Taller 341 - Modelos continuos de probabilidad
Teoría de Probabilidades | Pontificia Universidad Javeriana Cali
Juan Pablo Riascos Muñoz
Parte I. Modelos de probabilidad continuos
Problema 1. Distribución uniforme
Modelo y procedimiento. \(X\sim U(20,50)\). La densidad es constante en su intervalo:
\[ f_X(x)=\begin{cases}\frac{1}{50-20}=\frac{1}{30},&20\le x\le50,\\0,&\text{en otro caso}.\end{cases} \]
Para las probabilidades se usa la función acumulada
punif; para encontrar el percentil se emplea
qunif. En una uniforme \(E[X]=(a+b)/2\) y \(V[X]=(b-a)^2/12\).
p1a <- punif(30, min = 20, max = 50)
p1b <- punif(42, min = 20, max = 50, lower.tail = FALSE)
p1c <- punif(40, 20, 50) - punif(25, 20, 50)
p1d <- qunif(0.80, 20, 50)
p1e <- (20 + 50) / 2
p1f <- (50 - 20)^2 / 12
resultados(c("Densidad dentro del intervalo" = dunif(30, 20, 50),
"P(X <= 30)" = p1a, "P(X > 42)" = p1b,
"P(25 <= X < 40)" = p1c, "Percentil 80" = p1d,
"Media" = p1e, "Varianza" = p1f))| Cálculo | Resultado |
|---|---|
| Densidad dentro del intervalo | 0.0333 |
| P(X <= 30) | 0.3333 |
| P(X > 42) | 0.2667 |
| P(25 <= X < 40) | 0.5000 |
| Percentil 80 | 44.0000 |
| Media | 35.0000 |
| Varianza | 75.0000 |
Interpretación. Hay un 33.33% de probabilidad de obtener un valor de 30 o menos, un 26.67% de superar 42 y un 50.00% de estar entre 25 y 40. El 80% de los valores queda en 44 o menos. La media es 35.00 y la varianza 75.00.
grafica_densidad(function(x) dunif(x, 20, 50), 15, 55,
"Problema 1: densidad uniforme", "Valor de X",
region = c(20, 30), referencia = 35)
El área sombreada representa \(P(X\le30)\). La línea discontinua indica la media.
Problema 2. Distribución normal
Modelo y procedimiento. \(X\sim N(100,15^2)\). Se usa
pnorm para las probabilidades y qnorm para
encontrar los límites. Para el 95% central se dejan
2,5% en cada cola, a diferencia del percentil 95, que deja 5%
arriba.
p2a <- pnorm(85, mean = 100, sd = 15)
p2b <- pnorm(120, 100, 15, lower.tail = FALSE)
p2c <- pnorm(115, 100, 15) - pnorm(90, 100, 15)
p2d <- qnorm(0.95, 100, 15)
p2e <- qnorm(0.025, 100, 15)
p2f <- qnorm(0.975, 100, 15)
resultados(c("P(X <= 85)" = p2a, "P(X > 120)" = p2b,
"P(90 <= X < 115)" = p2c, "Percentil 95" = p2d,
"Límite inferior central 95%" = p2e,
"Límite superior central 95%" = p2f))| Cálculo | Resultado |
|---|---|
| P(X <= 85) | 0.1587 |
| P(X > 120) | 0.0912 |
| P(90 <= X < 115) | 0.5889 |
| Percentil 95 | 124.6728 |
| Límite inferior central 95% | 70.6005 |
| Límite superior central 95% | 129.3995 |
Interpretación. La probabilidad de \(X\le85\) es 15.87%, la de \(X>120\) es 9.12% y la del intervalo de 90 a 115 es 58.89%. El percentil 95 es 124.67 y el intervalo central del 95% es [70.60, 129.40].
grafica_densidad(function(x) dnorm(x, 100, 15), 40, 160,
"Problema 2: densidad normal", "Valor de X",
region = c(40, 85), referencia = 100)
El área sombreada muestra \(P(X\le85)\) y la línea discontinua marca la media de 100.
Problema 3. Distribución normal
Modelo y procedimiento. \(X\sim N(72,8^2)\). En una distribución continua, usar \(<\) o \(\le\) no cambia las probabilidades. El valor que deja el 5% por encima corresponde al percentil 95.
p3a <- pnorm(60, 72, 8)
p3b <- pnorm(80, 72, 8, lower.tail = FALSE)
p3c <- pnorm(76, 72, 8) - pnorm(68, 72, 8)
p3d <- qnorm(0.90, 72, 8)
p3e <- qnorm(0.95, 72, 8)
resultados(c("P(X < 60)" = p3a, "P(X >= 80)" = p3b,
"P(68 <= X <= 76)" = p3c, "Percentil 90" = p3d,
"Valor con 5% por encima" = p3e))| Cálculo | Resultado |
|---|---|
| P(X < 60) | 0.0668 |
| P(X >= 80) | 0.1587 |
| P(68 <= X <= 76) | 0.3829 |
| Percentil 90 | 82.2524 |
| Valor con 5% por encima | 85.1588 |
Interpretación. La probabilidad de un valor menor que 60 es 6.68% y la de uno igual o mayor que 80 es 15.87%. Entre 68 y 76 está el 38.29% de los valores. El percentil 90 es 82.25 y a partir de 85.16 queda el 5% superior.
grafica_densidad(function(x) dnorm(x, 72, 8), 40, 104,
"Problema 3: densidad normal y media", "Valor de X",
region = c(40, 60), referencia = 72)
La línea discontinua identifica la media de 72; el área sombreada corresponde a \(P(X<60)\).
Problema 4. Distribución normal
Modelo y procedimiento. \(X\sim N(500,40^2)\). Para obtener el 80% central se dejan 10% en cada cola. El percentil 99 es un único valor que acumula 99% por debajo.
p4a <- pnorm(450, 500, 40)
p4b <- pnorm(575, 500, 40, lower.tail = FALSE)
p4c <- pnorm(540, 500, 40) - pnorm(480, 500, 40)
p4d <- qnorm(0.10, 500, 40)
p4e <- qnorm(0.90, 500, 40)
p4f <- qnorm(0.99, 500, 40)
resultados(c("P(X <= 450)" = p4a, "P(X > 575)" = p4b,
"P(480 < X < 540)" = p4c,
"Límite inferior central 80%" = p4d,
"Límite superior central 80%" = p4e,
"Percentil 99" = p4f))| Cálculo | Resultado |
|---|---|
| P(X <= 450) | 0.1056 |
| P(X > 575) | 0.0304 |
| P(480 < X < 540) | 0.5328 |
| Límite inferior central 80% | 448.7379 |
| Límite superior central 80% | 551.2621 |
| Percentil 99 | 593.0539 |
Interpretación. Las probabilidades solicitadas son 10.56%, 3.04% y 53.28%, respectivamente. El 80% central se encuentra entre 448.74 y 551.26; el percentil 99 es 593.05.
grafica_densidad(function(x) dnorm(x, 500, 40), 340, 660,
"Problema 4: densidad normal", "Valor de X",
region = c(340, 450), referencia = 500)
El área sombreada representa \(P(X\le450)\) y la línea discontinua la media.
Problema 5. Distribución exponencial
Modelo y procedimiento. \(X\sim Exp(\lambda=0.25)\). La densidad es
\(f_X(x)=0.25e^{-0.25x}\) para \(x\ge0\). La media es \(1/\lambda\) y la varianza \(1/\lambda^2\). La supervivencia \(P(X>t)\) se calcula con
lower.tail = FALSE.
p5a <- pexp(2, rate = 0.25)
p5b <- pexp(5, rate = 0.25, lower.tail = FALSE)
p5c <- pexp(6, 0.25) - pexp(2, 0.25)
p5d <- qexp(0.90, rate = 0.25)
p5e <- 1 / 0.25
p5f <- 1 / 0.25^2
resultados(c("P(X <= 2)" = p5a, "P(X > 5)" = p5b,
"P(2 < X <= 6)" = p5c, "Percentil 90" = p5d,
"Media" = p5e, "Varianza" = p5f))| Cálculo | Resultado |
|---|---|
| P(X <= 2) | 0.3935 |
| P(X > 5) | 0.2865 |
| P(2 < X <= 6) | 0.3834 |
| Percentil 90 | 9.2103 |
| Media | 4.0000 |
| Varianza | 16.0000 |
Interpretación. Hay 39.35% de probabilidad de que el evento ocurra antes o hasta 2 unidades de tiempo, 28.65% de que la espera supere 5 y 38.34% de que esté entre 2 y 6. El 90% de los tiempos es de 9.21 o menos. La media es 4.00 y la varianza 16.00.
grafica_densidad(function(x) dexp(x, rate = 0.25), 0, 24,
"Problema 5: densidad exponencial", "Tiempo",
region = c(0, 2), referencia = 4)
El área sombreada es \(P(X\le2)\) y la línea discontinua indica la media.
Problema 6. Distribución lognormal
Modelo y procedimiento. \(\ln(X)\sim N(3.5,0.40^2)\). En R se indican
los parámetros de la variable logarítmica:
meanlog = 3.5 y sdlog = 0.40. La mediana es
\(e^\mu\), la media \(e^{\mu+\sigma^2/2}\) y la varianza \((e^{\sigma^2}-1)e^{2\mu+\sigma^2}\).
p6a <- plnorm(25, meanlog = 3.5, sdlog = 0.40)
p6b <- plnorm(50, 3.5, 0.40, lower.tail = FALSE)
p6c <- plnorm(40, 3.5, 0.40) - plnorm(20, 3.5, 0.40)
p6d <- exp(3.5)
p6e <- qlnorm(0.90, 3.5, 0.40)
p6f <- exp(3.5 + 0.40^2 / 2)
p6g <- (exp(0.40^2) - 1) * exp(2 * 3.5 + 0.40^2)
resultados(c("P(X <= 25)" = p6a, "P(X > 50)" = p6b,
"P(20 <= X < 40)" = p6c, "Mediana" = p6d,
"Percentil 90" = p6e, "Media" = p6f,
"Varianza" = p6g))| Cálculo | Resultado |
|---|---|
| P(X <= 25) | 0.2411 |
| P(X > 50) | 0.1515 |
| P(20 <= X < 40) | 0.5779 |
| Mediana | 33.1155 |
| Percentil 90 | 55.2916 |
| Media | 35.8735 |
| Varianza | 223.2930 |
Interpretación. La probabilidad de \(X\le25\) es 24.11%, de \(X>50\) es 15.15% y del intervalo de 20 a 40 es 57.79%. La mediana es 33.12, mientras que la media es 35.87, un poco mayor por la asimetría positiva. El percentil 90 es 55.29 y la varianza es 223.29.
grafica_densidad(function(x) dlnorm(x, 3.5, 0.40), 0, 125,
"Problema 6: densidad lognormal", "Valor de X",
region = c(0, 25), referencia = p6f)
La densidad tiene cola hacia la derecha. Se sombrea \(P(X\le25)\); la línea discontinua muestra la media.
Problema 7. Distribución gamma
Modelo y procedimiento. \(X\sim Gamma(\alpha=3,\lambda=0.5)\), donde
\(\lambda\) es la
tasa, no la escala. En R se debe usar
rate = 0.5. La media es \(\alpha/\lambda\) y la varianza \(\alpha/\lambda^2\).
p7a <- pgamma(4, shape = 3, rate = 0.5)
p7b <- pgamma(8, shape = 3, rate = 0.5, lower.tail = FALSE)
p7c <- pgamma(7, 3, rate = 0.5) - pgamma(3, 3, rate = 0.5)
p7d <- qgamma(0.95, shape = 3, rate = 0.5)
p7e <- 3 / 0.5
p7f <- 3 / 0.5^2
resultados(c("P(X <= 4)" = p7a, "P(X > 8)" = p7b,
"P(3 <= X < 7)" = p7c, "Percentil 95" = p7d,
"Media" = p7e, "Varianza" = p7f))| Cálculo | Resultado |
|---|---|
| P(X <= 4) | 0.3233 |
| P(X > 8) | 0.2381 |
| P(3 <= X < 7) | 0.4880 |
| Percentil 95 | 12.5916 |
| Media | 6.0000 |
| Varianza | 12.0000 |
Interpretación. El 32.33% de los valores queda en 4 o menos, el 23.81% supera 8 y el 48.80% está entre 3 y 7. El percentil 95 es 12.59. La media del modelo es 6.00 y la varianza 12.00.
grafica_densidad(function(x) dgamma(x, 3, rate = 0.5), 0, 23,
"Problema 7: densidad gamma", "Valor de X",
region = c(0, 4), referencia = p7e)
Se sombrea \(P(X\le4)\); la línea discontinua corresponde a la media.
Problema 8. Distribución beta
Modelo y procedimiento. \(X\sim Beta(\alpha=2.5,\beta=4)\). La variable solo puede tomar valores entre 0 y 1. Se tiene
\[E[X]=\frac{\alpha}{\alpha+\beta},\qquad V[X]=\frac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}.\]
p8a <- pbeta(0.30, shape1 = 2.5, shape2 = 4)
p8b <- pbeta(0.60, 2.5, 4, lower.tail = FALSE)
p8c <- pbeta(0.50, 2.5, 4) - pbeta(0.20, 2.5, 4)
p8d <- qbeta(0.75, 2.5, 4)
p8e <- 2.5 / (2.5 + 4)
p8f <- (2.5 * 4) / ((2.5 + 4)^2 * (2.5 + 4 + 1))
resultados(c("P(X <= 0.30)" = p8a, "P(X > 0.60)" = p8b,
"P(0.20 <= X < 0.50)" = p8c, "Percentil 75" = p8d,
"Media" = p8e, "Varianza" = p8f))| Cálculo | Resultado |
|---|---|
| P(X <= 0.30) | 0.3522 |
| P(X > 0.60) | 0.1300 |
| P(0.20 <= X < 0.50) | 0.5723 |
| Percentil 75 | 0.5088 |
| Media | 0.3846 |
| Varianza | 0.0316 |
Interpretación. La probabilidad de un valor máximo de 0.30 es 35.22%, la de superar 0.60 es 13.00% y la de ubicarse entre 0.20 y 0.50 es 57.23%. El percentil 75 es 0.5088; la media es 0.3846 y la varianza 0.0316.
grafica_densidad(function(x) dbeta(x, 2.5, 4), 0, 1,
"Problema 8: densidad beta", "Proporción X",
region = c(0, 0.30), referencia = p8e)
Se sombrea \(P(X\le0.30)\) y se muestra la media con una línea discontinua.
Problema 9. Distribución Weibull
Modelo y procedimiento. \(X\sim Weibull(k=2,\lambda=1000)\), con
parámetro de forma \(k=2\) y escala \(\lambda=1000\). Para encontrar la mediana
se utiliza qweibull(0.5, ...) y para el percentil 90,
qweibull(0.9, ...).
p9a <- pweibull(500, shape = 2, scale = 1000)
p9b <- pweibull(1200, 2, 1000, lower.tail = FALSE)
p9c <- pweibull(1000, 2, 1000) - pweibull(600, 2, 1000)
p9d <- qweibull(0.50, shape = 2, scale = 1000)
p9e <- qweibull(0.90, shape = 2, scale = 1000)
resultados(c("P(X <= 500)" = p9a, "P(X > 1200)" = p9b,
"P(600 <= X < 1000)" = p9c, "Mediana" = p9d,
"Percentil 90" = p9e))| Cálculo | Resultado |
|---|---|
| P(X <= 500) | 0.2212 |
| P(X > 1200) | 0.2369 |
| P(600 <= X < 1000) | 0.3298 |
| Mediana | 832.5546 |
| Percentil 90 | 1517.4271 |
Interpretación. La probabilidad de un valor hasta 500 es 22.12%, la de superar 1200 es 23.69% y la de encontrarse entre 600 y 1000 es 32.98%. La mediana es 832.55 y el percentil 90 es 1517.43.
grafica_densidad(function(x) dweibull(x, 2, 1000), 0, 2600,
"Problema 9: densidad Weibull", "Valor de X",
region = c(0, 500), referencia = p9d)
El área sombreada representa \(P(X\le500)\); la línea discontinua marca la mediana.
Parte II. Minicasos aplicados
Problema 10. Validación de pedidos
Modelo. El tiempo \(X\) de validación sigue una uniforme \(U(1.5,4.5)\), medida en segundos. Se quiere comparar \(P(X<3)\) con el requisito de superar 45% y encontrar el percentil 90, que marca el inicio del 10% más lento.
p10a <- punif(3, min = 1.5, max = 4.5)
p10b <- punif(4, 1.5, 4.5) - punif(2, 1.5, 4.5)
p10c <- qunif(0.90, min = 1.5, max = 4.5)
p10cumple <- p10a > 0.45
resultados(c("P(X < 3 s)" = p10a,
"P(2 <= X <= 4 s)" = p10b,
"Inicio del 10% más lento (s)" = p10c))| Cálculo | Resultado |
|---|---|
| P(X < 3 s) | 0.5000 |
| P(2 <= X <= 4 s) | 0.6667 |
| Inicio del 10% más lento (s) | 4.2000 |
Respuestas e interpretación. Una validación tarda menos de 3 segundos con probabilidad 50.00%. Entre 2 y 4 segundos ocurre el 66.67% de las validaciones. Las operaciones del 10% más lento tardan al menos 4.20 segundos. Sí cumple el criterio de ingeniería, porque 50.00% es mayor que 45%.
Problema 11. Máquina empacadora
Modelo. El peso \(X\) sigue \(N(500,8^2)\), medido en gramos. La aceptación exige 485 a 515 g. La revisión individual se determina de otro modo: el 2% inferior o el 2% superior, es decir, por los percentiles 2 y 98.
p11a <- pnorm(515, 500, 8) - pnorm(485, 500, 8)
p11b <- pnorm(520, 500, 8, lower.tail = FALSE)
p11c <- qnorm(0.02, 500, 8)
p11d <- qnorm(0.98, 500, 8)
p11e <- 1 - p11a
p11f <- 10000 * p11e
resultados(c("Proporción aceptada" = p11a,
"P(X > 520 g)" = p11b,
"Umbral inferior de revisión (g)" = p11c,
"Umbral superior de revisión (g)" = p11d,
"Proporción fuera de especificación" = p11e,
"Bolsas esperadas fuera (de 10000)" = p11f))| Cálculo | Resultado |
|---|---|
| Proporción aceptada | 0.9392 |
| P(X > 520 g) | 0.0062 |
| Umbral inferior de revisión (g) | 483.5700 |
| Umbral superior de revisión (g) | 516.4300 |
| Proporción fuera de especificación | 0.0608 |
| Bolsas esperadas fuera (de 10000) | 607.9272 |
Respuestas e interpretación. Se espera que el 93.92% de las bolsas cumpla el rango de aceptación. La probabilidad de superar 520 gramos es 0.62%. Se revisan individualmente pesos inferiores a 483.57 g o superiores a 516.43 g. De 10.000 bolsas se esperan aproximadamente 608 fuera de especificación (6.08%). Tener la media en 500 g no garantiza pocas unidades defectuosas: también importa la desviación estándar. Además, revisión individual y rechazo por especificación son criterios diferentes.
Problema 12. Resultados de estudiantes
Modelo. Las calificaciones \(X\) siguen \(N(70,10^2)\) puntos. El 10% superior comienza en el percentil 90, mientras que el 15% inferior llega hasta el percentil 15.
p12a <- pnorm(85, 70, 10) - pnorm(65, 70, 10)
p12b <- qnorm(0.90, 70, 10)
p12c <- qnorm(0.15, 70, 10)
p12d <- pnorm(90, 70, 10, lower.tail = FALSE)
p12e <- 600 * 0.10
p12f <- 600 * 0.15
resultados(c("P(65 <= X <= 85)" = p12a,
"Umbral del 10% superior" = p12b,
"Umbral del 15% inferior" = p12c,
"P(X > 90)" = p12d,
"Estudiantes esperados con reconocimiento" = p12e,
"Estudiantes esperados con acompañamiento" = p12f))| Cálculo | Resultado |
|---|---|
| P(65 <= X <= 85) | 0.6247 |
| Umbral del 10% superior | 82.8155 |
| Umbral del 15% inferior | 59.6357 |
| P(X > 90) | 0.0228 |
| Estudiantes esperados con reconocimiento | 60.0000 |
| Estudiantes esperados con acompañamiento | 90.0000 |
Respuestas e interpretación. El 62.47% de los estudiantes se ubicaría entre 65 y 85 puntos. El reconocimiento comienza alrededor de 82.82 puntos y el acompañamiento corresponde a calificaciones de 59.64 puntos o menos. La probabilidad de superar 90 puntos es 2.28%. En 600 estudiantes se esperan aproximadamente 60 reconocimientos y 90 acompañamientos. Esas cantidades son esperadas, no necesariamente las observadas.
Problema 13. Interrupciones de un servidor
Modelo. El tiempo \(X\) hasta la interrupción sigue una exponencial con media 200 horas. Por tanto, la tasa es \(\lambda=1/200=0.005\) por hora. El tiempo que alcanza 20% de probabilidad acumulada es el percentil 20.
tasa13 <- 1 / 200
p13a <- pexp(300, rate = tasa13, lower.tail = FALSE)
p13b <- pexp(250, tasa13) - pexp(100, tasa13)
p13c <- qexp(0.20, rate = tasa13)
p13d <- pexp(100, rate = tasa13, lower.tail = FALSE)
p13verificacion <- pexp(250, tasa13, lower.tail = FALSE) /
pexp(150, tasa13, lower.tail = FALSE)
resultados(c("Tasa por hora" = tasa13,
"P(X > 300 h)" = p13a,
"P(100 <= X <= 250 h)" = p13b,
"Tiempo para 20% acumulado (h)" = p13c,
"P(100 h extra | sobrevivió 150 h)" = p13d,
"Comprobación por cociente" = p13verificacion))| Cálculo | Resultado |
|---|---|
| Tasa por hora | 0.0050 |
| P(X > 300 h) | 0.2231 |
| P(100 <= X <= 250 h) | 0.3200 |
| Tiempo para 20% acumulado (h) | 44.6287 |
| P(100 h extra | sobrevivió 150 h) | 0.6065 |
| Comprobación por cociente | 0.6065 |
Respuestas e interpretación. La probabilidad de superar 300 horas sin interrupción es 22.31%, mientras que una interrupción entre las horas 100 y 250 tiene probabilidad 32.00%. El 20% acumulado se alcanza en 44.63 horas; para hacer mantenimiento antes de ese punto conviene programarlo con anterioridad. Si ya pasó 150 horas sin interrupción, la probabilidad de otras 100 horas sin falla es 60.65%. Esto se debe a la propiedad de falta de memoria de la exponencial: \(P(X>250\mid X>150)=P(X>100)\).
Problema 14. Costos de reparación
Modelo. Los costos \(X\) (millones de pesos) son lognormales, con \(\ln(X)\sim N(1.2,0.5^2)\). El costo que solo supera el 5% de las reparaciones es el percentil 95.
p14a <- plnorm(3, meanlog = 1.2, sdlog = 0.5)
p14b <- plnorm(5, 1.2, 0.5, lower.tail = FALSE)
p14c <- qlnorm(0.5, 1.2, 0.5)
p14d <- qlnorm(0.95, 1.2, 0.5)
p14e <- exp(1.2 + 0.5^2 / 2)
resultados(c("P(costo < 3 millones)" = p14a,
"P(costo > 5 millones)" = p14b,
"Costo mediano (millones)" = p14c,
"Costo superado por solo 5% (millones)" = p14d,
"Costo medio (millones)" = p14e))| Cálculo | Resultado |
|---|---|
| P(costo < 3 millones) | 0.4197 |
| P(costo > 5 millones) | 0.2064 |
| Costo mediano (millones) | 3.3201 |
| Costo superado por solo 5% (millones) | 7.5566 |
| Costo medio (millones) | 3.7622 |
Respuestas e interpretación. Una reparación cuesta menos de 3 millones con probabilidad 41.97% y supera 5 millones con probabilidad 20.64%. El costo mediano es 3.32 millones, y solo 5% de las reparaciones supera 7.56 millones. La media es 3.76 millones, mayor que la mediana porque algunos costos altos desplazan el promedio hacia la derecha.
Problema 15. Centro de soporte técnico
Modelo. El tiempo total \(X\) sigue \(Gamma(\alpha=4,\lambda=0.20)\), con tasa por minuto. La media es \(\alpha/\lambda\). Para evaluar la promesa se compara \(P(X<30)\) con la meta mínima de 80%.
p15a <- 4 / 0.20
p15b <- pgamma(30, shape = 4, rate = 0.20)
p15c <- pgamma(25, 4, rate = 0.20) - pgamma(15, 4, rate = 0.20)
p15d <- qgamma(0.90, shape = 4, rate = 0.20)
p15cumple <- p15b >= 0.80
resultados(c("Tiempo promedio (minutos)" = p15a,
"P(X < 30 minutos)" = p15b,
"P(15 <= X <= 25 minutos)" = p15c,
"Percentil 90 (minutos)" = p15d))| Cálculo | Resultado |
|---|---|
| Tiempo promedio (minutos) | 20.0000 |
| P(X < 30 minutos) | 0.8488 |
| P(15 <= X <= 25 minutos) | 0.3822 |
| Percentil 90 (minutos) | 33.4039 |
Respuestas e interpretación. El tiempo promedio es 20.00 minutos. La probabilidad de resolver en menos de 30 minutos es 84.88% y de tardar entre 15 y 25 minutos es 38.22%. El 90% de las solicitudes se resuelve en 33.40 minutos o menos. Sí se cumple la meta de 80%, pues el porcentaje obtenido es 84.88%.
Problema 16. Utilización de la planta
Modelo. La proporción diaria de utilización \(X\) sigue \(Beta(\alpha=5,\beta=2)\). Alta utilización significa \(X>0.80\); baja utilización significa \(X<0.50\). El nivel superado solo por el 10% de los días corresponde al percentil 90.
p16a <- 5 / (5 + 2)
p16b <- pbeta(0.80, 5, 2, lower.tail = FALSE)
p16c <- pbeta(0.50, 5, 2)
p16d <- qbeta(0.90, 5, 2)
p16e <- 250 * p16b
resultados(c("Utilización promedio (proporción)" = p16a,
"P(utilización > 80%)" = p16b,
"P(utilización < 50%)" = p16c,
"Nivel superado por 10% de días" = p16d,
"Días de alta utilización esperados (250)" = p16e))| Cálculo | Resultado |
|---|---|
| Utilización promedio (proporción) | 0.7143 |
| P(utilización > 80%) | 0.3446 |
| P(utilización < 50%) | 0.1094 |
| Nivel superado por 10% de días | 0.9074 |
| Días de alta utilización esperados (250) | 86.1600 |
Respuestas e interpretación. La planta utiliza en promedio 71.43% de su capacidad. La probabilidad de un día de alta utilización es 34.46% y la de baja utilización es 10.94%. Solo el 10% de los días supera aproximadamente 90.74% de la capacidad. En 250 días se esperan 86 días con utilización superior al 80%.
Problema 17. Vida útil de rodamientos
Modelo. \(X\sim Weibull(k=2.5,\lambda=5000)\) horas. El mantenimiento debe programarse de manera que la probabilidad de haber fallado antes del reemplazo sea como máximo 10%. Por eso se busca el percentil 10 y se elige un tiempo igual o inferior a él.
p17a <- pweibull(3000, shape = 2.5, scale = 5000)
p17b <- pweibull(6000, 2.5, 5000, lower.tail = FALSE)
p17c <- qweibull(0.10, shape = 2.5, scale = 5000)
p17d <- qweibull(0.50, shape = 2.5, scale = 5000)
p17tiempo <- 2000
p17e <- pweibull(p17tiempo, 2.5, 5000)
resultados(c("P(falla antes de 3000 h)" = p17a,
"P(dura más de 6000 h)" = p17b,
"Tiempo con 10% de fallas (h)" = p17c,
"Mediana de vida útil (h)" = p17d,
"Tiempo preventivo propuesto (h)" = p17tiempo,
"P(falla antes del reemplazo propuesto)" = p17e))| Cálculo | Resultado |
|---|---|
| P(falla antes de 3000 h) | 0.2434 |
| P(dura más de 6000 h) | 0.2065 |
| Tiempo con 10% de fallas (h) | 2032.5496 |
| Mediana de vida útil (h) | 4318.1745 |
| Tiempo preventivo propuesto (h) | 2000.0000 |
| P(falla antes del reemplazo propuesto) | 0.0962 |
Respuestas e interpretación. La probabilidad de fallar antes de 3.000 horas es 24.34% y de durar más de 6.000 horas es 20.65%. El umbral de 10% de fallas ocurre en 2032.55 horas y la mediana de vida útil es 4318.17 horas. Como la forma \(k=2.5>1\), el riesgo instantáneo de falla aumenta con el tiempo de uso. Propongo reemplazar los rodamientos alrededor de 2000 horas, porque para ese momento la probabilidad acumulada de falla es 9.62%, menor que el límite del 10%.
Conclusión
En los primeros nueve problemas se calcularon probabilidades, intervalos, percentiles y medidas descriptivas de distribuciones continuas y se construyeron sus nueve gráficas de densidad. En los ocho minicasos se usaron esos mismos modelos para evaluar decisiones de calidad, desempeño, atención y mantenimiento. La idea principal es distinguir entre la probabilidad de un evento y el valor que corresponde a cierto porcentaje acumulado, además de usar correctamente los parámetros de cada distribución.
Fuente de los enunciados: Taller 341 - Modelos continuos de probabilidad.