Exercício 1

Probabilidade de Seleção no Bootstrap

Dada uma amostra original \(\boldsymbol{X} = \{x_1, x_2, \dots, x_n\}\) de tamanho \(n\).

Considerando a geração de uma reamostra Bootstrap \(\boldsymbol{X}^*\) (amostragem de tamanho \(n\) com reposição):

  1. Determine a probabilidade exata de um elemento específico \(x_i\) não ser selecionado em uma determinada reamostra Bootstrap.
  1. Calcule o limite dessa probabilidade quando \(n \to \infty\). Dica: uso o limite fundamental da análise matemática \(\lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{x}{n} \right)^n = e^x\).
  1. Conclua qual é a proporção esperada de observações originais distintas contidas em qualquer reamostra Bootstrap assintoticamente; ou, em outras palavras, determine a probabilidade de um elemento \(x_i\) aparecer pelo menos uma vez na reamostra Bootstrap.

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Exercício 2

Inferência para Razão de Médias

Dois tratamentos cirúrgicos (\(A\) e \(B\)) foram avaliados quanto ao tempo de recuperação (em dias) de pacientes. Os dados obtidos foram:

  • Grupo A: \(X_A = [12, 15, 18, 22, 25, 28, 33, 40, 45]\)
  • Grupo B: \(X_B = [8, 10, 11, 12, 14, 15, 17, 18, 20, 22, 25]\)

Queremos estimar a razão das médias de tempo de recuperação:

\[ \theta = \frac{\mu_A}{\mu_B} \]

  1. Calcule a estimativa pontual plug-in \(\hat{\theta} = \frac{\bar{X}_A}{\bar{X}_B}\).

  2. Implemente o Bootstrap com \(B = 5000\) réplicas para estimar o erro padrão (\(\widehat{\text{SE}}_{boot}}\)) e o viés de \(\hat{\theta}\).

  3. Calcule os Intervalos de Confiança de 95% pelos métodos Normal e Percentil.

Exercício 3

Regressão Linear

Em modelos de regressão linear \(Y = \beta_0 + \beta_1 X + \epsilon\), existem duas estratégias principais de Bootstrap:

  1. Bootstrap de Casos (Pairs Bootstrap): Reamostra-se pares \((X_i, Y_i)\) com reposição. Preserva heterocedasticidade, mas os regressores tornam-se aleatórios.
  2. Bootstrap de Resíduos (Residual Bootstrap): Ajusta-se o modelo original, extraem-se os resíduos \(\hat{e}_i = Y_i - \hat{Y}_i\), reamostram-se os resíduos \(\hat{e}_i^*\), e constroem-se novos \(Y_i^* = \hat{Y}_i + \hat{e}_i^*\). Mantém os \(X_i\) fixos.

Escreva o código R completo para realizar o Bootstrap de Casos com \(B = 2000\) réplicas no conjunto de dados mtcars para o modelo mpg ~ hp (consumo vs. potência), obtendo o intervalo de confiança de 95% percentil para o coeficiente angular \(\beta_1\).

Exercício 4

Utilização do Pacote boot

Suponha a seguinte amostra aleatória de dados pareados \((X,Y)\):
X 12 15 18 20 25 30 32 38 42 45
Y 100 115 110 130 140 150 168 175 190 200

Utilizando o pacote nativo boot do R, estime o viés do estimador correlação amostral baseado nos dados acima e determine os intervalos de confiança de 90% associados a este estimador.