Problemas de distribuciones continuas

Problema 1: Uniforme, \(X \sim U(20, 50)\)

Función de densidad. Para una uniforme en \([a, b]\) se tiene \(f_X(x) = \frac{1}{b-a}\), es decir:

\[ f_X(x)=\begin{cases}\dfrac{1}{30}, & 20 \le x \le 50\\[2mm] 0, & \text{en otro caso}\end{cases} \]

a <- 20
b <- 50

cat("Altura de la densidad 1/(b-a) =", r4(dunif(35, a, b)), "\n")
Altura de la densidad 1/(b-a) = 0.0333 
p1a <- punif(30, a, b)                      # P(X <= 30)
p1b <- punif(42, a, b, lower.tail = FALSE)  # P(X > 42)
p1c <- punif(40, a, b) - punif(25, a, b)    # P(25 <= X < 40)
p1d <- qunif(0.80, a, b)                    # x tal que P(X <= x) = 0.80

esp1 <- (a + b) / 2                         # E[X]
var1 <- (b - a)^2 / 12                      # V[X]

cat("P(X <= 30)       =", r4(p1a), "\n")
P(X <= 30)       = 0.3333 
cat("P(X > 42)        =", r4(p1b), "\n")
P(X > 42)        = 0.2667 
cat("P(25 <= X < 40)  =", r4(p1c), "\n")
P(25 <= X < 40)  = 0.5 
cat("x con P(X<=x)=0.8 =", r4(p1d), "\n")
x con P(X<=x)=0.8 = 44 
cat("E[X] =", esp1, "\n")
E[X] = 35 
cat("V[X] =", var1, "\n")
V[X] = 75 
plot(NA, xlim = c(10, 60), ylim = c(0, 0.05),
     xlab = "x", ylab = "f(x)",
     main = "Densidad de X ~ U(20, 50)")
segments(10, 0, 20, 0, lwd = 2)
segments(20, 1/30, 50, 1/30, lwd = 2, col = "blue")
segments(50, 0, 60, 0, lwd = 2)
segments(20, 0, 20, 1/30, lty = 2)
segments(50, 0, 50, 1/30, lty = 2)

Respuestas: \(P(X \le 30) = 0.3333\); \(P(X > 42) = 0.2667\); \(P(25 \le X < 40) = 0.5\); el valor \(x\) con \(P(X \le x)=0.80\) es 44; \(E[X] = 35\) y \(V[X] = 75\).

Problema 2: Normal, \(X \sim N(100, 15^2)\)

mu <- 100
sigma <- 15

p2a <- pnorm(85, mu, sigma)                          # P(X <= 85)
p2b <- pnorm(120, mu, sigma, lower.tail = FALSE)     # P(X > 120)
p2c <- pnorm(115, mu, sigma) - pnorm(90, mu, sigma)  # P(90 <= X < 115)
p2d <- qnorm(0.95, mu, sigma)                        # x tal que P(X <= x) = 0.95
p2e <- qnorm(c(0.025, 0.975), mu, sigma)             # intervalo central del 95%

cat("P(X <= 85)       =", r4(p2a), "\n")
P(X <= 85)       = 0.1587 
cat("P(X > 120)       =", r4(p2b), "\n")
P(X > 120)       = 0.0912 
cat("P(90 <= X < 115) =", r4(p2c), "\n")
P(90 <= X < 115) = 0.5889 
cat("x con P(X<=x)=0.95 =", r4(p2d), "\n")
x con P(X<=x)=0.95 = 124.6728 
cat("Intervalo central 95%: [", r4(p2e[1]), ",", r4(p2e[2]), "]\n")
Intervalo central 95%: [ 70.6005 , 129.3995 ]
cat("Aproximacion mu +- 1.96*sigma: [", mu - 1.96 * sigma, ",", mu + 1.96 * sigma, "]\n")
Aproximacion mu +- 1.96*sigma: [ 70.6 , 129.4 ]
dens2 <- function(x) dnorm(x, mu, sigma)
curve(dens2(x), from = mu - 4 * sigma, to = mu + 4 * sigma,
      xlab = "x", ylab = "f(x)", lwd = 2,
      main = "Densidad de X ~ N(100, 15^2)")
sombrear(dens2, p2e[1], p2e[2])
abline(v = mu, lty = 2)
legend("topright", legend = c("Centro 95%", "Media"),
       fill = c("lightblue", NA), border = c("black", NA),
       lty = c(NA, 2), bty = "n")

Respuestas: \(P(X \le 85) = 0.1587\); \(P(X > 120) = 0.0912\); \(P(90 \le X < 115) = 0.5889\); el valor con \(P(X \le x) = 0.95\) es 124.6728; el intervalo central del 95 % es aproximadamente [70.6005, 129.3995].

Problema 3: Normal, \(X \sim N(72, 8^2)\)

mu <- 72
sigma <- 8

p3a <- pnorm(60, mu, sigma)                          # P(X < 60)
p3b <- pnorm(80, mu, sigma, lower.tail = FALSE)      # P(X >= 80)
p3c <- pnorm(76, mu, sigma) - pnorm(68, mu, sigma)   # P(68 <= X <= 76)
p3d <- qnorm(0.90, mu, sigma)                        # percentil 90
p3e <- qnorm(0.05, mu, sigma, lower.tail = FALSE)    # deja 5% por encima

cat("P(X < 60)         =", r4(p3a), "\n")
P(X < 60)         = 0.0668 
cat("P(X >= 80)        =", r4(p3b), "\n")
P(X >= 80)        = 0.1587 
cat("P(68 <= X <= 76)  =", r4(p3c), "\n")
P(68 <= X <= 76)  = 0.3829 
cat("Percentil 90      =", r4(p3d), "\n")
Percentil 90      = 82.2524 
cat("x con 5% por encima =", r4(p3e), "\n")
x con 5% por encima = 85.1588 
dens3 <- function(x) dnorm(x, mu, sigma)
curve(dens3(x), from = mu - 4 * sigma, to = mu + 4 * sigma,
      xlab = "x", ylab = "f(x)", lwd = 2,
      main = "Densidad de X ~ N(72, 8^2)")
abline(v = mu, col = "red", lwd = 2, lty = 2)
text(mu, dens3(mu) * 0.5, labels = "Media = 72", pos = 4, col = "red")

Respuestas: \(P(X < 60) = 0.0668\); \(P(X \ge 80) = 0.1587\); \(P(68 \le X \le 76) = 0.3829\); el percentil 90 es 82.2524; el valor que deja por encima el 5 % de las observaciones es 85.1588.

Problema 4: Normal, \(X \sim N(500, 40^2)\)

mu <- 500
sigma <- 40

p4a <- pnorm(450, mu, sigma)                         # P(X <= 450)
p4b <- pnorm(575, mu, sigma, lower.tail = FALSE)     # P(X > 575)
p4c <- pnorm(540, mu, sigma) - pnorm(480, mu, sigma) # P(480 < X < 540)
p4d <- qnorm(c(0.10, 0.90), mu, sigma)               # 80% central
p4e <- qnorm(0.99, mu, sigma)                        # percentil 99

cat("P(X <= 450)      =", r4(p4a), "\n")
P(X <= 450)      = 0.1056 
cat("P(X > 575)       =", r4(p4b), "\n")
P(X > 575)       = 0.0304 
cat("P(480 < X < 540) =", r4(p4c), "\n")
P(480 < X < 540) = 0.5328 
cat("80% central: [", r4(p4d[1]), ",", r4(p4d[2]), "]\n")
80% central: [ 448.7379 , 551.2621 ]
cat("Percentil 99     =", r4(p4e), "\n")
Percentil 99     = 593.0539 
dens4 <- function(x) dnorm(x, mu, sigma)
curve(dens4(x), from = mu - 4 * sigma, to = mu + 4 * sigma,
      xlab = "x", ylab = "f(x)", lwd = 2,
      main = "Densidad de X ~ N(500, 40^2)")
sombrear(dens4, p4d[1], p4d[2])
abline(v = mu, lty = 2)

Respuestas: \(P(X \le 450) = 0.1056\); \(P(X > 575) = 0.0304\); \(P(480 < X < 540) = 0.5328\); el 80 % central está delimitado por 448.7379 y 551.2621; el percentil 99 es 593.0539.

Problema 5: Exponencial, \(X \sim Exp(\lambda = 0.25)\)

lambda <- 0.25

p5a <- pexp(2, rate = lambda)                          # P(X <= 2)
p5b <- pexp(5, rate = lambda, lower.tail = FALSE)      # P(X > 5)
p5c <- pexp(6, rate = lambda) - pexp(2, rate = lambda) # P(2 < X <= 6)
p5d <- qexp(0.90, rate = lambda)                       # x tal que P(X <= x) = 0.90

esp5 <- 1 / lambda        # E[X]
var5 <- 1 / lambda^2      # V[X]

cat("P(X <= 2)     =", r4(p5a), "\n")
P(X <= 2)     = 0.3935 
cat("P(X > 5)      =", r4(p5b), "\n")
P(X > 5)      = 0.2865 
cat("P(2 < X <= 6) =", r4(p5c), "\n")
P(2 < X <= 6) = 0.3834 
cat("x con P(X<=x)=0.90 =", r4(p5d), "\n")
x con P(X<=x)=0.90 = 9.2103 
cat("E[X] =", esp5, "\n")
E[X] = 4 
cat("V[X] =", var5, "\n")
V[X] = 16 
curve(dexp(x, rate = lambda), from = 0, to = 20,
      xlab = "x", ylab = "f(x)", lwd = 2,
      main = "Densidad de X ~ Exp(0.25)")

Respuestas: \(P(X \le 2) = 0.3935\); \(P(X > 5) = 0.2865\); \(P(2 < X \le 6) = 0.3834\); el valor con \(P(X \le x) = 0.90\) es 9.2103; \(E[X] = 4\) y \(V[X] = 16\).

Problema 6: Lognormal, \(X \sim Lognormal(3.5, 0.40^2)\)

mulog <- 3.5
sdlog <- 0.40

p6a <- plnorm(25, mulog, sdlog)                        # P(X <= 25)
p6b <- plnorm(50, mulog, sdlog, lower.tail = FALSE)    # P(X > 50)
p6c <- plnorm(40, mulog, sdlog) - plnorm(20, mulog, sdlog)  # P(20 <= X < 40)
p6d <- qlnorm(0.50, mulog, sdlog)                      # mediana
p6e <- qlnorm(0.90, mulog, sdlog)                      # percentil 90

esp6 <- exp(mulog + sdlog^2 / 2)                       # E[X]
var6 <- (exp(sdlog^2) - 1) * exp(2 * mulog + sdlog^2)  # V[X]

cat("P(X <= 25)      =", r4(p6a), "\n")
P(X <= 25)      = 0.2411 
cat("P(X > 50)       =", r4(p6b), "\n")
P(X > 50)       = 0.1515 
cat("P(20 <= X < 40) =", r4(p6c), "\n")
P(20 <= X < 40) = 0.5779 
cat("Mediana (exp(mu)) =", r4(p6d), "\n")
Mediana (exp(mu)) = 33.1155 
cat("Percentil 90    =", r4(p6e), "\n")
Percentil 90    = 55.2916 
cat("E[X] =", r4(esp6), "\n")
E[X] = 35.8735 
cat("V[X] =", r4(var6), "\n")
V[X] = 223.293 
curve(dlnorm(x, mulog, sdlog), from = 0, to = 120,
      xlab = "x", ylab = "f(x)", lwd = 2,
      main = "Densidad de X ~ Lognormal(3.5, 0.40^2)")
abline(v = c(p6d, esp6), lty = 2, col = c("red", "blue"))
legend("topright", legend = c("Mediana", "Media"),
       col = c("red", "blue"), lty = 2, bty = "n")

Respuestas: \(P(X \le 25) = 0.2411\); \(P(X > 50) = 0.1515\); \(P(20 \le X < 40) = 0.5779\); mediana \(= 33.1155\); percentil 90 \(= 55.2916\); \(E[X] = 35.8735\) y \(V[X] = 223.293\).

Problema 7: Gamma, \(X \sim Gamma(\alpha = 3, \lambda = 0.5)\)

alfa <- 3
lambda <- 0.5

p7a <- pgamma(4, shape = alfa, rate = lambda)                          # P(X <= 4)
p7b <- pgamma(8, shape = alfa, rate = lambda, lower.tail = FALSE)      # P(X > 8)
p7c <- pgamma(7, shape = alfa, rate = lambda) -
  pgamma(3, shape = alfa, rate = lambda)                               # P(3 <= X < 7)
p7d <- qgamma(0.95, shape = alfa, rate = lambda)                       # percentil 95

esp7 <- alfa / lambda       # E[X]
var7 <- alfa / lambda^2     # V[X]

cat("P(X <= 4)      =", r4(p7a), "\n")
P(X <= 4)      = 0.3233 
cat("P(X > 8)       =", r4(p7b), "\n")
P(X > 8)       = 0.2381 
cat("P(3 <= X < 7)  =", r4(p7c), "\n")
P(3 <= X < 7)  = 0.488 
cat("Percentil 95   =", r4(p7d), "\n")
Percentil 95   = 12.5916 
cat("E[X] =", esp7, "\n")
E[X] = 6 
cat("V[X] =", var7, "\n")
V[X] = 12 
curve(dgamma(x, shape = alfa, rate = lambda), from = 0, to = 25,
      xlab = "x", ylab = "f(x)", lwd = 2,
      main = "Densidad de X ~ Gamma(3, 0.5)")

Respuestas: \(P(X \le 4) = 0.3233\); \(P(X > 8) = 0.2381\); \(P(3 \le X < 7) = 0.488\); percentil 95 \(= 12.5916\); \(E[X] = 6\) y \(V[X] = 12\).

Problema 8: Beta, \(X \sim Beta(2.5, 4)\)

a8 <- 2.5
b8 <- 4

p8a <- pbeta(0.30, a8, b8)                      # P(X <= 0.30)
p8b <- pbeta(0.60, a8, b8, lower.tail = FALSE)  # P(X > 0.60)
p8c <- pbeta(0.50, a8, b8) - pbeta(0.20, a8, b8)  # P(0.20 <= X < 0.50)
p8d <- qbeta(0.75, a8, b8)                      # percentil 75

esp8 <- a8 / (a8 + b8)                                    # E[X]
var8 <- (a8 * b8) / ((a8 + b8)^2 * (a8 + b8 + 1))         # V[X]

cat("P(X <= 0.30)        =", r4(p8a), "\n")
P(X <= 0.30)        = 0.3522 
cat("P(X > 0.60)         =", r4(p8b), "\n")
P(X > 0.60)         = 0.13 
cat("P(0.20 <= X < 0.50) =", r4(p8c), "\n")
P(0.20 <= X < 0.50) = 0.5723 
cat("Percentil 75        =", r4(p8d), "\n")
Percentil 75        = 0.5088 
cat("E[X] =", r4(esp8), "\n")
E[X] = 0.3846 
cat("V[X] =", r4(var8), "\n")
V[X] = 0.0316 
curve(dbeta(x, a8, b8), from = 0, to = 1,
      xlab = "x", ylab = "f(x)", lwd = 2,
      main = "Densidad de X ~ Beta(2.5, 4)")

Respuestas: \(P(X \le 0.30) = 0.3522\); \(P(X > 0.60) = 0.13\); \(P(0.20 \le X < 0.50) = 0.5723\); percentil 75 \(= 0.5088\); \(E[X] = 0.3846\) y \(V[X] = 0.0316\).

Problema 9: Weibull, \(X \sim Weibull(k = 2, \lambda = 1000)\)

k <- 2
escala <- 1000

p9a <- pweibull(500, shape = k, scale = escala)                       # P(X <= 500)
p9b <- pweibull(1200, shape = k, scale = escala, lower.tail = FALSE)  # P(X > 1200)
p9c <- pweibull(1000, shape = k, scale = escala) -
  pweibull(600, shape = k, scale = escala)                            # P(600 <= X < 1000)
p9d <- qweibull(0.50, shape = k, scale = escala)                      # mediana
p9e <- qweibull(0.90, shape = k, scale = escala)                      # percentil 90

cat("P(X <= 500)       =", r4(p9a), "\n")
P(X <= 500)       = 0.2212 
cat("P(X > 1200)       =", r4(p9b), "\n")
P(X > 1200)       = 0.2369 
cat("P(600 <= X < 1000) =", r4(p9c), "\n")
P(600 <= X < 1000) = 0.3298 
cat("Mediana           =", r4(p9d), "\n")
Mediana           = 832.5546 
cat("Percentil 90      =", r4(p9e), "\n")
Percentil 90      = 1517.427 
curve(dweibull(x, shape = k, scale = escala), from = 0, to = 3000,
      xlab = "x", ylab = "f(x)", lwd = 2,
      main = "Densidad de X ~ Weibull(k = 2, escala = 1000)")

Respuestas: \(P(X \le 500) = 0.2212\); \(P(X > 1200) = 0.2369\); \(P(600 \le X < 1000) = 0.3298\); mediana \(= 832.5546\); percentil 90 \(= 1517.4271\).

Minicasos

Problema 10: Validación de pedidos (uniforme)

Modelo: el tiempo de validación \(X\) (en segundos) sigue una distribución uniforme continua, \(X \sim U(1.5,\ 4.5)\), con \(a = 1.5\) y \(b = 4.5\).

a <- 1.5
b <- 4.5

p10a <- punif(3, a, b)                          # P(X < 3)
p10b <- punif(4, a, b) - punif(2, a, b)         # P(2 < X < 4)
p10c <- qunif(0.90, a, b)                       # inicio del 10% mas lento

cat("Altura de la densidad =", r4(1 / (b - a)), "\n")
Altura de la densidad = 0.3333 
cat("P(X < 3)     =", r4(p10a), "\n")
P(X < 3)     = 0.5 
cat("P(2 < X < 4) =", r4(p10b), "\n")
P(2 < X < 4) = 0.6667 
cat("Tiempo desde el cual esta el 10% mas lento =", r4(p10c), "segundos\n")
Tiempo desde el cual esta el 10% mas lento = 4.2 segundos
cat("Cumple el criterio (P(X<3) > 0.45)?", p10a > 0.45, "\n")
Cumple el criterio (P(X<3) > 0.45)? TRUE

Respuestas:

  • Modelo: \(X \sim U(1.5, 4.5)\).
  • \(P(X < 3) = 0.5\).
  • \(P(2 < X < 4) = 0.6667\).
  • Una operación pertenece al 10 % más lento a partir de 4.2 segundos.
  • Criterio de desempeño: como \(P(X < 3) = 0.5 > 0.45\), sí se cumple el criterio establecido por el equipo de ingeniería.

Problema 11: Máquina empacadora (normal)

Modelo: el peso \(X\) (en gramos) sigue una distribución normal, \(X \sim N(500,\ 8^2)\), con \(\mu = 500\) y \(\sigma = 8\).

mu <- 500
sigma <- 8

p11a <- pnorm(515, mu, sigma) - pnorm(485, mu, sigma)  # dentro del intervalo
p11b <- pnorm(520, mu, sigma, lower.tail = FALSE)      # P(X > 520)
p11c <- qnorm(c(0.02, 0.98), mu, sigma)                # region de revision
p11d <- 10000 * (1 - p11a)                             # fuera de aceptacion (10000 bolsas)

cat("Proporcion dentro de [485, 515] =", r4(p11a), "\n")
Proporcion dentro de [485, 515] = 0.9392 
cat("P(X > 520)                      =", r4(p11b), "\n")
P(X > 520)                      = 0.0062 
cat("Region de revision: X <", r4(p11c[1]), "o X >", r4(p11c[2]), "\n")
Region de revision: X < 483.57 o X > 516.43 
cat("Bolsas esperadas fuera de [485, 515] de 10000 =", round(p11d), "\n")
Bolsas esperadas fuera de [485, 515] de 10000 = 608 
# Analisis de sensibilidad: proceso centrado en 500 con distintas desviaciones
sigmas <- c(4, 8, 12)
fuera <- 1 - (pnorm(515, 500, sigmas) - pnorm(485, 500, sigmas))
tabla11 <- data.frame(
  sigma = sigmas,
  proporcion_fuera = r4(fuera),
  bolsas_fuera_de_10000 = round(10000 * fuera)
)
print(tabla11)
  sigma proporcion_fuera bolsas_fuera_de_10000
1     4           0.0002                     2
2     8           0.0608                   608
3    12           0.2113                  2113

Respuestas:

  • Modelo: \(X \sim N(500, 8^2)\).
  • Proporción esperada de bolsas dentro del intervalo de aceptación: 0.9392.
  • \(P(X > 520) = 0.0062\).
  • Región de revisión individual: pesos menores que 483.57 g o mayores que 516.43 g.
  • De 10000 bolsas se espera que aproximadamente 608 queden fuera del intervalo de aceptación.
  • Análisis: centrar el proceso en 500 g no garantiza por sí solo una baja proporción fuera de especificación. Esa proporción depende también de la variabilidad \(\sigma\): con \(\sigma = 8\) aproximadamente el 6.08 % queda fuera, mientras que con una desviación menor (por ejemplo \(\sigma = 4\)) la proporción cae drásticamente y con una mayor (por ejemplo \(\sigma = 12\)) aumenta. Además de centrar el proceso hay que controlar su dispersión.

Problema 12: Calificaciones de una prueba (normal)

Modelo: las calificaciones \(X\) siguen una distribución normal, \(X \sim N(70,\ 10^2)\).

mu <- 70
sigma <- 10

p12a <- pnorm(85, mu, sigma) - pnorm(65, mu, sigma)   # P(65 <= X <= 85)
p12b <- qnorm(0.90, mu, sigma)                        # puntaje minimo del 10% superior
p12c <- qnorm(0.15, mu, sigma)                        # puntaje maximo del 15% inferior
p12d <- pnorm(90, mu, sigma, lower.tail = FALSE)      # P(X > 90)

n_est <- 600
reconocidos <- n_est * 0.10
acompanados <- n_est * 0.15

cat("P(65 <= X <= 85)         =", r4(p12a), "\n")
P(65 <= X <= 85)         = 0.6247 
cat("Puntaje minimo 10% superior =", r4(p12b), "\n")
Puntaje minimo 10% superior = 82.8155 
cat("Puntaje maximo 15% inferior =", r4(p12c), "\n")
Puntaje maximo 15% inferior = 59.6357 
cat("P(X > 90)                =", r4(p12d), "\n")
P(X > 90)                = 0.0228 
cat("Estudiantes con reconocimiento (de 600) =", reconocidos, "\n")
Estudiantes con reconocimiento (de 600) = 60 
cat("Estudiantes con acompanamiento (de 600) =", acompanados, "\n")
Estudiantes con acompanamiento (de 600) = 90

Respuestas:

  • Modelo: \(X \sim N(70, 10^2)\).
  • \(P(65 \le X \le 85) = 0.6247\).
  • Puntaje mínimo para el 10 % superior: 82.8155 puntos.
  • Puntaje máximo del 15 % inferior: 59.6357 puntos.
  • \(P(X > 90) = 0.0228\).
  • De 600 estudiantes se espera que 60 reciban reconocimiento y 90 sean convocados a acompañamiento.

Problema 13: Interrupciones de un servidor (exponencial)

Modelo: el tiempo hasta una interrupción \(X\) (en horas) sigue una distribución exponencial con media 200 h, de modo que \(\lambda = 1/200 = 0.005\) interrupciones por hora, \(X \sim Exp(0.005)\).

media <- 200
lambda <- 1 / media

p13a <- pexp(300, rate = lambda, lower.tail = FALSE)       # P(X > 300)
p13b <- pexp(250, rate = lambda) - pexp(100, rate = lambda)  # P(100 < X < 250)
p13c <- qexp(0.20, rate = lambda)                          # tiempo con F(t) = 0.20

# Probabilidad condicional: P(X > 250 | X > 150)
p13d_cond <- pexp(250, rate = lambda, lower.tail = FALSE) /
  pexp(150, rate = lambda, lower.tail = FALSE)
# Por la falta de memoria es igual a P(X > 100)
p13d_dir <- pexp(100, rate = lambda, lower.tail = FALSE)

cat("lambda =", lambda, "\n")
lambda = 0.005 
cat("P(X > 300)        =", r4(p13a), "\n")
P(X > 300)        = 0.2231 
cat("P(100 < X < 250)  =", r4(p13b), "\n")
P(100 < X < 250)  = 0.32 
cat("Tiempo con probabilidad acumulada 20% =", r4(p13c), "horas\n")
Tiempo con probabilidad acumulada 20% = 44.6287 horas
cat("P(X > 250 | X > 150) =", r4(p13d_cond), "\n")
P(X > 250 | X > 150) = 0.6065 
cat("P(X > 100)           =", r4(p13d_dir), "\n")
P(X > 100)           = 0.6065

Respuestas:

  • Modelo: \(X \sim Exp(\lambda = 0.005)\), con \(\lambda = 1/200\).
  • \(P(X > 300) = 0.2231\).
  • \(P(100 < X < 250) = 0.32\).
  • El mantenimiento preventivo debe programarse a las 44.6287 horas, momento en el que la probabilidad acumulada de interrupción alcanza el 20 %.
  • Si el servidor ya operó 150 horas sin interrupciones, la probabilidad de que opere al menos 100 horas adicionales es \(P(X > 250 \mid X > 150) = 0.6065\).
  • Propiedad: la falta de memoria de la distribución exponencial, \(P(X > s + t \mid X > s) = P(X > t)\). Por eso la probabilidad condicional coincide con \(P(X > 100) = 0.6065\): el tiempo ya transcurrido no modifica la probabilidad de operar el tiempo adicional.

Problema 14: Costos de reparación (lognormal)

Modelo: el costo \(X\) (en millones de pesos) sigue una distribución lognormal con \(\ln(X) \sim N(1.2,\ 0.5^2)\), es decir, \(\mu_{log} = 1.2\) y \(\sigma_{log} = 0.5\).

mulog <- 1.2
sdlog <- 0.5

p14a <- plnorm(3, mulog, sdlog)                       # P(X < 3)
p14b <- plnorm(5, mulog, sdlog, lower.tail = FALSE)   # P(X > 5)
p14c <- qlnorm(0.50, mulog, sdlog)                    # mediana
p14d <- qlnorm(0.95, mulog, sdlog)                    # solo 5% lo supera
media14 <- exp(mulog + sdlog^2 / 2)                   # media

cat("P(X < 3)  =", r4(p14a), "\n")
P(X < 3)  = 0.4197 
cat("P(X > 5)  =", r4(p14b), "\n")
P(X > 5)  = 0.2064 
cat("Mediana   =", r4(p14c), "millones\n")
Mediana   = 3.3201 millones
cat("Valor superado solo por el 5% =", r4(p14d), "millones\n")
Valor superado solo por el 5% = 7.5566 millones
cat("Media     =", r4(media14), "millones\n")
Media     = 3.7622 millones

Respuestas:

  • Modelo: \(X \sim Lognormal(1.2, 0.5^2)\).
  • \(P(X < 3) = 0.4197\).
  • \(P(X > 5) = 0.2064\).
  • Costo mediano: 3.3201 millones de pesos.
  • Valor que solo es superado por el 5 % de las reparaciones: 7.5566 millones de pesos.
  • Media vs. mediana: la media (3.7622 millones) es mayor que la mediana (3.3201 millones). La distribución lognormal tiene asimetría positiva (cola larga a la derecha): unas pocas reparaciones muy costosas elevan la media, pero no afectan la mediana, que solo depende del punto central de la distribución. Por eso no se espera que coincidan; la media es \(e^{\mu + \sigma^2/2}\) y la mediana es \(e^{\mu}\).

Problema 15: Soporte técnico (gamma)

Modelo: el tiempo total \(X\) (en minutos) sigue una distribución gamma, \(X \sim Gamma(\alpha = 4,\ \lambda = 0.20)\).

alfa <- 4
lambda <- 0.20

esp15 <- alfa / lambda                                               # tiempo promedio
p15a <- pgamma(30, shape = alfa, rate = lambda)                      # P(X < 30)
p15b <- pgamma(25, shape = alfa, rate = lambda) -
  pgamma(15, shape = alfa, rate = lambda)                            # P(15 < X < 25)
p15c <- qgamma(0.90, shape = alfa, rate = lambda)                    # percentil 90

cat("Tiempo promedio E[X] =", esp15, "minutos\n")
Tiempo promedio E[X] = 20 minutos
cat("P(X < 30)      =", r4(p15a), "\n")
P(X < 30)      = 0.8488 
cat("P(15 < X < 25) =", r4(p15b), "\n")
P(15 < X < 25) = 0.3822 
cat("Tiempo no superado por el 90% =", r4(p15c), "minutos\n")
Tiempo no superado por el 90% = 33.4039 minutos
cat("Se cumple la meta (P(X<30) >= 0.80)?", p15a >= 0.80, "\n")
Se cumple la meta (P(X<30) >= 0.80)? TRUE

Respuestas:

  • Modelo: \(X \sim Gamma(\alpha = 4, \lambda = 0.20)\).
  • Tiempo promedio esperado: \(E[X] = \alpha/\lambda = 20\) minutos.
  • \(P(X < 30) = 0.8488\).
  • \(P(15 < X < 25) = 0.3822\).
  • El 90 % de las solicitudes se resuelve en 33.4039 minutos o menos.
  • Evaluación: como \(P(X < 30) = 0.8488 \ge 0.80\), la promesa de servicio sí cumple la meta de la administración.

Problema 16: Utilización de una planta (beta)

Modelo: la proporción diaria de utilización \(X\) sigue una distribución beta, \(X \sim Beta(\alpha = 5,\ \beta = 2)\).

a16 <- 5
b16 <- 2

esp16 <- a16 / (a16 + b16)                         # utilizacion promedio
p16a <- pbeta(0.80, a16, b16, lower.tail = FALSE)  # alta utilizacion: P(X > 0.80)
p16b <- pbeta(0.50, a16, b16)                      # baja utilizacion: P(X < 0.50)
p16c <- qbeta(0.90, a16, b16)                      # superado solo por el 10% de los dias
dias_altos <- 250 * p16a                           # dias esperados con alta utilizacion

cat("Utilizacion promedio E[X] =", r4(esp16), "\n")
Utilizacion promedio E[X] = 0.7143 
cat("P(X > 0.80) =", r4(p16a), "\n")
P(X > 0.80) = 0.3446 
cat("P(X < 0.50) =", r4(p16b), "\n")
P(X < 0.50) = 0.1094 
cat("Nivel superado solo por el 10% de los dias =", r4(p16c), "\n")
Nivel superado solo por el 10% de los dias = 0.9074 
cat("Dias esperados con utilizacion > 80% en 250 dias =", r4(dias_altos), "\n")
Dias esperados con utilizacion > 80% en 250 dias = 86.16

Respuestas:

  • Modelo: \(X \sim Beta(5, 2)\).
  • Utilización promedio esperada: \(E[X] = \alpha/(\alpha+\beta) = 0.7143\) (aproximadamente 71.43 %).
  • Probabilidad de un día de alta utilización: \(P(X > 0.80) = 0.3446\).
  • Probabilidad de un día de baja utilización: \(P(X < 0.50) = 0.1094\).
  • Nivel de utilización superado únicamente por el 10 % de los días: 0.9074.
  • En 250 días se esperan aproximadamente 86 días con utilización superior al 80 %.

Problema 17: Vida útil de rodamientos (Weibull)

Modelo: la vida útil \(X\) (en horas) sigue una distribución Weibull, \(X \sim Weibull(k = 2.5,\ \lambda = 5000)\).

k <- 2.5
escala <- 5000

p17a <- pweibull(3000, shape = k, scale = escala)                       # P(X < 3000)
p17b <- pweibull(6000, shape = k, scale = escala, lower.tail = FALSE)   # P(X > 6000)
p17c <- qweibull(0.10, shape = k, scale = escala)                       # F(t) = 0.10
p17d <- qweibull(0.50, shape = k, scale = escala)                       # mediana

# Verificacion de un tiempo de reemplazo redondeado (2000 horas)
p17e <- pweibull(2000, shape = k, scale = escala)

cat("P(X < 3000) =", r4(p17a), "\n")
P(X < 3000) = 0.2434 
cat("P(X > 6000) =", r4(p17b), "\n")
P(X > 6000) = 0.2065 
cat("Tiempo con probabilidad acumulada de falla de 10% =", r4(p17c), "horas\n")
Tiempo con probabilidad acumulada de falla de 10% = 2032.55 horas
cat("Mediana de la vida util =", r4(p17d), "horas\n")
Mediana de la vida util = 4318.175 horas
cat("Prob. de falla antes de 2000 horas =", r4(p17e), "\n")
Prob. de falla antes de 2000 horas = 0.0962 
# Tasa de falla (hazard) de la Weibull: h(t) = (k/escala) * (t/escala)^(k-1)
tasa_falla <- function(t) (k / escala) * (t / escala)^(k - 1)
curve(tasa_falla(x), from = 1, to = 8000,
      xlab = "Horas", ylab = "Tasa de falla h(t)", lwd = 2,
      main = "Tasa de falla del rodamiento (Weibull, k = 2.5)")

Respuestas:

  • Modelo: \(X \sim Weibull(k = 2.5, \lambda = 5000)\).
  • \(P(X < 3000) = 0.2434\).
  • \(P(X > 6000) = 0.2065\).
  • El tiempo con probabilidad acumulada de falla del 10 % es 2032.5496 horas.
  • Mediana de la vida útil: 4318.1745 horas.
  • Interpretación de \(k = 2.5\): como \(k > 1\), la tasa de falla es creciente en el tiempo (como muestra la gráfica): los rodamientos se desgastan con el uso y la probabilidad instantánea de falla aumenta a medida que envejecen. Esto justifica el reemplazo preventivo (con \(k = 1\) la tasa sería constante y con \(k < 1\) decreciente).
  • Tiempo de reemplazo preventivo: para que no más del 10 % haya fallado, se debe reemplazar a más tardar a las 2032.5496 horas. Un valor práctico y coherente con el criterio es 2000 horas, para el cual la probabilidad de falla es 0.0962 (menor que 10 %).