Esta pauta de solución está hecha con los datos de BASTIÁN ALEJANDRO ACUÑA ESPINOZA. Si alguien desea que lo haga con sus datos personalizados, lo haré con todo gusto.

Instrucciones

Descargue del aula virtual, carpeta Evaluación 2 – Datos, el archivo de datos con su nombre. La evaluación tiene que ser realizada con el conjunto de datos de su nombre. Si lo hace con el de otro estudiante, tendrá la nota mínima.

El archivo consiste en un conjunto de datos, con cinco variables teóricas: una variable independiente x y cuatro variables dependientes o series: ya, yb, yc, yd.

Para cada una de las series ya, yb, yc, yd, encuentre el mejor modelo entre los siguientes:

  1. Lineal
  2. Log
  3. Semilog
  4. Logístico

La ecuación original de cada uno de estos modelos es:

\[y = \beta_0 + \beta_1x + u...(Lineal)\] \[y = \beta_0x^{\beta_1}u...(Log)\] \[y = \beta_0e^{\beta_1x}u...(Semilog)\] \[y = \frac{y_m}{1 + e^{-\beta_0 - \beta_1x + u}}...(Logístico)\]

Para cada una de las series, use el mejor modelo para estimar el parámetro \(\beta_1\).

¡Ojo! Un modelo puede ser el mejor en más de una serie. Por lo mismo, no necesariamente van a usar todos los modelos.

Ayuda: Para el modelo logístico, estime el valor de \({\mathrm{y}}_{\mathrm{m}}\) usando el siguiente código R:

ym = max(df_datos$ya) + 1

Es importante el + 1 al final para que la regresión no dé un mensaje de error.

Escriba todas sus respuestas en el formulario a continuación.

En las preguntas numéricas, escriba su respuesta redondeada a 4 decimales y con coma decimal.

Solución

Siempre el primer paso es hacer un gráfico de los datos. Esto da la pista de cual podría ser la solución.
Se carga el archivo csv de datos personalizado, y se crean los cuatro gráficos:

df_data = read.table(paste0(path.data, nombre, ".csv"), header = T, sep = "|")
ga = ggplot(data = df_data, mapping = aes(y=ya, x=x)) + geom_point() + ggtitle("A")
gb = ggplot(data = df_data, mapping = aes(y=yb, x=x)) + geom_point() + ggtitle("B")
gc = ggplot(data = df_data, mapping = aes(y=yc, x=x)) + geom_point() + ggtitle("C")
gd = ggplot(data = df_data, mapping = aes(y=yd, x=x)) + geom_point() + ggtitle("D")
grid.arrange(ga, gb, gc, gd, nrow = 2, ncol = 2)

Los gráficos nos dan una pista para el posible mejor modelo para cada serie de datos. Ahora lo comprobaremos haciendo una regresión para cada serie, para cada uno de los modelos.

Para poder hacer la regresión con cada modelo, necesitamos transformar cada ecuación original a una forma lineal, con la cual se puede hacer una regresión lineal. Las formas lineales para los modelos log, semilog y logística son:

\[log(y) = log(\beta_0) + \beta_1 log(x) + v...(Log)\] \[log(y) = log(\beta_0) + \beta_1 x + v...(Semilog)\] \[log \left( \frac{y_m}{y} - 1 \right) = -\beta_0 - \beta_1x + u...(Logístico)\]

Note que cuando realiza la regresión del modelo logístico, tiene que cambiar el signo del coeficiente de la regresión:

\[\hat \beta_1 = -Coeficiente \ de \ la \ regresión\]

Pregunta 1

¿Cuál es el mejor modelo para la serie (a)?

Respuesta

Con los datos \(ya\), hacemos cuatro regresiones usando las ecuaciones transformadas y para cada una, anotamos los resultados:

x = df_data$x
y = df_data$ya
df_resultados = data.frame(Modelo = c("Lineal", "Log", "Semilog", "Logistico"), R2 = NA, Estadistico.F = NA, Beta1 = NA)
ym = max(y) + 1
df_resultados[df_resultados$Modelo=="Lineal", "R2"] = summary(lm(formula = y ~ x))$r.squared
df_resultados[df_resultados$Modelo=="Log", "R2"] = summary(lm(formula = log(y) ~ log(x)))$r.squared
df_resultados[df_resultados$Modelo=="Semilog", "R2"] = summary(lm(formula = log(y) ~ x))$r.squared
df_resultados[df_resultados$Modelo=="Logistico", "R2"] = summary(lm(formula = log(ym/y-1) ~ x))$r.squared
df_resultados[df_resultados$Modelo=="Lineal", "Estadistico.F"] = summary(lm(formula = y ~ x))$fstatistic[1]
df_resultados[df_resultados$Modelo=="Log", "Estadistico.F"] = summary(lm(formula = log(y) ~ log(x)))$fstatistic[1]
df_resultados[df_resultados$Modelo=="Semilog", "Estadistico.F"] = summary(lm(formula = log(y) ~ x))$fstatistic[1]
df_resultados[df_resultados$Modelo=="Logistico", "Estadistico.F"] = summary(lm(formula = log(ym/y-1) ~ x))$fstatistic[1]
df_resultados[df_resultados$Modelo=="Lineal", "Beta1"] = lm(formula = y ~ x)$coefficients[2]
df_resultados[df_resultados$Modelo=="Log", "Beta1"] = lm(formula = log(y) ~ log(x))$coefficients[2]
df_resultados[df_resultados$Modelo=="Semilog", "Beta1"] = lm(formula = log(y) ~ x)$coefficients[2]
df_resultados[df_resultados$Modelo=="Logistico", "Beta1"] = -lm(formula = log(ym/y-1) ~ x)$coefficients[2]

df_resultados
##      Modelo        R2 Estadistico.F      Beta1
## 1    Lineal 0.5845792     137.90538 1.98425075
## 2       Log 0.3860852      61.63126 0.26809722
## 3   Semilog 0.5615787     125.52929 0.01034329
## 4 Logistico 0.4829044      91.52006 0.02518841

El mejor modelo es el que tiene los mayores valores \(R^2\) y \(estadístico \ F\). En este caso, se observa que el mejor modelo es el Lineal.

Pregunta 2

Ingrese el coeficiente \(\beta_1\) de su mejor modelo para la serie (a).

Respuesta

Se realiza la regresión con el mejor modelo (Lineal) y se observa que:

\[\hat \beta_1 = 1.9843\]

Pregunta 3

¿Cuál es el mejor modelo para la serie (b)?

Respuesta

Con los datos \(yb\), hacemos cuatro regresiones usando las ecuaciones transformadas y para cada una, anotamos los resultados:

##      Modelo        R2 Estadistico.F      Beta1
## 1    Lineal 0.8754518      688.8439 -0.1359520
## 2       Log 0.7384018      276.6203 -0.3343639
## 3   Semilog 0.9059151      943.6124 -0.0118473
## 4 Logistico 0.8197539      445.7010 -0.0296162

El mejor modelo es el que tiene los mayores valores \(R^2\) y \(estadístico \ F\). En este caso, se observa que el mejor modelo es el Semilog.

Pregunta 4

Ingrese el coeficiente \(\beta_1\) de su mejor modelo para la serie (b).

Respuesta

Se realiza la regresión con el mejor modelo (Semilog) y se observa que:

\[\hat \beta_1 = -0.0118\]

Pregunta 5

¿Cuál es el mejor modelo para la serie (c)?

Respuesta

Con los datos \(yc\), hacemos cuatro regresiones usando las ecuaciones transformadas y para cada una, anotamos los resultados:

##      Modelo        R2 Estadistico.F     Beta1
## 1    Lineal 0.8158631      434.2128 0.7514548
## 2       Log 0.8562799      583.8807 6.0122253
## 3   Semilog 0.7724294      332.6355 0.1826668
## 4 Logistico 0.8609352      606.7077 0.2399276

El mejor modelo es el que tiene los mayores valores \(R^2\) y \(estadístico \ F\). En este caso, se observa que el mejor modelo es el Logistico.

Pregunta 6

Ingrese el coeficiente \(\beta_1\) de su mejor modelo para la serie (c).

Respuesta

Se realiza la regresión con el mejor modelo (Logistico) y se observa que:

\[\hat \beta_1 = 0.2399\]

Pregunta 7

¿Cuál es el mejor modelo para la serie (d)?

Respuesta

Con los datos \(yd\), hacemos cuatro regresiones usando las ecuaciones transformadas y para cada una, anotamos los resultados:

##      Modelo        R2 Estadistico.F      Beta1
## 1    Lineal 0.7305112      265.6515 0.06184051
## 2       Log 0.8013350      395.2927 0.36624498
## 3   Semilog 0.6455957      178.5204 0.01051593
## 4 Logistico 0.7075778      237.1319 0.02336117

El mejor modelo es el que tiene los mayores valores \(R^2\) y \(estadístico \ F\). En este caso, se observa que el mejor modelo es el Log.

Pregunta 8

Ingrese el coeficiente \(\beta_1\) de su mejor modelo para la serie (d).

Respuesta

Se realiza la regresión con el mejor modelo (Log) y se observa que:

\[\hat \beta_1 = 0.3662\]

\[...\]