Exercício 1

Cálculo Manual para fixar Conceitos e Intuição

Dada a amostra original de \(n = 4\) observações independentes: \[ \boldsymbol{X} = \{2, 4, 6, 12\} \]

  1. Liste as \(n\) pseudo-amostras Jackknife (subconjuntos obtidos removendo 1 elemento por vez): \(\boldsymbol{X}_{(-i)}\).
  2. Calcule as estimativas parciais (médias amostrais \(\hat{\theta}_{(-i)}\) para cada uma das 4 pseudo-amostras).
  3. Determine a média das estimativas parciais \(\bar{{\theta}}_{(\cdot)}\).
  4. Calcule a estimativa do (\(\widehat{\text{SE}}_{jack}\)) usando a fórmula:
  5. Compare o erro padrão obtido via Jackknife com a fórmula tradicional do erro padrão da média: \(\frac{S}{\sqrt{n}}\).

Exercício 2

Estimação e Correção de Viés

Suponha a amostra \(\boldsymbol{X} = \{1, 3, 5, 7, 9\}\) (\(n=5\)). Queremos estimar a variância populacional usando o estimador de máxima verossimilhança (que divide por \(n\) e possui viés): \[ \hat{\theta} = \hat{\sigma}^2_{\text{MV}} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (X_i - \bar{X})^2 \]

  1. Calcule o valor do estimador para a amostra completa (\(\hat{\theta}\)).
  2. Obtenha as \(n\) estimativas Jackknife \(\hat{\theta}_{(-i)}\).
  3. Calcule o viés estimado pelo Jackknife (\(\widehat{\text{B}}_{jack}\)).
  4. Obtenha o estimador corrigido de Jackknife para a variância populacional.

Exercício 3

Aplicação para estimação da Covariância

A covariância entre duas variáveis aleatórias é dada por \[ \text{Cov}(X,Y) = \mathbb{E}\left((X-\mathbb{E}(X)(Y-\mathbb{E}(Y))\right) \]

Um possível estimador para esta quantidade, baseado na amostra aleatória \((X_1,Y_1),\cdots,(X_n,Y_n)\), é dado por \[ \widehat{\text{Cov}}(\boldsymbol{X},\boldsymbol{Y}) = \frac{\sum_{i=1}^n (X_i-\bar{X})(Y_i-\bar{Y}) }{n} \]

  1. Implemente o algoritmo Jackknife para corrigir o estimador \(R\) para a covariância entre \(X\) e \(Y\).

  2. Como uma aplicação, suponha que temos dados de horas de estudo (\(X\)) e notas no exame (\(Y\)) para 6 alunos:

Utilizando o código implementado,

  1. Calcule o erro padrão Jackknife do estimador para a covariância.
  2. Construa um intervalo de confiança de 95% aproximado para o estimador.
  3. Compare o estimador obtido com o estimador usual (com denominador \(n-1\)).