# dens : función de densidad vectorizada, p. ej. function(x) dnorm(x, 100, 15)
# xlim : rango del eje x
# a, b : extremos de la región sombreada (opcionales)
graf_densidad <- function(dens, xlim, a = NULL, b = NULL,
                          titulo = "", linea = NULL, col = "steelblue") {
  xs <- seq(xlim[1], xlim[2], length.out = 500)
  plot(xs, dens(xs), type = "l", lwd = 2, col = col,
       xlab = "x", ylab = "f(x)", main = titulo)
  if (!is.null(a) && !is.null(b)) {
    a2 <- max(a, xlim[1]); b2 <- min(b, xlim[2])
    xx <- seq(a2, b2, length.out = 300)
    polygon(c(a2, xx, b2), c(0, dens(xx), 0),
            col = adjustcolor(col, alpha.f = 0.35), border = NA)
  }
  if (!is.null(linea)) abline(v = linea, lty = 2, col = "red")
}

Modelo uniforme

Problema 1

\(X \sim U(20,50)\).

a) Función de densidad

\[f(x)=\begin{cases}\dfrac{1}{30}, & 20\le x\le 50\\[2mm] 0, & \text{en otro caso}\end{cases}\]

dunif(35, min = 20, max = 50)   # = 1/30 en cualquier punto del intervalo
## [1] 0.0333333
1/30
## [1] 0.0333333

b) \(P(X\le 30)\): \(\dfrac{30-20}{30}=\dfrac{1}{3}\).

punif(30, min = 20, max = 50)
## [1] 0.333333

c) \(P(X>42)\): \(\dfrac{50-42}{30}=\dfrac{8}{30}\).

punif(42, 20, 50, lower.tail = FALSE)
## [1] 0.266667

d) \(P(25\le X<40)\): \(\dfrac{40-25}{30}=0.5\).

punif(40, 20, 50) - punif(25, 20, 50)
## [1] 0.5

e) \(x\) con \(P(X\le x)=0.80\): \(20 + 0.80\cdot 30 = 44\).

qunif(0.80, 20, 50)
## [1] 44

f) Esperanza y varianza: \(E[X]=\dfrac{a+b}{2}=35\), \(V[X]=\dfrac{(b-a)^2}{12}=75\).

a <- 20; b <- 50
c(esperanza = (a + b) / 2, varianza = (b - a)^2 / 12)
## esperanza  varianza 
##        35        75

g) Gráfica

graf_densidad(function(x) dunif(x, 20, 50), xlim = c(10, 60),
              a = 25, b = 40, titulo = "U(20, 50): sombreada P(25 <= X < 40)",
              linea = 35)

Análisis: la densidad es un rectángulo de base 30 y altura \(1/30\) (área total 1). El 80% de los valores queda por debajo de 44, es decir, 80% del camino entre 20 y 50.

Modelo normal

Problema 2

\(X\sim N(100,\,15^2)\).

mu <- 100; sigma <- 15

a) \(P(X\le 85)\): \(z=(85-100)/15=-1\), entonces \(\Phi(-1)\approx 0.1587\).

pnorm(85, mu, sigma)
## [1] 0.158655
pnorm(-1)    # mismo resultado en la escala estándar
## [1] 0.158655

b) \(P(X>120)\): \(z=1.33\), cola derecha.

pnorm(120, mu, sigma, lower.tail = FALSE)
## [1] 0.0912112

c) \(P(90\le X<115)\): \(z\) de \(-0.67\) a \(1\).

pnorm(115, mu, sigma) - pnorm(90, mu, sigma)
## [1] 0.588852

d) \(x\) tal que \(P(X\le x)=0.95\): \(z_{0.95}=1.645\), así \(x=100+1.645\cdot 15\approx 124.67\).

qnorm(0.95, mu, sigma)
## [1] 124.673
mu + qnorm(0.95) * sigma   # equivalente, mostrando la des-estandarización
## [1] 124.673

e) Intervalo central del 95%: deja 2.5% en cada cola, así que va de \(q_{0.025}\) a \(q_{0.975}\), es decir \(\mu\pm 1.96\,\sigma\).

c(inferior = qnorm(0.025, mu, sigma), superior = qnorm(0.975, mu, sigma))
## inferior superior 
##  70.6005 129.3995

f) Gráfica (central 95% sombreado, y para contraste el 95% acumulado en otra gráfica)

par(mfrow = c(1, 2))
graf_densidad(function(x) dnorm(x, mu, sigma), c(40, 160),
              a = qnorm(0.025, mu, sigma), b = qnorm(0.975, mu, sigma),
              titulo = "Región central 95%", linea = mu)
graf_densidad(function(x) dnorm(x, mu, sigma), c(40, 160),
              a = 40, b = qnorm(0.95, mu, sigma),
              titulo = "Región acumulada 95% (P(X <= x))", linea = mu)

par(mfrow = c(1, 1))

Análisis: ambas regiones sombreadas tienen probabilidad cercana a 0.95, pero no son la misma región: la central deja 2.5% en cada cola, la acumulada deja todo el 5% restante en la cola derecha . Por eso 124.67 (acumulado) y 129.4 (límite central superior) son diferentes.

Problema 3

\(X\sim N(72,\,8^2)\).

mu <- 72; sigma <- 8

a) \(P(X<60)\): \(z=-1.5\).

pnorm(60, mu, sigma)
## [1] 0.0668072

b) \(P(X\ge 80)\): \(z=1\); cola derecha.

pnorm(80, mu, sigma, lower.tail = FALSE)
## [1] 0.158655

c) \(P(68\le X\le 76)\): los extremos están a \(\mp 4\) de la media (\(z=\mp 0.5\)), es decir, simétricos. Por la simetría de la curva, \(P=2\,\Phi(0.5)-1\).

pnorm(76, mu, sigma) - pnorm(68, mu, sigma)
## [1] 0.382925
2 * pnorm(0.5) - 1   # comprobación usando simetría
## [1] 0.382925

d) Percentil 90: \(z_{0.90}=1.2816\), así \(x=72+1.2816\cdot 8\approx 82.25\).

qnorm(0.90, mu, sigma)
## [1] 82.2524

e) Valor que deja 5% por encima: equivale al percentil 95.

qnorm(0.05, mu, sigma, lower.tail = FALSE)
## [1] 85.1588
qnorm(0.95, mu, sigma)    # mismo valor
## [1] 85.1588

f) Gráfica con la media

graf_densidad(function(x) dnorm(x, mu, sigma), c(40, 104),
              a = 68, b = 76, titulo = "N(72, 8^2): P(68 <= X <= 76)", linea = mu)

Análisis: el 38.3% de los datos cae a \(\pm 0.5\sigma\) de la media, y el percentil 90 (82.25) está por encima de la media, como debe ser.

Problema 4

\(X\sim N(500,\,40^2)\).

mu <- 500; sigma <- 40

a) \(P(X\le 450)\): \(z=-1.25\).

pnorm(450, mu, sigma)
## [1] 0.10565

b) \(P(X>575)\): \(z=1.875\).

pnorm(575, mu, sigma, lower.tail = FALSE)
## [1] 0.0303964

c) \(P(480<X<540)\)

pnorm(540, mu, sigma) - pnorm(480, mu, sigma)
## [1] 0.532807

d) 80% central: deja 10% en cada cola, así que los límites son \(q_{0.10}\) y \(q_{0.90}\).

c(inferior = qnorm(0.10, mu, sigma), superior = qnorm(0.90, mu, sigma))
## inferior superior 
##  448.738  551.262

e) Percentil 99

qnorm(0.99, mu, sigma)
## [1] 593.054

f) Gráfica

graf_densidad(function(x) dnorm(x, mu, sigma), c(360, 640),
              a = qnorm(0.10, mu, sigma), b = qnorm(0.90, mu, sigma),
              titulo = "N(500, 40^2): 80% central", linea = mu)

Análisis: una diferencia de 75 unidades respecto a la media equivale a casi 2 desviaciones, por eso su cola es pequeña (3%); la misma diferencia con una \(\sigma\) mayor sería menos extrema.

Modelo exponencial

Problema 5

\[F(x)=1-e^{-\lambda x},\qquad P(X>x)=e^{-\lambda x}\]

lambda <- 0.25

a) \(P(X\le 2)\): \(1-e^{-0.5}\).

pexp(2, rate = lambda)
## [1] 0.393469

b) \(P(X>5)\): \(e^{-1.25}\).

pexp(5, rate = lambda, lower.tail = FALSE)
## [1] 0.286505

c) \(P(2<X\le 6)\): \(e^{-0.5}-e^{-1.5}\).

pexp(6, lambda) - pexp(2, lambda)
## [1] 0.3834

d) \(x\) con \(P(X\le x)=0.90\): \(x=-\ln(0.10)/\lambda\).

qexp(0.90, rate = lambda)
## [1] 9.21034
-log(0.10) / lambda
## [1] 9.21034

e) Esperanza y varianza: \(E[X]=1/\lambda=4\), \(V[X]=1/\lambda^2=16\).

c(esperanza = 1 / lambda, varianza = 1 / lambda^2)
## esperanza  varianza 
##         4        16

f) Gráfica

graf_densidad(function(x) dexp(x, lambda), c(0, 25), a = 2, b = 6,
              titulo = "Exp(0.25): P(2 < X <= 6)", linea = 1 / lambda)

Análisis: la curva es decreciente: lo más probable son tiempos cortos, pero con cola larga hacia la derecha. Con \(E[X]=4\), que la desviación estándar (\(\sqrt{16}=4\)) sea igual a la media es una característica propia de la exponencial.

Modelo lognormal

Problema 6

ml <- 3.5; sl <- 0.40

a) \(P(X\le 25)\)

plnorm(25, ml, sl)
## [1] 0.241087
pnorm((log(25) - ml) / sl)   # comprobación por estandarización
## [1] 0.241087

b) \(P(X>50)\)

plnorm(50, ml, sl, lower.tail = FALSE)
## [1] 0.151492

c) \(P(20\le X<40)\)

plnorm(40, ml, sl) - plnorm(20, ml, sl)
## [1] 0.577893

d) Mediana: \(e^{\mu}=e^{3.5}\approx 33.12\).

qlnorm(0.50, ml, sl)
## [1] 33.1155
exp(ml)
## [1] 33.1155

e) Percentil 90

qlnorm(0.90, ml, sl)
## [1] 55.2916

f) Esperanza y varianza

\[E[X]=e^{\mu+\sigma^2/2},\qquad V[X]=(e^{\sigma^2}-1)\,e^{2\mu+\sigma^2}\]

esp <- exp(ml + sl^2 / 2)
var <- (exp(sl^2) - 1) * exp(2 * ml + sl^2)
c(esperanza = esp, varianza = var, desv_est = sqrt(var))
## esperanza  varianza  desv_est 
##   35.8735  223.2930   14.9430

g) Gráfica

graf_densidad(function(x) dlnorm(x, ml, sl), c(0, 120), a = 20, b = 40,
              titulo = "Lognormal(3.5, 0.4^2): P(20 <= X < 40)", linea = exp(ml))

Análisis: la media (35.87) es mayor que la mediana (33.12): la lognormal tiene asimetría positiva. El logaritmo preserva el orden de los valores (si \(x_1<x_2\) entonces \(\ln x_1<\ln x_2\)), pero no conserva el centro ni las distancias, por eso \(e^{E[\ln X]}\) es la mediana y no la media.

Modelo gamma

Problema 7

alfa <- 3; lambda <- 0.5

a) \(P(X\le 4)\)

pgamma(4, shape = alfa, rate = lambda)
## [1] 0.323324

b) \(P(X>8)\)

pgamma(8, shape = alfa, rate = lambda, lower.tail = FALSE)
## [1] 0.238103

c) \(P(3\le X<7)\)

pgamma(7, alfa, lambda) - pgamma(3, alfa, lambda)
## [1] 0.488

d) Percentil 95: se busca el valor que acumula 95% (Pista 2), usando qgamma.

qgamma(0.95, shape = alfa, rate = lambda)
## [1] 12.5916

e) Esperanza y varianza: \(E[X]=\alpha/\lambda=6\), \(V[X]=\alpha/\lambda^2=12\).

c(esperanza = alfa / lambda, varianza = alfa / lambda^2)
## esperanza  varianza 
##         6        12

f) Gráfica

graf_densidad(function(x) dgamma(x, alfa, lambda), c(0, 25), a = 3, b = 7,
              titulo = "Gamma(3, 0.5): P(3 <= X < 7)", linea = alfa / lambda)

Análisis: todos los valores son positivos. Con \(\alpha=3\) la densidad crece desde 0, alcanza su moda en \((\alpha-1)/\lambda=4\) y tiene cola derecha.

Modelo beta

Problema 8

a <- 2.5; b <- 4

a) \(P(X\le 0.30)\)

pbeta(0.30, a, b)
## [1] 0.352198

b) \(P(X>0.60)\)

pbeta(0.60, a, b, lower.tail = FALSE)
## [1] 0.129973

c) \(P(0.20\le X<0.50)\)

pbeta(0.50, a, b) - pbeta(0.20, a, b)
## [1] 0.57225

d) Percentil 75

qbeta(0.75, a, b)
## [1] 0.508826

e) Esperanza y varianza

\[E[X]=\frac{\alpha}{\alpha+\beta},\qquad V[X]=\frac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}\]

c(esperanza = a / (a + b), varianza = a * b / ((a + b)^2 * (a + b + 1)))
## esperanza  varianza 
## 0.3846154 0.0315582

f) Gráfica

graf_densidad(function(x) dbeta(x, a, b), c(0, 1), a = 0.20, b = 0.50,
              titulo = "Beta(2.5, 4): P(0.2 <= X < 0.5)", linea = a / (a + b))

Análisis: como \(\beta>\alpha\), la masa se concentra a la izquierda del 0.5: la media es \(0.385<0.5\)

Modelo Weibull

Problema 9

\[F(x)=1-e^{-(x/\lambda)^k}\]

k <- 2; lambda <- 1000

a) \(P(X\le 500)\): \(1-e^{-0.25}\).

pweibull(500, shape = k, scale = lambda)
## [1] 0.221199

(probabilidad de “superar el tiempo”).

pweibull(1200, k, lambda, lower.tail = FALSE)
## [1] 0.236928

c) \(P(600\le X<1000)\)

pweibull(1000, k, lambda) - pweibull(600, k, lambda)
## [1] 0.329797

d) Mediana: \(\lambda(\ln 2)^{1/k}\).

qweibull(0.50, k, lambda)
## [1] 832.555
lambda * log(2)^(1 / k)
## [1] 832.555

e) Percentil 90: \(\lambda(-\ln 0.10)^{1/k}\).

qweibull(0.90, k, lambda)
## [1] 1517.43

f) Gráfica

graf_densidad(function(x) dweibull(x, k, lambda), c(0, 2500), a = 600, b = 1000,
              titulo = "Weibull(k=2, escala=1000): P(600 <= X < 1000)",
              linea = qweibull(0.5, k, lambda))

Minicasos

Problema 10 - Validación de pedidos (uniforme)

Modelo: \(T\sim U(1.5,\ 4.5)\) segundos. Densidad \(=1/3\).

a <- 1.5; b <- 4.5

a) Modelo y parámetros: uniforme continua con \(a=1.5\), \(b=4.5\) (no hay zonas favorecidas, Pista 1).

b) \(P(T<3)\): \((3-1.5)/3=0.5\).

punif(3, a, b)
## [1] 0.5

c) \(P(2<T<4)\): \((4-2)/3=2/3\).

punif(4, a, b) - punif(2, a, b)
## [1] 0.666667

d) Inicio del 10% más lento: es el percentil 90.

qunif(0.90, a, b)
## [1] 4.2

Una validación es excepcionalmente lenta si tarda más de 4.2 segundos.

e) Criterio de desempeño: el criterio exige que \(P(T<3)\) supere el 45%.

punif(3, a, b) > 0.45
## [1] TRUE

Conclusión: \(0.50>0.45\), por lo tanto sí se cumple el criterio.

graf_densidad(function(x) dunif(x, a, b), c(1, 5), a = 1.5, b = 3,
              titulo = "Validación: P(T < 3) = 0.5", linea = qunif(0.9, a, b))

Problema 11 - Máquina empacadora (normal)

Modelo: \(X\sim N(500,\ 8^2)\) gramos.

mu <- 500; sigma <- 8

a) Modelo: normal con \(\mu=500\), \(\sigma=8\).

b) Proporción dentro de 485 a 515: son \(\pm 15\) g, es decir \(\pm 1.875\sigma\).

prop_ok <- pnorm(515, mu, sigma) - pnorm(485, mu, sigma)
prop_ok
## [1] 0.939207

c) \(P(X>520)\): \(z=2.5\).

pnorm(520, mu, sigma, lower.tail = FALSE)
## [1] 0.00620967

d) Región de revisión individual: 2% más bajo y 2% más alto, es decir \(q_{0.02}\) y \(q_{0.98}\)

c(inferior = qnorm(0.02, mu, sigma), superior = qnorm(0.98, mu, sigma))
## inferior superior 
##   483.57   516.43

e) Bolsas fuera del intervalo de aceptación entre 10000:

10000 * (1 - prop_ok)
## [1] 607.927

Se esperan alrededor de 608 bolsas fuera de 485 a 515 g.

f) ¿Basta con centrar en 500 g? :

sds <- c(5, 8, 12)
data.frame(
  sigma = sds,
  fuera_de_especificacion = sapply(sds, function(s)
    1 - (pnorm(515, 500, s) - pnorm(485, 500, s)))
)

Conclusión: no. Centrar en 500 g es necesario, pero no suficiente: la proporción fuera de especificación depende fuertemente de \(\sigma\) (con \(\sigma=5\) sale 0.27%, con \(\sigma=8\) 6.08% y con \(\sigma=12\) 21.1%). Hay que controlar también la variabilidad.

graf_densidad(function(x) dnorm(x, mu, sigma), c(470, 530), a = 485, b = 515,
              titulo = "Aceptación: 485 a 515 g", linea = mu)

Problema 12 - Prueba estandarizada (normal)

Modelo: \(X\sim N(70,\ 10^2)\).

mu <- 70; sigma <- 10

a) Modelo: normal con \(\mu=70\), \(\sigma=10\).

b) \(P(65\le X\le 85)\)

pnorm(85, mu, sigma) - pnorm(65, mu, sigma)
## [1] 0.624655

c) Puntaje mínimo del 10% superior: percentil 90.

qnorm(0.90, mu, sigma)
## [1] 82.8155

Se requieren al menos 82.82 puntos.

d) Puntaje máximo del 15% inferior: percentil 15.

qnorm(0.15, mu, sigma)
## [1] 59.6357

Quienes obtengan 59.64 puntos o menos reciben acompañamiento.

e) \(P(X>90)\): \(z=2\).

pnorm(90, mu, sigma, lower.tail = FALSE)
## [1] 0.0227501

f) Cantidades esperadas con 600 estudiantes: proporción \(\times\) \(n\).

n <- 600
c(reconocimiento = 0.10 * n, acompanamiento = 0.15 * n)
## reconocimiento acompanamiento 
##             60             90

Se esperan 60 estudiantes reconocidos y 90 con acompañamiento.

Problema 13 - Interrupciones del servidor (exponencial)

Modelo: \(T\sim\text{Exp}(\lambda)\) con media 200 h, por lo tanto \(\lambda=1/200=0.005\) interrupciones por hora .

lambda <- 1 / 200
lambda
## [1] 0.005

a) Modelo: exponencial con \(\lambda=0.005\ \text{h}^{-1}\).

b) \(P(T>300)\): \(e^{-1.5}\).

pexp(300, lambda, lower.tail = FALSE)
## [1] 0.22313

c) \(P(100<T<250)\)

pexp(250, lambda) - pexp(100, lambda)
## [1] 0.320026

d) Tiempo con probabilidad acumulada 20%: \(-\ln(0.8)/\lambda\).

qexp(0.20, lambda)
## [1] 44.6287

Conviene hacer mantenimiento preventivo antes de unas 44.6 horas.

e) \(P(T>250\mid T>150)\), es decir, 100 horas adicionales:

\[P(T>150+100\mid T>150)=\frac{P(T>250)}{P(T>150)}=\frac{e^{-1.25}}{e^{-0.75}}=e^{-0.5}\]

pexp(250, lambda, lower.tail = FALSE) / pexp(150, lambda, lower.tail = FALSE)
## [1] 0.606531
pexp(100, lambda, lower.tail = FALSE)   # igual a P(T > 100), sin condicionar
## [1] 0.606531

f) Propiedad: la pérdida de memoria de la exponencial: \(P(T>s+t\mid T>s)=P(T>t)\). Que el servidor ya haya operado 150 h sin fallar no cambia la probabilidad de que opere 100 h más .

graf_densidad(function(x) dexp(x, lambda), c(0, 1000), a = 100, b = 250,
              titulo = "Exp(0.005): P(100 < T < 250)", linea = 200)

Problema 14 - Costos de reparación (lognormal)

Modelo: \(\ln X\sim N(1.2,\ 0.5^2)\), con \(X\) en millones de pesos.

ml <- 1.2; sl <- 0.5

a) Modelo: lognormal con \(\mu=1.2\) y \(\sigma=0.5\) (parámetros del logaritmo).

b) \(P(X<3)\)

plnorm(3, ml, sl)
## [1] 0.419655

c) \(P(X>5)\)

plnorm(5, ml, sl, lower.tail = FALSE)
## [1] 0.206429

d) Costo mediano: \(e^{1.2}\).

qlnorm(0.50, ml, sl)
## [1] 3.32012

e) Valor superado solo por el 5%: percentil 95.

qlnorm(0.95, ml, sl)
## [1] 7.55664

f) Media vs mediana

c(mediana = exp(ml), media = exp(ml + sl^2 / 2))
## mediana   media 
## 3.32012 3.76219

Conclusión: la media (3.76) es mayor que la mediana (3.32). En una lognormal las pocas reparaciones muy costosas “jalan” la media hacia arriba, pero casi no mueven la mediana . Por eso para fijar presupuestos conviene mirar también percentiles altos, no solo el promedio.

Problema 15 - Soporte técnico (gamma)

Modelo: \(T\sim\text{Gamma}(\alpha=4,\ \lambda=0.20)\) por minuto. Se interpreta como la suma de \(\alpha=4\) etapas, cada una exponencial con tasa \(0.20\) .

alfa <- 4; lambda <- 0.20

a) Modelo: gamma con forma 4 y tasa 0.20 (escala \(=5\) min).

b) Tiempo promedio: \(\alpha/\lambda=20\) min.

alfa / lambda
## [1] 20

c) \(P(T<30)\)

pgamma(30, alfa, lambda)
## [1] 0.848796

d) \(P(15<T<25)\)

pgamma(25, alfa, lambda) - pgamma(15, alfa, lambda)
## [1] 0.382206

e) Tiempo no superado por el 90%: percentil 90.

qgamma(0.90, alfa, lambda)
## [1] 33.4039

f) Evaluación de la promesa: se exige \(P(T<30)\ge 0.80\).

pgamma(30, alfa, lambda) >= 0.80
## [1] TRUE

Conclusión: \(P(T<30)=0.8488\ge 0.80\), por lo que sí se cumple la meta. Observe que el promedio de 20 minutos no lo garantiza por sí solo: lo relevante es la proporción acumulada hasta 30 min.

graf_densidad(function(x) dgamma(x, alfa, lambda), c(0, 80), a = 0, b = 30,
              titulo = "Gamma(4, 0.2): P(T < 30)", linea = alfa / lambda)

Problema 16 - Utilización de capacidad (beta)

Modelo: \(U\sim\text{Beta}(5,\ 2)\) en \([0,1]\) .

a <- 5; b <- 2

a) Modelo: beta con \(\alpha=5\), \(\beta=2\).

b) Utilización promedio: \(\dfrac{5}{7}\approx 0.7143\).

a / (a + b)
## [1] 0.714286

c) Alta utilización, \(P(U>0.80)\)

p_alta <- pbeta(0.80, a, b, lower.tail = FALSE)
p_alta
## [1] 0.34464

d) Baja utilización, \(P(U<0.50)\)

pbeta(0.50, a, b)
## [1] 0.109375

e) Nivel superado solo por el 10% de los días: percentil 90.

qbeta(0.90, a, b)
## [1] 0.907405

f) Días esperados con utilización \(>80\%\) en 250 días: .

250 * p_alta
## [1] 86.16

Se esperan alrededor de 86 días.

graf_densidad(function(x) dbeta(x, a, b), c(0, 1), a = 0.80, b = 1,
              titulo = "Beta(5, 2): alta utilización (U > 0.8)", linea = a / (a + b))

Problema 17 - Vida útil de rodamientos (Weibull)

Modelo: \(T\sim\text{Weibull}(k=2.5,\ \lambda=5000)\) horas.

k <- 2.5; lambda <- 5000

a) Modelo: Weibull con forma 2.5 y escala 5000 h.

b) \(P(T<3000)\)

pweibull(3000, k, lambda)
## [1] 0.24335

c) \(P(T>6000)\)

pweibull(6000, k, lambda, lower.tail = FALSE)
## [1] 0.206503

d) Tiempo con 10% de fallas acumuladas: .

t10 <- qweibull(0.10, k, lambda)
t10
## [1] 2032.55

e) Mediana

qweibull(0.50, k, lambda)
## [1] 4318.17

f) Interpretación de \(k=2.5\): la tasa de falla de una Weibull es \(h(t)=\dfrac{k}{\lambda}\left(\dfrac{t}{\lambda}\right)^{k-1}\). Como \(k>1\), la tasa de falla aumenta con el tiempo: el rodamiento se desgasta y el riesgo crece con la edad.

h <- function(t) (k / lambda) * (t / lambda)^(k - 1)
sapply(c(1000, 2000, 3000, 4000, 5000), h)   # crece con t
## [1] 4.47214e-05 1.26491e-04 2.32379e-04 3.57771e-04 5.00000e-04

g) Reemplazo preventivo: para que no más del 10% haya fallado, el reemplazo debe ocurrir a más tardar en \(t_{10}\approx 2032.5\) h. Un valor coherente y práctico es 2000 horas, para el cual la probabilidad de falla acumulada es:

pweibull(2000, k, lambda)   # < 0.10, cumple el criterio
## [1] 0.0962413
graf_densidad(function(x) dweibull(x, k, lambda), c(0, 10000), a = 0, b = t10,
              titulo = "Weibull(2.5, 5000): primer 10% de fallas", linea = t10)