Vlastná cvičebnica podľa vzoru Vladimíra Gazdu

Author

Dávid Švihra
(s využitím ChatGPT)

Published

October 1, 2026

Globálne nastavenie Chunkov

V nižšie uvedenom Chunku je urobené základné globálne nastavenie Chunkov v celom Notebooku.

echo nastavuje, či chceme v Notebooku vypisovať jednotlivé kódy R
message je nastavený na FALSE, čo znamená, že sa budú potláčať pracovné výstupy z R, t.j. napríklad výsledok otvárania knižníc, a niektoré iné výstupy, ktoré ale pre celkový Notebook nemajú takmer žiaden význam a sú vhodné skôr pri ladení kódov.
warning nastavený na FALSE potláča varovania (nie všetky chyby)

Code

knitr::opts_chunk$set(
  echo = TRUE,
  message = FALSE,
  warning = FALSE
)

Úvod k základným operáciám v R

Tento notebook demonštruje základné operácie v jazyku R so:

skalárnymi číslami (t.j. 1 číslo),
textovými (znakovými) reťazcami,
logickými (boolovskými) hodnotami a premennými,
(numerickými) vektormi,
maticami.

Tam, kde je to užitočné, sú zahrnuté malé cvičenia.

Skaláre (jednočíselné hodnoty)

Numerické skaláre

Code

# Priradenie konštanty do premennej
a <- 7
b <- 3.5

# Arithmetic
sum_ab      <- a + b        # sucet
diff_ab     <- a - b        # rozdiel
prod_ab     <- a * b        # násobenie
quot_ab     <- a / b        # delenie
power_ab    <- a ^ b        # umocňovanie
mod_ab      <- a %% 3       # zbytok po delení tromi (tzv modulo)
int_div_ab  <- a %/% b      # celočíselné delenie


# Rounding
round_b   <- round(b)       # zaokruhlovanie smerom k najblizsiemu celemu cislu
ceil_b    <- ceiling(b)     # najblizsie vyssie cele cislo
floor_b   <- floor(b)       # najblizsie nizsie cele cislo

a; b

[1] 7

[1] 3.5

Code

sum_ab; diff_ab; prod_ab; quot_ab; power_ab; mod_ab; int_div_ab

[1] 10.5

[1] 3.5

[1] 24.5

[1] 2

[1] 907.4927

[1] 1

[1] 2

Code

round_b; ceil_b; floor_b

[1] 4

[1] 4

[1] 3

Poznámky

^ operátor umocňovania.
%% je modulo, teda zbytok po delení,
round(x, digits = 0) zaokrúhľovanie na určitý počet desatinných miest (digits=). ak digits = 0, potom ide o celočíselné zaokrúhľovanie

🎮 Vlastný príklad – herné meny. Nasledujúce hodnoty sú vymyslené na tréning aritmetiky.

Code

herne_kredity <- 4750
cena_vybavy <- 2850
zostatok_kreditov <- herne_kredity - cena_vybavy
bonus_percent <- 12.5
kredity_po_bonuse <- zostatok_kreditov * (1 + bonus_percent / 100)
round(kredity_po_bonuse, 2)

[1] 2137.5

Malé cvičenie

🎯 Quest 01 – CS2 ekonomika. Tím vyhral 15 kôl, za každé získal 3250 herných kreditov. Na výstroj minul 7200 kreditov. Zistite zostávajúci rozpočet a priemerný rozpočet na 5 hráčov.

Code

vyhrate_kola <- 15
odmena_za_kolo <- 3250
naklady_na_vystroj <- 7200
pocet_hracov <- 5
rozpocet_timu <- vyhrate_kola * odmena_za_kolo - naklady_na_vystroj
rozpocet_na_hraca <- rozpocet_timu / pocet_hracov
rozpocet_timu; rozpocet_na_hraca

[1] 41550

[1] 8310

Text

Vytváranie textovými premennými a práca s nimi

Code

first <- "Vladimir"                       # definovanie obsahu textovej premennej first
last  <- "Gazda"                          # definovanie obsahu text. premennej last
full  <- paste(first, last)               # spojenie dvoch text. premennych do jednej (s medzerou)
full_nospace <- paste0(first, last)       # spojenie bez medzery
csv_line <- paste("apple", "banana", "pear", sep = ",")  # spojenie textov s oddelovacom ,
first; last; full; full_nospace; csv_line   # bodkočiarka tu nahradzuje odskok na novy riadok

[1] "Vladimir"

[1] "Gazda"

[1] "Vladimir Gazda"

[1] "VladimirGazda"

[1] "apple,banana,pear"

🎮 Vlastný príklad – menovka hráča.

Code

prezdivka <- "PixelHunter"
tim <- "NIGHT RAIDERS"
mapa <- "Inferno"
popis_hraca <- paste(prezdivka, "hrá za", tim, "na mape", mapa)
popis_hraca

[1] "PixelHunter hrá za NIGHT RAIDERS na mape Inferno"

Code

paste0("#", prezdivka, "_MVP")

[1] "#PixelHunter_MVP"

Dĺžka textového reťazca, podreťazec

Code

x <- "R is great!"
nchar(x)                 # počet znakov  v retazci "R is great!"

[1] 11

Code

substr(x, 1, 5)          # podreťazec od 1. do 5. znaku

[1] "R is "

Tip: Knižnica stringr mnohé zaujímavé možnosti práce s textami, ale implicitné knižnice R pokrývajú väčšinu bežných potrieb páce s textami.

Logické (boolovské) hodnoty a premenné

Code

nchar(prezdivka)          # počet znakov v prezývke

[1] 11

Code

substr(prezdivka, 1, 5)  # prvých päť znakov prezývky

[1] "Pixel"

Základy

Code

p <- TRUE
q <- FALSE
!p                 # NOT

[1] FALSE

Code

p & q              # AND

[1] FALSE

Code

p | q              # OR

[1] TRUE

Code

xor(p, q)          # exclusive OR - platí len jedno z p,alebo q

[1] TRUE

Logický výsledok porovnávania

Code

3 < 5

[1] TRUE

Code

7 >= 7

[1] TRUE

Code

"cat" == "cat"

[1] TRUE

Code

"cat" != "dog"   # vykricnik je tu v zmysle negacie. Napr.:   !=, !>, !<, !TRUE

[1] TRUE

Code

!TRUE

[1] FALSE

🎮 Vlastný príklad – postup do play-off.

Code

vyhry <- 7
minimalne_vyhry <- 5
aktivny_hrac <- TRUE
postup <- (vyhry >= minimalne_vyhry) & aktivny_hrac
postup

[1] TRUE

Zložitejšie logické operácie

Code

x <- 10
x > 5 & x < 20      # a sucasne - logicky prienik (sucin)

[1] TRUE

Code

x < 0 | x > 100     # alebo - logicke zjednotenie (sucet)

[1] FALSE

Code

                    # pri zlozitejsich vztahoch pouzivajte zatvorky ()

Zlučovanie viacerých log. premenných do vektora

Code

vals <- c(TRUE, FALSE, TRUE, TRUE)   # definicia vektora s logickymi hodnotami

Numerické vektory

Generovanie vektorov

Code

v1 <- c(2, 4, 6, 8)
v2 <- 1:5                  # postupnost 1,2,3,4,5
v3 <- seq(from = 0, to = 1, by = 0.25)  # postupnost s krokom 0.25
v4 <- rep(3, times = 5)    # 3,3,3,3,3  # 5 clenna postupnost trojak
v5 <- runif(5)             # generovanie rovnomerne rozdelenych premennych v intervale [0,1]
v6 <- rnorm(5)             # generovanie normalne rozdelenych premennych
v1; v2; v3; v4; v5

[1] 2 4 6 8

[1] 1 2 3 4 5

[1] 0.00 0.25 0.50 0.75 1.00

[1] 3 3 3 3 3

[1] 0.3088054 0.5386144 0.2207791 0.4518826 0.5229187

🎮 Vlastný príklad – eliminácie v zápasoch.

Code

eliminacie <- c(18, 24, 15, 29, 21, 26)
mena_map <- c("Mirage", "Inferno", "Nuke", "Ancient", "Anubis", "Dust2")
names(eliminacie) <- mena_map
eliminacie

 Mirage Inferno    Nuke Ancient  Anubis   Dust2 
     18      24      15      29      21      26

Aritmetické operácie s vektormi

Code

v <- c(1, 2, 3, 4)
v + 10           # kazdy prvok vektora zvacsime o 10

[1] 11 12 13 14

Code

v * 2            # kazdy prvok vektora prenasobime 2

[1] 2 4 6 8

Code

(v + 1) / 2

[1] 1.0 1.5 2.0 2.5

Code

exp(v)           # exponencialna funkcia z kazdeho prvku vektora

[1]  2.718282  7.389056 20.085537 54.598150

Code

sum(c(1,2,3) * c(1,1,1))     # správny skalárny súčin = 6

[1] 6

Code

crossprod(c(1,2,3),c(1,1,1))    # skalarny sucin - vysledok je matica 1x1

     [,1]
[1,]    6

Code

c(1,2,3)*c(1,1,1)               # Hadamardov sucin (sucin zodpovedajucich prvkov vektora)

[1] 1 2 3

Matematické operácie s 2 vektormi rovnakého rozmeru

Code

length(c(1,2,3,4,5))

[1] 5

Code

length(v5)            #vektor v5 je definovany vyssie

[1] 5

Code

c(1,2,3,4,5) + v5     # pozor, oba vektory musia mat rovnaky rozmer

[1] 1.308805 2.538614 3.220779 4.451883 5.522919

Indexovanie a výber niektorych prvkov vektora

Code

x <- c(5, 12, 3, 18, 7, 0, 21)
x[1]           # indexovanie - novy jedno-prvkovy vektor - prvy prvok vektora x

[1] 5

Code

x[2:4]         # novy vektor s druhym az stvrtym prvkom vektora x

[1] 12  3 18

Code

x[-1]          # novy vektor - vsetky prvky vektora x okrem prvého

[1] 12  3 18  7  0 21

Code

x[x > 10]      # novy vektor definovany prvkami x vacsimi ako 10

[1] 12 18 21

Code

which(x > 10)  # ktore prvky zodpovedaju podmienke vacsieho ako 10?

[1] 2 4 7

Práca s chýbajúcimi hodnotami

Code

y <- c(1, NA, 3, NA, 5)
is.na(y)

[1] FALSE  TRUE FALSE  TRUE FALSE

Code

mean(y)                 # NA

[1] NA

Code

mean(y, na.rm = TRUE)   # remove NAs

[1] 3

Základné štatistiky a usporiadanie prvkov vektora podľa veľkosti

Code

z <- c(10, 3, 5, 8, 2)
mean(z)                 # priemerna hodnota

[1] 5.6

Code

sd(z)                  # standardna odchylka

[1] 3.361547

Code

max(z)                  # maximalna hodnota

[1] 10

Code

summary(z)              # rychly prehlad zakladnych statistik o vektore

   Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
    2.0     3.0     5.0     5.6     8.0    10.0

Code

sort(z)                 # rastuce usporiadanie

[1]  2  3  5  8 10

Code

sort(z, decreasing = TRUE)  # klesajuce

[1] 10  8  5  3  2

🎮 Vlastný príklad – hráčske štatistiky.

Code

mean(eliminacie)

[1] 22.16667

Code

sd(eliminacie)

[1] 5.192944

Code

max(eliminacie)

[1] 29

Code

sort(eliminacie, decreasing = TRUE)

Ancient   Dust2 Inferno  Anubis  Mirage    Nuke 
     29      26      24      21      18      15

Malé cvičenie

🎯 Quest 02 – Body v zápasoch. Vektor w obsahuje body získané počas 20 herných kôl. Vypočítajte súčet bodov z kôl s párnym poradovým číslom (pozor: filtrujeme indexy, nie párne hodnoty).

Code

w <- c(120, 180, 150, 220, 140, 260, 170, 190, 210, 160,
       240, 180, 130, 270, 200, 250, 190, 230, 210, 300)
parne_kola <- seq(2, length(w), by = 2)
sum(w[parne_kola])

[1] 2240

Code

mean(w); max(w)

[1] 200

[1] 300

Matice

Vytvorenie matíc

Code

m <- matrix(1:12, nrow = 3, ncol = 4)            # hodnoty sú zadavane po stlpcoch
m_byrow <- matrix(1:12, nrow = 3, byrow = TRUE)  # hodnoty su zadavane po riadkoch
m; m_byrow

     [,1] [,2] [,3] [,4]
[1,]    1    4    7   10
[2,]    2    5    8   11
[3,]    3    6    9   12

     [,1] [,2] [,3] [,4]
[1,]    1    2    3    4
[2,]    5    6    7    8
[3,]    9   10   11   12

Rozmery matice

Code

dim(m)                   # (rows, cols)

[1] 3 4

Code

     [,1] [,2] [,3] [,4]
[1,]    1    4    7   10
[2,]    2    5    8   11
[3,]    3    6    9   12

Adresovanie prvkov matice

Code

m[1, 2]      # riadok 1, stlpec 2

[1] 4

Code

m[ , 3]      # tretí stĺpec: R štandardne vráti vektor

[1] 7 8 9

Code

m[2, ]       # druhý riadok: R štandardne vráti vektor

[1]  2  5  8 11

Code

m[1:2, 2:3]  # podmatica tvorena riadkami 1, 2 a stlpcami 2, 3

     [,1] [,2]
[1,]    4    7
[2,]    5    8

Maticové operácie

Code

A <- matrix(c(1,2,3,4), nrow = 2)
B <- matrix(c(5,6,7,8), nrow = 2)

A + B        # scitanie matic

     [,1] [,2]
[1,]    6   10
[2,]    8   12

Code

A * B        # Hadamard product - nasobenie po zodpovedajucich prvkoch

     [,1] [,2]
[1,]    5   21
[2,]   12   32

Code

A %*% B      # nasobenie matic

     [,1] [,2]
[1,]   23   31
[2,]   34   46

Code

t(A)         # transpozicia matice A - vymena riadkov a stlpcov

     [,1] [,2]
[1,]    1    2
[2,]    3    4

Code

det(A)       # determinant matice

[1] -2

Code

solve(A)     # inverzia matice (ak je matica regularna - teda inverzia sa da spocitat)

     [,1] [,2]
[1,]   -2  1.5
[2,]    1 -0.5

Zlučovanie vektorov do matíc

Code

C <- cbind(1:3, 4:6)   #  - po stlpcoch 
D <- rbind(1:3, 4:6)   #  - po riadkoch 
C; D

     [,1] [,2]
[1,]    1    4
[2,]    2    5
[3,]    3    6

     [,1] [,2] [,3]
[1,]    1    2    3
[2,]    4    5    6

Vypočítanie zvolenej štatistiky po riadkoch (stĺpcoch) matice

Code

M <- matrix(1:9, nrow = 3)
M

     [,1] [,2] [,3]
[1,]    1    4    7
[2,]    2    5    8
[3,]    3    6    9

Code

apply(M, 1, sum)   # suma po riadkoch

[1] 12 15 18

Code

apply(M, 2, mean)  # priemery po stĺpcoch

[1] 2 5 8

🎮 Vlastný príklad – skóre tímu. V riadkoch sú hráči, v stĺpcoch mapy; každé číslo je počet eliminácií.

Code

skore <- matrix(c(21, 19, 25,
                  17, 22, 20,
                  24, 23, 18,
                  15, 18, 21), nrow = 4, byrow = TRUE)
rownames(skore) <- paste0("Hrac_", 1:4)
colnames(skore) <- c("Mirage", "Inferno", "Nuke")
skore

       Mirage Inferno Nuke
Hrac_1     21      19   25
Hrac_2     17      22   20
Hrac_3     24      23   18
Hrac_4     15      18   21

Code

rowSums(skore)        # výsledky hráčov naprieč mapami

Hrac_1 Hrac_2 Hrac_3 Hrac_4 
    65     59     65     54

Code

colSums(skore)        # výsledky na jednotlivých mapách

 Mirage Inferno    Nuke 
     77      82      84

Code

apply(skore, 1, mean) # priemer podľa hráča

  Hrac_1   Hrac_2   Hrac_3   Hrac_4 
21.66667 19.66667 21.66667 18.00000

Code

apply(skore, 2, mean) # priemer podľa mapy

 Mirage Inferno    Nuke 
  19.25   20.50   21.00

Malé cvičenie

🎯 Quest 03 – Päť hráčov, päť máp. Zostavte maticu 5 × 5, v ktorej riadky predstavujú hráčov a stĺpce päť máp. Vypočítajte súčet eliminácií na jednotlivých mapách a maticový súčin (M^T M).

Code

M2 <- matrix(c(18, 22, 17, 25, 20,
               21, 19, 23, 16, 24,
               15, 20, 18, 22, 19,
               26, 24, 21, 23, 27,
               17, 16, 20, 19, 22),
             nrow = 5, byrow = TRUE)
rownames(M2) <- paste0("Hrac_", 1:5)
colnames(M2) <- c("Mirage", "Inferno", "Nuke", "Ancient", "Anubis")
M2

       Mirage Inferno Nuke Ancient Anubis
Hrac_1     18      22   17      25     20
Hrac_2     21      19   23      16     24
Hrac_3     15      20   18      22     19
Hrac_4     26      24   21      23     27
Hrac_5     17      16   20      19     22

Code

colSums(M2)            # eliminácie podľa mapy

 Mirage Inferno    Nuke Ancient  Anubis 
     97     101      99     105     112

Code

rowSums(M2)            # eliminácie podľa hráča

Hrac_1 Hrac_2 Hrac_3 Hrac_4 Hrac_5 
   102    103     94    121     94

Code

t(M2) %*% M2           # súčin transponovanej a pôvodnej matice

        Mirage Inferno Nuke Ancient Anubis
Mirage    1955    1991 1945    2037   2225
Inferno   1991    2077 1995    2150   2276
Nuke      1945    1995 1983    2052   2241
Ancient   2037    2150 2052    2255   2341
Anubis    2225    2276 2241    2341   2550

Vlastné čísla a vlastné vektory matíc

Čo znamenajú vlastné čísla a vlastné vektory?

Nech $\mathbf A$ je štvorcová matica. Vlastné číslo (eigenvalue) $\lambda$ a príslušný vlastný vektor (eigenvector) $\mathbf v \ne \mathbf 0$ spĺňajú vzťah

\[ \mathbf A \mathbf v = \lambda \mathbf v. \]

Násobenie maticou $\mathbf A$ teda pôsobí na vlastný vektor rovnako ako násobenie číslom $\lambda$. Výsledok reprezentuje vektor rovnakého smeru, ale rozličných veľkostí:

ak $\lambda > 0$, orientácia vektora sa zachová;
ak $\lambda < 0$, orientácia sa obráti;
ak $\lambda = 0$, výsledkom je nulový vektor.

Dĺžka sa násobí hodnotou $|\lambda|$. Napríklad pri $\lambda = 3$ sa vektor predĺži trojnásobne, pri $\lambda = 0.5$ sa skráti na polovicu. Tento geometrický opis sa týka reálnych vlastných čísel a vektorov.

Jednoduchý príklad: matica 2 × 2

Použijeme symetrickú maticu, teda maticu, pre ktorú platí $A^T = A$:¹

\[ \mathbf A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}. \]

Vlastné čísla nájdeme podľa nasledovného postupu:

\[\begin{eqnarray} \mathbf A \mathbf h & = & \lambda \mathbf h \\ \mathbf A \mathbf h - \lambda \mathbf h & = & \mathbf 0 \\ (\mathbf A - \lambda \mathbf I)\mathbf h & = & \mathbf 0, \end{eqnarray} \]

kde $\mathbf I$ je jednotková matica.

Netriviálne (nenulové) riešenie tejto sústavy existuje vtedy, keď

\[ \det(\mathbf A-\lambda \mathbf I)=0. \]

V našom prípade

\[ \mathbf A-\lambda \mathbf I = \begin{pmatrix} 2-\lambda & 1 \\ 1 & 2-\lambda \end{pmatrix}, \]

a preto

\[ \det(\mathbf A-\lambda \mathbf I) = \begin{vmatrix} 2-\lambda & 1 \\ 1 & 2-\lambda \end{vmatrix} = (2-\lambda)^2-1. \]

Dostávame charakteristickú rovnicu

\[ (2-\lambda)^2-1 = \lambda^2-4\lambda+3 = (\lambda-3)(\lambda-1) = 0. \]

Vlastné čísla sú koreňmi (riešeniami) kvadratickej rovnice a teda

\[ \lambda_1=3, \qquad \lambda_2=1. \]

Výpočet vlastného vektora pre $\lambda_1=3$

Vlastný vektor vypočítame zo vzťahu

\[ (\mathbf A-\lambda_1\mathbf I)\mathbf h_1=\mathbf 0. \]

Po dosadení $\lambda_1=3$ dostávame

\[ \left[ \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 1 & 2 \end{pmatrix} - 3 \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&1 \end{pmatrix} \right] \begin{pmatrix} h_{11}\\ h_{21} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\ 0 \end{pmatrix}. \]

Teda

\[ \begin{pmatrix} -1&1\\ 1&-1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} h_{11}\\ h_{21} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\ 0 \end{pmatrix}. \]

Získame sústavu rovníc

\[ \begin{eqnarray} -h_{11}+h_{21} &=&0,\\ h_{11}-h_{21} &=&0, \end{eqnarray} \] pričom zavedieme ešte dodatočnú podmienku normalizácie vlastných vektorov², teda

\[\sqrt{h_{11}^2 + h_{21}^2} = 1\]

Prvé dve rovnice vyjadrujú tú istú podmienku:

\[ h_{11}=h_{21}. \]

Teda z normalizačnej podmienky dostávame

\[\sqrt{h_{11}^2 + h_{21}^2} = 1 \Longleftrightarrow h_{11} = h_{21} = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}\]

Môžeme preto napríklad zvoliť

\[ h_{11}=+\sqrt{\frac{1}{2}}, \]

a potom

\[ h_{21}=+\sqrt{\frac{1}{2}}. \]

Vlastný vektor zodpovedajúci vlastnému číslu $\lambda_1=3$ môže byť teda

\[ \mathbf h_1= \begin{pmatrix} +\sqrt{\frac{1}{2}}\\ +\sqrt{\frac{1}{2}} \end{pmatrix}. \]

Každý nenulový násobok tohto vektora je však tiež vlastným vektorom. Napríklad

\[ \begin{pmatrix} +1\\ +1 \end{pmatrix} \]

predstavuje ten istý smer.

Výpočet vlastného vektora pre $\lambda_2 = 1$

Keďže platí

\[ \begin{aligned} \left[ \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} - 1 \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \right] \begin{pmatrix} h_{12} \\ h_{22} \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \\[1em] \Longleftrightarrow \qquad \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} h_{12} \\ h_{22} \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}. \end{aligned} \]

dostávame sústavu rovníc

\[ \begin{eqnarray} h_{12}+h_{22} &=&0,\\ h_{12}+h_{22} &=&0. \end{eqnarray} \]

Z toho vyplýva

\[ h_{22}=-h_{12}. \]

Ak zvolíme dodatočnú normalizačnú podmienku

\[\sqrt{h_{12}^2 + h_{22}^2} = 1,\] potom ak

\[ h_{12}=\sqrt{\frac{1}{2}}, \]

pre druhý prvok vektora bude platiť

\[ h_{22}=-\sqrt{\frac{1}{2}}. \]

Vlastný vektor zodpovedajúci vlastnému číslu $\lambda_2=1$ teda môžeme zapísať ako

\[ \mathbf h_2= \begin{pmatrix} \sqrt{\frac{1}{2}}\\ -\sqrt{\frac{1}{2}} \end{pmatrix}. \]

Opäť platí, že ľubovoľný nenulový násobok tohto vektora je tiež vlastným vektorom.

Overenie pre prvý vlastný vektor

Pre prvý vlastný vektor platí

\[ \mathbf A\mathbf h_1 = \begin{pmatrix} 2&1\\ 1&2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \sqrt{\frac{1}{2}}\\ \sqrt{\frac{1}{2}} \end{pmatrix} = 3 \begin{pmatrix} \sqrt{\frac{1}{2}}\\ \sqrt{\frac{1}{2}} \end{pmatrix} = \lambda_1 \mathbf h_1 \]

Teda

\[ \mathbf A\mathbf h_1=\lambda_1\mathbf h_1. \]

Podobne sa to dá ukázať aj pre druhé vlastné číslo $\lambda_2$ a druhý vlastný vektor $\mathbf h_2$.

Matice vlastných čísel a vlastných vektorov

Dostávame teda dvojice vlastných čísel a vlastných vektorov:

\[ \lambda_1=3, \qquad \mathbf h_1= \begin{pmatrix} \sqrt{\frac{1}{2}}\\ \sqrt{\frac{1}{2}} \end{pmatrix}, \]

\[ \lambda_2=1, \qquad \mathbf h_2= \begin{pmatrix} \sqrt{\frac{1}{2}}\\ -\sqrt{\frac{1}{2}} \end{pmatrix}. \]

Keďže matica $\mathbf A$ je symetrická, vlastné vektory zodpovedajúce rôznym vlastným číslam sú navzájom ortogonálne (navzájom kolmé a po dvojiciach ich skalárne súčiny sa rovnajú nule). Skutočne,

\[ \mathbf h_1^T\mathbf h_2 = \left( \sqrt{\frac{1}{2}},\sqrt{\frac{1}{2}} \right) \begin{pmatrix} \sqrt{\frac{1}{2}}\\ -\sqrt{\frac{1}{2}} \end{pmatrix} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0. \]

Výpočet pomocou R funkcie eigen()

Funkcia eigen() je súčasťou základného R; nepotrebujeme ďalšiu knižnicu. Argument symmetric = TRUE použijeme, keď vieme, že matica je symetrická. Pri všeobecnej matici môžeme napísať jednoducho eigen() a R symetriu skontroluje samo.

Code

# Vytvorenie matice z analytického príkladu
A_eig <- matrix(c(2, 1,
                  1, 2),
                nrow = 2, byrow = TRUE)

A_eig

     [,1] [,2]
[1,]    2    1
[2,]    1    2

Code

# Výpočet vlastných čísel a vlastných vektorov
eig_A <- eigen(A_eig, symmetric = TRUE) #vyuzitie funkcie eigen()
eig_A                                   # vysledok sa ulozil do listu, ktory sme nazvali eig_A

eigen() decomposition
$values
[1] 3 1

$vectors
          [,1]       [,2]
[1,] 0.7071068 -0.7071068
[2,] 0.7071068  0.7071068

Code

 #Dalej pristupime k rozbaleniu obsahu listu eig_A

lambda_A <- eig_A$values    # vektor vlastných čísel - ulozenie do lambda_A
V_A <- eig_A$vectors        # vlastné vektory v stĺpcoch ulozenie do V_A

lambda_A

[1] 3 1

Code

V_A

          [,1]       [,2]
[1,] 0.7071068 -0.7071068
[2,] 0.7071068  0.7071068

Výsledok eig_A je list. Znak $ vyberá jeho pomenovanú zložku:

Zápis v R	Význam
`eig_A$values`	Všetky vlastné čísla
`eig_A$vectors`	Vlastné vektory uložené v stĺpcoch
`eig_A$values[1]`	Prvé vlastné číslo
`eig_A$vectors[, 1]`	Vlastný vektor prislúchajúci prvému vlastnému číslu

Pri reálnej symetrickej matici R vráti vlastné čísla zostupne; tu teda 3 a 1. Vlastné vektory majú jednotkovú dĺžku. Môžu sa preto líšiť od našich ručne zvolených vektorov mierkou alebo znamienkom. Vektory $v$ aj $-v$ sú rovnako správne: vlastný vektor nie je jednoznačný.

Ak potrebujeme iba vlastné čísla:

Code

eigen(A_eig, symmetric = TRUE, only.values = TRUE)$values

[1] 3 1

Overenie vzťahu Av = λv

V R použijeme na násobenie matice a vektora operátor %*%. Operátor * používame pri násobení vektora skalárom.

Code

lambda_1 <- lambda_A[1]
v_1 <- V_A[, 1]

lava_strana <- as.vector(A_eig %*% v_1)
prava_strana <- lambda_1 * v_1

cat("Ľavá strana je ", paste(lava_strana, collapse = ", "), 
    " a pravá strana je ", paste(prava_strana, collapse = ", "), "!", sep = "")

Ľavá strana je 2.12132034355964, 2.12132034355964 a pravá strana je 2.12132034355964, 2.12132034355964!

Geometrické znázornenie

Porovnáme dva vlastné vektory. Pri vlastnom vektore zostáva jeho obraz (transformácia) na tej istej priamke.

Code

local({
  povodne <- par(mfrow = c(1, 2), mar = c(4, 4, 3, 1))
  on.exit(par(povodne))

  priklady <- list(c(1, 1), c(1, -1))
  nazvy <- c("Vlastný vektor: lambda = 3",
             "Vlastný vektor: lambda = 1")

  for (j in seq_along(priklady)) {
    x_plot <- priklady[[j]]
    Ax_plot <- as.vector(A_eig %*% x_plot)
    plot(NA, xlim = c(-1.5, 3.5), ylim = c(-1.5, 3.5),
         asp = 1, xlab = "Prvá súradnica", ylab = "Druhá súradnica",
         main = nazvy[j], cex.main = 0.85)
    abline(h = 0, v = 0, col = "grey80")
    arrows(0, 0, Ax_plot[1], Ax_plot[2],
           col = "darkorange2", lwd = 4, length = 0.12)
    arrows(0, 0, x_plot[1], x_plot[2],
           col = "steelblue4", lwd = 2, lty = 2, length = 0.10)
    legend("topleft", legend = c("x", "Ax"),
           col = c("steelblue4", "darkorange2"),
           lty = c(2, 1), lwd = c(2, 4), bty = "n", cex = 0.8)
  }
})

Vektor x (modrý) a jeho obraz Ax (oranžový).

V prostrednom obrázku sa šípky prekrývajú, pretože $Ax = x$. Cyklus for opakuje rovnaký postup oba vektory. Funkcia local() udržiava pomocné premenné grafu oddelene od ostatných výpočtov.

Matica 3 × 3 - príklad v R

Code

B_eig <- matrix(c(2, 1, 0,
                  1, 2, 0,
                  0, 0, 4), nrow = 3, byrow = TRUE)
eig_B <- eigen(B_eig, symmetric = TRUE)
eig_B$values                # 4, 3, 1

[1] 4 3 1

Code

eig_B$vectors

     [,1]      [,2]       [,3]
[1,]    0 0.7071068  0.7071068
[2,]    0 0.7071068 -0.7071068
[3,]    1 0.0000000  0.0000000

Code

# Súčty štvorcov prvkov jednotlivých stĺpcov sú 1.
colSums(eig_B$vectors^2)

[1] 1 1 1

Code

# Overenie všetkých troch vlastných párov.
max(abs(B_eig %*% eig_B$vectors -
        eig_B$vectors %*% diag(eig_B$values)))

[1] 5.551115e-16

Pre štvorcovú maticu platí: súčet vlastných čísel sa rovná stope matice (súčtu diagonálnych prvkov) a ich súčin sa rovná determinantu. Vlastné čísla pritom počítame aj s ich násobnosťami.

Code

c(sucet_vlastnych_cisel = sum(eig_B$values),
  stopa_matice = sum(diag(B_eig)))             # obe hodnoty sú 8

sucet_vlastnych_cisel          stopa_matice 
                    8                     8

Code

c(sucin_vlastnych_cisel = prod(eig_B$values),
  determinant = det(B_eig))                   # obe hodnoty sú 12

sucin_vlastnych_cisel           determinant 
                   12                    12

Malé cvičenie

🎯 FINAL BOSS – variančno-kovariančná matica herných štatistík.

Vymysleli sme osem zápasov jedného hráča CS2. Každý riadok predstavuje jeden zápas; stĺpce obsahujú eliminácie, asistencie a damage/10 (škálovaný damage pre prehľadnejšie hodnoty). Z herných dát zostavte variančno-kovariančnú maticu, vypočítajte jej vlastné čísla a vlastné vektory a overte výsledky. Ide o ilustračné údaje, nie o oficiálne herné dáta.

Code

# 1. Vlastné herné dáta: 8 zápasov × 3 ukazovatele
herne_data <- data.frame(
  eliminacie = c(12, 16, 21, 19, 27, 24, 30, 17),
  asistencie = c(3, 5, 4, 7, 8, 6, 9, 4),
  damage_10 = c(35, 42, 58, 53, 72, 65, 81, 46)
)
herne_data

  eliminacie asistencie damage_10
1         12          3        35
2         16          5        42
3         21          4        58
4         19          7        53
5         27          8        72
6         24          6        65
7         30          9        81
8         17          4        46

Code

# 2. Variančno-kovariančná matica zo vzorky zápasov
C <- cov(herne_data)
C

           eliminacie asistencie damage_10
eliminacie   35.92857   10.92857  93.42857
asistencie   10.92857    4.50000  28.28571
damage_10    93.42857   28.28571 244.28571

Code

# 3. Súčet podľa riadkov a stĺpcov (požiadavka vyučujúceho)
rowSums(C)

eliminacie asistencie  damage_10 
 140.28571   43.71429  366.00000

Code

colSums(C)

eliminacie asistencie  damage_10 
 140.28571   43.71429  366.00000

Code

apply(C, 1, sum)

eliminacie asistencie  damage_10 
 140.28571   43.71429  366.00000

Code

apply(C, 2, sum)

eliminacie asistencie  damage_10 
 140.28571   43.71429  366.00000

Code

# 4. Vlastné čísla a vlastné vektory
eig_C <- eigen(C, symmetric = TRUE)
eig_C$values

[1] 283.3407060   1.2111801   0.1623997

Code

eig_C$vectors

           [,1]        [,2]        [,3]
[1,] -0.3553793 -0.04698683  0.93354044
[2,] -0.1081106 -0.98996683 -0.09098232
[3,] -0.9284490  0.13325884 -0.34673399

Code

# 5. Overenie C %*% V = V %*% diag(lambda)
L <- diag(eig_C$values)
lava <- C %*% eig_C$vectors
prava <- eig_C$vectors %*% L
maximalna_odchylka <- max(abs(lava - prava))
maximalna_odchylka

[1] 1.705303e-13

Code

all.equal(lava, prava, tolerance = 1e-10)

[1] "Attributes: < Length mismatch: comparison on first 1 components >"

Code

# 6. Vlastné čísla kovariančnej matice by mali byť nezáporné
all(eig_C$values >= -1e-10)

[1] TRUE

Code

# 7. Podiel variability vysvetlený jednotlivými komponentmi
podiel_variability <- eig_C$values / sum(eig_C$values) * 100
round(podiel_variability, 2)

[1] 99.52  0.43  0.06

Čo sme si overili?

cov() vypočítala variančno-kovariančnú maticu z herných výsledkov.
rowSums(C) a colSums(C) sumarizujú riadky a stĺpce; apply() ponúka univerzálny spôsob výpočtu. Súčet kovariancií nie je priemerné skóre hráča.
eigen(C, symmetric = TRUE) vráti vlastné čísla a vlastné vektory symetrickej matice.
Výraz max(abs(lava - prava)) má byť veľmi blízky nule, čím numericky overujeme vzťah (Cv = v).
Záporné vlastné čísla by pri korektnej kovariančnej matici mohli byť len zanedbateľnou numerickou nepresnosťou.

Poznámka k zadaniu: Vzorový analytický výklad vlastných čísel a vektorov z predlohy som zachoval ako učebný základ. Vlastným riešením je herný príklad vypočítaný z dát (nie z postupnosti 1:16).

Footnotes

Aj v budúcnosti budeme pracovať len s takýmito maticami – maticami, ktoré predstavujú variančno-kovariančné vzťahy medzi premennými – tzv. variančno-kovariančnými maticami (variance-covariance matrix).↩︎
normalizované vektory majú veľkosť 1↩︎

Globálne nastavenie Chunkov

Úvod k základným operáciám v R

Skaláre (jednočíselné hodnoty)

Numerické skaláre

Malé cvičenie

Text

Vytváranie textovými premennými a práca s nimi

Dĺžka textového reťazca, podreťazec

Logické (boolovské) hodnoty a premenné

Základy

Logický výsledok porovnávania

Zložitejšie logické operácie

Zlučovanie viacerých log. premenných do vektora

Numerické vektory

Generovanie vektorov

Aritmetické operácie s vektormi

Matematické operácie s 2 vektormi rovnakého rozmeru

Indexovanie a výber niektorych prvkov vektora

Práca s chýbajúcimi hodnotami

Základné štatistiky a usporiadanie prvkov vektora podľa veľkosti

Malé cvičenie

Matice

Vytvorenie matíc

Rozmery matice

Adresovanie prvkov matice

Maticové operácie

Zlučovanie vektorov do matíc

Vypočítanie zvolenej štatistiky po riadkoch (stĺpcoch) matice

Malé cvičenie

Vlastné čísla a vlastné vektory matíc

Čo znamenajú vlastné čísla a vlastné vektory?

Jednoduchý príklad: matica 2 × 2

Výpočet vlastného vektora pre \(\lambda_1=3\)

Výpočet vlastného vektora pre \(\lambda_2 = 1\)

Overenie pre prvý vlastný vektor

Matice vlastných čísel a vlastných vektorov

Výpočet pomocou R funkcie eigen()

Overenie vzťahu Av = λv

Geometrické znázornenie

Matica 3 × 3 - príklad v R

Malé cvičenie

Čo sme si overili?

Footnotes