Taller 341

Problema 1

\(X \sim U(20, 50)\)

Función de densidad:

\[ f_X(x) = \begin{cases} \dfrac{1}{50-20} = \dfrac{1}{30}, & 20 \le x \le 50 \\ 0, & \text{en otro caso} \end{cases} \]

a <- 20; b <- 50

p1 <- punif(30, a, b)                       
p2 <- punif(42, a, b, lower.tail = FALSE)   
p3 <- punif(40, a, b) - punif(25, a, b)     
x80 <- qunif(0.80, a, b)                    
EX <- (a + b) / 2
VX <- (b - a)^2 / 12

c(p1, p2, p3, x80, EX, VX)

[1]  0.3333333  0.2666667  0.5000000 44.0000000 35.0000000 75.0000000

• \(P(X \le 30) =\) 0.3333
• \(P(X > 42) =\) 0.2667
• \(P(25 \le X < 40) =\) 0.5
• \(x\) tal que \(P(X \le x) = 0.80\): \(x =\) 44
• \(E[X] = \dfrac{a+b}{2} =\) 35 y \(V[X] = \dfrac{(b-a)^2}{12} =\) 75

curve(dunif(x, a, b), from = 10, to = 60, n = 1000, lwd = 2, col = "blue",
      ylab = "f(x)", main = "Densidad U(20, 50)")

Problema 2

\(X \sim N(100, 15^2)\)

mu <- 100; s <- 15

p1 <- pnorm(85, mu, s)                          
p2 <- pnorm(120, mu, s, lower.tail = FALSE) 
p3 <- pnorm(115, mu, s) - pnorm(90, mu, s)      
x95 <- qnorm(0.95, mu, s)                     
int95 <- qnorm(c(0.025, 0.975), mu, s)          

c(p1, p2, p3, x95); int95

[1]   0.15865525   0.09121122   0.58885221 124.67280440

[1]  70.60054 129.39946

• \(P(X \le 85) =\) 0.1587
• \(P(X > 120) =\) 0.0912
• \(P(90 \le X < 115) =\) 0.5889
• \(x\) tal que \(P(X \le x) = 0.95\): \(x =\) 124.6728
• Intervalo central del 95%: [70.6005, 129.3995], es decir, \(\mu \pm 1.96\sigma\).

curve(dnorm(x, mu, s), from = mu - 4*s, to = mu + 4*s, lwd = 2, col = "blue",
      ylab = "f(x)", main = "Densidad N(100, 15^2)")
abline(v = int95, lty = 2, col = "red")

Problema 3

\(X \sim N(72, 8^2)\)

mu <- 72; s <- 8

p1 <- pnorm(60, mu, s)                         
p2 <- pnorm(80, mu, s, lower.tail = FALSE)      
p3 <- pnorm(76, mu, s) - pnorm(68, mu, s)       
p90 <- qnorm(0.90, mu, s)                       
x5 <- qnorm(0.05, mu, s, lower.tail = FALSE)    

c(p1, p2, p3, p90, x5)

[1]  0.0668072  0.1586553  0.3829249 82.2524125 85.1588290

• \(P(X < 60) =\) 0.0668
• \(P(X \ge 80) =\) 0.1587
• \(P(68 \le X \le 76) =\) 0.3829 (intervalo simétrico alrededor de la media)
• Percentil 90: 82.2524
• Valor que deja por encima el 5%: 85.1588 (es el percentil 95)

curve(dnorm(x, mu, s), from = mu - 4*s, to = mu + 4*s, lwd = 2, col = "blue",
      ylab = "f(x)", main = "Densidad N(72, 8^2)")
abline(v = mu, lty = 2, col = "red")
text(mu, 0.002, expression(mu == 72), pos = 4, col = "red")

Problema 4

\(X \sim N(500, 40^2)\)

mu <- 500; s <- 40

p1 <- pnorm(450, mu, s)                        
p2 <- pnorm(575, mu, s, lower.tail = FALSE)     
p3 <- pnorm(540, mu, s) - pnorm(480, mu, s)     
int80 <- qnorm(c(0.10, 0.90), mu, s)            
p99 <- qnorm(0.99, mu, s)                       

c(p1, p2, p3, p99); int80

[1]   0.10564977   0.03039636   0.53280721 593.05391496

[1] 448.7379 551.2621

• \(P(X \le 450) =\) 0.1056
• \(P(X > 575) =\) 0.0304
• \(P(480 < X < 540) =\) 0.5328
• 80% central: entre 448.7379 y 551.2621
• Percentil 99: 593.0539

curve(dnorm(x, mu, s), from = mu - 4*s, to = mu + 4*s, lwd = 2, col = "blue",
      ylab = "f(x)", main = "Densidad N(500, 40^2)")
abline(v = int80, lty = 2, col = "red")

Problema 5

\(X \sim Exp(\lambda = 0.25)\)

lam <- 0.25

p1 <- pexp(2, lam)                              
p2 <- pexp(5, lam, lower.tail = FALSE)          
p3 <- pexp(6, lam) - pexp(2, lam)               
x90 <- qexp(0.90, lam)                          
EX <- 1 / lam
VX <- 1 / lam^2

c(p1, p2, p3, x90, EX, VX)

[1]  0.3934693  0.2865048  0.3834005  9.2103404  4.0000000 16.0000000

• \(P(X \le 2) =\) 0.3935
• \(P(X > 5) =\) 0.2865
• \(P(2 < X \le 6) =\) 0.3834
• \(x\) tal que \(P(X \le x) = 0.90\): \(x =\) 9.2103
• \(E[X] = 1/\lambda =\) 4 y \(V[X] = 1/\lambda^2 =\) 16

curve(dexp(x, lam), from = 0, to = 25, lwd = 2, col = "blue",
      ylab = "f(x)", main = "Densidad Exp(0.25)")

Problema 6

\(X \sim Lognormal(3.5, 0.40^2)\), donde \(\ln(X) \sim N(3.5, 0.40^2)\).

m <- 3.5; s <- 0.40

p1 <- plnorm(25, m, s)                          
p2 <- plnorm(50, m, s, lower.tail = FALSE)      
p3 <- plnorm(40, m, s) - plnorm(20, m, s)       
med <- qlnorm(0.50, m, s)                       
p90 <- qlnorm(0.90, m, s)                       
EX <- exp(m + s^2 / 2)
VX <- (exp(s^2) - 1) * exp(2*m + s^2)

c(p1, p2, p3, med, p90, EX, VX)

[1]   0.2410869   0.1514915   0.5778935  33.1154520  55.2915794  35.8735408
[7] 223.2930369

• \(P(X \le 25) =\) 0.2411
• \(P(X > 50) =\) 0.1515
• \(P(20 \le X < 40) =\) 0.5779
• Mediana: \(e^{\mu} =\) 33.1155
• Percentil 90: 55.2916
• \(E[X] = e^{\mu + \sigma^2/2} =\) 35.8735 y \(V[X] = (e^{\sigma^2}-1)e^{2\mu+\sigma^2} =\) 223.293

curve(dlnorm(x, m, s), from = 0, to = 120, n = 1000, lwd = 2, col = "blue",
      ylab = "f(x)", main = "Densidad Lognormal(3.5, 0.40^2)")

Problema 7

\(X \sim Gamma(\alpha = 3, \lambda = 0.5)\) (parámetro de tasa).

al <- 3; lam <- 0.5

p1 <- pgamma(4, shape = al, rate = lam)                       
p2 <- pgamma(8, shape = al, rate = lam, lower.tail = FALSE)   
p3 <- pgamma(7, al, rate = lam) - pgamma(3, al, rate = lam)   
p95 <- qgamma(0.95, shape = al, rate = lam)                   
EX <- al / lam
VX <- al / lam^2

c(p1, p2, p3, p95, EX, VX)

[1]  0.3233236  0.2381033  0.4879996 12.5915872  6.0000000 12.0000000

• \(P(X \le 4) =\) 0.3233
• \(P(X > 8) =\) 0.2381
• \(P(3 \le X < 7) =\) 0.488
• Percentil 95: 12.5916
• \(E[X] = \alpha/\lambda =\) 6 y \(V[X] = \alpha/\lambda^2 =\) 12

curve(dgamma(x, shape = al, rate = lam), from = 0, to = 25, lwd = 2, col = "blue",
      ylab = "f(x)", main = "Densidad Gamma(3, 0.5)")

Problema 8

\(X \sim Beta(2.5, 4)\)

a <- 2.5; b <- 4

p1 <- pbeta(0.30, a, b)                         
p2 <- pbeta(0.60, a, b, lower.tail = FALSE)     
p3 <- pbeta(0.50, a, b) - pbeta(0.20, a, b)     
p75 <- qbeta(0.75, a, b)                        
EX <- a / (a + b)
VX <- (a * b) / ((a + b)^2 * (a + b + 1))

c(p1, p2, p3, p75, EX, VX)

[1] 0.35219759 0.12997302 0.57225015 0.50882608 0.38461538 0.03155819

• \(P(X \le 0.30) =\) 0.3522
• \(P(X > 0.60) =\) 0.13
• \(P(0.20 \le X < 0.50) =\) 0.5723
• Percentil 75: 0.5088
• \(E[X] = \dfrac{\alpha}{\alpha+\beta} =\) 0.3846 y \(V[X] = \dfrac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)} =\) 0.0316

curve(dbeta(x, a, b), from = 0, to = 1, lwd = 2, col = "blue",
      ylab = "f(x)", main = "Densidad Beta(2.5, 4)")

Problema 9

\(X \sim Weibull(k = 2, \lambda = 1000)\)

k <- 2; lam <- 1000

p1 <- pweibull(500, k, lam)                           
p2 <- pweibull(1200, k, lam, lower.tail = FALSE)      
p3 <- pweibull(1000, k, lam) - pweibull(600, k, lam)  
med <- qweibull(0.50, k, lam)                         
p90 <- qweibull(0.90, k, lam)                         

c(p1, p2, p3, med, p90)

[1]    0.2211992    0.2369278    0.3297969  832.5546112 1517.4271294

• \(P(X \le 500) =\) 0.2212
• \(P(X > 1200) =\) 0.2369
• \(P(600 \le X < 1000) =\) 0.3298
• Mediana: \(\lambda(\ln 2)^{1/k} =\) 832.5546
• Percentil 90: 1517.4271

curve(dweibull(x, k, lam), from = 0, to = 3000, lwd = 2, col = "blue",
      ylab = "f(x)", main = "Densidad Weibull(k = 2, lambda = 1000)")

Problema 10

Modelo: \(X\) = tiempo de validación (segundos), \(X \sim U(1.5, 4.5)\).

a <- 1.5; b <- 4.5

p_menos3 <- punif(3, a, b)                     
p_2a4 <- punif(4, a, b) - punif(2, a, b)       
lento <- qunif(0.90, a, b)                     

c(p_menos3, p_2a4, lento)

[1] 0.5000000 0.6666667 4.2000000

• \(P(X < 3) =\) 0.5
• \(P(2 < X < 4) =\) 0.6667
• Una operación está en el 10% más lento si tarda más de 4.2 segundos.
• Criterio de desempeño: \(P(X < 3) =\) 0.5 \(> 0.45\), por lo tanto sí se cumple el criterio.

curve(dunif(x, a, b), from = 1, to = 5, n = 1000, lwd = 2, col = "blue",
      ylab = "f(x)", main = "Tiempo de validación ~ U(1.5, 4.5)")
abline(v = lento, lty = 2, col = "red")

Problema 11

Modelo: \(X\) = peso de la bolsa (g), \(X \sim N(500, 8^2)\).

mu <- 500; s <- 8

p_acept <- pnorm(515, mu, s) - pnorm(485, mu, s)   
p_520 <- pnorm(520, mu, s, lower.tail = FALSE)     
revision <- qnorm(c(0.02, 0.98), mu, s)           
fuera <- 10000 * (1 - p_acept)                     

c(p_acept, p_520, fuera); revision

[1]   0.939207276   0.006209665 607.927235305

[1] 483.57 516.43

• Proporción de bolsas aceptadas: 0.9392 (aprox. 93.92%).
• \(P(X > 520) =\) 0.0062
• Región de revisión individual: pesos menores a 483.57 g o mayores a 516.43 g.
• De 10000 bolsas se esperan aproximadamente 608 fuera del intervalo de aceptación.
• Análisis: centrar el proceso en 500 g no basta. La proporción fuera de especificación depende también de la desviación estándar: los límites están a \(\pm 15\) g, es decir, a solo \(15/8 =\) 1.875 desviaciones de la media. Con la misma media pero mayor variabilidad, la proporción de bolsas rechazadas aumentaría; por ejemplo, con \(\sigma = 12\) sería:

1 - (pnorm(515, 500, 12) - pnorm(485, 500, 12))

[1] 0.2112995

Problema 12

Modelo: \(X\) = calificación, \(X \sim N(70, 10^2)\).

mu <- 70; s <- 10

p_65_85 <- pnorm(85, mu, s) - pnorm(65, mu, s)   
top10 <- qnorm(0.90, mu, s)                      
bajo15 <- qnorm(0.15, mu, s)                     
p_90 <- pnorm(90, mu, s, lower.tail = FALSE)     
n <- 600

c(p_65_85, top10, bajo15, p_90, n * 0.10, n * 0.15)

[1]  0.62465526 82.81551566 59.63566611  0.02275013 60.00000000 90.00000000

• \(P(65 \le X \le 85) =\) 0.6247
• Puntaje mínimo para el 10% superior: 82.82 puntos.
• Puntaje máximo del 15% inferior: 59.64 puntos.
• \(P(X > 90) =\) 0.0228
• De 600 estudiantes se esperan 60 con reconocimiento (\(600 \times 0.10\)) y 90 en acompañamiento (\(600 \times 0.15\)). Son cantidades esperadas; los valores observados pueden variar.

Problema 13

Modelo: \(X\) = horas hasta la interrupción, \(X \sim Exp(\lambda)\), con \(E[X] = 1/\lambda = 200 \Rightarrow \lambda = 1/200 = 0.005\) interrupciones por hora.

lam <- 1/200

p_300 <- pexp(300, lam, lower.tail = FALSE)          
p_100_250 <- pexp(250, lam) - pexp(100, lam)         
t20 <- qexp(0.20, lam)                               
p_cond <- pexp(100, lam, lower.tail = FALSE)         

c(lam, p_300, p_100_250, t20, p_cond)

[1]  0.0050000  0.2231302  0.3200259 44.6287103  0.6065307

• \(P(X > 300) =\) 0.2231
• \(P(100 < X < 250) =\) 0.32
• La probabilidad acumulada de interrupción llega al 20% en \(t =\) 44.63 horas, así que el mantenimiento preventivo debería hacerse antes de ese tiempo.
• \(P(X > 250 \mid X > 150) = P(X > 100) =\) 0.6065
• Propiedad: la falta de memoria de la exponencial, \(P(X > s + t \mid X > s) = P(X > t)\). Haber operado 150 horas sin fallas no cambia la probabilidad de las 100 horas siguientes.

Problema 14

Modelo: \(X\) = costo (millones de pesos), \(X \sim Lognormal(1.2, 0.5^2)\), con \(\ln(X) \sim N(1.2, 0.5^2)\).

m <- 1.2; s <- 0.5

p_3 <- plnorm(3, m, s)                           
p_5 <- plnorm(5, m, s, lower.tail = FALSE)       
mediana <- qlnorm(0.5, m, s)                     
p95 <- qlnorm(0.95, m, s)                        
media <- exp(m + s^2 / 2)

c(p_3, p_5, mediana, p95, media)

[1] 0.4196553 0.2064286 3.3201169 7.5566413 3.7621854

• \(P(X < 3) =\) 0.4197
• \(P(X > 5) =\) 0.2064
• Costo mediano: \(e^{1.2} =\) 3.3201 millones.
• Valor superado solo por el 5%: 7.5566 millones.
• Media vs. mediana: la media es \(e^{1.2 + 0.5^2/2} =\) 3.7622 millones, mayor que la mediana (3.3201). La lognormal tiene asimetría positiva: unas pocas reparaciones muy costosas alargan la cola derecha y jalan la media hacia arriba, mientras que la mediana no se ve afectada por esos valores extremos.

Problema 15

Modelo: \(X\) = tiempo total de atención (min), \(X \sim Gamma(\alpha = 4, \lambda = 0.20)\) (suma de 4 etapas exponenciales con tasa 0.20).

al <- 4; lam <- 0.20

media <- al / lam
p_30 <- pgamma(30, shape = al, rate = lam)                        
p_15_25 <- pgamma(25, al, rate = lam) - pgamma(15, al, rate = lam) 
p90 <- qgamma(0.90, shape = al, rate = lam)                       

c(media, p_30, p_15_25, p90)

[1] 20.0000000  0.8487961  0.3822060 33.4039153

• Tiempo promedio: \(\alpha/\lambda =\) 20 minutos.
• \(P(X < 30) =\) 0.8488
• \(P(15 < X < 25) =\) 0.3822
• Tiempo no superado por el 90% de las solicitudes: 33.4 minutos.
• Evaluación: como \(P(X < 30) =\) 0.8488 \(\ge 0.80\), la promesa de resolver en menos de 30 minutos sí cumple la meta (aprox. el 84.9% de las solicitudes la cumplen).

Problema 16

Modelo: \(X\) = proporción de utilización diaria, \(X \sim Beta(5, 2)\), con \(0 \le X \le 1\).

a <- 5; b <- 2

media <- a / (a + b)
p_alta <- pbeta(0.80, a, b, lower.tail = FALSE)  
p_baja <- pbeta(0.50, a, b)                      
p90 <- qbeta(0.90, a, b)                         
dias <- 250 * p_alta

c(media, p_alta, p_baja, p90, dias)

[1]  0.7142857  0.3446400  0.1093750  0.9074047 86.1600000

• Utilización promedio: \(5/7 =\) 0.7143 (aprox. 71.4%).
• Probabilidad de alta utilización: \(P(X > 0.80) =\) 0.3446
• Probabilidad de baja utilización: \(P(X < 0.50) =\) 0.1094
• Nivel superado solo por el 10% de los días: 0.9074 (aprox. 90.7% de la capacidad).
• En 250 días se esperan aproximadamente 86.2 días con utilización superior al 80%.

Problema 17

Modelo: \(X\) = vida útil (horas), \(X \sim Weibull(k = 2.5, \lambda = 5000)\).

k <- 2.5; lam <- 5000

p_3000 <- pweibull(3000, k, lam)                       
p_6000 <- pweibull(6000, k, lam, lower.tail = FALSE)   
t10 <- qweibull(0.10, k, lam)                          
mediana <- qweibull(0.50, k, lam)

c(p_3000, p_6000, t10, mediana)

[1]    0.2433502    0.2065029 2032.5496324 4318.1745030

• \(P(X < 3000) =\) 0.2434
• \(P(X > 6000) =\) 0.2065
• Tiempo con probabilidad acumulada de falla del 10%: 2032.55 horas.
• Mediana de la vida útil: 4318.17 horas.
• Interpretación de \(k = 2.5\): como \(k > 1\), la tasa de falla es creciente en el tiempo; los rodamientos se desgastan y el riesgo de falla aumenta a medida que envejecen. Por eso tiene sentido el reemplazo preventivo.
• Propuesta: programar el reemplazo en aproximadamente 2032 horas o antes (por ejemplo, 2000 horas), ya que hasta ese punto como máximo el 10% de los rodamientos habrá fallado: \(P(X \le 2000) =\) 0.0962.

curve(dweibull(x, k, lam), from = 0, to = 12000, lwd = 2, col = "blue",
      ylab = "f(x)", main = "Vida útil ~ Weibull(k = 2.5, lambda = 5000)")
abline(v = t10, lty = 2, col = "red")