1 Objetivo

Estudiar la restauración bayesiana de imágenes binarias, en escala de grises y RGB mediante modelos que aprovechan la semejanza entre píxeles vecinos. El propósito es formular las distribuciones posteriores, derivar las condicionales completas, implementar algoritmos de inferencia y evaluar la reconstrucción y su incertidumbre.

La pregunta central es:

¿Cuánto mejora la restauración al incorporar dependencia espacial y qué información aporta la distribución posterior cuando aumenta el ruido?

2 Datos

Utilice las tres imágenes de referencia incluidas en la carpeta imagenes/, obtenidas del conjunto público skimage.data: una silueta binaria (horse), una fotografía en escala de grises (camera) y una fotografía RGB (astronaut). Todas se han redimensionado a \(128\times128\) píxeles para equilibrar la conservación de detalles y el costo computacional de los algoritmos de inferencia. Se mantienen sus formatos originales (binario, escala de grises y RGB).

Imagen Archivo Datos por píxel
Binaria horse_binaria.png Un estado \(x_i\in\{-1,+1\}\)
Escala de grises camera_grises.png Una intensidad \(x_i\in[0,1]\)
RGB astronaut_rgb.png Un vector \(\boldsymbol{x}_i=(R_i,G_i,B_i)^\mathsf{T}\in[0,1]^3\)
Binaria Escala de grises RGB

La imagen binaria se encuentra codificada con valores 0 (silueta negra) y 1 (fondo blanco). Para implementar el modelo de Ising, transfórmelos a \(+1\) y \(-1\), respectivamente. En las imágenes en escala de grises y RGB, conserve las intensidades normalizadas en \([0,1]\). Opcionalmente, puede sustituir alguna de las imágenes por otra disponible en skimage.data, manteniendo la resolución de \(128\times128\) píxeles.

Nota. Las imágenes originales representan la verdad conocida. Utilícelas para producir contaminación artificial y calcular errores, nunca para seleccionar parámetros, estimar las restauraciones ni escoger la mejor realización del ruido.

3 Actividades

3.1 Representación de imágenes y ruido

Una imagen de \(M\times N\) píxeles puede representarse mediante un grafo \(G=(V,E)\), donde cada uno de los \(P=MN\) píxeles corresponde a un vértice y dos vértices están conectados si sus píxeles comparten un lado (vecindad de cuatro vecinos). Denote por \(N_i\) el conjunto de vecinos del píxel \(i\), por \(d_i\) su cantidad y por \(\mathbf{L}=\mathbf{D}-\mathbf{A}\) la matriz Laplaciana, donde \(\mathbf{A}\) es la matriz de adyacencia y \(\mathbf{D}=\operatorname{diag}(d_1,\ldots,d_P)\).

Construya esta estructura en R, utilizando matrices dispersas cuando corresponda, y verifique que los píxeles ubicados en las esquinas tienen dos vecinos, los de los bordes tres y los interiores cuatro. Implemente la transformación de una imagen matricial a un vector y su reconstrucción, conservando el orden de los píxeles. Para las imágenes RGB, identifique además la representación de los tres canales de color.

Visualice las tres imágenes originales y explore sus características mediante las frecuencias de los valores binarios, la distribución de intensidades en escala de grises y las distribuciones de intensidad de los canales RGB. Describa las principales diferencias entre sus representaciones.

3.2 Imagen binaria: modelo de Ising

Considere la imagen binaria original \(\boldsymbol{X}^{(0)}\in\{-1,+1\}^P\), donde \(+1\) representa el negro y \(-1\) el blanco. Para generar una imagen contaminada \(\boldsymbol{Y}\), suponga que cada píxel cambia de estado de manera independiente con probabilidad \(\rho_0=0.10\). En particular, \(Y_i=-X_i^{(0)}\) con probabilidad \(\rho_0\) y \(Y_i=X_i^{(0)}\) con probabilidad \(1-\rho_0\). Simule este mecanismo de contaminación y compare visualmente las imágenes original y contaminada.

El objetivo es recuperar la imagen binaria verdadera \(\boldsymbol{X}\) a partir de su versión contaminada \(\boldsymbol{Y}\). Para ello, considere el modelo de Ising, que incorpora dependencia espacial al asignar mayor probabilidad a configuraciones en las que los píxeles vecinos tienen el mismo estado. El modelo bayesiano se especifica mediante

\[ \begin{aligned} \textsf{Pr}(Y_i=y_i\mid X_i=x_i,\rho) &= \begin{cases} 1-\rho, & y_i=x_i,\\ \rho, & y_i\neq x_i, \end{cases} \\[6pt] p(\boldsymbol{x}\mid\beta) &=\frac{1}{Z(\beta)} \exp\left\{\beta\sum_{i\sim j}x_ix_j\right\}, \\[6pt] \beta&\sim\textsf{G}(a_\beta,b_\beta),\\ \rho&\sim\textsf{Beta}(a_\rho,b_\rho) \quad\text{truncada en }(0,1/2). \end{aligned} \]

Las componentes del modelo son:

  • Modelo de observación: describe la contaminación de la imagen mediante cambios independientes en los estados de los píxeles, con probabilidad \(\rho\).
  • Modelo de Ising: define la distribución previa de la imagen desconocida \(\boldsymbol{X}\). El parámetro \(\beta>0\) controla la dependencia espacial, favoreciendo la coincidencia entre píxeles vecinos. La notación \(i\sim j\) representa una arista contada una sola vez y \(Z(\beta)\) es la constante de normalización, que depende de \(\beta\).
  • Distribuciones previas: representan la incertidumbre sobre los parámetros \(\beta\) y \(\rho\), considerados independientes a priori. Los valores \(a_\beta,b_\beta,a_\rho,b_\rho\) son hiperparámetros conocidos.

Desarrolle las siguientes actividades:

  1. Formule la distribución posterior conjunta \(p(\boldsymbol{x},\beta,\rho\mid\boldsymbol{y})\) y derive las distribuciones condicionales completas de \(X_i\), \(\beta\) y \(\rho\). Identifique cuáles corresponden a distribuciones conocidas. Explique por qué la actualización de \(X_i\) depende únicamente de sus vecinos y de \(y_i\), y analice las dificultades que introduce \(Z(\beta)\) para estimar \(\beta\).

  2. Implemente un algoritmo MCMC que combine el muestreador de Gibbs para actualizar los estados de los píxeles y \(\rho\), con una versión aproximada del algoritmo de intercambio (exchange algorithm) para actualizar \(\beta\). Para este último, considere el siguiente procedimiento:

    1. Genere una propuesta \(\beta^*=\beta+\varepsilon\), donde \(\varepsilon\sim\textsf{N}(0,\delta^2)\). Rechace las propuestas \(\beta^*\leq0\).

    2. Simule una imagen auxiliar \(\boldsymbol{X}^*\) mediante \(K\) barridos del muestreador de Gibbs bajo el modelo de Ising con parámetro \(\beta^*\), sin utilizar la imagen observada \(\boldsymbol{Y}\).

    3. Acepte \(\beta^*\) con probabilidad

      \[ \alpha=\min\left\{1, \frac{p(\beta^*)}{p(\beta)} \exp\left[(\beta^*-\beta) \{S(\boldsymbol{x})-S(\boldsymbol{x}^*)\}\right] \right\}, \]

      donde \(S(\boldsymbol{x})=\sum_{i\sim j}x_ix_j\) y \(p(\beta)\) es la densidad previa Gamma.

    Explique por qué esta probabilidad no requiere calcular \(Z(\beta)\) y por qué utilizar un número finito de barridos de Gibbs produce una aproximación al algoritmo de intercambio exacto. Seleccione y justifique los hiperparámetros del modelo, la varianza de propuesta \(\delta^2\), el número de barridos \(K\) y las condiciones de ejecución del algoritmo. Evalúe la convergencia de las cadenas y la tasa de aceptación de \(\beta\).

  3. Estime las distribuciones posteriores de \(\beta\) y \(\rho\), así como las probabilidades \(\pi_i=\textsf{Pr}(X_i=+1\mid\boldsymbol{y})\). Restaure la imagen asignando a cada píxel el estado con mayor probabilidad posterior. Visualice la imagen restaurada y el mapa de probabilidades \(\pi_i\).

  4. Compare las imágenes original, contaminada y restaurada. Calcule la proporción de píxeles correctamente recuperados, evalúe la estimación de \(\rho\) respecto al valor utilizado en la simulación y analice la influencia de \(\beta\) sobre la recuperación de bordes y regiones homogéneas.

  5. Repita el procedimiento de contaminación y restauración utilizando dos probabilidades adicionales, \(\rho_0=0.05\) y \(\rho_0=0.20\), manteniendo la misma imagen original y las demás condiciones del análisis. Compare visualmente las imágenes originales, contaminadas y restauradas para los tres niveles de ruido. Calcule la proporción de píxeles correctamente recuperados y compare las estimaciones posteriores de \(\beta\) y \(\rho\) en cada escenario. Analice cómo influye el nivel de contaminación sobre la calidad de la restauración, particularmente en la recuperación de bordes, detalles y regiones homogéneas.

3.3 Escala de grises: modelo gaussiano espacial

Considere la imagen original en escala de grises \(\boldsymbol{X}^{(0)}\in[0,1]^P\), donde cada valor representa la intensidad de un píxel. Para generar una imagen contaminada \(\boldsymbol{Y}\), agregue ruido gaussiano independiente con desviación estándar \(\sigma_0=0.10\). En particular, simule \(Y_i=X_i^{(0)}+\varepsilon_i\), donde \(\varepsilon_i\overset{\text{iid}}{\sim}\textsf{N}(0,\sigma_0^2)\). Compare visualmente las imágenes original y contaminada. No recorte los valores observados fuera de \([0,1]\) durante la inferencia. Limite las intensidades a este intervalo únicamente para su visualización.

El objetivo es recuperar la imagen verdadera \(\boldsymbol{X}\) a partir de \(\boldsymbol{Y}\). Para ello, considere un campo aleatorio gaussiano de Markov (GMRF), que incorpora dependencia espacial al favorecer intensidades similares entre píxeles vecinos. El modelo bayesiano se especifica mediante

\[ \begin{aligned} Y_i\mid X_i,\sigma^2 &\overset{\text{ind}}{\sim}\textsf{N}(X_i,\sigma^2), \\[6pt] p(\boldsymbol{x}\mid\mu,\tau,\lambda) &=\frac{|\mathbf{Q}|^{1/2}}{(2\pi)^{P/2}} \exp\left\{ -\frac{\tau}{2}\sum_{i=1}^{P}(x_i-\mu)^2 -\frac{\lambda}{2}\sum_{i\sim j}(x_i-x_j)^2 \right\},\\[6pt] \sigma^2&\sim\textsf{IG}(a_\sigma,b_\sigma), \\ \mu&\sim\textsf{N}(m_\mu,s_\mu^2),\\ \tau&\sim\textsf{G}(a_\tau,b_\tau),\\ \lambda&\sim\textsf{G}(a_\lambda,b_\lambda), \end{aligned} \]

donde \(\mathbf{Q}=\tau\mathbf{I}+\lambda\mathbf{L}\) es la matriz de precisión del campo gaussiano, con \(\tau>0\) y \(\lambda>0\). Las distribuciones previas de los parámetros se consideran independientes.

Las componentes del modelo son:

  • Modelo de observación: representa la contaminación mediante ruido gaussiano independiente, cuya varianza \(\sigma^2\) determina la intensidad del ruido.
  • Modelo GMRF: define la distribución previa de la imagen desconocida \(\boldsymbol{X}\). El parámetro \(\mu\) representa la intensidad de referencia, \(\tau\) controla la concentración alrededor de ella y \(\lambda\) regula la suavidad espacial, penalizando diferencias entre píxeles vecinos. La matriz \(\mathbf{L}\) es la Laplaciana definida anteriormente y \(\mathbf{Q}\) es la inversa de la matriz de covarianza. La condición \(\tau>0\) garantiza que la distribución sea propia.
  • Distribuciones previas: representan la incertidumbre sobre \(\sigma^2\), \(\mu\), \(\tau\) y \(\lambda\). Los valores \(m_\mu,s_\mu^2,a_\tau,b_\tau,a_\lambda,b_\lambda,a_\sigma,b_\sigma\) son hiperparámetros conocidos.

Aunque las intensidades originales pertenecen a \([0,1]\), el campo gaussiano permite valores en \(\mathbb{R}\), lo que facilita la inferencia y constituye una aproximación para representar imágenes digitales.

Desarrolle las siguientes actividades:

  1. Formule la distribución posterior conjunta \(p(\boldsymbol{x},\mu,\tau,\lambda,\sigma^2\mid\boldsymbol{y})\) y derive las distribuciones condicionales completas de \(X_i\), \(\sigma^2\), \(\mu\), \(\tau\) y \(\lambda\). Identifique cuáles corresponden a distribuciones conocidas. Verifique que la condicional de \(X_i\) depende de su observación, de los estados vecinos y de los parámetros del modelo. Explique la importancia del determinante \(|\mathbf{Q}|\) para estimar \(\tau\) y \(\lambda\).

  2. Implemente un algoritmo MCMC que utilice el muestreador de Gibbs para actualizar los estados de los píxeles, \(\mu\) y \(\sigma^2\), y Metropolis-Hastings para \(\tau\) y \(\lambda\). En estas últimas actualizaciones, calcule el determinante de la matriz de precisión \(\mathbf{Q}\) mediante métodos numéricos para matrices dispersas, evitando invertirla explícitamente. Seleccione y justifique los hiperparámetros del modelo, las distribuciones de propuesta y el número de iteraciones, incluido el período de calentamiento. Evalúe la convergencia de las cadenas y las tasas de aceptación de Metropolis-Hastings.

  3. Estime las distribuciones posteriores de \(\mu\), \(\tau\), \(\lambda\) y \(\sigma^2\), así como las medias posteriores \(\hat{x}_i=\textsf{E}(X_i\mid\boldsymbol{y})\). Reconstruya la imagen utilizando estas medias y represente la incertidumbre mediante desviaciones estándar posteriores e intervalos de credibilidad del 95 % para una selección de píxeles.

  4. Compare las imágenes original, contaminada y restaurada. Evalúe la calidad de la restauración mediante el error cuadrático medio (Mean Squared Error, MSE) y la relación señal-ruido (Signal-to-Noise Ratio, SNR). Compare la estimación posterior de \(\sigma^2\) con el valor utilizado en la simulación y analice la influencia de \(\tau\) y \(\lambda\) sobre la recuperación de bordes, detalles y regiones homogéneas.

  5. Repita el procedimiento de contaminación y restauración utilizando dos desviaciones estándar adicionales, \(\sigma_0=0.05\) y \(\sigma_0=0.20\), manteniendo la misma imagen original y las demás condiciones del análisis. Compare visualmente las imágenes originales, contaminadas y restauradas para los tres niveles de ruido. Calcule el MSE y la SNR, y compare las estimaciones posteriores de \(\mu\), \(\tau\), \(\lambda\) y \(\sigma^2\) en cada escenario. Analice cómo influye el nivel de contaminación sobre la calidad de la restauración, particularmente en la recuperación de bordes, detalles y regiones homogéneas.

3.4 Imagen RGB: modelo gaussiano multivariado

Considere la imagen RGB original \(\boldsymbol{X}^{(0)}\), donde cada píxel está representado por un vector \(\boldsymbol{X}_i^{(0)}=(R_i,G_i,B_i)^\mathsf{T}\in[0,1]^3\). Para generar una imagen contaminada \(\boldsymbol{Y}\), agregue ruido gaussiano independiente con desviación estándar \(\sigma_0=0.10\) en cada canal. En particular, simule \(\boldsymbol{Y}_i=\boldsymbol{X}_i^{(0)}+\boldsymbol{\varepsilon}_i\), donde \(\boldsymbol{\varepsilon}_i\overset{\text{iid}}{\sim}\textsf{N}_3(\boldsymbol{0},\sigma_0^2\mathbf{I}_3)\). Compare visualmente las imágenes original y contaminada. No recorte las intensidades observadas fuera de \([0,1]\) durante la inferencia. Limite sus valores únicamente para la visualización.

El objetivo es recuperar la imagen verdadera \(\boldsymbol{X}\) a partir de \(\boldsymbol{Y}\). Para ello, considere una extensión multivariada del modelo GMRF, que incorpora dependencia espacial entre píxeles vecinos y dependencia entre los tres canales de color. El modelo bayesiano se especifica mediante

\[ \begin{aligned} \boldsymbol{Y}_i\mid\boldsymbol{X}_i,\mathbf{\Sigma} &\overset{\text{ind}}{\sim} \textsf{N}_3(\boldsymbol{X}_i,\mathbf{\Sigma}), \\[6pt] \boldsymbol{x}\mid\boldsymbol{\mu},\mathbf{\Omega},\lambda &\sim\textsf{N}_{3P}\left( \boldsymbol{1}_P\otimes\boldsymbol{\mu}, \mathbf{Q}^{-1} \right), \\[6pt] \mathbf{\Sigma} &\sim\textsf{IW}_3(\nu_\varepsilon,\mathbf{S}_\varepsilon), \\ \boldsymbol{\mu} &\sim\textsf{N}_3(\boldsymbol{m}_\mu,\mathbf{V}_\mu), \\ \mathbf{\Omega} &\sim\textsf{W}_3(\nu_\Omega,\mathbf{S}_\Omega), \\ \lambda &\sim\textsf{G}(a_\lambda,b_\lambda), \end{aligned} \]

donde \(\mathbf{Q}=(\mathbf{I}_P+\lambda\mathbf{L})\otimes\mathbf{\Omega}\) es la matriz de precisión del campo gaussiano, con \(\lambda>0\) y \(\mathbf{\Omega}\) definida positiva. El símbolo \(\otimes\) representa el producto de Kronecker, que permite construir matrices por bloques. El modelo supone independencia previa entre los parámetros.

Las componentes del modelo son:

  • Modelo de observación: representa la contaminación mediante ruido gaussiano independiente entre píxeles. La matriz de covarianza \(\mathbf{\Sigma}\) describe la variabilidad del ruido y su posible correlación entre los canales RGB.
  • Modelo GMRF multivariado: define la distribución previa de la imagen desconocida \(\boldsymbol{X}\). El vector \(\boldsymbol{\mu}\in\mathbb{R}^3\) representa las intensidades de referencia, \(\lambda\) controla la suavidad espacial y \(\mathbf{\Omega}\) regula la variabilidad y dependencia entre canales. La matriz \(\mathbf{L}\) es la Laplaciana definida anteriormente. La estructura de \(\mathbf{Q}\) permite representar simultáneamente las dependencias espaciales y entre colores.
  • Distribuciones previas: representan la incertidumbre sobre \(\mathbf{\Sigma}\), \(\boldsymbol{\mu}\), \(\mathbf{\Omega}\) y \(\lambda\). Las distribuciones Wishart y Wishart Inversa se utilizan para modelar matrices de precisión y covarianza definidas positivas, respectivamente. Sus grados de libertad y matrices de escala, junto con \(\boldsymbol{m}_\mu,\mathbf{V}_\mu,a_\lambda,b_\lambda\), son hiperparámetros del modelo.

Desarrolle las siguientes actividades:

  1. Formule la distribución posterior conjunta \(p(\boldsymbol{x},\boldsymbol{\mu},\mathbf{\Omega},\lambda,\mathbf{\Sigma}\mid\boldsymbol{y})\) y derive las distribuciones condicionales completas de \(\boldsymbol{X}_i\), \(\mathbf{\Sigma}\), \(\boldsymbol{\mu}\), \(\mathbf{\Omega}\) y \(\lambda\). Identifique cuáles corresponden a distribuciones conocidas. Verifique que la condicional de \(\boldsymbol{X}_i\) es normal trivariada y depende de sus vecinos, de la observación y de los parámetros del modelo. Explique el papel del determinante de \(\mathbf{Q}\) en la estimación de \(\lambda\).

  2. Implemente un algoritmo MCMC que utilice el muestreador de Gibbs para actualizar los vectores de intensidades \(\boldsymbol{X}_i\), \(\boldsymbol{\mu}\), \(\mathbf{\Omega}\) y \(\mathbf{\Sigma}\), y Metropolis-Hastings para \(\lambda\). En esta última actualización, calcule el determinante de \(\mathbf{I}_P+\lambda\mathbf{L}\) mediante métodos numéricos para matrices dispersas, evitando invertir matrices explícitamente. Seleccione y justifique los hiperparámetros del modelo, la distribución de propuesta y el número de iteraciones, incluido el período de calentamiento. Evalúe la convergencia de las cadenas y la tasa de aceptación de Metropolis-Hastings.

  3. Estime las distribuciones posteriores de \(\mathbf{\Sigma}\), \(\boldsymbol{\mu}\), \(\mathbf{\Omega}\) y \(\lambda\), así como las medias posteriores \(\hat{\boldsymbol{x}}_i=\textsf{E}(\boldsymbol{X}_i\mid\boldsymbol{y})\). Reconstruya la imagen RGB a partir de estas medias y cuantifique la incertidumbre mediante desviaciones estándar posteriores e intervalos de credibilidad del 95 % para una selección de píxeles y canales.

  4. Compare las imágenes original, contaminada y restaurada. Evalúe la calidad de la restauración mediante el error cuadrático medio (Mean Squared Error, MSE) y la relación señal-ruido (Signal-to-Noise Ratio, SNR), tanto para la imagen completa como para cada canal RGB. Compare la estimación posterior de \(\mathbf{\Sigma}\) con la matriz utilizada en la simulación y analice la influencia de \(\lambda\) y \(\mathbf{\Omega}\) sobre la recuperación de colores, bordes y detalles.

  5. Repita el procedimiento de contaminación y restauración utilizando dos desviaciones estándar adicionales, \(\sigma_0=0.05\) y \(\sigma_0=0.20\), manteniendo la misma imagen original y las demás condiciones del análisis. Compare visualmente las imágenes contaminadas y restauradas para los tres niveles de ruido. Calcule el MSE y la SNR, tanto para la imagen completa como para cada canal RGB, y compare las estimaciones posteriores de \(\boldsymbol{\mu}\), \(\mathbf{\Sigma}\), \(\mathbf{\Omega}\) y \(\lambda\). Analice cómo influye el nivel de contaminación sobre la calidad de la restauración, particularmente en la recuperación de colores, bordes, detalles y regiones homogéneas.

4 Discusión

Con base en los resultados, discuta de manera concisa la calidad de la restauración de las imágenes binarias, en escala de grises y RGB. Analice cómo influye la dependencia espacial en la recuperación de bordes, detalles, regiones homogéneas y colores, e identifique los píxeles con mayor incertidumbre posterior. Compare el desempeño de los tres modelos y examine las ventajas y limitaciones de los algoritmos MCMC utilizados, especialmente en términos de convergencia, costo computacional y aplicación a imágenes de mayor resolución.

5 Instrucciones

  • Este caso de estudio debe desarrollarse en grupos de máximo dos estudiantes, quienes recibirán la misma calificación.
  • Entregue un único informe en formato PDF, elaborado en LaTeX junto con el código fuente y las semillas necesarias para reproducir todos los resultados. Envíelo a a más tardar el último día de clases del semestre, a las 11:59 p. m.
  • El informe debe incluir las derivaciones de las distribuciones posteriores y condicionales completas, la descripción de los algoritmos MCMC, los resultados de restauración de las tres imágenes, los diagnósticos de convergencia y una discusión de los resultados.
  • Presente únicamente las ecuaciones, tablas y figuras relevantes. Numere las tablas y figuras, utilice una cantidad apropiada de decimales y cite las fuentes según las normas APA. La organización, redacción, ortografía y presentación forman parte de la evaluación.
  • Nombre los archivos y el asunto del correo siguiendo el formato bayes - caso de estudio - juan sosa - ernesto perez, reemplazando los nombres por los integrantes del grupo.
  • Puede utilizar herramientas de inteligencia artificial como apoyo, siempre que revise, comprenda y verifique su contenido. Los estudiantes son responsables de los resultados y de cualquier error incluido en el informe.
  • Cualquier evidencia de plagio o colaboración no autorizada será sancionada conforme al reglamento de la Universidad Nacional de Colombia. En caso de copia entre grupos, la calificación se dividirá proporcionalmente entre los involucrados y ambos recibirán la misma penalidad, sin perjuicio de sanciones adicionales.