Velocidad vs. Distancia de frenado

Planteamiento del Problema

La seguridad vial constituye un aspecto fundamental de la prevención de accidentes de tránsito. Entre los factores que influyen en la capacidad de un conductor para evitar un choque se encuentra la relación entre la velocidad de circulación y la distancia necesaria para detener un vehículo.

En este reporte se utiliza el conjunto de datos cars disponible en R, el cual contiene información sobre 50 observaciones sobre la velocidad de los automóviles y la distancia requerida para detenerse.

Nuestro objetivo es analizar cómo influye la velocidad del vehículo ($X = \text{speed}$, en millas por hora) sobre la distancia de frenado ($Y = \text{dist}$, en pies).

Análisis Exploratorio de Datos

Antes de construir el modelo de regresión, es necesario explorar los datos para conocer el comportamiento de cada variable y observar la relación existente entre la velocidad y la distancia de frenado mediante gráficos.

Estadísticos Descriptivos Univariados (Dataset cars)
Variable	min	Q1	median	Q3	max	mean	sd	n	missing
Velocidad (speed - mph)	4	12	15	19	25	15.40	5.29	50	0
Distancia (dist - pies)	2	26	36	56	120	42.98	25.77	50	0

Gráfico de dispersión

Se analizará la relación gráfica entre las variables para identificar la dirección de la asociación y determinar si resulta razonable ajustar una recta de regresión.

La gráfica evidencia una clara tendencia lineal directa (positiva) entre ambas variables. Se observa visualmente que a medida que se incrementa la velocidad del vehículo (eje $X$), la distancia necesaria para detenerlo por completo (eje $Y$) aumenta.

Ajuste del Modelo de Regresión Lineal Simple

El modelo matemático poblacional se define como:

$Y_i=\beta_0+\beta_1X_i+\varepsilon_i$

Donde:

$Y_i$ es la distancia de frenado (dist).
$X_i$ es la velocidad (speed).
$\beta_0$ es el intercepto.
$\beta_1$ es la pendiente.
$\varepsilon_i$ es el término de error aleatorio.

Estimación de los coeficientes


Call:
lm(formula = dist ~ speed, data = cars)

Residuals:
    Min      1Q  Median      3Q     Max 
-29.069  -9.525  -2.272   9.215  43.201 

Coefficients:
            Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept) -17.5791     6.7584  -2.601   0.0123 *  
speed         3.9324     0.4155   9.464 1.49e-12 ***
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Residual standard error: 15.38 on 48 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.6511,    Adjusted R-squared:  0.6438 
F-statistic: 89.57 on 1 and 48 DF,  p-value: 1.49e-12

Interpretación de los parámetros

Intercepto ($\beta_0$ ): Representa la distancia teórica de frenado cuando la velocidad es de $0\text{ mph}$.

Al obtener un valor negativo ($-17.58\text{ pies}$), carece de sentido físico real, un automóvil no frena en distancia negativa.
Pendiente ($\beta_1$ ): Por cada incremento de $1\text{ mph}$ en la velocidad del automóvil, se estima que la distancia requerida para detenerse aumenta en promedio $3.93\text{ pies}$.

Diagnóstico del Modelo

Para garantizar decisiones confiables, validamos las condiciones sobre los errores ($\varepsilon_i$).

Análisis detallado de los supuestos

Normalidad de los errores (Q-Q Normal):En el gráfico Normal Q-Q, la gran mayoría de los puntos se alinean bastante bien sobre la línea diagonal punteada. Únicamente se observa una ligera desviación en los extremos superiores (observaciones 23, 35 y 49), lo que indica que el supuesto de normalidad de los residuos se cumple de forma aceptable.
Puntos influyentes (Residuales vs Leverage):Identifica observaciones atípicas (como las señaladas con los números 23, 35 y 49) que podrían ejercer una influencia excesiva sobre la pendiente de la recta de regresión
Homocedasticidad (Scale-Location): En el gráfico Scale-Location, la línea roja presenta una ligera tendencia ascendente, lo que podría indicar variaciones en la dispersión de los residuos a medida que aumentan los valores ajustados. Este comportamiento sugiere una posible falta de homocedasticidad, por lo que sería conveniente verificar el supuesto mediante una prueba estadística.
Independencia (Residuales vs Valores Ajustados):En el primer gráfico (Residuals vs Fitted), los puntos se distribuyen de manera relativamente aleatoria alrededor de la línea curva de color rojo, lo que nos permite sospechar que no se cumple la suposición de independencia (o que existe un patrón no lineal en la relación de los datos).

Análisis de la variable respuesta

En este apartado se pretende realizar un análisis exploratorio de la variable distancia de frenado(dist), en el cual se realizan diversos gráficos e indicadores para observar el comportamiento y la distribución de la variable.

En relación con los cuartiles, encontramos que el 25% de los autos tienen una distancia de frenado menor o igual a 26.00 pies, el 50% de los autos tienen una distancia de frenado menor o igual a 36.00 pies y por último el 75% de los autos tienen una distancia de frenado menor o igual a 56.00 pies.

Indicadores de posición
	Cuartiles
25%	26
50%	36
75%	56

Esta representación de los cuartiles se evidencia de una mejor forma en el siguiente gráfico, donde podemos afirmar lo anteriormente dicho y anexándole que hay una pequeña cantidad de autos con distancias de frenado atípicas o sensiblemente más altas (puntos rojos):

Podemos observar que la desviación de las distancias de frenado varía por encima o por debajo de la media en 25.76 pies. Por otro lado, el coeficiente de variación (CV = 59.93%) indica que la distancia de frenado presenta una variabilidad alta/moderada alrededor de su media (42.98 pies). Esto refleja que los datos muestran cierta heterogeneidad en su distribución según la velocidad a la que transitan los vehículos

Indicadores Descriptivos de Distancia de Frenado (dist)
Estadístico	Valor
Moda	26.00
Varianza	664.06
Desviación Estándar	25.77
Coeficiente de Variación (%)	59.96
Curtosis	0.12

En cuanto a la forma de la distribución, el coeficiente de curtosis es de 0.12. Al presentar un valor positivo muy cercano a cero, la distribución se clasifica como levemente leptocúrtica, mostrando un comportamiento casi mesocúrtico (muy próximo a la forma de una distribución normal teórica).

[1] 120

Al evaluar la presencia de valores atípicos mediante el método del Rango Intercuartílico ($1.5 \times \text{IQR}$), se detectó un único valor atípico (outlier) en la variable respuesta (dist). Los datos oscilan entre un mínimo de 2.0 pies y un máximo de 120.0 pies, detectándose la observación de 120.0 pies por encima de la barrera superior aceptable.

Supuesto de Normalidad de los residuales

Planteamiento de las Hipótesis

Para cualquier prueba de normalidad sobre los residuales del modelo ($\varepsilon_i$):

$H_0$ (Hipótesis Nula): Los residuales del modelo siguen una distribución normal ($\varepsilon_i \sim N(0, \sigma^2)$).
$H_1$ (Hipótesis Alternativa): Los residuales del modelo no siguen una distribución normal.

Regla de Decisión ($\alpha = 0.05$):
- Si $p\text{-valor} > 0.05$: No se rechaza $H_0$. Se concluye que existe evidencia suficiente de que se cumple el supuesto de normalidad en los residuales.
- Si $p\text{-valor} \le 0.05$: Se rechaza $H_0$. Existen evidencias de que los residuales no se distribuyen de forma normal.
```
  Lilliefors (Kolmogorov-Smirnov) normality test

data:  modelo_cars$residuals
D = 0.12957, p-value = 0.03529
```

Como el $p\text{-valor} = 0.03529$ es inferior al nivel de significancia $\alpha = 0.05$, se rechaza la hipótesis nula ($H_0$). Por lo tanto, con un nivel de confianza del 95%, los residuales no siguen una distribución normal en esta prueba.

Supuesto de Homocedasticidad

Planteamiento de las Hipótesis

Hipótesis NUla: $H_0$: Los residuales son homocedásticos / varianza constante)
Hipótesis Alternativa:$H_1$: Los residuales son heterocedásticos (la varianza de los errores no es constante).

Regla de Decisión (α=0.05):

Si $p\text{-valor} > 0.05$ no se rechazas $H_0$, lo que significa que sí se cumple la homocedasticidad.
Si $p\text{-valor} \leq0.05$ se rechaza $H_0$, entonces existe evidencia de heterocedasticidad.


    studentized Breusch-Pagan test

data:  modelo_cars
BP = 3.2149, df = 1, p-value = 0.07297

Mediante la prueba de Breusch-Pagan se obtuvo un estadístico $\chi^2 = 3.2149$ (o $BP = 3.2149$) con 1 grado de libertad y un $p\text{-valor} = 0.07297$.

Conclusión: Al ser el $p\text{-valor} > 0.05$ ($0.07297 > 0.05$), no se rechaza la hipótesis nula ($H_0$) con un nivel de confianza del 95%. Por lo tanto, existe evidencia estadística suficiente para afirmar que los residuales son homocedásticos (la varianza de los errores es constante).

Supuesto de Independencia

Planteamiento de las Hipótesis

Hipótesis NUla: $H_0: $ (Los errores son independientes / No existe autocorrelación en los residuales).
Hipótesis Alternativa:$H_1: $(Existe autocorrelación en los residuales).

Regla de Decisión (α=0.05):

Si $p\text{-valor} > 0.05$ no se rechazas $H_0$, lo que significa que sí se cumple el supuesto de independencia.
Si $p\text{-valor} \leq0.05$ se rechaza $H_0$, entonces existe autocorrelación entre los residuales.


    Durbin-Watson test

data:  modelo_cars
DW = 1.6762, p-value = 0.09522
alternative hypothesis: true autocorrelation is greater than 0

Al ejecutar la prueba de Durbin-Watson sobre el modelo ajustado, se obtuvo un estadístico $DW = 1.6762$ con un $p\text{-valor} = 0.09522$ (para la hipótesis alternativa de autocorrelación mayor que cero).

Conclusión: Como el $p\text{-valor} > 0.05$ ($0.09522 > 0.05$), no se rechaza la hipótesis nula ($H_0$) de independencia. Por lo tanto, se concluye que los errores del modelo son independientes y no presentan problemas significativos de autocorrelación.

Conclusiones

El modelo de regresión lineal simple muestra una fuerte relación entre el peso y el rendimiento del vehículo.
Se satisfacen de manera satisfactoria los supuestos de homocedasticidad (varianza constante) y independencia de los errores.
Sin embargo, el supuesto de normalidad de los residuales no se cumple estrictamente según la prueba de Lilliefors ($p = 0.03529 < 0.05$).

Recomendación Final:

Aunque el modelo presenta un buen ajuste y cumple con la varianza constante y la independencia, el leve incumplimiento de la normalidad de los residuales sugiere que se podrían explorar transformaciones en las variables o incorporar más predictores (regresión múltiple) para optimizar el comportamiento global de los errores.

Planteamiento del Problema

Análisis Exploratorio de Datos

Gráfico de dispersión

Ajuste del Modelo de Regresión Lineal Simple

Estimación de los coeficientes

Interpretación de los parámetros

Diagnóstico del Modelo

Análisis detallado de los supuestos

Análisis de la variable respuesta

Supuesto de Normalidad de los residuales

Planteamiento de las Hipótesis

Regla de Decisión (\(\alpha = 0.05\)):

Supuesto de Homocedasticidad

Planteamiento de las Hipótesis

Regla de Decisión (α=0.05):

Supuesto de Independencia

Planteamiento de las Hipótesis

Regla de Decisión (α=0.05):

Conclusiones

Recomendación Final: