Como estudar
Modo simulado: marque uma alternativa e clique em Responder. Você terá até três tentativas, com dicas progressivas.
Modo estudo: clique em Estudar resolução para abrir a dedução completa sem precisar responder primeiro.
As resoluções explicitam as hipóteses necessárias. Em Econometria, muitas conclusões dependem das condições sobre os erros, a amostragem e os instrumentos.
Parte I — Questões e resoluções
Erros de mensuração e variáveis instrumentais
1. Ideia central
O efeito do erro de mensuração depende de qual variável foi medida com erro. Um erro aditivo na variável dependente tem consequências diferentes de um erro na variável explicativa.
2. Item (a): erro na variável dependente
Substituindo a equação verdadeira na variável observada:
Defina o erro composto como vᵢ = Uᵢ + eᵢ. O estimador de inclinação pode ser escrito como:
Se E(vᵢ | Xᵢ) = 0 e as demais condições usuais forem satisfeitas, o erro composto não apresenta associação sistemática com X. Nesse caso, o MQO de β₁ permanece não viesado (sob as hipóteses de amostragem apropriadas) e consistente. Se eᵢ for independente de Xᵢ e Uᵢ, sua inclusão normalmente aumenta a variância do erro composto, reduzindo a precisão.
Atenção: E(eᵢ)=0 e Cov(eᵢ,Xᵢ)=0, por si sós, não garantem E(eᵢ | Xᵢ)=0 em toda distribuição. A conclusão depende da condição de exogeneidade adequada.
3. Item (b): erro na variável explicativa
Quando a explicativa é medida com erro, a regressora observada pode ficar correlacionada com o erro da regressão. No caso clássico de erro de mensuração, isso costuma produzir viés de atenuação no coeficiente de inclinação do MQO.
Um instrumento Zᵢ pode resolver o problema se satisfizer:
- Relevância: Cov(Zᵢ, Xᵢ) ≠ 0, ou a condição equivalente para a variável endógena observada;
- Exogeneidade: Cov(Zᵢ, uᵢ) = 0, em que uᵢ é o erro estrutural pertinente.
Com essas condições e condições regulares adicionais, o estimador de variáveis instrumentais é consistente. Um instrumento fraco, mesmo que formalmente relevante, pode gerar inferência instável e viés expressivo em amostras finitas.
4. Por que as outras alternativas estão erradas?
A: generaliza indevidamente. O erro em Y não gera necessariamente viés se a exogeneidade do erro composto for preservada.
C: confunde relevância com correlação fraca. O instrumento precisa estar suficientemente relacionado à variável endógena, sem estar correlacionado ao erro estrutural.
D: o erro clássico em X geralmente afeta o próprio coeficiente estimado, não apenas sua variância.
Máxima verossimilhança: distribuição exponencial
1. Construção da verossimilhança
Como Y₁, …, Yₙ são independentes, a densidade conjunta é o produto das densidades individuais:
Aplicando o logaritmo natural:
2. Condição de primeira ordem
Derivando em relação a θ:
Igualando a derivada a zero:
O estimador é o inverso da média amostral. Isso é intuitivo: na parametrização usada, θ é a taxa da exponencial e a média populacional é E(Y)=1/θ.
3. Verificação do máximo
A segunda derivada é negativa em todo o domínio admissível; portanto, o ponto crítico é um máximo.
4. Informação de Fisher e variância assintótica
A informação de Fisher da amostra é:
A variância assintótica do EMV é o inverso da informação:
Para estimar essa variância na prática, pode-se substituir θ pelo EMV, obtendo θ̂²/n. A expressão θ²/n é a variância assintótica teórica; não deve ser confundida com a informação de Fisher n/θ².
5. Análise das alternativas
A: usa a média como estimador da taxa, mas θ̂ = 1/Ȳ.
C: omite o fator n na log-verossimilhança amostral e confunde informação com sua inversa.
D: inverte incorretamente a dependência em θ; a inversa de n/θ² é θ²/n.
Estimador MQO do intercepto e sua variância
1. Função objetivo do MQO
O MQO escolhe β₀ para minimizar a soma dos quadrados dos resíduos:
2. Derivação do estimador
Derivando em relação a β₀ e igualando a zero:
Logo, ΣYᵢ − nβ₀ = 0, de modo que:
Como há apenas um intercepto, a melhor previsão constante no sentido dos mínimos quadrados é a média amostral.
3. Derivação da variância
Substituindo Yᵢ = β₀ + Uᵢ na média:
Como β₀ é constante:
Se os erros forem não correlacionados e tiverem variância σ²:
4. Interpretação
A variância cai à medida que n aumenta. Com mais observações independentes, a média tende a ser mais precisa. O desvio-padrão do estimador é σ/√n.
5. Análise das alternativas
B: confunde soma e média e não apresenta a variância correta.
C: multiplica por n, quando a divisão por n na média faz a variância cair para σ²/n.
D: zero não é, em geral, o valor que minimiza a soma dos quadrados; o resultado é a média observada.
Expectativas adaptativas, endogeneidade e instrumentos
1. Obtenção da equação transformada
Da equação original, Yₜ₋₁ = β₀ + β₁X*ₜ₋₁ + Uₜ₋₁, portanto X*ₜ₋₁ = (Yₜ₋₁ − β₀ − Uₜ₋₁)/β₁, para β₁ ≠ 0. Substituindo a regra de expectativas na equação de Yₜ:
Assim, α₀=γβ₀, α₁=γβ₁, α₂=1−γ e vₜ=Uₜ−(1−γ)Uₜ₋₁.
2. Por que pode haver endogeneidade?
Yₜ₋₁ contém Uₜ₋₁. O erro transformado vₜ também contém Uₜ₋₁, com sinal negativo. Se os choques Uₜ forem serialmente não correlacionados, com variância σ², e as demais covariâncias relevantes forem nulas:
Quando essa covariância é diferente de zero, o regressor defasado é endógeno e o MQO, em geral, não é consistente. Ter E(vₜ)=0 não resolve o problema: a condição relevante é a ausência de correlação entre regressoras e erro.
3. Uso de Yₜ₋₂ como instrumento
Yₜ₋₂ pode ser um instrumento candidato porque tende a estar relacionado a Yₜ₋₁, mas, sob ausência de correlação serial dos choques e condições apropriadas sobre o processo de X, pode não estar correlacionado com vₜ. Essas condições precisam ser justificadas; a defasagem, sozinha, não garante validade.
As duas condições são: relevância do instrumento para Yₜ₋₁ e exogeneidade em relação a vₜ.
4. Análise das alternativas
A: média zero não implica exogeneidade dos regressores.
C: Yₜ é a variável dependente da própria equação e geralmente está correlacionada com o erro; não é um instrumento exógeno adequado.
D: a endogeneidade de Yₜ₋₁ decorre da estrutura apresentada; a condição de Xₜ depende das hipóteses sobre X, não de uma afirmação universal.
Heterocedasticidade e mínimos quadrados generalizados
1. O problema da heterocedasticidade
O modelo tem variância condicional dependente de Xᵢ: Var(uᵢ | Xᵢ)=σ²Xᵢ. Como Xᵢ varia entre observações, a variância do erro também varia.
2. Encontrando o fator de transformação
Queremos multiplicar o erro por um fator cᵢ tal que a variância transformada seja constante:
Isso exige cᵢ²=1/Xᵢ e, portanto, cᵢ=1/√Xᵢ, usando Xᵢ>0.
3. Transformação da equação inteira
A variância do novo erro é:
Logo, o erro transformado é homocedástico. Essa é a transformação de mínimos quadrados generalizados quando a estrutura da variância é conhecida.
4. O que muda na prática?
Os coeficientes podem ser estimados por MQO na equação transformada, o que equivale a ponderar as observações originais por 1/Xᵢ na soma dos quadrados. Se a forma da variância for desconhecida, erros-padrão robustos podem ajudar na inferência, mas não tornam os coeficientes do MQO mais eficientes nem corrigem automaticamente endogeneidade.
5. Análise das alternativas
A: dividir por Xᵢ gera Var(uᵢ/Xᵢ | Xᵢ)=σ²/Xᵢ, que ainda varia entre observações.
C: multiplicar por √Xᵢ aumenta a variância para σ²Xᵢ².
D: sob heterocedasticidade, o MQO pode manter não viés e consistência sob exogeneidade, mas deixa de ser eficiente entre os estimadores lineares não viesados e os erros-padrão convencionais podem ser inadequados.
Autocorrelação AR(1) e restrição do modelo ADL
1. Variância estacionária do AR(1)
O processo é uₜ=ρuₜ₋₁+εₜ. Sob estacionariedade, |ρ|<1, e supondo que εₜ não seja correlacionado com uₜ₋₁:
Como a variância é constante ao longo do tempo, escreva Var(uₜ)=Var(uₜ₋₁)=σ²ᵤ:
A condição |ρ|<1 garante que o denominador seja positivo e que o processo AR(1) seja estacionário.
2. Transformação para a forma dinâmica
Substituindo uₜ=Yₜ−β₀−β₁Xₜ e uₜ₋₁=Yₜ₋₁−β₀−β₁Xₜ₋₁ na equação original:
Compare com a forma ADL(1,1):
A comparação fornece γ₀=β₀(1−ρ), γ₁=β₁, γ₂=−ρβ₁ e γ₃=ρ. Assim, γ₂=−γ₁γ₃ e a restrição testável é:
3. Como interpretar o teste?
A hipótese nula impõe uma restrição não linear entre os coeficientes da forma ADL. Pode-se testá-la por um teste de Wald não linear, usando a matriz de variância-covariância estimada. A rejeição da restrição indica que os coeficientes estimados não satisfazem essa implicação da especificação AR(1) original.
4. Análise das alternativas
B: ignora a persistência do choque e impõe uma restrição que não decorre da equação transformada.
C: a variância do AR(1) depende de 1−ρ², não de 1−ρ; além disso, γ₂ depende de ambos β₁ e ρ.
D: usa o fator de variância invertido e não expressa corretamente a restrição entre os coeficientes.