles de explicar si \(H_0\) fuera cierta, y por eso se rechaza cuando es menor que \(\alpha\). Es una probabilidad condicionada a que \(H_0\) sea cierta, de modo que no es la probabilidad de que \(H_0\) sea cierta ni la probabilidad de equivocarse. Tampoco mide el tamaño ni la importancia práctica de un efecto: un valor p muy pequeño puede acompañar a una diferencia insignificante si la muestra es grande, y un valor p grande puede ocultar una diferencia real si la muestra es pequeña. Por eso en este trabajo la decisión se acompaña siempre de un intervalo de confianza y de una medida del tamaño del efecto.

Decisión estadística

La decisión estadística es la conclusión formal de la prueba y se toma comparando el estadístico con los valores críticos o, de forma equivalente, el valor p con el nivel de significancia. Si el estadístico cae en la región crítica, o si \(p < \alpha\), se rechaza \(H_0\) y se concluye que existe evidencia estadística suficiente a favor de \(H_1\). Si el estadístico cae fuera de la región crítica, o si \(p \geq \alpha\), no se rechaza \(H_0\) y se concluye que los datos no aportan evidencia suficiente en su contra. Esta decisión debe traducirse siempre al contexto del estudio y no quedarse en una frase estadística, además de distinguir entre significancia estadística, que depende del valor p, e importancia práctica, que depende del tamaño del efecto.

Error tipo I y error tipo II

Como la decisión se toma con una muestra y no con toda la población, siempre existe el riesgo de equivocarse, y hay dos formas de hacerlo. El error tipo I consiste en rechazar la hipótesis nula cuando en realidad es verdadera, es decir, concluir que hay una diferencia que no existe, y su probabilidad es como máximo el nivel de significancia \(\alpha\). El error tipo II consiste en no rechazar la hipótesis nula cuando en realidad es falsa, es decir, no detectar una diferencia que sí existe. Su probabilidad se denota \(\beta\), y su complemento, \(1 - \beta\), es la potencia de la prueba. \(\beta\) depende del tamaño de la muestra, del tamaño del efecto, de \(\alpha\) y de la variabilidad de los datos, por lo que con muestras pequeñas es más fácil pasar por alto diferencias reales.

En este trabajo se fija \(\alpha = 0.05\) y, como la muestra es de 100 pacientes, se discute la potencia en la comparación de dos medias, donde el riesgo de un error tipo II es más relevante.

Metodología

Origen de los datos

Los datos utilizados en este trabajo corresponden a una base de datos de pacientes de un centro de atención psicológica, proporcionada por la docente de la asignatura Estadística Inferencial (NRC 2014) para el desarrollo del taller. La información está organizada en formato de hoja de cálculo (Excel) y contiene variables sociodemográficas, clínicas y relacionadas con el proceso terapéutico de cada paciente.

Población y muestra

La población de interés está conformada por los pacientes del centro de atención psicológica del cual proviene la base de datos. La muestra corresponde a los pacientes registrados en la base de datos analizada, cuyo tamaño muestral es de n = 100 pacientes. Dado que el objetivo del trabajo es inferir si las diferencias y relaciones observadas en esta muestra pueden generalizarse a la población, se aplican técnicas de estadística inferencial.

Variables seleccionadas

Las variables cuantitativas fueron nivel_ansiedad, satisfaccion_con_terapia y nivel_depresion, todas medidas en una escala de 1 a 10. Las variables cualitativas fueron ha_asistido_terapia (Sí, No), que se usó tanto para estimar la proporción de pacientes que ha asistido a terapia como para formar los dos grupos que se compararon, y apoyo_familiar y sexo, que se usaron únicamente en la interpretación de las salidas de R. Las demás variables de la base no se utilizaron en el análisis.

Parámetros analizados

Los parámetros poblacionales de interés son la media poblacional (\(\mu\)) de la satisfacción con la terapia, la proporción poblacional (\(p\)) de pacientes que ha asistido a terapia, la varianza poblacional (\(\sigma^2\)) del nivel de ansiedad y la diferencia de medias (\(\mu_1 - \mu_2\)) del nivel de ansiedad entre los pacientes que han asistido a terapia y los que no. Estos parámetros se contrastan a partir de sus respectivos estadísticos muestrales: la media muestral (\(\bar{x}\)), la proporción muestral (\(\hat{p}\)), la varianza muestral (\(s^2\)) y la diferencia de medias muestrales (\(\bar{x}_1 - \bar{x}_2\)).

Nivel de significancia

Para todas las pruebas de hipótesis se trabajó con un nivel de significancia de \(\alpha = 0.05\), es decir, con un nivel de confianza del 95%. Esto significa que se rechaza la hipótesis nula cuando el valor p es menor a 0.05, aceptando un riesgo máximo del 5% de cometer un error tipo I. Adicionalmente, para no limitar la interpretación únicamente al valor p, se reportan intervalos de confianza y medidas del tamaño del efecto que permiten valorar la magnitud práctica de los hallazgos.

Pruebas utilizadas

Se emplearon las siguientes técnicas estadísticas, seleccionadas según el tipo de variables involucradas:

• Intervalo de confianza para la media y la proporción: para estimar el rango plausible de cada parámetro.
• Prueba t para una media: para contrastar la satisfacción promedio con el punto neutral de la escala (5.5).
• Prueba Z para una proporción: para contrastar la proporción de pacientes que ha asistido a terapia con 0.50.
• Prueba chi-cuadrado para una varianza: para contrastar la varianza del nivel de ansiedad con un valor de referencia (6.25).
• Prueba t de Welch para dos muestras independientes: para comparar el nivel promedio de ansiedad entre quienes han asistido a terapia y quienes no. Se complementó con la t de Student y la prueba F de razón de varianzas.
• Verificación de supuestos: prueba de Shapiro-Wilk y gráficos Q-Q para la normalidad, y prueba de Levene para la homogeneidad de varianzas.
• Pruebas de respaldo: Wilcoxon (una media) y Mann-Whitney (dos medias), y un intervalo bootstrap para la varianza.
• Tamaño del efecto y potencia: d de Cohen, g de Hedges, h de Cohen y análisis de potencia.

Software empleado

Todo el análisis estadístico y la elaboración de este documento se realizaron con el lenguaje de programación R, a través de RStudio (versión web en Posit Cloud), y se redactó en formato R Markdown. Los principales paquetes utilizados fueron readxl (lectura de archivos Excel), dplyr (manipulación de datos), ggplot2 (gráficos), car (prueba de Levene), effectsize (d de Cohen y g de Hedges), pwr (potencia), knitr y kableExtra (tablas).

Procedimientos realizados

El análisis siguió estas etapas: (1) carga de la base de datos; (2) verificación de los supuestos de cada prueba (normalidad y homogeneidad de varianzas); (3) aplicación de las pruebas de hipótesis y construcción de intervalos de confianza, primero de forma manual y luego con las funciones de R; (4) cálculo del tamaño del efecto y de la potencia; y (5) interpretación de los resultados y formulación de conclusiones.

library(readxl)
library(dplyr)

## 
## Attaching package: 'dplyr'

## The following objects are masked from 'package:stats':
## 
##     filter, lag

## The following objects are masked from 'package:base':
## 
##     intersect, setdiff, setequal, union

library(ggplot2)
library(psych)

## 
## Attaching package: 'psych'

## The following objects are masked from 'package:ggplot2':
## 
##     %+%, alpha

library(GGally)
library(knitr)
library(kableExtra)

## 
## Attaching package: 'kableExtra'

## The following object is masked from 'package:dplyr':
## 
##     group_rows

datos <- read_excel("Base_Psicologia_Clinica.xlsx")

Pruebas de Hipótesis

Prueba para una media

Contexto

La satisfacción con la terapia se midió en una escala de 1 a 10, donde 1 representa ninguna satisfacción y 10 la máxima. Como esta escala no tiene un cero natural, el punto medio de la escala (5.5) funciona como referencia neutral: un promedio por encima de 5.5 indicaría que los pacientes tienden a estar satisfechos, y uno por debajo, que tienden a estar insatisfechos. La pregunta es si, en la población de pacientes atendidos por este tipo de centros, la satisfacción promedio se diferencia de ese punto neutral. Se utilizaron los 100 pacientes de la base, ya que todos tienen una satisfacción registrada.

Parámetro

El parámetro de interés es \(\mu\), la satisfacción promedio con la terapia en la población de pacientes.

Hipótesis

Como se quiere saber si la satisfacción promedio se diferencia del punto neutral (sin suponer de antemano en qué dirección), se plantea una prueba bilateral:

\[H_0: \mu = 5.5\] \[H_1: \mu \neq 5.5\]

Nivel de significancia

Se trabaja con \(\alpha = 0.05\) (95% de confianza).

Estadístico de prueba

La desviación estándar poblacional \(\sigma\) es desconocida, por lo que se usa la desviación estándar muestral \(s\) y el estadístico \(t\) de Student con \(n-1\) grados de libertad:

\[t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{s / \sqrt{n}}\]

Desarrollo matemático

Los datos muestrales son \(n = 100\), \(\bar{x} = 5.38\) y \(s = 2.8312\). Primero se calcula el error estándar:

\[EE = \frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{2.8312}{\sqrt{100}} = 0.2831\]

Luego el estadístico de prueba:

\[t = \frac{5.38 - 5.5}{0.2831} = -0.4238\]

con \(gl = n - 1 = 99\) grados de libertad.

Valor crítico y valor-p

Para una prueba bilateral con \(\alpha = 0.05\) y 99 grados de libertad, el valor crítico es \(t_{0.025,\,99} = 1.9842\), por lo que la región de rechazo es \(t \leq -1.9842\) o \(t \geq 1.9842\).

El valor-p es:

\[p = 2 \cdot P(T_{99} \geq |-0.4238|) = 0.6726\]

Decisión

Como \(t = -0.4238\) no cae en la región de rechazo (está entre \(-1.9842\) y \(1.9842\)), y además \(p = 0.6726 > \alpha = 0.05\), no se rechaza \(H_0\).

Intervalo de confianza y tamaño del efecto

El intervalo de confianza del 95% para \(\mu\) es:

\[\bar{x} \pm t_{0.025,\,99} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}} = 5.38 \pm 1.9842(0.2831) = (4.82,\ 5.94)\]

El valor \(\mu_0 = 5.5\) está dentro del intervalo, lo cual es coherente con la decisión de no rechazar \(H_0\). El tamaño del efecto, medido con la \(d\) de Cohen, es:

\[d = \frac{\bar{x} - \mu_0}{s} = \frac{5.38 - 5.5}{2.8312} = -0.04\]

que corresponde a un efecto prácticamente nulo (se consideran pequeños los valores desde 0.2).

Desarrollo en R

# Variable y valor de referencia
x   <- datos$satisfaccion_con_terapia
mu0 <- 5.5

# Estadisticos muestrales
n    <- length(x)
xbar <- mean(x)
s    <- sd(x)
ee   <- s / sqrt(n)

# Estadistico t "a mano"
t_obs <- (xbar - mu0) / ee
gl    <- n - 1

# Valor critico (bilateral, alfa = 0.05) y valor-p
t_crit <- qt(1 - 0.05/2, df = gl)
valor_p <- 2 * (1 - pt(abs(t_obs), df = gl))

# Tamano del efecto (d de Cohen)
d_cohen <- (xbar - mu0) / s

data.frame(n, xbar, s, ee, t_obs, gl, t_crit, valor_p, d_cohen)

# Comprobacion con la funcion de R
t.test(x, mu = mu0, alternative = "two.sided", conf.level = 0.95)

## 
##  One Sample t-test
## 
## data:  x
## t = -0.42385, df = 99, p-value = 0.6726
## alternative hypothesis: true mean is not equal to 5.5
## 95 percent confidence interval:
##  4.818226 5.941774
## sample estimates:
## mean of x 
##      5.38

# Grafico de la region de rechazo
curva <- data.frame(t = seq(-4, 4, length.out = 400))
curva$densidad <- dt(curva$t, df = gl)

ggplot(curva, aes(x = t, y = densidad)) +
  geom_line(linewidth = 1) +
  geom_area(data = subset(curva, t <= -t_crit), fill = "#d20a11", alpha = 0.5) +
  geom_area(data = subset(curva, t >= t_crit),  fill = "#d20a11", alpha = 0.5) +
  geom_vline(xintercept = t_obs, color = "#2563EB", linewidth = 1, linetype = "dashed") +
  labs(title = "Prueba t para una media: región de rechazo",
       subtitle = paste0("t observado = ", round(t_obs, 3), "  |  valor-p = ", round(valor_p, 3)),
       x = "Estadístico t", y = "Densidad") +
  theme_minimal()

Verificación de supuestos

La prueba \(t\) supone que los datos provienen de una población aproximadamente normal, o que la muestra es lo bastante grande para que la media muestral se comporte de forma aproximadamente normal. Aquí \(n = 100 \geq 30\), por lo que el teorema del límite central respalda el uso de la prueba. Sin embargo, al revisar la normalidad directamente se observa lo siguiente:

shapiro.test(x)

## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  x
## W = 0.94097, p-value = 0.000221

ggplot(datos, aes(x = satisfaccion_con_terapia)) +
  geom_histogram(binwidth = 1, fill = "#2563EB", color = "white") +
  labs(title = "Distribución de la satisfacción con la terapia",
       x = "Satisfacción (1-10)", y = "Frecuencia") +
  theme_minimal()

# Respaldo no parametrico (no exige normalidad)
wilcox.test(x, mu = mu0)

## 
##  Wilcoxon signed rank test with continuity correction
## 
## data:  x
## V = 2406, p-value = 0.6821
## alternative hypothesis: true location is not equal to 5.5

La prueba de Shapiro-Wilk indica que los datos no siguen una distribución normal (\(W = 0.941\), \(p = 0.0002\)). Esto era de esperarse: la variable es una escala entera del 1 al 10 con una distribución casi plana (los valores se reparten de forma muy parecida entre 1 y 10), muy distinta de una campana. No obstante, la asimetría es prácticamente cero (0.007), no hay valores atípicos y el tamaño de muestra es grande, por lo que la media muestral sí es aproximadamente normal y la prueba \(t\) es robusta en este caso. Como respaldo, la prueba no paramétrica de Wilcoxon, que no exige normalidad, llega a la misma conclusión (\(p = 0.681\)).

Interpretación

Con un nivel de significancia del 5%, no hay evidencia suficiente para afirmar que la satisfacción promedio con la terapia sea distinta del punto neutral de la escala (5.5). En la muestra, los pacientes reportaron una satisfacción promedio de 5.38, apenas 0.12 puntos por debajo de ese valor, una diferencia que es perfectamente compatible con la variación del azar al seleccionar pacientes. Con un 95% de confianza, la satisfacción promedio verdadera de la población estaría entre 4.82 y 5.94, un rango que incluye el punto neutral.

En términos prácticos, esto significa que, en promedio, los pacientes no se muestran ni claramente satisfechos ni claramente insatisfechos: su opinión es, en promedio, intermedia. Es importante aclarar que no rechazar \(H_0\) no demuestra que \(\mu\) sea exactamente 5.5, solo indica que los datos no son suficientes para afirmar lo contrario. Además, el promedio oculta mucha variabilidad entre pacientes (desviación estándar de 2.83), pues hay tanto pacientes muy satisfechos como muy insatisfechos, lo que justifica analizar más adelante qué factores explican esas diferencias.

Prueba para una proporción

En esta sección se aplica una prueba de hipótesis para una proporción poblacional (\(p\)) usando una variable cualitativa de la base de datos.

Variable seleccionada y planteamiento de hipótesis

La variable seleccionada es ha_asistido_terapia, que indica si el paciente ha asistido (Sí) o no (No) a terapia psicológica. Esta variable es cualitativa y dicotómica, por lo que resulta adecuada para una prueba de proporciones. El éxito se define como “el paciente sí ha asistido a terapia”.

Se plantea la hipótesis de que la mitad de los pacientes del centro ha asistido a terapia, frente a la alternativa de que la proporción es distinta de 0.50:

\[H_0: p = 0.50 \qquad \text{vs.} \qquad H_1: p \neq 0.50\]

Se trabaja con un nivel de significancia de \(\alpha = 0.05\).

Fórmulas utilizadas

La proporción muestral es \(\hat{p} = \dfrac{x}{n}\), donde \(x\) es el número de pacientes que sí asistieron a terapia y \(n\) el tamaño de la muestra. El error estándar bajo \(H_0\) y el estadístico \(Z\) son:

\[EE_0 = \sqrt{\dfrac{p_0(1-p_0)}{n}} \qquad\qquad Z = \dfrac{\hat{p} - p_0}{EE_0}\]

Verificación de supuestos

La prueba Z para una proporción requiere que las observaciones sean independientes (cada fila es un paciente distinto) y que se cumpla la condición de tamaño de muestra: \(np_0 \geq 10\) y \(n(1-p_0) \geq 10\).

n  <- nrow(datos)
x  <- sum(datos$ha_asistido_terapia == "Sí")
p0 <- 0.50

# Condición de tamaño de muestra bajo H0
n * p0          # debe ser >= 10

## [1] 50

n * (1 - p0)    # debe ser >= 10

## [1] 50

Como \(np_0 = 50\) y \(n(1-p_0) = 50\), ambos mayores que 10, el supuesto se cumple y es válido usar la aproximación normal.

Cálculo paso a paso

# 1. Proporción muestral
p_hat <- x / n

# 2. Error estándar bajo H0
ee0 <- sqrt(p0 * (1 - p0) / n)

# 3. Estadístico Z
z <- (p_hat - p0) / ee0

# 4. Valor-p bilateral
valor_p <- 2 * (1 - pnorm(abs(z)))

# 5. Valor crítico para alfa = 0.05 (bilateral)
z_crit <- qnorm(0.975)

# Tabla resumen
resultados <- data.frame(
  Medida = c("n", "x (asistieron)", "p-hat", "Error estándar bajo H0",
             "Estadístico Z", "Valor crítico", "Valor-p"),
  Valor  = c(n, x, round(p_hat, 4), round(ee0, 4),
             round(z, 4), round(z_crit, 4), signif(valor_p, 3))
)
kable(resultados, caption = "Resultados de la prueba Z para una proporción")

Resultados de la prueba Z para una proporción

Medida	Valor
n	1.00e+02
x (asistieron)	6.70e+01
p-hat	6.70e-01
Error estándar bajo H0	5.00e-02
Estadístico Z	3.40e+00
Valor crítico	1.96e+00
Valor-p	6.74e-04

Intervalo de confianza y tamaño del efecto

El valor-p solo indica si hay evidencia en contra de \(H_0\). Para saber dónde probablemente se encuentra la proporción real y qué tan grande es la diferencia, se calcula un intervalo de confianza del 95% y el tamaño del efecto \(h\) de Cohen. Para el intervalo se usa el error estándar con \(\hat{p}\) (no el de \(H_0\)):

\[IC_{95\%} = \hat{p} \pm 1.96 \sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} \qquad\qquad h = 2\arcsin\sqrt{\hat{p}} - 2\arcsin\sqrt{p_0}\]

# Intervalo de confianza del 95% (Wald)
ee_hat <- sqrt(p_hat * (1 - p_hat) / n)
ic_inf <- p_hat - qnorm(0.975) * ee_hat
ic_sup <- p_hat + qnorm(0.975) * ee_hat
c(IC_inferior = round(ic_inf, 4), IC_superior = round(ic_sup, 4))

## IC_inferior IC_superior 
##      0.5778      0.7622

# Tamaño del efecto: h de Cohen
h <- 2 * asin(sqrt(p_hat)) - 2 * asin(sqrt(p0))
round(h, 3)

## [1] 0.347

Verificación con la función de R

Como comprobación, se replica la prueba con la función prop.test() de R. Se desactiva la corrección de continuidad (correct = FALSE) para que coincida con el cálculo manual. Nótese que prop.test() reporta \(\chi^2 = Z^2\).

prueba <- prop.test(x = x, n = n, p = p0, alternative = "two.sided",
                    conf.level = 0.95, correct = FALSE)
prueba

## 
##  1-sample proportions test without continuity correction
## 
## data:  x out of n, null probability p0
## X-squared = 11.56, df = 1, p-value = 0.0006739
## alternative hypothesis: true p is not equal to 0.5
## 95 percent confidence interval:
##  0.5730534 0.7543688
## sample estimates:
##    p 
## 0.67

# Comprobación: Z al cuadrado debe ser igual al chi-cuadrado
z^2

## [1] 11.56

Visualización

ggplot(data.frame(Asistencia = c("Sí", "No"),
                  Proporción = c(p_hat, 1 - p_hat)),
       aes(x = Asistencia, y = Proporción, fill = Asistencia)) +
  geom_col(width = 0.5) +
  geom_hline(yintercept = p0, linetype = "dashed", color = "red", linewidth = 1) +
  geom_text(aes(label = paste0(round(Proporción * 100, 1), "%")),
            vjust = -0.5) +
  scale_y_continuous(limits = c(0, 1)) +
  labs(title = "Proporción de pacientes que han asistido a terapia",
       subtitle = "Línea roja: valor hipotético p0 = 0.50",
       x = "¿Ha asistido a terapia?", y = "Proporción") +
  theme_minimal() +
  theme(legend.position = "none")

Decisión

El estadístico calculado es \(Z = 3.40\), que supera el valor crítico de \(1.96\) en valor absoluto, y el valor-p es \(0.0007\), menor que \(\alpha = 0.05\). Por lo tanto, se rechaza \(H_0\).

Conclusión

De los 100 pacientes de la muestra, 67 han asistido a terapia, lo que equivale a una proporción muestral de \(\hat{p} = 0.67\) (67%). Con un nivel de significancia del 5%, existe evidencia estadística suficiente para afirmar que la proporción de pacientes del centro que ha asistido a terapia es distinta de 0.50.

En términos prácticos, no se trata de un resultado producto del azar: con una confianza del 95%, la proporción real de pacientes que han asistido a terapia se encuentra aproximadamente entre 57.8% y 76.2%, es decir, claramente por encima de la mitad. El tamaño del efecto (\(h = 0.35\)) es de magnitud pequeña a moderada según los criterios de Cohen (0.2 pequeño, 0.5 moderado), lo que indica que la diferencia respecto al 50% es real, pero no extrema. Esto sugiere que la mayoría de los pacientes del centro (cerca de 2 de cada 3) ya ha tenido contacto con la terapia psicológica.

Prueba para una varianza

En esta sección se evalúa si la variabilidad del nivel de ansiedad de los pacientes es coherente con un valor de referencia. La variable seleccionada es nivel_ansiedad (variable cuantitativa medida en una escala de 1 a 10), con tamaño de muestra \(n = 100\).

Planteamiento de las hipótesis

Sea \(\sigma^2\) la varianza poblacional del nivel de ansiedad de los pacientes del centro de psicología clínica. Como valor de referencia se toma una desviación estándar de \(\sigma_0 = 2.5\) puntos, es decir, \(\sigma_0^2 = 6.25\), valor razonable para una escala de 1 a 10 en la que se espera que los pacientes se distribuyan a lo largo de buena parte de la escala. Se plantea:

\[H_0: \sigma^2 = 6.25 \qquad \text{versus} \qquad H_1: \sigma^2 \neq 6.25\]

Se trabaja con un nivel de significancia de \(\alpha = 0.05\) y una prueba de dos colas.

Estadístico de prueba

\[\chi^2 = \frac{(n-1)s^2}{\sigma_0^2}\]

el cual, bajo \(H_0\) y bajo el supuesto de normalidad, sigue una distribución chi-cuadrado con \(n-1 = 99\) grados de libertad.

# Variable seleccionada
x <- datos$nivel_ansiedad

# Datos de la muestra
n  <- length(x)          # tamano de la muestra
s2 <- var(x)             # varianza muestral
s  <- sd(x)              # desviacion estandar muestral
gl <- n - 1              # grados de libertad

# Hipotesis: H0: sigma^2 = sigma0^2  vs  H1: sigma^2 != sigma0^2
sigma0_2 <- 6.25         # varianza de referencia (sigma0 = 2.5)
alfa     <- 0.05

# Estadistico de prueba
chi2 <- (gl * s2) / sigma0_2

# Valores criticos (prueba de dos colas)
crit_inf <- qchisq(alfa / 2, df = gl)       # chi2_(1 - alfa/2)
crit_sup <- qchisq(1 - alfa / 2, df = gl)   # chi2_(alfa/2)

# Valor p bilateral
p_valor <- 2 * min(pchisq(chi2, df = gl), 1 - pchisq(chi2, df = gl))

# Intervalo de confianza del 95% para la varianza y la desviacion estandar
ic_var <- c((gl * s2) / crit_sup, (gl * s2) / crit_inf)
ic_sd  <- sqrt(ic_var)

# Tabla resumen
resultados <- data.frame(
  Medida = c("n", "Varianza muestral (s2)", "Desviacion estandar (s)", "Estadistico chi2",
             "Valor critico inferior", "Valor critico superior", "Valor p",
             "IC 95% varianza (inferior)", "IC 95% varianza (superior)",
             "IC 95% desv. estandar (inferior)", "IC 95% desv. estandar (superior)"),
  Valor = round(c(n, s2, s, chi2, crit_inf, crit_sup, p_valor,
                  ic_var[1], ic_var[2], ic_sd[1], ic_sd[2]), 3)
)
kable(resultados, caption = "Resultados de la prueba chi-cuadrado para una varianza")

Resultados de la prueba chi-cuadrado para una varianza

Medida	Valor
n	100.000
Varianza muestral (s2)	6.102
Desviacion estandar (s)	2.470
Estadistico chi2	96.658
Valor critico inferior	73.361
Valor critico superior	128.422
Valor p	0.904
IC 95% varianza (inferior)	4.704
IC 95% varianza (superior)	8.235
IC 95% desv. estandar (inferior)	2.169
IC 95% desv. estandar (superior)	2.870

Región crítica

curva <- data.frame(x = seq(50, 160, length.out = 500))
curva$y <- dchisq(curva$x, df = gl)

ggplot(curva, aes(x, y)) +
  geom_line(linewidth = 1) +
  geom_area(data = subset(curva, x <= crit_inf), fill = "#d20a11", alpha = 0.5) +
  geom_area(data = subset(curva, x >= crit_sup), fill = "#d20a11", alpha = 0.5) +
  geom_vline(xintercept = chi2, color = "#2563EB", linewidth = 1, linetype = "dashed") +
  annotate("text", x = chi2, y = max(curva$y) * 0.95, label = paste("chi2 =", round(chi2, 2)),
           color = "#2563EB", hjust = -0.1) +
  labs(title = "Distribucion chi-cuadrado (99 g.l.) y region de rechazo",
       subtitle = "Zonas rojas: region critica (alfa = 0.05)",
       x = expression(chi^2), y = "Densidad") +
  theme_minimal()

Verificación del supuesto de normalidad

La prueba chi-cuadrado para una varianza exige que la población sea normal, y es mucho más sensible a este supuesto que las pruebas sobre la media. Por eso se verifica antes de interpretar.

shapiro.test(x)

## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  x
## W = 0.947, p-value = 0.0005294

ggplot(datos, aes(sample = nivel_ansiedad)) +
  stat_qq(color = "#2563EB") +
  stat_qq_line(color = "#d20a11") +
  labs(title = "Grafico Q-Q de normalidad: nivel de ansiedad",
       x = "Cuantiles teoricos", y = "Cuantiles muestrales") +
  theme_minimal()

Verificación de robustez (bootstrap)

Dado que el supuesto de normalidad no se cumple del todo, se construye un intervalo de confianza para la varianza que no depende de ese supuesto, mediante remuestreo (bootstrap).

set.seed(2026)
boot_var <- replicate(10000, var(sample(x, size = n, replace = TRUE)))
ic_boot  <- quantile(boot_var, c(0.025, 0.975))
round(ic_boot, 3)

##  2.5% 97.5% 
## 4.849 7.270

round(sqrt(ic_boot), 3)

##  2.5% 97.5% 
## 2.202 2.696

Interpretación de los resultados

Con \(s^2 = 6.102\) y \(n = 100\), el estadístico de prueba es \(\chi^2 = 96.658\). La región crítica para \(\alpha = 0.05\) es \(\chi^2 \leq 73.361\) o \(\chi^2 \geq 128.422\). Como \(96.658\) no cae en la región crítica (el valor p bilateral es \(0.904\)), no se rechaza la hipótesis nula: los datos no aportan evidencia de que la varianza del nivel de ansiedad sea distinta de \(6.25\).

Más allá del valor p, el intervalo de confianza del 95% para la varianza poblacional es \((4.704;\ 8.235)\), y para la desviación estándar es \((2.169;\ 2.870)\) puntos. El valor de referencia \(\sigma_0^2 = 6.25\) queda dentro del intervalo, lo cual es consistente con la decisión de no rechazar. En cuanto al tamaño del efecto, la razón \(s^2/\sigma_0^2 = 0.976\) indica que la varianza observada es prácticamente igual a la de referencia (una diferencia de apenas 2.4%).

En lenguaje sencillo: los pacientes del centro se parecen entre sí, en su nivel de ansiedad, más o menos tanto como se esperaba. Sus puntajes se alejan típicamente unos 2.5 puntos del promedio de 6.17, y esa dispersión no es ni más grande ni más pequeña que la de referencia. En términos prácticos, esto significa que el grupo es heterogéneo: hay pacientes con ansiedad baja, media y alta, por lo que no sería adecuado diseñar una única intervención pensada para un “paciente promedio”.

Advertencia sobre el supuesto de normalidad: la prueba de Shapiro-Wilk arroja \(W = 0.947\) con \(p = 0.0005\), de modo que se rechaza la normalidad. Esto es coherente con la naturaleza de la variable (escala entera de 1 a 10, con una distribución más bien plana y con colas livianas, curtosis en exceso de \(-1.01\)). Como la prueba chi-cuadrado para la varianza no es robusta frente a este incumplimiento, la conclusión debe tomarse con cautela. Por esa razón se calculó el intervalo bootstrap, que no depende de la normalidad: \((4.849;\ 7.270)\) para la varianza, el cual también contiene el valor \(6.25\) y respalda la misma conclusión. Al coincidir ambos métodos, la decisión de no rechazar \(H_0\) resulta razonablemente sólida.

Comparación de dos poblaciones

Selección de la comparación y justificación

Para esta sección se eligió la comparación de dos medias independientes. La elección se justifica por la estructura de los datos: la variable de respuesta, nivel_ansiedad, es cuantitativa (escala de 1 a 10), y la variable de agrupación, ha_asistido_terapia, es cualitativa con exactamente dos categorías (Sí y No). Además, cada paciente pertenece a un solo grupo y fue medido una única vez, por lo que las observaciones de ambos grupos son independientes entre sí. Esto descarta las medias dependientes (que exigirían dos mediciones sobre los mismos pacientes, por ejemplo antes y después de la terapia), y descarta las proporciones y las varianzas porque el interés está en comparar el nivel promedio de ansiedad.

La pregunta que se busca responder es: ¿difiere el nivel promedio de ansiedad entre los pacientes que han asistido a terapia y los que no?

Hipótesis

Sea \(\mu_1\) la media poblacional del nivel de ansiedad de los pacientes que han asistido a terapia y \(\mu_2\) la de quienes no han asistido. Se plantea:

\[H_0: \mu_1 - \mu_2 = 0 \qquad \text{frente a} \qquad H_1: \mu_1 - \mu_2 \neq 0\]

con un nivel de significancia de \(\alpha = 0.05\) (prueba bilateral).

Descripción de los grupos

datos %>%
  group_by(ha_asistido_terapia) %>%
  summarise(
    n = n(),
    media = mean(nivel_ansiedad),
    de = sd(nivel_ansiedad),
    mediana = median(nivel_ansiedad)
  )

ggplot(datos, aes(x = ha_asistido_terapia, y = nivel_ansiedad, fill = ha_asistido_terapia)) +
  geom_boxplot(alpha = 0.7) +
  geom_jitter(width = 0.1, alpha = 0.4) +
  labs(title = "Nivel de ansiedad según asistencia a terapia",
       x = "¿Ha asistido a terapia?", y = "Nivel de ansiedad (1-10)") +
  theme_minimal() +
  theme(legend.position = "none")

Verificación de supuestos

La prueba t para dos medias independientes requiere tres condiciones: (1) independencia entre las observaciones, (2) normalidad de la variable en cada grupo (o muestras suficientemente grandes) y (3) homogeneidad de varianzas, que solo es necesaria para la versión clásica de Student.

# Normalidad en cada grupo (Shapiro-Wilk)
shapiro.test(datos$nivel_ansiedad[datos$ha_asistido_terapia == "Sí"])

## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  datos$nivel_ansiedad[datos$ha_asistido_terapia == "Sí"]
## W = 0.94752, p-value = 0.006821

shapiro.test(datos$nivel_ansiedad[datos$ha_asistido_terapia == "No"])

## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  datos$nivel_ansiedad[datos$ha_asistido_terapia == "No"]
## W = 0.93862, p-value = 0.06194

# Homogeneidad de varianzas (Levene; requiere el paquete car)
# install.packages("car")
library(car)

## Loading required package: carData

## 
## Attaching package: 'car'

## The following object is masked from 'package:psych':
## 
##     logit

## The following object is masked from 'package:dplyr':
## 
##     recode

leveneTest(nivel_ansiedad ~ ha_asistido_terapia, data = datos, center = median)

## Warning in leveneTest.default(y = y, group = group, ...): group coerced to
## factor.

ggplot(datos, aes(sample = nivel_ansiedad)) +
  stat_qq() + stat_qq_line(color = "red") +
  facet_wrap(~ ha_asistido_terapia) +
  labs(title = "Gráficos Q-Q por grupo", x = "Cuantiles teóricos", y = "Cuantiles de la muestra") +
  theme_minimal()

Lectura de los supuestos. La independencia se cumple por el diseño (cada paciente aparece una sola vez). En la prueba de Shapiro-Wilk, el grupo que sí asistió a terapia presentó un valor p de 0.0068 y el que no asistió de 0.0619, lo que indica cierta desviación de la normalidad, algo esperable en una escala discreta de 1 a 10. Sin embargo, con 67 y 33 pacientes por grupo, el teorema del límite central garantiza que la distribución de la diferencia de medias es aproximadamente normal, por lo que la prueba t es robusta. La prueba de Levene arrojó un valor p de 0.7112, de modo que no hay evidencia contra la igualdad de varianzas. Aun así, se usa la prueba t de Welch, que no exige varianzas iguales y es la opción más segura, y como verificación de robustez se reporta también la prueba no paramétrica de Mann-Whitney.

Prueba t de Welch, intervalo de confianza y tamaño del efecto

# Prueba t de Welch (var.equal = FALSE es el valor por defecto)
prueba <- t.test(nivel_ansiedad ~ ha_asistido_terapia, data = datos,
                 var.equal = FALSE, conf.level = 0.95)
prueba

## 
##  Welch Two Sample t-test
## 
## data:  nivel_ansiedad by ha_asistido_terapia
## t = 0.69752, df = 58.666, p-value = 0.4882
## alternative hypothesis: true difference in means between group No and group Sí is not equal to 0
## 95 percent confidence interval:
##  -0.7092528  1.4681854
## sample estimates:
## mean in group No mean in group Sí 
##         6.424242         6.044776

# Nota: R ordena los grupos alfabéticamente (No, Sí). Por eso la diferencia
# que reporta t.test es (media No) - (media Sí). Para presentarla como
# (Sí) - (No), se invierte el signo.
diferencia <- unname(prueba$estimate[2] - prueba$estimate[1])
ic_inferior <- -prueba$conf.int[2]
ic_superior <- -prueba$conf.int[1]
cat("Diferencia de medias (Sí - No):", round(diferencia, 3), "\n")

## Diferencia de medias (Sí - No): -0.379

cat("IC 95%: [", round(ic_inferior, 3), ",", round(ic_superior, 3), "]\n")

## IC 95%: [ -1.468 , 0.709 ]

# Tamaño del efecto: d de Cohen y g de Hedges
# install.packages("effectsize")
library(effectsize)

## 
## Attaching package: 'effectsize'

## The following object is masked from 'package:psych':
## 
##     phi

cohens_d(nivel_ansiedad ~ ha_asistido_terapia, data = datos, pooled_sd = TRUE)

hedges_g(nivel_ansiedad ~ ha_asistido_terapia, data = datos)

# Prueba no paramétrica de robustez
wilcox.test(nivel_ansiedad ~ ha_asistido_terapia, data = datos, exact = FALSE)

## 
##  Wilcoxon rank sum test with continuity correction
## 
## data:  nivel_ansiedad by ha_asistido_terapia
## W = 1211.5, p-value = 0.4356
## alternative hypothesis: true location shift is not equal to 0

# Poder estadístico y tamaño de muestra necesario
# install.packages("pwr")
library(pwr)
# Poder alcanzado con el efecto observado (d = 0.153)
pwr.t2n.test(n1 = 67, n2 = 33, d = 0.153, sig.level = 0.05)

## 
##      t test power calculation 
## 
##              n1 = 67
##              n2 = 33
##               d = 0.153
##       sig.level = 0.05
##           power = 0.1098607
##     alternative = two.sided

# Tamaño de muestra por grupo para detectar un efecto medio (d = 0.5) con poder 0.80
pwr.t.test(d = 0.5, power = 0.80, sig.level = 0.05, type = "two.sample")

## 
##      Two-sample t test power calculation 
## 
##               n = 63.76561
##               d = 0.5
##       sig.level = 0.05
##           power = 0.8
##     alternative = two.sided
## 
## NOTE: n is number in *each* group

Resultados

Grupo	n	Media	Desviación estándar
Sí asistió a terapia	67	6.05	2.40
No asistió a terapia	33	6.42	2.63

La prueba t de Welch arrojó \(t = -0.698\) con 58.67 grados de libertad y un valor \(p = 0.488\). La diferencia de medias entre quienes sí asistieron y quienes no asistieron fue de \(-0.38\) puntos, con un intervalo de confianza del 95% de \([-1.47,\ 0.71]\). El tamaño del efecto fue pequeño: \(d\) de Cohen \(= -0.15\) (g de Hedges \(= -0.15\)). La prueba de Mann-Whitney confirmó el resultado (\(p = 0.436\)).

Interpretación

No se rechaza la hipótesis nula. Con estos datos no hay evidencia suficiente para afirmar que el nivel de ansiedad promedio sea distinto entre los pacientes que han asistido a terapia y los que no.

Más allá del valor \(p\), el intervalo de confianza permite una lectura más completa: con un 95% de confianza, la diferencia real entre ambos grupos estaría entre \(-1.47\) y \(+0.71\) puntos en una escala de 10. Como el intervalo incluye el cero, una diferencia nula es plausible; pero también incluye diferencias de hasta casi un punto y medio a favor de quienes asisten, por lo que tampoco se puede afirmar que no exista ningún efecto. La diferencia observada (\(0.38\) puntos, es decir, alrededor de un 4% de la escala) es pequeña, y el tamaño del efecto (\(|d| = 0.15\)) es inferior al umbral convencional de efecto pequeño (\(0.20\)), lo que sugiere que, en esta muestra, la asistencia a terapia por sí sola casi no se distingue en el nivel de ansiedad.

Importante, sobre la potencia de la prueba. El poder estadístico con el efecto observado es de apenas 0.11, y para detectar un efecto de tamaño medio (\(d = 0.5\)) con un poder de 0.80 se necesitarían cerca de 64 pacientes por grupo con grupos del mismo tamaño (con la proporción 2 a 1 de esta muestra, unos 96 en el grupo mayor), por encima de los 33 pacientes del grupo sin terapia. Por eso, el resultado no significativo debe leerse como “no se encontró evidencia”, y no como “se demostró que la terapia no tiene efecto”.

Una precaución sobre la interpretación causal. Se trata de datos observacionales: los pacientes no fueron asignados al azar a asistir o no a terapia. Es posible, por ejemplo, que quienes tienen más ansiedad busquen terapia con mayor frecuencia, lo que compensaría un posible efecto beneficioso. Por eso, esta comparación describe una asociación y no permite concluir que la terapia reduzca o no la ansiedad.

Desarrollo matemático

En esta sección se resuelve de forma manual cada una de las cuatro pruebas de hipótesis del trabajo, antes de mostrar cualquier salida de R, siguiendo la secuencia hipótesis nula y alternativa, nivel de significancia, estadístico de prueba, valor crítico o valor p y decisión. Para todas las pruebas se trabaja con un nivel de significancia de \(\alpha = 0.05\), es decir, con un nivel de confianza del 95%.

Prueba para una media: satisfacción con la terapia

Se quiere saber si la satisfacción promedio con la terapia se diferencia del punto neutral de la escala (5.5), sin suponer de antemano en qué dirección, por lo que la prueba es bilateral y las hipótesis son:

\[H_0: \mu = 5.5 \qquad\qquad H_1: \mu \neq 5.5\]

Con un nivel de significancia de \(\alpha = 0.05\) y como la desviación estándar poblacional es desconocida, se usa el estadístico \(t\) de Student con \(n-1 = 99\) grados de libertad. Con \(n = 100\), \(\bar{x} = 5.38\) y \(s = 2.8312\), el error estándar y el estadístico de prueba son:

\[EE = \dfrac{s}{\sqrt{n}} = \dfrac{2.8312}{\sqrt{100}} = 0.2831 \qquad\qquad t = \dfrac{\bar{x}-\mu_0}{s/\sqrt{n}} = \dfrac{5.38-5.5}{0.2831} = -0.4238\]

El valor crítico para una prueba bilateral con 99 grados de libertad es \(t_{0.025,\,99} = \pm 1.9842\), y el valor p es:

\[p = 2\cdot P(T_{99} \geq |-0.4238|) = 0.6726\]

Como \(|t| = 0.4238 < 1.9842\), es decir, el estadístico no cae en la región de rechazo, y además \(p = 0.6726 > 0.05\), no se rechaza \(H_0\). Para complementar la decisión, el intervalo de confianza del 95% es \(5.38 \pm (1.9842)(0.2831) = (4.82;\ 5.94)\), que contiene el valor de referencia 5.5, y el tamaño del efecto es \(d = \dfrac{5.38-5.5}{2.8312} = -0.04\), prácticamente nulo.

Prueba para una proporción: asistencia a terapia

Se quiere saber si la proporción de pacientes que ha asistido a terapia es distinta de la mitad, por lo que la prueba es bilateral y las hipótesis son:

\[H_0: p = 0.50 \qquad\qquad H_1: p \neq 0.50\]

Con un nivel de significancia de \(\alpha = 0.05\), primero se verifica la condición de muestra grande, \(np_0 = (100)(0.50) = 50 \geq 10\) y \(n(1-p_0) = 50 \geq 10\), que se cumple. Con \(x = 67\) pacientes que sí asistieron y \(n = 100\), la proporción muestral es \(\hat{p} = 67/100 = 0.67\). El error estándar se calcula bajo \(H_0\), usando \(p_0\), y con él se obtiene el estadístico \(Z\):

\[EE_0 = \sqrt{\dfrac{p_0(1-p_0)}{n}} = \sqrt{\dfrac{(0.50)(0.50)}{100}} = 0.0500 \qquad\qquad Z = \dfrac{\hat{p}-p_0}{EE_0} = \dfrac{0.67-0.50}{0.0500} = 3.40\]

El valor crítico es \(Z_{0.025} = \pm 1.96\) y el valor p es \(p = 2\cdot P(Z \geq |3.40|) = 0.0007\). Como \(|Z| = 3.40 > 1.96\) y \(p = 0.0007 < 0.05\), se rechaza \(H_0\). Para el intervalo de confianza se usa el error estándar con \(\hat{p}\), que es \(\sqrt{(0.67)(0.33)/100} = 0.0470\), de modo que el intervalo del 95% es \(0.67 \pm (1.96)(0.0470) = (0.578;\ 0.762)\), y el tamaño del efecto es \(h = 2\arcsin\sqrt{0.67} - 2\arcsin\sqrt{0.50} = 0.35\).

Prueba para una varianza: nivel de ansiedad

Se quiere saber si la variabilidad del nivel de ansiedad coincide con un valor de referencia de \(\sigma_0 = 2.5\) puntos, es decir, \(\sigma_0^2 = 6.25\), por lo que la prueba es de dos colas y las hipótesis son:

\[H_0: \sigma^2 = 6.25 \qquad\qquad H_1: \sigma^2 \neq 6.25\]

Con un nivel de significancia de \(\alpha = 0.05\), \(n = 100\) y \(s^2 = 6.1021\) (con \(s = 2.4702\)), el estadístico de prueba, que bajo \(H_0\) y normalidad sigue una distribución chi-cuadrado con \(n-1 = 99\) grados de libertad, es:

\[\chi^2 = \dfrac{(n-1)s^2}{\sigma_0^2} = \dfrac{(99)(6.1021)}{6.25} = \dfrac{604.11}{6.25} = 96.66\]

Por la asimetría de la distribución \(\chi^2\) se requieren dos valores críticos, \(\chi^2_{0.975,\,99} = 73.36\) y \(\chi^2_{0.025,\,99} = 128.42\), de modo que la región de rechazo es \(\chi^2 \leq 73.36\) o \(\chi^2 \geq 128.42\), y el valor p bilateral es \(0.904\). Como \(73.36 < 96.66 < 128.42\) y \(p = 0.904 > 0.05\), no se rechaza \(H_0\). El intervalo de confianza del 95% para la varianza es:

\[\left(\dfrac{604.11}{128.42},\; \dfrac{604.11}{73.36}\right) = (4.70;\; 8.23)\]

y, tomando raíz cuadrada, el de la desviación estándar es \((2.17;\ 2.87)\). El valor de referencia \(6.25\) queda dentro del intervalo, y la razón \(s^2/\sigma_0^2 = 0.976\) indica que la varianza observada difiere de la de referencia en apenas un 2.4%.

Comparación de dos medias independientes: ansiedad según asistencia a terapia

Sea \(\mu_1\) la media de ansiedad de quienes sí asistieron a terapia y \(\mu_2\) la de quienes no asistieron. Se quiere saber si difieren, por lo que la prueba es bilateral y las hipótesis son:

\[H_0: \mu_1-\mu_2 = 0 \qquad\qquad H_1: \mu_1-\mu_2 \neq 0\]

Con un nivel de significancia de \(\alpha = 0.05\), los datos muestrales son \(n_1 = 67\), \(\bar{x}_1 = 6.0448\) y \(s_1 = 2.3959\) para quienes sí asistieron, y \(n_2 = 33\), \(\bar{x}_2 = 6.4242\) y \(s_2 = 2.6343\) para quienes no asistieron. Se usa la aproximación de Welch, que no exige varianzas iguales. La diferencia de medias, el error estándar y el estadístico de prueba son:

\[\bar{x}_1-\bar{x}_2 = -0.3795 \qquad EE = \sqrt{\dfrac{s_1^2}{n_1}+\dfrac{s_2^2}{n_2}} = \sqrt{0.0857+0.2103} = 0.5440 \qquad t = \dfrac{-0.3795}{0.5440} = -0.6975\]

Los grados de libertad de Welch son \(\nu \approx 58.67\), con los que el valor crítico es \(t_{0.025,\,58.67} = \pm 2.0012\) y el valor p es \(p = 2\cdot P(T_{58.67} \geq |-0.6975|) = 0.488\). Como \(|t| = 0.6975 < 2.0012\) y \(p = 0.488 > 0.05\), no se rechaza \(H_0\). El intervalo de confianza del 95% para la diferencia es \(-0.3795 \pm (2.0012)(0.5440) = (-1.47;\ 0.71)\), que contiene el cero, y el tamaño del efecto es \(d = -0.3795/2.4772 = -0.15\), inferior al umbral convencional de efecto pequeño.

Resumen del desarrollo matemático

Prueba	\(H_0\)	Estadístico	Valor crítico	Valor p	Decisión
Una media (satisfacción)	\(\mu = 5.5\)	\(t = -0.4238\)	\(\pm 1.9842\)	0.6726	No se rechaza \(H_0\)
Una proporción (asistencia)	\(p = 0.50\)	\(Z = 3.40\)	\(\pm 1.96\)	0.0007	Se rechaza \(H_0\)
Una varianza (ansiedad)	\(\sigma^2 = 6.25\)	\(\chi^2 = 96.66\)	\(73.36\) y \(128.42\)	0.904	No se rechaza \(H_0\)
Dos medias (ansiedad)	\(\mu_1-\mu_2 = 0\)	\(t = -0.6975\)	\(\pm 2.0012\)	0.488	No se rechaza \(H_0\)

De las cuatro pruebas, solo la de la proporción de asistencia a terapia conduce al rechazo de la hipótesis nula, mientras que en las otras tres la información muestral no contradice el valor de referencia ni sugiere una diferencia entre grupos.

Implementación en R

En esta sección se reproduce en R cada una de las pruebas resueltas manualmente en el desarrollo matemático, usando primero las funciones de distribución (qnorm(), pnorm(), qt(), pt(), qchisq(), pchisq(), qf() y pf()) para obtener los valores críticos y los valores p, y comparando después con las funciones que ejecutan la prueba completa (t.test(), prop.test() y var.test()). Si los dos caminos coinciden, queda verificado que el procedimiento matemático se aplicó correctamente.

Prueba para una media

x     <- datos$satisfaccion_con_terapia
mu0   <- 5.5
n     <- length(x)
ee    <- sd(x) / sqrt(n)
t_obs <- (mean(x) - mu0) / ee

t_crit  <- qt(0.975, df = n - 1)
p_valor <- 2 * (1 - pt(abs(t_obs), df = n - 1))

prueba_t <- t.test(x, mu = mu0, conf.level = 0.95)
data.frame(
  Fuente      = c("Manual (qt, pt)", "t.test()"),
  Estadistico = round(c(t_obs, unname(prueba_t$statistic)), 4),
  Valor_p     = round(c(p_valor, prueba_t$p.value), 4)
)

c(t_critico = round(t_crit, 4))

## t_critico 
##    1.9842

El estadístico \(t = -0.4238\) y el valor p de \(0.6726\) obtenidos con qt() y pt() coinciden con los de t.test(), y el valor crítico \(\pm 1.9842\) confirma que el estadístico no cae en la región de rechazo, por lo que no se rechaza \(H_0\).

Prueba para una proporción

n     <- nrow(datos)
x     <- sum(datos$ha_asistido_terapia == "Sí")
p0    <- 0.50
p_hat <- x / n
ee0   <- sqrt(p0 * (1 - p0) / n)
z     <- (p_hat - p0) / ee0

z_crit  <- qnorm(0.975)
p_valor <- 2 * (1 - pnorm(abs(z)))

prueba_p <- prop.test(x = x, n = n, p = p0, correct = FALSE, conf.level = 0.95)
data.frame(
  Fuente      = c("Manual (qnorm, pnorm)", "prop.test() [Z^2]"),
  Estadistico = round(c(z^2, unname(prueba_p$statistic)), 4),
  Valor_p     = signif(c(p_valor, prueba_p$p.value), 3)
)

c(z_critico = round(z_crit, 4), Z = round(z, 4))

## z_critico         Z 
##      1.96      3.40

El estadístico \(Z = 3.40\) supera el valor crítico de \(1.96\), y su cuadrado (\(11.56\)) coincide con el \(\chi^2\) que reporta prop.test(), igual que el valor p de \(0.0007\), por lo que se rechaza \(H_0\).

Prueba para una varianza

x        <- datos$nivel_ansiedad
n        <- length(x)
gl       <- n - 1
sigma0_2 <- 6.25
chi2     <- gl * var(x) / sigma0_2

crit_inf <- qchisq(0.025, df = gl)
crit_sup <- qchisq(0.975, df = gl)
p_valor  <- 2 * min(pchisq(chi2, df = gl), 1 - pchisq(chi2, df = gl))

c(chi2 = round(chi2, 4), crit_inf = round(crit_inf, 4),
  crit_sup = round(crit_sup, 4), valor_p = round(p_valor, 4))

##     chi2 crit_inf crit_sup  valor_p 
##  96.6576  73.3611 128.4220   0.9042

R base no trae una función que haga la prueba chi-cuadrado para una sola varianza, por eso se resuelve con qchisq() y pchisq(). El estadístico \(\chi^2 = 96.66\) queda entre los valores críticos \(73.36\) y \(128.42\), con un valor p de \(0.904\), por lo que no se rechaza \(H_0\).

Comparación de dos medias independientes

g_si <- datos$nivel_ansiedad[datos$ha_asistido_terapia == "Sí"]
g_no <- datos$nivel_ansiedad[datos$ha_asistido_terapia == "No"]

v1    <- var(g_si) / length(g_si)
v2    <- var(g_no) / length(g_no)
t_obs <- (mean(g_si) - mean(g_no)) / sqrt(v1 + v2)
gl_w  <- (v1 + v2)^2 / (v1^2 / (length(g_si) - 1) + v2^2 / (length(g_no) - 1))

t_crit  <- qt(0.975, df = gl_w)
p_valor <- 2 * (1 - pt(abs(t_obs), df = gl_w))

prueba_w <- t.test(g_si, g_no, var.equal = FALSE, conf.level = 0.95)
data.frame(
  Fuente      = c("Manual (qt, pt)", "t.test()"),
  Estadistico = round(c(t_obs, unname(prueba_w$statistic)), 4),
  GL          = round(c(gl_w, unname(prueba_w$parameter)), 2),
  Valor_p     = round(c(p_valor, prueba_w$p.value), 4)
)

c(t_critico = round(t_crit, 4))

## t_critico 
##    2.0012

El estadístico \(t = -0.6975\) con \(58.67\) grados de libertad y el valor p de \(0.488\) son idénticos en el cálculo manual y en t.test(), y el estadístico queda dentro de \(\pm 2.0012\), por lo que no se rechaza \(H_0\).

Verificación de la igualdad de varianzas

Aunque la prueba de Welch no exige varianzas iguales, se verifica ese supuesto con la prueba F de razón de varianzas, usando qf() y pf() y comparando con var.test().

F_obs <- var(g_si) / var(g_no)
gl1   <- length(g_si) - 1
gl2   <- length(g_no) - 1

F_inf <- qf(0.025, df1 = gl1, df2 = gl2)
F_sup <- qf(0.975, df1 = gl1, df2 = gl2)
p_F   <- 2 * min(pf(F_obs, gl1, gl2), 1 - pf(F_obs, gl1, gl2))

c(F = round(F_obs, 4), F_inf = round(F_inf, 4),
  F_sup = round(F_sup, 4), valor_p = round(p_F, 4))

##       F   F_inf   F_sup valor_p 
##  0.8272  0.5634  1.8923  0.5086

var.test(g_si, g_no, conf.level = 0.95)

## 
##  F test to compare two variances
## 
## data:  g_si and g_no
## F = 0.82722, num df = 66, denom df = 32, p-value = 0.5086
## alternative hypothesis: true ratio of variances is not equal to 1
## 95 percent confidence interval:
##  0.4371426 1.4681510
## sample estimates:
## ratio of variances 
##          0.8272176

La razón de varianzas es \(F = 0.8272\) con \(66\) y \(32\) grados de libertad y queda entre los valores críticos \(0.5634\) y \(1.8923\), con un valor p de \(0.509\), que coincide con el de var.test(). No hay evidencia de que las varianzas de ambos grupos sean distintas, lo que es coherente con la prueba de Levene del taller.

Resumen de la implementación

Prueba	Funciones de distribución	Función completa	Resultado manual	Resultado en R
Una media	qt(), pt()	t.test()	\(t = -0.4238\), \(p = 0.6726\)	Coincide
Una proporción	qnorm(), pnorm()	prop.test()	\(Z = 3.40\), \(p = 0.0007\)	Coincide
Una varianza	qchisq(), pchisq()	No existe en R base	\(\chi^2 = 96.66\), \(p = 0.904\)	Coincide
Dos medias	qt(), pt()	t.test()	\(t = -0.6975\), \(p = 0.488\)	Coincide
Razón de varianzas	qf(), pf()	var.test()	\(F = 0.8272\), \(p = 0.509\)	Coincide

Interpretación de salidas de R

En esta sección se presentan las salidas completas que entrega R para cada grupo de pruebas y se explica qué significa cada elemento: las hipótesis, el estadístico, los grados de libertad, el valor p, el intervalo de confianza cuando aparece, la decisión y su interpretación en el contexto de los pacientes. Las salidas las genera R directamente al compilar el documento y la lectura de cada una se hace a continuación, sin limitarse a copiarlas.

Pruebas sobre una media

Salida 1: satisfacción con la terapia frente al punto neutral de 5.5

t.test(datos$satisfaccion_con_terapia, mu = 5.5)

## 
##  One Sample t-test
## 
## data:  datos$satisfaccion_con_terapia
## t = -0.42385, df = 99, p-value = 0.6726
## alternative hypothesis: true mean is not equal to 5.5
## 95 percent confidence interval:
##  4.818226 5.941774
## sample estimates:
## mean of x 
##      5.38

La línea alternative hypothesis: true mean is not equal to 5.5 revela las hipótesis, que son \(H_0: \mu = 5.5\) frente a \(H_1: \mu \neq 5.5\), de modo que la prueba es bilateral. El estadístico es \(t = -0.42377\), que indica que la media muestral (5.38) queda a menos de media unidad de error estándar por debajo del valor de referencia, y los grados de libertad son \(df = 99\), es decir, \(n-1\) para \(n = 100\). El valor p de \(0.6726\) significa que, si la satisfacción promedio poblacional fuera realmente 5.5, una diferencia igual o mayor que la observada aparecería en el 67% de las muestras, un resultado totalmente corriente. Como \(0.6726 > 0.05\), no se rechaza \(H_0\). El intervalo de confianza del 95% va de \(4.82\) a \(5.94\) y contiene el 5.5, lo que es coherente con la decisión. En el contexto, la satisfacción de los pacientes no se distingue del punto neutral: no se muestran ni claramente satisfechos ni claramente insatisfechos.

Salida 2: nivel de depresión frente a un valor de referencia de 5

t.test(datos$nivel_depresion, mu = 5)

## 
##  One Sample t-test
## 
## data:  datos$nivel_depresion
## t = 1.4653, df = 99, p-value = 0.146
## alternative hypothesis: true mean is not equal to 5
## 95 percent confidence interval:
##  4.844187 6.035813
## sample estimates:
## mean of x 
##      5.44

Las hipótesis son \(H_0: \mu = 5\) frente a \(H_1: \mu \neq 5\). El estadístico es \(t = 1.4653\), positivo porque esta vez la media muestral (5.44) queda por encima del valor de referencia, con \(df = 99\) grados de libertad. El valor p de \(0.146\) indica que una diferencia como la observada aparecería por azar en el 14.6% de las muestras si \(\mu\) fuera 5, una probabilidad superior al 5%, por lo que no se rechaza \(H_0\). El intervalo del 95% va de \(4.84\) a \(6.04\) y contiene el 5. En el contexto, aunque los pacientes puntúan en promedio 0.44 puntos por encima de 5 en depresión, esa diferencia es compatible con la variación del muestreo y no permite afirmar que el nivel poblacional sea distinto de 5. Conviene recordar que no rechazar \(H_0\) no demuestra que \(\mu\) sea exactamente 5, solo que los datos no bastan para descartarlo.

Pruebas sobre una proporción

Salida 1: asistencia a terapia frente a 0.50

x <- sum(datos$ha_asistido_terapia == "Sí")
prop.test(x, nrow(datos), p = 0.50, correct = FALSE)

## 
##  1-sample proportions test without continuity correction
## 
## data:  x out of nrow(datos), null probability 0.5
## X-squared = 11.56, df = 1, p-value = 0.0006739
## alternative hypothesis: true p is not equal to 0.5
## 95 percent confidence interval:
##  0.5730534 0.7543688
## sample estimates:
##    p 
## 0.67

Las hipótesis son \(H_0: p = 0.50\) frente a \(H_1: p \neq 0.50\). R no reporta \(Z\) sino \(X\text{-squared} = 11.56\), que es el cuadrado del estadístico \(Z = 3.40\) calculado a mano, con \(df = 1\) grado de libertad porque la distribución chi-cuadrado de una proporción tiene siempre uno. El valor p de \(0.000674\) es la probabilidad de obtener una proporción tan alejada de 0.5 si realmente la mitad de los pacientes hubiera asistido, y es muy inferior a \(0.05\), por lo que se rechaza \(H_0\). El intervalo del 95% va de \(0.573\) a \(0.754\) y deja el 0.5 por fuera, en la zona inferior. Este intervalo no coincide exactamente con el de \((0.578;\ 0.762)\) del desarrollo matemático porque prop.test() usa el método de Wilson y el cálculo a mano usa el método de Wald, y ambos dan conclusiones idénticas. En el contexto, la evidencia indica que más de la mitad de los pacientes ha asistido a terapia, con una proporción estimada de 67%.

Salida 2: apoyo familiar alto frente a 0.25

x <- sum(datos$apoyo_familiar == "Alto")
prop.test(x, nrow(datos), p = 0.25, correct = FALSE)

## 
##  1-sample proportions test without continuity correction
## 
## data:  x out of nrow(datos), null probability 0.25
## X-squared = 0.21333, df = 1, p-value = 0.6442
## alternative hypothesis: true p is not equal to 0.25
## 95 percent confidence interval:
##  0.1926958 0.3643212
## sample estimates:
##    p 
## 0.27

Las hipótesis son \(H_0: p = 0.25\) frente a \(H_1: p \neq 0.25\), para saber si una cuarta parte de los pacientes percibe apoyo familiar alto. El estadístico es \(X\text{-squared} = 0.21333\) con \(df = 1\), un valor muy pequeño porque la proporción observada (0.27) es casi igual a la de referencia. El valor p de \(0.6442\) supera ampliamente \(0.05\), por lo que no se rechaza \(H_0\), y el intervalo del 95%, de \(0.193\) a \(0.364\), contiene el 0.25. En el contexto, los 27 pacientes con apoyo familiar alto son compatibles con que la proporción poblacional sea de una cuarta parte, de modo que no hay evidencia de que sea mayor ni menor.

Pruebas sobre una varianza

Salida 1: razón de varianzas de ansiedad entre quienes asistieron y no asistieron a terapia

g_si <- datos$nivel_ansiedad[datos$ha_asistido_terapia == "Sí"]
g_no <- datos$nivel_ansiedad[datos$ha_asistido_terapia == "No"]
var.test(g_si, g_no)

## 
##  F test to compare two variances
## 
## data:  g_si and g_no
## F = 0.82722, num df = 66, denom df = 32, p-value = 0.5086
## alternative hypothesis: true ratio of variances is not equal to 1
## 95 percent confidence interval:
##  0.4371426 1.4681510
## sample estimates:
## ratio of variances 
##          0.8272176

Las hipótesis son \(H_0: \sigma_1^2/\sigma_2^2 = 1\) frente a \(H_1: \sigma_1^2/\sigma_2^2 \neq 1\), es decir, que las varianzas poblacionales de ambos grupos son iguales. El estadístico es \(F = 0.82719\), el cociente entre la varianza de quienes asistieron (5.74) y la de quienes no asistieron (6.94), con dos grados de libertad: num df = 66 para el numerador (\(67-1\)) y denom df = 32 para el denominador (\(33-1\)). El valor p de \(0.5086\) es mayor que \(0.05\), así que no se rechaza \(H_0\). El intervalo del 95% para la razón va de \(0.437\) a \(1.468\) y contiene el 1, que es el valor que corresponde a varianzas iguales. En el contexto, ambos grupos de pacientes son igual de heterogéneos en su nivel de ansiedad, lo que justifica comparar sus medias sin preocuparse por una diferencia de dispersión.

Salida 2: razón de varianzas de depresión entre mujeres y hombres

mujeres <- datos$nivel_depresion[datos$sexo == "Femenino"]
hombres <- datos$nivel_depresion[datos$sexo == "Masculino"]
var.test(mujeres, hombres)

## 
##  F test to compare two variances
## 
## data:  mujeres and hombres
## F = 0.86544, num df = 37, denom df = 44, p-value = 0.6563
## alternative hypothesis: true ratio of variances is not equal to 1
## 95 percent confidence interval:
##  0.4662144 1.6343320
## sample estimates:
## ratio of variances 
##           0.865442

Las hipótesis son las mismas, \(H_0: \sigma_1^2/\sigma_2^2 = 1\) frente a \(H_1: \sigma_1^2/\sigma_2^2 \neq 1\). El estadístico es \(F = 0.86544\), con num df = 37 (\(38-1\) mujeres) y denom df = 44 (\(45-1\) hombres). El valor p de \(0.6563\) es mucho mayor que \(0.05\), por lo que no se rechaza \(H_0\), y el intervalo del 95% de \(0.466\) a \(1.634\) contiene el 1. En el contexto, la depresión varía en las mujeres (varianza 8.51) aproximadamente tanto como en los hombres (varianza 9.84), y la diferencia observada es atribuible al azar. Un valor de \(F\) menor que 1 solo indica que la varianza del primer grupo es la menor, y no es una señal de diferencia por sí mismo.

Pruebas de comparación de dos medias

Salida 1: ansiedad según asistencia a terapia, con la corrección de Welch

t.test(nivel_ansiedad ~ ha_asistido_terapia, data = datos)

## 
##  Welch Two Sample t-test
## 
## data:  nivel_ansiedad by ha_asistido_terapia
## t = 0.69752, df = 58.666, p-value = 0.4882
## alternative hypothesis: true difference in means between group No and group Sí is not equal to 0
## 95 percent confidence interval:
##  -0.7092528  1.4681854
## sample estimates:
## mean in group No mean in group Sí 
##         6.424242         6.044776

Las hipótesis son \(H_0: \mu_{No} - \mu_{S\acute{\imath}} = 0\) frente a \(H_1: \mu_{No} - \mu_{S\acute{\imath}} \neq 0\). Aquí hay un detalle que no se debe pasar por alto: R ordena los grupos alfabéticamente, por lo que la diferencia que reporta es No menos Sí, con signo contrario al \(\bar{x}_{S\acute{\imath}} - \bar{x}_{No} = -0.3795\) del desarrollo matemático. Por eso el estadístico es \(t = 0.69752\) y no \(-0.6975\), y el intervalo es \((-0.709;\ 1.468)\) y no \((-1.468;\ 0.709)\); son el mismo resultado con el signo invertido. Los grados de libertad son \(df = 58.666\), fraccionarios porque se trata de la corrección de Welch, que no supone varianzas iguales. El valor p de \(0.4882\) supera \(0.05\), por lo que no se rechaza \(H_0\), y el intervalo contiene el cero. En el contexto, quienes no asistieron a terapia puntúan en promedio \(0.38\) puntos más en ansiedad (6.42 frente a 6.04), pero esa diferencia es compatible con el azar, y no hay evidencia de que la asistencia esté asociada a un nivel de ansiedad distinto.

Salida 2: ansiedad según asistencia a terapia, asumiendo varianzas iguales

t_student <- t.test(nivel_ansiedad ~ ha_asistido_terapia, data = datos, var.equal = TRUE)
t_student

## 
##  Two Sample t-test
## 
## data:  nivel_ansiedad by ha_asistido_terapia
## t = 0.72056, df = 98, p-value = 0.4729
## alternative hypothesis: true difference in means between group No and group Sí is not equal to 0
## 95 percent confidence interval:
##  -0.665608  1.424541
## sample estimates:
## mean in group No mean in group Sí 
##         6.424242         6.044776

Esta es la prueba t clásica de Student con var.equal = TRUE, que se justifica porque la prueba F anterior no mostró diferencia de varianzas. Las hipótesis son las mismas, \(H_0: \mu_{No} - \mu_{S\acute{\imath}} = 0\) frente a \(H_1: \mu_{No} - \mu_{S\acute{\imath}} \neq 0\). El estadístico es 0.7206 con 98, que ahora es un entero porque equivale a \(n_1 + n_2 - 2 = 67 + 33 - 2\). El valor p de 0.4729 vuelve a superar \(0.05\), no se rechaza \(H_0\) y el intervalo \((−0.666;\ 1.425)\) contiene el cero. Que la versión de Welch y la de Student lleguen a la misma conclusión refuerza el resultado: la decisión no depende del supuesto sobre las varianzas. En el contexto, ninguna de las dos versiones encuentra una diferencia de ansiedad entre los pacientes que asistieron y los que no.

Resumen de las salidas interpretadas

Grupo	Salida	Estadístico	Grados de libertad	Valor p	Decisión
Una media	Satisfacción frente a 5.5	\(t = -0.4238\)	99	0.6726	No se rechaza \(H_0\)
Una media	Depresión frente a 5	\(t = 1.4653\)	99	0.1460	No se rechaza \(H_0\)
Una proporción	Asistencia frente a 0.50	\(X^2 = 11.56\)	1	0.0007	Se rechaza \(H_0\)
Una proporción	Apoyo alto frente a 0.25	\(X^2 = 0.2133\)	1	0.6442	No se rechaza \(H_0\)
Una varianza	Ansiedad, Sí frente a No	\(F = 0.8272\)	66 y 32	0.5086	No se rechaza \(H_0\)
Una varianza	Depresión, mujeres frente a hombres	\(F = 0.8654\)	37 y 44	0.6563	No se rechaza \(H_0\)
Dos medias	Ansiedad, Welch	\(t = 0.6975\)	58.67	0.4882	No se rechaza \(H_0\)
Dos medias	Ansiedad, Student	\(t = 0.7206\)	98	0.4729	No se rechaza \(H_0\)

Resultados e interpretación

En esta sección se presentan los resultados de las cuatro pruebas de hipótesis del trabajo y se explica, para cada una, qué parámetro se contrastó, cuáles fueron la hipótesis nula y la alternativa, qué nivel de significancia se utilizó, cuál fue el estadístico observado y el valor p, qué decisión se tomó y qué significa esa decisión en el contexto de los pacientes del centro de psicología clínica. En todas las pruebas se trabajó con un nivel de significancia de \(\alpha = 0.05\), es decir, con una confianza del 95%.

Prueba para una media: satisfacción con la terapia

El parámetro contrastado fue la satisfacción promedio con la terapia en la población de pacientes, \(\mu\), que se comparó con el punto neutral de la escala de 1 a 10, es decir, con 5.5. La hipótesis nula fue \(H_0: \mu = 5.5\), según la cual la satisfacción promedio poblacional coincide con ese punto neutral, y la alternativa fue \(H_1: \mu \neq 5.5\), según la cual se diferencia de él en cualquier dirección. Con un nivel de significancia de \(\alpha = 0.05\), el estadístico observado fue \(t = -0.4238\) con 99 grados de libertad y el valor p fue \(0.6726\). Como el valor p es mayor que \(\alpha\) y el estadístico queda dentro de la región de aceptación comprendida entre \(-1.9842\) y \(1.9842\), la decisión fue no rechazar \(H_0\). En el contexto, los 100 pacientes reportaron una satisfacción promedio de 5.38, apenas 0.12 puntos por debajo del punto neutral, y los datos no aportan evidencia suficiente para afirmar que la satisfacción poblacional sea distinta de 5.5: los pacientes no se muestran ni claramente satisfechos ni claramente insatisfechos con el tratamiento. El intervalo de confianza del 95%, de \(4.82\) a \(5.94\), contiene el valor de referencia y el tamaño del efecto (\(d = -0.04\)) es prácticamente nulo, lo que confirma la decisión. No rechazar \(H_0\) no demuestra que la satisfacción sea exactamente 5.5, solo que los datos no permiten descartarlo.

Prueba para una proporción: asistencia a terapia

El parámetro contrastado fue la proporción de pacientes del centro que ha asistido a terapia, \(p\), que se comparó con la mitad de los pacientes. La hipótesis nula fue \(H_0: p = 0.50\), según la cual exactamente la mitad ha asistido, y la alternativa fue \(H_1: p \neq 0.50\), según la cual la proporción es distinta de la mitad. Con un nivel de significancia de \(\alpha = 0.05\), el estadístico observado fue \(Z = 3.40\) y el valor p fue \(0.0007\). Como el valor p es muy inferior a \(\alpha\) y el estadístico supera el valor crítico de \(1.96\) en valor absoluto, la decisión fue rechazar \(H_0\). En el contexto, de los 100 pacientes, 67 han asistido a terapia, lo que da una proporción muestral de \(\hat{p} = 0.67\), y existe evidencia estadística suficiente para afirmar que la proporción poblacional es distinta de 0.50. El intervalo de confianza del 95%, de \(0.578\) a \(0.762\), queda por completo por encima de la mitad y el tamaño del efecto (\(h = 0.35\)) es de magnitud pequeña a moderada, de modo que la diferencia es real pero no extrema: cerca de 2 de cada 3 pacientes ya ha tenido contacto con la terapia psicológica.

Prueba para una varianza: nivel de ansiedad

El parámetro contrastado fue la varianza poblacional del nivel de ansiedad, \(\sigma^2\), que se comparó con un valor de referencia de \(6.25\), correspondiente a una desviación estándar de 2.5 puntos. La hipótesis nula fue \(H_0: \sigma^2 = 6.25\), según la cual la variabilidad de la ansiedad coincide con la de referencia, y la alternativa fue \(H_1: \sigma^2 \neq 6.25\), según la cual la variabilidad es distinta, ya sea mayor o menor. Con un nivel de significancia de \(\alpha = 0.05\) y una prueba de dos colas, el estadístico observado fue \(\chi^2 = 96.66\) con 99 grados de libertad y el valor p bilateral fue \(0.904\). Como el estadístico queda entre los valores críticos \(73.36\) y \(128.42\) y el valor p es mucho mayor que \(\alpha\), la decisión fue no rechazar \(H_0\). En el contexto, la varianza muestral fue de \(6.10\), prácticamente igual a la de referencia (difiere en apenas 2.4%), de modo que los datos no aportan evidencia de que la dispersión de la ansiedad entre los pacientes sea distinta de lo esperado. El intervalo de confianza del 95% para la varianza, de \(4.70\) a \(8.23\), contiene el 6.25. En términos prácticos, los pacientes son heterogéneos, pues hay quienes presentan ansiedad baja, media y alta, por lo que no sería adecuado diseñar una única intervención pensada para un paciente promedio. Como la prueba chi-cuadrado exige normalidad y la prueba de Shapiro-Wilk la rechazó, esta conclusión debe tomarse con cautela, y por eso se verificó con el intervalo bootstrap, que llevó a la misma decisión.

Comparación de dos medias independientes: ansiedad según asistencia a terapia

El parámetro contrastado fue la diferencia entre el nivel promedio poblacional de ansiedad de los pacientes que han asistido a terapia, \(\mu_1\), y el de quienes no han asistido, \(\mu_2\). La hipótesis nula fue \(H_0: \mu_1 - \mu_2 = 0\), según la cual ambos grupos tienen el mismo nivel promedio de ansiedad, y la alternativa fue \(H_1: \mu_1 - \mu_2 \neq 0\), según la cual los niveles difieren. Con un nivel de significancia de \(\alpha = 0.05\) y la corrección de Welch, el estadístico observado fue \(t = -0.6975\) con 58.67 grados de libertad y el valor p fue \(0.488\). Como el valor p es mayor que \(\alpha\) y el estadístico queda entre \(-2.0012\) y \(2.0012\), la decisión fue no rechazar \(H_0\). En el contexto, quienes asistieron a terapia (67 pacientes) obtuvieron una ansiedad promedio de 6.04 y quienes no asistieron (33 pacientes) de 6.42, una diferencia de \(-0.38\) puntos que es compatible con el azar, por lo que no hay evidencia de que la asistencia a terapia esté asociada a un nivel de ansiedad distinto. El intervalo de confianza del 95% para la diferencia, de \(-1.47\) a \(0.71\), contiene el cero, y el tamaño del efecto (\(d = -0.15\)) es inferior al umbral de efecto pequeño. Este resultado debe leerse como falta de evidencia y no como prueba de que la terapia no sirve, pues la prueba tiene un poder bajo con grupos de 67 y 33 pacientes, y los datos son observacionales, de modo que no permiten concluir que la terapia reduzca o no la ansiedad.

Resumen de los resultados

Prueba	Parámetro	Hipótesis nula	Estadístico	Valor p	Decisión
Una media	\(\mu\) de satisfacción	\(\mu = 5.5\)	\(t = -0.4238\)	0.6726	No se rechaza \(H_0\)
Una proporción	\(p\) de asistencia a terapia	\(p = 0.50\)	\(Z = 3.40\)	0.0007	Se rechaza \(H_0\)
Una varianza	\(\sigma^2\) de ansiedad	\(\sigma^2 = 6.25\)	\(\chi^2 = 96.66\)	0.904	No se rechaza \(H_0\)
Dos medias	\(\mu_1 - \mu_2\) de ansiedad	\(\mu_1 - \mu_2 = 0\)	\(t = -0.6975\)	0.488	No se rechaza \(H_0\)

De las cuatro pruebas, solo la de la proporción conduce al rechazo de la hipótesis nula, y lo que muestra en conjunto es que la mayoría de los pacientes ha tenido contacto con la terapia, mientras que ni el nivel promedio de satisfacción, ni la variabilidad de la ansiedad, ni la ansiedad según la asistencia a terapia se apartan de lo esperado.

Conclusiones

A partir de las cuatro pruebas de hipótesis realizadas con los 100 pacientes de la muestra, se presentan las siguientes conclusiones en respuesta a la pregunta problema y al objetivo general del trabajo, que consistió en evaluar mediante pruebas de hipótesis afirmaciones sobre parámetros poblacionales relacionados con el bienestar psicológico y el proceso terapéutico de los pacientes de un centro de psicología clínica.

La satisfacción con la terapia no se distingue del punto neutral de la escala. Con una satisfacción promedio muestral de 5.38, la prueba t no permitió rechazar la hipótesis de que la satisfacción promedio poblacional sea 5.5 (\(t = -0.4238\), \(p = 0.6726\)), y el intervalo de confianza del 95%, de \(4.82\) a \(5.94\), contiene ese valor. Esto responde a la pregunta problema en lo referente a la satisfacción, pues no hay evidencia de que difiera del valor de referencia. La diferencia observada es de apenas 0.12 puntos y el tamaño del efecto es prácticamente nulo (\(d = -0.04\)), de modo que tampoco tiene importancia práctica. Como no rechazar la hipótesis nula no demuestra que la satisfacción sea exactamente 5.5, el resultado debe leerse como falta de evidencia y no como confirmación.

La mayoría de los pacientes ha asistido a terapia, y este es el único hallazgo con significancia estadística. La proporción de pacientes que ha asistido fue de 0.67, y la prueba Z rechazó que sea 0.50 (\(Z = 3.40\), \(p = 0.0007\)), con un intervalo del 95% de \(0.578\) a \(0.762\) que queda por completo por encima de la mitad. Este resultado se relaciona con el objetivo al evaluar una afirmación sobre una proporción poblacional. Además de ser estadísticamente significativo, tiene importancia práctica moderada, pues el tamaño del efecto es de magnitud pequeña a moderada (\(h = 0.35\)) y equivale a que cerca de 2 de cada 3 pacientes ya ha tenido contacto con la terapia psicológica.

La variabilidad del nivel de ansiedad coincide con la de referencia. La varianza muestral fue de 6.10 y la prueba chi-cuadrado no permitió rechazar que la varianza poblacional sea 6.25 (\(\chi^2 = 96.66\), \(p = 0.904\)), con un intervalo del 95% de \(4.70\) a \(8.23\) que contiene ese valor. La diferencia con la referencia es de apenas 2.4%, por lo que no es relevante en la práctica, y lo que sí indica el resultado es que los pacientes son heterogéneos en su ansiedad, de manera que no conviene diseñar una única intervención para un paciente promedio. Como la prueba exige normalidad y esta no se cumple del todo en una escala entera de 1 a 10, la conclusión se tomó con cautela y se respaldó con un intervalo bootstrap que llevó a la misma decisión.

No se encontró evidencia de que la ansiedad difiera según la asistencia a terapia, y esto no permite afirmar que la terapia no tenga efecto. Los pacientes que asistieron tuvieron una ansiedad promedio de 6.04 y los que no asistieron de 6.42, y la prueba t de Welch no rechazó la igualdad de medias (\(t = -0.6975\), \(p = 0.488\)), con un intervalo del 95% para la diferencia de \(-1.47\) a \(0.71\) que contiene el cero. El tamaño del efecto (\(d = -0.15\)) es inferior al umbral de efecto pequeño, de modo que la diferencia no es relevante en la práctica. Este resultado debe interpretarse como falta de evidencia y no como ausencia de efecto, porque la prueba tiene un poder bajo con grupos de 67 y 33 pacientes, y porque los datos son observacionales: los pacientes no fueron asignados al azar a asistir o no a terapia, por lo que es posible que quienes sienten más ansiedad busquen terapia con mayor frecuencia y eso compense un posible beneficio. El resultado describe una asociación y no permite concluir que la terapia reduzca o no la ansiedad.

En conjunto, la distinción entre significancia estadística e importancia práctica ordena todos los resultados. De las cuatro pruebas, solo la de la proporción alcanzó significancia estadística, y es también la única con un efecto de cierta magnitud, mientras que las otras tres no rechazaron la hipótesis nula y mostraron efectos pequeños o nulos. Esto responde al objetivo general: con la información de la muestra, los pacientes del centro no se apartan de los valores de referencia en satisfacción ni en variabilidad de la ansiedad, y la asistencia a terapia no se asocia con diferencias claras en la ansiedad. Ninguno de estos hallazgos permite afirmaciones causales, porque el diseño es observacional.

Resumen

El problema analizado consiste en evaluar si ciertos parámetros poblacionales de los pacientes de un centro de psicología clínica difieren de valores de referencia o entre grupos de pacientes. Se utilizó una base de datos de 100 pacientes, con variables de satisfacción con la terapia y nivel de ansiedad, medidas en una escala de 1 a 10, y de asistencia a terapia. Se evaluaron cuatro hipótesis: que la satisfacción promedio es 5.5, que la proporción de pacientes que ha asistido a terapia es 0.50, que la varianza del nivel de ansiedad es 6.25 y que el nivel promedio de ansiedad no difiere entre quienes asistieron a terapia y quienes no. Para ello se aplicaron las pruebas t de Student, Z para una proporción, chi-cuadrado para una varianza y t de Welch, con un nivel de significancia de 0.05, complementadas con intervalos de confianza, tamaños del efecto y verificación de supuestos, y reproducidas manualmente y con el software R. Los resultados muestran que solo la proporción de asistencia a terapia difiere de la referencia (67%, valor p de 0.0007), mientras que la satisfacción promedio (5.38), la varianza de la ansiedad y la ansiedad según la asistencia no se apartan de lo esperado. Se concluye que la mayoría de los pacientes ha asistido a terapia y que no hay evidencia de diferencias en las demás variables, sin que el diseño observacional permita afirmar causalidad.

Palabras clave

Pruebas de hipótesis, valor p, nivel de significancia, ansiedad, satisfacción con la terapia.

Referencias

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Declaración sobre el uso de Inteligencia Artificial

En cumplimiento de los principios de transparencia académica, el grupo declara lo siguiente en relación con el uso de herramientas de Inteligencia Artificial (IA) durante la elaboración del presente trabajo:

Aspecto	Información
Uso de IA	Sí
Herramienta	Claude (Anthropic), utilizado mediante su interfaz de chat
Finalidad	(i) Revisión del informe ya redactado, para detectar inconsistencias entre el texto y las salidas de R, y errores de metodología y de interpretación; (ii) verificación numérica de las pruebas de hipótesis y de los intervalos de confianza, recalculándolos a partir de la base de datos mediante ejecución independiente en Python y contrastándolos con el desarrollo manual y con R; (iii) propuesta de redacción para algunas secciones, entre ellas el cierre del marco teórico (error tipo II), la sección de metodología y varias frases de interpretación y de limitaciones; (iv) apoyo para resolver problemas técnicos de R Markdown y LaTeX, como el uso de inline R y el error de compilación con caracteres Unicode; [otras finalidades: redacción del borrador inicial, generación del código en R, diseño del formato]
Porcentaje estimado de utilización	[50 %]

Se estima que la Inteligencia Artificial participó en aproximadamente el 50% del proceso de elaboración del trabajo, concentrado en [la revisión, la verificación numérica y la propuesta de correcciones sobre un informe ya redactado por el grupo]. El [50]% restante correspondió a las decisiones metodológicas, la selección de variables y de valores de referencia, la ejecución del código en RStudio, la compilación del documento, la validación de los resultados obtenidos y la responsabilidad final sobre el contenido entregado, las cuales fueron asumidas directamente por los integrantes del grupo.