Distribución Binomial Negativa & Distribución Normal

Características, propiedades, aplicaciones y ejemplos

Diego Pinzón  ·  Actividad 334  ·  Teoría de Probabilidades  ·  14 de octubre de 2026  ·  Póster A2 (42 × 59.4 cm)

🎯 Distribución Binomial Negativa

Modelo Discreto  ·  X ~ BN(r, p)

1 Origen y Definición

La distribución binomial negativa surge como generalización de la distribución geométrica en el marco de los ensayos de Bernoulli repetidos e independientes. Permite calcular la probabilidad de observar un número de fracasos antes de alcanzar cierta cantidad fija de éxitos.

  • Variable aleatoria X: número de fracasos antes de conseguir exactamente r éxitos.
  • Condiciones: ensayos independientes, dos resultados posibles (éxito / fracaso) y probabilidad de éxito p constante.
  • Caso especial: cuando r = 1 se reduce a la distribución geométrica.
Tipo de variable
Discreta
Dominio
x = 0, 1, 2, 3, …
Parámetro r
N.° éxitos deseados ≥ 1
Parámetro p
Prob. de éxito (0 < p ≤ 1)

2 Principales Características: f(x), F(x), E(X), V(X)

Función de masa de probabilidad — f(x) = P(X = x)

\[f(x) = P(X=x) = \binom{x+r-1}{x}\, p^r\,(1-p)^x \qquad x = 0, 1, 2, \ldots\]

Coeficiente combinatorio

\[\binom{x+r-1}{x} = \frac{(x+r-1)!}{x!\,(r-1)!}\]

Función de distribución acumulada — F(x) = P(X ≤ x)

\[F(x) = \sum_{k=0}^{\lfloor x \rfloor} \binom{k+r-1}{k}\, p^r\,(1-p)^k\]

<div class="stat-lbl">Esperanza E(X)</div>
<div class="stat-val stat-bn">$$\frac{r(1-p)}{p}$$</div>
<div class="stat-lbl">Varianza V(X)</div>
<div class="stat-val stat-bn">$$\frac{r(1-p)}{p^2}$$</div>
<div class="stat-lbl">Desv. Estándar σ</div>
<div class="stat-val stat-bn">$$\sqrt{\frac{r(1-p)}{p^2}}$$</div>

3 Gráfica f(x) — Comparación de parámetros

4 Aplicaciones en Diferentes Campos

Admón. y Marketing
Número de contactos fallidos antes de cerrar varias ventas comerciales.
Economía
Cantidad de intentos necesarios para alcanzar una meta comercial.
Ingeniería
Número de fallos antes de obtener cierta cantidad de resultados satisfactorios.
Control de Calidad
Productos defectuosos antes de reunir una cantidad fijada de productos conformes.
Salud Pública
Número de resultados negativos antes de observar una cantidad establecida de positivos.

5 Ejemplo Desarrollado — Área Comercial

📊 Administración de Empresas — Área Comercial

Un equipo comercial tiene una probabilidad de éxito del 40 % por contacto (p = 0.40). Se desea calcular la probabilidad de obtener exactamente 4 contactos sin venta (fracasos) antes de conseguir 3 ventas (r = 3).

1
Datos: p = 0.40  ·  r = 3  ·  x = 4
2
Coeficiente: \(\binom{6}{4} = \frac{6!}{4!\,2!} = 15\)
3
\(P(X=4) = 15 \times (0.40)^3 \times (0.60)^4 = 15 \times 0.064 \times 0.1296\)
4
Media: \(E(X) = \frac{3(0.6)}{0.4} = 4.5\)  ·  Varianza: \(V(X) = \frac{3(0.6)}{0.16} = 11.25\)
P(X = 4) = 0.1244
La probabilidad de 4 fracasos antes de la 3.ª venta es ≈ 12.44 %

📐 Distribución Normal

Modelo Continuo  ·  X ~ N(μ, σ²)

1 Origen y Definición

Conocida también como distribución gaussiana, adquirió relevancia histórica en el estudio de los errores de medición astronómica. Se asocia con los trabajos de:

  • Abraham de Moivre (1733) — aproximación a la binomial.
  • Pierre-Simon Laplace — Teorema Central del Límite.
  • Carl Friedrich Gauss — aplicación a errores de observación.

Describe variables cuyos valores se concentran simétricamente alrededor de la media bajo una curva en forma de campana. El área total bajo la curva es igual a 1.

Tipo de variable
Continua
Dominio
x ∈ ℝ = (–∞, +∞)
Parámetro μ
Media (ubicación)
Parámetro σ
Desv. estándar (σ > 0)

2 Principales Características: f(x), F(x), E(X), V(X)

Función de densidad de probabilidad — f(x)

\[f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\, \exp\!\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)\]

Función de distribución acumulada — F(x) = P(X ≤ x)

\[F(x) = \int_{-\infty}^{x} \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\, e^{-\frac{(t-\mu)^2}{2\sigma^2}}\,dt\]

Estandarización — Variable Z ~ N(0, 1)

\[Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \qquad \Longrightarrow \qquad Z \sim N(0,\,1)\]

<div class="stat-lbl">Esperanza E(X)</div>
<div class="stat-val stat-n">$$\mu$$</div>
<div class="stat-lbl">Varianza V(X)</div>
<div class="stat-val stat-n">$$\sigma^2$$</div>
<div class="stat-lbl">Desv. Estándar</div>
<div class="stat-val stat-n">$$\sigma$$</div>

📌 Media = Mediana = Moda  ·  Curva simétrica  ·  Área total = 1

Regla empírica 68 – 95 – 99.7 %
68 %
μ ± σ
95 %
μ ± 2σ
99.7 %
μ ± 3σ

3 Gráfica f(x) — Curva de campana con P(8 ≤ X ≤ 12)

4 Aplicaciones en Diferentes Campos

Administración
Análisis de tiempos de servicio y variaciones en procesos organizacionales.
Economía y Finanzas
Modelación de retornos financieros, errores de estimación y variables agregadas.
Ingeniería y Manufactura
Control estadístico de tolerancias y análisis de errores de medición en planta.
Educación y Psicometría
Distribución de calificaciones y baremos en evaluaciones estandarizadas.
Ciencia de Datos e Inteligencia Artificial
Inferencia estadística, análisis de residuales en regresión e inicialización de pesos neuronales.

5 Ejemplo Desarrollado — Gestión de Procesos

🏢 Gestión de Procesos Empresariales

El tiempo de atención de solicitudes en una empresa sigue una distribución normal con media μ = 10 minutos y desviación estándar σ = 2 minutos. Se desea calcular la probabilidad de que una solicitud tarde entre 8 y 12 minutos.

1
Datos: μ = 10  ·  σ = 2  ·  a = 8, b = 12
2
Estandarizar: \(Z_1 = \frac{8-10}{2} = -1\)    \(Z_2 = \frac{12-10}{2} = +1\)
3
\(P(8 \leq X \leq 12) = P(-1 \leq Z \leq 1) = \Phi(1) - \Phi(-1)\)
4
\(= 0.8413 - 0.1587 = \mathbf{0.6827}\)  ·  Confirma la regla empírica (μ ± σ → 68 %)
P(8 ≤ X ≤ 12) ≈ 0.6827
≈ 68.27 % de las solicitudes tarda entre 8 y 12 minutos
📚 Referencias Bibliográficas
Diego Pinzón
Teoría de Probabilidades · Actividad 334 · Póster A2 (42 × 59.4 cm)