Problema 1

\(X \sim Uniforme(a = 20,\ b = 50)\)

Función de densidad:

\[ f_X(x) = \frac{1}{b-a} = \frac{1}{30}, \qquad 20 \le x \le 50 \quad (0 \text{ en otro caso}) \]

  • \(P(X \le 30) = \dfrac{30-20}{30} =\) 0.3333
  • \(P(X > 42) = \dfrac{50-42}{30} =\) 0.2667
  • \(P(25 \le X < 40) = \dfrac{40-25}{30} =\) 0.5
  • Valor \(x\) tal que \(P(X \le x) = 0.80\): \(x = 20 + 0.80(30) =\) 44
  • \(E[X] = \dfrac{a+b}{2} =\) 35
  • \(V[X] = \dfrac{(b-a)^2}{12} = \dfrac{900}{12} =\) 75 (desviación estándar \(=\) 8.66)

En la uniforme la probabilidad solo depende de la longitud del intervalo: cualquier tramo de 10 unidades dentro de \([20, 50]\) tiene probabilidad \(1/3\).

Problema 2

\(X \sim Normal(\mu = 100,\ \sigma = 15)\)

\[ f_X(x) = \frac{1}{15\sqrt{2\pi}}\, e^{-\frac{(x-100)^2}{2(15)^2}}, \qquad -\infty < x < \infty \]

  • \(P(X \le 85) = P(Z \le -1) =\) 0.1587
  • \(P(X > 120) = P(Z > 1.33) =\) 0.0912
  • \(P(90 \le X < 115) = P(-0.67 \le Z < 1) =\) 0.5889
  • Valor \(x\) tal que \(P(X \le x) = 0.95\): \(x = 100 + 1.645(15) =\) 124.67
  • Intervalo central que contiene el 95% de los valores: \(100 \pm 1.96(15) =\) [70.6, 129.4]

El percentil 95 deja el 5% del área en una sola cola, mientras que el intervalo central del 95% reparte el 5% restante entre las dos colas (2.5% en cada una); por eso su límite superior (129.4) es mayor que el percentil 95 (124.67).

Problema 3

\(X \sim Normal(\mu = 72,\ \sigma = 8)\)

  • \(P(X < 60) = P(Z < -1.5) =\) 0.0668
  • \(P(X \ge 80) = P(Z \ge 1) =\) 0.1587
  • \(P(68 \le X \le 76) = P(-0.5 \le Z \le 0.5) =\) 0.3829
  • Percentil 90: \(72 + 1.2816(8) =\) 82.25
  • Valor que deja por encima el 5% de las observaciones (percentil 95): \(72 + 1.645(8) =\) 85.16

El intervalo \([68, 76]\) es simétrico alrededor de la media (±0.5σ), por eso concentra el 38.3% central de la distribución. El valor que deja 5% por encima debe estar a la derecha de la media y por encima del percentil 90, lo cual se cumple.

Problema 4

\(X \sim Normal(\mu = 500,\ \sigma = 40)\)

  • \(P(X \le 450) = P(Z \le -1.25) =\) 0.1056
  • \(P(X > 575) = P(Z > 1.875) =\) 0.0304
  • \(P(480 < X < 540) = P(-0.5 < Z < 1) =\) 0.5328
  • Valores que delimitan el 80% central (percentiles 10 y 90): \(500 \pm 1.2816(40) =\) [448.74, 551.26]
  • Percentil 99: \(500 + 2.326(40) =\) 593.05

Problema 5

\(X \sim Exponencial(\lambda = 0.25)\)

\[ f_X(x) = 0.25\, e^{-0.25x}, \qquad F_X(x) = 1 - e^{-0.25x}, \qquad x \ge 0 \]

  • \(P(X \le 2) = 1 - e^{-0.5} =\) 0.3935
  • \(P(X > 5) = e^{-1.25} =\) 0.2865
  • \(P(2 < X \le 6) = e^{-0.5} - e^{-1.5} =\) 0.3834
  • Valor \(x\) tal que \(P(X \le x) = 0.90\): \(x = -\ln(0.10)/0.25 =\) 9.21
  • \(E[X] = 1/\lambda =\) 4
  • \(V[X] = 1/\lambda^2 =\) 16 (desviación estándar \(=\) 4, igual a la media, como es propio de la exponencial)

Problema 6

\(X \sim Lognormal(\mu = 3.5,\ \sigma = 0.40)\), es decir, \(\ln X \sim Normal(3.5,\ 0.40^2)\). Los parámetros están en escala logarítmica; las probabilidades se obtienen pasando los límites a logaritmo: \(P(X \le x) = P\!\left(Z \le \frac{\ln x - 3.5}{0.40}\right)\).

  • \(P(X \le 25) =\) 0.2411
  • \(P(X > 50) =\) 0.1515
  • \(P(20 \le X < 40) =\) 0.5779
  • Mediana: \(e^{3.5} =\) 33.12
  • Percentil 90: \(e^{3.5 + 1.2816(0.40)} =\) 55.29
  • \(E[X] = e^{\mu + \sigma^2/2} =\) 35.87
  • \(V[X] = (e^{\sigma^2}-1)\,e^{2\mu+\sigma^2} =\) 223.29 (desviación estándar \(=\) 14.94)

La transformación logarítmica conserva el orden (por eso la mediana y los percentiles se obtienen exponenciando los de la normal), pero no las distancias: la distribución es asimétrica a la derecha y la media (35.87) es mayor que la mediana (33.12).

Problema 7

\(X \sim Gamma(\alpha = 3,\ \lambda = 0.5)\), donde \(\alpha\) es el parámetro de forma y \(\lambda\) la tasa (equivalente a una escala \(\theta = 1/\lambda = 2\)).

\[ f_X(x) = \frac{\lambda^\alpha}{\Gamma(\alpha)}\, x^{\alpha-1} e^{-\lambda x} = \frac{0.5^3}{2}\, x^{2} e^{-0.5x}, \qquad x > 0 \]

  • \(P(X \le 4) =\) 0.3233
  • \(P(X > 8) =\) 0.2381
  • \(P(3 \le X < 7) =\) 0.488
  • Percentil 95: 12.59
  • \(E[X] = \alpha/\lambda =\) 6
  • \(V[X] = \alpha/\lambda^2 =\) 12 (desviación estándar \(=\) 3.46)

Problema 8

\(X \sim Beta(\alpha = 2.5,\ \beta = 4)\), con \(0 \le x \le 1\).

\[ f_X(x) = \frac{\Gamma(6.5)}{\Gamma(2.5)\,\Gamma(4)}\, x^{1.5}(1-x)^{3}, \qquad 0 \le x \le 1 \]

  • \(P(X \le 0.30) =\) 0.3522
  • \(P(X > 0.60) =\) 0.13
  • \(P(0.20 \le X < 0.50) =\) 0.5723
  • Percentil 75: 0.5088
  • \(E[X] = \dfrac{\alpha}{\alpha+\beta} = \dfrac{2.5}{6.5} =\) 0.3846
  • \(V[X] = \dfrac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)} =\) 0.0316 (desviación estándar \(=\) 0.1776)

Como \(\beta > \alpha\), la distribución se concentra hacia la izquierda del intervalo \([0, 1]\) y la media queda por debajo de 0.5.

Problema 9

\(X \sim Weibull(k = 2,\ \lambda = 1000)\), con forma \(k = 2\) y escala \(\lambda = 1000\).

\[ F_X(x) = 1 - e^{-(x/1000)^2}, \qquad x \ge 0 \]

  • \(P(X \le 500) = 1 - e^{-0.25} =\) 0.2212
  • \(P(X > 1200) = e^{-1.44} =\) 0.2369
  • \(P(600 \le X < 1000) = e^{-0.36} - e^{-1} =\) 0.3298
  • Mediana: \(1000\,(\ln 2)^{1/2} =\) 832.55
  • Percentil 90: \(1000\,(-\ln 0.10)^{1/2} =\) 1517.43

La escala \(\lambda = 1000\) es el valor que no supera el 63.2% de las observaciones (\(P(X \le 1000) = 1 - e^{-1}\)); la forma \(k = 2\) produce una densidad con un pico y una cola larga hacia la derecha.

Problema 10 — Validación de pedidos

Modelo: \(T\) = tiempo de validación automática de un pedido (segundos). Como cualquier tiempo entre 1.5 y 4.5 s es igualmente probable, \(T \sim Uniforme(a = 1.5,\ b = 4.5)\), con \(f_T(t) = 1/3\).

  • Probabilidad de que la validación tarde menos de 3 s: \(P(T < 3) = \dfrac{3-1.5}{3} =\) 0.5
  • Probabilidad de que el tiempo esté entre 2 y 4 s: \(P(2 \le T \le 4) = \dfrac{2}{3} =\) 0.6667
  • Tiempo a partir del cual la operación pertenece al 10% más lento (percentil 90): \(1.5 + 0.90(3) =\) 4.2 s

Evaluación del criterio: \(P(T < 3) =\) 50% \(> 45\%\), por lo que el sistema cumple el criterio de desempeño satisfactorio. Las validaciones que tarden más de 4.2 s se clasifican como excepcionalmente lentas.

Problema 11 — Empacadora de bolsas

Modelo: \(X\) = peso de la bolsa (g), \(X \sim Normal(\mu = 500,\ \sigma = 8)\).

  • Proporción de bolsas dentro del intervalo de aceptación: \(P(485 \le X \le 515) = P(-1.875 \le Z \le 1.875) =\) 0.9392 (93.92%)
  • Probabilidad de un peso superior a 520 g: \(P(X > 520) = P(Z > 2.5) =\) 0.0062
  • Pesos que delimitan la región de revisión individual (percentiles 2 y 98): menos de 483.57 g o más de 516.43 g
  • Bolsas esperadas fuera del intervalo de aceptación en 10 000: \(10\,000 \times\) 0.0608 \(\approx\) 608 bolsas

Análisis: centrar el proceso en 500 g no garantiza por sí solo una baja proporción fuera de especificación. Aunque el proceso está centrado, cerca del 6.1% de las bolsas queda fuera de los límites, porque estos están solo a 1.875 desviaciones estándar de la media. Lo que determina la proporción defectuosa es la variabilidad (\(\sigma\)): para reducirla habría que disminuir la desviación estándar del proceso. Además, los límites de revisión (483.57 g y 516.43 g) quedan por fuera del intervalo de aceptación, así que todas las bolsas enviadas a revisión individual ya estarían fuera de especificación.

Problema 12 — Prueba estandarizada

Modelo: \(X\) = calificación (puntos), \(X \sim Normal(\mu = 70,\ \sigma = 10)\).

  • Probabilidad de obtener entre 65 y 85 puntos: \(P(-0.5 \le Z \le 1.5) =\) 0.6247
  • Puntaje mínimo para el 10% superior (percentil 90): \(70 + 1.2816(10) =\) 82.82 puntos
  • Puntaje máximo del 15% inferior (percentil 15): \(70 - 1.0364(10) =\) 59.64 puntos
  • Probabilidad de obtener más de 90 puntos: \(P(Z > 2) =\) 0.0228
  • Con 600 estudiantes: se espera que \(600 \times 0.10 =\) 60 reciban reconocimiento (puntaje ≥ 82.82) y \(600 \times 0.15 =\) 90 sean convocados a acompañamiento (puntaje ≤ 59.64).

Problema 13 — Interrupciones en un servidor

Modelo: \(T\) = tiempo hasta una interrupción menor (horas). \(T \sim Exponencial(\lambda = 1/200 = 0.005)\) por hora, con media de 200 horas.

  • Probabilidad de operar más de 300 horas sin interrupción: \(P(T > 300) = e^{-300/200} =\) 0.2231
  • Probabilidad de que la primera interrupción ocurra entre las horas 100 y 250: \(e^{-0.5} - e^{-1.25} =\) 0.32
  • Tiempo en que la probabilidad acumulada de interrupción alcanza el 20%: \(t = -200\ln(0.80) =\) 44.63 horas. El mantenimiento preventivo debe programarse antes de unas 44 horas de operación.
  • Si ya operó 150 horas sin interrupción, probabilidad de operar al menos 100 horas más:

\[ P(T > 250 \mid T > 150) = \frac{P(T > 250)}{P(T > 150)} = \frac{e^{-1.25}}{e^{-0.75}} = e^{-0.5} = P(T > 100) \]

que da 0.6065, exactamente igual a \(P(T > 100) =\) 0.6065.

Propiedad utilizada: falta de memoria. En la exponencial, la probabilidad de sobrevivir un tiempo adicional no depende del tiempo que ya se lleva operando: \(P(T > s + t \mid T > s) = P(T > t)\). El servidor “no envejece”: haber funcionado 150 horas no lo hace más ni menos propenso a fallar en las próximas 100.

Problema 14 — Costos de reparación

Modelo: \(X\) = costo de reparación (millones de pesos). \(X \sim Lognormal(\mu = 1.2,\ \sigma = 0.5)\), es decir, \(\ln X \sim Normal(1.2,\ 0.5^2)\).

  • Probabilidad de que cueste menos de 3 millones: \(P\!\left(Z < \frac{\ln 3 - 1.2}{0.5}\right) =\) 0.4197
  • Probabilidad de que supere 5 millones: \(P\!\left(Z > \frac{\ln 5 - 1.2}{0.5}\right) =\) 0.2064
  • Costo mediano: \(e^{1.2} =\) 3.32 millones
  • Costo superado solo por el 5% de las reparaciones (percentil 95): \(e^{1.2 + 1.645(0.5)} =\) 7.56 millones

Media vs. mediana: el costo medio es \(E[X] = e^{1.2 + 0.5^2/2} =\) 3.76 millones, mayor que la mediana (3.32 millones). La lognormal es asimétrica a la derecha: la mayoría de reparaciones son de costo moderado, pero algunas pocas muy costosas elevan el promedio. La mediana representa la reparación “típica”, mientras que la media incorpora el efecto de esos valores extremos; por eso no se espera que coincidan.

Problema 15 — Soporte técnico

Modelo: \(T\) = tiempo total de atención de una solicitud (minutos). \(T \sim Gamma(\alpha = 4,\ \lambda = 0.20)\), con forma 4 y tasa 0.20 por minuto.

  • Tiempo promedio esperado de atención: \(E[T] = \alpha/\lambda = 4/0.20 =\) 20 minutos
  • Probabilidad de finalizar en menos de 30 minutos: \(P(T < 30) =\) 0.8488
  • Probabilidad de que tarde entre 15 y 25 minutos: \(P(15 < T < 25) =\) 0.3822
  • Tiempo no superado por el 90% de las solicitudes (percentil 90): 33.4 minutos

Evaluación de la meta: la proporción de solicitudes resueltas en menos de 30 minutos es 84.88%, que supera la meta del 80%. La promesa de servicio es sostenible, aunque con poco margen: el 10% más lento de las solicitudes tarda más de 33.4 minutos.

Problema 16 — Utilización de una planta

Modelo: \(X\) = proporción de capacidad utilizada en un día. \(X \sim Beta(\alpha = 5,\ \beta = 2)\), con \(0 \le x \le 1\).

  • Utilización promedio esperada: \(E[X] = \dfrac{5}{7} =\) 0.7143 (71.4% de la capacidad)
  • Probabilidad de un día de alta utilización: \(P(X > 0.80) =\) 0.3446
  • Probabilidad de un día de baja utilización: \(P(X < 0.50) =\) 0.1094
  • Nivel de utilización superado únicamente por el 10% de los días (percentil 90): 0.9074 (90.7%)
  • Días esperados con utilización superior al 80% en 250 días: \(250 \times\) 0.3446 \(\approx\) 86.16, es decir, unos 86 días.

Con \(\alpha > \beta\) la distribución se concentra hacia valores altos: la planta opera la mayor parte del tiempo por encima del 50% de su capacidad, y los días de baja utilización son poco frecuentes.

Problema 17 — Vida útil de rodamientos

Modelo: \(T\) = vida útil de un rodamiento (horas). \(T \sim Weibull(k = 2.5,\ \lambda = 5000)\), con \(F_T(t) = 1 - e^{-(t/5000)^{2.5}}\).

  • Probabilidad de falla antes de 3000 horas: \(1 - e^{-(0.6)^{2.5}} =\) 0.2434
  • Probabilidad de durar más de 6000 horas: \(e^{-(1.2)^{2.5}} =\) 0.2065
  • Tiempo con probabilidad acumulada de falla del 10%: \(t = 5000\,(-\ln 0.90)^{1/2.5} =\) 2032.55 horas
  • Mediana de la vida útil: \(5000\,(\ln 2)^{1/2.5} =\) 4318.17 horas

Interpretación de \(k = 2.5\): como \(k > 1\), la tasa de falla \(h(t) = \frac{k}{\lambda}\left(\frac{t}{\lambda}\right)^{k-1}\) crece con el tiempo: los rodamientos fallan por desgaste, y un rodamiento usado es más propenso a fallar que uno nuevo. (Si \(k = 1\) la tasa sería constante, como en la exponencial, y si \(k < 1\) sería decreciente.) Por eso tiene sentido el reemplazo preventivo: retirar los rodamientos antes de que entren en la zona de alta tasa de falla.

Tiempo de reemplazo propuesto: para que no falle más del 10% de los rodamientos, el reemplazo debe hacerse antes de 2032.55 horas. Una propuesta práctica es reemplazar cada 2000 horas, momento en el que la proporción esperada de fallas es 9.62% (≤ 10%).

Resumen de resultados

Problemas 1 a 9
Problema Cálculo Resultado
1 P(X≤30) 0.3333
1 P(X>42) 0.2667
1 P(25≤X<40) 0.5
1 x: P(X≤x)=0.80 44
1 E[X] 35
1 V[X] 75
2 P(X≤85) 0.1587
2 P(X>120) 0.0912
2 P(90≤X<115) 0.5889
2 Percentil 95 124.67
2 95% central [70.6, 129.4]
3 P(X<60) 0.0668
3 P(X≥80) 0.1587
3 P(68≤X≤76) 0.3829
3 Percentil 90 82.25
3 Percentil 95 85.16
4 P(X≤450) 0.1056
4 P(X>575) 0.0304
4 P(480<X<540) 0.5328
4 80% central [448.74, 551.26]
4 Percentil 99 593.05
5 P(X≤2) 0.3935
5 P(X>5) 0.2865
5 P(2<X≤6) 0.3834
5 Percentil 90 9.21
5 E[X] 4
5 V[X] 16
6 P(X≤25) 0.2411
6 P(X>50) 0.1515
6 P(20≤X<40) 0.5779
6 Mediana 33.12
6 Percentil 90 55.29
6 E[X] 35.87
6 V[X] 223.29
7 P(X≤4) 0.3233
7 P(X>8) 0.2381
7 P(3≤X<7) 0.488
7 Percentil 95 12.59
7 E[X] 6
7 V[X] 12
8 P(X≤0.30) 0.3522
8 P(X>0.60) 0.13
8 P(0.20≤X<0.50) 0.5723
8 Percentil 75 0.5088
8 E[X] 0.3846
8 V[X] 0.0316
9 P(X≤500) 0.2212
9 P(X>1200) 0.2369
9 P(600≤X<1000) 0.3298
9 Mediana 832.55
9 Percentil 90 1517.43
Minicasos 10 a 17
Problema Modelo Resultado
10 Uniforme(1.5, 4.5) P(T<3) = 0.5 > 0.45: cumple el criterio; 10% más lento > 4.2 s
11 Normal(500, 8²) Aceptación: 93.92%; revisión < 483.57 g o > 516.43 g; ≈ 608 de 10 000 fuera
12 Normal(70, 10²) Reconocimiento ≥ 82.82 (60 est.); acompañamiento ≤ 59.64 (90 est.)
13 Exponencial(1/200) Mantenimiento antes de 44.63 h; P(T>250 | T>150) = 0.6065
14 Lognormal(1.2, 0.5) Mediana = 3.32 M; media = 3.76 M; P95 = 7.56 M
15 Gamma(4, 0.20) P(T<30) = 0.8488 ≥ 0.80: cumple la meta
16 Beta(5, 2) E[X] = 0.7143; P(X>0.8) = 0.3446 (≈ 86 de 250 días)
17 Weibull(2.5, 5000) 10% de fallas a las 2032.55 h; reemplazo propuesto cada 2000 h