Cvičenie 2

Author

Jana Boháčiková

Published

October 8, 2026

Cvičenie 2

Cvičenie so zlomkami

Vypočítajte nasledujúci zlomok:

\[\frac{(15^2-4)}{7}+\frac{(16*2+8)}{2}\]

Code

(15^2-4)/7+(16*2+8)/2

[1] 51.57143

Výpočet s vektormi

Vypočítajte súčet všetkých párnych čísel od 1 do 25.

Code

w <- 1:25
sum(w[w %% 2 == 0])

[1] 156

Maticové operácie

Vytvorte maticu z čísel 1 až 24, najskôr po stĺpcoch a následne po riadkoch.

Code

m <- matrix(1:24, nrow = 6, ncol = 4)           
m_byrow <- matrix(1:24, nrow = 4, byrow = TRUE)  
m; m_byrow

     [,1] [,2] [,3] [,4]
[1,]    1    7   13   19
[2,]    2    8   14   20
[3,]    3    9   15   21
[4,]    4   10   16   22
[5,]    5   11   17   23
[6,]    6   12   18   24

     [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6]
[1,]    1    2    3    4    5    6
[2,]    7    8    9   10   11   12
[3,]   13   14   15   16   17   18
[4,]   19   20   21   22   23   24

Code

dim(m)

[1] 6 4

Code

dim(m_byrow)

[1] 4 6

Z matice vyber čísla 9 a 16 a vypočítaj ich súčet.

Code

m_byrow[2, 3] + m_byrow[3, 4]

[1] 25

Vytvorte transponovanú maticu k matici m a následne vypočítajte maticový súčin pôvodnej a transponovanej matice.

Code

     [,1] [,2] [,3] [,4]
[1,]    1    7   13   19
[2,]    2    8   14   20
[3,]    3    9   15   21
[4,]    4   10   16   22
[5,]    5   11   17   23
[6,]    6   12   18   24

Code

t(m)

     [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6]
[1,]    1    2    3    4    5    6
[2,]    7    8    9   10   11   12
[3,]   13   14   15   16   17   18
[4,]   19   20   21   22   23   24

Code

m %*% t(m)

     [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6]
[1,]  580  620  660  700  740  780
[2,]  620  664  708  752  796  840
[3,]  660  708  756  804  852  900
[4,]  700  752  804  856  908  960
[5,]  740  796  852  908  964 1020
[6,]  780  840  900  960 1020 1080

Vypočítajte súčet hodnôt v jednotlivých stĺpcoch matice m.

Code

colSums(m)

[1]  21  57  93 129

Vlastné čísla a vlastné vektory matice

\[ A = \begin{pmatrix} 4 & 2\\ 2 & 4 \end{pmatrix} \]

Code

A <- matrix(c(4, 2,
              2, 4),
            nrow = 2, byrow = TRUE)

eigen(A)

eigen() decomposition
$values
[1] 6 2

$vectors
          [,1]       [,2]
[1,] 0.7071068 -0.7071068
[2,] 0.7071068  0.7071068

Overte výpočet pre prvé vlastné číslo. \[ \begin{pmatrix} 4 & 2\\ 2 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}}\\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{6}{\sqrt{2}}\\ \frac{6}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = 6 \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}}\\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \] \[ A\mathbf{h}_1 = 6\mathbf{h}_1 \]

Code

h1 <- c(1/sqrt(2), 1/sqrt(2))

A %*% h1

         [,1]
[1,] 4.242641
[2,] 4.242641

Code

6 * h1

[1] 4.242641 4.242641

Malé cvičenie 2 dokončenie

Variačno - kovariačná matica

Príklad

V triede je 5 študentov, ktorý majú testy z predmetu matematika a štatistika. Prvý stĺpec je počet bodov z matematiky a druhý stĺpec zo štatistiky.

Code

data <- matrix(c(
  50, 55,
  60, 62,
  70, 75,
  80, 82,
  90, 95
), ncol = 2, byrow = TRUE)

data

     [,1] [,2]
[1,]   50   55
[2,]   60   62
[3,]   70   75
[4,]   80   82
[5,]   90   95

Výpočet variačno - kovariačnej matice

Code

S <- cov(data)
S

     [,1]  [,2]
[1,]  250 250.0
[2,]  250 252.7

Vlastné čísla a vektory

Pomocou funkcie eigen() vypočítame vlastné čísla a vlastné vektory variančno-kovariančnej matice.

Code

eigen(S)

eigen() decomposition
$values
[1] 501.353645   1.346355

$vectors
          [,1]       [,2]
[1,] 0.7051950 -0.7090134
[2,] 0.7090134  0.7051950

Príklad

Vytvorte si vlastné údaje o výške a hmotnosti piatich osôb. Následne vypočítajte variančno-kovariančnú maticu a určite jej vlastné čísla a vlastné vektory.

Code

vyska_hmotnost <- matrix(c(
  160, 55,
  165, 58,
  170, 62,
  175, 68,
  180, 72
), ncol = 2, byrow = TRUE)

S2 <- cov(vyska_hmotnost)

S2

     [,1] [,2]
[1,] 62.5   55
[2,] 55.0   49

Code

eigen(S2)

eigen() decomposition
$values
[1] 111.1626565   0.3373435

$vectors
           [,1]       [,2]
[1,] -0.7489370  0.6626412
[2,] -0.6626412 -0.7489370